La distribución normal bidimensional expande la normal unidimensional para modelar la relación conjunta entre dos variables aleatorias continuas, siendo útil en diversos campos como la estadística y la economía. Este documento describe sus características, propiedades, y presenta un ejemplo práctico de cálculo de probabilidades conjuntas. Se concluye que es una herramienta esencial para el análisis estadístico de variables correlacionadas.

1. Probabilidad
y Estadística
Unidad 5:
Regresión y
correlación
5.6 DISTRIBUCIÓN NORMAL
BIDIMENSIONAL
M I EM B RO S DEL EQU I P O:
- GEN A RO LU GO TO R RES
- DAN I EL RO DR Í G U E Z H ER NÁ N DEZ
- LU I S GA BR I EL J U Á R EZ H ER N ÁN DE Z

2. Introducción
La distribución normal bidimensional es una extensión de la distribución normal unidimensional,
que permite modelar la relación conjunta entre dos variables aleatorias continuas. Este tipo de
distribución es ampliamente utilizado en campos como la estadística, la economía, la ingeniería y
las ciencias sociales para analizar fenómenos en los que dos variables están correlacionadas.
La distribución normal bidimensional permite no solo describir las propiedades individuales de
cada variable, sino también entender la interdependencia entre ellas. En este trabajo se describe
la distribución normal bidimensional, se presentan sus principales características y se resuelve
un ejercicio que ilustra su aplicación práctica.

3. Desarrollo teórico
Definición de la Distribución Normal Bidimensional
La distribución normal bidimensional describe la distribución conjunta de dos variables aleatorias
continuas X y Y, ambas normalmente distribuidas, y que pueden estar correlacionadas. La función
de densidad conjunta de una distribución normal bidimensional está dada por:

4. Donde:
- μ y μ son las medias de X y Y.
ₓ ᵧ
- σ y σ son las desviaciones estándar de X y Y.
ₓ ᵧ
- ρ es el coeficiente de correlación entre X y Y.
Esta ecuación describe cómo varían conjuntamente X y Y alrededor de sus medias, y la forma en
que la correlación ρ afecta la forma de la distribución.

5. Propiedades
1. Simetría: Al igual que la distribución normal unidimensional, la distribución normal
bidimensional es simétrica en torno a sus medias.
2. Coeficiente de correlación: La correlación ρ determina la dependencia lineal entre X y Y,
influyendo en la inclinación y en la forma de la elipse de dispersión.
3. Función de distribución marginal: Las distribuciones marginales de X y Y son normales
unidimensionales.

6. Ejemplo de aplicación:
Supongamos que las variables X y Y representan, respectivamente, los puntajes en dos exámenes de habilidades.
Estos puntajes siguen una distribución normal bidimensional con μ = 70, μ = 65, σ = 10, σ = 15 y una correlación
ₓ ᵧ ₓ ᵧ
ρ = 0.6.
Queremos encontrar la probabilidad de que una persona obtenga un puntaje entre 60 y 80 en X y entre 55 y 75 en
Y.
1. Transformación de las variables: Convertimos las variables originales a variables estandarizadas Z y Z , donde:
ₓ ᵧ
Aplicando esta transformación a los límites, tenemos:

7. 2. Uso de tablas: Calculamos la probabilidad conjunta usando la función de distribución acumulativa
bivariada, disponible en tablas específicas para la distribución normal bivariada o mediante software
estadístico.
3. Resultado: La probabilidad obtenida representa la probabilidad conjunta de que X y Y estén dentro de
los intervalos dados. En este caso, obtenemos que P(60 ≤ X ≤ 80, 55 ≤ Y ≤ 75) ≈ 0.22, lo que indica que hay
una probabilidad del 22% de que un individuo esté dentro de los rangos especificados.

8. Ejercicio propuesto:
Supón que las variables aleatorias X y Y, que representan el tiempo de vida en horas de dos componentes eléctricos diferentes, están distribuidas
según una distribución normal bidimensional con los siguientes parámetros:
• Media de X: μX=100 horas
• Media de Y: μY=120 horas
• Desviación estándar de X: σX=10
• Desviación estándar de Y: σY=15
• Covarianza entre X y Y: σXY=30
Se pide:
1.Calcular el coeficiente de correlación ρ entre X y Y.
2.Calcular la probabilidad marginal de que el tiempo de vida del primer componente X sea menor a 110 horas, es decir, P(X<110)P(X <
110)P(X<110).

9. Ejercicio propuesto:

10. Conclusión
La distribución normal bidimensional es una herramienta fundamental en el análisis estadístico
de variables correlacionadas, permitiendo describir tanto las propiedades individuales de cada
variable como su relación conjunta. A través del ejemplo resuelto, se muestra cómo esta
distribución permite calcular probabilidades conjuntas, facilitando la comprensión de fenómenos
donde dos variables están relacionadas.
La aplicación de la distribución normal bidimensional es extensa, desde el análisis de datos hasta
la investigación científica, haciendo de ella una pieza clave en el estudio de fenómenos
multidimensionales.

11. ¡GRACIAS POR SU
ATENCIÓN!