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Este documento presenta diferentes pruebas de hipótesis para dos muestras, incluyendo pruebas sobre dos medias y dos proporciones. Explica cómo calcular los estadísticos de prueba y establecer las regiones críticas para hipótesis bilaterales y unilaterales cuando las varianzas poblacionales son conocidas o desconocidas. También incluye ejemplos ilustrativos para cada tipo de prueba.

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PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRAS Adriana Quintero Palomino Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Etad´ıstica Universidad de La Sabana
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA DOS MUESTRAS: PRUEBAS SOBRE DOS MEDIAS PRUEBA SOBRE DOS MEDIAS: VARIANZAS POBLACIONALES CONOCIDAS La hip´otesis bilateral sobre dos medias se escribe de manera muy general como H0 : µ1 − µ2 = d0. En cuanto a la alternativa esta puede ser bilateral o unilateral. De nuevo, la distribuci´on que se utiliza es la distribuci´on del estad´ıstico de prueba bajo H0. Se calculan los valores ¯x1 y ¯x2, y para σ2 1 y σ2 2 conocidas, el estad´ıstico de prueba es dado por z = (¯x1 − ¯x2) − d0 σ2 1/n1 + σ2 2/n2 con una regi´on cr´ıtica de dos colas en el caso de una alternativa bilateral. Es decir, se rechaza H0 a favor de H1 : µ1 − µ2 = d0, si z > zα/2 o z < −zα/2. Las regiones cr´ıticas de una cola se utilizan en el caso de alternativas unilaterales.
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA PRUEBAS DE HIPTESIS PARA DOS MUESTRA EJEMPLO: PRUEBA SOBRE DOS MEDIAS (VARIANZAS POBLACIONALES CONOCIDAS) Una muestra aleatoria de tama˜no n1 = 25, tomada de una poblaci´on normal con una desviaci´on est´andar σ1 = 5,2, tiene una media ¯x1 = 81. Una segunda muestra aleatoria de tama˜no n2 = 36, que se toma de una poblaci´on normal diferente con una desviaci´on est´andar σ2 = 3,4, tiene una media ¯x2 = 76. Pruebe la hip´otesis de que µ1 = µ2 contra la alternativa µ1 = µ2. Cite un valor P en su conclusi´on.
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA Soluci´on: 1 Identificar datos: Tama˜nos de muestra: n1 = 25 y n2 = 36 Medias muestrales: ¯x1 = 81 y ¯x2 = 76 Desviaciones poblacionales: σ1 = 5,2 y σ2 = 3,4 Nivel de significancia: α = 0,05 (Seleccionado arbitrariamente) 2 Planteamiento de Hip´otesis H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 = µ2 3 Establecer zona de aceptaci´on: Dado que H1 : µ1 = µ2, la prueba que se realizar´a ser´a de dos colas (bilateral), por tanto se rechazar´a H0 si z < −1,96 o z > 1,96 4 Calcular estad´ıstico de prueba: z = (81 − 76) − 0 (5,2)2/25 + (3,4)2/36 z = 4,22 5 Decisi´on: No aceptar H0 6 Conclusi´on: No existe evidencia para que la medias poblacionales son
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA PRUEBA SOBRE DOS MEDIAS: VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS IGUALES Si se supone o prueba que ambas distribuciones son normales y que σ1 = σ2 = σ, se puede utilizar la prueba t agrupada (a menudo llamada prueba t de dos muestras). El estad´ıstico de prueba es dado por el siguiente procedimiento de prueba. Para la hip´otesis bilateral H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 = µ2 rechazamos H0 al nivel de significancia α cuando el estad´ıstico t calculado t = (¯x1 − ¯x2) − d0 sp 1/n1 + 1/n2
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA PRUEBA SOBRE DOS MEDIAS: VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS IGUALES donde s2 p = s2 1(n1 − 1) + s2 2(n2 − 1) n1 + n2 − 2 excede a t(α/2,n1+n2−2) o es menor que −t(α/2,n1+n2−2). Las alternativas unilaterales, como era de esperarse, sugieren regiones cr´ıticas unilaterales. Por ejemplo, para H1 : µ1 − µ2 > d0, rechace H0 : µ1 − µ2 = d0 cuando t > t(α,n1+n2−2).
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA PRUEBA SOBRE DOS MEDIAS: VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS EJEMPLO:VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS IGUALES Un investigador de la UCLA afirma que el promedio de vida de los ratones se puede prolongar hasta por 8 meses cuando se reducen las calor´ıas en su dieta aproximadamente 40 % desde el momento en que se destetan. Las dietas restringidas se enriquecen a niveles normales con vitaminas y prote´ınas. Suponga que a una muestra aleatoria de 10 ratones que tienen una vida promedio de 32.1 meses con una desviaci´on est´andar de 3.2 meses se les alimenta con una dieta normal, mientras que a una muestra aleatoria de 15 ratones que tienen un promedio de vida de 37.6 meses con una desviaci´on est´andar de 2.8 meses se les alimenta con la dieta restringida. A un nivel de significancia de 0.05 pruebe la hip´otesis de que el promedio de vida de los ratones con esta dieta restringida aumenta 8 meses, contra la alternativa de que el aumento es menor de 8 meses. Suponga que las distribuciones de la esperanza de vida con las dietas regular y restringida son aproximadamente normales con varianzas iguales.
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA Soluci´on: 1 Identificar datos: Tama˜nos de muestra: n1 = 10 y n2 = 15 Medias muestrales: ¯x1 = 32,1 y ¯x2 = 37,6 Desviaciones muestrales: s2 1 = 3,2 y s2 2 = 2,8 Nivel de significancia: α = 0,05 2 Planteamiento de Hip´otesis H0 : µ2 − µ1 > 8 H1 : µ2 − µ1 < 8 3 Establecer zona de aceptaci´on: Dado que H1 : µ2 − µ1 < 8, la prueba que se realizar´a ser´a de una cola (unilateral), por tanto se rechazar´a H0 si z < −1,711. 4 Calcular estad´ıstico de prueba: s2 p = (3,2)2(9) + (2,8)2(14) 23 = 8,779 t = (37,6 − 32,1) − 8 2,963 1/10 + 1/15 = −2,067
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA Soluci´on: 1 Decisi´on: No aceptar H0 2 Conclusi´on: No existe evidencia para que la diferencia entre medias poblacionaleses superior a 8 meses con una significancia del 5 %.
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA PRUEBA SOBRE DOS MEDIAS: VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS DIFERENTES Hay situaciones donde al analista no le es posible suponer que σ1 = σ2. T = ( ¯X1 − ¯X2) − d0 s2 1/n1 + s2 2/n2 tiene una distribuci´on t aproximada con grados de libertad aproximados v = (s2 1/n1 + s2 2/n2)2 (s2 1/n1)2/(n1 − 1) + (s2 2/n2)2/(n2 − 1)
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA PRUEBA SOBRE DOS MEDIAS: VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS DIFERENTES Como resultado, el procedimiento de prueba consiste en no rechazar H0 cuando −t(α/2,v) < t < t(α/2,v) con v dado como antes. De nuevo, como en el caso de la prueba t agrupada, las alternativas unilaterales sugieren regiones cr´ıticas unilaterales.
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA PRUEBA SOBRE DOS MEDIAS: VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS EJEMPLO:VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS DIFERENTES El Departamento de Zoolog´ıa de Virginia Tech llev´o a cabo un estudio para determinar si existe una diferencia significativa en la densidad de organismos en dos estaciones diferentes ubicadas en Cedar Run, una corriente secundaria que se localiza en la cuenca del r´ıo Roanoke. El drenaje de una planta de tratamiento de aguas negras y el sobreflujo del estanque de sedimentaci´on de la Federal Mogul Corporation entran al flujo cerca del nacimiento del r´ıo. Los siguientes datos proporcionan las medidas de densidad, en n´umero de organismos por metro cuadrado, en las dos estaciones colectoras: Estaci´on 1 Estaci´on 2 Media muestral 9897,5 4120,83 Desviaci´on muestral 7874,33 2479,5 Tama˜no de muestra 16 12 A un nivel de significancia de 0.05, ¿podemos concluir que las densidades promedio en las dos estaciones son iguales? Suponga que las observaciones provienen de poblaciones
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA Soluci´on: 1 Identificar datos: Tama˜nos de muestra: n1 = 16 y n2 = 12 Medias muestrales: ¯x1 = 9897, 5 y ¯x2 = 4120, 83 Desviaciones muestrales: s1 = 7874, 33 y s2 = 2479, 5 Nivel de significancia: α = 0,05 2 Planteamiento de Hip´otesis H0 : µ2 = µ1 H1 : µ2 = µ1 3 Establecer zona de aceptaci´on: Dado que H1 : µ2 = µ1, la prueba que se realizar´a ser´a de dos colas (bilateral), por tanto se rechazar´a H0 si −t(0,025,v) < t < t(0,025,v).Donde v = ((7874, 33)2/16 + (2479, 5)2/12)2 ((7874, 33)2/16)2/15 + ((2479, 5)2/12)2/11 = 18,78 −t(0,025,18) < t < t(0,025,18) = −2,1009 < t < 2,1009
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA Soluci´on: 1 Calcular estad´ıstico de prueba: t = (9897, 5 − 4120, 83) − 0 (7874, 33)2/16 + (4120, 83)2/12 = 2,76 2 Decisi´on: No aceptar H0 3 Conclusi´on: No existe evidencia para que las medias poblacionaleses sean iguales con una significancia del 5 %.
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA PRUEBA SOBRE DOS PROPORCIONES DIFERENCIA DE PROPROCIONES Al agrupar los datos de ambas muestras el estimado agrupado de la proporci´on p es ˆp = x1 + x2 n1 + n2 donde x1y x2 son el n´umero de ´exitos en cada una de las dos muestras. El valor z para probar p1 = p2 se determina a partir de la f´ormula: z = ˆp1 − ˆp2 hatphatq(1/n1 + 1/n2) Las regiones cr´ıticas para las hip´otesis alternativas adecuadas se establecen como antes, utilizando puntos cr´ıticos de la curva normal est´andar. En consecuencia, para la alternativa p1 = p2, al nivel de significancia α, la regi´on cr´ıtica es z < −zα/2 o z > zα/2.
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA PRUEBA SOBRE DOS PROPORCIONES DIFERENCIA DE PROPROCIONES Para una prueba donde la alternativa es p1 < p2, la regi´on cr´ıtica ser´a z < −zα; y cuando la alternativa es p1 > p2, la regi´on cr´ıtica ser´a z > zα. EJEMPLO: PRUEBA SOBRE DOS PROPORCIONES En un invierno con epidemia de influenza los investigadores de una conocida empresa farmac´eutica encuestaron a los padres de 2000 beb´es para determinar si el nuevo medicamento de la empresa era eficaz despu´es de dos d´ıas. De 120 beb´es que ten´ıan influenza y que recibieron el medicamento, 29 se curaron en dos d´ıas o menos. De 280 beb´es que ten´ıan influenza pero no recibieron el f´armaco, 56 se curaron en dos d´ıas o menos. ¿Hay alguna indicaci´on significativa que apoye la afirmaci´on de la empresa sobre la eficacia del medicamento?
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA Soluci´on: 1 Identificar datos: Tama˜nos de muestra: n1 = 120 y n2 = 280 Proporciones muestrales: ˆx1 = 29 120 = 0,24 y ˆx2 = 56 280 = 0,2 Nivel de significancia: α = 0,02 (Seleccionado arbitrariamente) 2 Planteamiento de Hip´otesis H0 : p1 = p2 H1 : p1 > p2 3 Establecer zona de aceptaci´on: Dado que H1 : p1 > p2, la prueba que se realizar´a ser´a de una cola (unilateral), por tanto se rechazar´a H0 si z > 2,06. 4 Calcular estad´ıstico de prueba: ˆp = 29 + 56 120 + 280 = 0,212 z = 0,24 − 0,2 (0,212)(0,788)(1/120 + 1/280) = 0,897
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA Soluci´on: 1 Decisi´on: No rechazar H0 2 Conclusi´on: No existe evidencia para que exista diferencia entre las porprociones de beb´es que se curaron con o sin usar el medicamente con una significancia del 2 %.
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA PRUEBA SOBRE DOS VARIANZAS RAZ ´ON DE PROPROCIONES Consideremos ahora el problema de probar la igualdad de las varianzas σ2 1 y σ2 2 de dos poblaciones. Esto es, probaremos la hip´otesis nula H0 de que σ2 1 = σ2 2 contra una de las alternativas usuales σ2 1 > σ2 2, σ2 1 < σ2 2 o σ2 1 = σ2 2. Para muestras aleatorias independientes de tama˜nos n1 y n2, respectivamente, de las dos poblaciones, el valor f para probar σ2 1 = σ2 2 es el cociente f = s2 1 s2 2 donde s2 1 y s2 2 son las varianzas calculadas de las dos muestras. Si las dos poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normal. Por lo tanto, las regiones cr´ıticas de tama˜no α que corresponden a las alternativas unilaterales σ2 1 < σ2 2 y σ2 1 > σ2 2, son, respectivamente, f < f1−α(v1, v2) y f > f?(v1, v2). Para la alternativa bilateral σ2 1 = σ2 2 la regi´on cr´ıtica es f < f1−α/2(v1, v2) o f > f?/2(v1, v2). Con v1 = n1 − 1 y v2 = n2 − 1.
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA PRUEBA SOBRE DOS VARIANZAS EJEMPLO: PRUEBA SOBRE DOS VARIANZAS Se realiza un estudio para comparar el tiempo que les toma a hombres y mujeres ensamblar cierto producto. La experiencia indica que la distribuci´on del tiempo tanto para hombres como para mujeres es aproximadamente normal, pero que la varianza del tiempo para las mujeres es menor que para los hombres. Una muestra aleatoria de los tiempos de 11 hombres y 14 mujeres produce los siguientes datos: Hombres Mujeres n1 = 11 n2 = 14 s1 = 6,1 s2 = 5,3 Pruebe la hip´otesis de que σ2 1 = σ2 2 contra la alternativa de que σ2 1 > σ2 2. Utilice un valor P en su conclusi´on.
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA Soluci´on: 1 Identificar datos: Datos en la tabla. Nivel de significancia: α = 0,05 (Seleccionado arbitrariamente) 2 Planteamiento de Hip´otesis H0 : σ2 1 = σ2 2 H1 : σ2 1 > σ2 2 3 Establecer zona de aceptaci´on: Dado que H1 : σ2 1 > σ2 2, la prueba que se realizar´a ser´a de una cola (unilateral), por tanto se rechazar´a H0 si f > 2,565. 4 Calcular estad´ıstico de prueba: f = (6,1)2 (5,3)2 = 1,32
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA Soluci´on: 1 Decisi´on: No rechazar H0 2 Conclusi´on: No existe evidencia para afirmar que las varianzas poblacionales sean distintas, con una significancia del 5 %.
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA OTRAS PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE Una prueba de la bondad de ajuste entre las frecuencias observadas y esperadas se basa en la cantidad. χ2 = k i=1 (oi − ei)2 ei donde χ2 es un valor de una variable aleatoria cuya distribuci´on muestral se aproxima muy de cerca a la distribuci´on chi cuadrada con v = k − 1 grados de libertad. Los s´ımbolos oi y ei representan las frecuencias observada y esperada, respectivamente, para la i-´esima celda.
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA OTRAS PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE Si las frecuencias observadas se acercan a las frecuencias esperadas correspondientes, el valor χ2 ser´a peque˜no, lo cual indica un buen ajuste. Un buen ajuste conduce a la aceptaci´on de H0.Para un nivel de significancia igual a α encontramos el valor cr´ıtico χ2 (α,k−1), entonces, χ2 > χ2 (α,k−1) constituye la regi´on cr´ıtica. El criterio de decisi´on que aqu´ı se describe no se deber´ıa utilizar a menos que cada una de las frecuencias esperadas sea por lo menos igual a 5. Esta restricci´on podr´ıa requerir la combinaci´on de celdas adyacentes, lo que dar´a como resultado una reducci´on en el n´umero de grados de libertad.
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA OTRAS PRUEBAS DE HIP ´OTESIS EJEMPLO: PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE Las calificaciones de un curso de estad´ıstica para un semestre espec´ıfico fueron las siguientes: Calificaci´on A B C D F f 14 18 32 20 16 Pruebe la hip´otesis, a un nivel de significancia de 0.05, de que la distribuci´on de calificaciones es uniforme. Soluci´on: 1 Definir esperados: Dado que la distribuci´on es uniforme, estos ser´an: ei = k i=1 ei k = 100 5 = 20, para todo i 2 Planteamiento de Hip´otesis H0 : Los datos siguen un distribuci´on uniforme. H1 : Los datos no siguen un distribuci´on uniforme.
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA 1 Establecer zona de aceptaci´on: En las pruebas de bondad de ajuste se realiza unilateral, por tanto se rechazar´a H0 si χ2 > χ2 (0,05,4) = 9,4877. 2 Calcular estad´ıstico de prueba: χ2 = (14 − 20)2 + (18 − 20)2 + (32 − 20)2 + (20 − 20)2 + (16 − 20)2 20 χ2 = 10 3 Decisi´on: No aceptar H0 4 Conclusi´on: No existe evidencia sufieciente para afirmar que los datos siguen una distribuci´on uniforme con una confinaza del 95 %.
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA OTRAS PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PRUEBA DE INDEPENDENCIA Para probar la hip´otesis nula de independencia usamos el siguiente criterio de decisi´on: Calcule χ2 = k i=1 (oi − ei)2 ei donde la sumatoria se extiende a todas las celdas rc en la tabla de contingencia r × c. Si χ2 > χ2 (α,k−1) con v = (r − 1)(c − 1) grados de libertad, rechace la hip´otesis nula de independencia al nivel de significancia α; en otro caso no la rechace.
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA EJEMPLO: PRUEBA DE INDEPENDENCIA En un estudio sobre un taller se re´une un conjunto de datos para determinar si la proporci´on de art´ıculos defectuosos producida por los trabajadores fue la misma para el turno matutino, el vespertino y el nocturno. Los datos que se reunieron se muestran en la tabla: Turno: Matutino Vespertino Nocturno No defectuosos 45 55 70 Defectuosos 905 890 870 Utilice un nivel de significancia de 0.025 para determinar si la proporci´on de art´ıculos defectuosos es la misma para los tres turnos.
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA Soluci´on: 1 Definir esperados: En eventos independientes la probabilidad de la intersecci´on ser´a el producto de las probabilidades por tanto: Turno: Matutino Vespertino Nocturno No defectuosos 170×950 2835 170×945 2835 170×940 2835 170 Defectuosos 2665×950 2835 2665×945 2835 2665×940 2835 2665 950 945 940 2835 2 Planteamiento de Hip´otesis H0 : La producci´on de art´ıculos defectuosos es independiente del turno en el cual se fabrican. H1 : La producci´on de art´ıculos defectuosos no es independiente del turno en el cual se fabrican 3 Establecer zona de aceptaci´on: La prueba de independencia es unilateral, por tanto se rechazar´a H0 si χ2 > χ2 (0,025,2) = 7,3778.
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA 1 Calcular estad´ıstico de prueba: χ2 = (45 − 57)2 57 + (55 − 56,7)2 56,7 + (70 − 56,4)2 56,4 + (905 − 893)2 893 + (890 − 888,3)2 888,3 + (870 − 883,6)2 883,6 χ2 = 6,23 2 Decisi´on: No rechazar H0 3 Conclusi´on: No existe evidencia sufieciente para afirmar que los datos no son independientes con una significancia del 2.5 %.
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA DOS MUESTRA BIBLIOGRAF´IA Walpole, Ronald E and Myers, Raymond H and Myers, Sharon L. Probabilidad y estad´ıstica para ingenier´ıa y ciencias. Pearson Educaci´on. Novena edici´on. 2012. Navidi, William Cyrus. Statistics for engineers and scientists. McGraw-Hill Higher Education. Third edition. 2011.

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Ph2 m

  • 2.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRAS Adriana Quintero Palomino Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Etad´ıstica Universidad de La Sabana
  • 3.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA DOS MUESTRAS: PRUEBAS SOBRE DOS MEDIAS PRUEBA SOBRE DOS MEDIAS: VARIANZAS POBLACIONALES CONOCIDAS La hip´otesis bilateral sobre dos medias se escribe de manera muy general como H0 : µ1 − µ2 = d0. En cuanto a la alternativa esta puede ser bilateral o unilateral. De nuevo, la distribuci´on que se utiliza es la distribuci´on del estad´ıstico de prueba bajo H0. Se calculan los valores ¯x1 y ¯x2, y para σ2 1 y σ2 2 conocidas, el estad´ıstico de prueba es dado por z = (¯x1 − ¯x2) − d0 σ2 1/n1 + σ2 2/n2 con una regi´on cr´ıtica de dos colas en el caso de una alternativa bilateral. Es decir, se rechaza H0 a favor de H1 : µ1 − µ2 = d0, si z > zα/2 o z < −zα/2. Las regiones cr´ıticas de una cola se utilizan en el caso de alternativas unilaterales.
  • 4.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA PRUEBAS DE HIPTESIS PARA DOS MUESTRA EJEMPLO: PRUEBA SOBRE DOS MEDIAS (VARIANZAS POBLACIONALES CONOCIDAS) Una muestra aleatoria de tama˜no n1 = 25, tomada de una poblaci´on normal con una desviaci´on est´andar σ1 = 5,2, tiene una media ¯x1 = 81. Una segunda muestra aleatoria de tama˜no n2 = 36, que se toma de una poblaci´on normal diferente con una desviaci´on est´andar σ2 = 3,4, tiene una media ¯x2 = 76. Pruebe la hip´otesis de que µ1 = µ2 contra la alternativa µ1 = µ2. Cite un valor P en su conclusi´on.
  • 5.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA Soluci´on: 1 Identificar datos: Tama˜nos de muestra: n1 = 25 y n2 = 36 Medias muestrales: ¯x1 = 81 y ¯x2 = 76 Desviaciones poblacionales: σ1 = 5,2 y σ2 = 3,4 Nivel de significancia: α = 0,05 (Seleccionado arbitrariamente) 2 Planteamiento de Hip´otesis H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 = µ2 3 Establecer zona de aceptaci´on: Dado que H1 : µ1 = µ2, la prueba que se realizar´a ser´a de dos colas (bilateral), por tanto se rechazar´a H0 si z < −1,96 o z > 1,96 4 Calcular estad´ıstico de prueba: z = (81 − 76) − 0 (5,2)2/25 + (3,4)2/36 z = 4,22 5 Decisi´on: No aceptar H0 6 Conclusi´on: No existe evidencia para que la medias poblacionales son
  • 6.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA PRUEBA SOBRE DOS MEDIAS: VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS IGUALES Si se supone o prueba que ambas distribuciones son normales y que σ1 = σ2 = σ, se puede utilizar la prueba t agrupada (a menudo llamada prueba t de dos muestras). El estad´ıstico de prueba es dado por el siguiente procedimiento de prueba. Para la hip´otesis bilateral H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 = µ2 rechazamos H0 al nivel de significancia α cuando el estad´ıstico t calculado t = (¯x1 − ¯x2) − d0 sp 1/n1 + 1/n2
  • 7.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA PRUEBA SOBRE DOS MEDIAS: VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS IGUALES donde s2 p = s2 1(n1 − 1) + s2 2(n2 − 1) n1 + n2 − 2 excede a t(α/2,n1+n2−2) o es menor que −t(α/2,n1+n2−2). Las alternativas unilaterales, como era de esperarse, sugieren regiones cr´ıticas unilaterales. Por ejemplo, para H1 : µ1 − µ2 > d0, rechace H0 : µ1 − µ2 = d0 cuando t > t(α,n1+n2−2).
  • 8.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA PRUEBA SOBRE DOS MEDIAS: VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS EJEMPLO:VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS IGUALES Un investigador de la UCLA afirma que el promedio de vida de los ratones se puede prolongar hasta por 8 meses cuando se reducen las calor´ıas en su dieta aproximadamente 40 % desde el momento en que se destetan. Las dietas restringidas se enriquecen a niveles normales con vitaminas y prote´ınas. Suponga que a una muestra aleatoria de 10 ratones que tienen una vida promedio de 32.1 meses con una desviaci´on est´andar de 3.2 meses se les alimenta con una dieta normal, mientras que a una muestra aleatoria de 15 ratones que tienen un promedio de vida de 37.6 meses con una desviaci´on est´andar de 2.8 meses se les alimenta con la dieta restringida. A un nivel de significancia de 0.05 pruebe la hip´otesis de que el promedio de vida de los ratones con esta dieta restringida aumenta 8 meses, contra la alternativa de que el aumento es menor de 8 meses. Suponga que las distribuciones de la esperanza de vida con las dietas regular y restringida son aproximadamente normales con varianzas iguales.
  • 9.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA Soluci´on: 1 Identificar datos: Tama˜nos de muestra: n1 = 10 y n2 = 15 Medias muestrales: ¯x1 = 32,1 y ¯x2 = 37,6 Desviaciones muestrales: s2 1 = 3,2 y s2 2 = 2,8 Nivel de significancia: α = 0,05 2 Planteamiento de Hip´otesis H0 : µ2 − µ1 > 8 H1 : µ2 − µ1 < 8 3 Establecer zona de aceptaci´on: Dado que H1 : µ2 − µ1 < 8, la prueba que se realizar´a ser´a de una cola (unilateral), por tanto se rechazar´a H0 si z < −1,711. 4 Calcular estad´ıstico de prueba: s2 p = (3,2)2(9) + (2,8)2(14) 23 = 8,779 t = (37,6 − 32,1) − 8 2,963 1/10 + 1/15 = −2,067
  • 10.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA Soluci´on: 1 Decisi´on: No aceptar H0 2 Conclusi´on: No existe evidencia para que la diferencia entre medias poblacionaleses superior a 8 meses con una significancia del 5 %.
  • 11.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA PRUEBA SOBRE DOS MEDIAS: VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS DIFERENTES Hay situaciones donde al analista no le es posible suponer que σ1 = σ2. T = ( ¯X1 − ¯X2) − d0 s2 1/n1 + s2 2/n2 tiene una distribuci´on t aproximada con grados de libertad aproximados v = (s2 1/n1 + s2 2/n2)2 (s2 1/n1)2/(n1 − 1) + (s2 2/n2)2/(n2 − 1)
  • 12.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA PRUEBA SOBRE DOS MEDIAS: VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS DIFERENTES Como resultado, el procedimiento de prueba consiste en no rechazar H0 cuando −t(α/2,v) < t < t(α/2,v) con v dado como antes. De nuevo, como en el caso de la prueba t agrupada, las alternativas unilaterales sugieren regiones cr´ıticas unilaterales.
  • 13.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA PRUEBA SOBRE DOS MEDIAS: VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS EJEMPLO:VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS DIFERENTES El Departamento de Zoolog´ıa de Virginia Tech llev´o a cabo un estudio para determinar si existe una diferencia significativa en la densidad de organismos en dos estaciones diferentes ubicadas en Cedar Run, una corriente secundaria que se localiza en la cuenca del r´ıo Roanoke. El drenaje de una planta de tratamiento de aguas negras y el sobreflujo del estanque de sedimentaci´on de la Federal Mogul Corporation entran al flujo cerca del nacimiento del r´ıo. Los siguientes datos proporcionan las medidas de densidad, en n´umero de organismos por metro cuadrado, en las dos estaciones colectoras: Estaci´on 1 Estaci´on 2 Media muestral 9897,5 4120,83 Desviaci´on muestral 7874,33 2479,5 Tama˜no de muestra 16 12 A un nivel de significancia de 0.05, ¿podemos concluir que las densidades promedio en las dos estaciones son iguales? Suponga que las observaciones provienen de poblaciones
  • 14.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA Soluci´on: 1 Identificar datos: Tama˜nos de muestra: n1 = 16 y n2 = 12 Medias muestrales: ¯x1 = 9897, 5 y ¯x2 = 4120, 83 Desviaciones muestrales: s1 = 7874, 33 y s2 = 2479, 5 Nivel de significancia: α = 0,05 2 Planteamiento de Hip´otesis H0 : µ2 = µ1 H1 : µ2 = µ1 3 Establecer zona de aceptaci´on: Dado que H1 : µ2 = µ1, la prueba que se realizar´a ser´a de dos colas (bilateral), por tanto se rechazar´a H0 si −t(0,025,v) < t < t(0,025,v).Donde v = ((7874, 33)2/16 + (2479, 5)2/12)2 ((7874, 33)2/16)2/15 + ((2479, 5)2/12)2/11 = 18,78 −t(0,025,18) < t < t(0,025,18) = −2,1009 < t < 2,1009
  • 15.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA Soluci´on: 1 Calcular estad´ıstico de prueba: t = (9897, 5 − 4120, 83) − 0 (7874, 33)2/16 + (4120, 83)2/12 = 2,76 2 Decisi´on: No aceptar H0 3 Conclusi´on: No existe evidencia para que las medias poblacionaleses sean iguales con una significancia del 5 %.
  • 16.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA PRUEBA SOBRE DOS PROPORCIONES DIFERENCIA DE PROPROCIONES Al agrupar los datos de ambas muestras el estimado agrupado de la proporci´on p es ˆp = x1 + x2 n1 + n2 donde x1y x2 son el n´umero de ´exitos en cada una de las dos muestras. El valor z para probar p1 = p2 se determina a partir de la f´ormula: z = ˆp1 − ˆp2 hatphatq(1/n1 + 1/n2) Las regiones cr´ıticas para las hip´otesis alternativas adecuadas se establecen como antes, utilizando puntos cr´ıticos de la curva normal est´andar. En consecuencia, para la alternativa p1 = p2, al nivel de significancia α, la regi´on cr´ıtica es z < −zα/2 o z > zα/2.
  • 17.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA PRUEBA SOBRE DOS PROPORCIONES DIFERENCIA DE PROPROCIONES Para una prueba donde la alternativa es p1 < p2, la regi´on cr´ıtica ser´a z < −zα; y cuando la alternativa es p1 > p2, la regi´on cr´ıtica ser´a z > zα. EJEMPLO: PRUEBA SOBRE DOS PROPORCIONES En un invierno con epidemia de influenza los investigadores de una conocida empresa farmac´eutica encuestaron a los padres de 2000 beb´es para determinar si el nuevo medicamento de la empresa era eficaz despu´es de dos d´ıas. De 120 beb´es que ten´ıan influenza y que recibieron el medicamento, 29 se curaron en dos d´ıas o menos. De 280 beb´es que ten´ıan influenza pero no recibieron el f´armaco, 56 se curaron en dos d´ıas o menos. ¿Hay alguna indicaci´on significativa que apoye la afirmaci´on de la empresa sobre la eficacia del medicamento?
  • 18.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA Soluci´on: 1 Identificar datos: Tama˜nos de muestra: n1 = 120 y n2 = 280 Proporciones muestrales: ˆx1 = 29 120 = 0,24 y ˆx2 = 56 280 = 0,2 Nivel de significancia: α = 0,02 (Seleccionado arbitrariamente) 2 Planteamiento de Hip´otesis H0 : p1 = p2 H1 : p1 > p2 3 Establecer zona de aceptaci´on: Dado que H1 : p1 > p2, la prueba que se realizar´a ser´a de una cola (unilateral), por tanto se rechazar´a H0 si z > 2,06. 4 Calcular estad´ıstico de prueba: ˆp = 29 + 56 120 + 280 = 0,212 z = 0,24 − 0,2 (0,212)(0,788)(1/120 + 1/280) = 0,897
  • 19.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA Soluci´on: 1 Decisi´on: No rechazar H0 2 Conclusi´on: No existe evidencia para que exista diferencia entre las porprociones de beb´es que se curaron con o sin usar el medicamente con una significancia del 2 %.
  • 20.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA PRUEBA SOBRE DOS VARIANZAS RAZ ´ON DE PROPROCIONES Consideremos ahora el problema de probar la igualdad de las varianzas σ2 1 y σ2 2 de dos poblaciones. Esto es, probaremos la hip´otesis nula H0 de que σ2 1 = σ2 2 contra una de las alternativas usuales σ2 1 > σ2 2, σ2 1 < σ2 2 o σ2 1 = σ2 2. Para muestras aleatorias independientes de tama˜nos n1 y n2, respectivamente, de las dos poblaciones, el valor f para probar σ2 1 = σ2 2 es el cociente f = s2 1 s2 2 donde s2 1 y s2 2 son las varianzas calculadas de las dos muestras. Si las dos poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normal. Por lo tanto, las regiones cr´ıticas de tama˜no α que corresponden a las alternativas unilaterales σ2 1 < σ2 2 y σ2 1 > σ2 2, son, respectivamente, f < f1−α(v1, v2) y f > f?(v1, v2). Para la alternativa bilateral σ2 1 = σ2 2 la regi´on cr´ıtica es f < f1−α/2(v1, v2) o f > f?/2(v1, v2). Con v1 = n1 − 1 y v2 = n2 − 1.
  • 21.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA PRUEBA SOBRE DOS VARIANZAS EJEMPLO: PRUEBA SOBRE DOS VARIANZAS Se realiza un estudio para comparar el tiempo que les toma a hombres y mujeres ensamblar cierto producto. La experiencia indica que la distribuci´on del tiempo tanto para hombres como para mujeres es aproximadamente normal, pero que la varianza del tiempo para las mujeres es menor que para los hombres. Una muestra aleatoria de los tiempos de 11 hombres y 14 mujeres produce los siguientes datos: Hombres Mujeres n1 = 11 n2 = 14 s1 = 6,1 s2 = 5,3 Pruebe la hip´otesis de que σ2 1 = σ2 2 contra la alternativa de que σ2 1 > σ2 2. Utilice un valor P en su conclusi´on.
  • 22.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA Soluci´on: 1 Identificar datos: Datos en la tabla. Nivel de significancia: α = 0,05 (Seleccionado arbitrariamente) 2 Planteamiento de Hip´otesis H0 : σ2 1 = σ2 2 H1 : σ2 1 > σ2 2 3 Establecer zona de aceptaci´on: Dado que H1 : σ2 1 > σ2 2, la prueba que se realizar´a ser´a de una cola (unilateral), por tanto se rechazar´a H0 si f > 2,565. 4 Calcular estad´ıstico de prueba: f = (6,1)2 (5,3)2 = 1,32
  • 23.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA Soluci´on: 1 Decisi´on: No rechazar H0 2 Conclusi´on: No existe evidencia para afirmar que las varianzas poblacionales sean distintas, con una significancia del 5 %.
  • 24.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA OTRAS PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE Una prueba de la bondad de ajuste entre las frecuencias observadas y esperadas se basa en la cantidad. χ2 = k i=1 (oi − ei)2 ei donde χ2 es un valor de una variable aleatoria cuya distribuci´on muestral se aproxima muy de cerca a la distribuci´on chi cuadrada con v = k − 1 grados de libertad. Los s´ımbolos oi y ei representan las frecuencias observada y esperada, respectivamente, para la i-´esima celda.
  • 25.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA OTRAS PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE Si las frecuencias observadas se acercan a las frecuencias esperadas correspondientes, el valor χ2 ser´a peque˜no, lo cual indica un buen ajuste. Un buen ajuste conduce a la aceptaci´on de H0.Para un nivel de significancia igual a α encontramos el valor cr´ıtico χ2 (α,k−1), entonces, χ2 > χ2 (α,k−1) constituye la regi´on cr´ıtica. El criterio de decisi´on que aqu´ı se describe no se deber´ıa utilizar a menos que cada una de las frecuencias esperadas sea por lo menos igual a 5. Esta restricci´on podr´ıa requerir la combinaci´on de celdas adyacentes, lo que dar´a como resultado una reducci´on en el n´umero de grados de libertad.
  • 26.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA OTRAS PRUEBAS DE HIP ´OTESIS EJEMPLO: PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE Las calificaciones de un curso de estad´ıstica para un semestre espec´ıfico fueron las siguientes: Calificaci´on A B C D F f 14 18 32 20 16 Pruebe la hip´otesis, a un nivel de significancia de 0.05, de que la distribuci´on de calificaciones es uniforme. Soluci´on: 1 Definir esperados: Dado que la distribuci´on es uniforme, estos ser´an: ei = k i=1 ei k = 100 5 = 20, para todo i 2 Planteamiento de Hip´otesis H0 : Los datos siguen un distribuci´on uniforme. H1 : Los datos no siguen un distribuci´on uniforme.
  • 27.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA 1 Establecer zona de aceptaci´on: En las pruebas de bondad de ajuste se realiza unilateral, por tanto se rechazar´a H0 si χ2 > χ2 (0,05,4) = 9,4877. 2 Calcular estad´ıstico de prueba: χ2 = (14 − 20)2 + (18 − 20)2 + (32 − 20)2 + (20 − 20)2 + (16 − 20)2 20 χ2 = 10 3 Decisi´on: No aceptar H0 4 Conclusi´on: No existe evidencia sufieciente para afirmar que los datos siguen una distribuci´on uniforme con una confinaza del 95 %.
  • 28.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA OTRAS PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PRUEBA DE INDEPENDENCIA Para probar la hip´otesis nula de independencia usamos el siguiente criterio de decisi´on: Calcule χ2 = k i=1 (oi − ei)2 ei donde la sumatoria se extiende a todas las celdas rc en la tabla de contingencia r × c. Si χ2 > χ2 (α,k−1) con v = (r − 1)(c − 1) grados de libertad, rechace la hip´otesis nula de independencia al nivel de significancia α; en otro caso no la rechace.
  • 29.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA EJEMPLO: PRUEBA DE INDEPENDENCIA En un estudio sobre un taller se re´une un conjunto de datos para determinar si la proporci´on de art´ıculos defectuosos producida por los trabajadores fue la misma para el turno matutino, el vespertino y el nocturno. Los datos que se reunieron se muestran en la tabla: Turno: Matutino Vespertino Nocturno No defectuosos 45 55 70 Defectuosos 905 890 870 Utilice un nivel de significancia de 0.025 para determinar si la proporci´on de art´ıculos defectuosos es la misma para los tres turnos.
  • 30.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA Soluci´on: 1 Definir esperados: En eventos independientes la probabilidad de la intersecci´on ser´a el producto de las probabilidades por tanto: Turno: Matutino Vespertino Nocturno No defectuosos 170×950 2835 170×945 2835 170×940 2835 170 Defectuosos 2665×950 2835 2665×945 2835 2665×940 2835 2665 950 945 940 2835 2 Planteamiento de Hip´otesis H0 : La producci´on de art´ıculos defectuosos es independiente del turno en el cual se fabrican. H1 : La producci´on de art´ıculos defectuosos no es independiente del turno en el cual se fabrican 3 Establecer zona de aceptaci´on: La prueba de independencia es unilateral, por tanto se rechazar´a H0 si χ2 > χ2 (0,025,2) = 7,3778.
  • 31.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA 1 Calcular estad´ıstico de prueba: χ2 = (45 − 57)2 57 + (55 − 56,7)2 56,7 + (70 − 56,4)2 56,4 + (905 − 893)2 893 + (890 − 888,3)2 888,3 + (870 − 883,6)2 883,6 χ2 = 6,23 2 Decisi´on: No rechazar H0 3 Conclusi´on: No existe evidencia sufieciente para afirmar que los datos no son independientes con una significancia del 2.5 %.
  • 32.
    PRUEBAS DE HIP´OTESIS PARA DOS MUESTRA BIBLIOGRAF´IA Walpole, Ronald E and Myers, Raymond H and Myers, Sharon L. Probabilidad y estad´ıstica para ingenier´ıa y ciencias. Pearson Educaci´on. Novena edici´on. 2012. Navidi, William Cyrus. Statistics for engineers and scientists. McGraw-Hill Higher Education. Third edition. 2011.