Este documento contiene las preguntas y respuestas de un examen parcial de cálculo III. El examen consta de 4 preguntas que involucran resolver ecuaciones diferenciales y problemas de valor inicial. Cada pregunta ofrece múltiples opciones de respuesta para que el estudiante marque la opción correcta.

1. Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa Cruz
Facultad de Ciencias y Tecnologa Departamento de Mathematicas
Correccion Primer Parcial de Calculo III 1; 2; 3; 4 16 de octubre de 2008
Tabla de Respuestas
1. (25 puntos)Hallar y(ln 2), sabiendo que y es solucion del problema a valor inicial
8
:
y00 y0 + y = ex;
y(0) = 1;
y0(0) = 1:
Respuesta:
Resolvemos la ecuacion diferencial del problema a valor inicial; para tal efecto, primero hallamos la
solucion general de la ecuacion
y00 y + y = 0;
que es una ecuacion a coe

2. cientes constantes. Utilizamos el polinomio caracterstico de la ecuacion
p() = 2 + = 0 ) 1 =
1
2
+
p
3
2 i; 2 =
1
2
p
3
2 i:
Como las races son complejas y conjugadas, estas contribuyen al Sistema Fundamental de Soluciones
con:
SF = fe
1
2 x cos(
p
3
2 x); e
12
x sin(
p
3
2 x):
La solucion particular de
y00 y + y = ex;
la hallamos por tanteo, y = ex es una solucion particular. Por consiguiente, la solucion general de la
ecuacion diferencial del problema es
y = c1e
12
x cos(
p
3
2 x) + c2e
1
2 x sin(
p
3
2 x) + ex:
Los valores c1 y c2 determinamos remplazando las condiciones iniciales, lo que da:
y(0) = c1 + 1 = 1
y0(0) = 1
2 c1 +
p
3
2 c2 + 1 = 1
) c1 = 1; c2 = 1:
Por consiguiente, y = ex es la solucion del problema a valor inicial y
y(ln 2) = 2.
2. (25 puntos)Hallar la solucion general de
xy0 + 2 = x3(y 1)y0:
Respuesta:
Despejamos y0 obteniendo
y0 =
2
x2(y 1) x
:
Intercambiamos roles, x se convierte en funcion incognita e y en variable independiente, lo que da
x0 =
x
2
+
(y 1)
2 x3;

3. ecuacion de tipo Bernouilli. Planteamos z(y) = z = x13; es decir z = x2. Derivamos y obtenemos:
z0 = 2x3x0 )
x3
2
=
x
2
+
(y 1)
2 x3 ) z0 = z y 1:
Obtenemos una solucion particular de esta ultima ecuacion planteando z = y +

4. , derivando y
remplazando se tiene
= y +

5. y + 1 ) = 1;

6. = 0
Por lo tanto
z = cey + y )
1
x2 = cey + y
De donde la solucion general de la ecuacion puede escribirse como
1 = x2(cey + y).
3. (25 puntos)Resolviendo hallar la solucion general de
y0 = y xy2
x + x2y
:
Respuesta:
La ecuacion a ser resuelta, no corresponde a ningun tipo de las ecuaciones estudiadas, por lo que
debemos buscar una substitucion adecuada
y0 = y xy2
x + x2y
= y(1 xy)
x(1 + xy) ;
intentamos planteando z = xy, derivando se tiene z0 = y + xy0, remplazando en la ecuacion se obtiene
z0 y
x
= y(1 z)
x(1 + z) ) z0 y = y
1 z
1 + z
) z0 = y(
1 z
1 + z
+ 1) ) z0 =
2y
(z + 1)
=
2z
x(z + 1)
esta ultima ecuacion de tipo separable. Separamos e integramos:
z + 1
z
=
2
x
) z + ln z = ln cx2 ) z = ln(c
x2
z
) ) xy = ln(c
x
y
)
Por lo tanto, la solucion general de la ecuacion esta dada por
xy = ecx=y.
4. (25 puntos)Hallar la solucion del problema a valor inicial
8
:
yy00 = y2y0 + (y0)2;
y(0) = 1
2 ;
y0(0) = 1:
Respuesta:
Reducimos el orden de la ecuacion del problema planteando u(y) = y0(x), lo que convierte la ecuacion
en
yuu0 = y2u + u2;
Como y0(0) = 1, se tiene que u es diferente de 0 y consiguientemente podemos simpli

7. car u de la
ecuacion lo que da la ecuacion lineal de primer orden
u0 =
1
y
u + y
2

8. La solucion particular de esta ecuacion la obtenemos planteando u = y2:
2y = y + y ) = 1
= 2:
Por consiguiente la solucion general es y = cy + y2. Para x = 0 y = 1
2 e y0 = 1, por lo tanto
u(
1
2
) =
1
2c +
1
4
= 1 ) c =
3
2:
Ahora resolvemos
y0 =
3
2y + y2;
que es una ecuacion de Bernouilli, planteamos z = 1=y, lo que da
z0 =
3
2z 1 ) z = ce3x=2 +
2
3:
La condicion inicial y = 1
2 para x = 0, se convierte en z = 2 para x = 0, lo que
z(0) = c +
2
3
= 2 ) c =
8
3 ) z =
8
3e3x=2 +
2
3:
Por lo tanto
y =
1
3 e3x=2 + 2
3
8
=
3
8e3x=2 + 2
) y(8e3x=2 + 2) = 3
La solucion del problema a valor inicial esta dada por
2y 3 = 8ye3x=2:
3

9. Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa Cruz
Facultad de Ciencias y Tecnologa Departamento de Matematicas
Primer Parcial de Calculo III 1 16 de octubre de 2008
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que esta respondiendo, indicando claramente
a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opcion que considere correcta.
El examen esta dise~nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de
transcripcion puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opcion y si el desarrollo de la pregunta es correcto
tendra una boni

10. cacion adicional de 5 puntos por la pregunta.
Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas
correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas
1. d
2. a
3. b
4. c
1. (25 puntos) Hallar y(ln 2), sabiendo que y es solucion del problema a valor inicial
8
:
y00 y0 + y = ex;
y(0) = 1;
y0(0) = 1:
Respuesta:
a) y(ln 2) = 0; b) y(ln 2) = 1;
c) y(ln 2) = cos(ln 2
p
3) sin(ln 2
p
3); d) y(ln 2) = 2;
e) Ninguna de las anteriores.
2. (25 puntos) Hallar la solucion general de
xy0 + 2 = x3(y 1)y0:
Respuesta:
a) 1 = x2(y + cey); b) xy2 = ey + c;
c) x = yey + cy; d) 1 + xy ln x = cxy;
e) Ninguna de las anteriores.

11. 3. (25 puntos) Resolviendo hallar la solucion general de
y0 = y xy2
x + x2y
:
Respuesta:
a) y3 = x3 ln(cx3); b) xy = cex=y;
c) x = cyexy; d) 2 + 5xy2 = cx5=2;
e) Ninguna de las anteriores.
4. (25 puntos) Hallar la solucion del problema a valor inicial
8
:
yy00 = y2y0 + (y0)2;
y(0) = 1
2 ;
y0(0) = 1:
Respuesta:
2 ; b) 3y + x3 = 3;
a) y = 1
c) 2y 3 = 8ye
32
x; d) y = ln(2ex 1);
e) Ninguna de las anteriores.
2

12. Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa Cruz
Facultad de Ciencias y Tecnologa Departamento de Matematicas
Primer Parcial de Calculo III 2 16 de octubre de 2008
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que esta respondiendo, indicando claramente
a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opcion que considere correcta.
El examen esta dise~nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de
transcripcion puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opcion y si el desarrollo de la pregunta es correcto
tendra una boni

13. cacion adicional de 5 puntos por la pregunta.
Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas
correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas
1. c
2. d
3. a
4. b
1. (25 puntos) Hallar y(ln 2), sabiendo que y es solucion del problema a valor inicial
8
:
y00 y0 + y = ex;
y(0) = 1;
y0(0) = 1:
Respuesta:
a) y(ln 2) = 1; b) y(ln 2) = cos(ln 2
p
3) sin(ln 2
p
3);
c) y(ln 2) = 2; d) y(ln 2) = 0;
e) Ninguna de las anteriores.
2. (25 puntos) Hallar la solucion general de
xy0 + 2 = x3(y 1)y0:
Respuesta:
a) xy2 = ey + c; b) x = yey + cy;
c) 1 + xy ln x = cxy; d) 1 = x2(y + cey);
e) Ninguna de las anteriores.

14. 3. (25 puntos) Resolviendo hallar la solucion general de
y0 = y xy2
x + x2y
:
Respuesta:
a) xy = cex=y; b) x = cyexy;
c) 2 + 5xy2 = cx5=2; d) y3 = x3 ln(cx3);
e) Ninguna de las anteriores.
4. (25 puntos) Hallar la solucion del problema a valor inicial
8
:
yy00 = y2y0 + (y0)2;
y(0) = 1
2 ;
y0(0) = 1:
Respuesta:
a) 3y + x3 = 3; b) 2y 3 = 8ye
3
2 x;
c) y = ln(2ex 1); d) y = 1
2 ;
e) Ninguna de las anteriores.
2

15. Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa Cruz
Facultad de Ciencias y Tecnologa Departamento de Matematicas
Primer Parcial de Calculo III 3 16 de octubre de 2008
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que esta respondiendo, indicando claramente
a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opcion que considere correcta.
El examen esta dise~nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de
transcripcion puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opcion y si el desarrollo de la pregunta es correcto
tendra una boni

16. cacion adicional de 5 puntos por la pregunta.
Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas
correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas
1. d
2. a
3. b
4. c
1. (25 puntos) Hallar y(ln 2), sabiendo que y es solucion del problema a valor inicial
8
:
y00 y0 + y = ex;
y(0) = 1;
y0(0) = 1:
Respuesta:
a) y(ln 2) = 0; b) y(ln 2) = 1;
c) y(ln 2) = cos(ln 2
p
3) sin(ln 2
p
3); d) y(ln 2) = 2;
e) Ninguna de las anteriores.
2. (25 puntos) Hallar la solucion general de
xy0 + 2 = x3(y 1)y0:
Respuesta:
a) 1 = x2(y + cey); b) xy2 = ey + c;
c) x = yey + cy; d) 1 + xy ln x = cxy;
e) Ninguna de las anteriores.

17. 3. (25 puntos) Resolviendo hallar la solucion general de
y0 = y xy2
x + x2y
:
Respuesta:
a) y3 = x3 ln(cx3); b) xy = cex=y;
c) x = cyexy; d) 2 + 5xy2 = cx5=2;
e) Ninguna de las anteriores.
4. (25 puntos) Hallar la solucion del problema a valor inicial
8
:
yy00 = y2y0 + (y0)2;
y(0) = 1
2 ;
y0(0) = 1:
Respuesta:
2 ; b) 3y + x3 = 3;
a) y = 1
c) 2y 3 = 8ye
32
x; d) y = ln(2ex 1);
e) Ninguna de las anteriores.
2

18. Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa Cruz
Facultad de Ciencias y Tecnologa Departamento de Matematicas
Primer Parcial de Calculo III 4 16 de octubre de 2008
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que esta respondiendo, indicando claramente
a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opcion que considere correcta.
El examen esta dise~nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de
transcripcion puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opcion y si el desarrollo de la pregunta es correcto
tendra una boni

19. cacion adicional de 5 puntos por la pregunta.
Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas
correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas
1. a
2. b
3. c
4. d
1. (25 puntos) Hallar y(ln 2), sabiendo que y es solucion del problema a valor inicial
8
:
y00 y0 + y = ex;
y(0) = 1;
y0(0) = 1:
Respuesta:
a) y(ln 2) = 2; b) y(ln 2) = 0;
c) y(ln 2) = 1; d) y(ln 2) = cos(ln 2
p
3) sin(ln 2
p
3);
e) Ninguna de las anteriores.
2. (25 puntos) Hallar la solucion general de
xy0 + 2 = x3(y 1)y0:
Respuesta:
a) 1 + xy ln x = cxy; b) 1 = x2(y + cey);
c) xy2 = ey + c; d) x = yey + cy;
e) Ninguna de las anteriores.

20. 3. (25 puntos) Resolviendo hallar la solucion general de
y0 = y xy2
x + x2y
:
Respuesta:
a) 2 + 5xy2 = cx5=2; b) y3 = x3 ln(cx3);
c) xy = cex=y; d) x = cyexy;
e) Ninguna de las anteriores.
4. (25 puntos) Hallar la solucion del problema a valor inicial
8
:
yy00 = y2y0 + (y0)2;
y(0) = 1
2 ;
y0(0) = 1:
Respuesta:
a) y = ln(2ex 1); b) y = 1
2 ;
c) 3y + x3 = 3; d) 2y 3 = 8ye
3
2 x;
e) Ninguna de las anteriores.
2