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1. Cálculo de Integrales Dobles
Demetrio Ccesa Rayme

2. Las matemáticas del procesamiento digital de
imágenes
La aplicación de modelos
matemáticos al tratamiento digital
de las imágenes ha permitido
grandes avances en muchísimos
campos del conocimiento, desde la
compresión y edición de imágenes
hasta la identificación de patrones
de enfermedades como el cáncer.
¿Qué es una imagen digital?

3. Integrales Iteradas
De manera similar al proceso de la diferenciación parcial podemos definir la
integración parcial. El concepto de la integración parcial es la clave para un método
práctico de evaluación de una integral doble.
Integración Parcial
Si F(x, y) es una función tal que su derivada parcial con respecto a y es una función f,
esto es entonces la integral parcial de f con respecto a y es:
donde la función desempeña la parte de la “constante de integración”. De
manera similar, si es una función tal que entonces la integral parcial de f con
respecto a x es

4. En otras palabras, para evaluar la integral parcial mantenemos x fija (como si
fuera una constante), en tanto que en mantenemos y fija.

5. Integrales Dobles sobre Rectángulos
Para integrales simples, la región sobre la que se integra es siempre un intervalo. Pero
para integrales dobles, se desea poder integrar una función f sobre rectángulos, como la
que se ilustra en la figura.
Sea una función definida en una región cerrada y acotada R del plano xy.
Considere los siguientes cuatro pasos:

6. Regla del Punto Medio
Esto significa que se usa una suma de Riemann doble para aproximar la integral doble,
donde el punto muestra se elige como centro En otras
palabras es el punto medio de es el punto medio de

8. Integrales Dobles sobre Regiones Generales
Se desea poder integrar una función f no sólo sobre rectángulos, sino también sobre regiones
D de forma más general, como la que se ilustra en la figura.
Se supone que D es una región acotada, lo que significa que D puede ser encerrada en una
región rectangular R como en la figura.
Entonces se define una nueva función F con dominio R mediante:

9. Sea una función definida en una región cerrada y acotada R del
plano xy. Considere los siguientes cuatro pasos:
Aproximación 01 Aproximación 02 Aproximación 03

11. Para evaluar una integral doble se realiza los siguientes pasos: