Algebra 5° 3 b

55 56COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5 to Año Secundaria ÁLGEBRA 5 to Año Secundaria
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
• Reconoce y clasifica una ecuación algebraica desarrollando la percepción y acumulando
experiencias que servirán de soporte para futuras formalizaciones
• Dado un conjunto de Ecuaciones de Primer Grado, trabaja creativamente y con actitud crítica
situaciones problemáticas, utilizando una variedad de técnicas de cálculo y aplicando correctamente
las propiedades que correspondan.
COMENTARIO PREVIO:
Hace cinco mil años, en el país de los sumerios, cerca del Golfo Pérsico, se dieron las primeras
dificultades matemáticas que necesitaban ser interpretadas bajo ciertas igualdades. Esto dio inicio a las
primeras relaciones que, posteriormente, los matemáticos dieron el nombre de Teoría de Ecuaciones.
Con el afán de resolver las ecuaciones se han creado nuevas teorías, nuevos conceptos, nuevos
conjuntos numéricos. El método de resolución de las ecuaciones de primer y segundo grado fueron
descubiertos por los matemáticos sumerios y babilonios (3000 años a.C) y por Diofante (329 – 410 d.C)
fundador del Álgebra, por los hindúes y, finalmente por los árabes (siglo IX). Este método forma parte
del más antiguo patrimonio matemático de la humanidad. La ecuación de tercer grado dio ocasión a
Cardano (1501–1576) y a Tartaglia (1499– 1557) para inventar los números complejos en el siglo XVI.
Ludovico Ferrari (1522–1565), discípulo de Cardano, encontró el método general de la resolución de la
ecuación de cuarto grado. Posteriormente, René Descartes (1596–1650), sabio y filósofo francés, inventor
de la geometría analítica descubre otra forma de resolver la ecuación cuártica.
Como es lógico, los matemáticos trataron de resolver las ecuaciones de grado superior a cuatro (quinto
grado, sexto grado,…., de grado n). Este estudio tenía un interés doble, ya que hubiera constituido un
gran logro encontrar un método general de resolución para todas las ecuaciones de una incógnita,
cualquiera sea su grado.
Tras muchos intentos se llegó a la conclusión de que las ecuaciones de quinto grado o superior eran
imposibles de resolver sólo usando cálculos algebraicos. Un médico italiano de Bolonia, Paolo Ruffini
(1765–1822), había tratado de demostrarlo en 1798, en su teoría general de las ecuaciones; pero la
demostración resultó incompleta. Al cabo de unos años, el joven matemático noruego Abel (1802–
1829) descubrió en 1824 el teorema que lleva su nombre y dice: “Es imposible resolver
algebraicamente las ecuaciones generales de grado superior a cuatro”.
Este teorema fue reforzado por Evariste Galois (1811–1832), matemático francés, fundador de la teoría
de los grupos.
Dado que los matemáticos no lograron encontrar métodos generales de resolución para ecuaciones de
grado superior a cuatro; trataron de responder ciertas cuestiones como:
• ¿Cuántas raíces positivas posee una ecuación?
• ¿Cuántas raíces reales o complejas posee una ecuación?
• Dados dos números a y b, ¿cuántas raíces de una ecuación dada están comprendidas entre a y b?
(problema de la separación de las raíces de una ecuación).
Desde este punto de vista los dos teoremas fundamentales son el de René Descartes y el teorema
fundamental del álgebra (K. Gauss – D′Alambert). Este teorema fue enunciado por Girard en 1625,
sólo realizó una demostración incompleta por parte de D′Alambert (1746). La primera demostración
completa fue establecida por K. Gauss (1799). Después Cauchy, Weierstrass y Kronecker dieron otras
demostraciones.
El teorema de Gauss – D′Alambert se enuncia “Toda ecuación polinomial de grado n posee por lo
menos una raíz (compleja o real)”.
CONTENIDO TEÓRICO:
1. IGUALDAD DE NÚMEROS REALES
Es la relación matemática donde nos indica que dos cantidades tienen el mismo valor. Se denota por
el signo =, que se lee igual. Veamos: 27 = 27 ; |9| = |- 9| ; A = B
AXIOMAS DE LA IGUALDAD.-
Enunciaremos los siguientes axiomas sobre la Igualdad de Números Reales.
Axioma de Reflexividad: Todo número real es igual a si mismo.
Si a ∈ R ⇒ a = a
Axioma de Simetría: Si un número real es igual a otro, entonces el segundo es igual al primero.
Si a = b ⇒ b = a, a; b ∈ R
Axioma de Transitividad: Si un número real es igual a otro, y este otro es igual a un tercero,
entonces el primero es igual al tercero.
Si a= b ∧ b = c ⇒ a = c; a; b; c ∈ R
S5AL33B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S5AL33B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
III
BIMESTRE:
ECUACIONES DE

2. ECUACIÓN
Una ecuación es una igualdad condicional entre dos expresiones matemáticas definidas sobre un
mismo conjunto numérico, donde participa por lo menos una variable (cantidad desconocida
llamada variable). Es todo enunciado abierto en que aparece el signo “=” y cuyo valor de verdad se
determina mediante su correspondiente conjunto de valores admisibles para la variable (conjunto
solución).
Notación: A(x) = B(x)
OBSERVACIONES.-
Enunciado abierto: Es toda expresión que contiene por lo menos una variable, que para
determinados valores de su dominio se convierte en un enunciado verdadero o falso llamado
proposición.
Variable: Es el símbolo que puede tomar un valor cualquiera de un determinado conjunto llamado
dominio. A las variables que intervienen en la ecuación se les llama incógnitas
Conjunto solución:
El conjunto solución de una ecuación es el conjunto de valores (soluciones) que permiten que la
ecuación sea una proposición verdadera.
Si una ecuación no posee solución alguna, entonces definiremos a su conjunto solución como el
vacío y lo denotaremos por φ o {}
Ejemplo 1. Sea la ecuación: x3
= 4x.
Si x = 1: 13
= 4(1) → 1 = 4
Proposición falsa
Si x = 2: 23
= 4(2) → 8 = 8
Proposición verdadera
Si x = - 2: (- 2)3
=4(- 2) → - 8 = - 8
Si x = 0: 03
= 4(0) → 0= 0
De lo expuesto; vemos que 2, - 2, 0 son soluciones de la ecuación de acuerdo a la definición, luego:
CS = {2, - 2, 0}
Ejemplo 2: La ecuación 3x – 5 = 0, tiene como raíz o solución a: x = 5/3.
Luego, su conjunto solución es: C.S. =






3
5
3. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS
3.1. DE ACUERDO A SU FORMA:
Ecuación polinomial: Es una ecuación algebraica racional entera.
P(x) = ax + b= 0
P(x) = ax2
+ bx + c = 0
P(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d = 0
P(x) = a0xn
+ a1xn–1
+ a2 xn–2
+ a3 xn–3
+...+ an – 1 x + an = 0
n ∈ Z+
∧ {a0; a1
;
a2; a3; ...an - 1;an} ⊂ R ; a0; a1; a2; a3; ...; ; an - 1; an son los coeficientes.
Nota: El conjunto de valores admisibles en una ecuación polinomial son todos los reales.
Ecuación fraccionaria: Es una ecuación algebraica racional fraccionaria.
P(x)=
2x
7
+
- 5x+11= 0 ....... CVA = R - {-2}
P(x)= 0
1x
4
3x
5
1x
3
=
−
−
+
+
+
....... CVA = R - {-1,-3,1}
Ecuación Irracional:
P(x)= 03x2x 2 =−+− .Restricción de la ecuación: x - 2 ≥ 0 → x ≥ 2. Luego C V A=
x ∈ [2,+∞>
Nota: El hecho de haber establecido el conjunto de valores admisibles (CVA), no implica haber
resuelto la ecuación, sólo se le ha restringido.
3.2. DE ACUERDO A SU CONJUNTO SOLUCIÓN:
Ecuaciones consistentes o compatibles: Son aquellas que tienen o aceptan por lo menos
una solución. A su vez se dividen en:
- Determinadas: Son aquellas que tienen un número limitado de soluciones.
Ejemplo: x3
= x, CS = {1; 0; - 1}
- Indeterminadas: Son aquellas que tienen un número ilimitado de soluciones. Ejm:
Ejemplo: x + 1 = x + 1, CS = R

Ecuaciones inconsistentes o incompatibles.- Son aquellas que no tienen solución, también
se les denomina absurdas o imposibles.
Ejemplo:
x
1
= 0 CS = φ
4. ECUACIONES DE PRIMER GRADO 0 LINEALES EN UNA VARIABLE Son aquellas ecuaciones
que tienen la forma:
P(x) = ax + b = 0
Donde: a, b son los coeficientes, “x” es la incógnita.
Para obtener la única raíz o solución de la ecuación, basta con despejar la incógnita, así tendremos
que: x =
a
b
− (presentación única solución).
5. ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN PARAMETRICA EN VARIABLE “X”.
ax= b.........(*)
Caso I: Si: a ≠ 0 (no importa el valor de b), reemplazamos en (*), obteniéndose x = b/a una sola
solución, con lo cual su conjunto solución es finito, luego (*) es compatible
determinada.
Caso II: Si: a = 0, b = 0, evaluando en (*) se tiene 0x = 0, indicando que existen infinitas
soluciones, luego (*) es compatible indeterminada.
Caso III: Si: a = 0, b ≠ 0, al reemplazar en (*) se obtiene 0x = b que carece de soluciones, con lo
cual su conjunto solución es vacío, luego (*) es incompatible.
Ejemplo: En la ecuación paramétrica en “x”: (a – 5) (a + 3) x = (a + 2) (a + 3)
Halle los valores de a para que sea:
I) Determinada II) Indeterminada III) Incompatible
Resolución
I) (a - 5) (a+3) ≠



−≠
≠
3a
5a
0 ⇒ ∀a ∈ R -{- 3, 5}
II) (a – 5) (a + 3) = 0 ∧ (a + 2) (a + 3) = 0
(a = 5; a = – 3) ∧ (a = – 2; a = – 3) ⇒ ∴a= - 3
III) (a – 5) (a + 3) = 0 ∧ (a + 2) (a + 3) ≠ 0
(a=5; a=- 3) ∧ (a ≠ - 2; a ≠ - 3) ⇒ ∴ a= 5
6. ECUACIONES EQUIVALENTES: Dos o más ecuaciones de las mismas variables son equivalentes,
si y solo si poseen el mismo conjunto solución.
Ejemplos:
P1 = 14
3
x2
2
x
=+ → CS = {12}
P2 = 5x – 36= 24 → CS = {12}
Como los conjuntos solución son iguales, entonces P1 y P2 son equivalentes:
Para resolver una ecuación de primer grado es fácil, bastará con aplicar algunas propiedades
básicas de los números reales hasta hallar el valor de la incógnita.
Se debe tener cuidado, cuando la variable aparece en el denominador o cuando se presenta un
término radical; es justamente en estos casos que aparece una raíz extraña en algunas ecuaciones.
Luego, para resolver ecuaciones en general y de primer grado en particular es necesario tener en
cuenta lo siguiente:
a) Si se divide ambos miembros de una ecuación por una misma expresión que contenga a la
incógnita, entonces se perderán soluciones. Esto se puede evitar si la expresión que se divide
(simplifica) se iguala a cero.
Ejemplo:
Resolver: (x + 3) (x - 2) = 4 (x - 2)
Resolución
Simplificando (x - 2) para no perder solución: x – 2 = 0 → x = 2
Luego, tendremos: x + 3 = 4 → x = 1
La ecuación tiene 2 soluciones x = 2 y x = 1 (de no haber igualado a cero, hubiéramos perdido la
solución x=2).
b) Si se multiplican ambos miembros de una ecuación por una misma expresión que contenga a la
incógnita, entonces se puede introducir soluciones extrañas.
Esto se puede evitar si previamente se simplifica por separado cada miembro de la ecuación.

Ejemplo:
Resolver:
( )( )
4
2x
2x3x
=
−
−+
Resolución
Primero simplificamos (x - 2), y tendremos; x + 3 = 4 → x = 1
Observación.- Si hubiésemos trasladado (x - 2) a multiplicar, tendríamos que una solución sería
x = 2, que es una solución extraña, pues no verifica la igualdad.
c) Si se eleva ambos miembros de una ecuación a un mismo exponente, entonces se pueden
introducir soluciones extrañas.
Ejemplo:
Resolver: 7x7x2
−=+
Resolución
Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación propuesta: ( ) ( )222
7x7x −=+
x2
+ 7 = x2
– 14x + 49 ⇒ 14x = 42 ⇒ x = 3
Pero si reemplazamos; x = 3 en la ecuación dada tendremos:
4441673732
−=→−=→−=+
Proposición Falsa
(No cumple), luego: x = 3 es una solución extraña, y la ecuación es incompatible, pues no tiene
solución:
Observación: Siempre que se potencie los dos miembros de una ecuación. El valor o los valores
obtenidos para “x” deben comprobarse en la ecuación original pues pueden no ser soluciones
verdaderas.
d) Si a ambos miembros de una ecuación le sumamos un mismo número o un mismo polinomio, la
nueva ecuación es equivalente a la inicial.
Observación: Si a ambos miembros se suma o resta una función arbitraria la ecuación resultante
no necesariamente es equivalente a la inicial.
La ecuación: x2
– 12 = 2x + 3 tiene por raíces: x = 5; x = - 3
Sumando a los dos miembros de la ecuación original:
5x
2
−
Obtenemos: x2
– 12 +
5x
2
−
= 2x + 3 +
5x
2
−
.
Para lo cual x = 5 no es solución.
Observaciones:
1. El conjunto solución de una ecuación depende del conjunto numérico en que se quiere resolver la
ecuación, por ejemplo:
Si queremos resolver en el conjunto de los racionales (Q), entonces el conjunto solución de la
ecuación: x2
= 2, es vacío; pues no existe número racional cuyo cuadrado es 2. Si embargo si
resolvemos en el conjunto de los reales (R), entonces el conjunto solución es { 2− , 2 }.
De la misma manera, la ecuación x2
= – 1, no tiene solución en R, pero si la tiene en el conjunto C.
Al despejar x se obtiene: x = 1− ó x = - 1− .
Si definimos 1− =i (i es la unidad imaginaria del conjunto C), el conjunto solución es:
{- i; i}.
2. Si p y q son expresiones algebraicas en una variable “x”, entonces un enunciado de la forma “p = q”
se llama una ecuación algebraica en “x”. Si obtenemos una proposición verdadera cuando
reemplazamos x por x0; entonces x0 es llamada una solución de la ecuación. x0 es un valor del
dominio (conjunto de valores admisibles) para x.
3. Si el conjunto solución de una ecuación es todo el dominio para x, entonces la ecuación se llama
una IDENTIDAD, por ejemplo:
La ecuación: 2x1 − = )x1)(x1( +− es una identidad; pues es cierta para todo número
en el dominio para x, esto es, en el intervalo cerrado: [- 1, 1].
4. Si en el dominio para “x” existen números que no son soluciones, entonces la ecuación se llama
ecuación condicional o un enunciado abierto. Por ejemplo; en la ecuación: x2
= x , cuyo dominio
para x es: [0, ∞> existen números en el dominio que no son soluciones, por ejemplo x = 4 ∈ [0,
+∞>, y no es solución, luego se trata de una ecuación condicional.

PROBLEMAS EXPLICATIVOS
01.Sayumi tenía 120 nuevos soles. Si gastó los
7
5
de lo que no gastó. ¿Cuánto dinero gastó Sayumi?
Resolución
Sea x la cantidad de nuevos soles que gastó Sayumi. Entonces (120 - x) nuevos soles es lo que no
gastó.
Luego: Gasto =
7
5
(No gastó)
Entonces: x =
7
5
(120 - x) ↔ 7x = 600 – 5x
↔ 7x + 5x = 600
↔ 12x = 600
↔ x =
12
600
↔ x = 50
Respuesta: Sayumi gastó 50 nuevos soles.
02.Walter llega tarde al colegio cuando había pasado un
8
1
de la clase de álgebra; 6 minutos después
llega Jimmi y sólo escucha los
5
4
de la clase. Si la clase empezó a las 8:00 de la mañana. ¿A que
hora terminó?
Resolución
Sea t el tiempo (en minutos) que duró la clase. Jimmi se pierde ( '6t
8
1
+ ) de la clase, que
equivale a
5
1
t (pues Jimmi sólo escuchó los
5
4
t).
Luego:
5
1
t =
8
1
t + 6↔
5
1
t –
8
1
t = 6
↔
40
t3
= 6
↔ t =
3
6x40
↔ t = 80’
Respuesta: Como la clase empezó a las 8:00 a.m. y duró 80 minutos entonces terminó a las 9:20
a.m.
03.Un río tiene una corriente de 3 kilómetros por hora. Si el bote de Aly Boydi tarda el mismo tiempo
en ir 18 kilómetros río abajo y 15 km. río arriba. Calcule la velocidad del bote en aguas tranquilas.
Resolución
Sea V la velocidad del bote en aguas tranquilas, entonces (V + 3) es la velocidad del bote río abajo
(con la corriente a favor) y (V - 3) es la velocidad del bote río arriba (contra la corriente), entonces
tenemos:
Distancia Velocidad Tiempo
Río Abajo 18 V+3
3V
18
+
Río Arriba 15 V – 3
3V
15
−
Como el tiempo es el mismo:
3V
18
+
=
3V
15
−
↔ 18 (V – 3) = 15 (V + 3)
↔ 18V – 54 = 15 V + 45
↔ 18V – 15V= 45 + 54
↔ 3V = 99
↔ V =
3
99
↔ V = 33
Respuesta: La velocidad del bote en aguas tranquilas es 33 kilómetros por hora.

Clasificación de las Ecuaciones
De acuerdo
a su forma
De acuerdo
a su C.S.
Algebraica
Poseer grado
No Algebraica Compatible Incompatible
(CS= O )
Polinomial
P(x)=a
o
xn + a xn-1
1
+ a xn-2
2
+ ...+ a = 0
n
Fraccionaria
3
x+2
= 5
Irracional
x - 7 = 7 - x
Se considera
Se caracterizan
por:
Exponencial
xx- 256= 0
Logarítmico
Log
6
x - 1= 0
Trigonométrico
Senx - x= 0
Puede ser
Determinada
(C.S. Finito)
Indeterminada
(C.S. Infinito)
Se enfoca
PRÁCTICA DE CLASE
01. Clasificar las siguientes ecuaciones algebraicas de acuerdo a su forma.
ECUACIÓN
ALGEBRAICA
CLASIFICACIÓN ECUACIÓN
ALGEBRAICA
CLASIFICACIÓN
6xx53x 24
−+−
= 0
0x53x =−−−
0x
5x
6
=−
+ 4x
2
5
5x
x3
−
−+
+
= 0
02. Clasificar las siguientes ecuaciones algebraicas de acuerdo a sus soluciones:
ECUACIÓN
ALGEBRAICA
CLASIFICACIÓN ECUACIÓN
ALGEBRAICA
CLASIFICACIÓN
x3
= 25x x(x - 8) = (x - 4)2
3x + 7 = 3x + 7 5x = 5x
x +
x
1
x
1
=
5x − -
2x +−
03. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones con respecto a la ecuación en x:
( ) 2nxnnn1n)2n(n2
−=−−+−− .
I. Es determinado cuando n ≠ 1 ∧ n ≠ -1
II. Es indeterminado cuando n = 1 ∨ n = -1
III. Es incompatible cuando n = 2
a) VVV b) VVF c) VFV d) FFV e) VFF
04. Luego de resolver la ecuación en “x”:
b2
15
b4x23
5
b3x
3
b2x
bx −
−
=
−
+
−
++ .
Es cierto que:
a) La solución depende de b (b ∈ ℜ) d) Tiene infinitas soluciones
b) Tiene una sola solución e) Tiene dos soluciones
c) No tiene solución
05. Luego de resolver la ecuación en “x”:






++=
−
+
−
+
−
p
1
n
1
m
1
2
mn
px
mp
nx
np
mx
I. Si m + n + p = 0 la ecuación tiene infinitas soluciones con mnp ≠ 0.
II. Si m + n + p ≠ 0 siempre existe solución y es única.
III. Siempre la solución es m + n + p.
a) VVV b) VFV c) VFF d) FVV e) FFV
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01
01. Resolver: (x-9) (x-7) (x-5) (x-1) = (x-2) (x-4) (x-6) (x-10)
a) 4,5 b) 3,5 c) 5,5 d) 2,5 e) 1

02. Resolver:
2x3
2x3
)24689()12344(
)24691()12346(
22
22
−
+
=
−
−
a) 12345 b) 11365 c) 13564 d) 14395 e) 16345
03. Halle “n” de modo que la ecuación (n + 1) x = n2
+ 3 sea compatible.
a) 3 b) 1 c) ℜ–{1} d) 5 e) –2
04. Halle “m” si la ecuación: (m – 1) x = m2
– 3m + 2 presenta infinitas soluciones.
a) 2 b) 1 c) 0 d) 3 e) 8
05. Resuelva la ecuación: 1
2
x
3
x
+=
a) {3} b) {2} c) {–1} d) {4} e) {–6}
06. Si x0; es solución de:
6
x
2
1
3
1x
=+
−
. Calcular 2x0
a) 1/2 b) –1 c) –2 d) 2 e) 4
07. Si x0; es solución de: 3
b
cax
a
cbx
c
bax
=
−−
+
−−
+
−−
. Donde {a; b; c}⊂ ℜ+
Halle x0
– a – b.
a) 2 b) cc) a d) b e) 0
08. Resolver:
1x
4
x10
1x
4
8x
−
+−=
−
++
a) 1 b) - 1 c) 1 y – 1 d) Indeterminado e) Incompatible
09. Resolver: x412x9x325x −+−=−+−
a) 7 b) - 7 c) 7 y - 7 d) Indeterminado e) Incompatible
10. Resolver:
3x2x
25x
3x
5x
2
2
−+
−
=
+
−
. Marque lo correcto:
a) Tiene una raíz b) Tiene dos raíces c) Tiene tres raíces
d) Indeterminado e) Incompatible
TAREA DOMICILIARIA
01. Respecto a la ecuación de variable x: m (m2
– 1) x = 0, establezca el valor de verdad de cada
proposición:
I. Es compatible para cualquier valor de m.
II. Si m = –1, tiene infinitas soluciones.
III. Si m = 0, tiene solución única.
IV. Si m ∈ {0; 1; –1}, tiene una única solución e igual a cero.
a) VVVV b) VFVF c) FFVV d) FFFV e) FVFF
02. Resolver la siguiente ecuación:
1
cba
x4
a
xcb
b
xca
c
xba
5722
57
7
52
5
72
=
++
+
−+
+
−+
+
−+
a) a2
+ b7
+ c5
b) a + b + c c) abc d) 1 e) (abc)/4
03. Resolver la ecuación de primer grado en “x”
04
15
c
10
c
5
c
x5
12
a
2
a
3
a 7
20
b
5
b
4
b
=++++







−++
−++
Sabiendo que el coeficiente principal es 17, mientras que el término independiente es 15 Hallar: (a
+ b - c)/x
a) –34/5 b) -34/6 c)-34/8 d) -34/3 e) -34
04. La siguiente ecuación es de primer grado y Mónica, considerando que “x” es la incógnita, hallar
“a + b”
0bax8
6
b
3
b
2
b
x51
3
a17 2
=++





++++





−
a) 1 b) 3 c) 5 d) 3 e) 2

05. Resolver:
3
ba
cx
ca
bx
cb
ax
=
+
−−
+
+
−−
+
+
−−
a) –a-b-c b) a + b + c c) abc d) 3abc e) a + b - c
06. Determinar el parámetro “p” de modo que la ecuación:
1p21x
2px3
1x
3px2
+=+ +
−
−
−
. Se reduzca a una de primer grado.
Dado un conjunto de Ecuaciones de segundo Grado, resolverlos aplicando correctamente las
propiedades que corresponden.
COMENTARIO PREVIO:
Una vez asimilado la parte del análisis matemático correspondiente al estudio de polinomios, y dentro de
ello una definición fundamental para enmarcarnos en el desarrollo de este tema, la cual dice que, para un
polinomio de una variable, el valor de la variable para el cual el polinomio se anula, se denomina raíz del
polinomio.
Ejemplo:
Para el polinomio: P(x) = x3
– 6x2
+ 11x – 6
Sus raíces son: {1; 2; 3}. Entonces:
P(1) = 0 ; P(2) = 0 y P(3) = 0
La finalidad de este módulo, es el análisis particular de los polinomios de segundo grado que constituirán
las ecuaciones de segundo grado.
CONTENIDO TEÓRICO:
Toda ecuación completa de segundo grado o cuadrática con una incógnita, adopta la siguiente forma:
0cbxax 2 =++
Donde: ax2
→ Término cuadrático
bx → Término lineal
c → Término independiente
FORMAS INCOMPLETAS DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO.
1. Si: b = 0 se tiene: ax2
+ c = 0
2. Si: c = 0 se tiene: ax2
+ bx = 0
3. Si: b = c = 0 se tiene: ax2
= 0
ECUACIONES

RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO:
Al estar un miembro igual a CERO se procede así:
I. POR FACTORIZACIÓN:
Consiste en descomponer el primer miembro en dos factores utilizando el método del aspa simple o
completando cuadrados, luego, se iguala cada factor a cero y se obtiene las raíces de la ecuación.
Ejemplo:
x2
– 5x + 6 = 0
x - 3
x -2
Igualando cada factor a cero, se tiene como soluciones o raíces:
x = 3 y x = 2
Conjunto solución: {3; 2}
II. POR FÓRMULA:
Dada la ecuación: ax2
+ bx + c = 0. Se puede obtener las raíces aplicando la siguiente fórmula:
a2
ac4bb
x
2
−±−
=
Ejemplo: 2x2
+ 9x – 5 = 0
De donde: a = 2; b = 9; c = - 5
4
1219
)2(2
)5()2(499
x
2
±−
=
−−±−
=
2
1
4
1219
x1 =
+−
=
5
4
1219
x2 −=
−−
=
Nota: Una ecuación de segundo grado tiene como máximo dos soluciones o raíces.
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES:
Dada la ecuación: ax2
+ bx + c = 0 podemos enunciar las siguientes propiedades:
1. Suma de Raíces (S): Es igual al coeficiente del término lineal con signo cambiado, dividido entre el
coeficiente del término cuadrático, es decir:
a
b
xxS 21
−
=+=
2.- Producto de Raíces (P): Es igual al término independiente, dividido entre el coeficiente del término
cuadrático, es decir:
a
c
x.xP 21 ==
3.- Diferencia de Raíces (D): Se determina por la siguiente relación:
a
ac4b
xxD
4
21
−±
=−=
Ejemplo: Dada la ecuación:
4x2
– 12x + 5 = 0 donde a = 4 ; b = –12 ; c = 5
Suma de Raíces (S)
3
4
)12(
a
b
xxS 21 =
−−
=
−
=+=
Productos de Raíces (P)
4
5
a
c
x.xP 21 ===
Diferencia de Raíces (D)
2
4
)5()4(4)12(
a
ac4b
xxD
22
21 ±=
−−±
=
−±
=−=
NATURALEZA DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO:

Para conocer la naturaleza de las raíces se analiza el valor de la cantidad subradical:
∆ = b2
– 4ac
Llamada “Discriminante”.
Se presentan los siguientes casos:
1.- Si: ∆ > 0. Existen dos raíces reales y diferentes. CS = {x1; x2}
2.- Si: ∆ = 0. Existen 2 raíces reales e iguales.
CS = {x1 }
3.- Si: ∆ < 0. Existen 2 raíces complejas conjugadas. CS = {x1; x2}
FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN CONOCIENDO SUS RAÍCES
Primer Método:
Ejemplo:
Formar la ecuación de segundo grado si esta tiene como raíces: x = 7 y x = 3 se forman binomios y se
efectúa el producto igualando a CERO, es decir:
(x – 7) (x – 3) = 0
Entonces la ecuación pedida será:
x2
– 10x + 21 = 0
Segundo Método:
Consiste en calcular la Suma (S) y el producto (P) de las raíces, los resultados se sustituyen en la fórmula:
0PSxx 2 =+−
Ejemplo:
Formar la ecuación de segundo grado si esta tiene como raíces: x = 7 ∧ x = 3
Entonces: S = 7 + 3 = 10; P = (7) (3) = 21 Sustituyendo en la fórmula tendremos:
x2
– 10x + 21 = 0
PRÁCTICA DE CLASEPRÁCTICA DE CLASE
01. Completar:
Ecuaciones
Discriminante
(Δ)
Naturaleza
de raíces
09x6x2
=++
01xx2
=+−
01xx3 2
=−−
05x3x2
=++
02. Completar el cuadro:
Ecuaciones Raíces (Δ)
Conjunto
solución
06x2
=−
0x6x3 2
=+
048x2 2
=−
01x2
=+
03. Completar el cuadro:
Ecuaciones r y s raíces
03xx2 2
=++ r + s = … ∧ r.s = …….
02xx3 2
=+− r + s = … ∧ r.s = …….
01xx2
=++ r + s = … ∧ r.s = …….
1x3x2 2
=− r + s = … ∧ r.s = …….
03. Resolver:
a)
4x
2x
2x
1x2
−
+
=
−
+
b) 0
)2x(x
4x
)2x(x
1
4x
2
2
=
+
−
+
−
−
−
c)
6x5x
2
3x
2
2x
x
2
+−
−
=
−
−
−

04. Resolver:
a) x3x2 =+ b) 2x4x =+− c) 3x27x =−−
d) x4
- 10x2
+ 21 = 0 e) 22x
+ 2x + 3
= 128
05. Dada la ecuación x2
– 3x – 5 = 0, si sus raíces son r y s, halla:
a) r2
+ s2
b)
s
1
r
1
+ c) r – s
d)
22
s
1
r
1
+ e) r3
+ s3
f)
1s
s
1r
r 22
+
+
+
g) (2r + 3s + 1)(2s + 3r + 1)
06. Señale la suma de las inversas de las raíces de: 2x2
– 6x + 5 = 0
a) 1 b) 2 c) 3 d) 6/5 e) 5/2
07. Indicar el producto de las inversas de las raíces de: 3x2
+ 4x = 12
a) 4/3 b) -4/3 c) –1/4 d) 4 e) –4
08. Calcular la diferencia de las raíces de:
x2
– 6x + 5 = 0
a) 2 b) ± 2 c) 4 d) ±4 e) 3
09. Si la suma de sus raíces de la ecuación:
(m – 2)x2
+ mx + 1 = 0; es 2. Hallar “m”
a) 4/3 b) 3/4 c) 4 d) 1/4 e) 2
10. Si el producto de las raíces de la siguiente ecuación:
(m – 1)x2
+ (2m+2)x + m + 4 = 0; es 9/4. Indicar lo correcto.
a) m + 1= 3 b) m2
= 9 c) m – 1= 6
d) 4
2
3m
=
+
e) m –1 = 10
11. Si las raíces de la ecuación:
(x – a)2
+ (x – b)2
+ 2c2
= (x + c)2
Son iguales. Podemos afirmar que:
a) (-2a) es la media armónica de b y c b) (-2b) es la media armónica de a y c
c) (-2c) es la media armónica de a y b d) ab + bc + ac = 0
e) Cualquiera de las anteriores
12. Hallar el valor de K para que la ecuación 9x2
– kx + 1 = 0 tenga raíces iguales. (k < 0)
a) 6 b) –6 c) 6; –6 d) –1 e) –12
13. Determinar la condición para que la ecuación:
x2
– 6mx + 9m2
– 2m + 2 = 0; posea raíces iguales o mayores que 3.
a) m > 3 b) m > b c) m > 9
d) m > 11/9 e) m > 11
14. La ecuación cuadrática:
(m + 1)x2
– 4x + 1 = 0 se anula para un solo valor de “x”. Hallar m.
a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1
15. Si se consideran las ecuaciones:
x2
+ bx + c = 0; x2
+ px + q = 0,
donde las raíces de la primera ecuación son la suma y el producto de las raíces de la segunda
ecuación y recíprocamente. Señale Pb.
a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/3 e) 3
01. Hallar “a” en: a2
x2
– (a + 2) x + 1 = 0. Sabiendo que sus dos raíces son iguales.
a) 2 b) –2/3 c) –2 d) 1/3 e) Hay dos correctas
02. Resolver la ecuación:
(n – 2)x2
– (2n – 1)x + n – 1 = 0. Sabiendo que el discriminante es 25.
a)






−
2
1
;3 b)





 −
2
1
;3 c)






2
1
;3 d)






−−
2
1
;3 e)






−
2
1
;
2
1

03. Sea la ecuación de segundo grado:
(m + 3)x2
– 3(m – 1)x + (6 – m) = 0
Indicar la suma de los valores de “m” que se obtienen en:
• La suma de las raíces es igual a 2.
• El producto de raíces es igual a cinco décimos.
• La suma de las inversas de sus raíces es doce.
• Las raíces son recíprocas.
• Una de sus raíces es 2.
a) 35/ 2 b) –66/ 5 c) 55/ 2 d) 53/ 2 e) 26
04. La ecuación: x2
– Ax + B = 0, tiene una raíz que es el triple de la otra. Luego A y B están
relacionados por:
a) A2
= 16B b) 3A2
= 16B c) A2
= 3B
d) 2A2
= 3B e) A2
= 9B
05. Formar una ecuación de segundo grado de coeficientes reales, sabiendo que una raíz es:
1
5
4
5
3
−− ; siendo: i1 =−
a) 5x2
+ 6x + 5 = 0 b) 5x2
+ 6x + 1 = 0 c) 5x2
– 6x + 1 = 0
d) 5x2
– 6x + 5 = 0 e) N.a.
06. Calcular los valores de “m” y “n” de tal manera que las ecuaciones:
(n – 1)x2
+ 2x + (m – 4) = 0 y (m + n)x2
+ (m + 1)x + 3 = 0
Tengan las raíces iguales. Indicando la suma de la mayor “n” con la menor “m”.
a) 3 b) 20/3 c) 2 d) 17/3 e) 5
07. Dada la ecuación:
x2
+ (m – 2)x – (m + 3) = 0, donde x1 , x2 son las raíces; además:
K = 2
2
2
1 xx + . Determinar el mínimo valor de K
a) 7 b) – 6 c) – 4 d) 9 e) 6
08. En la ecuación:
2x2
– (m – 1)x + (m + 1) = 0. ¿Qué valor positivo debe darse a “m” para que las raíces difieran en
uno?
a) 7 b) 11 c) 5 d) 9 e) 17
09. En la ecuación cuyas raíces son x1 ; x2 : 2ax2
+ (3a – 1)x + k + a = 0
Hallar el valor entero de k a fin de que exista un solo valor de “a” que permita que las soluciones
x1 ; x2 sean iguales.
a) 3 b) – 2 c) 1 d) – 1 e) 0
10. Siendo x1 y x2 las raíces de la ecuación 2x2
– x + 3 = 0.
Hallar E = (x1 + 1) (x2 + 1)
a) 3 b) 1 c) 2 d) – 1 e) 4
11. Calcular la raíz x1 de la ecuación: ax2
+ bx + c = 0. Sabiendo que:
1n,
1n
1
x
x
22
1
>
−
−
=
11nn
1n
b
c
22
2
−−−
−
=
a) 1n − b) - 1n − c)
1n
1
−
d) –1 e) n –
1
12. Si: m, n son las dos raíces de la ecuación: x2
– 2x + 2 = 0
Calcular: E = mm+n
. nm n
a) – 2 b) – 4 c) 1 d) 2 e) 4
13. Dada la ecuación: (2x – 3)2
= 4(2x – m) y considerando que “x” es la incógnita. Halle los valores
reales que debe tener “m” de manera que:
a) Las raíces de la ecuación sean reales y diferentes
b) La ecuación tenga raíces iguales
c) Las raíces de la ecuación no sean reales
d) Las raíces de la ecuación sean reales
¿Cuál de las siguientes alternativas no se relacionan?
a) m ∈ <- ∞ ; 4] b) m ∈ <- ∞ ; 4> c) m ∈ <4 ; ∞ >
d) {4} e) {8}
14.Determinar “m” en la ecuación:

x2
– 3mx + m2
= 0, sabiendo que sus raíces x1 ; x2 satisfacen la relación: 75,1xx 2
2
2
1 =+
a) ± ¼ b) ± ½ c) ½ d) – 1 e) 1
15. Si x1 ; x2 son las raíces de: x2
+ 10 = 5x
Calcular:
1
21 x
1
x
1
−








+
a) 0,25 b) 0,5 c) -0,5 d) 2 e) –2
TAREA DOMICILIARIA
01. Si las raíces de la ecuación cuadrática (m + 3) x2
+ 6x – 2 = 0 son reales y diferentes.
Indique el menor valor entero de m.
a) –8 b) – 7 c) – 6 d) – 5 e) No existe
02. Después de resolver:
15 435
x3xx2 =+
Dos de sus raíces toman la forma: 2m
y 2n
. Calcular (m + n)
a) 12 b) 13 c) – 5 d) 0 e) 15
03. Si tenemos que las raíces de la ecuación mx2
+ 2(m + 3) x + m + 8 = 0 son complejos y
conjugados. Hallar el menor valor entero de m.
a) 4 b) 5 c) 2 d) 6 e) No existe
04. Si se verifica que: cx1 = x2 (bx2 – c)
Siendo x1 y x2 raíces de la ecuación: ax2
+ bx + c = 0 (abc ≠ 0), entonces podemos decir que:
a) Una de ellas es igual a cero b) Sus dos raíces son iguales
c) Sus raíces son recíprocas d) La suma de sus raíces es cero
e) Sus raíces son complejas
05. Formar una ecuación cuadrática de coeficientes reales siendo una de sus raíces
2
¡43 +−
, nota
¡2
= -1
06. Resolver las ecuaciones:
1) x2
= 7 2) (x + 1) (x – 3) = 12 3) 15x2
– 34x + 15 = 0
4) (x + 3) (x + 5) = 13x2
5) x(x - 1997) = (x - 1997)
Indicar la ecuación que posee la menor raíz
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
07. Sea la ecuación:
[(m + n)2
– (m - n)2
] x2
+ (m - 1)2
x – [(m + n)2
+ (m - n)2
] = 0 siendo m ≠ 0 ∧ n ≠ 0 y x1 y x2 son
sus raíces. ¿En cuántas unidades es necesario disminuir dichas raíces para que sean simétricas?
a) 1/n b) – 1/n c) 1/2 n d) – 2n e) – 1/2 n
08. Hallar una de las raíces de la ecuación:
a (b - c)x2
+ b (c - a) x + c (a - b) = 0
Si x es la incógnita
a)
ba
cb
−
−
b)
cb
ac
−
−
c)
( )
( )cba
cab
−
−
d)
ac
ba
−
−
e)
( )
( )cba
cab
−
−
09. Dada la ecuación:
x2
- 2x + m = 0. Calcular “m” si una de las raíces es 1 + 2i, (i = 1− ); m ∈ R
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 8
10. Si la ecuación: x2
+ px + q = 0; tiene por conjunto solución {r, s} si:
r – s = 4 y r3
– s3
= 208; entonces p/q es:
a) 2/3 b) 3/2 c) 2/5 d) 2/7 e) 1/7
11. Hallar el valor de “a” para que las raíces de la ecuación: x2
– (a + 3) + 1
4
a2
+ = 0 se diferencien
en 5
a) 5/3 b) 7/3 c) 10/3 d) 5/6 e) 20/3
12. Resolver e indicar la solución:
275x232x5x22x =−+++−+−
a) 7 b) 13 c) 15 d) 5 e) 16

13. Calcular “m” para que la ecuación:
6x2
+ (2m + 3) x + m = 0 tenga una raíz solamente
a) 3 b) 3/4 c) 1/2 d) 3/2 e) 5/3
14. Sea la ecuación: 0x21x =++
Indicar el valor de verdad de las proposiciones:
( ) Si la ecuación admite solución, ésta debe estar comprendido en [-1; 0]
( ) La ecuación tiene dos soluciones reales
( ) La ecuación tiene una única solución
a) VFV b) VFF c) VVF d) VVV e) FVV
15. Resolver: (1 + x) (1 + 2x) (1 + 3x) = - 15
Indicar la suma de las raíces no reales:
a) 0 b) 1/2 c) – 1/2 d) - 1 e) 1/6
17. Si r y s son raíces de la ecuación cuadrática:
mx2
– 2(m – 1) x + m = 0 y cumplen
r
s
s
r
+ =4, halle la suma de todos los valores “m” que
satisfacen la condición
a) 1 b) - 4 c) - 1 d) 0 e) 4
18. El producto de multiplicar el término independiente con el coeficiente del término cuadrático de
la ecuación que tiene por raíces el cuadrado de la inversa de las raíces de ax2
+ bx + c = 0, a ≠ 0,
es:
a) ac b) a2
c2
c) a/c d) 1/a2
c2
e) c/a
19. Hallar la ecuación de segundo grado de coeficiente principal 1 y de raíces m y n se sabe que:
• x2
+ (m – 1) x + m – 2 = 0; tiene una sola solución real.
• x2
– (n + 1) x + 2n = 0; tiene una raíz igual a 3.
a) x2
+ 9x + 18 = 0 b) x2
– 6x + 18 = 0 c) x2
– 9x – 18 = 0
d) x2
– 9x + 18 = 0 e) x2
– 6x – 18 = 0
20. Hallar “p” si las raíces de la ecuación:
( ) ( ) 01x3px
2
2
p2
=+++−
Son: x1 = mm
+ 1 x2 = mm
; m ∈ IR+
Rpta: .............................
21.Si la ecuación: P(x) = x2
– 3nx + 2n2
– n – 1 pose una raíz mayor que 4 y otra menor que 5 para un
conjunto de valores de “n”. Halle dicho conjunto.
Rpta: .............................
)ba(x)1a3(P 2
2)a2x(2)a2x(
)x( ++−+=
−−+
Calcular un valor de “b” para que exista un solo valor de “a” que permita que las raíces de P(x)
sean iguales.
Rpta: .............................
23. Si: (aa
– 3) x2
+ 5x + bb
+ 3 = 0
(aa
– 2) x2
+ 10x + 3bb
+ 2 = 0
Poseen un conjunto solución A y B respectivamente. SI al hallar el producto cartesiano A x B se
obtuvo C y al hallar B x A se obtuvo C. Halle “a + b”/ {a; b} ⊂ Z
Rpta: .............................
24. Si las raíces de las ecuaciones en “x”:
x2
– 3x + m + 1 = 0
3x2
+ 5x + m = 0
son imaginarias y reales respectivamente, determine los valores enteros de “m”.
Rpta: .............................

ECUACIÓN BINOMIA
Se denomina así a las ecuaciones de dos términos que presentan la siguiente forma general:
0bax n
=+ ∀ a ; b ≠ 0 ∧ n ∈ N
Éstas se resuelven factorizando o utilizando la fórmula de “Abraham de Moivre”
Ejemplo: Resolver: 01x9 4
=−
Resolución
Factorizando: 0)1x3)(1x3( 22
=−+
01x301x3 22
=−∨=+⇒
3
1
x
3
1
x 22
=∨−=
3
1
x
3
1
x ±=∨−±=
3
3
x¡
3
3
x ±=∨±=
∴ C.S. =








−−
3
3
;
3
3
;¡
3
3
;¡
3
3
Teorema: Las ecuaciones binomias sólo tienen raíces simples, no aceptan raíces múltiples.
ECUACIÓN TRINOMIA
Son aquellas ecuaciones de tres términos que presentan la siguiente forma general:
0cbxax nn2 =++ ; ∀ abc ≠ 0 ∧ n ∈ N
Estas ecuaciones se resuelven factorizando o realizando el cambio de variable: zx n = ; lo que la
convierte en una ecuación cuadrática. Después de resolver ésta, se repone la variable original y se hallan
las soluciones de la ecuación trinomia.
Ejemplo: Resolver: 01x7x8 36
=−+
Resolución
Factorizando: 0)1x)(1x8( 33
=−+
0)1xx)(1x)(1x2x4)(1x2( 22
=++−+−+
01xx01x01x2x401x2 22
=++∨=−∨=+−∨=+⇒
2
¡31
x1x
4
¡31
x
2
1
x
±−
=∨=∨
±
=∨−=







 −−+−−+
−=∴
2
¡31
;
2
¡31
;1;
4
¡31
;
4
¡31
;
2
1
.S.C
ECUACIÓN RECÍPROCA
Se denomina así a las ecuaciones cuyos coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son
iguales en valor absoluto.
Ejemplo: Observa las ecuaciones:
02x5x5x2 23 =+++
01x7x6x7x 234 =+−+−
03x2x5x5x2x3 2345 =−−−++
Propiedades:
1. Si “r” es raíz de la ecuación recíproca entonces “1/r” también es raíz de la ecuación.
2. Si la ecuación es recíproca de grado impar, tiene una raíz “1” ó “- 1” (se evalúa para determinar
cual de ellas es la raíz)
3. Si P(x) = 0 es una ecuación polinómica recíproca de grado “n”, se cumple:






≡
x
1
Px)x(P n
ECUACIONES BINOMIOS –
TRINOMIOS – RECÍPROCAS

Para resolver la ecuación recíproca se consideran los siguientes casos:
Casos:
I. Si el grado es par:
Se factoriza la parte literal del término central y se agrupa convenientemente; luego se realiza el
cambio de variable respectivo:
Si: a
x
1
x =+ Si: a
x
1
x =−
2a
x
1
x 2
2
2
−=+ 2a
x
1
x 2
2
2
+=+
a3a
x
1
x 3
3
3
−=+ a3a
x
1
x 3
3
3
+=−
Se resuelve la ecuación con la nueva variable luego se repone, la variable original y se resuelve,
hallándose las soluciones de la ecuación recíproca.
Ejemplo: Resolver:
06x25x38x25x6 234
=+−+− *
Resolución
0
x
6
x
25
38x25x6x 2
22
=





+−+−⇒
Agrupando:
038
x
1
x25
x
1
x6x
2
22
=








+







+−







+⇒ .............. (α)
Realizando el cambio de variable en el corchete:
038)a(25)2a(6 2
=+−−
026a25a6 2
=+−⇒ Factorizando por aspa simple
⇒ (6a – 13)(a – 2) = 0
Reponiendo “x” y reemplazando en “α”
02
x
1
x13
x
1
x6x2
=





−+








−





+⇒
Efectuando:
0)1x2x)(6x13x6( 22
=+−+−
0)1x)(3x2)(2x3( 2
=−−−
Igualando a cero cada factor el C.S.=






1;
2
3
;
3
2
* También se puede factorizar por aspa doble especial
II. Si el Grado es Impar
• Se factoriza mediante el método de los divisores binómicos, evaluar para
x = 1 ∨ x = – 1
• Luego de obtener el factor lineal, el otro factor es un polinomio recíproco de grado par al
cual se le aplica el método para resolver la ecuación recíproca de grado par.
Ejemplo: Resolver:
06x29x27x27x29x6 2345
=+−++−
Resolución
Factorizando por divisores binómicos:
x+1 = 0
x = - 1
6 -29 27 27 -29
- 6 35 - 62 35
6 - 35 62 - 35 6
6
- 6
0
0)6x35x62x35x6)(1x( 234
=+−+−+⇒
Igualando cada factor a cero:
1x;01x −==+⇒
06x35x62x35x6 234
=+−+−

Aplicando el método para la ecuación recíproca de grado par; se obtiene:
0)3x10x3)(2x5x2( 22 =+−+−
Factorizando cada factor por aspa simple: (2x - 1)(x - 2)(3x - 1)(x - 3) = 0
Igualando a cero cada factor el conjunto solución final es:






−= 3;
3
1
;2;
2
1
;1.S.C
ECUACIÓN BICUADRADA
Se denomina así a las ecuaciones de cuarto grado que tienen la siguiente forma general:
0cbxax 24 =++ ; ∀ abc ≠ 0
Para resolver esta ecuación se factoriza o se utiliza la relación de la bicuadrada:
a2
ac4bb
x
2 −±−
±=
Ejemplo: Resolver: 016x73x36 24
=+−
Resolución
Factorizando por aspa simple: 0)16x9)(1x4( 22
=−−
Igualando cada factor a cero:
01x4 2
=− ⇒
4
1
x2
= ⇒
2
1
x ±=
016x9 2
=− ⇒
9
16
x2
= ⇒
3
4
x ±=
∴ C.S. =






−−
3
4
;
3
4
;
2
1
;
2
1
Ejemplo: Resolver: 01x3x 24 =+−
Resolución
Por la fórmula:
2
53
x1
+
=
2
53
x2
+
−=
2
53
x
±
±=
2
53
x3
−
=
2
53
x4
−
−=
Propiedades de: 0cbxax 24
=++
1. Las raíces de la ecuación bicuadrada son opuestas dos a dos es decir:
β−=β=α−=α= 4321 x;x;x;x
2. Suma de productos binarios
a
b
)(
a
b
xxxx 22
4321 =β+α−∨=+
3. Producto de raíces:
α
=βα∨=
c
.
a
c
xxxx 22
4321
Reconstrucción de la ecuación bicuadrada

0
raícesde
producto
x
binariosproductos
deSuma
x 24
=





+





+
Ejemplo: Formar la ecuación bicuadrada, dos de cuyas raíces son: - 3 y 2¡
Resolución
Por teoría sabemos que las otras dos son las opuestas:
Sean: 3x3x 21 =∧−=
i2xi2x 43 −=∧=
0)i4)(9(x)i49(x 2224
=−−+−−+⇒
0)4)(9(x)49(x 24
=−++−+⇒
∴ 036x5x 24
=−−
ECUACIONES FRACCIONARIAS
Son aquellas que se reducen a la forma:
0
)x(Q
)x(P
= ∀ Q(x) ≠ 0
Para resolver estas ecuaciones se debe restringir el denominador (diferente de cero), luego resolver la
ecuación y finalmente intersectar los conjuntos de valores obtenidos
Ejemplo: Resolver:
6x5x
x
2x
x
3x
2
2
+−
=
−
−
−
Resolución
Restringiendo: x - 3 ≠ 0 ∧ x - 2 ≠ 0
x ≠ 3 ∧ x ≠ 2 ............. (α)
Efectuando operaciones:
6x5x
x
6x5x
x3x4x2
22
2
+−
=
+−
+−−
04x4xxx4x5 22
=+−⇒=−−⇒
(x - 2)2
= 0 ∴ x = 2................ (β)
De α ∧ β: Vemos que x = 2 no satisface la ecuación:
∴ C.S. = ∅

PRÁCTICA DE CLASE
01. Determinar los números enteros p; q; r de manera que las ecuaciones:
0qpxxxx3x 2345
=++−+−
03rxxx3xx 2345
=++−−+
Tengan tres raíces comunes e indicar el valor de: p + q + r
a) 1 b) - 2 c) 5 d) - 7 e) – 9
02. Indicar una raíz de:
3
3
2
2
2
4
x
2
4
x
1
x
2
2
x
x
1
4
x
+=








−+








−
a) 34 − b) 2i2 + c) 3 d)
2
6
i
2
2
+ e) - 3
03. Indicar una de las soluciones de:
0edxcxbxax 234
=++++
Si: a + b = b + c + d = d + e
a) i b) i3
2
1
− c) i
2
3
1 − d) i
2
3
2
1
− e) - i
04. Resolver la ecuación bicuadrada:
0)2n(3x)9n4(x)2n5( 22442
=+++−+
Si el producto de raíces es igual a 1. Dar como respuesta la raíz de mayor valor absoluto
a) 2/ 3 b) 3 / 2 c) 2 d) 2/3 e) 3
05. Calcular los valores de “α” para que la ecuación: 062x)1(x 24
=−α+α−+ , tenga sólo
dos raíces reales
a) ]- ∞; 3[ b) ]- ∞; 5[ c) ]- ∞; +4[ d) ]3; +∞[ e) ]4; +∞[
06. Sea la ecuación de coeficientes enteros:
04cxbxx)2a(x 234 =++++−
Calcule:
cb
2a6
−
+
, si una de sus raíces es igual a: ;51 



 + “b” toma su mínimo valor
positivo
a) 1 b) - 1 c) 4 d) - 4 e) - 2
07. Indicar una raíz de: 01x4 4 =+
a) i
2
3
2
1
+ b) i
2
1
2
1
+ c) i
3
3
3
1
− d) 1 + i e) 1 – i
08. Luego de resolver: 





+=+ −
x
1
x2002xx 33
Podemos afirmar que:
a) x = 1 es una raíz b) x = - i no es una raíz
c) x = - 2002 es una raíz d) Sólo posee una raíz imaginaria
e) x = i es una raíz imaginaria
09. Si 21 xyx son las soluciones reales de la ecuación recíproca:
06bx)a5(x10x)3b(ax 234
=++−+−−+
Proporcione el valor de: 2x1x
21 )xx( +
a) 1 b) 2 c) 4 d) 9 e) 36
10. En la ecuación bicuadrada:
0a;0cbxax 24
≠=++ , de raíces { }4321 x;x;x;x
Si se cumple: a + c = 2b ∧ 22 c49a =
Calcular el valor de:
1
42
1
31 )()( −−
+= xxxxE ; Si 031 =+ xx
a) 3 b) - 4 c) 5 d) - 3 e) 3,5

01. Calcular una raíz de:
;0)1mx)(mx(m4)mx( 3222 =−−−−
m ∈ R ∧ m> 1
a)
m21
m2)1m(m
−
−+−
b)
m21
m2)1m(m
+
−+−
c)
m1
1m)1m(1
−
+−+
d)
m21
m2)1m(m
−
−+
e)
m21
m2)1m(m
+
−+
02. Luego de resolver:
01x22x33x44x5 3333 =−+−−−−−
Qué se puede afirmar de sus raíces:
a) Son reales y negativos b) Una es real y la otra es imaginaria
c) Son irracionales d) Son reales e iguales
e) Son dos números consecutivos
03. De las proposiciones:
I. De la ecuación: 8x9x 24 +− ; al resolver se obtienen sólo como raíces a 1 y 2
II. De la ecuación bicuadrada: 0CBxAx 24 =++ ; La suma de sus raíces es
A
B
−
III. En toda ecuación bicuadrada de coeficientes reales A; B; C; A ≠ 0 siempre existirán 4
raíces.
Son verdaderas:
a) Todas b) Sólo II c) I y II d) Sólo III e) I y III
04. Calcular la suma de raíces reales de:
43
42
6
)3x4()3x4(
)4x3()4x3(
33
44
=
−++
−−+
a) - 1 b) 0 c) 1 d) 3 e) 7
02345
=+++++ sRxQxPxNxMx
Donde: QP;RN;SM ===
Calcular la suma de sus raíces si dos de ellas son a y b (a ≠ b), si a + b = 10 ∧ ab = - 10
a) 3 b) - 2 c) 8 d) 1 e) 0
06. Luego de resolver: 15 435 x3xx2 =+
Si dos de sus raíces toman la forma: nm 2y2 , calcular m + n
a) 12 b) 13 c) – 5 d) 0 e) 15
07. La ecuación: 0k4mx5x5 =+− ; tiene una raíz “r” de multiplicidad 2. Calcular el valor de:
54
45
mk5
k2m
T
−
+
=
a) 1/2 b) 1/4 c) 4/3 d) 3/4 e) 5/4
08. Hallar la suma de las quintas potencias de las raíces de la ecuación: 03x4x7x 24 =−+−
a) 120 b) - 140 c) -110 d) 110 e) - 12
09. La ecuación bicuadrada:
04x)2p(x 24 =++− Tiene las raíces de la ecuación: 0qpxx 2 =++ , calcular “p” y
“q” sabiendo que son reales. Indicar pq
a) 2 b) 6 c) – 4 d) - 8 e) b y c
10. Al resolver:
++++++ −−−−−−
)ax)(cb()cx)(ba( 111111
)cba(2)bx)(ca( 111
++=++ −−−
Señale el denominador de la raíz obtenida:
a) a + b +c b) 1 c) - a - b – c d) ab + ac + bc e) abc

TAREA DOMICILIARIA
01. Indicar una raíz de la ecuación: 049 4
=+x
a)
2
i1 −
b)
2
)i21(3 +
c) i
2
3
d)
3
i1 +
e)
3
)i1(2 +−
02. Formar una ecuación bicuadrada cuyas raíces se pueden determinar a partir de:
16x 2 = ................ (1)
25x 2 = ................. (2)
a) 0400x31x 24 =−+ b) 0400x31x 24 =++ c) 0400x41x 24 =+−
d) 029x30x 24 =+− e) 036x13x 24 =++
03. Hallar el valor de “n” en la siguiente ecuación bicuadrada
0)3n(4x)25n(x 24 =−+−+
Si el producto de sus raíces es 36
a) 48 b) 6 c) 9 d) 12 e) 4
04. Sabiendo que x = c es una raíz de la ecuación:
0acx)bca(bxbcxx)acb(ax 2345 =+−−−−−+ ; a ≠ 0, ¿qué condición se debe
cumplir entre “a” y “b”, para que las otras raíces sean reales?
a) a + 2b ≥ 0 b) a + 2b2 ≥ 0 c) a ≥ 2b
d) b2a ≥ e) a2b ≥
05. Si 21 xyx son las soluciones reales de la ecuación recíproca:
06bx)a5(x10x)3b(ax 234 =++−+−−+
Proporcionar: 2x.1x
21 )xx( +
a) 2 b) 2 c) 4 d) 9 e) 25
06. Al resolver la ecuación recíproca:
03xxxxx3 2345 =−++−−
Una de sus raíces es:
a) - 1 b) i
2
3
2
1
+− c) i
2
3
2
1
−− d) i
8
11
6
5
+ e)
i
6
11
6
5
−−
07. Una raíz real de:
4
19
x
1
x4
x
1
x3
2
2 +





+=








+ Es:
a) 1,5 b) 2 c) 0,6 d) 1 e) 3/4
08. Resolver:
xx
4
1xx
2
2
2
+
=++ , dando enseguida la suma de sus soluciones enteras
a) - 3 b) - 2 c) – 1 d) 1 e) 2
09. En la ecuación polinomial:
0m4237x)9m4(x5xF 23
)x( =−++−−=
Sabiendo que sus raíces: 321 x;x;x satisfacen la condición:
38
2
1x
2
1x
2
1x
2
3
2
2
2
1
=




 +
+




 +
+




 +
Calcular el valor de m.
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

 Reconocer una ecuación polinomial e indicar la relación existente entre solución y raíz.
 Resolver ecuaciones de cualquier grado aplicando los teoremas y técnicas adecuadas.
COMENTARIO PREVIO
Al - Guarismi, el año 1 100 estudia ecuaciones del tipo:
ax 2
+ e = bx , ax2
+ bx = e , ax2
+ bx + c = d; etc y da soluciones para cada caso.
La época de oro de las matemáticas Italianas se da en el siglo XVI, con Scipiene del Ferro, Nicola
Tartaglia, Girolamo Cardano, Ludovico Ferrari, Frencois Viette, etc, quienes resolvieron las ecuaciones
de tercer y cuarto grado. Hecho de trascendental importancia en esa época.
La historia da cuenta de que el profesor Scipiene del Ferro logré resolver la ecuación de tercer grado
en 1515, pero no la dio a conocer siguiendo las normas científicas de su época. Aún así, confió sus
resultados a Antonio Fiore.
En 1541 Antonio Fiore se bate en duelo matemático con el profesor Nicola Trataglia para ver quién
resuelve la ecuación de tercer grado, saliendo vencedor este último.
Cardano quien era médico, adivino y matemático logra con tretas y promesas, que Tartaglia le hiciera
conocer la solución de la ecuación de tercer grado. El mismo año Cardano publica su libro “Arte
Mayor” en donde da la solución de la ecuación de tercer grado como suya y menciona que Tartaglia no
es sino un redescubridor ya que del Ferro había dado la primera prueba hace 30 años.
En la misma obra aparece la solución de la ecuación de cuarto grado, debido a Ludovico Ferrari,
discípulo de Cardano. Posteriormente se dieron otras pruebas tanto de la ecuación de tercer grado (F.
Viette) como de la ecuación de cuarto grado (R- Descartes)
Después de los rotundos éxitos de los matemáticos Italianos viene nuevamente un largo periodo de
estancamiento en la tarea de la solución de ecuaciones de quinto grado. Recién en 1825, el joven
matemático noruego Niels Henrick Abel demostró que la ecuación general de quinto grado no es
resoluble mediante la extracción de raíces y las operaciones aritméticas conocidas.
Por otro lado en 1929 Evaristo Galois, probaría que las ecuaciones de grado superior a cuatro no son
resolubles por radicales y dio las condiciones necesarias y suficientes para que una ecuación de
cualquier grado sea resoluble por radicales. Actualmente existen técnicas que permiten resolver
ecuaciones de cualquier grado.
CONTENIDO TEÓRICO:
ECUACIÓN POLONOMIAL EN UNA INCÓGNITA
Es aquella ecuación que tiene la siguiente forma general:
0axa...xaxaxaP n1-n
2-n
2
1-n
1
n
0(X) =+++++=
Donde: a0; a1; a2;.............. : an – 1 ; an
Son sus coeficientes
x es la incógnita
Si: a 0 ≠ 0, el grado de la ecuación es “n” (n ∈N)
Si: a 0 = 1, La ecuación es mónica.
RAIZ O CERO DE UN POLINOMIO
Dado el polinomio P(x). Se denomina raíz o cero del polinomio, al número “a” si y solo si el polinomio
P(x) es divisible entre (x - a).
El polinomio P(x) tiene una raíz de valor “a”
P(x) = (x - a) q(x)
Ejemplo:
Hallar las raíces de: P(x) = x3
– 6x2
+ 11x – 6
Resolución
Factorizando se tiene: P(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3)
Luego las raíces o ceros de P(x). Son: {1; 2; 3}
Observación:
Una manera práctica de hallar las raíces de un polinomio P(x), es formar la ecuación: P(x) = 0. Así:
P(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) = 0. CS = {1; 2; 3}
En este ejemplo las raíces del polinomio P(x) coinciden con las soluciones de la ecuación P(x) = 0, lo cual
no ocurrirá siempre.
Raíz de Multiplicidad “k”:
Dado el polinomio P(x) se denomina raíz de multiplicidad “k” (k ∈ Z+
) del polinomio P(x). Al número
“a”, si y sólo si el polinomio P(x) es divisible entre (x – a)k
, pero no es divisible entre (x – a)k+1
, es
decir si:
P(x) = x4
– x3
– 3x2
+ 5x – 2
Factorizando se tiene: P(x) = (x – 1)3
(x + 2)
ECUACIONES

Luego las raíces de P(x) son: {1; 1; 1; –2} y se dice que:
 “1” es una raíz de multiplicidad 3 (raíz triple)
 “2” es una raíz de multiplicidad 1 (raíz simple)
Formemos la ecuación:
P(x) =0 ⇒ P(x) = (x – l)3
(x + 2) = 0
⇒ (x – 1)3
= 0 ∨ x + 2 = 0
⇒ x = 1 ∨ x = – 2
Luego: CS {1; –2}
Observación:
La ecuación antes expuesta tiene 4 raíces y dos elemento en su conjunto solución.
Cuando un polinomio tiene raíces múltiples el número de raíces y el número de soluciones no
coincide.
Ejercicio:
En la ecuación polinomial:
x3
(x – 2)2
(x2
+ 9) (x + 3
3 ) = 0. Señale:
a) El número de raíces b) El número de soluciones c) Su conjunto solución
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA
Toda ecuación polinomial con cualquier tipo de coeficientes numéricos tiene por lo menos una raíz que
generalmente es compleja.
Corolario:
Toda ecuación polinomial de grado n > 1. Tiene exactamente “n” raíces complejas en general.
Luego dada la ecuación polinomial:
P(x) = a0 xn
+ a1xn – 1
+.......+ an–1x + an = 0: a0 ≠ 0
Se tiene: P(x) = a0(x – x1) (x – x2)...... (x – xn) = 0
Donde: {x1; x2; x3;..........; xn) son raíces de P(x)
TEOREMA DE CARDANO – VIETTE
Sea la ecuación polinomial:
P(x) = a0 xn
+ a1xn – 1
+ a2xn – 2
+...+ an – 1x + an = 0
a0 ≠ 0. Cuyas raíces son: {x1; x2; x3;............; xn}
Se cumple las siguientes relaciones
• Suma de Raíces:
S1 = x1 + x2 + x3 + ............ + xn = –
0
1
a
a
• Suma de Productos Binarios:
S2 = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 +...... + xn -1 xn = –
0
2
a
a
• Suma de Productos Ternarios:
S3 = x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + ...... + xn – 2 xn – 1 xn = –
0
3
a
a
• Producto de Raíces:
Sn = x1 x2 x3 .............. xn – 1 xn =(-1)n
0
n
a
a
Ejemplo:
01.En: 4x4
+ 3x3
– 2x2
+ 3x – 1 = 0
Calcular:
4
3
S
S
02.En: 3x5
+ 10x12
- 2x10
- 25x5
+ 15 = 0
Calcular: S10
TEOREMAS SOBRE LA ECUACIÓN POLINOMIAL
1. Toda ecuación polinomial de coeficientes racionales y de grado n ≥ 2. Que tenga una raíz de la
forma: “a + b ”, donde:
a y b ∈ Q (b > 0) ∧ b ∈ I ; tendrá como raíz necesariamente al número (a – b ).
2. Toda ecuación polinomial de coeficientes racionales y de grado n ≥ 4: que tenga una raíz de la
forma ba + , donde: a y b ∈ Q+
∧ Iab,b,a ∈. Tendrá como raíces
necesariamente a los números:

ba:ba:ba −−+−−
3. Toda ecuación polinomial de coeficientes reales y de grado n ≥ 2 que tenga una raíz compleja de
la forma, a + bi.
Donde a y b ∈ R (b ≠ 0). Tendrá necesariamente como raíz al complejo conjugado de dicha raíz
es decir otra raíz será: a – bi
Observación:
Q: conjunto de los números racionales
I: conjuntos de los números irracionales
Ejemplos:
 En la siguiente ecuación:
0baxx7xP 23
)x( =++−= . a, b ∈ Q
Hallar (a + b) si su raíz es: 3 + 5
 Formar la ecuación de menor grado posible sabiendo que una raíz es 35 + y además sus
coeficientes son racionales.
 Dadas la ecuación: x3
+ x2
+ mx + n = 0. m, n ∈ R
Donde: 1 + 7 i es una de las raíces.
Hallar 1a suma de coeficientes de la ecuación.
TRANSFORMACIONES DE ECUACIONES
Sea la ecuación polinomial:
0a:0axaxaxaxa on1n
2n
2
1n
1
n
o ≠=+++++ −
−−

Con raíces: {x1; x2; x3;................; xn} entonces:
1. La ecuación de raíces aumentados o disminuidos en un valor “k”, es decir con raíces:
{ }kx;;kx;kx;kx n321 ±±±±  Es:
( ) ( ) ( ) 0akxakxakxa n1n
1n
1
n
o =++++ −
−

Ejemplos:
 Halle la ecuación cuyas raíces son las de la ecuación:
x2
– 2x – 8 = 0, pero aumentadas en 1.
La ecuación es: (x – 1)2
– 2(x – 1) – 8 = O
 Encuentre la ecuación cuyas raíces son los de la ecuación x3
– 2x2
+ x – 5 = 0 disminuidas en 2.
La ecuación es:
(x + 2 )3
- 2(x + 2)2
+ (x + 2) - 5 = 0.
Efectuando se obtiene: x3
+ 4x2
+ 5x – 3 = 0. También se puede usar el siguiente método:
x = 2
1 - 2 1 - 5
↓ 2 0 2
x = 2
1 0 1 - 3
↓ 2 4
x = 2
1 2 5
↓ 2
1 4
Luego la ecuación es:
03x5x4x 23 =−++
• Encontrar la ecuación cuyas raíces son las de la ecuación: x5
– 3x3
+ 2x2
+ 1 = 0, disminuidas en 1.
2. La ecuación de raíces multiplicadas por un valor “k” (k ≠ 0); es decir con raíces:
0a
k
x
a
k
x
a
k
x
a n1n
1n
1
n
o =+





++





+





−
−

O también:
0kaxkaxkaxa n
n
2n2
2
1n1
1
n
o =++++ −− 
Ejemplos:
• Encuentre la ecuación, cuyas raíces son las de la ecuación: x2
– x – 6 = 0.
Multiplicadas por 2.
La ecuación es: x2
- 21
x - 22
. 6 = 0
024x2x 2 =−−
• Halle la ecuación cuyas raíces son las de la ecuación: x3
+ 2x2
- 5 x 6 = 0 multiplicadas por 3. La
ecuación es:

x3
+2 . 31
x2
+ 5 . 32
x - 6 . 33
= 0
x3
+ 6x2
- 45x - 162 =O
3. La ecuación de raíces invertidas es decir con raíces:






n321 X
1
;;
x
1
;
x
1
;
x
1
 Es:
0axaxa o
1n
1n
n
n =+++ −
− 
Ejemplo:
Dada la ecuación: x3
- 5x2
+ 7x + 2 = 0.
De raíces {a; b; c}, entonces la ecuación cuyas raíces son:






c
1
;
b
1
;
a
1
es 2x3
+ 7x2
- 5x + 1 =
0
TEOREMA DE BOLZANO
Dada la ecuación polinomial F(x) = 0. Donde F(x) es una función continua definida en [a; b]
Si F(a). F(b) < 0. Entonces existe al menos una solución real: x0 ∈ < a; b > / 0F )0x( =
F(b)
F(a) F
b
a x0
x
y
PRÁCTICA DE CLASE
01. Calcular la suma de las raíces de: x3
+ 2x2
= x – 1 .
a) 2 b) -2 c) 3 d) -1 e) 1
02. Calcular el producto de las raíces de: 2x3
+6x2
= 5x + 8 .
a) -1 b) -2 c) 4 d) -4 e) -6
03. Resolver la ecuación: x3
+ 2x2
– 11x = 12. E indicar una de sus raíces
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
04. Resolver la ecuación: x3
+ 2x2
– 15x - 36 = 0. E indicar su conjunto solución.
a) {-2;-2;3} b) {-3;-3;4} c) {-4;-4;5} d) {-5;-5;3} e) {-1;-1;4}
05. Si: x = 2 es una de las raíces de: P(x) = x3
+ 4x2
–7x + a, a ∈ ℜ. Indicar una de las otras dos raíces.
a) 1 b) 2 c) -3 d) 4 e) -5
06. Resolver: x3
– 5x2
– 2x + 6 = 0. E indicar la solución entera.
a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 3
07. Resolver: x(x2
+ 9x) = -23x – 15. E indicar la menor solución:
a) 2 b) -1 c) –5 d) -1/2 e) –3
08. Si x1; x2; x3 son las raíces de: P(x)= x3
+ 2x2
– 5x – 6. Además: x3 > x2 > x1 .
Calcular:
2
31
x
xx
P
+
=
a) -1 b) 1 c) -2 d) 3 e) 4
09. Sabiendo que a; b; c, son las raíces de: x3
+ 5x2
+2x = 3. Calcular:
c
1
b
1
a
1
R ++=
a) 1 b) 0 c) 2/3 d) 3/2 e) ¾

10. Sea la ecuación: 2x3
+ 3x2
= –4x + 3. Además: x1; x2; x3 son sus raíces.
Calcular: x1 x2 + x1 x3 + x2 x3
a) 1 b) 1/2 c) 2 d) 1/3 e) -1/3
11. Al resolver la ecuación: x3
+ 6x2
= –3x + 10. Indicar lo correcto
I. Presenta dos raíces enteras negativas
II. Posee una raíz real.
III. La menor raíz real es –5
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y III e) II y III
12. Si una raíz de: 4x3
– x2
–16x + 4 = 0. Es el negativo de la otra. Determinar la tercera raíz.
a) –1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 2/3 e) -1/2
13. Determinar el valor de “k” en: x3
+ 9x2
+ kx – 24 = 0.
Si: x1; x2; x3 son sus raíces, verificar: 3
2
xxxxxx 323121
=
++
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
14. Si: r1; r2; r3 son las raíces de la ecuación: 6x3
– 11x2
– 3x + 2 = 0
Calcular:
321 r
1
r
1
r
1
E ++=
a) 2/3 b) 3/2 c) –1/6 d) 1 e) –2
15. Hallar la relación que debe existir entre los coeficientes de la ecuación:
x3
+ cx2
+ bx + a = 0, si sus raíces suman uno:
a) 2/3 b) 3/2 c) –1/6 d) 1 e) – 2
01. Sean: x1; x2; x3 raíces de la ecuación: 2x3
– x + 5 = 0
Calcular: 321
1
3
1
xxx
3x
1x
+
−
+
a) 1 b) 2 c) -2 d) -3/2 e) 4/3
02. Sean: a, b, y c raíces de la ecuación: x3
– 4x2
+ 2x + 4 = 0
Calcular:
ab
c
ac
b
bc
a 222
++
a) 5 b) - 5 c) - 4 d) - 7 e) 2
03. En la ecuación: x3
- 63x + α = 0. Determinar un valor de α para que una de las raíces sea el doble
de otra.
a) 162 b) 180 c) 400 d) 800 e) N.A.
04. En la ecuación polinomial:
P(x) = x3
+(m +2) x2
+(m2
–3) x +m2
+2 = 0
De raíces x1 ; x2 ; x3. Calcular el valor de “m” de tal manera que la expresión:
A =
2
3
2
2
2
1
xxx ++ tenga el máximo valor.
a) l b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
05. Hallar la relación que debe existir entre los coeficientes de la ecuación:
ax3
+ bx2
+ cx + d = 0: a ≠ 0. Si una de sus raíces es el negativo de la otra.
a) ab = cd b) ac = bd c) ad = bc
d) a + b = c + d e) a + d = b + c
06. Sabiendo que: x = c es una raíz de la ecuación:
ax5
+ (b- ac)x4
- bcx3
- bx2
- (a- bc)x + ac= 0
(a>0). ¿Qué condición deben cumplir a; b y c para que las otras raíces sean reales?
a) |b| ≥ a b) |b| ≤ a c) |b| ≥ 2a d) |b| ≤ 2a e) 2 c = a + b

07. Indicar el menor valor que debe tener el grado del polinomio P(x). Con coeficientes reales, tal que:
(2 + 3 ) Sea una raíz simple, (3 + 2i) sea una raíz de multiplicidad 2 y ( 3 + 2 ) sea una
raíz triple.
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
08. Hallar un polinomio mónico P(x) con coeficientes enteros y de menor grado posible una de cuyas
raíces sea: 3
32 + . Indicar la suma de los coeficientes de este polinomio.
a) 34 b) 24 c) - 24 d) 62 e) - 34
09. Hallar el valor de “k” si las raíces de la ecuación: x3
- 9x2
+ kx - 24 = 0
Están en progresión aritmética.
a) 12 b) 13 c) 24 d) 26 e) 28
10. Sea el polinomio: F(x) = x3
+ 3x2
– 9
Además: F(m) = F(n) = F(p) = 0
Calcular: 







++
mn
p
mp
n
np
mF
a) - 5 b) - 1 c) 2 d) - 2 e) 4
11. Si: (2 + i) es una raíz de multiplicidad dos del siguiente polinomio:
P(x) = x5
+ ax4
+ bx3
+ cx2
+ dx + 25
Hallar: a + b + c + d. Además: a ; b ; c ; d ∈ R.
a) 17 b) 18 c) 19 d) -18 e) -17
12. La ecuación: x4
– 12x – 5 = 0. Contiene 2 raíces cuya suma es 2. Calcular la suma de las inversas
de las otras dos.
a) 0,2 b) 0,4 c) - 0,2 d) - 0,4 e) 5
13. Sea la ecuación polinomial:
P(x) = ax3
+ x2
+ x + b = 0: a ≠ 0
Determinar los valores de “a” de modo que P(x) admita una raíz real “r” de multiplicidad 2.
a) { }4
3
1
; −−∞−∈α b)
3
1
; −∞−∈α
c)
3
1
;∞−∈α
d) { }0
3
1
; −∞−∈α e) α ∈ R
+ mx3
+ 2x + n = 0 m ∧ n ∈ R; admite una raíz triple. Hallar: m2
+ n3
a) 3 b) 4 c) 5 d) - 3 e) -1
15. Se sabe que: x1 ; x2 y x3 son las raíces de la ecuación. x3
– x2
– 1 = 0. Encontrar una nueva
ecuación cuyas raíces son: x1 + x2 ; x2 + x3 ; x3 + x1
a) 01yy2y 23 =−+− b) 01yy2y 23 =++− c) 01yyy 23 =−−−
d) 01yy2y 23 =+−− e) 01yy2y 23 =−+−
16. ¿Cuál será la ecuación cúbica cuyas raíces sean el doble de los recíprocos de cada una de las
raíces de la ecuación polinomial?
Ax3
– Bx + C = 0 ; C ≠ 0
a) Cx3
- Bx + A = 0 b) Cx3
+ 2Bx2
+ 4A = 0 c) Cx3
+ 2Bx2
– 4A = 0
d) Cx3
– 2Bx2
+ 8A = 0 e) Ax3
– 2Bx + 4C = O
17. El producto de los coeficientes de la función polinomial de menor grado que pasa por los puntos:
(0; 0); (1; 1) ; (2; 0) y (3; -1) es:
a) -15/4 b) -14/9 c) 5/9 d) -15/9 e) -16/9
18. Sabiendo que: a b y c son raíces de la ecuación: x3
- 7x2
+ 5x + 6 = 0. Calcular:
M = (a + b - c)-1
+ (b + c - a)-1
+ (c + a - b)-1
a) 31/55 b) 9/55 c) 7/155 d) 29/155 e) 27/55
- 10a3
x2
+ b4
x + c5
= 0 tiene 3 raíces iguales. Hallar el valor de: ab4
- 9a5
a) c b) - c5
c) 0 d) c2
e) 1

20. Encontrar un polinomio mónico en "x" de coeficientes en Z que acepte a
33
32 − como raíz.
Hallar la suma de coeficientes de dicho polinomio.
a) 165 b) 168 c) 170 d) 174 e) 162
TAREA DOMICILIARIA
01. Si:
( )23
)x(
1x
1
F
−
= y además a, b y c son raíces de la ecuación: x3
- 3x - 1= 0.
Calcular S = F(a) + F(b) + F(c)
a) 1 b) 3 c) 1/3 d) 9 e) N.a.
02. Halle las raíces r1 , r2 , r3 , r4 de la ecuación:
4x4
- ax3
+ bx2
- cx + 5 = 0
a) 1/2 b) 1/4 c) 5/4 d) 1 e) N.a.
03. Halle las raíces r1 , r2 , r3 , r4 de la ecuación:
4x4
- ax3
+ bx2
- cx + 5 = 0
Sabiendo que son reales positivos y que:
1
8
r
5
r
4
r
2
r 4321
=+++
Indique el valor de: r4
a) 1/2 b) 1/4 c) 5/4 d) 1 e) 2
04.Sean a . b y c raíces de la ecuación: x3
+ px + q = 0 (a, b, c diferentes) expresar en términos de p y q
a: M=(a -b)2
(b - c)2
(a - c)2
a) 23 q27p4 + b) 23 q27p4 −− c) 43 q2p +
d) 23 q9p +− e) 23 q27p4 −
05. Sobre la ecuación:
P(x) = x5
+ ax4
+ bx3
+ cx2
+ dx + c = 0
Donde: 2a2
< 3b ∧ {a; b; c; d; e}⊂ R
Indicar verdadero (V) o falso (F)
I) Todas sus raíces son reales
II) Al menos dos raíces son complejas
III) Una raíz es real
a) VFF b) FFV c) FVF d) FFF e) VVV
06. Si: P(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)+(x - 2)(x - 4)
Indicar la alternativa más correcta:
a) Tiene 3 raíces reales
b) Tiene 3 raíces reales negativas
c) Tiene 3 raíces reales positivas
d) Tiene 2 raíces reales positivas y una es negativa
e) N.A
07. Formar la ecuación de menor grado posible con coeficientes racionales, en la que una de sus
raíces sea. 2i3 +
a) x4
– 2x2
+ 25 = 0 d) x4
+ 2x2
- 25 = 0
b) x4
+ 2x2
+ 25 = 0 e) x4
+ x2
+ 25 = 0
c) x4
+ 2x2
+ 5 = 0
08. Calcular la suma de las raíces de:
x3
+ 2x2
= x – 1
a) 2 b) –2 c) 3 d) – 1 e) 1
09. Calcular el producto de las raíces de:
2x3
+ 6x2
= 5x + 8
a) –1 b) –2 c) 4 d) – 4 e) –6
10. Resolver: x3
+ 2x2
– 11x = 12. E indicar una de sus raíces.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

SOLUCIONARIO
Nº
EJERCICIOS PROPUESTOS
01 02 03 04
01. C E A B
02. A C D D
03. C D D A
04. B B B B
05. E D C C
06. B C E C
07. B D D D
08. E B D E
09. E D E D
10. A A D A
11. D D
12. E D
13. E D
14. B A
15. D B
16. D
17. E
18. E
19. C
20. C
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL
copyright 2003

Algebra 5° 3 b

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