Este documento describe el método de la sección transformada para analizar esfuerzos de flexión en vigas compuestas. El método consiste en transformar la sección compuesta en una sección equivalente de un solo material, permitiendo analizar la viga como si fuera homogénea. Primero se transforma la sección para localizar el eje neutro en la misma posición, luego se calcula la inercia de la sección transformada y por último se convierten los esfuerzos de vuelta a la sección original. El documento también explica la aplicación de este método para vigas

1. 115
6. SECCIÓN TRANSFORMADA Y FLEXIÓN ASIMÉTRICA
6.1. MÉTODO DE LA SECCIÓN TRANSFORMADA
Es un método para analizar esfuerzos de flexión en una viga compuesta de varios materiales, el
más común es el concreto reforzado, también se acostumbra reforzar vigas de madera con
platinas. La teoría de la flexión se puede aplicar en forma directa a las vigas compuestas, debido a
que se asume que el material es homogéneo y las deformaciones y esfuerzos varían
proporcionalmente con la profundidad del eje neutro, solo es válido para materiales dentro del
rango elástico-lineal. El método consiste en transformar toda la viga en un solo material
homogéneo, si es concreto reforzado, se transforma el acero en concreto y si es madera reforzada,
las platinas de acero se transforman en madera.
Procedimiento:
1. El primer paso es transformar la sección transversal de una viga compuesta en una equivalente
de una viga de un solo material.
2. Después se analiza la viga normalmente por flexión.
3. Por último, los esfuerzos en la sección transformada se convierten a los de la viga original.
Se supone una viga hecha de dos materiales diferentes, el material (A) y el material (B).
El eje neutro EN de la sección transformada debe de localizarse en el mismo lugar de la viga
original, y se encuentra a partir de la condición de equilibrio horizontal, la sumatoria de fuerzas
horizontales resultantes en la sección que actúa en la sección transversal es cero.
∑ = 0HF
∫∫ =+
B
b
A
A dAdA 0σσ
Reemplazando:

2. 116
∫∫ ==
AA
x EkydAdA 0σ
∫∫ =+
B
A
BA ydAkEydAkE 0
Como la curvatura es igual en la sección transversal, la integral queda:
∫∫ =+
B
A
BA ydAEydAE 0
Las integrales representan el primer momento de área de la sección transversal con respecto al
eje neutro, por lo tanto deben ser iguales. Si se define n como la razón modular:
A
B
E
E
n = Razón modular
Reemplazando, se observa que el eje neutro no cambia si cada elemento de área dA del elemento
B, se multiplica por la razón modular.
∫∫ =+
B
A
nydAydA 0
La nueva sección transversal queda formada por dos áreas:
1. El Área (A) permanece igual
2. El Área (B) con el ancho b multiplicado por n.
En la Superficie de contacto.
y
z
1
2
3
b ε3
ε1
ε2
σA=EAε1
EN
σB2
σB=EBε3
σA2
A
B

3. 117
Si AB EE > , utilizando la ley de Hooke, en la superficie de contacto los esfuerzos son:
22 εσ AA E=
22 εσ BB E=
La deformación en el nivel 2 es igual en los dos materiales, igualando la deformación:
B
B
A
A
EE
22 σσ
=
Los esfuerzos en el material B en el nivel 2, son iguales a los esfuerzos en el material A
multiplicado por n, en el nivel 2.
222 AA
A
B
B n
E
E
σσσ ==
Los esfuerzos de flexión en la viga transformada, se calculan asumiendo que la relación
momento curvatura, en la viga transformada, es igual que en la viga original. El par interno
resistente en la sección es:
∫= ydAM xσ
∫ ∫+=
A B
xx ydAydAM σσ
∫∫ +=
B
B
A
A dAykEdAykEM 22
∫ dAy2
: La integral es el momento de inercia de área.
( )BBAABBAA IEIEkkIEkIEM +=+=
( )BBAA IEIE
M
k
+
= Factorizo EA:
( )BAA
B
A
B
AA
nIIE
M
I
E
E
IE
M
k
+
=






+
=
Se sabe que Ekyx =σ , se igualan las curvaturas:
( ) yEnIIE
M
A
A
BAA
σ
=
+
y
nII
M
BA
A
+
=σ

4. 118
T
A
I
My
=σ Esfuerzos de flexión en el material (A).
B
B
A
ABAT I
E
E
InIII +=+= : Momento de inercia de la sección transformada.
Los Esfuerzos en el material (A) de la viga original son los mismos que en la parte
correspondiente de la viga transformada. Mientras que en la viga original con material (B), los
esfuerzos son diferentes de los de la viga transformada.
BBAA
B
B
IEIE
MyE
+
=σ
Esfuerzos en el material (B) de la sección transformada.
n
I
My
T
B =σ
PROBLEMA 6.1: La viga solera de 3”X6”mostrada esta reforzada con una platina de ½”.
Calcular Tσ y maxcσ en la madera y la platina, si mkNMactuante .20=
maxσ .en el acero GPaEm 10= GPaEa 200=
Razón modular: 20
10
200
===
m
a
E
E
n
Ancho de la sección transformada pgbT 6020*3 ==
Eje neutro:
( ) ( ) cmpg
Ai
Aiy
y 73.347.1
)5.0(60)3(6
5.0)(6025.03)(65.3
==
+
+
==
∑
∑

5. 119
Inercia de la sección trasformada: Se calcula por el teorema de los ejes paralelos
2323
)25.047.1(*5.0*60)5.0)(60(
12
1
)47.15.3(*6*36*3
12
1
−++−+=TI
454
10*2197.745.173 mpgIT
−
==
Esfuerzos normales en la madera.
( )
( ) )(81.6
10*2197.7
0127.00373.010*20
)(4.35
10*2197.7
0373.01651.010*20
5
3
5
3
4
TensiónMPa
CompresiónMPa
mB
m
=
−
=
−=
−
−=
−
−
σ
σ
Esfuerzos normales en el acero.
)(29.13620*
10*2197.7
)0127.00373.0(*10*20
)(66.20620*
10*2197.7
0373.0*10*20
5
3
5
3
TensiónMPa
TensiónMPa
aB
aC
=
−
=
==
−
−
σ
σ
6.2. VIGAS DE CONCRETO REFORZADO – MÉTODO ELÁSTICO
El concreto es un excelente material de construcción, no se oxida, no es combustible, ni se pudre.
Tiene buena resistencia a la compresión, pero la resistencia a la tensión es prácticamente nula.
Por esto la parte del elemento estructural que trabaja en tensión se refuerza con varillas
longitudinales de acero. Lo ideal sería que estas barras siguieran los esfuerzos de tensión, pero en
la practica se colocan en una o varias capas. Existe una fuerte adherencia entre el cemento y el
acero, lo cual se mejora con las varillas corrugadas y en vigas largas se genera suficiente fricción
para evitar el deslizamiento, pero en vigas cortas se necesita el uso de ganchos. A demás el acero
y concreto poseen un coeficiente de dilatación térmica Tα similar.
Se supone que el acero soporta la tensión total y está sometido a un esfuerzo uniforme, como si
toda la sección estuviera a igual distancia del eje neutro, y que la línea de acción de la resultante
de tensión pasa por el centro del refuerzo. En el concreto se supone que los esfuerzos varían
linealmente con la distancia al eje neutro y la resultante de fuerzas pasa por el centroide del
triangulo de esfuerzos de compresión.

6. 120
d : Altura útil: distancia desde la fibra mas comprimida al centro de gravedad del área de
refuerzo.
k : Constante menor que la unidad que multiplicada por la altura útil, equivale a la profundidad
del eje neutro EN
j : Constante menor que la unidad, que multiplicada por la altura útil o efectiva (jd)
fc = 0.45f’c Esfuerzo máximo admisible del concreto en compresión método elástico
f’c: Esfuerzo máximo de compresión
As: Área del acero de refuerzo
fs : Esfuerzo máximo admisible o de trabajo del acero a tracción.
C: Resultante de fuerza en compresión
T. Resultante de fuerza en tensión.
a : recubrimiento 4 cm<a<7.5cm (NSR – 10)
Sección transformada con refuerzo inferior
y
I
M
fc =
esfuerzoelcalculasedondehastaE.N.eldesdeDistancia:y
ansformadaseccion trladeInercia:I
seccionlaenactuanteMomento:M
compresionotensiondeEsfuerzo:
E.N.delPosicion:kd
if

7. 121
At: Área transformada teórica.
Si se supone que la deformación en el acero es igual a la del concreto equivalente, se tiene:
)1(ts εε =
eequivalentconcretoelennDeformacio:
aceroelennDeformacio:
t
s
ε
ε
De la ley de Hooke:
)3(y(2) tctsss EfEf εε ==
Reemplazando (2) y (3) en (1)
c
t
s
s
E
f
E
f
=
n
f
fnff
E
E
f s
ttt
c
s
s === ó
De igual forma la tensión en el acero debe ser igual a la tensión en el área de concreto
equivalente.
ts TT =
eequivalentconcretoelenTension:
aceroelen:
t
s
T
TensionT
ttss fAfA =
t
s
t
s A
f
f
A = st nAA = acerodeadatransformArea=tA
Tomando el primer momento de área respecto a la posición del E.N. de la sección transformada
agrietada, se obtiene:
∑ = 0
EN
Q
( )kddnA
kd
bkd s −=
2
( ) 0
2
2
=−+ dnAkdnA
kd
b ss
La anterior ecuación da la posición del eje neutro. El momento de inercia de la sección
transformada respecto al E.N. es:

8. 122
tensionaresistenteMomento:
compresionaresistenteMomento:
aceroelentensionaEsfuerzo:
concreto.elencompresionEsfuerzo:
s
c
s
c
M
M
f
f
mpafa
Mpacf
mmd
cmocubrimient
n
mmAa
mmh
mmb
200
21
500
5Re
8
1500
550
300
2
=
=′
=
=
=
=
=
=
( ) ( )2
3
3
kddnAI
kdb
I sAEN t
−++=
( ) compresiónaconcretodelInercia:
3
3
kdb
respecto al eje neutro.
ejepropiosuarespectoconcretodeeequivalentsecciónladeInercia:tAI
Una vez encontrada la posición del E.N. y la inercia, se procede a calcular los esfuerzos o
momentos resistentes:
kd
If
I
M
f ENc
EN
c
c == cMkd
( )
n
f
I
kddM
f s
EN
t =
−
= tfpero
( )
EN
s
s
I
kddnM
f
−
=
( )kddn
If ENs
−
=sM
PROBLEMA 6.2: Calcular los esfuerzos, máximos en el concreto y acero si el momento
flexionante máximo Mmax=70 kN.m
Eje neutro

9. 123
445.0445164.
3
1
500
3
1
164.0164
0500.1500.81500)(
2
300
0)(
2
2
2
==−=−=
==
=−+
=−+
mmkddjd
mmmkd
kdkd
nAadAakdkd
b
MPakd
I
M
fc
MPa
jdAa
M
fa
MPa
jdbkd
M
fc
EN
39.6164.0*
10*796.1
10*70
105
445.0*1500
10*70
)(
39.6
445.0*164.0*3.0
10*70*2
))((
2
3
3
3
3
===
===
===
−
43
492
3
10*796.1
10*796.1)164500(*1500*8
3
)164(300
mI
mmI
EN
EN
−
=
=−+=
PROBLEMA 6.3: Calcular los momentos resistentes positivos para una viga T con una luz de
7.0 m, bajo una carga uniformemente distribuida usando la sección transformada agrietada. Se
tiene ,21,
MPacf = fc=0.45f´c, MPafy 420= , fs = 170 MPa, 200GPaEs = . Se supone que la
viga forma parte de una luz interior y no sostiene muros.
1. Sección Transformada agrietada
Se asume inicialmente que el E.N. queda localizado dentro del ala.

10. 124
( ) 0
2
2
=+− kdnAdnA
kd
b ss
b = 0.90m
( ) ( )[ ] 2
05.25887.3*210.5*3*2.11 cmnAA st =+==
Altura efectiva: (d)
( ) ( )
( ) ( )87.3*210.5*3
19.10*87.3*227.5*10.5*3
+
+
=′= dy
cmcmy 0.792.6 ≈=
mdhd 43.007.050.0 =−=′−=
( ) ( )
( )
cmkdcmkd
kdkd
kd
kd
83.1810.13
015.1109605.25845
005.25843*05.258
2
90
21
2
2
−==
=−+
=+−
Como 10.131 cmkd = > 10cm; el centroide cae dentro del alma.
Tomando el primer momento de área respecto a la posición del eje neutro, o igualando los
primeros momentos de área por arriba y por abajo del eje neutro, se tiene:

11. 125
( ) ( )( ) ( )kd
kd
kdkd −=
−
−+− 43*05.258
2
10
10*205*10*90
( ) kdkdkdkd 05.25815.110961000200104500900
2
−=+−+−
( ) 015.1459605.95810
2
=−+ kdkd
cmkd 4.131 = cmkd 2.1092 −=
Se calcula el momento de inercia de la sección transformada agrietada respecto al eje neutro.
2
3
2
3
6.29*05.258
3
4.3*20
4.8*10*90
12
10*90
++++= tAEN II
La inercia de tAI , sección de acero transformada en concreto respecto a su propio eje,
generalmente se desprecia, pero se calculara a manera de ejemplo.
cm
d
A
b
bar
t
t 9.106
5
2*22.23*54.2
05.258
=
+
==
cmht 414.2=
2
3
32.125
12
414.2*9.106
cmI tA ==
2. Los momentos resistentes serán:
Momento resistente admisible en el concreto:
EN
c
I
Mkd
f =

12. 126
mkN
kd
If
M ENc
c .9.210
134.0
10*975.2*10*5.9 36
===
−
Momento resistente admisible en el acero
( ) ( )
( )
( )
mkN
kddn
If
M
I
kddMn
f
I
kddM
n
f
I
kddM
f
ENs
s
EN
s
EN
s
EN
t
.5.152
296.0*2.11
10*2975*10*170
.
36
==
−
=
−
=
−
==
−
=
−
3. Carga admisible para una luz interior.
16
2
nu
u
lw
M = 2
3
2
7
10*5.152*1616
==
n
u
u
l
M
w
m
kNwu 8.49=
4. Esfuerzos de trabajo
MPafs 170=
MPa
kdd
kd
n
f
f s
c 84.6
134.043.0
134.0
2.11
170
=
−
=
−
=
PROBLEMA 6.4: Para la viga cajón mostrada hallar los momentos resistentes en la sección, si
,21,
MPacf = fc=0.45f´c, MPafy 420= , fs = 170 MPa,. La viga forma parte de una luz
interior de 8.0 m que soporta una carga uniformemente distribuida 50 kN/m. Calcular también
los momentos de agrietamiento, el modulo de rotura es cf ′= λ62.0fR y el momento de
agrietamiento es
t
gR
y
If
=CRM , según el C.9.5.2.3 del NSR-10.
Donde:
nto.agrietamiedeMomento:M
.en tensionadmisibleesfuerzooconcretodelroturadeModulo:f
tension.lacalculasedondefibralahastaneutroejeeldesdemedidaDistancia:y
bruta.otalseccion toladeinerciadeMomento:
CR
R
t
gI

13. 127
1. Posición del eje neutro de la sección no agrietada.
( ) ( ) ( )
( ) ( )20.0*20.060.0*40.0
45.0*30.0*40.020.0*10.0*20.0*205.0*10.0*40.0
−
++
=Y
cmY 32.0=
2. Inercia bruta

14. 128
43
2
3333
10*587.6
27.0*1.0*20.0
12
10.0*20.0
3
02.0*20.0
3
32.0*10.0
*2
3
28.0*40.0
mI
I
g
gEN
−
=
++++=
3. Modulo de rotura
MPafR 84.221*1*62.0 ==
4. El momento de agrietamiento es:
mkNMcr
mkNMcr
apoyos
CL
.84.66
28.0
10*587.6*10*84.2
.48.58
32.0
10*587.6*10*84.2
36
36
==
==
−
−
5. Para una carga w = 50 kN/m, hallar el esfuerzo producido en el centro de la luz y en los
apoyos.
t
g
y
I
M
f =
5.1 Momento en el centro de la luz.
72.9
10*587.6
32.0*10*200
.200
16
8*10*50
16
ln
3
3
232
MPaf
mkN
w
M
CL
CL
==
===
−
Hay agrietamiento
5.2 Momento en los apoyos.
Hay agrietamiento
6. Momentos resistentes positivos usando sección transformada agrietada.
6.1 Primer momento de área respecto a la posición del E.N. Se asume que el E.N. queda por
encima del hueco.
MPaf
mkN
w
M
apoyos
apoyos
37.12
10*587.6
28.0*10*9.290
.9.290
11
8*10*50
11
ln
3
3
232
==
−==−=
−

15. 129
2
48.22810.5*4*2.11 cmAt ==
)55(*48.228
2
**40 kd
kd
kd −=
04.1256648.228)(20 2
=−+ kdkd
cmkd
cmkd
4.31
0.20
2
1
−=
=
Como cmkd 0.201 = , el E.N. queda por encima del hueco.
6.2 Inercia
( )2
3
2055*48.228
3
120*40
−++= AtEN II
cm
d
At
b
bar
t 95.89
54.2
48.228
===
4
3
84.122
12
54.2*95.89
cmIAt ==
434
10*867.351.386677 mcmIEN
−
==
6.3 Momento resistente admisible en el concreto.
( ) ( )
mkN
kddn
If
M ENc
c .7.183
20.02.11
10*867.3*10*5.9 36
==
−
=
−

16. 130
6.3 Momento resistente admisible en el acero.
( ) ( )
mkN
kddn
If
M ENs
s .7.167
20.055.02.11
10*3867*10*170 36
=
−
=
−
=
−
7. Carga admisible
mkN
M
w /93.41
8
7.167*16
ln
16
22
===
8. Esfuerzo de trabajo.
Mpa
kdd
kd
n
fs
f
Mpaf
c
s
67.8
20.055.0
20.0
2.11
170
170
=
−
=
−
=
=
Sección transformada con refuerzo a la compresión
Cuando el acero está en la zona de compresión o la zona de tensión no agrietada, se transforma
con nAs, esto desplaza un área de concreto igual a As. Como resultado, el acero en compresión es
transformado en un área de concreto equivalente a (n-1)A´s.
Cuando se usa el diseño por esfuerzos de trabajo, el área del concreto a la compresión se toma
como dos veces el área de refuerzo en compresión, siempre que el esfuerzo de compresión
resultante en el área, no sea mayor que el admisible que en tracción, ya que refleja el efecto del
creep sobre los esfuerzos. Con esto se pretende recuperar las características de elasticidad, ya que
a mayor deformación, el acero y el concreto pierden la elasticidad,
1)A´s(2nA´s2nA´sA´t −=−=

17. 131
Se toma ∑ = 0ENQ
[ ] [ ] 0nAsd1)A´sd´(2nkdnAs1)A´s(2n
2
2b(kd)
0nAskdnAsd1)A´sd´(2n1)A´skd(2n
2
2b(kd)
kd)nAs(dd´)1)A´s(kd(2n
2
2b(kd)
=+−−+−+
=+−−−−+
−=−−+
El Momento de inercia respecto al EN de la sección transformada es:
2kd)(dtAAtI2d´)A´t(kd
tA´I
3
3b(kd)
ENI −++−++=
PROBLEMA 6.5: Calcular la inercia de la Sección transformada no agrietada para la viga
mostrada. GPa200EsMPa,21f´c ==
Modulo de elasticidad del concreto, MPa17872213900Ec ==
Razón modular 11.2
17.87GPa
200GPa
Ec
Es
n ===
El concreto que reemplaza el acero, toma los esfuerzos y como la sección no se ha agrietado; el
esfuerzo de tensión en el concreto no ha excedido el modulo de rotura fr. El área transformada
para ambas capas de acero es 1)As(n − .
Acero superior: 2cm78.952)*(3.87*1)(11.2 =−

18. 132
Acero inferior: (11.2-1) * (3.87*4) = 157.9 2cm
Localización del centroide.
cm29Y
157.978.9560*30
5*157.955*78.9530*60*30
Y
i
A
i
Aiy
Y
0
i
Aiy
=
++
++
=
∑
∑
=
∑ =
Momento de inercia de la sección no agrietada:
Concreto:
4cm5418002(1)*60*30
12
360*30
cI =+=
Acero superior:
426.71cm2*
64
4πd
nI ==
cm35.56
2.22
78.95
bar
d
1)A´s-(n
b ===
453402.42cm5337032.42A´sI
278.95(26)
12
32.22*35.56
A´sI
=+=
+=
Generalmente se desprecia la inercia del acero respecto a su propio eje, por ser mucho menor que
la inercia producida por la diferencia entre el eje centroidal de las varillas y el de la sección
transformada.
Acero Inferior:
4cm53.414*
64
4π(2.22)
nI ==

19. 133
cm71.13
2.22
157.9
b ==
4m686206.42cAsIA´sIIcIg
491004cm90950.464.8525)-(29*157.9
12
32.22*71.13
AsI
=++=
=+=+=
PROBLEMA 6.6: Encontrar la inercia de la sección transformada agrietada Icr del problema
anterior. Se asume que el eje neutro esta más abajo que el acero de compresión.
Acero superior: 2
cm165.642)*(3.87*1)11.2*(2A´s =−=
Acero inferior: 2
cm173.383.87*4*11.2As ==
Localización del centroide: Se toma el primer momento de área respecto al EN
Parte Área ]2[cm [ ]cmy ]3cm[yA
Zona de compresión 30 c kd/2 15(kd)2
Acero Superior 165.64 kd - 5 165.64kd – 828.18
Acero Inferior 173.38 kd -55 173.38kd - 9535.9
∑ =−+= 010364.1339.02kd215kd0yA
0.315
55
17.31
d
c
kkdc
39.91cm2k17.31cm1
====
−== dkd
Momento de Inercia:
Concreto:

20. 134
4cm51867
3
317.31*30
Ic ==
Acero superior:
4cm25100.4425)(17.31*165.64A´sI =−=
Acero Inferior:
4m246292.55c217.31)(55*173.38AsI =−=
4cm323259.9Icr =
La inercia de la sección agrietada es el 47% de la no agrietada y el 59% de la de concreto.
6.3. VIGAS DOBLEMENTE SIMÉTRICAS CON CARGAS INCLINADAS
Suposiciones:
Los planos xy y xz son planos de simetría.
La carga inclinada pasa por el centroide de la sección transversal para que no haya torsión.
Convención:
Los Momentos son positivos cuando los vectores señalan en las direcciones positivas de los ejes
coordenados y por la regla de la mano derecha en sentido contrario a las manecillas del reloj.
y
Iz
Mz
z
Iy
My
APto x +−=σ:.
y
Iz
Mz
z
Iy
My
xBPto ++=σ:.
y
Iz
Mz
z
Iy
My
xCPto −−=σ.
y
Iz
Mz
z
Iy
My
xDPto −+=σ:.
Relación entre el eje neutro y la inclinación de las cargas.

21. 135
Esfuerzos en el punto A:
y
I
M
z
I
M
z
z
y
y
x −=σ
En el E.N. los esfuerzos son cero. 0=Xσ
0=− y
I
M
z
I
M
Z
Z
y
y
yz
zy
IM
IM
z
y
==βtan (1) Angulo entre el Eje neutro y el eje z.
)(cos)( XLPMXLPsenM zy −=−= θθ
(1)en(2))2(tanθ=
Z
Y
M
M
θβ tantan
Y
Z
I
I
=
El eje neutro no es perpendicular al plano longitudinal que contiene la carga P.
Hay tres excepciones a esta regla:
La carga se encuentra en el plano xy ( º180ó0=θ ), por lo tanto el eje z es el E.N
La carga se encuentra en el plano xz ( º90±=θ ), el eje y es el E.N
Cuando Zy II = , todos los ejes que pasan por el centroide son ejes principales y el eje neutro
siempre es perpendicular al plano de carga

22. 136
L=3m
P=100kN
X=1,0
θ=60°
x
PROBLEMA 6.7: Calcular los esfuerzos a una distancia x=1.0 desde el empotramiento en los
puntos A y C y la localización del eje neutro.
( ) ( ) kNmxLPM z 1001360cos10060cos =−=−=
( ) ( ) kNmsenxLPsenM y 2,173136010060 =−=−=
MPaA 1,15
12
5,03,0
25,0100
12
3,05,0
15,02,173
33
−=
×
×
+
×
×
−=σ
MPaC 1,31
12
3,05,0
15,02,173
12
5,03,0
25,0100
33
−=
×
×
−
×
×
−=σ
11,48
100
12
3,05,0
2,173
12
5,03,0
tan 3
3
=
×
×
×
×
==
zy
yz
MI
MI
β °= 94,31β
6.4. FLEXIÓN DE VIGAS ASIMÉTRICAS
La sección transversal es asimétrica y se supone que la viga esta en flexión pura. Se parte de un
eje neutro supuesto y se halla el momento flexionarte asociado
0,3m
0,5m
60°
B
C D
A
P Pcos60=50kN
Psen60=86.6kN
y
z
y
z
B
C D
A
My
Mz

23. 137
Se supone que Z es el E.N. El Signo (-) es cuando la parte por encima del eje Z está en
comprensión cuando la curvatura es (+) plano flexión xy
YEkyx =σ
La Fuerza resultante sobre la sección transversal es cero porque está en flexión pura.
∫ ∫ ==
A A
yx ydAEkdA 0σ
E y k son constantes en toda la longitud.
Como ,0=∫ ydA
A
el eje Z pasa por el centroide de la sección transversal.
Se supone que eje Y es el Eje neutro (EN)
zEkzx =σ
∫∫ ==
A
z
A
x zdAEkdA 0σ
Como ∫ =
A
zdA 0. El eje Y pasa por el centroide.
El origen de los ejes Z y Y para una viga asimétrica se localiza en el centroide. Una viga
asimétrica se flexiona de la misma manera que una viga simétrica si el eje Z es un eje centroidal
principal y el único momento flexionante es zM
Suponiendo flexión alrededor del eje Z y Y, los momentos flexionantes son:
∫ ∫ ===
A A
zyyxz EIkdAyEkydAM 2
σ

24. 138
∫ ∫ ===
A
yzzxy EIkdAzEkZdAM 2
σ
Cuando una viga asimétrica está en flexión pura, el plano del momento es perpendicular al EN si
los ejes Y y Z son ejes centroidales principales.
PROBLEMA 6.8: Una viga canal C10 X 15.3 está bajo un momento M=15 kips.pg, inclinado
º10=θ Respecto al eje Z. Calcular Aσ y Bσ y la posición del E.N.
Ejes centroidales principales
4
4
4.67
28.2
pgI
pgI
Z
y
=
=
C = 0.634 pg
Localización punto A.
pgZpgY AA 966.1634.06.20.5 =−==
Ancho patín o aleta = 2.6
Localización punto B.
pgpgY BB 634.0Z50 ==
Momentos Flexionantes






−





−=−−=
===
===
0.5*
4.67
8.14
966.1*
28.2
6.2
.8.1410cos*15cos
.6.210*15
A
Z
Z
A
y
y
A
Z
y
Y
I
M
Z
I
M
pgkipsMM
pgkipssenMsenM
σ
θ
θ
psiA 3340−=σ
psiY
I
M
Z
I
M
B
z
z
B
y
y
B .18210.5*
4.67
8.14
634.0*
28.2
6.2
=





+





=+=σ
psiB 1821=σ
Eje neutro
21.510tan
28.2
4.67
tantan === θβ
y
z
I
I
º
º14.79=β

25. 139
6.5. CENTRO DE CORTANTE
Para determinar los esfuerzos cortantes cuando las fuerzas laterales actúan en un plano que no es
de simetría, deben actuar en un punto llamado centro de cortante para que la viga se flexione sin
torsión. La resultante de esfuerzos cortantes producidos por la carga P, tiene línea de acción a
través del punto s.
Suponiendo que el eje Z sea el E.N. eje de flexión, la carga aplicada en el extremo de la viga debe
pasar por el centro de cortante s para que la flexión ocurra con el eje Z como E.N y no se genere
un par torsor y por lo tanto alabeo en la viga.
El Centro de cortante al igual que el centroide se encuentra sobre un eje de simetría, por lo tanto
en una sección doblemente simétrica coinciden.
El esfuerzo cortante es ∫=
s
0
ydA
tI
V
z
y
τ . La integral es el momento estático respecto al eje Z del
área.
El Esfuerzo cortante actúa paralelo al eje Y
z
zy
y
z
zy
y
I
QV
tf
tI
QV
=== ττ
El esfuerzo cortante actúa paralelo al eje Z
y
yZ
z
y
yz
z
I
QV
tf
tI
QV
=== ττ
Para sección transversal asimétrica

26. 140
° Y y Z son ejes principales
° La carga P actúa en el centro de cortante s, y
se descomponen en Py y Pz
° La flexión ocurre alrededor de los ejes Y y Z..
° S se localiza sobre los ejes principales.
° Se localiza el centroide y ejes principales.
° Se descompone la carga que actúa en s y se
determinan los momentos.
° Se calculan los esfuerzos de flexión
Los esfuerzos cortantes están a lo largo de la línea central de la sección transversal y paralelos al
borde de la sección, de intensidad constante en el espesor t, tf zτ= flujo de cortante.
A continuación se presentan algunos centros de cortante:






++++






−+
=
2
2
111
2
2
11
3
42
1
2
3
2
3
4
1
2
1
h
b
h
b
b
b
b
h
h
b
b
b
b
e






+−++






−+
=
2
2
111
2
2
11
3
42
1
2
3
2
3
4
1
2
1
h
b
h
b
b
b
b
h
h
b
b
b
b
e
bb
t
ht
b
b
b
b
b
e
f
w
<
++
−
= 1
1
2
2
1
;
3
2
2
1

27. 141
1
3
1
2
2
11
1
2
2
1
3
1
2
3
2
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
h
e
+−+






−
=
( )
θθθ
θθθ
cos
cos2
sen
sen
R
e
−
−
=
π
π
θ /4
2
==
R
e
and






+





+
+
+






−





+•+





+
+
+
=
R
b
R
b
R
bb
R
b
R
b
R
b
R
b
R
b
R
b
R
bb
R
e
1
3
11
3
1
2
11
2
1
34123
4312612
π
ππ
Para 01 =b
R
b
R
b
R
b
R
e
4
224
2
+






++
=
π
π
Para 0=b ; 2
11
3
1
2
11
121243
2
4






++





+














++
=
R
b
R
b
R
b
R
b
R
b
R
e
π
π
π
PROBLEMA 6.9: Una correa en C de una cubierta esta simplemente apoyada sobre los nudos de
un par de cerchas. Las correas en C están simplemente apoyadas para efectos de flexión en una
luz de L = 2.0 m. Hay restricción a la torsión en los apoyos. Las cargas sobre la cubierta son:
Carga muerta
Teja de barro 0.80 kN/m2
Teja de asbesto 0.15 kN/m2
Panel Yeso 0.20 kN/m2
Sobrecargas 0.15 kN/m2
Total 1.5 kN/m2

28. 142
Carga Viva de cubierta 0.50 kN/m2
Carga de Viento 0.50 kN/m2
w = D+ L +W = 2.5 kN/m2
.
1. Determinar las propiedades inerciales de la sección Ix, Iy, Ixy, J, centro de cortante s,
centroide c y ejes principales.
2. Para las cargas indicadas, hacer los diagramas de M, V, T de la correa. Los momentos con
ejes principales y torque con centroides.
3. Hallar los esfuerzos normales y cortantes máximos.
4. Los factores de seguridad para el rango elástico. σy = 345 MPa, τy = 192 MPa
1. Propiedades de la sección
º03.14
6
5.1
tan
1
=





=
−
α

29. 143
1.1 Centroide y primer momento de área
Sección A [mm2
] Z [mm] Y [mm] AZ [mm3
] AY [mm3
]
I 141 26.5 1.5 3736.5 211.5
II 141 26.5 98.5 3736.5 13888.5
III 300 1.5 50 450 15000
582 7923 29100
mm
Ai
Aiix
ez 61.13
*
==
∑
∑
mm
Ai
Aiiy
e y 50
*
==
∑
∑
1.2 Primer momento de área respecto a ejes centroidales.
5.105885.48*3*4725*3*50* =+== ∑ AiixQ z mm3
7.39723*
2
)361.13(
*2)5.161.13(*3*100*
2
=
−
+−== ∑ AiixQ y mm3
1.3 Inercias respecto a ejes centroidales.

30. 144
42
3
2
3
4
3
2
3
02.762.392)5.161.13(*100*3
12
100*3
)61.135.26(*3*47
12
47*3
*2
546.913
12
100*3
)5.150(*3*47
12
3*47
*2
mmI
mmI
y
z
=−++





−+=
=+





−+=
Debido a que hay un eje de simetría Ixy = 0
1.4 Momento Polar en sección abierta de pared delgada.
∑=
n
i
ii hbCJ 3
*
3
1
( ) 433
14763*1003*47*2*0.1*
3
1
mmJ =+=
1.4 Centro de Cortante
mmb
h
b
h
b
b
b
b
h
h
b
b
b
e 05.185.48*
5.48*3
100
2
1
3
42
1
2
3
2
3
4
1
2
1
2
2
111
2
2
11
=
+
=






+−++






−+
=
2. La carga sobre la correa es:
m
kNLaferenteww 75.35.1*5.2* ===
La carga actúa en el centro del cortante.

31. 145
8
2
max
wL
M =
mkNSenwSenw z /91.003.14*75.3 === α
mkNCoswCosw y /64.303.14*75.3 === α
2.1 El diagrama de momento tiene dos componentes y el máximo se presenta en el centro de la
luz.
mkN
Lw
M
y
z .82.1
8
264.3
8
22
=
∗
==
mkN
Lw
M y .46.0
8
2
z
==
2.2 Los diagramas de cortante son:
kN
Lw
V
kN
Lw
V
z
y
91.0
2
64.3
2
z
y
==
==
2.3 Diagrama de torsión. Se pasa la carga distribuida wy del centro de cortante al centroide, la
distancia entre c y s es:
d = e + ez - 1.5 mm = 18.05 + 13.61 -1.5 = 30.16 mm
El torque distribuido o por unidad de longitud es:
t = 3.64 kN.m * 0.03016 m = 0.11 kN.m/m.
Las reacciones en los extremos son:
mkN
Lt
TT BA .11.0
2
2*11.0
2
*
====
Se hace un corte a una distancia x.
∑ = 0T
T(x) = 0.11x - 0.11

32. 146
3. Esfuerzos
Localización del EN.
º17.30
58.003.14tan
02.392762
913546
tantan
=
===
β
αβ
y
z
I
I
Los esfuerzos máximos de flexión suceden en el centro de la viga. El máximo esfuerzo de
compresión ocurre en la esquina superior derecha y de tensión en la inferior izquierda.
MPay
I
M
z
I
M
z
z
y
y
x 55.115
10*13546.9
050.0*82.1
10*92762.3
01361.0*46.0
77
=+=+= −−
σ
MPay
I
M
z
I
M
z
z
y
y
x 23.142
10*13546.9
050.0*82.1
10*92762.3
)01361.0050.0(*46.0
77
−=−
−
−=−−= −−
σ
Esfuerzos cortantes producidos por la fuerza cortante.
El esfuerzo cortante actúa paralelo al eje Y

33. 147
MPa
tI
QV
z
zy
y 06.14
003.0*10*13546.9
10*5885.10*64.3
7
6
=== −
−
τ
El esfuerzo cortante actúa paralelo al eje Z
MPa
tI
QV
y
yz
z 93.2
003.0*10*92762.3
10*7927.3*91.0
7
6
=== −
−
τ
Esfuerzo cortante producido por torsión en secciones de pared delgada es:
MPa
J
Th
58.223
10*476.1
2/003.0*10*11.0*22
9
3
max
=== −
τ
Esfuerzo cortante total .64.23706.1458.223 MPa=+=τ
4. Factores de seguridad
43.2
23.142
345
==σFS
81.0
64.237
192
==τFS
6.6. DEFORMACIONES PLASTICAS
Se supone que la distancia se mide desde un eje de simetría horizontal en la sección transversal y
la distribución ε x lineal y simétrica respecto a dicho eje y la curva de esfuerzo-deformación es
simétrica respecto al eje de coordenadas.
mx
c
y
εε −=
Una vez determinado maxσ , de la curva σ vs xε se halla nε y reemplazando en m
C
y
x εε
−
= se
halla xε para diferentes valores de y.

34. 148
Tomando momentos respecto al eje transversal z:
xdAyM σ∫−= Donde dA=bdy
∫−
−=
c
c
xdyybM σ Como xσ es una función impar respecto a y.
∫−=
c
xdyybM
0
2 σ Si xσ es una función conocida, la anterior ecuación de M puede obtenerse
analíticamente.
6.7. FLEXION ELASTOPLASTICA
Los materiales elastoplasticos obedecen a la ley de
Hooke. Vasta el esfuerzo de fluencia yσ y luego
fluyen plásticamente.
Los aceros estructurales son el Mejor ejemplo de
material Elastoplastico.
Momento de fluencia.
Cuando los esfuerzos son menores que el de fluencia yσ el EN pasa por el centroide de la
sección transversal y los esfuerzos se hallan y
I
M
−=σ , cuando el esfuerzo alcanza al esfuerzo
de fluencia.
y
I
M y
y −=σ
S
C
I
y
y
y σ
σ
σ =−=

35. 149
C
I
S = Modulo de la sección
C: Distancia al punto mas alejado del EN
Momento plástico
Si el momento sigue aumentando, se desarrollaran zonas plásticas que tienen un esfuerzo
uniforme yσ , entre las zonas plásticas subsiste un núcleo elástico en el cual xσ varia linealmente
con y.
Al aumentar el momento la zona plástica se agranda hacia el EN. En este punto la deformación
unitaria máxima es 10 a 15 veces yε y la zona elástica ha desaparecido. Para fines practico la
distribución de esfuerzos esta formada por tres zonas rectangulares y el momento alcanza Mp
(momento plástico), el cual es el momento máximo que puede alcanzar una viga de material
elastoplastico.
2
21
A
AA
CT
==
=
A1: Área por encima del EN
A2: Área por debajo del EN
La posición del eje neutro (EN) para Mp es diferente para flexión elástica lineal, para una sección
trapezoidal. El EN para flexión plástica total queda un poco por debajo del EN para flexión
elástica (distribución de esfuerzos triangulares).
2
)(
)()(
.)(
21
2211
1 2
yyyA
AyyAyyMp
ydAyydAyydAMp
A A A
+
=−−=
=−−=−= ∫ ∫ ∫
σ
σσ
σσσ
Otra forma es tomar momentos respecto al eje neutro. EN.

36. 150
)(
2
2/
21
21
yy
yA
My
yATC
yTyCMp
+=
==
+=
σ
σ
Modulo plástico
2
)(
:
21 yyA
Z
Donde
yZMp
+
=
= σ
Es el manto estático valuado respecto al EN del área de la sección transversal por arriba y por
debajo.
S
Z
My
Mp
=
Es una medida de la reserva de la resistencia de la viga después de que empieza la fluencia. Es
máxima cuando la mayoría del material esta cerca al EN (sección circular) y mínima cuando esta
alejado viga I)
Vigas rectangulares
4
42
)4/4/(
4/
6
2
12
2
2
21
2
3
ybh
Mp
yZMp
bhhhA
Z
hyy
ybh
My
h
bh
y
C
yI
My
σ
σ
σ
σ
σ
=
=
=
+
=
==
=
==
6
4
2
2
ybh
ybh
My
Mp
σ
σ
=
2
3
=
S
Z

37. 151
El momento plástico para una viga rectangular es 50% menor que el momento de fluencia.
Si se considerara una viga que no ha alcanzado plastificación total y con núcleo elástico.
e : Distancia al eje neutro EN






−== e
h
ybTC
2
11 σ
b
ye
TC
2
22
σ
==






−=





−=






+





+





−=






+





+=
2
2
2
22
2
2
32
2
3
6
3
4
222
3
4
2
2
1
h
e
My
h
eybh
M
eyeb
e
h
e
h
ybM
e
Ce
h
CM
σ
σ
σ
Esta ecuación es valida para
MpMMy ≤≤
MyM
h
e
=
=
2
MpMyM
e
==
=
2
3
0






−=
My
M
he
2
3
2
1
Posición del núcleo elástico