Este documento explica los diferentes casos de factorización de expresiones matemáticas. Describe 8 casos comunes de factorización, incluyendo factor común, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, y factorización de Gauss. El objetivo de la factorización es simplificar expresiones reescribiéndolas como productos de factores fundamentales.
Presentación aborda el temad e los grados de las expresiones algebraicas: grado absoluto y grados relativos. Se explica a través de ejemplos interactivos y se proponen ejercicios.
Presentación aborda el temad e los grados de las expresiones algebraicas: grado absoluto y grados relativos. Se explica a través de ejemplos interactivos y se proponen ejercicios.
los polinomios son expresiones algebraicas formadas por dos variables.entre sus tipos tendremos polinomios completos,incompletos,nulo,semejantes,homogéneo,heterogéneo, iguales,ordenados.
los polinomios son expresiones algebraicas formadas por dos variables.entre sus tipos tendremos polinomios completos,incompletos,nulo,semejantes,homogéneo,heterogéneo, iguales,ordenados.
la presente guía la realice con la intención de poder brindar un poco de información acerca de los principios del álgebra y esta destinado mas que nada aquellos que cursan la secundaria o el bachillerato.
podrán encontrar una sencilla clasificación de los números reales
productos notables(binomios conjugados,binomios al cuadrado, binomios a cubo y como desarrollar un binomio con el triangulo de pascal)
también aborde el tema de factorizacion en sus diferentes formas y la simplificación de fracciones algebraicas.
la intención es poder dar un a sencilla explicación sin abordar demasiado en el tema y con sencillos ejemplos; y que de ninguna manera trata de suplir el trabajo de los profesores en el aula de clases. espero sea de su agrado y comenten.
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
2. ¿ QUÉ ES
FACTORIZACIÓN?
Es una descomposición de una expresión
matemática en forma de multiplicación.
el objetivo es simplificar una expresión o
reescribirla en términos de «bloques
fundamentales», que reciben el nombre de
factores, como por ejemplo un número en
números primos, o un polinomio en
polinomios irreducibles.
3. CASOS DE FACTORIZACION
1er caso • Factor común
2do caso • Factor común en grupos
3er caso • Trinomio cuadrado perfecto
4to caso • Cuatrinomio cubo perfecto
5to caso • Diferencia de cuadrados
6to caso • Sumas o restas de potencias de igual grado
7mo caso • Trinomio de segundo grado
8vo caso • Factoreo de Gauss
4. 1ER CASO: FACTOR COMÚN
Se escribe el factor común (F.C.) como un
coeficiente de un paréntesis y dentro del mismo se
colocan los coeficientes que son el resultado de
dividir cada término del polinomio por el F.C.
Ejemplo :
5. 2DO CASO: FACTOR COMÚN EN GRUPOS
En el polinomio no hay un Factor Común
para todos los términos, pero sí lo hay para
algunos términos entre sí. Con estos
términos que tienen factor común entre sí
es que se arman los "grupos".
6. Ejemplo: (Todos los términos son positivos)
4a + 4b + xa + xb =
4.(a + b) + x.(a + b) =
(a + b).(4 + x)
Saco factor común "4" en el primer y segundo
término; y factor común "x" en el tercer y cuarto
término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b).
Luego, saco como factor común a (a + b).
7. 3ER CASO: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Trinomio" significa "polinomio de tres términos".
Como en toda factorización, estamos buscando
una expresión que sea equivalente al polinomio
que nos dan, pero que sea una multiplicación
(producto). Resulta que cuando elevamos un
binomio al cuadrado, obtenemos un trinomio. Ya
que un binomio al cuadrado se resuelve con la
fórmula.
8. Ejemplo:
x2 - 10x + 25 = (x - 5)2
x (-5)
2.(-5).x
-10x
Tomo como bases a "x" y "(-5)", ya que (-5)2
también es 25. Y con (-5), la verificación del doble
producto da bien. El resultado es la suma de las
bases, al cuadrado. O sea (x + (-5))2 , que es igual
a (x - 5)2.
9. 4TO CASO: CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
Cuatrinomio se le llama a cualquier polinomio que
tiene 4 términos. Y "Cubo Perfecto", porque viene
de elevar al cubo un binomio con la fórmula:
(a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3
Primero que nada el polinomio tiene que tener 4
términos. Después, tiene que haber términos que
puedan ser potencia tercera de algo, como
x3, 8, 1, a6, -27, etc. Cumplidas esas dos
condiciones, puedo intentar aplicar el Caso, y
puede verificarse o no que sea un "cubo perfecto".
10. Ejemplo:
x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3
x 2
3.x2.2 3.x.22
6x2 12x
Las bases son x y 2.
Los dos "triple-productos" dan bien (6x2 y 12x).
El resultado de la factorización es "la suma de las
bases, elevada al cubo".
11. 5TO CASO: DIFERENCIA DE CUADRADOS
El polinomio tiene que tener 2 términos.
Los términos tienen que estar restándose. Por ejemplo:
x2 - 1. Pero también pueden estar al revés, por ejemplo:
-9 + a6. Ya que es lo mismo que a6 - 9. Es decir que
debo ver que haya un término positivo y otro negativo,
no importa el orden.
Los dos términos tienen que ser "cuadrados“.Para
reconocer que un término es cuadrado, aplicamos todo
lo que aprendimos al respecto en el Tercer Caso:
Trinomio Cuadrado Perfecto. En la próxima pregunta
hago un resumen de las posibilidades a la hora de
identificar un "cuadrado".
12. Ejemplo:
36x2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x - a3b2)
6x a3b2
Los términos pueden estar compuestos por varios
factores, y no una sola letra o número. Pero todos
deben ser cuadrados.
13. 6TO CASO: SUMAS O RESTAS DE POTENCIAS DE
IGUAL GRADO
Con este Caso de pueden factorizar aquellos
polinomios que sean una suma o una resta de dos
términos que sean potencias con el mismo exponente
("igual grado").
Ejemplo:
b4 - 81 = (b - 3).(b3 + 3b2 + 9b + 27) ó (b + 3).(b3 - 3b2
+ 9b - 27)
b 3
En las restas de potencias pares se puede dividir tanto
por la resta como por la suma de las bases.
14. 7MO CASO: TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO
Sirve para factorizar a aquellos trinomios que, son
de segundo grado (cuadrado), pero no son
"perfectos cuadrados" de ningún binomio.
Ejemplo:
2x2 - 3x + 1 = 2.(x - 1).(x - 1/2)
En este ejemplo, el coeficiente principal es 2. No
hay que olvidarse de ponerlo en la factorización.
15. 8VO CASO: FACTOREO DE GAUSS
Para encontrar raíces, hay que buscar primero los
divisores del término independiente del polinomio y
del coeficiente principal. Por ejemplo, en el
polinomio: 2x3 -3x2 - 11x + 6, el término
independiente es 6, y el coeficiente principal es 2.
Tengo que buscar los divisores de 6 y los divisores
de 2
16. Ejemplo:
x4 - 15x2 + 10x + 24 = (x + 1).(x - 2).(x - 3).(x + 4)
Pruebo dividir por (x + 1) y el resto dá 0:
| 1 0 -15 10 24
|
|
-1| -1 1 14 -24
1 -1 -14 24 | 0
Va quedando: (x + 1).(x3 - x2 - 14x + 24)
Ahora factorizo el cociente x3 - x2 - 14x + 24. Las posibles raíces son las mismas, porque es el mismo término
independiente. Pruebo dividir por (x -2) y el resto dá cero:
| 1 -1 -14 24
|
|
2| 2 2 -24
1 1 -12 | 0
Ahora va quedando: (x + 1).(x - 2).(x2 + x - 12)
Factorizo el último cociente, que es de segundo grado. Podría usar Séptimo Caso, pero sigo con Gauss. Las
posibles raíces son los divisores de 12: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12. Pruebo dividir por (x - 3):
| 1 1 -12
|
|
3| 3 12
1 4| 0
La factorización queda así:
(x + 1).(x - 2).(x - 3).(x + 4)
Como el coeficiente principal es igual a 1, no hace falta calcular las distintas raíces con la fórmula k/a. Porque
k/1 = k. Entonces las posibles raíces son todas las posibles k, es decir, solamente los divisores del término
independiente, sin tener en cuenta al coeficiente principal.