La longitud de una curva es la distancia recorrida a lo largo de una curva. Históricamente ha sido difícil determinar la longitud de segmentos irregulares, pero el cálculo matemático trajo fórmulas generales para calcular la longitud de algunas curvas mediante integrales definidas. Las curvas con soluciones cerradas incluyen el círculo, la cicloide y la parábola.

1. Es la medida de la distancia o camino
recorrido a lo largo de una curva o
dimensión lineal. Históricamente, ha sido
difícil determinar esta longitud en
segmentos irregulares; aunque fueron
usados varios métodos para curvas
específicas, la llegada del cálculo trajo
consigo la fórmula general para obtener
soluciones cerradas para algunos casos.
Longitud de curvas

2. La longitud del arco, de la curva f(x), comprendido
entre las abscisas x = a y x = b viene dado por la
integral definida:

3. En el caso de una curva definida paramétricamente mediante
dos funciones dependientes de t como x=f(t) e y=g(t), la
longitud del arco desde el punto (f(a),g(a))hasta el punto
(f(b),g(b)) se calcula mediante:

4. Si la función está definida por coordenadas polares donde la
coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados mediante
r=f(0), la longitud del arco comprendido en el intervalo [alpha ,beta
], toma la forma:
En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible
y será necesario usar métodos de integración numérica. Por
ejemplo, aplicar esta fórmula a la circunferencia de una elipse
llevará a una integral elíptica de segunda especie. Entre las curvas
con soluciones cerradas están la catenaria, el círculo, la cicloide, la
espiral logarítmica, la parábola, la parábola semicúbica y la línea
recta.

5. Ejemplo