Este documento presenta problemas de cálculo de integrales triples. Resuelve integrales en regiones limitadas por paraboloides, hiperboloides, cilindros y tetraedros. También cubre cambios de coordenadas y descomposición de integrales para resolverlas.
Este documento contiene las respuestas a varios ejercicios propuestos sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Se dividen en 8 secciones que abordan temas como ecuaciones diferenciales separables, homogéneas, de Bernoulli, lineales y no lineales. Cada sección contiene entre 1 y 14 ejercicios resueltos con detalle.
Este documento trata sobre integración múltiple. Introduce los conceptos de integrales dobles e integrales triples, definiendo las integrales dobles como una suma de volúmenes de paralelepípedos. Explica el teorema de integrabilidad, el teorema de Fubini y cómo evaluar integrales dobles sobre regiones generales mediante integrales iteradas. También cubre cálculos de volúmenes, áreas y valor medio para funciones de dos variables usando integrales dobles.
Este documento presenta varios ejemplos de cálculo de integrales dobles en diferentes regiones planas. Se evalúan integrales iteradas y cambiando el orden de integración. También se aplican integrales dobles para calcular áreas, volúmenes y otros conceptos geométricos y físicos.
Este documento presenta el capítulo 3 sobre la integral definida. Introduce la definición de integral definida como el límite de la suma de Riemann al dividir el área bajo una curva en rectángulos e ir sumando sus áreas. También expone el teorema de integrabilidad para determinar cuándo una función es integrable, y proporciona un ejemplo de cálculo de área bajo una curva.
Este documento introduce las funciones de varias variables y discute cómo graficarlas. Presenta ejemplos de funciones de R2 a R, R3 a R y R4 a R. Explica que la gráfica de una función se define como el conjunto de puntos (x, y) tales que y = f(x) para x en el dominio, y solo puede representarse gráficamente para n = 1, 2.
Este documento presenta temas adicionales sobre la derivada, incluyendo la monotonía, máximos y mínimos, concavidad, gráficas sofisticadas, y teoremas como el valor medio, Rolle y L'Hôpital. Explica cómo usar la derivada para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos críticos como máximos y mínimos locales, y provee ejemplos y ejercicios resueltos.
Aplicaciones de las integrales completisimo splitprofrubio
Este documento presenta diferentes métodos para calcular el área de regiones planas y el volumen de sólidos de revolución utilizando la integral definida. Explica cómo calcular el área bajo una curva, entre curvas, y de regiones simple-y. También describe tres casos para calcular el volumen de sólidos de revolución, dependiendo de si la región gira alrededor del eje x o y y si toma la forma de un disco, anillo o corteza. Incluye ejemplos resueltos paso a paso para ilustrar cada método
1. El documento presenta una guía de estudio sobre límites y continuidad de funciones. Incluye 12 actividades con ejercicios para calcular límites, determinar la continuidad de funciones y relacionar límites con la continuidad.
2. Las actividades abarcan cálculo de límites algebraicos y gráficos, determinación de valores para que funciones sean continuas, y preguntas conceptuales sobre la relación entre límites y continuidad.
3. El documento provee una guía práctica para que estudiantes
Este documento contiene las respuestas a varios ejercicios propuestos sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Se dividen en 8 secciones que abordan temas como ecuaciones diferenciales separables, homogéneas, de Bernoulli, lineales y no lineales. Cada sección contiene entre 1 y 14 ejercicios resueltos con detalle.
Este documento trata sobre integración múltiple. Introduce los conceptos de integrales dobles e integrales triples, definiendo las integrales dobles como una suma de volúmenes de paralelepípedos. Explica el teorema de integrabilidad, el teorema de Fubini y cómo evaluar integrales dobles sobre regiones generales mediante integrales iteradas. También cubre cálculos de volúmenes, áreas y valor medio para funciones de dos variables usando integrales dobles.
Este documento presenta varios ejemplos de cálculo de integrales dobles en diferentes regiones planas. Se evalúan integrales iteradas y cambiando el orden de integración. También se aplican integrales dobles para calcular áreas, volúmenes y otros conceptos geométricos y físicos.
Este documento presenta el capítulo 3 sobre la integral definida. Introduce la definición de integral definida como el límite de la suma de Riemann al dividir el área bajo una curva en rectángulos e ir sumando sus áreas. También expone el teorema de integrabilidad para determinar cuándo una función es integrable, y proporciona un ejemplo de cálculo de área bajo una curva.
Este documento introduce las funciones de varias variables y discute cómo graficarlas. Presenta ejemplos de funciones de R2 a R, R3 a R y R4 a R. Explica que la gráfica de una función se define como el conjunto de puntos (x, y) tales que y = f(x) para x en el dominio, y solo puede representarse gráficamente para n = 1, 2.
Este documento presenta temas adicionales sobre la derivada, incluyendo la monotonía, máximos y mínimos, concavidad, gráficas sofisticadas, y teoremas como el valor medio, Rolle y L'Hôpital. Explica cómo usar la derivada para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos críticos como máximos y mínimos locales, y provee ejemplos y ejercicios resueltos.
Aplicaciones de las integrales completisimo splitprofrubio
Este documento presenta diferentes métodos para calcular el área de regiones planas y el volumen de sólidos de revolución utilizando la integral definida. Explica cómo calcular el área bajo una curva, entre curvas, y de regiones simple-y. También describe tres casos para calcular el volumen de sólidos de revolución, dependiendo de si la región gira alrededor del eje x o y y si toma la forma de un disco, anillo o corteza. Incluye ejemplos resueltos paso a paso para ilustrar cada método
1. El documento presenta una guía de estudio sobre límites y continuidad de funciones. Incluye 12 actividades con ejercicios para calcular límites, determinar la continuidad de funciones y relacionar límites con la continuidad.
2. Las actividades abarcan cálculo de límites algebraicos y gráficos, determinación de valores para que funciones sean continuas, y preguntas conceptuales sobre la relación entre límites y continuidad.
3. El documento provee una guía práctica para que estudiantes
Este documento resume los temas fundamentales del curso de Cálculo Avanzado impartido por el profesor Carlos Silva en la Universidad de Santiago de Chile, incluyendo funciones reales de varias variables, límites y continuidad, derivadas parciales, diferenciabilidad, regla de la cadena, derivación implícita y algunas ecuaciones en derivadas parciales.
El documento presenta varios ejercicios y problemas resueltos sobre límites y continuidad de funciones. El primer ejercicio comprueba que el límite de una función cuando x tiende a 2 es 4. El segundo ejercicio analiza la continuidad de una función dada su gráfica. El tercer ejercicio determina los puntos donde la función no tiene límite.
Este documento presenta los conceptos y procedimientos para calcular el área de regiones planas utilizando la integral definida. Explica que el área de una región se puede obtener como la suma de áreas de elementos diferenciales infinitesimales, lo que equivale a evaluar una integral definida. Proporciona ejemplos detallados de cómo calcular el área entre curvas, bajo una curva, y de regiones simple-y. Concluye resumiendo los pasos a seguir para hallar el área de cualquier región plana mediante la integral.
Este documento explica los conceptos básicos de la integral indefinida, incluyendo: (1) la definición de antiderivada y cómo se relaciona con la derivada de una función; (2) que existen múltiples antiderivadas que solo difieren por una constante; (3) reglas para calcular antiderivadas de funciones de potencias y sumas de funciones; (4) la interpretación geométrica de la integral indefinida como una familia de curvas; y (5) el método de sustitución para calcular integrales más complejas.
1. Este documento presenta 34 reglas generales de derivación y 65 reglas generales de integración de funciones. 2. Incluye fórmulas para derivar e integrar funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y racionales. 3. También presenta criterios para determinar puntos de máximos, mínimos y puntos de inflexión basados en el análisis de la derivada primera y segunda de una función.
Este documento presenta un resumen del Capítulo 3 sobre la derivada. Explica la definición de derivada como el límite de la pendiente de la recta secante cuando el intervalo se hace más pequeño. También cubre temas como la velocidad instantánea, diferentes formas de calcular derivadas, reglas de derivación y derivadas de funciones hiperbólicas. El objetivo es definir la derivada y usarla para calcular ecuaciones de rectas tangentes y normales.
Este documento presenta los conceptos básicos del sistema cartesiano, incluyendo la definición, la ubicación de puntos, la distancia entre puntos, el punto medio de un segmento y la propiedad del baricentro. También resuelve seis problemas de trigonometría que aplican estos conceptos para calcular distancias, coordenadas y lados de triángulos.
Este documento presenta fórmulas básicas para derivar diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones constantes, identidad, potencias, suma, producto, cociente, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas e inversas. Proporciona reglas para derivar funciones compuestas y funciones que involucran más de una variable.
El documento define la derivada y presenta fórmulas para derivar funciones algebraicas, logarítmicas, exponenciales y trigonométricas. También incluye fórmulas para derivar las funciones inversas trigonométricas.
Este documento trata sobre integrales dobles. Explica la definición de integral dobles como la suma del área de particiones infinitesimales de una región rectangular. También presenta el teorema de integrabilidad, el cual establece que una función es integrable si es continua excepto en un número finito de curvas, y el teorema de Fubini, el cual permite calcular una integral doble invirtiendo el orden de integración. El objetivo es aprender a calcular integrales dobles y volúmenes usando estas herramientas.
El documento presenta una introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, segundo orden y de orden superior. Explica métodos como separables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. También aborda la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando series de Taylor.
Este documento presenta el tema de las derivadas de funciones trascendentes. Introduce las derivadas de las funciones seno y coseno, mostrando cómo derivarlas y aplicar las reglas de derivación a funciones compuestas que contengan seno y coseno. Incluye ejemplos como calcular derivadas, rectas tangentes y normales, y encontrar el rectángulo de mayor área inscrito en un círculo.
1. El documento presenta varios ejemplos de cálculo de áreas y volúmenes utilizando la integral definida. Incluye fórmulas para calcular el área bajo curvas, entre límites y el volumen de figuras geométricas cuando giran alrededor de ejes.
2. Se proporcionan ejercicios resueltos de calcular áreas limitadas por funciones y rectas, y volúmenes de prismas, cilindros y otros sólidos.
3. El documento muestra cómo aplicar la integral definida para
Este documento introduce el concepto de integral indefinida o antiderivada. Explica que una antiderivada F(x) de una función f(x) cumple que F'(x) = f(x). Presenta varias técnicas para calcular antiderivadas como el uso de fórmulas estándares, propiedades de linealidad e integración directa. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular antiderivadas algebraicamente usando estas técnicas.
Este documento presenta información sobre polinomios. Contiene 14 ejercicios de álgebra que involucran operaciones con monomios y polinomios como sumar, restar, multiplicar y dividir términos. Los ejercicios cubren temas como identificar términos, coeficientes y grados de monomios; evaluar polinomios para valores numéricos dados; y realizar operaciones básicas con monomios y polinomios.
Este documento explica el concepto de límite de funciones. Define límite informalmente como el valor al que se aproximan las imágenes de una función cuando los valores de la variable independiente se aproximan a un valor dado. Explica cómo calcular límites laterales y que el límite existe solo si ambos límites laterales son iguales. Proporciona ejemplos de cálculo de límites y propiedades de límites.
Este documento describe las cónicas o secciones cónicas, que son curvas de intersección de un doble cono con un plano. Se definen y analizan cuatro tipos de cónicas: la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola. Para cada una se presenta su definición geométrica, su ecuación canónica y elementos característicos como centro, radio, foco y directriz. Además, se incluyen ejemplos y ejercicios resueltos para reforzar los conceptos.
Este documento presenta ejemplos resueltos de ecuaciones de primer y segundo grado. En la primera sección, se resuelven 20 ecuaciones de primer grado. En la segunda sección, se resuelven 38 ecuaciones de segundo grado. La tercera sección cubre el número de soluciones posibles de una ecuación de segundo grado y la factorización.
Este documento presenta varios métodos de integración como el cambio de variable, integración por partes, integrales de funciones trigonométricas y fracciones parciales. Explica cada método a través de ejemplos y cómo reducir integrales desconocidas a integrales conocidas aplicando estas técnicas.
El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con el cálculo de derivadas. En la primera sección se piden derivadas de funciones dadas. La segunda sección contiene ejercicios sobre derivadas de funciones implícitas. La tercera sección incluye problemas más complejos sobre derivadas de funciones compuestas y derivadas de orden superior.
1. El documento trata sobre campos vectoriales. Define campos vectoriales en R2 y R3, y cómo representarlos gráficamente. Explica la diferencia entre campos escalares y vectoriales. Además, analiza conceptos como divergencia, rotacional, campos conservativos y no conservativos. Finalmente, enuncia teoremas clave sobre campos vectoriales.
1) El documento introduce las curvas parametrizadas y sus propiedades, incluyendo ejemplos.
2) Explica las integrales de línea de campos escalares a lo largo de curvas parametrizadas, con ejemplos como calcular masas.
3) Extiende el concepto a integrales de línea de campos vectoriales bidimensionales y tridimensionales.
Este documento resume los temas fundamentales del curso de Cálculo Avanzado impartido por el profesor Carlos Silva en la Universidad de Santiago de Chile, incluyendo funciones reales de varias variables, límites y continuidad, derivadas parciales, diferenciabilidad, regla de la cadena, derivación implícita y algunas ecuaciones en derivadas parciales.
El documento presenta varios ejercicios y problemas resueltos sobre límites y continuidad de funciones. El primer ejercicio comprueba que el límite de una función cuando x tiende a 2 es 4. El segundo ejercicio analiza la continuidad de una función dada su gráfica. El tercer ejercicio determina los puntos donde la función no tiene límite.
Este documento presenta los conceptos y procedimientos para calcular el área de regiones planas utilizando la integral definida. Explica que el área de una región se puede obtener como la suma de áreas de elementos diferenciales infinitesimales, lo que equivale a evaluar una integral definida. Proporciona ejemplos detallados de cómo calcular el área entre curvas, bajo una curva, y de regiones simple-y. Concluye resumiendo los pasos a seguir para hallar el área de cualquier región plana mediante la integral.
Este documento explica los conceptos básicos de la integral indefinida, incluyendo: (1) la definición de antiderivada y cómo se relaciona con la derivada de una función; (2) que existen múltiples antiderivadas que solo difieren por una constante; (3) reglas para calcular antiderivadas de funciones de potencias y sumas de funciones; (4) la interpretación geométrica de la integral indefinida como una familia de curvas; y (5) el método de sustitución para calcular integrales más complejas.
1. Este documento presenta 34 reglas generales de derivación y 65 reglas generales de integración de funciones. 2. Incluye fórmulas para derivar e integrar funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y racionales. 3. También presenta criterios para determinar puntos de máximos, mínimos y puntos de inflexión basados en el análisis de la derivada primera y segunda de una función.
Este documento presenta un resumen del Capítulo 3 sobre la derivada. Explica la definición de derivada como el límite de la pendiente de la recta secante cuando el intervalo se hace más pequeño. También cubre temas como la velocidad instantánea, diferentes formas de calcular derivadas, reglas de derivación y derivadas de funciones hiperbólicas. El objetivo es definir la derivada y usarla para calcular ecuaciones de rectas tangentes y normales.
Este documento presenta los conceptos básicos del sistema cartesiano, incluyendo la definición, la ubicación de puntos, la distancia entre puntos, el punto medio de un segmento y la propiedad del baricentro. También resuelve seis problemas de trigonometría que aplican estos conceptos para calcular distancias, coordenadas y lados de triángulos.
Este documento presenta fórmulas básicas para derivar diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones constantes, identidad, potencias, suma, producto, cociente, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas e inversas. Proporciona reglas para derivar funciones compuestas y funciones que involucran más de una variable.
El documento define la derivada y presenta fórmulas para derivar funciones algebraicas, logarítmicas, exponenciales y trigonométricas. También incluye fórmulas para derivar las funciones inversas trigonométricas.
Este documento trata sobre integrales dobles. Explica la definición de integral dobles como la suma del área de particiones infinitesimales de una región rectangular. También presenta el teorema de integrabilidad, el cual establece que una función es integrable si es continua excepto en un número finito de curvas, y el teorema de Fubini, el cual permite calcular una integral doble invirtiendo el orden de integración. El objetivo es aprender a calcular integrales dobles y volúmenes usando estas herramientas.
El documento presenta una introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, segundo orden y de orden superior. Explica métodos como separables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. También aborda la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando series de Taylor.
Este documento presenta el tema de las derivadas de funciones trascendentes. Introduce las derivadas de las funciones seno y coseno, mostrando cómo derivarlas y aplicar las reglas de derivación a funciones compuestas que contengan seno y coseno. Incluye ejemplos como calcular derivadas, rectas tangentes y normales, y encontrar el rectángulo de mayor área inscrito en un círculo.
1. El documento presenta varios ejemplos de cálculo de áreas y volúmenes utilizando la integral definida. Incluye fórmulas para calcular el área bajo curvas, entre límites y el volumen de figuras geométricas cuando giran alrededor de ejes.
2. Se proporcionan ejercicios resueltos de calcular áreas limitadas por funciones y rectas, y volúmenes de prismas, cilindros y otros sólidos.
3. El documento muestra cómo aplicar la integral definida para
Este documento introduce el concepto de integral indefinida o antiderivada. Explica que una antiderivada F(x) de una función f(x) cumple que F'(x) = f(x). Presenta varias técnicas para calcular antiderivadas como el uso de fórmulas estándares, propiedades de linealidad e integración directa. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular antiderivadas algebraicamente usando estas técnicas.
Este documento presenta información sobre polinomios. Contiene 14 ejercicios de álgebra que involucran operaciones con monomios y polinomios como sumar, restar, multiplicar y dividir términos. Los ejercicios cubren temas como identificar términos, coeficientes y grados de monomios; evaluar polinomios para valores numéricos dados; y realizar operaciones básicas con monomios y polinomios.
Este documento explica el concepto de límite de funciones. Define límite informalmente como el valor al que se aproximan las imágenes de una función cuando los valores de la variable independiente se aproximan a un valor dado. Explica cómo calcular límites laterales y que el límite existe solo si ambos límites laterales son iguales. Proporciona ejemplos de cálculo de límites y propiedades de límites.
Este documento describe las cónicas o secciones cónicas, que son curvas de intersección de un doble cono con un plano. Se definen y analizan cuatro tipos de cónicas: la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola. Para cada una se presenta su definición geométrica, su ecuación canónica y elementos característicos como centro, radio, foco y directriz. Además, se incluyen ejemplos y ejercicios resueltos para reforzar los conceptos.
Este documento presenta ejemplos resueltos de ecuaciones de primer y segundo grado. En la primera sección, se resuelven 20 ecuaciones de primer grado. En la segunda sección, se resuelven 38 ecuaciones de segundo grado. La tercera sección cubre el número de soluciones posibles de una ecuación de segundo grado y la factorización.
Este documento presenta varios métodos de integración como el cambio de variable, integración por partes, integrales de funciones trigonométricas y fracciones parciales. Explica cada método a través de ejemplos y cómo reducir integrales desconocidas a integrales conocidas aplicando estas técnicas.
El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con el cálculo de derivadas. En la primera sección se piden derivadas de funciones dadas. La segunda sección contiene ejercicios sobre derivadas de funciones implícitas. La tercera sección incluye problemas más complejos sobre derivadas de funciones compuestas y derivadas de orden superior.
1. El documento trata sobre campos vectoriales. Define campos vectoriales en R2 y R3, y cómo representarlos gráficamente. Explica la diferencia entre campos escalares y vectoriales. Además, analiza conceptos como divergencia, rotacional, campos conservativos y no conservativos. Finalmente, enuncia teoremas clave sobre campos vectoriales.
1) El documento introduce las curvas parametrizadas y sus propiedades, incluyendo ejemplos.
2) Explica las integrales de línea de campos escalares a lo largo de curvas parametrizadas, con ejemplos como calcular masas.
3) Extiende el concepto a integrales de línea de campos vectoriales bidimensionales y tridimensionales.
Ejercicios Resueltos de Calculo Vectorial e Integrales de lineaRuddy Sanchez Campos
Este documento presenta 15 ejercicios resueltos relacionados con cálculo vectorial e integrales de línea. Los ejercicios involucran determinar valores de integrales, verificar teoremas como el de Green, demostrar propiedades de campos conservativos, y calcular trabajos realizados por fuerzas a lo largo de trayectorias dadas.
Sea α un camino regular a trozos en R
p
, definido en [a,b]. Sea f un campo vectorial definido
y acotado sobre la gráfica C de α. La integral de línea de f a lo largo de C se representa
Ejercicios con respuestas. Calculo Integral Facultad de ingeniería. Alexis Legazpi
1. Este documento presenta un resumen de varios problemas de cálculo integral y sus soluciones. Incluye cálculos de límites, sumas, integrales definidas e indefinidas y el uso de sumas de Riemann.
2. Se proporcionan las soluciones a 48 integrales diferentes que involucran funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.
3. También se presentan 6 problemas adicionales sobre temas como promedios, modelado matemático y el teorema de simetría para evaluar integrales.
CALCULO VECTORIAL Guia unidad5 cvectorial-p44Juan Miguel
La unidad 5 trata sobre el análisis vectorial. Los objetivos incluyen representar campos vectoriales, obtener el campo gradiente de una función escalar, comprender campos conservativos y aplicar operadores como divergencia, rotacional y laplaciano a campos vectoriales. Se requieren conocimientos previos de vectores, funciones y cálculo multivariable. La guía explica conceptos como campos vectoriales en R2 y R3, rotacional, divergencia y campos conservativos, además de proporcionar ejercicios para preparar al estudian
Este documento trata sobre campos vectoriales conservativos. Explica que un campo es conservativo si es el campo gradiente de una función potencial. Da criterios para determinar si un campo es conservativo y muestra un ejemplo de averiguar si un campo dado es conservativo y, de serlo, hallar su función potencial. Finalmente, incluye referencias bibliográficas sobre el tema.
Este documento presenta un manual de cálculo vectorial. Explica conceptos como funciones vectoriales de una variable real, ecuaciones paramétricas y representaciones paramétricas de curvas como circunferencias, elipses e hipérbolas. También cubre temas como obtener ecuaciones cartesianas a partir de ecuaciones paramétricas y parametrizar curvas mediante la intersección de superficies.
Este documento presenta varios problemas relacionados con el cálculo de integrales triples. Primero, explica cómo escribir una integral triple de diferentes formas dependiendo de las proyecciones de la región de integración. Luego, resuelve varios problemas que involucran calcular el volumen de regiones limitadas por superficies dadas mediante el uso de integrales triples.
El documento contiene 5 problemas de cálculo de integrales múltiples. En el primer problema se pide calcular la integral doble sobre una región limitada por funciones y calcular una de las formas posibles. En el segundo problema se pide calcular la integral doble sobre una región limitada por parábolas y calcular una de las formas posibles. En el tercer problema se pide calcular la integral doble sobre una región rectangular cambiando a nuevas variables. En el cuarto problema se pide calcular la integral triple sobre una región limitada por planos. En el quinto problema
1. El documento presenta varios ejemplos de cálculo de áreas y volúmenes utilizando la integral definida. Incluye fórmulas para calcular el área bajo curvas, entre límites y el volumen al girar una función sobre un eje.
2. Se resuelven ejercicios como calcular el área entre curvas, funciones y rectas; y el volumen de un prisma, cilindro y otros sólidos de revolución.
3. También incluye fórmulas para el movimiento rectilíneo uniformemente
Este documento contiene un examen de cálculo con 4 problemas de integración. El profesor Juan Carlos Morgado administró el examen de 60 minutos a sus estudiantes de ingeniería ambiental en la Universidad de Valparaíso el 4 de noviembre de 2009. Los problemas incluyen integrales de fracciones racionales, funciones logarítmicas y trigonométricas.
Este documento presenta varios ejercicios sobre el cálculo de integrales dobles sobre diferentes regiones. Se proporcionan los límites de integración para regiones como un trapecio, un segmento parabólico, círculos y más. También se piden cambiar el orden de integración y calcular valores numéricos de integrales dobles sobre estas regiones.
Este documento presenta nueve problemas resueltos sobre cálculo de integrales múltiples y de línea. En el primer problema se calcula la integral de una función definida en un rectángulo sobre la región donde no es nula. En el segundo problema se calcula el volumen de un sólido limitado por una superficie y dos planos. En el tercer problema se calcula una integral doble sobre una región delimitada por hipérbolas y líneas rectas.
Este documento presenta nueve problemas resueltos sobre cálculo de integrales múltiples y de línea. En el primer problema se calcula la integral de una función definida en un rectángulo sobre la región donde no es nula. En el segundo problema se calcula el volumen de un sólido limitado por una superficie y dos planos. En el tercer problema se calcula una integral doble sobre una región delimitada por hipérbolas y líneas rectas.
Este documento presenta nueve problemas resueltos sobre cálculo de integrales múltiples y de línea. En el primer problema se calcula la integral de una función definida en un rectángulo sobre la región donde no es nula. En el segundo problema se calcula el volumen de un sólido limitado por una superficie y dos planos. En el tercer problema se calcula una integral doble sobre una región limitada por hipérbolas y líneas rectas.
Este documento presenta nueve problemas resueltos sobre cálculo de integrales múltiples y de línea. En el primer problema se calcula la integral de una función definida en un rectángulo sobre la región donde no es nula. En el segundo problema se calcula el volumen de un sólido limitado por una superficie y dos planos. En el tercer problema se calcula una integral doble sobre una región delimitada por hipérbolas y líneas rectas.
El documento presenta información sobre el cálculo de derivadas implícitas. Explica que es posible derivar funciones dadas implícitamente mediante la derivación de ambos lados de la ecuación. Muestra ejemplos de cómo calcular la derivada implícita y derivar funciones implícitas como y=4x^2.
Este documento presenta la solución de cuatro ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable. La primera ecuación se resuelve separando variables y realizando integración. La segunda ecuación también se resuelve separando variables e integrando. La tercera ecuación igualmente se resuelve separando variables y realizando sustituciones para integrar. La cuarta ecuación contiene una condición inicial y también se resuelve separando variables y realizando integración.
Este documento presenta las fórmulas para derivar las funciones trigonométricas inversas, incluyendo el arco seno, arco coseno, arco tangente, arco cotangente, arco secante y arco cosecante. Proporciona ejemplos para ilustrar cómo usar las fórmulas para derivar funciones que involucran estas funciones inversas. También incluye un ejercicio con más de 20 problemas para que el estudiante practique derivando funciones trigonométricas inversas.
Este documento presenta una serie de ejercicios de cálculo integral. Incluye problemas sobre técnicas básicas de integración como sustituciones, integración por partes e integración trigonométrica. El documento evalúa integrales definidas e indefinidas de funciones como racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
Este documento presenta ejemplos resueltos de integrales de línea y de contorno de variables reales y complejas, así como ejercicios propuestos sin resolver. Se explican conceptos como la evaluación de integrales de contorno usando el teorema fundamental del cálculo y se resuelven problemas aplicando técnicas como sustituir la parametrización de la curva en la integral.
1) Se calcula el área de la porción de un paraboloide limitada por dos planos utilizando una parametrización y el producto vectorial fundamental.
2) Se parametriza una superficie plana limitada por una curva elíptica en un plano.
3) Se calcula una integral de superficie sobre un cilindro circular recto.
1) Se calcula el área de la porción de un paraboloide limitada por dos planos mediante una parametrización y el cálculo de una integral de superficie.
2) Se parametriza una superficie plana limitada por una curva dada y se describe la parametrización.
3) Se calcula una integral de superficie sobre un cilindro circular recto.
Este documento presenta una guía teórica y ejercicios sobre integrales definidas directas y por sustitución. Explica los pasos a seguir para resolver cada tipo de integral definida y provee ejemplos ilustrativos. Luego, enlista una serie de 11 ejercicios para que el estudiante resuelva aplicando los métodos explicados.
Cálculo varias variables campos escalaresYerikson Huz
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones de varias variables reales, llamadas campos escalares. Define dominio y rango de un campo escalar, y ofrece ejemplos de cómo calcular la imagen de una función de varias variables. También explica cómo representar gráficamente campos escalares a través de superficies y curvas de nivel, y cómo calcular límites de funciones de varias variables.
El documento presenta 15 problemas resueltos sobre integrales triples. Cada problema contiene la descripción del problema, la solución y una breve explicación del procedimiento de resolución, el cual involucra frecuentemente cambios de variables a coordenadas cilíndricas, esféricas u otras para simplificar la integral. Los problemas cubren diversos temas como calcular volúmenes, integrar funciones sobre diferentes dominios y realizar transformaciones de variables.
El documento describe el uso de diferentes coordenadas para calcular integrales dobles y triples. Introduce las coordenadas polares, cilíndricas y esféricas, y explica cómo transformar entre sistemas de coordenadas utilizando el jacobiano de la transformación. Proporciona ejemplos del cálculo del volumen de una esfera y un cubo usando diferentes coordenadas.
1. INTEGRALES TRIPLES.
1 x y
46. Dada la integral f (x, y, z) dzdydx, dibujar la regi´n de integraci´n y escribir
o o
0 0 0
la integral de todas las formas posibles.
Soluci´n
o
z
y
x
Teniendo en cuenta la gr´fica adjunta, si D1 , D2 y D3 son las proyecciones sobre los tres
a
planos coordenados, las diferentes formas de escribir la integral son las siguientes:
y 1 x y 1 1 y
dxdy f dz = dx dy f dz = dy dx f dz,
D1 0 0 0 0 0 y 0
x 1 1 x 1 x x
dxdz f dy = dz dx f dy = dx dz f dy,
D2 z 0 z z 0 0 z
1 1 y 1 1 1 1
dydz f dx = dy dz f dx = dz dy f dx.
D3 y 0 0 y 0 z y
47. Calcular las siguientes integrales triples:
i) (x2 + y 2 ) dxdydz, donde V est´ limitado por las superficies x2 + y 2 = 2z,
a
V
z = 2.
ii) (1+z 2 ) dxdydz, siendo W la regi´n limitada por 2az = x2 +y 2 , x2 +y 2 −z 2 =
o
W
a2 , z = 0.
Soluci´n
o
1
2. i) La regi´n de integraci´n es el interior del paraboloide limitado por el plano z = 2.
o o
z
y
x
o o ırculo C : x2 + y 2 ≤ 4, la
Como la proyecci´n de dicha regi´n sobre el plano z = 0 es el c´
integral triple se puede descomponer entonces como
2
I= dxdy (x2 + y 2 ) dz.
C (x2 +y 2 )/2
Al escribir la integral en coordenadas cil´
ındricas, se obtiene:
2π 2 2 2
16π
I= dv u du u2 dz = 2π u3 · (2 − u2 /2) du = .
0 0 u2 /2 0 3
ii) La intersecci´n del paraboloide 2az = x2 + y 2 con el hiperboloide x2 + y 2 − z 2 = a2
o
da la circunferencia x2 + y 2 = 2a2 situada en el plano z = a. Esto indica que ambas
superficies son tangentes a lo largo de dicha circunferencia; por ello deducimos que la regi´n
o
de integraci´n est´ limitada superiormente por el paraboloide, inferiormente por el plano
o a
z = 0 y lateralmente por el hiperboloide (en la figura se muestran dos vistas de la regi´n o
de integraci´n).
o
z z
y y
x x
Debemos descomponer la integral en dos sumandos pues, si (x, y) est´ en el c´
a ırculo de centro
el origen y radio a, entonces z est´ comprendido entre el plano z = 0 y √ paraboloide
a el
2az = x2 + y 2 y, si (x, y) est´ entre el c´
a ırculo anterior y el c´
ırculo de radio a 2, entonces z
est´ comprendido entre el hiperboloide x2 + y 2 − z 2 = a2 y el paraboloide anterior.
a
La f´rmula que se obtiene es pues
o
x2 +y 2
2a
I = dxdy (1 + z 2 ) dz
x2 +y 2 ≤a2 0
x2 +y 2
2a
+ dxdy √ (1 + z 2 ) dz.
a2 ≤x2 +y 2 ≤2a2 x2 +y 2 −a2
2
3. Para resolver las integrales, las escribimos en coordenadas cil´
ındricas. As´
ı,
√
2π a u2 /2a 2π a 2 u2 /2a
2
I = dv u du (1 + z ) dz + dv u du √ (1 + z 2 ) dz
0 0 0 0 a u2 −a2
= · · · = (10 + a2 )πa /30. 3
[Todas las integrales a resolver son casi inmediatas.]
48. Calcular (1 + x + y + z)−3 dxdydz, donde S es el tetraedro limitado por los tres
S
planos coordenados y el plano de ecuaci´n x + y + z = 1.
o
Soluci´n
o
Si llamamos D a la proyecci´n de la regi´n de integraci´n sobre el plano XY , podemos
o o o
escribir la integral como
1−x−y
I= (1 + x + y + z)−3 dz dxdy.
D 0
Como, a su vez, D es el tri´ngulo de v´rtices (0, 0), (1, 0) y (0, 1), la integral se descompone
a e
en las siguientes integrales iteradas:
1 1−x 1−x−y
I = dx dy (1 + x + y + z)−3 dz
0 0 0
1 1−x
y (1 + x + y)−2
= dx − + dy
0 0 8 2
1
x−1 1 1 1 5
= − + dx = ln 2 − .
0 8 4 2(1 + x) 2 16
49. Calcular los vol´menes de los cuerpos limitados por las siguientes superficies:
u
i) a2 = x2 + z 2 , x + y = ±a, x − y = ±a.
ii) z = x2 + y 2 , xy = a2 , xy = 2a2 , y = x/2, y = 2x, z = 0.
x y z
iii) + + = 1, x, y, z ≥ 0.
a b c
x2 y2 z2 x2 y2 z2
iv) 2
+ 2 + 2 = 1, 2 + 2 = 2 , (z > 0).
a b c a b c
Soluci´n
o
i) La regi´n a considerar es el interior del cilindro a2 = x2 +z 2 cortado por los cuatro planos
o
x + y = a, x + y = −a, x − y = a, x − y = −a.
3
4. z
y
x
Como la proyecci´n del s´lido sobre el plano XY es el cuadrado R limitado por las rectas
o o
x + y = a, x + y = −a, x − y = a, x − y = −a, el volumen se calcula por la f´rmula
o
√
a2 −x2
V = dxdy √ dz = 2 a2 − x2 dxdy
R − a2 −x2 R
0 x+a a −x+a
= 2 dx a2 − x2 dy + 2 dx a2 − x2 dy = 2a3 π − 8a3 /3.
−a −x−a 0 x−a
[Para calcular las integrales se puede hacer alguna sustituci´n trigonom´trica.]
o e
ii) El s´lido consiste en la regi´n limitada entre el plano XY y el paraboloide z = x2 + y 2 y
o o
cuya proyecci´n sobre el plano XY es la regi´n R limitada por las curvas xy = a2 , xy = 2a2 ,
o o
y = x/2, y = 2x (en realidad la regi´n es uni´n de dos regiones, una de ellas en el primer
o o
cuadrante y otra en el tercer cuadrante; como las regiones tienen la misma ´rea y la funci´n
a o
z = x2 + y 2 es sim´trica, bastar´ multiplicar por dos el resultado obtenido al considerar
e a
unicamente la parte del primer cuadrante).
´
z
4
5. Podemos pues escribir el volumen como:
x2 +y 2
V =2 dxdy dz = (x2 + y 2 ) dxdy.
R 0 R
Para calcular la integral doble sobre la regi´n R, realizamos el cambio de variables dado
o
por las ecuaciones xy = u, x/y = v.
x, y 1
Este cambio hace que J = y que la nueva regi´n de integraci´n sea R = {(u, v) :
o o
u, v 2v
a2 ≤ u ≤ 2a2 , 1/2 ≤ v ≤ 2}. El volumen se calcula entonces como
2a2 2
u 1 9a4
V =2 du uv + · dv = .
a2 1/2 v 2v 2
iii) El s´lido est´ ahora comprendido entre la funci´n dada y los planos coordenados.
o a o
z
y
x
Su proyecci´n sobre el plano XY es la regi´n R del primer cuadrante limitada por los
o o
x y
ejes coordenados y la astroide de ecuaci´n
o + = 1, de modo que el volumen es
a b
sencillamente
√ √ 2
c(1− x/a− y/b)
V = dz
R 0
√
a b((1− x/a)2
abc
= dx c(1 − x/a − y/b)2 dy = .
0 0 90
[Todas las integrales son inmediatas.]
x2 y 2 z 2
iv) Ahora el s´lido es la regi´n limitada superiormente por el elipsoide
o o + 2 + 2 =1e
a2 b c
x2 y2 z2
inferiormente por el cono + 2 = 2 , por encima del plano XY . Como la intersecci´n
o
a2 b c
x 2
y 2 √
de ambas superficies es la elipse 2 + 2 = 1/2, situada en el plano z = c/ 2, el volumen
a b
se expresa mediante la integral
√ 2 2 2 2
c 1−x /a −y /b
V = dxdy √ dz,
R c x2 /a2 +y 2 /b2
x2 y2
donde R es la regi´n limitada por la citada elipse
o + 2 = 1/2.
a2 b
5
6. √
Para calcular dicha integral hacemos el cambio de variables x = (a/ 2)u cos v, y =
√
(a/ 2)u sen v, cuyo jacobiano vale J = abu/2. Con estos datos,
2π 1
abu 5 1
V = dv (c 1 − u2 /2 − c/2) · du = − √ πab.
0 0 2 12 3 2
50. Encontrar el volumen de la regi´n acotada por las superficies z = x2 + y 2 , z =
o
10 − x2 − 2y 2 .
Soluci´n
o
En la figura del lado izquierdo se muestran los dos paraboloides que limitan la regi´n, y en
o
el lado derecho se ilustra la curva intersecci´n y su proyecci´n sobre el plano XY .
o o
z
z
y
y
x
x
Como la proyecci´n de dicha curva intersecci´n es la elipse de ecuaci´n
o o o
x2 + y 2 = 10 − x2 − 2y 2 ⇐⇒ 2x2 + 3y 2 = 10,
para calcular el volumen utilizamos coordenadas polares modificadas, es decir hacemos la
transformaci´n
o
x 2/10 = u cos v,
y 3/10 = u sen v,
√ v
cos −u sen v
√
2/10 2/10 10u
cuyo jacobiano es J = √ v
sen √cos v
u = √ . El volumen se calcula entonces por la
3/10 3/10
6
f´rmula
o
V = [10 − x2 − 2y 2 − (x2 + y 2 )] dxdy
R
1 2π 1
10u 200π 50π
= du √ · (10 − 10u2 ) dv = √ (u − u3 ) du = √ .
0 0 6 6 0 6
6
7. 51. Calcular el volumen del casquete esf´rico limitado por
e
x2 + y 2 + z 2 = a2
x2 + y 2 + z 2 = b2
x2 + y 2 = z2,
con z ≥ 0, siendo 0 < a < b.
Soluci´n
o
y
x
Si escribimos el volumen en coordenadas esf´ricas, de acuerdo a la figura tenemos:
e
x = r cos ϑ sen ϕ a≤r≤b
y = r sen ϑ sen ϕ donde 0 ≤ ϕ ≤ π/4 .
z = r cos ϕ 0 ≤ ϑ ≤ 2π
Recordando que el jacobiano de la transformaci´n es J = r2 sen ϕ, el volumen se escribe
o
ahora de la siguiente forma:
b π/4 2π
r3 b π/4
V = dr dπ r2 sen ϕdϑ = · − cos ϕ · 2π
a 0 0 3 a 0
√
b3 − a3 2 π √
= 1− · 2π = (2 − 2)(b3 − a3 ).
3 2 3
52. (a) Describir las superficies r = constante, ϑ = constante, z = constante, en el
sistema de coordenadas cil´
ındricas.
(b) Idem para las superficies r = constante, ϑ = constante, φ = constante, en coor-
denadas esf´ricas.
e
Soluci´n
o
a) De las ecuaciones que definen las coordenadas cil´
ındricas:
x = r cos ϑ, y = r sen ϑ, z = z,
al hacer r = k, obtenemos
x2 + y 2 = k 2 ,
7
8. lo que corresponde a un cilindro con eje de simetr´ el eje Z y radio k.
ıa
Si hacemos ϑ = k, basta dividir las dos primeras coordenadas para obtener
y
= tg k,
x
lo que corresponde a un plano vertical que pasa por el origen (los distintos valores de k dan
los diferentes ´ngulos con respecto al plano y = 0).
a
Si hacemos z = k, esta misma ecuaci´n representa un plano horizontal de altura k.
o
b) Las coordenadas esf´ricas de un punto se obtienen mediante las ecuaciones
e
x = ρ cos ϑ sen φ, y = ρ sen ϑ sen φ, z = ρ cos φ.
Si hacemos ρ = k, obtenemos
x2 + y 2 + z 2 = k 2 ,
es decir la esfera centrada en el origen con radio k.
Si hacemos ϑ = k, al igual que con las coordenadas cil´
ındricas,
y
= tg ϑ,
x
que representa tambi´n un plano vertical.
e
Si, por ultimo, escribimos φ = k, resulta:
´
x2 + y 2 = ρ2 sen2 φ x2 + y 2
=⇒ = tg2 φ,
z 2 = ρ2 cos2 φ z2
que representa un cono de v´rtice el origen.
e
53. Calcular el momento de inercia de un s´lido en forma de cono circular recto con
o
densidad constante respecto a su eje.
Soluci´n
o
Supongamos que el cono de altura h y radio en la base r tiene v´rtice en el origen y eje
e
vertical. Entonces su ecuaci´n es
o
h2 2
z2 = (x + y 2 ).
r2
Si la densidad en cada punto del s´lido es k, el momento de inercia respecto al eje Z viene
o
dada por la f´rmula:
o
Iz = k(x2 + y 2 ) dV.
S
Para resolver la integral, escribimos el s´lido en coordenadas cil´
o ındricas, x = u cos v, y =
u sen v. La ecuaci´n del cono se escribe entonces como z = hu/r y la integral pedida
o
2π r h r
uh πkhr4
Iz = dv du k · u3 dz = 2πk u3 h − du = .
0 0 hu/r 0 r 10
8
9. Otra forma de resolver la integral consiste en realizar la transformaci´n a coordenadas
o
esf´ricas, x = ϕ cos ϑ sen φ, y = ϕ sen ϑ sen φ, z = ϕ cos φ. De este modo la ecuaci´n del
e o
plano z = h se escribe como ϕ = h/ cos φ, y la integral es ahora
2π arc tg(r/h) h/ cos φ
Iz = dϑ dφ k · ϕ2 sen2 φ · ϕ2 sen φ dϕ
0 0 0
arc tg(r/h)
h5
= 2πk sen3 φ · dφ
0 5 cos5 φ
arc tg(r/h)
2πkh5 2πkh5 r4
= tg3 φ · sec2 φ dφ = · 4.
5 0 5 4h
1
54. Hallar dxdydz.
R3 [1 + (x2 + y 2 + z 2 )3/2 ]3/2
Soluci´n
o
Si realizamos la transformaci´n a coordenadas esf´ricas, x = ϕ cos ϑ sen φ, y = ϕ sen ϑ sen φ,
o e
z = ϕ cos φ, como el valor absoluto del jacobiano de la transformaci´n es J = ρ2 sen φ, la
o
integral se escribe como:
∞ 2π π
ρ2 sen φ
I= dρ dϑ dφ.
0 0 0 (1 + ρ3 )3/2
Para resolver la integral, como las variables est´n separadas, basta multiplicar las tres
a
integrales simples. Tenemos as´
ı:
∞ 2π π
ρ2
I = dρ dϑ sen φ dφ
0 (1 + ρ3 )3/2 0 0
∞ b
4π 4π 8π
= 3ρ2 (1 + ρ3 )−3/2 dρ = l´ −2(1 + ρ3 )−1/2
ım = .
3 0 3 b→∞ 0 3
55. Calcular (y 2 + z 2 ) dxdydz, siendo R un cono recto de revoluci´n de altura h,
o
R
base situada en el plano XY y de radio a y eje en el eje Z.
Soluci´n
o
z
h
a
y
a
x
9
10. La figura adjunta muestra el cono descrito, el cual tiene por ecuaci´n a2 (h − z)2 = h2 (x2 +
o
y 2 ). Pasando la integral a coordenadas cil´
ındricas, x = u cos v, y = u sen v, z = z, tenemos:
a 2π h(a−u)/a
a4 hπ h3 a2 π
I= du dv u(u2 sen2 v + z 2 )dz = · · · = + .
0 0 0 20 30
10