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MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS PARA INGENIEROS
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POLITEXT 92

Mecánica de medios
continuos para ingenieros

POLITEXT

Xavier Oliver Olivella
Carlos Agelet de Saracíbar Bosch

Mecánica de medios
continuos para ingenieros
Compilación:

Eduardo Vieira Chaves
Eduardo Car

EDICIONS UPC

Primera edición: septiembre de 2000
Segunda edición: enero de 2002

Diseño de la cubierta: Manuel Andreu

©

Los autores, 2000

©

Edicions UPC, 2000
Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL
Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona
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La Cup. Gran Capità s/n, 08034 Barcelona

Depósito legal: B-2.938-2002
ISBN: 84-8301-582-X
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3UHVHQWDFLyQ
(VWHWH[WRQDFHFRQODYRFDFLyQGHVHUXQDKHUUDPLHQWDSDUDODIRUPDFLyQGH
ORVLQJHQLHURVHQODPHFiQLFDGHPHGLRVFRQWLQXRV'HKHFKRHVHOIUXWRGHOD
H[SHULHQFLDGHPXFKRVDxRVHQODHQVHxDQ]DGHGLFKDGLVFLSOLQDHQOD(VFXHOD
GH,QJHQLHURVGHDPLQRVGHOD8QLYHUVLWDW3ROLWpFQLFDGHDWDOXQDWDQWRHQ
FXUVRV GH JUDGR WLWXODFLRQHV GH ,QJHQLHUtD GH DPLQRV DQDOHV 3XHUWRV H
,QJHQLHUtD*HROyJLFD

FRPRGHSRVWJUDGRFXUVRVGH0iVWHUGH'RFWRUDGR

$ GLIHUHQFLD GH RWURV WH[WRV GH LQWURGXFFLyQ D OD PHFiQLFD GH PHGLRV
FRQWLQXRV HO TXH DTXt VH SUHVHQWD HVWi HVSHFtILFDPHQWH RULHQWDGR D OD
LQJHQLHUtDLQWHQWDQGRPDQWHQHUXQDGHFXDGRHTXLOLEULRHQWUHODULJXURVLGDGGH
OD IRUPXODFLyQ PDWHPiWLFD XWLOL]DGD OD FODULGDG GH ORV SULQFLSLRV ItVLFRV
WUDWDGRV DXQTXH SRQLHQGR HQ WRGR PRPHQWR OR SULPHUR DO VHUYLFLR GH OR
VHJXQGR (Q HVWH VHQWLGR HQ ODV LPSUHVFLQGLEOHV RSHUDFLRQHV YHFWRULDOHV
WHQVRULDOHV VH XWLOL]DQ VLPXOWiQHDPHQWH WDQWR OD QRWDFLyQ LQGLFLDO GH PiV
XWLOLGDGSDUDODGHPRVWUDFLyQPDWHPiWLFDULJXURVD

FRPRODQRWDFLyQFRPSDFWD
HQ OD TXH VH YLVOXPEUD FRQ PiV FODULGDG OD ItVLFD GHO SUREOHPD

DXQTXH D
PHGLGDTXHVHDYDQ]DHQHOWH[WRH[LVWHXQDFODUDWHQGHQFLDKDFLDODQRWDFLyQ
FRPSDFWD HQ XQLQWHQWR GH IRFDOL]DU OD DWHQFLyQ GHO OHFWRU HQ OD FRPSRQHQWH
ItVLFDGHODPHFiQLFDGHPHGLRVFRQWLQXRV
(OFRQWHQLGRGHOWH[WRHVWiFODUDPHQWHGLYLGLGRHQGRVSDUWHVTXHVHSUHVHQWDQ
VHFXHQFLDOPHQWH (Q OD SULPHUD SDUWH FDStWXORV D

VH LQWURGXFHQ ORV
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PRYLPLHQWRGHIRUPDFLyQWHQVLyQHFXDFLRQHVGHFRQVHUYDFLyQEDODQFH

VH HVWXGLDQ IDPLOLDV HVSHFtILFDV GH PHGLRV
FRQWLQXRV FRPR VRQ ORV VyOLGRV ORV IOXLGRV HQ XQ SODQWHDPLHQWR TXH
FRPLHQ]D FRQ OD FRUUHVSRQGLHQWH HFXDFLyQ FRQVWLWXWLYD WHUPLQD FRQ ODV
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SOiVWLFRV

GH OD PHFiQLFD GH IOXLGRV UpJLPHQ ODPLQDU

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XQD EUHYH LQFXUVLyQ HQ ORV SULQFLSLRV YDULDFLRQDOHV SULQFLSLR GH ODV WUDEDMRV
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SDUWLGD HQ OD UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV GH PHFiQLFD GH PHGLRV FRQWLQXRV
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GHPHGLRVFRQWLQXRVHOVHJXQGRHVSHFtILFDPHQWHGHGLFDGRDODPHFiQLFDGH
VyOLGRVODPHFiQLFDGHIOXLGRV

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

)LQDOPHQWH ORV DXWRUHV TXLHUHQ H[SUHVDU VX DJUDGHFLPLHQWR DO ,QJHQLHUR
(GXDUGR 9LHLUD KDYHV DO 'U (GXDUGR DU SRU HO HVPHUDGR WUDEDMR GH
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SHUVRQDOHV GH ORV DXWRUHV $VLPLVPR GHVHDQ DJUDGHFHU DO 3URIHVRU 5DPyQ
RGLQDVXVRSRUWXQDVVXJHUHQFLDVFRUUHFFLRQHVVREUHODVSULPHUDVYHUVLRQHV
GHOWH[WR
%DUFHORQD6HSWLHPEUHGH
;DYLHU2OLYHU2OLYHOOD

DUORV$JHOHWGH6DUDFtEDU%RVFK


Índice

1

Descripción del movimiento
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14

2

Definición de medio continuo
Ecuaciones de movimiento
Descripciones del movimiento
Derivadas temporales: local, material, convectiva
Velocidad y aceleración
Estacionariedad
Trayectoria
Línea de corriente
Tubo de corriente
Línea de traza
Superficie material
Superficie de control
Volumen material
Volumen de control

1
1
5
7
9
12
13
15
17
18
20
22
23
24

Descripción de la deformación
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14

Introducción
Tensor gradiente de deformación
Desplazamientos
Tensores de deformación
Variación de las distancias:
Estiramiento. Alargamiento unitario
Variación de ángulos
Interpretación física de los tensores de deformación
Descomposición polar
Variación de volumen
Variación del área
Deformación infinitesimal
Deformación volumétrica
Velocidad de deformación
Derivadas materiales de los tensores de deformación
y otras magnitudes


25
25
28
30
33
36
38
42
44
46
47
56
58
62

2.15 Movimientos y deformaciones en coordenadas
cilíndricas y esféricas
3

Ecuaciones de compatibilidad
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5

4

Introducción
Ejemplo preliminar: Ecuaciones de compatibilidad
de un campo vectorial potencial
Condiciones de compatibilidad para las
deformaciones infinitesimales
Integración del campo de deformaciones
infinitesimales
Ecuaciones de compatibilidad e integración
del tensor velocidad de deformación

71
72
74
77
82

Tensión
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8

5

65

Fuerzas másicas y superficiales
Postulados de Cauchy
Tensor de tensiones
Propiedades del tensor de tensiones
Tensor de tensiones en coordenadas
curvilineas ortogonales
Círculo de Mohr en 3 dimensiones
Círculo de Mohr en 2 dimensiones
Círculos de Mohr para casos particulares

83
86
88
96
103
105
110
122

Ecuaciones de conservación-balance
5.1
5.2
5.3
5.4

Postulados de conservación-balance
Flujo por transporte de masa o flujo colectivo
Derivada local y derivada material
de una integral de volumen
Conservación de la masa. Ecuación de continuidad


125
125
129
134

5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13

6

Ecuación de balance. Teorema del transporte
de Reynolds
Expresión general de las ecuaciones de balance
Balance de la cantidad de movimiento
Balance del momento de la cantidad
de movimiento (momento angular)
Potencia
Balance de la energía
Procesos reversibles e irreversibles
Segundo principio de la termodinámica. Entropía
Ecuaciones de la mecánica
de medios continuos. Ecuaciones constitutivas

136
138
141
143
146
151
157
159
166

Elasticidad lineal
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13

Hipótesis de la Teoría de la Elasticidad Lineal
Ecuación constitutiva elástica lineal.
Ley de Hooke generalizada
Isotropía - Constantes de Lamé- Ley de Hooke
para elasticidad lineal isótropa
Ley de Hooke en componentes esféricas
y desviadoras
Limitaciones en los valores de las
propiedades elásticas
Planteamiento del problema elástico lineal
Resolución del problema elástico lineal
Unicidad de la solución del problema elástico lineal
Principio de Saint-Venant
Termoelasticidad lineal. Tensiones
y deformaciones térmicas
Analogías térmicas
Principio de superposición en
termoelasticidad lineal
Ley de Hooke en función de los “vectores”
de tensión y deformación


169
171
174
176
178
180
185
188
193
195
198
208
212

7

Elasticidad lineal plana
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6

8

8.7
8.8

226

Introducción
Nociones previas
Espacio de tensiones principales
Modelos reológicos de fricción
Comportamiento fenomenológico elastoplástico
Teoría incremental de la plasticidad
en una dimensión
Plasticidad en tres dimensiones
Superficies de fluencia. Criterios de fallo

233
233
237
242
251
253
260
261

Ecuaciones constitutivas en fluidos
9.1
9.2
9.3
9.4

10

215
215
219
222
223

Plasticidad
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6

9

Introducción
Estado de tensión plana
Deformación plana
El problema elástico lineal en elasticidad bidimensional
Problemas asimilables a elasticidad bidimensional
Curvas representativas de los estados
planos de tensión

Concepto de presión
Ecuaciones constitutivas en mecánica de fluidos
Ecuaciones constitutivas (mecánicas)
en fluidos viscosos
Ecuaciones constitutivas (mecánicas)
en fluidos newtonianos

273
276
277
277

Mecánica de fluidos
10.1 Ecuaciones del problema de mecánica de fluidos


285

10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
11

Hidrostática. Fluidos en reposo
Dinámica de fluidos:fluidos perfectos barotrópicos
Dinámica de fluidos:fluidos viscosos (newtonianos)
Condiciones de contorno en la mecánica de fluidos
Flujo laminar y flujo turbulento

287
293
303
309
313

Principios variacionales
11.1 Preliminares
11.2 Principio (Teorema) de los trabajos virtuales
11.3 Energía potencial. Principio de minimización
de la energía potencial

317
323

Bibliografía

331


328

1 Descripción del
movimiento
1.1 Definición de medio continuo
Se entiende por Medio Continuo un conjunto infinito de partículas (que forman
parte, por ejemplo, de un sólido, de un fluido o de un gas) que va a ser
estudiado macroscópicamente, es decir, sin considerar las posibles
discontinuidades existentes en el nivel microscópico (nivel atómico o
molecular). En consecuencia, se admite que no hay discontinuidades entre las
partículas y que la descripción matemática de este medio y de sus propiedades
se puede realizar mediante funciones continuas.

1.2 Ecuaciones del movimiento
La descripción más elemental del movimiento del Medio Continuo puede
llevarse a cabo mediante funciones matemáticas que describan la posición de
cada partícula a lo largo del tiempo. En general, se requiere que éstas
funciones y sus derivadas sean continuas.
Se supone que el medio continuo está formado por infinitas partículas (puntos
materiales) que ocupan diferentes posiciones del espacio físico durante su
movimiento a lo largo del tiempo (ver Figura 1-1). Se define como configuración
del medio continuo en el instante t, que se denota por Ω t , el lugar geométrico
de las posiciones que ocupan en el espacio los puntos materiales (partículas) del
medio continuo en dicho instante.
Definiciones:
Punto espacial: Punto fijo en el espacio.
Punto material: Una partícula. Puede ocupar distintos puntos espaciales
en su movimiento a lo largo del tiempo.
Configuración: Lugar geométrico de las posiciones que ocupan en el
espacio las partículas del medio continuo para un cierto instante t.
N O T A

En general se tomará el
instante t 0 = 0 como
instante de referencia.

A un cierto instante t = t 0 del intervalo de tiempo de interés se le denomina
instante de referencia y a la configuración en dicho instante Ω 0 se la denomina
configuración inicial, material o de referencia.


1 Descripción del movimiento

2

N O T A C I Ó N

Se utilizarán
indistintamente las
notaciones ( X , Y , Z )

Consideremos ahora el sistema de coordenadas cartesianas ( X , Y , Z ) de la
ˆ ˆ ˆ
Figura 1-1 y la correspondiente base ortonormal (e1 , e 2 , e 3 ) . En la
configuración de referencia Ω 0 el vector de posición X de una partícula que
ocupa un punto P en el espacio (en el instante de referencia) viene dado por:

y ( X 1 , X 2 , X 3 ) para
designar al sistema de
coordenadas
cartesianas.
N O T A C I Ó N

En el resto de este
texto se utilizará la
notación de Einstein o de
índices repetidos. Toda
repetición de un índice en un
mismo monomio de una
expresión algebraica supone
el sumatorio respecto a dicho
índice. Ejemplos:
i =3

t = t0

X3, Z

ˆ
e3

X

Ω0
t0
Ωt
t

t

P

Ω0

Ωt

x

(1.1)

– Configuración de referencia
– Instante de referencia
– Configuración actual
– Instante actual

P’

not

ˆ
ˆ
∑ X iei = X iei
i =1
k =3

∑ a ik bkj
=
k 1
i =3 j =3
i =1 j =1

ˆ
e1

ˆ
e2

X 2 ,Y

not

= aik bkj

∑∑ aij bij

X1, X

not

= a ij bij

N O T A C I Ó N

Se distingue aquí entre
el vector (ente físico)
X y su vector de
componentes [X].
Frecuentemente se
obviará esta distinción
N O T A C I Ó N

Siempre que sea
posible, se denotará
con letras mayúsculas a
las variables que se
refieran a la
configuración de
referencia Ω 0 y con
letras minúsculas a las
variables referidas a la
configuración actual

Ωt

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
X = X 1e1 + X 2 e 2 + X 3 e 3 = X i e i

Figura 1-1 – Configuraciones del medio continuo
donde a las componentes ( X 1 , X 2 , X 3 ) se las denomina coordenadas materiales
(de la partícula).
X1 
[X] =  X 2 
 
X 
 3

def

= coordenadas materiales

(1.2)

En la configuración actual Ω t , la partícula situada originalmente en el punto
material P (ver Figura 1-1) ocupa el punto espacial P' y su vector de posición
x viene dado por:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
x = x1e1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 = xi e i

(1.3)

donde a ( x1 , x 2 , x 3 ) se las denomina coordenadas espaciales de la partícula en el
instante de tiempo t .
 x1 
[x] =  x 2 
 
x 
 3

def

= coordenada s espaciales


(1.4)

3


El movimiento de las partículas del medio continuo puede describirse ahora
por la evolución de sus coordenadas espaciales (o de su vector de posición) a lo
largo del tiempo. Matemáticamente esto requiere conocer una función que para
cada partícula (identificada por una etiqueta) proporcione sus coordenadas
espaciales xi (o su vector de posición espacial x ) en los sucesivos instantes de
tiempo. Como etiqueta que caracteriza unívocamente a cada partícula pueden
elegirse sus coordenadas materiales X i obteniéndose las ecuaciones del movimiento:
N O T A C I Ó N

not

x = ϕ (partícula, t ) = ϕ(X, t ) = x(X, t )

Con un cierto abuso de
la notación se va a
confundir
frecuentemente la
función con su imagen.
Así las ecuaciones de
movimiento se
escribirán a menudo
como x = x ( X, t ) y

que proporcionan las coordenadas espaciales en función de las materiales, y las
ecuaciones del movimiento inversas:

sus inversas como
X = X ( x, t ) .

que proporcionan las coordenadas materiales en función de las espaciales.

(1.5)

1
xi = ϕ i (X 1 , X 2 , X 3 , t ) i ∈ { ,2,3}

not

X = ϕ −1 (x, t ) = X( x, t )
X i = ϕi

−1

(x1 , x2 , x3 , t )

(1.6)

1
i ∈ { ,2,3}

Observación 1-1
Hay diferentes alternativas para elegir la etiqueta que caracteriza una
partícula, aunque la opción de tomar sus coordenadas materiales es la
más común. Cuando las ecuaciones del movimiento vienen dadas en
función de las coordenadas materiales como etiqueta (como en la
ecuación (1.5)), se hablará de las ecuaciones de movimiento en forma canónica.
Existen ciertas restricciones matemáticas para garantizar la existencia de ϕ y de
ϕ −1 así como su correcto significado físico. Estas restricciones son:

•
•
•

•

ϕ(X,0) = X puesto que, por definición, X es el vector de posición en el
instante de referencia t = 0 (condición de consistencia).
ϕ ∈ C 1 ( la función ϕ es continua y con derivadas continuas en cada punto

e instante).
ϕ es biunívoca (para garantizar que dos partículas no ocupan
simultáneamente el mismo punto del espacio y que una partícula no ocupa
simultáneamente dos puntos distintos del espacio).
 ∂ ϕ(X, t )

 ∂X 

El Jacobiano de la transformación J = det 

not

=

∂ϕ(X, t )
0.
∂X

La interpretación física de esta condición (que se estudiará más adelante) es que
todo volumen diferencial ha de ser siempre positivo, o utilizando el principio de
conservación de la masa (que se verá más adelante), la densidad de las partículas ha
de ser siempre positiva.



4

R E C O R D A T O R I O

Se define el operador
de dos índices Delta de
Kronecker

not

= δ ij

como:

0 i ≠ j
δ ij = 
1 i = j

El tensor unidad 1 de
segundo orden se
define entonces como

Observación 1-2
En el instante de referencia t = 0 resulta x(X, t ) t =0 = X . En
consecuencia x = X , y = Y , z = Z son las ecuaciones del
movimiento en el instante de referencia y el Jacobiano en dicho
instante resulta ser:
J (X,0) =

 ∂x
∂ ( xyz )
= det  i
∂( XYZ )
 ∂X j



 = det δ ij = det 1 = 1



[ ]

[1]ij = δ ij

Observación 1-3
La expresión x = ϕ(X, t ) , particularizada para un valor fijo de las
coordenadas materiales X , proporciona la ecuación de la trayectoria de
la partícula (ver Figura 1-2).

tn
t1

X3, Z
t0

(X 1 , X 2 , X 3 )

ˆ
e3
ˆ
e1

trayectoria

ˆ
e2

X 2 ,Y

X1, X

Figura 1-2 – Trayectoria de una partícula
Ejemplo 1-1 – La descripción espacial del movimiento de un medio continuo viene dada
por:
 x1 = X 1 e 2 t
 x = X e 2t




x(X , t ) ≡  x 2 = X 2 e −2 t
≡  y = Y e −2 t


2t
2t
z = 5 X t + Z e
 x3 = 5 X 1 t + X 3 e



Obtener las ecuaciones del movimiento inversas.
El determinante del Jacobiano resulta:



∂x i
J=
∂X j

∂x1
∂X 1
∂x
= 2
∂X 1
∂x 3
∂X 1

∂x1
∂X 2
∂x 2
∂X 2
∂x 3
∂X 2

∂x1
∂X 3 e 2 t
∂x 2
= 0
∂X 3
5t
∂x 3
∂X 3

0
e

−2 t

0

5

0
0 = e 2t ≠ 0
e 2t

La condición suficiente (aunque no necesaria) para que la función x = ϕ( X, t )
sea biunívoca (que exista la inversa) es que el determinante del Jacobiano de la
función no sea nulo. Además puesto que el Jacobiano es positivo, el
movimiento tiene sentido físico. Por lo tanto, la inversa de la descripción
espacial dada existe y viene dada por:

x1e −2 t
X1  


 
−1
2t
X = ϕ (x, t ) ≡  X 2  = 
x2 e

 X   x e −2 t − 5tx e − 4 t 
1
 3  3


1.3 Descripciones del movimiento
La descripción matemática de las propiedades de las partículas del medio
continuo puede hacerse mediante dos formas alternativas: la descripción
material (generalmente utilizada en Mecánica de Sólidos) y la descripción espacial
(utilizada generalmente en Mecánica de Fluidos). Ambas descripciones se
diferencian esencialmente por el tipo de argumento (coordenadas materiales o
coordenadas espaciales) que aparece en las funciones matemáticas que
describen las propiedades del medio continuo.
1.3.1 Descripción material
N O T A

La literatura sobre el
tema suele referirse
también a la
descripción material
como descripción
lagrangeana .

En la descripción material se describe cierta propiedad (por ejemplo la
densidad ρ ) mediante cierta función ρ (•, t ): R 3 × R + → R + donde el argumento
(•) en ρ (•, t ) son las coordenadas materiales. Es decir:
ρ = ρ (X, t ) = ρ (X 1 , X 2 , X 3 , t )

(1.7)

Obsérvese que si se fijan los tres argumentos X ≡ ( X 1 , X 3 , X 3 ) de la ecuación
(1.7) se está siguiendo a una partícula determinada (ver Figura 1-3a), de ahí
proviene la denominación de descripción material
1.3.2 Descripción espacial

N O T A

Suele denominarse
también a la
descripción espacial
como descripción
euleriana.

En la descripción espacial la atención se centra en un punto del espacio. Se
describe la propiedad como una función ρ(•, t ): R 3 × R + → R + del punto del
espacio y del tiempo:
ρ = ρ(x, t ) = ρ(x1 , x 2 , x 3 , t )

(1.8)

de tal forma que al asignar un cierto valor al argumento x en ρ = ρ(x, t ) se
obtiene la evolución de la densidad para las distintas partículas que van pasando



6

por dicho punto del espacio a lo largo del tiempo (ver Figura 1-3b). Por otro
lado, al fijar el argumento tiempo en la ecuación (1.8) se obtiene una
distribución instantánea (como una fotografía) de la propiedad en el espacio. Es
evidente que las ecuaciones del movimiento directas e inversas permiten pasar
de una descripción a otra de la forma:
ρ (x, t ) = ρ (x ( X , t ), t ) = ρ (X , t )
ρ (X, t ) = ρ (X ( x, t ), t ) = ρ (x, t )

(1.9)
b)

a)

(X

X3, Z

*

(x , y , z )

,Y * ,Z * )

*

X 3, Z

t =2

t =0

*

*

t =0
t =1
t =2

t =1
X 2 ,Y
X1, X

X1, X

Figura 1-3– Descripción material y espacial de una propiedad
Ejemplo 1-2 – Sean las siguientes ecuaciones del movimiento:
 x = X − Yt

x = x (X , t ) ≡  y = Xt + Y
 z = − Xt + Z


Obtener la descripción espacial de la propiedad descrita materialmente mediante
ρ (X,Y,Z,t ) =

X +Y + Z
1+t2

Las ecuaciones del movimiento están dadas en forma canónica, ya que en la
x = X

configuración de referencia Ω 0 se obtiene: x = X(X,0 ) =  y = Y
z = Z


El Jacobiano resulta: J =

∂x i
∂X j

∂x
∂X
∂y
=
∂X
∂z
∂X

∂x
∂Y
∂y
∂Y
∂z
∂Y

∂x
∂Z
1 −t 0
∂y
1 0 =1+ t 2 ≠ 0
= t
∂Z
−t 0 1
∂z
∂Z

y las ecuaciones del movimiento inversas están dadas por:


7


Si

ahora

ρ (X,Y,Z,t) =

se


x + yt
X =
1+ t2

y − xt

X( x, t ) ≡ Y =
1+ t2


z + zt 2 + xt + yt 2
Z =
1+ t2


considera

la

descripción

material

de

la

propiedad

X +Y +Z
es posible hallar su descripción espacial sustituyendo en
1+ t2

ella las ecuaciones del movimiento inversas. Es decir:
ρ (X,Y,Z,t ) ≡

x + yt + y + z + zt 2 + yt 2

(1 + t )

2 2

= ρ (x,y,z,t )

1.4 Derivadas temporales: local, material,
convectiva
La consideración de las distintas descripciones (material y espacial) de las
propiedades del medio continuo lleva a diversas definiciones de las derivadas
temporales de dichas propiedades. Consideremos una cierta propiedad y sus
descripciones material y espacial:
Γ(X, t ) = γ (x, t )

(1.10)

donde el paso de la descripción espacial a la material y viceversa se hace a
través de las ecuaciones del movimiento (1.5) y (1.6).
Definiciones:
N O T A C I Ó N

La notación

∂(•, t ) se
∂t

entiende en el sentido
clásico de derivada
parcial respecto a la
variable t .

Derivada local: La variación de la propiedad respecto al tiempo en un
punto fijo del espacio. Si se dispone de la descripción espacial de la
propiedad, γ (x, t ) , dicha derivada local puede escribirse
matemáticamente como:
not

derivada local =

∂γ ( x, t )
∂t

Derivada material: La variación de la propiedad respecto al tiempo
siguiendo una partícula (punto material) específica del medio
continuo. Si se dispone de la descripción material de la propiedad,
Γ( X, t ) , dicha derivada material puede describirse matemáticamente
como:
not

derivada material =

∂Γ( X , t )
d
Γ=
∂t
dt



8

Sin embargo, si se parte de la descripción espacial de la propiedad γ ( x, t ) y se
consideran implícitas en la misma las ecuaciones del movimiento:
γ ( x, t ) = γ ( x( X, t ), t ) = Γ( X, t )

(1.11)

puede obtenerse la derivada material (siguiendo a una partícula) a partir de la
descripción espacial, como:
not

derivada material =
N O T A C I Ó N

En la literatura se
utiliza frecuentemente

(•) como
Dt
(•) .
alternativa a d
dt
la notación D

∂Γ(X, t )
d
γ (x(X, t ), t ) =
∂t
dt

(1.12)

Desarrollando la ecuación (1.12) se obtiene:
dγ(x(X, t ), t ) ∂γ( x, t ) ∂γ ∂x i ∂γ (x, t ) ∂γ ∂x
=
+
=
+
⋅
∂t
∂x i ∂t
∂t
∂x !
∂t
dt

(1.13)

v (x,t )

donde se ha considerado la definición de la velocidad como la derivada
respecto al tiempo de las ecuaciones de movimiento (1.5),
∂x( X, t )
= V ( X(x, t ), t ) = v( x, t )
∂t

(1.14)

La obtención de la derivada material a partir de la descripción espacial puede
generalizarse para cualquier propiedad χ (x, t ) (de carácter escalar, vectorial o
tensorial):
N O T A C I Ó N

Se considera aquí la
forma simbólica del
operador Nabla espacial:

∇≡

∂
ei
ˆ
∂x i

d χ ( x, t )
% $
dt #

derivada material

=

∂χ ( x, t )
% $
∂t #

derivada local

+

v ( x, t ) ⋅ ∇χ ( x, t )
%
$
#

(1.15)

derivada convectiva

Observación 1-4
La ecuación (1.15) define implícitamente la derivada convectiva v ⋅ ∇(• )
como la diferencia entre las derivadas material y local de la propiedad.
El término convección se aplica en Mecánica de Medios Continuos a
fenómenos relacionados con el transporte de masa (o de partículas).
Obsérvese que si no hay convección ( v = 0 ) la derivada convectiva
desaparece y las derivadas local y material coinciden.

Ejemplo 1-3 – Dada la siguiente ecuación del movimiento
 x = X + Yt + Zt

 y = Y + 2 Zt
 z = Z + 3 Xt


y la descripción espacial de una propiedad
material.

ρ(x, t ) = 3 x + 2 y + 3t , calcular su derivada

La descripción material de la propiedad se obtiene reemplazando las
ecuaciones del movimiento en la expresión espacial:
ρ (X,Y,Z,t ) = 3(X + Yt + Zt ) + 2(Y + 2 Zt ) + 3t = 3 X + 3Yt + 7 Zt + 2Y + 3t


9

La derivada material puede obtenerse en primera instancia como la derivada
respecto al tiempo en la descripción material, es decir:
∂ρ
= 3Y + 7Z + 3
∂t

Otra alternativa para el cálculo de la derivada material es utilizar el concepto de
derivada material de la descripción espacial de la propiedad:
∂ρ
=3
∂t

dρ ∂ρ
=
+ v ⋅ ∇ρ
dt ∂t
∂x
v=
= (Y + Z, 2 Z, 3 X )T
∂t

3
∇ρ = { ,2,0}T

Reemplazando en la expresión del operador derivada material se tiene:
dρ
= 3 + 3Y + 7 Z
dt

Obsérvese que las expresiones de la derivada material de la propiedad
obtenidas a partir de la descripción material,

∂ρ
, o de la descripción espacial,
∂t

dρ
, coinciden.
dt

1.5 Velocidad y aceleración
Definición:
Velocidad: Derivada temporal de las ecuaciones del movimiento.
La descripción material de la velocidad viene dada, en consecuencia, por:
∂x(X, t )
∂t
∂x (X, t )
Vi (X, t ) = i
∂t

V (X, t ) =

i ∈{1, 2,3}

(1.16)

y si se dispone de las ecuaciones inversas del movimiento X = ϕ −1 (x, t ) es
posible obtener la descripción espacial de la velocidad como:
v (x, t ) = V ( X( x, t ), t )

(1.17)

Definición:
Aceleración: Derivada material del campo de velocidades.
Si se tiene la velocidad descrita en forma material, se puede hallar la
descripción material de la aceleración como:



10

∂V (X, t )
∂t
∂V (X, t )
A i (X, t ) = i
∂t

A (X, t ) =

(1.18)

y a través de las ecuaciones inversas del movimiento X = ϕ −1 (x, t ) , se puede
pasar a la descripción espacial a(x, t ) = A(X(x, t ), t ). Como alternativa, si se
dispone de la descripción espacial de la velocidad, puede obtenerse
directamente la descripción espacial de la aceleración aplicando la ecuación
(1.15) para obtener la derivada material de v(x, t ) :
a(x, t ) =

dv (x, t ) ∂v(x, t )
=
+ v (x, t ) ⋅ ∇v(x, t )
∂t
dt

(1.19)

Ejemplo 1-4 – Considérese un sólido, ver Figura 1-4, que gira con velocidad angular ω
constante y que tiene como ecuación del movimiento:
 x = R sin(ωt + φ)

 y = R cos (ωt + φ)

Hallar la velocidad y la aceleración del movimiento descritas en forma material y espacial.
t =0

Y

P
t

R

φ

P’

ωt

R
Figura 1-4

X

Las ecuaciones del movimiento pueden reescribirse como:
x = R sin(ωt + φ) = R sin(ωt )cos φ + R cos(ωt ) sinφ
y = R cos(ωt + φ) = R cos (ωt ) cos φ − R sin(ωt ) sinφ
 X = R sinφ
, las formas canónicas de la ecuación del
Y = R cosφ

y, ya que para t = 0 ⇒ 

movimiento y de su inversa quedan:

 x = X cos (ωt ) + Y sin(ωt )

 y = − X sin (ωt ) + Y cos (ωt )

 X = x cos (ωt ) − y sin(ωt )

Y = x sin(ωt ) + y cos(ωt )

a.1) Velocidad en descripción material
∂x

= − X ω sin(ωt ) + Y ω cos (ωt )
V =
∂x(X, t )  x ∂t

≡
V (X, t ) =
∂t
V = ∂y = − X ω cos (ωt ) − Y ω sin (ωt )
 y ∂t



11

a.2) Velocidad en descripción espacial
Sustituyendo los valores x e y dados en la forma canónica vista anteriormente,
es posible obtener la forma espacial de la velocidad como:

∂x

 v x = ∂t = ω y   ω y 


v(x, t ) = 

=
 v = ∂y = − ω x  − ω x 
 y ∂t




b.1) Aceleración en descripción material:
A (X, t ) =

∂V (X, t )
∂t


 ∂v x
2
2
 ∂t = − Xω cos(ωt ) − Yω sin(ωt )


2  X cos(ωt ) + Ysin(ωt ) 
A (X , t ) = 
=−ω 

− Xsin(ωt ) + Y cos(ωt )
 ∂v y = Xω 2 sin(ωt ) − Yω 2 cos(ωt ) 


 ∂t


b.2) Aceleración en descripción espacial:
Sustituyendo las ecuaciones del movimiento inversas en la ecuación anterior:
a x = −ω 2 x 


a(x, t ) = A( X( x, t ), t ) ≡ 
2 
a y = − ω y 



Esta misma expresión podría ser obtenida si se considera la expresión de la
velocidad v (x, t ) y la expresión de la derivada material en (1.15):
dv(x, t ) ∂v(x, t )
=
+ v (x, t ) ⋅ ∇v(x, t ) =
a(x, t ) =
dt

∂t

∂
 ∂x 
∂  ωy 
= 
 + [ωy − ωx ]  ∂  [ωy − ωx ] =
∂t − ωx 
 
 ∂y 
 
∂
∂

 ∂x (ωy ) ∂x (− ωx ) − ω 2 x 
0


=   + [ωy − ωx ]  ∂
=  2 
∂
0

 (ωy )
(− ωx ) − ω y 


∂y
 ∂y




Obsérvese que el resultado obtenido por los dos procedimientos es idéntico.



12

1.6 Estacionariedad
Definición:
Una propiedad es estacionaria cuando su descripción espacial no
depende del tiempo.
De acuerdo con la definición anterior y con el concepto de derivada local, toda
propiedad estacionaria tiene su derivada local nula. Por ejemplo, si la velocidad
para un cierto movimiento es estacionaria, puede ser descrita espacialmente
como:
v(x, t ) = v (x ) ⇔

∂v(x, t )
=0
∂t

(1.20)

Observación 1-5
La independencia del tiempo de la descripción espacial
(estacionariedad) supone que para un mismo punto del espacio la
propiedad en cuestión no varía a lo largo del tiempo. Esto no implica
que, para una misma partícula, la propiedad no varíe con el tiempo (la
descripción material puede depender del tiempo). Por ejemplo, si la
velocidad v (x, t ) es estacionaria
⇒ v (x, t ) ≡ v(x ) = v(x( X, t ) ) = V ( X, t )
luego la descripción material de la velocidad depende del tiempo. Para
un caso de densidad estacionaria (ver Figura 1-5) ocurrirá que para
dos partículas de etiquetas X 1 y X 2 que varían su densidad a lo largo
del tiempo, al pasar por un mismo punto espacial x (en dos instantes
distintos t1 y t 2 ) tomarán el mismo valor de la densidad
( ρ (X1 , t1 ) = ρ (X 2 , t 2 ) = ρ(x ) . Es decir, para un observador situado en
el exterior del medio, la densidad en el punto fijo del espacio x será
siempre la misma
Y
X

1

ρ(x )

x
X

2

X
Figura 1-5– Movimiento con densidad estacionaria



13

Ejemplo 1-5 – En el Ejemplo 1-4 se tiene un campo de velocidades cuya
ω y
 . Es decir, se trata de un caso en que la
−ωx 


descripción espacial es: v(x ) ≡ 

descripción espacial de la velocidad no depende del tiempo y la velocidad es
estacionaria. Es evidente que esto no implica que la velocidad de las partículas
(que tienen un movimiento de rotación uniforme respecto al origen, con velocidad
angular ω ) no dependa del tiempo (ver Figura 1-6). La dirección del vector
velocidad para una misma partícula es tangente a su trayectoria circular y va
variando a lo largo del tiempo.
t0

P

Y
φ

v0

R
ωt

t

P’
R

vt

X
Figura 1-6
La aceleración (derivada material de la velocidad) aparece por el cambio de la
dirección del vector velocidad de las partículas y es conocida como aceleración
centrípeta:
a(x ) =

dv(x ) ∂v (x )
=
+ v(x ) ⋅ ∇v(x ) = v(x ) ⋅ ∇v (x )
∂t
dt

1.7 Trayectoria
Definición:
Trayectoria: Lugar geométrico de las posiciones que ocupa una
partícula en el espacio a lo largo del tiempo.
La ecuación paramétrica en función del tiempo de una trayectoria se obtiene
particularizando las ecuaciones del movimiento para una determinada partícula
(identificada por sus coordenadas materiales X * , ver Figura 1-7):
x(t ) = ϕ(X, t )

X = X*

(1.21)

Dadas las ecuaciones del movimiento x = ϕ(X, t ), por cada punto del espacio
pasa una trayectoria caracterizada por el valor de la etiqueta (coordenadas
materiales) X . Las ecuaciones del movimiento definen entonces una familia de
curvas cuyos elementos son las trayectorias de las diversas partículas.


14

Y

t

t0

x

X*

X
Figura 1-7 – Trayectoria de una partícula
1.7.1 Ecuación diferencial de las trayectorias
Dado el campo de velocidades en descripción espacial v(x, t ) , es posible
obtener la familia de trayectorias planteando el sistema de ecuaciones
diferenciales que impone que, en cada punto del espacio x , el vector velocidad
sea la derivada respecto al tiempo de la ecuación paramétrica de las trayectorias
dada por la ecuación (1.21).
 dx(t )
 dt = v (x(t ), t )

Encontrar x(t ) := 
 dx i (t ) = v (x(t ), t ) i ∈{1,2,3}
i
 dt


(1.22)

La solución del sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden (1.22)
dependerá de tres constantes de integración (C1 , C 2 , C 3 ) :
x = φ(C1, C 2, C 3, t )

 xi = φ i (C1 , C 2 , C3 , t )

i ∈{1,2,3}

(1.23)

Las expresiones (1.23) constituyen una familia de curvas en el espacio
parametrizada por las constantes (C1 , C 2 , C3 ) . Asignando un valor
determinado a dichas constantes se obtiene un miembro de la familia que es la
trayectoria de una partícula caracterizada por la etiqueta (C1 , C 2 , C3 ) .
Para obtener las ecuaciones en forma canónica se impone la condición de
consistencia en la configuración de referencia:
x(t ) t =0 = X ⇒ X = φ(C1, C 2, C 3 ,0) ⇒ C i = χ i ( X) i ∈{1,2,3}

(1.24)

y substituyendo en la ecuación (1.23) se obtiene la forma canónica de la
ecuación de las trayectorias:
x = φ(C1 (X ), C 2 (X ), C3 (X ), t ) = ϕ(X, t )
Ejemplo 1-6 – Considérese el campo de velocidades del Ejemplo 1-5:
 ω y

− ω x 

v(x, t ) = 
Obtener la ecuación de las trayectorias.


(1.25)


15

Utilizando la expresión (1.22), se puede escribir:

 dx(t )
 dt = v x (x, t ) = ωy
dx(t )

= v(x, t ) ⇒ 
dt
 dy (t ) = v (x, t ) = −ωx
y
 dt


El sistema anterior de ecuaciones diferenciales es un sistema de variables
cruzadas. Si se deriva la segunda ecuación y se substituye el resultado en la
primera se obtiene:
d 2 y (t )
dx (t )
= −ω
= − ω2 y (t ) ⇒ y´´ + ω2 y = 0
2
dt
dt
Ecuación característica: r 2 + ω2 = 0

Soluciones características: rj = ± i ω
Solución : y (t ) = Parte Real { 1e
C

j ∈{1,2}

}

+ C 2 e − iwt = C1 cos(ωt ) + C 2 sin(ωt )
dy
= − ωx que resulta en
La solución para x (t ) se obtiene a partir de
dt
1 dy
, obteniéndose así:
x=−
ω dt
 x(C1 , C 2 , t ) = C1 sin(ωt ) − C 2 cos (ωt )

 y (C1 , C 2 , t ) = C1 cos(ωt ) + C 2 sin(ωt )
iwt

Las anteriores ecuaciones proporcionan las expresiones de las trayectorias en
forma no canónica. La forma canónica se obtiene considerando la condición
inicial:
x(C1 , C 2 ,0 ) = X
es decir:
 x (C1 , C2 ,0) = −C2 = X

 y (C1 , C2 ,0) = C1 = Y

Así, las ecuaciones del movimiento, o ecuación de las trayectorias, en forma
canónica son:
 x = Y sin(ωt ) + X cos (ωt )

 y = Y cos (ωt ) − X sin(ωt )

1.8 Línea de corriente
N O T A

Dado un campo
vectorial se definen sus
envolventes como la
familia de curvas cuyo
vector tangente, en
cada punto, coincide
en dirección y sentido
con el correspondiente
vector de dicho campo
vectorial.

Definición:
Líneas de corriente: Aquella familia de curvas que, para cada instante de
tiempo, son las envolventes del campo de velocidades.
De acuerdo con su definición, la tangente en cada punto de una línea de
corriente tiene la misma dirección y sentido (aunque no necesariamente la
misma magnitud) que el vector de velocidad en dicho punto del espacio.



16

Y

tiempo - t 0

v

tiempo - t1

Y

X

X

Figura 1-8– Líneas de corriente
Observación 1-6
En el caso más general el campo de velocidades (descripción espacial)
será distinto para cada instante de tiempo ( v ≡ v( x, t ) ). Cabrá hablar,
en consecuencia, de una familia distinta de líneas de corriente para
cada instante de tiempo (ver Figura 1-8).
1.8.1 Ecuación diferencial de las líneas de corriente
Considérese un instante de tiempo dado t * y la descripción espacial del campo
de velocidades en dicho instante v( x, t * ) . Sea x(λ ) la ecuación de una línea de
corriente parametrizada en función de un cierto parámetro λ . El vector
tangente a la línea de corriente queda definido, para cada valor de λ por
dx(λ )
y la condición de tangencia del campo de velocidades puede escribirse
dλ

como:
N O T A

Se supone que el valor
del parámetro λ se
elige de tal forma que
en cada punto x del

dx(λ ) no
espacio,
dλ

solamente tiene la
dirección del vector
v(x, t ) sino que
coincide con el mismo.

 dx(λ )
*
 dλ = v x(λ ), t

Encontrar x( λ ) := 
 dx i (λ ) = v x (λ ), t *
i
 dλ


(

)

(

)

i ∈ {1,2,3}

(1.26)

La ecuaciones (1.26) constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales de
primer orden cuya solución para cada instante de tiempo t * , que dependerá de
'
tres constantes de integración ( C1' , C 2 , C3' ), proporciona la expresión
paramétrica de las líneas de corriente:
'
'
x = φ(C1' , C 2 , C 3 , λ, t * )


'
'
 xi = φ i (C1' , C 2 , C 3 , λ, t * )


i ∈{1,2,3}

(1.27)

'
Cada tripleta de constantes de integración ( C1' , C 2 , C3' ) identifica una línea de
corriente cuyos puntos se obtienen a su vez asignando valores al parámetro λ .
Para cada instante de tiempo t * se obtiene una nueva familia de líneas de
corriente.



17

Observación 1-7
Si se tiene un campo de velocidades estacionario ( ⇒ v (x, t ) ≡ v ( x ) ),
las trayectorias y líneas de corriente coinciden. La justificación de este hecho
se puede hacer desde dos ópticas distintas:
•

La no aparición del tiempo en el campo de velocidades en las
ecuaciones (1.22) y (1.26) motiva que las ecuaciones diferenciales
que definen las trayectorias y las que definen las líneas de
corriente solo difieran en la denominación del parámetro de
integración ( t o λ respectivamente). La solución de ambos
sistemas debe ser, por consiguiente, la misma salvo por el nombre
del parámetro utilizado en los dos tipos de curvas.

•

Desde un punto de vista más físico: a) Si el campo de velocidades
es estacionario sus envolventes (las líneas de corriente) no varían
con el tiempo; b) una determinada partícula recorre el espacio
manteniendo su trayectoria en la dirección tangente al campo de
velocidades que va encontrando a lo largo del tiempo; c) por
consiguiente, si una trayectoria empieza en un punto de cierta
línea de corriente, se mantiene sobre la misma a lo largo del
tiempo.

1.9 Tubo de Corriente
Definición:
Tubo de corriente: Superficie constituida por un haz de líneas de
corriente que pasan por los puntos de una línea cerrada, fija en el
espacio y que no constituye una línea de corriente.
En casos no estacionarios, aunque la línea cerrada no varía, el tubo de corriente
y las líneas de corriente sí lo hacen. Por el contrario, para el caso estacionario el
tubo de corriente permanece fijo en el espacio a lo largo del tiempo.
1.9.1 Ecuación del tubo de corriente
Las líneas de corriente constituyen una familia de curvas del tipo:
x = f (C1 , C 2 , C3 , λ, t )

(1.28)

El problema consiste en determinar para cada instante de tiempo, qué curvas
de la familia de curvas de las líneas de corriente pasan por una línea cerrada y
fija en el espacio Γ, cuya expresión matemática parametrizada en función de
un parámetro s es:
Γ := x = g (s )


(1.29)


18

Para ello se impone la condición de pertenencia de un mismo punto a las dos
curvas, en términos de los parámetros λ* y s * :

( ) (

g s * = f C1 , C 2 , C3 , λ* , t

)

(1.30)

Con lo cual se obtiene un sistema de tres ecuaciones del cual se puede despejar,
por ejemplo, s * , λ* , C 3 , esto es:
s * = s * (C1 , C 2 , t )

λ* = λ* (C1 , C 2 , t )

(1.31)

C 3 = C 3 (C1 , C 2 , t )

Sustituyendo (1.31) en (1.30) se obtiene:
x = f (C1 , C2 , C3 (C1 , C 2 , t ), λ (C1 , C2 , t ), t ) = h (C1 , C2 , t )

(1.32)

que constituye la expresión parametrizada (en función de los parámetros
C1 ,C 2 ) del tubo de corriente, para cada instante t (ver Figura 1-9).

t

s =1
s=0

Z
λ = 0,1,2...

*

*

s ;λ

Y
X

Figura 1-9 – Tubo de Corriente

1.10 Línea de traza
Definición:
Línea de traza, relativa a un punto fijo en el espacio x * denominado
punto de vertido y a un intervalo de tiempo denominado tiempo de vertido
[t i , t f ], es el lugar geométrico de las posiciones que ocupan en un
instante t , todas las partículas que han pasado por x * en un instante
τ ∈ [t i , t ] ∩ [t i , t f ].
La anterior definición corresponde al concepto físico de la línea de color (traza)
que se observaría en el medio en el instante t , si se vertiese un colorante en el
punto de vertido x * durante el intervalo de tiempo [t i , t f ] (ver Figura 1-10).

19


(x , y
*

*

,z

*

τ = ti

) punto de vertido

τ = t1

z

τ = t2
τ =tf
t
y

x

Figura 1-10 – Línea de traza
1.10.1 Ecuación de la línea de traza
Para determinar la ecuación de la línea de traza es necesario identificar las
partículas que pasan por el punto x * en los correspondientes instantes τ .
Partiendo de las ecuaciones del movimiento dadas por (1.5) y (1.6) se trata de
determinar cuál es la etiqueta de la partícula que en el instante de tiempo τ
pasa por el punto de vertido. Para ello se plantea:
x * = x(X, τ )

xi* = xi (X, τ )



 ⇒ X = f (τ )
i ∈1, 2,3


(1.33)

Sustituyendo (1.33) en las ecuaciones del movimiento (1.5) se obtiene:
x = ϕ (f (τ ), t ) = g( τ, t )

[

τ ∈ [ti , t ]∩ ti , t f

]

(1.34)

La expresión (1.34) constituye, para cada instante t , la expresión paramétrica
(en términos del parámetro τ ) de un segmento curvilíneo en el espacio que es
la línea de traza en dicho instante.
Ejemplo 1-7 – Sea un movimiento definido por las siguientes ecuaciones del movimiento:
x = (X + Y ) t 2 + X cos t
y = (X + Y )cos t − X

Obtener la ecuación de la línea de traza asociada al punto de vertido x * = (0,1) para el
periodo de vertido [t 0 ,+∞) .
Las coordenadas materiales de la partícula que han pasado por el punto de
vertido en el instante τ están dadas por:

−τ2
X = 2
2
0=(X +Y) τ2 + X cos τ   τ +cos τ
⇒

1=(X +Y)cos τ− X   τ2 +cosτ
Y = τ2 +cos2τ


Por lo tanto la etiqueta de las partículas que han pasado por el punto de vertido
desde el instante de inicio de vertido t 0 hasta el instante actual t queda
definida por:



20


− τ2
2
2 
τ + cos τ 
 τ ∈ [t 0 , t ] ∩ [t 0 , ∞] = [t 0 , t ]
τ 2 + cos τ 
Y= 2
τ + cos 2 τ 

X=

De aquí substituyendo en las ecuaciones del movimiento se obtienen las
ecuaciones de la línea de traza:

cos τ
− τ2
cos t
x= 2
t2 + 2


τ + cos 2 τ
τ + cos 2 τ
x = g( τ, t ) ≡ 
cos τ
− τ2
y =
cos t − 2

τ 2 + cos 2 τ
τ + cos 2 τ


τ ∈ [t 0 , t ]

Observación 1-8
En un problema estacionario las líneas de traza son segmentos de las
trayectorias (o de las líneas de corriente). La justificación se basa en el
hecho de que en el caso estacionario la trayectoria sigue la envolvente
del campo de velocidades que permanece constante con el tiempo. Si
se considera un punto de vertido, x* , todas las partículas que pasan
por él seguirán porciones (segmentos) de la misma trayectoria.

1.11 Superficie material
Definición:
Superficie material: Superficie móvil en el espacio constituida siempre
por las mismas partículas (puntos materiales).
En la configuración de referencia Ω 0 la superficie Σ 0 podrá definirse en
términos de una función de las coordenadas materiales F ( X , Y , Z ) como:
Σ 0 := { X , Y , Z

| F (X,Y,Z ) = 0}

Observación 1-9
La función F ( X , Y , Z ) no depende del tiempo, lo que garantiza que
las partículas, identificadas por su etiqueta, que cumplen la ecuación
F ( X , Y , Z ) = 0 son siempre las mismas de acuerdo con la definición
de superficie material.


(1.35)


Z

21

Σ 0 := { X F ( X , Y , Z ) = 0}

t =0

Σ t := { x

ϕ(X , t )

f (x, y, z, t ) = 0}

Σ0
t

Σt
Y
X
Figura 1-11 – Superficie material
La descripción espacial de la superficie se obtendrá a partir de la descripción
espacial de F ( X( x, t ) = f ( x, y, z , t ) :
Σ t := {x, y , z |

f (x, y , z,t ) = 0}

Observación 1-10
La función f ( x, y, z , t ) depende explícitamente del tiempo, lo que
establece que los puntos del espacio que estarán sobre la superficie varían
con el tiempo. Esta dependencia del tiempo de la descripción espacial
de la superficie, le confiere su carácter de superficie móvil en el
espacio (ver Figura 1-11).

Observación 1-11
Condición necesaria y suficiente para que una superficie móvil en el
espacio, definida implícitamente por una función f ( x, y , z, t ) = 0 , sea
material (esté constituida siempre por las mismas partículas) es que la
derivada material de f ( x, y , z, t ) sea nula:
df ( x, t ) ∂f
=
+ v ⋅ ∇f = 0
∂t
dt

∀x ∈ Σ t ∀t

La condición es necesaria puesto que si la superficie es material, su
descripción material no depende del tiempo ( F ≡ F (X ) ) y por
consiguiente, su descripción espacial tiene derivada material nula. La
condición de suficiencia se fundamenta en que, si la derivada material
de f ( x, t ) es nula, la correspondiente descripción material no
depende del tiempo ( F ≡ F (X) ) y por consiguiente, el conjunto de
partículas (identificadas por su coordenadas materiales) que cumplen
la condición F ( X ) = 0 es siempre el mismo.

(1.36)


22

Ejemplo 1-8 – En la teoría de oleaje se impone la condición de que la
superficie libre del fluido que está en contacto con la atmósfera sea una
superficie material. Es decir, esta restricción supone que la superficie libre está
formada siempre por las mismas partículas (hipótesis razonable sobre todo en
aguas profundas).
Si se supone que z = η(x , y , t ) define la altura de la superficie del mar respecto
a un nivel de referencia, la superficie libre del agua vendrá definida por:
f (x , y , z , t ) ≡ z − η(x, y , t ) = 0 .
z
superficie libre
y
x

z = η (x, y, t ) =cota
de la superficie libre

Figura 1-12
df
= 0 se escribe como:
La condición
dt
∂f
∂η
=−
∂t
∂t
 ∂f 


 ∂x 
∂f
∂f
∂f
 ∂f 
v ⋅ ∇f = v x v y v z 
 = v x ∂x + v y ∂y + v z ∂z
∂
 y 
 ∂f 
 ∂z 



[

]

∂η
∂η
∂η
df ∂f
=
+ v ⋅ ∇f = −
− vx
− vy
+ vz = 0 ⇒
∂t
∂x
∂y
dt ∂t
∂η
∂η
∂η
vz =
+ vx
+vy
∂t
∂x
∂y

Es decir, la condición de superficie material se traduce en una condición sobre
la componente vertical del campo de velocidades.

1.12 Superficie de control
Definición:
Superficie de control: Una superficie fija en el espacio.
Su descripción matemática viene dada por:
Σ := { x |

f (x, y, z ) = 0}


(1.37)


23

Es evidente que una superficie de control es atravesada por las distintas
partículas del medio continuo a lo largo del tiempo (ver Figura 1-13)
Σ

Z

Y
X
Figura 1-13 – Superficie de control

1.13 Volumen material
Definición:
Volumen material: Es un volumen limitado por una superficie material
cerrada.

N O T A

Se entiende la función
F (X) definida de tal
forma que F ( X) 0
corresponde a puntos
del interior de V0

La descripción matemática del volumen material V (ver Figura 1-14) viene dada
por:
V0 := { X | F (X ) ≤ 0}

(1.38)

en la descripción material, y por:
Vt := { x |

f (x, t ) ≤ 0}

(1.39)

en la descripción espacial, siendo F ( X) = f (x( X, t ), t ) la función que describe la
superficie material que lo encierra.
Observación 1-12
Un volumen material está constituido siempre por las mismas
partículas. La justificación se hace por reducción al absurdo: si una
cierta partícula pudiese entrar o salir del volumen material, se
incorporaría en su movimiento a la superficie material (al menos por
un instante de tiempo). Esto sería contrario al hecho de que la
superficie, por ser material, está formada siempre por las mismas
partículas.



24

t=0

t

V0
f (x, t ) = 0

Vt

Y
X

Figura 1-14– Volumen material

1.14 Volumen de control
Definición:
Volumen de control: Conjunto de puntos del espacio situados en el
interior de una superficie de control cerrada.

N O T A

Se entiende la función
f (x) definida de tal

Se trata de un volumen fijo en el espacio que es atravesado por las partículas
del medio durante su movimiento. Su descripción matemática es:
V := { x |

f (x ) ≤ 0}

(1.40)

forma que f (x) 0
corresponde a puntos
del interior de V

z

V

f (x ) = 0
y
x

Figura 1-15 – Volumen de control


2 Descripción de la
deformación
2.1 Introducción
Definición
Deformación: en el contexto más general, el concepto deformación se
refiere al estudio no ya del movimiento absoluto de las partículas tal
como se hizo en el capítulo 1, sino del movimiento relativo con respecto
a una partícula determinada, de las partículas situadas en un entorno
diferencial de aquella.

2.2 Tensor gradiente de deformación
Consideremos en el medio continuo en movimiento de la Figura 2-1 una
partícula P en la configuración de referencia Ω 0 , y que ocupa el punto del
espacio P ' en la configuración actual Ω t , y una partícula Q situada en un
entorno diferencial de P y cuyas posiciones relativa respecto a ésta en los
instante de referencia y actual vienen dadas por dX y dx respectivamente.
ϕ(X , t )

t0
X 3 , x3

dX
X

X 1 , x1

Q

P´

Ω0

Ωt

x

ˆ
e3
ˆ
e1

t

P

ˆ
e2

dx

Q´

X 2 , x2

Figura 2-1

Sean
not

x = ϕ(X, t ) = x(X, t )

not
 x = ϕ (X , X , X , t ) = x ( X , X , X , t )
i
i
1
2
3
1
2
3
 i


1
i ∈ { ,2,3}

(2.1)

2 Descripción de la deformación

26

las ecuaciones del movimiento. Diferenciando (2.1) con respecto a las
coordenadas materiales X resulta:

Ecuación fundamenta l
de la deformació n

N O T A C I Ó N

operador Nabla material:

∂
ˆ
ei
∇≡
∂X i
aplicada a la expresión
del producto tensorial o
abierto:

[a ⊗ b]ij
= ai b j

= [a b ]ij =

not

→

∂x i

dx i = ∂X dX j

#!
j

Fij


dx = F ⋅ dX

i, j ∈{1,2,3}

(2.2)

La ecuación (2.2) define el tensor gradiente material de la deformación F( X, t ) :
 not
F = x ⊗ ∇
Tensor gradiente material

→ 
∂xi
de la deformació n
i, j ∈{1,2,3}
 Fij =
∂X j



(2.3)

Las componentes explícitas del tensor F vienen dadas por:
 ∂x1

 ∂X 1
 x1 
 ∂
  ∂x 2
∂
∂
[F ] = x ⊗ ∇ =  x 2  
=
  ∂X
∂
∂X 3
1
 %%%X 2 %%   ∂X 1
 x3  #
%
!
 
$
 ∂x 3
T
[x]
∇
 ∂X 1


[

∂x1
∂X 2
∂x 2
∂X 2
∂x 3
∂X 2

]

∂x1 

∂X 3 
∂x 2 
∂X 3 

∂x 3 
∂X 3 


(2.4)

Observación 2-1
El tensor gradiente de la deformación F(X, t ) contiene la información del
movimiento relativo, a lo largo del tiempo t , de todas las partículas
materiales en el entorno diferencial de una dada, identificada por sus
coordenadas materiales X . En efecto, la ecuación (2.2) proporciona
la evolución del vector de posición relativo dx en función de la
correspondiente posición relativa dX en el instante de referencia. En
este sentido, si se conoce el valor de F( X, t ) se dispone de la
información asociada al concepto general de deformación definida en
la sección 2.1
2.2.1 Tensor gradiente de la deformación inverso
Considerando ahora las ecuaciones de movimiento inversas:
not

−1
X = ϕ (x, t ) = X(x, t )

not
 X = ϕ −1 (x , x , x , t ) = X (x , x , x , t )
i
i 1
1
2
3
2
3
 i

1
i ∈ { ,2,3}

y diferenciando (2.5) con respecto a las coordenadas espaciales xi , resulta:


(2.5)

27


∂X i

dX i = ∂x dx j i, j ∈{1,2,3}
j

#!



F−1

ij

dX = F −1 ⋅ dx


(2.6)

Al tensor definido por al ecuación (2.6) se le denomina tensor gradiente espacial
de la deformación o tensor gradiente (material) de la deformación inverso y viene
caracterizado por:
N O T A C I Ó N

 −1 not
F = X ⊗ ∇
Tensor gradiente espacial

→  −1 ∂X
i
de la deformació n
i, j ∈{1,2,3}
Fij =
∂x j



operador Nabla espacial

∇≡

∂
ˆ
ei .
∂x i

Obsérvese la diferencia
de notación entre dicho
operador espacial ( ∇ )
y el operador Nabla
material ( ∇ ).

(2.7)

Las componentes explícitas del tensor F −1 vienen dadas por:

[F ]
−1

 ∂X 1

 ∂x1
 X1 
 ∂
∂
∂   ∂X 2
= [X ⊗ ∇ ] =  X 2  
=
  ∂x ∂x
∂ 3 
1
 %% 2 %x!  ∂x1
 X 3 #
% % %

#!
 ∂X 3
[∇ ]T
[X]
 ∂x1


∂X 1
∂x 2
∂X 2
∂x 2
∂X 3
∂x 2

∂X 1 

∂x3 
∂X 2 
∂x3 

∂X 3 
∂x3 


(2.8)

Observación 2-2


de dos índices Delta de
Kronecker δ ij como:
1 si i = j
δ ij = 
0 si i ≠ j
El tensor unidad de 2º
orden 1 viene definido
por: [1]ij = δ ij .

El tensor gradiente espacial de la deformación, denotado en (2.6) y
(2.7) mediante F −1 , es efectivamente el inverso del tensor gradiente
(material) de la deformación F . La comprobación es inmediata
puesto que:
∂x i ∂X k ∂x i not
=
= δ ij
∂X k ∂x j ∂x j
$$
F
−1
ik F

⇒ F ⋅ F −1 = 1

kj

∂X i not
∂X i ∂x k
= δ ij
=
∂x k ∂X j ∂X j
$$
F−1 F
ik

⇒ F −1 ⋅ F = 1

kj

Ejemplo 2-1 – Para un determinado instante, el movimiento de un medio continuo viene
definido por:
x1 = X 1 − AX 3 , x 2 = X 2 − AX 3 , x 3 = − AX 1 + AX 2 + X 3 .
Obtener el tensor gradiente material de la deformación F(X) en dicho instante. A partir de
las ecuaciones de movimiento inversas obtener el tensor gradiente espacial de la deformación
F −1 ( x) . Con los resultados obtenidos comprobar que F ⋅ F −1 = 1 .



28

a) Tensor gradiente material de la deformación:

[]

F = x ⊗ ∇ ≡ [x] ⋅ ∇

T

X 1 − AX 3



⋅ ∂ ,
=
X 2 − AX 3
  ∂X
− AX 1 + AX 2 + X 3   1


 1 0 − A
=  0 1 − A


− A A 1 



∂
,
∂X 2

∂ 
=
∂X 3 

b) Ecuaciones de movimiento inversas: De la inversión algebraica de las ecuaciones
de movimiento se obtiene:
 X 1 = (1 + A 2 ) x1 − A 2 x 2 + A x 3


X( x, t ) ≡  X 2 = A 2 x1 + (1 − A 2 ) x 2 + A x3
X = A x − A x + x
1
2
3
 3


c) Tensor gradiente espacial de la deformación:
F −1 = X ⊗ ∇ ≡ [X]⋅ [∇ ]

T

(1 + A 2 ) x1 − A 2 x 2 + A x3 

  ∂
,
=  A 2 x1 + (1 − A 2 ) x 2 + A x3  ⋅ 

  ∂x1
A x1 − A x 2 + x 3




1 + A 2 − A 2

1 − A2
=  A2
 A
−A


∂
,
∂x 2

∂ 
=
∂x3 

A

A
1


d) Comprobación:
F⋅F

−1

0 − A 1 + A 2 − A 2
 1

1 − A2
≡  0 1 − A ⋅  A 2


− A A 1   A
−A

 

A 1 0 0

A = 0 1 0 ≡ 1


1  0 0 1 

 

2.3 Desplazamientos
Definición:
Desplazamiento: diferencia entre los vectores de posición de una misma
partícula en las configuraciones actual y de referencia.
El desplazamiento de una partícula P en un instante determinado viene
definido por el vector u que une los puntos del espacio P (posición inicial) y
P ′ (posición en el instante actual t ) de la partícula (ver Figura 2-2). El
desplazamiento de todas las partículas del medio continuo define el campo
vectorial de desplazamientos que, como toda propiedad del medio continuo, podrá
describirse en forma material U( X, t ) o espacial, u(x, t ) :
U( X, t ) = x( X, t ) − X

U i ( X, t ) = x i (X, t ) − X i

i ∈{1,2,3}


(2.9)


u (x, t ) = x − X( x, t )

u i (x, t ) = xi − X i (x, t )

t

Ω0

P′
Ωt

P

X 3 , x3

(2.10)

i ∈{1,2,3}

u

t0

29

x

X
ˆ
e3
X 2 , x2
ˆ
e2
e1
ˆ
X 1 , x1

Figura 2-2 – Desplazamientos

2.3.1 Tensores gradiente material y espacial de los
desplazamientos
La derivación del vector desplazamiento U i en la ecuación (2.9) con respecto a
las coordenadas materiales lleva a:
def
∂U i
∂x
∂X i
= i −
= Fij − δ ij = J ij
∂X j ∂X j ∂X j
$ $
Fij
δij

(2.11)

que define el tensor gradiente material de los desplazamientos como:
def

Tensor gradiente
J ( X, t ) = U( X, t ) ⊗ ∇ = F − 1


material de los → 
∂U i
= Fij − δ ij i, j ∈{1,2,3}
 J ij =
desplazami entos
∂X j



∂U i

dU i = ∂X dX j = J ij dX j
j

dU = J ⋅ dX


i, j ∈{1, 2,3}

(2.12)

(2.13)

De forma similar, diferenciando la expresión de u i en la ecuación (2.10), con
respecto a las coordenadas espaciales se obtiene:
def
∂u i ∂xi ∂X i
=
−
= δ ij − Fij−1 = jij
∂x j ∂x j ∂x j
(2.14)
$ $
δij

Fij−1

que define el tensor gradiente espacial de los desplazamientos como:
def

Tensor gradiente
j(x, t ) = u (x, t ) ⊗ ∇ = 1 − F −1


espacial de los → 
∂u i
= δ ij − Fij−1 i, j ∈{1,2,3}
 j ij =
desplazami entos
∂x j




(2.15)


30

∂u i

du i = ∂x dx j = jij dx j
j

du = j ⋅ dx


i, j ∈{1,2,3}

(2.16)

2.4 Tensores de deformación
Consideremos ahora una partícula del medio continuo, que ocupa el punto del
espacio P en la configuración material, y otra partícula Q de su entorno
diferencial separada de la anterior por el segmento dX (de longitud
dS = dX ⋅ dX ) siendo dx (de longitud ds = dx ⋅ dx ) su homólogo en la
configuración actual (ver Figura 2-3). Ambos vectores diferenciales están
relacionados por el tensor gradiente de la deformación F( X, t ) mediante las
ecuaciones (2.2) ó (2.6):
 dx = F ⋅ dX


dxi = Fij dX j


dX = F -1⋅ dx
dX i = Fij−1 dx

(2.17)
j

F(X, t )

t

t0

Q′

X 3 , x3
Q
dX

ˆ
e3

dS
P

X

ds

dx

P′

x

O
ˆ
e1

ˆ
e2

X 1 , x1

X 2 , x2

Figura 2-3

Puede escribirse entonces:

(ds )2 = dx ⋅ dx = [dx]T ⋅ [dx ] = [F ⋅ dX ]T ⋅ [F ⋅ dX]= dX ⋅ F T ⋅ F ⋅ dX
(ds )2 = dxk dxk = Fki dX i Fkj dX j = dX i Fki Fkj dX j = dX i FikT Fkj dX j

(2.18)

y, alternativamente,
N O T A C I Ó N

Se utiliza la convención:

[(•) ]

not
−1 T

= (•)

−T

(dS )2 = dX ⋅ dX = [dX ]T ⋅ [dX ] = [F −1 ⋅ dx] ⋅ [F −1 ⋅ dx ] = dx ⋅ F −T ⋅ F −1 ⋅ dx
(dS )2 = dX k dX k = Fki−1 dxi Fkj−1 dx j = dxi Fki−1 Fkj−1dx j = dxi Fik−T Fkj−1dx j
T

not

(2.19)

2.4.1 Tensor material de deformación (tensor de deformación
de Green-Lagrange)
Restando las expresiones (2.18) y (2.19) se obtiene:


31


(ds )2 − (dS )2 = dX ⋅ F T

⋅ F ⋅ dX − dX ⋅ dX = dX ⋅ F T ⋅ F ⋅ dX − dX ⋅ 1 ⋅ dX =

= d X ⋅ ( F T ⋅ F − 1) ⋅ d X = 2 d X ⋅ E ⋅ d X
#%%!

(2.20)

def

= 2E

La ecuación (2.20) define implícitamente el denominado tensor material de
deformación o tensor de deformación de Green-Lagrange como:
1 T

Tensor material
E( X, t ) = 2 (F ⋅ F − 1)

de deformació n
→
 E ( X, t ) = 1 ( F F − δ ) i, j ∈{1,2,3}
(Green - Lagrange)
ki kj
ij
 ij
2


(2.21)

Observación 2-3
El tensor material de deformación E es simétrico. La demostración se
obtiene directamente de la ecuación (2.21) observando que:
1 T
1 T
 T 1 T
T
T T
T
E = (F ⋅ F − 1) = (F ⋅ (F ) − 1 ) = (F ⋅ F − 1) = E
2
2
2

E ij = E ji
i, j ∈{1,2,3}


2.4.2 Tensor espacial de deformación (tensor de deformación
de Almansi)
Restando de forma alternativa las expresiones (2.18) y (2.19) se obtiene:

(ds )2 − (dS )2 = dx ⋅ dx − dx ⋅ F −T

⋅ F −1 ⋅ dx = dx ⋅ 1 ⋅ dx − dx ⋅ F −T ⋅ F −1 ⋅ dx

−T
−1
= dx ⋅ (1 %F%% ) ⋅ dx = 2 dx ⋅ e ⋅ dx
# −% ⋅ F !

(2.22)

def

= 2e

La ecuación (2.22) define implícitamente el denominado tensor espacial de
deformación o tensor de deformación de Almansi como:
 ( , ) = 1 ( − −T ⋅ −1 )
Tensor espacial
F
e x t 2 1 F

de deformación → 
e (x, t ) = 1 (δ − F −1 F −1 ) i, j ∈{1, 2,3}
(Almansi)
ij
ki
kj
 ij

2


(2.23)

32


Observación 2-4
El tensor espacial de deformación e es simétrico. La demostración se
obtiene directamente de la ecuación (2.23) observando que:
1 T
 T 1
−T
−1 T
−1 T
−T T
e = 2 (1 − F ⋅ F ) = 2 (1 − (F ) ⋅ (F ) ) =

1

−T
−1
 = (1 − F ⋅ F ) = e
2

eij = e ji i, j ∈{1,2,3}



Observación 2-5
Los tensores material E y espacial e de deformación son tensores
distintos y no se trata de la descripción material y espacial de un mismo tensor de
deformación. Las expresiones (2.20) y (2.22):

(ds )2 − (dS )2 = 2 dX ⋅ E ⋅ dX = 2 dx ⋅ e ⋅ dx
lo ponen de manifiesto puesto que ambos tensores vienen afectados
por distintos vectores ( dX y dx respectivamente).
El tensor de deformación de Green-Lagrange viene descrito naturalmente en
descripción material ( E( X, t ) ). En la ecuación (2.20) actúa sobre el
elemento dX (definido en la configuración material) y de ahí su
denominación de tensor material de deformación. Sin embargo, como toda
propiedad de medio continuo puede describirse, si es necesario,
también en forma espacial ( E(x, t ) ) mediante la adecuada
substitución de las ecuaciones de movimiento.
Con el tensor de deformación de Almansi ocurre lo contrario: viene
descrito naturalmente en forma espacial y en la ecuación (2.22) actúa
sobre el vector diferencial (definido en la configuración espacial) dx y
de ahí su denominación de tensor espacial de deformación. También puede
ser descrito, si es conveniente, en forma material ( e( X, t ) ).

Ejemplo 2-2 – Para el movimiento del Ejemplo 2-1, obtener los tensores material y
espacial de deformación.
1
2

a) Tensor material de deformación: E = (F T ⋅ F − 1) =
 A2 − A2
 1
0 − A  1
0 − A 1 0 0 
1
 1
1
=  0
A  ⋅  0 1 − A − 0 1 0  = − A 2
A2

 
 

2
 2 − 2 A
0

 
 

 − A − A 1  − A A 1  0 0 1  



− 2 A

0 
2 A2 


33


1
2

b) Tensor espacial de deformación: e = (1 − F −T ⋅ F −1 ) =
1 0 0 1 + A 2
A2
1 

= 0 1 0 −  − A 2 1 − A 2

2
0 0 1   A
A

 

− 3 A 2 − 2 A 4
1 2
=  A + 2 A4
2
 − 2 A − 2 A3


A  1 + A 2 − A 2
 
1 − A2
− A ⋅  A 2
1   A
−A
 

A2 + 2 A4
A2 − 2 A4
2 A3

A 

A  =
1 


− 2 A − 2 A3 

2 A3

− 2 A2 


(Obsérvese que E ≠ e ).
2.4.3 Expresión de los tensores de deformación en términos de
los (gradientes de los) desplazamientos
Substituyendo las expresiones (2.12) ( F = 1 + J ) y (2.15) ( F −1 = 1 − j ) en las
ecuaciones (2.21) y (2.23) se obtienen las expresiones de los tensores de
deformación en función del gradiente material, J ( X, t ) , y espacial, j( x, t ) , de
los desplazamientos:

[

] [

]

1
1

T
T
T
E = 2 (1 + J ) ⋅ (1 + J ) − 1 = 2 J + J + J ⋅ J

E( X, t ) → 

∂U j ∂U k ∂U k 
E ij = 1  ∂U i +
+
 i, j ∈{1, 2,3}

2  ∂X j ∂X i
∂X i ∂X j 




[

] [

(2.24)

]

1
 1
T
T
T
e = 2 1 − (1 − j ) ⋅ (1 − j) = 2 j + j − j ⋅ j

e( x, t ) → 


∂u
eij = 1  ∂u i + j − ∂u k ∂u k  i, j ∈{1, 2,3}

2  ∂x j ∂x i
∂x i ∂x j 




(2.25)

2.5 Variación de las distancias:
Estiramiento. Alargamiento unitario
Consideremos ahora una partícula P en la configuración de referencia y otra
partícula Q , situada en un entorno diferencial de P, ver Figura 2-4. Las
correspondientes posiciones en la configuración actual vienen dadas por los
puntos del espacio P ' y Q ' de tal forma que las distancia entre ambas
partículas en la configuración de referencia, dS , se transforma en ds en el
instante actual. Sean T y t sendos vectores unitarios en las direcciones PQ y
P ′Q ′ , respectivamente.



34

Definición:
Estiramiento: en el punto material P (o en el punto espacial P ′ ) en
la dirección material T (o en la dirección espacial t ) es la longitud del
segmento diferencial deformado P ′Q ′ por unidad de longitud del
segmento diferencial original PQ .
t0
X3

P

t

dX
dS

Q

P´
T

X

dx
ds

x

Q´
t

X2
X1

Figura 2-4 – Estiramiento y alargamiento unitario

La traducción a lenguaje matemático de la anterior definición es:
def

Estiramien to
N O T A C I Ó N

Frecuentemente se
prescindirá de los
subíndices (•) T o

(•) t al referirse a los
estiramientos o
alargamientos unitarios.
Téngase bien presente,
sin embargo, que
siempre están asociados
a una dirección
determinada.

=

λT = λt =

P´Q´ ds
=
PQ dS

(0 λ ∞ )

(2.26)

Definición:
Alargamiento unitario: en el punto material P (o en el punto espacial
P ′ ) en la dirección material T (o en la dirección espacial t ) es el
incremento de longitud del segmento diferencial deformado P`Q` por
unidad de longitud del segmento diferencial original PQ .
y la correspondiente definición matemática:
Alargamiento unitario

def

=

εT = εt =

∆ PQ
PQ

=

ds − dS
dS

(2.27)

Las ecuaciones (2.26) y (2.27) permite relacionar inmediatamente los valores
del alargamiento unitario y del estiramiento para un mismo punto y dirección
como:
ε=

ds − dS ds
=
−1 = λ −1
dS
dS
$
λ

( ⇒ −1 ε ∞)


(2.28)


35

Observación 2-6
•

Si λ = 1 (ε = 0) ⇒ ds = dS : Las partículas P y Q pueden
haberse movido relativamente con el tiempo, pero sin aumentar
ni disminuir la distancia entre ellas.

•

Si λ 1 (ε 0) ⇒ ds dS : La distancia entre las partículas P y
Q se ha alargado con la deformación del medio.

•

Si λ 1 (ε 0) ⇒ ds dS : La distancia entre las partículas P y
Q se ha acortado con la deformación del medio.

2.5.1 Estiramientos, alargamientos unitarios y los tensores de
deformación
Considerando las ecuaciones (2.20) y (2.22) y las expresiones geométricas
dX = T dS y dx = t ds , ver Figura 2-4, se puede escribir:
(ds )2 − (dS )2 = 2 dX ⋅ E ⋅ dX = 2(dS )2 T ⋅ E ⋅ T
$
$

dS T
dS T


2
2
2
(ds ) − (dS ) = 2 dx ⋅ e ⋅ dx = 2(ds ) t ⋅ e ⋅ t
$
$

ds t
ds t


(2.29)

y dividiendo ambas ecuaciones por (dS ) 2 y (ds ) 2 , respectivamente, se obtiene:
2

ds
( ) − 1 = λ2 − 1 = 2 T ⋅ E ⋅ T ⇒
dS
$
λ

2

1− (

dS
) = 1 − (1 / λ) 2 = 2 t ⋅ e ⋅ t ⇒
ds
$
1/ λ

λ = 1 + 2 T ⋅ E ⋅ T


ε = λ − 1 = 1 + 2 T ⋅ E ⋅ T − 1


(2.30)

1

λ =
1− 2t⋅e⋅t


1
ε = λ − 1 =
−1

1− 2t ⋅e ⋅ t


(2.31)

expresiones que permiten calcular el alargamiento unitario y el estiramiento
según una dirección (material, T o espacial, t ) determinada.
Observación 2-7
Los tensores material y espacial de deformación E( X, t ) y e( x, t )
contienen información sobre los estiramientos (y los alargamientos
unitarios) para cualquier dirección en un entorno diferencial de un
partícula dada, tal como ponen de manifiesto las ecuaciones (2.30) y
(2.31).



36

Ejemplo 2-3 – El tensor espacial de deformación para un cierto movimiento es:
 0
0
− te tz 


0
0
e(x, t ) =  0

− te tz 0 t (2e tz − e t ) 


Calcular la longitud, en el instante t = 0 del segmento que en el instante t = 2 es rectilíneo y
une los puntos a ≡ (0,0,0) y b ≡ (1,1,1) .

Se conoce la forma y posición geométrica del segmento material en el instante
t = 2 . En el instante t = 0 (instante de referencia) el segmento no es
necesariamente rectilíneo y no se conocen las posiciones de sus extremos A y
B (ver Figura 2-5). Para conocer su longitud hay que aplicar la ecuación (2.31):
λ=

1
1− 2t ⋅e⋅t

=

t=0

z

ds
dS

⇒ dS =

1
ds
λ

t =2

z
B

ds

dS

t
b(1,1,1)

A
a(0,0,0)

y

y

x

x

Figura 2-5
para un vector de dirección en la configuración espacial t de valor:
t=

1
3

[1,

1, 1]T obteniéndose:

 0
0
− te tz  1
1
 
0
t ⋅e⋅t =
[1 1 1]⋅  0 0

 ⋅ 1
3
− te tz 0 t ( 2e tz − e t ) 1

 
1
1
⇒ λ=
⇒ λ t =2 =
=
2 t
4 2
1 + te
1+ e
3
3
B
b1
1 b
1
1
3 ⇒
⇒ l AB = ∫ dS = ∫ ds = ∫ ds = l ab =
A
aλ
a
λ$ λ
λ
lab

1

1
= − te t
3
3
3

3 + 4e 2
l AB = 3 + 4e 2

2.6 Variación de ángulos
Consideremos ahora una partícula P y otras dos partículas Q y R , situadas en
un entorno diferencial de P en la configuración material, ver Figura 2-6, y las


37


mismas partículas ocupando las posiciones espaciales P ' , Q ' y R ' . Se plantea
ahora la relación entre los ángulos que forman los correspondientes segmentos
diferenciales en la configuración de referencia (ángulo Θ ), y en la configuración
actual (ángulo θ ).
A partir de las ecuaciones (2.2)y (2.6), aplicadas a los vectores diferenciales que
separan las partículas puede escribirse,
(1)
 (1)
 dx = F ⋅ dX
 (2 )
 dx = F ⋅ dX ( 2 )


−1
(1)
 (1)
dX = F ⋅ dx
⇒  ()
dX 2 = F −1 ⋅ dx (2 )


(2.32)

y por la propia definición de los vectores unitarios T (1) , T (2 ) , t (1 ) y t (2 ) que
definen las correspondientes direcciones en la Figura 2-6:
(1) (1)
 (1)
dX = dS T
 (2 )
dX = dS (2 ) T (2 )


(1) (1)
 (1)
dx = ds t
 (2 )
dx = ds (2 ) t (2 )


(2.33)
t

t0
T (2 )

X3

t (2 )

R
(2 )

dS
P

Θ

T (1)

dS (1) Q

X

R´
ds (2 )
θ
P´ ds (1 )
Q´

t (1 )

x
X2

Figura 2-6

X1

y, finalmente, por la definición (2.26) de los correspondientes estiramientos:
 (1) 1
(1 )
dS = λ(1) ds
ds (1) = λ(1 ) dS (1)


 (2 ) (2 ) (2 ) ⇒ 
ds = λ dS
dS (2 ) = 1 ds (2 )


λ(2 )


(2.34)

Planteando ahora el producto escalar de los vectores dx (1) ⋅ dx (2 ) :

[ ] ⋅ [dx ( ) ]=

ds (1) ds (2 ) cos θ = dx (1 ) ⋅ dx (2 ) cos θ = dx (1 ) ⋅ dx (2 ) = dx (1)

[

= F ⋅ dX (1 )
= dS

(1)

(1 )

T

2

F F
] ⋅ [F ⋅ dX ( ) ]= dX ( ) ⋅ (#⋅!)⋅ dX ( ) =
T

2

T

1

2

2E+1

T ⋅ (2E + 1) ⋅ T

(2 )

(2 )

1

(1)

(1 )

= (1) ds T ⋅ ( 2E + 1) ⋅ T
λ
1 1
= ds (1 ) ds (2 ) (1) (2 ) T (1) ⋅ ( 2E + 1) ⋅ T (2 )
λ λ
dS

(2 )

1
λ(2 )

ds

(2 )

=

y comparando los términos inicial y final de la ecuación (2.35) se obtiene:


(2.35)


38

cos θ =

T (1) ⋅ (1 + 2E) ⋅ T (2 )
λ(1) λ(2 )

(2.36)

donde los estiramientos λ(1) y λ(2 ) pueden obtenerse aplicando la expresión
(2.30) a las direcciones T (1) y T (2 ) llegándose a:
cos θ =

T (1 ) ⋅ (1 + 2E) ⋅ T (2 )
1 + 2 T (1) ⋅ E ⋅ T (1)

(2.37)

1 + 2 T (2 ) ⋅ E ⋅ T (2 )

De un modo análogo, operando en la configuración de referencia, puede
obtenerse el ángulo Θ entre los segmentos diferenciales dX (1) y dX ( 2 ) (en
función de t (1 ) , t (2 ) y e ) como:
cos Θ =

t (1) ⋅ (1 − 2e ) ⋅ t (2 )
1 − 2 t (1) ⋅ e ⋅ t (1 )

(2.38)

1 − 2 t (2 ) ⋅ e ⋅ t (2 )

Observación 2-8
De forma similar a lo comentado en la Observación 2-7 los tensores
material y espacial de deformación, E( X, t ) y e( x, t ) , también
contienen información sobre las variaciones de los ángulos entre
segmentos diferenciales, en el entorno de una partícula, durante el
proceso de deformación. Estos hechos serán la base para
proporcionar una interpretación física de las componentes de los
tensores de deformación en el apartado 2.7 .

2.7 Interpretación física de los tensores de
deformación
2.7.1 Tensor material de deformación
Considérese un segmento PQ , orientado paralelamente al eje X 1 en la
configuración de referencia (ver Figura 2-7). Antes de la deformación PQ
tiene una longitud conocida dS = dX .
X 3 ,Z

t0
dS

T

P
dX

Q
T

(1)

ˆ
= e1
X 2 ,Y
X1, X

Figura 2-7


(1)

1
 
≡ 0
0
 

dS 
 
dX ≡  0 
0
 


39

Se pretende conocer la longitud de P´Q´ después de la deformación. Para ello
consideremos el tensor material de deformación E dado por sus
componentes:
 E XX
E =  E XY

 E XZ


E XY
EYY
EYZ

E XZ   E11
EYZ  =  E12
 
E ZZ   E13
 

E12
E 22
E 23

E13 
E 23 

E 33 


(2.39)

En consecuencia:
T ⋅ E ⋅ T = [T]

T

 E11
⋅ [E]⋅ T = [1 0 0]⋅  E12

 E13


E12
E 22
E 23

E13  1
E 23  ⋅ 0 = E11
  
E 33  0
  

(2.40)

El estiramiento en la dirección material X 1 puede obtenerse ahora
sustituyendo el valor T ⋅ E ⋅ T en la expresión del estiramiento (2.30),
obteniéndose: λ1 = 1 + 2 E11 . De modo análogo se pueden considerar
segmentos orientados en las direcciones X 2 ≡ Y y X 3 ≡ Z y obtener los
valores λ 2 y λ 3 , resultando:
λ 1 = 1 + 2 E11 = 1 + 2 E XX

⇒ ε X = λ X − 1 = 1 + 2 E XX − 1

λ 2 = 1 + 2 E 22 = 1 + 2 EYY

⇒ ε Y = λ Y − 1 = 1 + 2 EYY − 1

λ 3 = 1 + 2 E 33 = 1 + 2 E ZZ

⇒ ε Z = λ Z − 1 = 1 + 2 E ZZ − 1

(2.41)

Observación 2-9
En las componentes E XX , EYY y E ZZ (o E11 , E 22 y E 33 ) de la
diagonal principal del tensor E (denominadas deformaciones longitudinales)
está contenida la información sobre el estiramiento y los
alargamientos unitarios de segmentos diferenciales inicialmente (en la
configuración de referencia) orientados en direcciones X , Y y Z .
•

Si E XX = 0 ⇒ ε X = 0 ⇒ No hay alargamiento en la dirección X .

•

Si EYY = 0 ⇒ ε Y = 0 ⇒ No hay alargamiento en la dirección Y .

•

Si E ZZ = 0 ⇒ ε Z = 0 ⇒ No hay alargamiento en la dirección Z .

Consideremos ahora el ángulo entre los segmentos PQ (paralelo al eje X 1 ) y
PR , (paralelo al eje X 2 ) siendo Q y R , dos partículas del entorno diferencial
de P en la configuración de material y P ′, Q ′ y R ′ las respectivas posiciones
π
) entre
2
los segmentos en la configuración de referencia es posible conocer el ángulo θ

en la configuración espacial(ver Figura 2-8). Conocido el ángulo ( Θ =

en la configuración actual, utilizando la expresión (2.37) y teniendo en cuenta la
ortogonalidad de ambos ( T (1 ) ⋅ T (2 ) = 0 ) y las igualdades T (1 ) ⋅ E ⋅ T (1 ) = E11 ,
T (2 ) ⋅ E ⋅ T (2 ) = E 22 y T (1 ) ⋅ E ⋅ T (2 ) = E12 ,



40

cos θ =

T (1) ⋅ (1 + 2E)⋅ T (2 )
1 + 2 T (1) ⋅ E ⋅ T (1 )

o lo que es lo mismo:
θ ≡ θ xy =

1 + 2 T (2 ) ⋅ E ⋅ T (2 )

=

2 E12
1 + 2 E 11

(2.42)

1 + 2 E 22

2 E XY
π
− arcsin
2
1 + 2 E XX 1 + 2 E YY

(2.43)

y el incremento del ángulo final respecto a su valor inicial resulta:
2 E XY
∆Θ XY = θ xy − Θ XY = −arcsin
$
1 + 2 E XX 1 + 2 E YY
π
2
X3, Z

t0

t

P
Q

T

T (2 )

R

P´

π2

(1 )

R´
θ = θ xy

Q´
T

(2.44)

(1 )

T

(2 )

1
 
= 0
0
 
0
 
= 1 
0
 

X 2 ,Y

Figura 2-8

X1, X

Resultados análogos se obtienen partiendo de pares de segmentos orientados
según las distintos ejes de coordenadas llegándose a:
∆Θ XY = − arcsin

2 E XY
1 + 2 EXX 1 + 2 EYY

∆Θ XZ = − arcsin

2 E XZ
1 + 2 EXX 1 + 2 EZZ

∆ΘYZ = −arcsin

2 EYZ
1 + 2 EYY

1 + 2 EZZ

Observación 2-10
En las componentes E XY , E XZ y EYZ (o E12 , E13 y E 23 ) del tensor
E (denominadas deformaciones transversales) está contenida la
información sobre la variación de los ángulos entre segmentos
diferenciales inicialmente (en la configuración material) orientados en
las direcciones X , Y y Z .
•

Si E XY = 0 ⇒ La deformación no produce variación del ángulo
de dos segmentos inicialmente situados en las direcciones X e Y .

•

Si E XZ = 0 ⇒ La deformación no produce variación del ángulo
de dos segmentos inicialmente situados en las direcciones X y Z .

•

Si EYZ = 0 ⇒ La deformación no produce variación del ángulo
de dos segmentos inicialmente situados en las direcciones Y y Z .


(2.45)

41


En la Figura 2-9 se presenta la interpretación física de las componentes del
tensor material de deformación sobre un paralelepípedo elemental en el
entorno de una partícula P con aristas orientadas según los ejes coordenados.
t
F
t0

dx (3 )

X3, Z
S
dX
dX

P´

(3 )

(1)

P

1 + 2 E XX dX

S´

dX (2 )

Q´

2
θ yz dx ( )

θ xz

θ xy

dx (1)

Q

1 + 2 EZZ dZ

ˆ
e3
X 2 ,Y

R

R´

1 + 2 EYY dY

ˆ
e2

ˆ
e1

∆Θ
∆Θ

X1, X

XY

XZ

= − arcsin

= −arcsin

∆Θ
= − arcsin
YZ

2 E XY
1 + 2 E XX

1 + 2 EYY

2 E XZ
1 + 2 E XX

1 + 2 E ZZ

2 EYZ
1 + 2 EYY

1 + 2 E ZZ

Figura 2-9 – Interpretación física del tensor material de deformación
2.7.2 Tensor espacial de deformación
Argumentos parecidos a los de la sección 2.7.1 permiten interpretar a su vez las
componentes del tensor espacial deformación:
e xx

e ≡ e xy
e xz


e xz  e11

e yz  = e12

e zz  e13
 

e xy
e yy
e yz

e12
e 22
e23

e13 
e 23 

e33 


(2.46)

Las componentes de la diagonal principal (deformaciones longitudinales)
pueden interpretarse en función de los estiramientos y alargamientos unitarios
de segmentos diferenciales orientados según los ejes coordenados en la
configuración actual o deformada:
λ1 =
λ2 =
λ3 =

1
1 − 2e11
1
1 − 2e 22
1
1 − 2e33

=
=
=

1
1 − 2e xx
1
1 − 2e yy
1
1 − 2e zz

⇒ εx =
⇒ εy =
⇒ εz =

1
1 − 2e xx
1
1 − 2e yy
1
1 − 2e zz

−1
−1

(2.47)

−1

mientras que las componentes de fuera de la diagonal principal (deformaciones
transversales) contienen información sobre la variación de ángulos entre



42

segmentos diferenciales orientados según los ejes coordenados en la configuración
actual o deformada:
∆θ xy =

2e xy
π
− Θ XY = − arcsin
2
1 − 2 e xx 1 − 2 e yy

∆θ xz =

2e xz
π
− Θ XZ = − arcsin
2
1 − 2 e xx 1 − 2 e zz

∆θ yz =

2e yz
π
− Θ YZ = − arcsin
2
1 − 2 e yy 1 − 2 e zz

(2.48)

El resumen de la correspondiente interpretación física se presenta en la Figura
2-10:
1 − 2e xx dx

t0

F −1

S
dX

(3 )

P Θ XZ

t

(2 )
ΘYZ dX

S′

R
1 − 2e zz dz

Θ XY

dX

∆θ

∆θ

xy

xz

yz

dx ( 3)

dx ( 2 )

dx (1) P ′

(1)

1 − 2e yy dy

= − arcsin

= − arcsin

= − arcsin

ˆ
e1

2e xy
1 − 2 exx

1 − 2eyy

ˆ
e2

x2,y

x1 , x

2e xz
1 − 2exx

R′

Q′

ˆ
e3

Q
∆θ

x3 ,z

1 − 2ezz

2e yz
1 − 2eyy

1 − 2 ezz

Figura 2-10 – Interpretación física del tensor espacial de deformación

2.8 Descomposición polar

Un tensor de segundo
orden Q es ortogonal
si se verifica:

Q T ⋅ Q = Q ⋅ QT = 1

El teorema de descomposición polar del análisis tensorial establece que dado un
tensor de segundo orden F tal que F 0 , existen un tensor ortogonal Q , y
dos tensores simétricos U y V :


not


V = F ⋅ FT


−1
−1
Q = F ⋅ U = V ⋅ F


not

U = FT ⋅ F

⇒

F =Q⋅U = V⋅Q

(2.49)

La descomposición (2.49) es única para cada tensor F y se denomina
descomposición polar por la izquierda ( F = Q ⋅ U ) o descomposición polar por la derecha
( F = V ⋅ Q ) y a los tensores U y V tensores derecho e izquierdo de
estiramiento, respectivamente.


43


N O T A

Para obtener la raíz
cuadrada de un tensor
se procede a
diagonalizar el tensor,
se obtiene la raíz
cuadrada de los
elementos de la
diagonal de la matriz de
componentes
diagonalizada y se
deshace la
diagonalización.

Observación 2-11
Un tensor ortogonal Q recibe el nombre de tensor de rotación y a la
aplicación y = Q ⋅ x se la denomina rotación. Una rotación tiene las
siguientes propiedades:
•

Cuando se aplica a cualquier vector x , el resultado es un vector
y = Q ⋅ x del mismo módulo:
y

2

= y ⋅ y = [y ] ⋅ [y ] = [Q ⋅ x ] ⋅ [Q ⋅ x] = x ⋅ Q T ⋅! ⋅ x = x ⋅ x = x
# Q
T

T

2

1

•

El resultado de multiplicar (aplicar) el tensor ortogonal Q a dos
vectores x (1) y x ( 2 ) con el mismo origen y que forman entre sí un
ángulo α , mantiene el mismo ángulo entre las imágenes
( y (1) = Q ⋅ x (1) e y ( 2 ) = Q ⋅ x ( 2 ) ):
y (1) ⋅ y ( 2 )
y (1) y ( 2 )

=

x (1) ⋅ QT ⋅ Q ⋅ x ( 2 )
y (1) y ( 2 )

=

x (1) ⋅ x ( 2 )
x (1) x ( 2 )

= cos α

En consecuencia la aplicación (rotación) y = Q ⋅ x mantiene los
ángulos y las distancias.
Considerando ahora el tensor gradiente de la deformación y la relación
fundamental (2.2) ( dx = F ⋅ dX ) y la descomposición polar (2.49) se obtiene:
N O T A C I O N

Se utiliza aquí la
notación ( ) ) para
indicar la composición
de dos aplicaciones
ξyϕ:

z = ϕ ) ξ (x)

deformació n
(% '%%
%

rotación
(
'
dx = F ⋅ dX = (V ⋅ Q ) ⋅ dX = V ⋅ ( Q ⋅ dX )

(2.50)

not

F(•) ≡ deformació n ) rotación (•)
(%rotación%
% '% %
%
deformació n
(
'
dx = F ⋅ dX = (Q ⋅ U ) ⋅ dX = Q ⋅ ( U ⋅ dX )
F(•) ≡ rotación ) deformació n (•)

Observación 2-12
Las ecuaciones (2.50) establecen que el movimiento relativo en el
entorno de una partícula durante el proceso de deformación
(caracterizado por el tensor F ) puede entenderse como la composición
de una rotación (caracterizada por el tensor de rotación Q , que
mantiene ángulos y distancias) y una deformación propiamente dicha (que
modifica ángulos y distancias) caracterizada por el tensor V (ver
Figura 2-11).


(2.51)


44

Observación 2-13
•

Alternativamente las ecuaciones (2.51) permiten caracterizar el
movimiento relativo en el entorno de una partícula durante el
proceso de deformación como la superposición de una deformación
propiamente dicha (caracterizada por el tensor U ) y una rotación
(caracterizada por el tensor de rotación Q ).

•

Un movimiento de sólido rígido es un caso particular de
deformación caracterizado por U = V = 1 y Q = F .

F
X3

t0

Q ⋅ dX

P'

P

Rotación
dX

t

dX

Rotación

ˆ
e3

ˆ
e1

Deformación

dx = V ⋅ Q ⋅ dX

dx = Q ⋅ V ⋅ dX
ˆ
e2

X2

V ⋅ dX
P'

Deformación

X1
F

dX

Figura 2-11 – Descomposición polar

2.9 Variación de volumen
Consideremos una partícula P del medio continuo en la configuración de
referencia, ( t = 0 ) que tiene asociado un volumen diferencial dV0 (ver Figura 212) que queda caracterizado mediante las posiciones de otras tres partículas Q ,
R y S de su entorno diferencial, alineadas con P según tres direcciones
arbitrarias. El diferencial de volumen dVt , asociado a la misma partícula en la
configuración actual (a tiempo t ), quedará asimismo caracterizado por las
correspondientes puntos espaciales P ′ , Q ′ , R ′ y S ′ de la figura (cuyas
posiciones configurarán un paralelepípedo que ya no está orientado según los
ejes coordenados como ocurre en la configuración material).
Sean dX (1) , dX ( 2 ) y dX (3) los vectores de posición relativos entre partículas en
la configuración material, y dx (1) = F ⋅ dX (1) , dx ( 2 ) = F ⋅ dX ( 2 ) y dx (3) = F ⋅ dX (3)
sus homólogos en la configuración espacial. Evidentemente se cumplen las
relaciones:


45


 dx ( i ) = F ⋅ dX ( i )

 (i )
(i )
dx j = F jk ⋅ dX k


El volumen de un
paralelepípedo puede
calcularse como el
producto mixto
(a × b) ⋅ c de los
vectores-arista a , b y
c que concurren en
cualquiera de sus
vértices.
Por otra parte, el
producto mixto de tres
vectores es el
determinante de la
matriz constituida por
las componentes de
dichos vectores
ordenadas en filas

(2.52)

i, j, k ∈{1,2,3}

Los volúmenes asociados a la partícula en ambas configuraciones pueden
escribirse como:

(

)

dV0 = dX (1) × dX (2 ) ⋅ dX (3)

(

dVt = dx

(1)

× dx

(2 )

)⋅ dx

(3 )

(
(
 dX 1(1) dX 21) dX 31) 
 (2 )
(
( 
= det dX 1
dX 22 ) dX 32 )  = M
(
(
 dX 1(3 ) dX 23 ) dX 33 ) 

#%%% %%%%
%
!

[M ]

 dx (1)

=

dx (1)

(
dx 31)



dx 3
=m
(3 ) 
dx 3
#%%% %%%% 
%
!
[m ]

1
 (
det dx1 2 )
 dx (3 )
 1

M ij = dX (ji )

2
(
dx 22 )
(
dx 23 )

mij = dx (ji )
t
X 3 , x3
S′

F
t0
dV0

P´
S

dX

(1)

P

(2.53)

(2 )

dx (3 )
R´
dx(2 )

dx(1)

dX(3 )
ˆ
e3

R
dX(2 )

Q

ˆ
e1

Q´

dVt

ˆ
e2

X 2 , x2

X 1 , x1

Figura 2-12 – Variación de un elemento diferencial de volumen
Por otro lado, considerando las expresiones (2.52) y (2.53) puede escribirse:
T
mij = dx (ji ) = F jk dX k(i ) = F jk M ik = M ik Fkj

⇒ m = M ⋅ FT

(2.54)

y, en consecuencia:
N O T A

Se utilizan aquí las
expresiones:
A⋅B = A B y

AT = A




⇒
0

dVt = dV ( x( X, t ), t ) = F ( X, t ) dV ( X,0) = F t dV 0 


dVt = m = M ⋅ F T = M F T = F M = F dV 0
$
dV


dVt = F t dV0

(2.55)


46

2.10 Variación del área
Consideremos ahora el diferencial de área dA asociado a una partícula P en la
configuración de referencia y su variación a lo largo del tiempo. Para definir
dicho diferencial de área, consideraremos dos partículas Q y R del entorno
diferencial de P , cuyas posiciones relativas respecto a la misma son dX (1) y
dX (2 ) (ver Figura 2-13). Consideremos también una partícula auxiliar
cualquiera S y su vector de posición relativo dX (3 ) . Asociado al escalar diferencial
de área, dA , definiremos el vector diferencial de área dA = dA N cuyo módulo es
dA y cuya dirección es la de la normal N .
En la configuración actual, en el tiempo t , la partícula ocupará un
punto espacial P ′ , y tendrá asociado un diferencial de área da que, a su vez,
define un vector diferencial de área da = da n , donde n es la correspondiente
normal. Consideremos también las posiciones de las demás partículas Q ′ y R ′ y
S ′ y sus vectores de posición relativos dx (1) , dx (2 ) y dx (3 ) .
n

t0

X 3 , x3

N

.

dA

dh

P´

dX(3 ) 2
( )
P dX R

dX(1)

ˆ
e3

ˆ
e1

Q

da = n da
S´

dx (3)
dx ( 2)

F
dA = N dA
S

dH

.

t

dx (1)

ˆ
e2

R´

da

Q´
X 2 , x2

X 1 , x1

Figura 2-13 – Variación del área
Los volúmenes dV0 y dVt de los respectivos paralelepípedos podrán calcularse
como:
dV0 = dH dA = d%(3 ) % dA = dX (3 ) ⋅ N dA = dA ⋅ dX (3 )
X
N
# ⋅!
$
dH
dA

(3 )
dVt = dh da = dx! da = dx (3 ) ⋅ n da = da ⋅ dx (3 )
# %
% ⋅n
$
dh
da

N O T A

Se tiene en cuenta aquí
el siguiente teorema del
álgebra tensorial: dados
dos vectores a y b , si
se cumple que
a ⋅ x = b ⋅ x para todo
vector x ⇒ a = b .

(2.56)

y teniendo en cuenta que dx (3) = F ⋅ dX (3 ) , así como la ecuación de cambio de
volumen (2.55), puede escribirse:
da ⋅ F ⋅ dX (3 ) = da ⋅ dx (3 ) = dVt = F dV 0 = F dA ⋅ dX (3 )

∀dX (3 )

(2.57)

Comparando el primer y último término de (2.57), y teniendo en cuenta que la
posición relativa de la partícula S es cualquiera ( y por tanto también lo es el
vector dX ( 3) ), se llega finalmente a:
da ⋅ F = F dA ⇒

da = F dA ⋅ F −1


(2.58)


47

Para obtener una relación entre los escalares diferencial de área dA y da se
sustituyen las expresiones dA = N dA y da = n da en la ecuación (2.58) y se
toman módulos:
da n = F N ⋅ F −1 dA ⇒ da = F N ⋅ F −1 dA

(2.59)

2.11 Deformación infinitesimal
La teoría de la deformación infinitesimal (también denominada teoría de pequeñas
deformaciones) se basa en dos hipótesis simplificativas sobre la teoría general (o
de deformación finita) vista en apartados anteriores (ver Figura 2-14).
Hipótesis:
1) Los desplazamientos son muy pequeños frente a las dimensiones típicas
del medio continuo ( u X ).
2) Los gradientes de los desplazamientos son muy pequeños (infinitesimales).
t

t0

u

P′

P

X3,Z

X

x

ˆ
e2

X 2 ,Y

ˆ
e3

ˆ
e1
X1, X

Figura 2-14

En virtud de la primera hipótesis las configuraciones de referencia, Ω 0 y actual,
Ω t , están muy próximas entre sí y se consideran indistinguibles una de otra.
En consecuencia, las coordenadas materiales y espaciales coinciden y ya no
tiene sentido hablar de descripciones material y espacial:
not

x = X + u ≅ X
U(X, t ) = u(X, t ) ≡ u(x, t )
⇒

not
 xi = X i + u i ≅ X i
U i (X, t ) = u i (X, t ) ≡ u i (x, t ) i ∈{1,2,3}


(2.60)

La segunda hipótesis puede escribirse matemáticamente como:
∂u i
1,
∂x j

∀i, j ∈{1, 2,3}


(2.61)


48

2.11.1 Tensores de deformación. Tensor de deformación
infinitesimal
Los tensores gradiente material y gradiente espacial de los desplazamientos
coinciden. En efecto, a la vista de la ecuación (2.60):
∂U i
x j = X j
∂u
= J ij ⇒ j = J
⇒ jij = i =

∂x j ∂X j
u i (x, t ) = U i ( X, t )

(2.62)

y el tensor material de deformación resulta ser:

(

) (

)

1
1

T
T
T
E = 2 J + J + J J ≅ 2 J + J


E = 1  ∂u i + ∂u j + ∂u k ∂u k  ≅ 1  ∂u i + ∂u j



 ij 2  ∂x j ∂xi
∂xi ∂x j  2  ∂x j ∂x i



# % 
% !

1








(2.63)

donde se ha tenido en cuenta el carácter de infinitésimo de segundo orden del
término

∂u k ∂u k
. Operando similarmente con el tensor espacial de
∂xi ∂x j

deformación:

(

) (

) (

)

1
1
 1
T
T
T
T
e = 2 j + j − j j ≅ 2 j + j = 2 J + J



∂u j ∂u k ∂u k  1  ∂u i ∂u j 
1  ∂u
≅ 

eij =  i +
+
−
2  ∂x j ∂x i
∂x i ∂x j  2  ∂x j ∂x i 




# % 
% !

1

N O T A C I Ó N

gradiente simétrico ∇ s
mediante: ∇ s (•) =

1
[(•) ⊗ ∇ + ∇ ⊗ (•)]
2

(2.64)

Las ecuaciones (2.63) y (2.64) permiten definir el tensor de deformación infinitesimal
(o tensor de pequeñas deformaciones) ε :

(

)

not
1

T
s
ε = 2 J + J = ∇ u

deformació n → 

∂u 
ε ij = 1  ∂u i + j 
infinitesi mal

2  ∂x j ∂x i 




Tensor de

Observación 2-14
Bajo la hipótesis de deformación infinitesimal los tensores material y
espacial de deformación coinciden y colapsan en el tensor de deformación
infinitesimal.
E(x, t ) = e( x, t ) = ε (x, t )


(2.65)


49

Observación 2-15
El tensor de deformación infinitesimal es simétrico, tal como se observa de su
definición en la ecuación (2.65):
εΤ =

(

1
J + JT
2

)

T

=

(

)

1
J + JT = ε
2

Observación 2-16
Las componentes del tensor infinitesimal de deformación ε son infinitésimos
( ε ij 1 ). La demostración es evidente a partir de la ecuación (2.65) y
la condición de infinitésimo de las componentes de J = j (ver
ecuación (2.61)).

Ejemplo 2-4 – Para el movimiento del Ejemplo 2-1, determinar bajo qué condiciones
constituye un caso de deformación infinitesimal. Para dicho caso obtener el tensor infinitesimal
de deformación. Comparar con el resultado obtenido a partir de los tensores espacial y
material de deformación del Ejemplo 2-2 considerando las hipótesis de deformación
infinitesimal.
 x1 = X 1 − AX 3

a) Las ecuaciones de movimiento vienen dadas por  x 2 = X 2 − AX 3
de las
 x = − AX + AX + X
1
2
3
 3

cuales

se

obtiene
el
campo
de
desplazamientos:
U 1 = − AX 3

. Es evidente que para que
U ( X , t ) = x − X ≡  U 2 = − AX 3
 U = − AX + AX
1
2
 3
los desplazamientos sean infinitesimales debe cumplirse que A sea un
infinitésimo ( A 1 ).

b) Tensor de deformación: El tensor gradiente de los desplazamientos
J ( X, t ) = j(x, t ) vendrá dado por:
 − AX 3

 ∂ ,
J = U ⊗ ∇ =  − AX 3

  ∂X 1

− AX 1 + AX 2 



∂
,
∂X 2

0 − A
 0
∂  
0 − A
= 0

∂X 3  

− A A 0 



y el tensor infinitesimal de deformación, de acuerdo con la ecuación (2.65),
será:
 0 0 − A
ε=∇ U= 0 0 0 


− A 0 0 


s

c) Tensores material y espacial de deformación: En el Ejemplo 2-2 los tensores
material y espacial de deformación resultan ser, respectivamente:


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