Guía de clase, Bloque 4 segundo grado

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PATRONES Y ECUACIONES
• Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que
las definen. Obtención de la regla general de una sucesión con progresión aritmética de
números enteros.
SUCESIONES DE NÚMEROS POSITIVOS
Una sucesión numérica es una serie de números, o un conjunto de números que se
encuentran escritos ordenadamente en base a una regla dada. Ejemplo: 1, 3, 5, 7, 9…
PROBLEMA: Encuentra la regla general de la sucesión: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13…
Los términos de toda sucesión numérica, siempre se pueden numerar desde el primer
término hasta el infinito. El orden de la sucesión se representa con la letra n.
ORDEN DE LA SUCESIÓN n 1 2 3 4 5 6 7
TÉRMINOS DE LA SUCESIÓN NUMÉRICA 1 3 5 7 9 11 13
En esta sucesión el valor de n es: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…
Para llegar a la regla general con la que encontramos cualquier término en esta sucesión,
primero buscamos la primera diferencia de derecha a izquierda, que hay entre los
términos:
13 – 11 = 2 11 – 9 = 2 9 – 7 = 2 7 – 5 = 2 5 – 3 = 2 3 – 1 = 2
1 3 5 7 9 11 13
2 2 2 2 2 2
El 2 no cambia, es constante.
La regla general es: 2n – 1 n representa el orden de cada uno de los términos.
1° término: 2n – 1 = 2(1) – 1 = 2 – 1 = 1
2° término: 2n – 1 = 2(2) – 1 = 4 – 1 = 3
3° término: 2n – 1 = 2(3) – 1 = 6 – 1 = 5
4° término: 2n – 1 = 2(4) – 1 = 8 – 1 = 7
El 20° término lo encontramos de la siguiente forma: 2n – 1 = 2(20) – 1 = 40 – 1 = 39
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Forma una sucesión numérica de 8 términos, cuyo primer término sea 12 y se le vayan
sumando 3 y así sucesivamente.
n 1 2 3 4 5 6 7 8
BLOQUE 4
El 2 formará parte de la regla general.
Vemos que multiplicando 2 por n, o sea por
el orden de la sucesión y restándole 1
podemos obtener cualquier número se la
sucesión.
Por lo tanto la regla general de esta sucesión
es: 2n – 1.

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Sucesión 12 15 18
sumando 10, y así sucesivamente.
n 1 2 3 4 5 6 7 8
Sucesión
¿Cuál es la primera diferencia entre los términos de la sucesión?_______
¿Cuál de las siguientes reglas es la que corresponde a esta sucesión? __________
a) 5n + 7 b) 20n – 7 c) 16n – 5 d) 10n – 7
3.- Escribe otros términos a la siguiente sucesión numérica.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Sucesión 3 8 13
¿Cuál es la regla general de esta sucesión?_____________
1) 8n + 2 2) 5n – 2 3) 5n 4) 5n + 2
¿Cuál es el término que se encuentra ubicado en el 20° lugar de la sucesión numérica
anterior?_______
sumando 5, y así sucesivamente.
¿Cuál es la regla general de esta sucesión?______________
¿Cuál es el término que se encuentra en el 50° lugar de esta sucesión numérica?________
5.- Resuelve los siguientes problemas.
1.- En una ciudad están numeradas las casas en la forma que se muestra enseguida:
1 4 7 10 13 16 19 22
¿Cuál es la regla general de esta sucesión?____________

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Si los vecinos reportaron que se había perdido el número de la casa que se encuentra en el 100°
(centésimo) lugar de la calle. ¿Cuál es el número que la Presidencia Municipal mandó hacer, sin
necesidad de preguntar a los vecinos el número faltante?
2.- En un concurso de Matemáticas, por resolver bien el primer problema, un equipo gana 4
puntos, por el segundo problema bien resuelto gana 9 puntos, 14 por el tercero, 19 por el cuarto,
24 por el quinto y así sucesivamente. ¿Cuántos puntos recibirá el equipo al resolver bien el
problema 20? ________________
3.- En el concurso de Historia, por contestar bien la primera pregunta un equipo gana 3 puntos,
por la segunda pregunta bien contestada gana 7 puntos, 11 por la tercera, 15 por la cuarta, 19
por la quinta y así sucesivamente. ¿Cuántos puntos recibirá el equipo al contestar la pregunta
30? ______________
4.- Mi hijo está ahorrando dinero en forma sucesiva. El primer día ahorró 7 pesos, el segundo 16
pesos, el tercero 25, el cuarto 34, y así sucesivamente. ¿Cuánto será lo que deba ahorrar el día
número 30? _______________
5.- Una compañía va a estar contratando a sus empleados de manera sucesiva. La primera
semana contratará 2 empleados, la segunda 5, la tercera 8, la cuarta 11, la quinta 14 y así
sucesivamente. Si los contratos los estará haciendo durante 25 semanas, ¿cuántos empleados
será los que contrate la última semana? ______________
6.- Una compañía minera va a estar contratando a sus empleados de manera sucesiva. El primer
mes contratará 15 empleados, el segundo 22, el tercero 29, el cuarto 36, el quinto 43 y así
sucesivamente. Los contratos los estará realizando durante dos años.
¿Cuántos empleados será los que contrate el mes número 12? _______________

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7.- La mamá de Isaid le dijo que por ayudarle en la casa, el primer día le iba a dar 5 pesos, el
segundo 8 pesos, el tercero 11 pesos, el cuarto 14, el quinto 17 pesos y así sucesivamente.
¿Cuánto dinero le debe dar el día número 30? ________________
SUCESIONES DE NÚMEROS CON SIGNO
PROBLEMA: Encuentra la regla general de la siguiente sucesión numérica:
-4, -1, 2, 5, 8, 11, 14, 17…
ORDEN n 1 2 3 4 5 6 7 8
TÉRMINOS DE LA SUCESIÓN -4 -1 2 5 8 11 14 17
Para encontrar la regla general, nos auxiliamos con la primera diferencia de derecha a
izquierda que hay entre los términos de la sucesión: 17 – 14 = 3 14 – 11 = 3
11 – 8 = 3 8 – 5 = 3 5 – 2 = 3 2 – (-1) = 2 + 1 = 3 -1 – (-4) = -1 + 4 = 3
8 11 14 17
3 3 3
Como el 3 es constante por no cambiar, entonces en la regla general deberá estar el 3:
Regla general: 3n - 7
La regla general la podemos comprobar con el 8° (octavo) término de la sucesión:
3n – 7 = 3(8) – 7 = 24 – 7 = 17
¿Cuál será el 20° término en esta sucesión?: 3n – 7 = 3(20) – 7 = 60 – 7 = 53
A partir de una regla general, se puede construir una sucesión numérica, basta con
encontrar el valor numérico de la expresión algebraica que representa la regla, dando a n
valores a partir del 1, hasta llegar al total de términos que vayamos a encontrar.
EJEMPLO: Formar una sucesión de 8 términos cuya regla general es: 2n – 30
2n – 30 = 2(1) – 30 = 2 – 30 = - 28
2n – 30 = 2(2) – 30 = 4 – 30 = - 26
2n – 30 = 2(3) – 30 = 6 – 30 = - 24 Sucesión: -28, -26, -24, -22, -20, -18, -16, -14.
1.- Agrega 5 términos a cada una de las siguientes sucesiones numéricas.
10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, ________, ________, ________, ________, ________...
20, 18, 16, 14, ________, ________, ________, ________, ________...
12, 10, 8, 6, ________, ________, ________, ________, ________...
5, 3, 1, –1, – 3, ________, ________, ________, ________, ________...

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-3, -5, -7, -9. -11, ________, ________, ________, ________, ________...
– 7, –12, –17, _________, ________, ________, ________, ________...
6, 3, 0, -3, -6, ________, ________, ________, ________, ________...
2.- Encuentra y escribe en los cuadros las primeras diferencias, de derecha a izquierda,
entre los términos de las siguientes sucesiones y en base a ellas, determina cuál de las
dos reglas generales es la que corresponde a cada sucesión.
SUCESIONES OPCIONES REGLA
-10 -7 -4 -1 2 5 8
-15 -11 -7 -3 1 5 9
-4 0 4 8 12 16 20
-13 -10 -7 -4 -1 2 5
14 12 10 8 6 4 2
-15 -11 -7 -3 1 5 9
-13 -11 -9 -7 -5 -3 1
15 9 3 -3 -9 -15 -21
3.- Forma una sucesión numérica de 8 términos que tenga 10 como primer término y se
le reste 4, y así sucesivamente.
n 1 2 3 4 5 6 7 8
Sucesión 10 6 2 -2 -6
-18 – (-14) = -18 + 14 = ____ -14 – (-10)= -14 + 10 = ____ -10 – (-6) = - 10 + 6 =
-6 – (-2) = ______________ -2 – 2 = ____ 2 – 6 = _____
3n – 13 y 4n - 5
5n – 19 y 4n - 19
4n – 8 y 3n - 10
3n – 16 y 4n - 19
-2n + 16 y 2n +16
5n – 26 y 4n - 19
4n – 19 y 2n - 15
-6n + 21 y 5n - 12

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¿Cuál es la regla general de la sucesión? ___________
a) -4n + 14 b) 4n + 4 c) 4n + 6 d) 4n + 10
¿Cuál es el número que se encuentra en el 30° lugar de esta sucesión? ________
4.- La expresión algebraica 3n – 20 es la regla general de una sucesión numérica.
Encuentra los primeros 8 términos de la sucesión numérica y escríbelos enseguida.
______, ______, ______, ______, ______, ______, ______, ______...
5.- Encuentra los términos 10°, 15°, 20°, 30° y 100° de la sucesión numérica cuya regla
general es 3n – 10 y escríbelos en la siguiente tabla.
10 15 20 30 100
6.- Escribe los 8 primeros términos que resultan de las siguientes reglas generales de
sucesiones numéricas
REGLA TÉRMINOS
–3n ____ , ____ , ____ , ____ , ____ , ____ , ____ , ____ …
–2n ____ , ____ , ____ , ____ , ____ , ____ , ____ , ____ …
2n – 1 ____ , ____ , ____ , ____ , ____ , ____ , ____ , ____ …
n – 72 ____ , ____ , ____ , ____ , ____ , ____ , ____ , ____ …
–6n + 5 ____ , ____ , ____ , ____ , ____ , ____ , ____ , ____ …
7.- ¿Cuál es la regla general de la siguiente sucesión?______________
-2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12…
a) 2n b) 2n + 4 c) 4n – 4 d) 2n – 4
8.- ¿Cuál es la regla general de la siguiente sucesión?_______________
-2, 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26…
a) 4n - 6 b) 4n + 4 c) 4n – 4 d) 4n + 6
-5, -2, 1, 4, 7, 10, 13, 16…
a) 7n – 8 b) 3n c) 3n – 8 d) 3n + 10
-8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13…

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7, 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7…
10, 6, 2, -2, -6, -10, -14, -18…
• Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones
de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos
miembros, con enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
El modelo de la balanza, es un método que nos sirve para entender mejor la manera en
que se soluciona una ecuación.
PROBLEMA: Resuelve por el modelo de la balanza la siguiente ecuación.
x + 4 = 7
1° Se representa la ecuación en una balanza.
x + 4 = (7)
Primer miembro Segundo miembro
x
=
2° Dejamos sola la x, quitando 4 cuadrados que están en el platillo del lado izquierdo de la
balanza (primer miembro), y para que la balanza siga en equilibrio, se quitan también 4
cuadrados que están del lado derecho de la balanza (segundo miembro).
x =
x + 4 = 7
– 4 = – 4
x = 3

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1.- La siguiente balanza está en equilibrio, ya que el primer platillo es de igual peso que el
segundo.
x x 5kg Ecuación: 2x + 10 = x + 13
=
x 5 kg 5 kg 5 kg 3kg
a) ¿Cuáles de las siguientes acciones sirven para encontrar el valor de x?. Escribe Sí o No.
Quitar 5 kg a cada platillo de la balanza……………………………………..________
Pasar 3 kg del platillo derecho al izquierdo………………………………... ________
Quitar una x del platillo izquierdo y una x del platillo derecho……………. ________
Pasar dos x del platillo izquierdo al platillo derecho……………………….. ________
Quitar otros 5 kg del platillo izquierdo y otros 5 kg del platillo derecho…...________
b) ¿Cuál es el valor de x en la ecuación?....................................................________
2.- Aplica el modelo de la balanza y resuelve las siguientes ecuaciones.
x x
x = ______ x = ______
y y

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y = ______ y = ______
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Con el propósito de hacer más eficiente la solución de ecuaciones, usamos la
transposición de términos, que consiste en cambiar con signo contrario, un término de un
miembro al otro miembro. Si el término está sumando, pasa restando y viceversa. Si el
término está multiplicando pasa dividiendo y viceversa.
x + 4 = 7 Despejamos la x, pasando el 4 al segundo miembro, con signo
x = 7 – 4 contrario y resolvemos operaciones.
x = 3
PROBLEMA: 8 veces un número es igual a ese mismo número más 14.
8x = x + 14 Cambiamos x al primer miembro con signo contrario.
8x – x = 14
7x = 14 Resolvemos operaciones (8x – x).
x = Despejamos x, cambiando el 7 dividiendo al 2° miembro.
x = 2 y resolvemos operaciones.
PROBLEMA: Resuelve la siguiente ecuación:
84 – 19y = –7(60 + y) Resolvemos operaciones indicadas: –7(60 + y)
84 – 19y = – 420 – 7y Cambiamos los términos con y al primer miembro y los
– 19y + 7y = – 420 – 84 independientes al segundo miembro, con signo contrario.
– 12y = – 504 Resolvemos operaciones.
y = Despejamos y, pasando -12 dividiendo al segundo miembro.
y = 42 Resolvemos operaciones respetando leyes de los signos.
PROBLEMA: ¿Cuál es el valor de x en la siguiente figura?
Área = 200 cm²
Planteamos la ecuación, considerando que:
Base por altura = Área
5(x + 30) = 200
Resolvemos la ecuación:
5(x + 30) = 200
5x + 150 = 200
x + 30
5
-504
-12
14
7

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5x = 200 – 150
5x = 50
x =
x = 10
1.- Utiliza la transposición de términos para resolver las siguientes ecuaciones.
x + 4 = 12 x + 5 = 11 y + 3 = 15 7 = y + 5
x – 4 = 9 x – 5 = 1 y – 3 = 15 7 = y – 5
4x = 12 5x = 35 3y = 15 9x = 3
2.- Utiliza la transposición de términos y resuelve las siguientes ecuaciones.
7x + 9x = 64 2x + x = 27 24y + 26y = 5 000
9x + 12 + 6x + 8 = 65 x + x = 420 16 + 2x + 4 + 11x = 85
3x + 7 + 6x + 4 = 92 14x + 18 + 11x + 30 = 148 2x + 3x = 25 - 10
50
5

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3.- Resuelve las siguientes ecuaciones con paréntesis.
5(2x – 1) = 15 3(2x – 5) = 9 8x + 2(10x – 4) = 20
10(4x + 7) = 90 4(7 + 2x) – 10 = 6x 3(4x – 3) – 60x = 39
4.- ¿Cuál es la solución de la siguiente
ecuación?_________
3(x + 2) + 4 = 19
a) x = 9.2
b) x = 8
c) x = 4
d) x = 3
ecuación?_________
2(3x + 5) + 3 = 25
a) x = 2
b) x = 1
c) x = 3
d) x = 6.3
ecuación?_________
7(x - 4) - 5 = 9
a) x = 7
b) x = 6
c) x = -7
d) x = 5
ecuación?_________
8(2x - 3) + 15 = 39
e) x = 2
f) x = 12
g) x = 6
h) x = 3

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8.- Resuelve los siguientes problemas planteando para ello la ecuación correcta.
1.- En la pared de un edificio se quieren hacer 4 ventanas como se muestran en el dibujo.
Si dos ventanas son cuadradas de 3 metros de lado y otras dos también cuadradas pero
de 2 metros de lado, ¿cuánto debe medir la separación entre ventanas de acuerdo a la
letra x, señalada en la siguiente figura?
2x x x x 2x
31 m
1010
2x
x
x
2x 2x =
4
3x2x
3 2 2 3
2.- Observa la siguiente figura:
Área = 100 cm²
Si Área = (b)(h), ¿cuánto vale x?_______
¿Cuánto mide de largo la figura?_________
¿Cuánto mide el área de la parte sombreada?
__________
¿Cuánto mide el área de la parte no sombreada?
__________
3.- Si las siguientes figuras tienen el mismo
perímetro.
¿Cuál es el valor de x?______
¿Cuál es el perímetro de cada figura?__

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4.- Se repartieron $4 250 entre dos
trabajadores. El segundo trabajador recibió
$500 más que el primero.
¿Cuánto recibió cada trabajador?_________
Primer trabajador: x
Segundo trabajador: x + 500
Ecuación:
5.- Se tienen 500 hojas de máquina que se van
a repartir entre dos profesores.
El segundo profesor recibe 80 hojas más que el
primero.
¿Cuántas recibe cada uno?______________
6.- Rosa y Pedro tienen la misma cantidad de
dinero. Rosa lo tiene en 4 cheques más $500
en efectivo. Pedro lo tiene en 2 cheques más $
1 000 en efectivo.
Si los cheques son por la misma cantidad, ¿por
qué cantidad es cada cheque?_______
___________________
7.- La suma de tres números consecutivos es
51.
¿Cuáles son esos números?_____________
8.- La suma de dos números consecutivos es
115.
¿Cuáles son esos números?_____________
9.- El triple de la edad de Rosa es igual a la
edad de su mamá. Su mamá tiene 51 años.
¿Cuántos años tiene Rosa?_____________

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9.- Resuelve los siguientes problemas, aplicando y resolviendo la ecuación que lo
solucione. Encuentra el resultado en las opciones que se dan
x
2x + 3
x + 12
3
x
2x + 3
1.- ¿Cuánto mide el largo y el ancho del
siguiente rectángulo cuyo perímetro mide
30 cm?______________
a) 12 y 5 cm
b) 10 y 6 cm
c) 11 y 4 cm
d) 9 y 2 cm
2.- El largo de un rectángulo mide 10 cm más
que su ancho. Su perímetro mide
44 cm. ¿Cuál es la medida del largo y el
ancho?______________________________
a) 10 cm y 10 cm
b) 16 cm y 6 cm
c) 4 cm y 14 cm
d) 12 cm y 2 cm
3.- ¿Cuál es el valor de x en la siguiente figura
si sabemos que su perímetro mide
38 cm?_________________
a) 3
b) 2
c) 4
d) 5
4.- ¿Cuánto mide el ancho de una ventana,
cuyo largo es el doble que su ancho y su
perímetro es de 540 cm?______
a) 180 cm
b) 100 cm
c) 45 cm
d) 90 cm
5.- ¿Cuál es el valor de x en la ecuación
6x – 5 = 2x + 3?________
a) x = 3
b) x = 2
c) x = 1
d) x = -1
6.- El doble de la edad de Mario más los 44
años que tiene su papá suman 60 años. ¿Qué
edad tiene Mario?________________
a) x = 9 años
b) x = 10 años
c) x = 7 años
d) x = 8 años

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10.- Resuelve los siguientes problemas identificando primero la ecuación correcta de las
cuatro que se dan. Resuelve la ecuación correspondiente para llegar al resultado.
11.- Observa la siguiente balanza que se encuentra en equilibrio.
20 10 12
Kg x x = kg kg x
1.- El precio de una playera es de x pesos. Si se
compran más de tres se hace un descuento de 7
pesos en cada una. Vanesa, Rocío, Itzel y Karen
aprovechan la oferta y compran una cada una. Si
en total se pagaron 308 pesos, ¿cuánto costaba
inicialmente cada playera?________________
1) x + 7 = 308
2) 2 (x – 7) = 508
3) x = 308 + 28
4) 4(x – 7) = 308
2.- ¿Cuánto mide cada uno de los lados del
siguiente triángulo equilátero cuyo perímetro es
de 150 cm?_____________
1) 4x + 2 = 450
2) x + 2 = 450
3) 4x + 3 = 150
4) 3(4x + 2) = 150
4x + 2
3.- El valor de un pantalón es x. Si se compran 3
pantalones se hace un descuento de 25 pesos en
cada uno. Una persona compró 3 por los que
pagó 1272 pesos. ¿Cuánto costaba inicialmente
cada pantalón?_______________
1) 3x – 25 = 1272
2) x = 1272
3) 3(x - 25) = 1 272
4) x + 3 – 25 = 1 272
4.- ¿Cuál es el valor de x en la siguiente
ecuación?____________
5(x + 4) = 7(x – 2)
1) x = 10
2) x = 12
3) x = 17
4) x = 3

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.
¿Cuál de las siguientes ecuaciones nos permite encontrar el peso de cada
una de las barras x? ……………………………………………………………………… (____)
a) 2x = 20 b) 2x – 20 = x – 22 c) 2x + 20 = x + 22 d) 2x = x
¿Cuánto pesa una barra x? ______________
MEDIDA
• Caracterización de ángulos centrales e inscritos en un círculo, y análisis de sus
relaciones.
ÁNGULO CENTRAL Y ÁNGULO INSCRITO
ÁNGULO CENTRAL.- Es el que tiene su vértice en el centro del círculo y está formado
por dos radios.
ÁNGULO INSCRITO.- Es el que tiene el vértice del ángulo en un punto de la
circunferencia y está formado por dos cuerdas.
Ángulo central Ángulo inscrito Ángulo inscrito Ángulo inscrito y central
Cuando el arco de un ángulo central coincide con el arco de un ángulo inscrito, la medida
del ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central.
A < AOC = 90°
< ABC = 45°
45° 90° AC es el arco de los dos ángulos
O
1.- Observa las siguientes figuras y contesta las preguntas que se te hacen enseguida.
CB
¿Qué clase de ángulo se forma en el círculo al prolongar el
largo y el ancho que falta en la primer fotografía? (Ilumínalo)
_____________________________________
¿Cuál es la medida de dicho ángulo? ________________
¿Qué clase de ángulo se forma en el círculo al prolongar el
largo y el ancho que falta en la segunda fotografía? (Ilumínalo)
_____________________________________
¿Cuál es la medida de dicho ángulo? ________________

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2.- En los siguientes círculos están trazados tres ángulos centrales y tres inscritos. En
cada ángulo central traza un ángulo inscrito que coincida con el mismo arco del ángulo
central y en cada ángulo inscrito traza un ángulo central con el mismo arco del ángulo
inscrito. Después completa la siguiente tabla y contesta las preguntas que se hacen.
CÍRCULO MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO
1
2
3
4
5
6
a) ¿Cuál es la relación entre sus medidas de los ángulos centrales e inscritos? _____
______________________________________________________________________
3.- PROBLEMA: A partir de los datos que se te presentan en la siguiente figura, calcula la
medida del ángulo B.
4.- Enseguida se te presenta esta figura. Contesta lo que se te pide.
Medida del ángulo B: ________
¿Qué procedimiento seguiste para calcular su medida? ___________
________________________________________________________
________________________________________________________
A
654
321
..48º
.
50º
64º
90º
180º46º
o
.
¿Cuánto mide el ángulo central de un pentágono regular? _______
¿Cuál es la medida del ángulo que forman las diagonales AB, y BC
en el pentágono? _________
B 54°

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5.- Traza un círculo cuyo radio mida 3 cm y otro cuyo radio mida 4 cm.
Enseguida traza encada uno de ellos un ángulo central, en el primer círculo que sea de
90° y en el segundo que mida 120°.
Luego traza en el primer ángulo central un ángulo inscrito cuyo arco sea el mismo del
ángulo central. Mide el ángulo inscrito y escribe su medida.
Por último, traza en el segundo ángulo central un ángulo inscrito cuyo arco sea el mismo
del ángulo central. Mide el ángulo inscrito y escribe su medida.
6.- Mide con el transportador los ángulos centrales e inscritos que encuentres en los
siguientes dibujos y escribe su medida.
I
C
B
.

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5.- Escribe la medida de los tres ángulos inscritos que se forman en los siguientes
círculos.
6.- Escribe la medida de los tres ángulos centrales que se forman en los siguientes
círculos.
α
90°
78°
130°
45°
74°
80°
7.- En el centro de la
cancha de basquetbol de la
escuela, los alumnos de
tercero dibujaron la
siguiente figura.
60°
β
SECUN
DARIA
8.- Al pastel de Ana Paula le
han hecho tres cortes de la
siguiente manera:
90°α
2
3
9.- Un pintor ha iniciado su
obra con el siguiente trazo:
60°
El ángulo b mide _________
b

97
y
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
• Análisis de las características de una gráfica que representa una relación de
proporcionalidad en el plano cartesiano.
PROPORCIONES DIRECTAS Y GRÁFICAS
PROBLEMA: Si sabemos que 5 litros de gasolina cuestan 39 pesos, encontrar lo que
cuestan 1, 2, 3, 4, litros de gasolina.
x
LITROS
y
COSTO ($)
1 7.8
2 15.6
3
4
5 39
k = 7.8
y = 7.8 por x
y = 7.8x
En la gráfica vemos que aumenta la cantidad de litros de gasolina y aumenta el precio de
ésta.
Que la gráfica tiende a ir hacia arriba.
Que la gráfica pasa por el origen ya que es una proporción directa.
1.- Localiza en el siguiente plano cartesiano los siguientes pares ordenados. Enseguida
une los puntos A con B, B con C, C con D y D con A. Ilumina la figura que resulta.
A (5, 2)
B (5, 5)
C (2, 5)
D (2, 2)
El ángulo β mide _________
TÉCNICA
PARTICULAR
GENERAL
El ángulo α mide ________
1
-3
-2
5
4
3
2
1
x
39
31.2
23.4
15.6
7.8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
x
Esta situación de proporcionalidad la podemos
representar en una gráfica cartesiana, y analizar las
distintas características de la situación.
L I T R O S
C
O
S
T
O
($)
Eje de las
ordenadas
Eje de las
abscisas

97
2.- En base a las figuras dibujadas en el plano cartesiano, escribe las coordenadas de los
puntos que se piden. Primero ubica los números positivos y negativos en el eje de las
abscisas (x) y en el eje de las ordenadas (y).
A (___, ___)
B (___, ___)
D (___, ___)
F (___, ___)
I (___, ___)
K (___, ___)
H (___, ___)
M (___, ___)
O (___, ___)
Q (___, ___)
3.- La siguiente gráfica nos muestra el pago que recibe un obrero por el tiempo trabajado.
Analiza la gráfica y contesta las preguntas que se te hacen.
-1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
y
1 2 3 4 5 6 7 8
Q
P
O
Ñ
N
M
L
KJ
I H
G F
ED C
B
A
y
x
10
20
30
40
50
60
70
80
90
P
A
G
O
($)
TIEMPO (Horas)
¿Cuánto gana por hora el obrero? _________
¿Cuánto gana por 5 horas trabajadas? ________
¿Pasa por el origen la recta? _______
¿Es una proporción directa? ________
Si el obrero ganara $20 por cada hora, ¿cómo sería
la gráfica? Traza la recta en el plano cartesiano.

97
De acuerdo a la gráfica original, completa la siguiente tabla.
TIEMPO (H) 0.5 1 1.5 2 2.5 3
PAGO ($)
4.- Representa el siguiente problema en la tabla y en la gráfica y contesta las preguntas.
PROBLEMA: En un pueblo 1 kilo de tortillas cuesta $5. ¿Cuánto valen 2, 3, 4 y 5 kilos?
x
TORTILLAS
(Kilo)
y
PRECIO
($)
1
2
3
4
5
¿Es una proporción directa? _______ ¿Por qué? ________________________________
________________________________________________________________________
¿Cuál es la constante en el problema? ___________
¿Cómo encuentras el precio de cualquier cantidad de kilos de tortillas? _______________
¿Es correcto decir: Precio de las tortillas = 5 por el número de kilos de tortillas? ________
¿Cuál es la expresión algebraica que permite conocer el precio de cualquier cantidad de
tortillas, cuando se conoce el precio de 1 kilo? ___________________
5.- Representa el siguiente problema en la gráfica.
PROBLEMA: Un supermercado otorga puntos a sus clientes por cada compra que
realizan. Los puntos se les otorgan de la siguiente manera:
x
COMPRAS ($)
y
PUNTOS
$50 5
$100 10
$150 15
$200 20
y
y
x
1 2 3 4 5
K I L O S
P
R
E
C
I
O
($)

97
$250 25
$300 30
¿La recta en la gráfica pasa
por el origen? _______
6.- Representa el siguiente problema en la tabla y en la gráfica y contesta las preguntas.
PROBLEMA: Una máquina tarda 5 minutos en producir 40 tuercas. ¿Cuántas tuercas
producirá en 1, 2, 3, 4 y 6 minutos?
x
TIEMPO
(Minutos)
y
TUERCAS
(Cantidad)
1
2
3
4
5 40
6
¿Es una proporción directa? _______ ¿Por qué? ________________________________
________________________________________________________________________
¿Cuál es la constante en el problema? ___________
¿Cómo encuentras el precio de cualquier cantidad de producción de tuercas? _________
________________________________________________________________________
¿Cuál es la expresión algebraica que permite conocer la cantidad de tuercas que se
producen, cuando se sabe las que se producen en 1 minuto? ___________
7.- Representa el siguiente problema en la tabla y contesta las preguntas.
PROBLEMA: Para guisar frijoles se necesita cierta cantidad de aceite. Si se guisan 18
kilos de frijol por cada 3 litros de aceite, ¿qué cantidad de aceite se necesita para guisar
24, 36, 48, 60, 120 y 180 kilos de frijol?
x
KILOS DE FRIJOL
y
LITROS DE ACEITE
18 3
24
36
48
60
y
x
x
¿Es una proporción directa? ______
¿Cómo encuentras la cantidad de litros
de aceite que se necesita? ___
_____________________________
_____________________________

97
120
180
¿Cuál de las siguientes es la expresión algebraica que representa el problema?… (____)
a) y = 3x b) y = c) x = 18y d) x = y
8.- Completa la siguiente tabla, elabora la gráfica y contesta la pregunta.
x
LADO DE UN
CUADRADO
y
ÁREA DEL
CUADRADO
3
5
7
9
11
13
15
¿Cuál es la expresión algebraica que nos permite encontrar el área de un cuadrado
cuando conocemos la medida de uno de sus lados?………………..……………….. (_____)
a) y = 2x b) y = x³ c) y = x² d) y =
9.- Representa el siguiente problema en la tabla y contesta las preguntas.
PROBLEMA: Uno de los depósitos de agua de una fábrica, con forma de cubo, mide 3
metros en una de sus aristas y su volumen en de 27 m³. ¿Cuál es el volumen de otros
depósitos semejantes que tiene la fábrica cuyas aristas miden 2, 4, 5 y 6 metros?
x
ARISTA(m)
y
VOLUMEN (m³)
2
3 27
4
5
6
¿Qué pasa con el volumen cuando aumenta la medida de las aristas? _______________
y
x

97
________________________________________________________________________
¿Cuál es la expresión algebraica que nos permite encontrar el volumen de un cubo,
cuando conocemos la medida de su arista? _______________
Si y = x³ ¿Cuál es el valor de “y” cuando “x” mide 7 metros? _______________
10.- La siguiente gráfica nos muestra la cantidad de palabras escritas por una secretaria
en un tiempo determinado. Analiza la gráfica y contesta las preguntas que se te hacen.
TIEMPO (H) 2 4 6 8 10 12
PALABRAS
11.- La siguiente gráfica nos muestra la distancia recorrida por un ciclista en un tiempo
determinado. Analiza la gráfica y contesta las preguntas que se te hacen.
30
27
24
21
18
4 8 12 16
300
600
900
1 200
1 500
P
A
L
A
B
R
A
S
TIEMPO (Minutos)
¿Cuántas palabras escribe en 4 minutos? _____
Si la secretaria escribiera 600 palabras cada 4
minutos, ¿cómo sería la gráfica? Traza la recta.
3
6
9
12
15
K
I
L
Ó
M
E
T
R
O
S
¿Cuántos km recorre en una hora? __________
¿Cuántos km recorre en 40 minutos? _________
¿Cuántos km recorre en 10 minutos? ___________
¿Cuántos km recorre en 1 minuto? ____________
Si el ciclista recorriera 3 km cada 20 minutos, ¿cómo
sería la gráfica? Traza la recta.

97
TIEMPO (M) 5 10 15 20 25 30
DISTANCIA
(km)
12.- La gráfica de la derecha nos muestra la cantidad de puntos que un supermercado da
a sus clientes por cada compra que en pesos realizan. El total de puntos depende del
dinero que gaste en la compra. Representa correctamente esta relación en la tabla.
x
COMPRAS
y
PUNTOS
$50
$100
$150
$200
$250
$300
$350
$400
13.- La gráfica de la derecha nos muestra el precio de cierto número de calculadoras.
Completa la tabla correctamente y contesta las preguntas con falso o verdadero.
x
CALCULADORAS
y
PRECIO
1
2
3
4
Verdadero: V Falso: F
y
x
10 20 30 40 50 60 70
TIEMPO (Minutos)
30
27
24
21
18
0 100 200 300 400
6
9
12
15
P
U
N
T
O
S
COMPRAS ($)
y
x
225
175
125
1 2 3 4
25
75
P
R
E
C
I
O
($)
CALCULADORAS

97
PUNTOS
(1, 3)
(2, 5)
(3, 7)
(4, 9)
1.- En la gráfica siempre se obtiene una recta que pasa por el origen……………..… _____
2.- Al dividir el precio entre la cantidad de calculadoras correspondiente, siempre
se obtiene la misma constante…………………………………………………………… _____
3.- Es una proporción directa, porque al aumento de la cantidad de calculadoras,
corresponde un aumento proporcional en su precio………………………………….… _____
4.- Al aumento de la cantidad de calculadoras, corresponde una disminución
proporcional en su precio…………………………………………………………….……. _____
• Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la
economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de
cantidades. Representación de la variación mediante una tabla o una expresión
algebraica de la forma: y = ax + b
GRÁFICAS. FUNCIONES DE LA FORMA: y = ax + b
Una función es una relación en la que a cada elemento del primer conjunto, le pertenece
uno y solo un elemento de otro conjunto. EJEMPLO: y = 2x + 3
Es función, porque por cada valor que le demos a “x”, le corresponde un valor a “y”.
En la función: y = 2x + 3, el 2 es la pendiente y nos indica que cuando la cantidad x
aumenta, aumenta la función. La pendiente generalmente se representa con la letra m.
y = 2x + 3 es una función lineal de la forma y = mx + b y en la gráfica se representa con
una línea recta.
PROBLEMA: Analiza las funciones de la forma: y = mx + b, donde cambia el valor de b,
mientras que el valor de la pendiente m permanece constante, es decir, no cambia.
FUNCIONES: y = 2x + 3 y = 2x + 1 y = 2x – 2 y = 2x + 4
1.- Cuándo el valor de la pendiente (m) no cambia, la posición y la inclinación de las
rectas en el plano cartesiano tienen algo en común.
Realiza las tabulaciones y elabora la gráfica de cada una de las siguientes funciones en el
plano cartesiano trazado en la siguiente hoja. Enseguida contesta lo que se pide.
y = 2x + 1 y = 2x + 2 y = 2x – 3 y = 2x – 1
x y
1 3
2 5
3 7
4 9
y = 2(1) + 1 = 3

97
y = 2(2) + 1 = 5
y = 2(3) + 1 = 7
y = 2(4) + 1 = 9
GRÁFICA DE LAS 3 FUNCIONES ANTERIORES QUE FALTAN
y = 2x + 1
a) ¿Qué clase de línea es la que resultó de cada una de las funciones anteriores (recta o
curva)? _________________
b) ¿Cómo son las rectas de las funciones anteriores en las que la pendiente(m) no cambia
(paralelas o concurrentes)? _________________
c) ¿Cuándo está más arriba la recta, cuando b es mayor o menor? __________________
x
y

97
d) ¿Cómo es la inclinación que tienen las rectas en las cuatro funciones anteriormente
graficadas donde m no cambia (igual o diferente)? ______________
2.- Representa con una función los siguientes problemas, tabúlalos como en el ejemplo, y
haz de cada uno su gráfica en el plano cartesiano trazado abajo.
a) Don Justino en su tienda compra el refresco de cola en $5 pesos y al venderlo a la
gente le aumenta $1 por cualquier cantidad de refrescos vendidos. ¿A cuánto ascienden
las ventas del día si vende 1, 2, 3, 4, refrescos.
y = 5x + 1 ventas = Refrescos vendidos más el aumento.
x y
1 6
2 11
3 16
4 21
b) En la otra tienda conocida como El Osso, el refresco lo compran también en $5 pesos y
al venderlo a la gente le aumentan $2 por cualquier cantidad de refrescos vendidos. ¿A
cuánto ascienden las ventas al día si venden 1, 2, 3, 4 refrescos?
y = 5x + 2
x y
1
2
3
4
y = ___________
x y
y
x
y = 5(1) + 1 = 6
y = 5(2) + 1 = 11
y = 5(3) + 1 = 16
y = 5(4) + 1 = 21
c) Y en una tienda de la comunidad de
Segórachi que se encuentra en la Sierra
Tarahumara, compran el refresco en el
mismo lugar también en $5 para llevarlo a
vender a esa comunidad y lo que le
aumentan son $4 por cualquier cantidad de
refrescos vendidos. ¿A cuánto ascienden
las ventas al día si venden 1, 2, 3, 4
refrescos?

97
ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE DATOS
• Resolución de situaciones de medias ponderadas.
CONOCIMIENTOS
MEDIA PONDERADA
La media ponderada la usamos cuando le damos diferente importancia a los aspectos que
estamos tomando en cuenta. Por ejemplo, le podemos dar mayor importancia al
aprendizaje que a los rasgos de conducta, o puede que le demos mayor importancia a las
matemáticas, enseguida a la biología y en tercer lugar podemos poner a la historia.
La media ponderada la obtenemos multiplicando cada uno de los datos por el valor o peso
que les asignamos de acuerdo a su grado de importancia y obteniendo enseguida el
promedio dividiendo este resultado entre la suma de todos los pesos.
PROBLEMA: En la prueba de enlace se aplicaron las pruebas de español, matemáticas e
historia a las cuales se les dio diferente peso. A español se le dio un valor de 0.30, a
matemáticas 0.50 y a historia se le dio un valor de 0.20
José obtuvo un 9 de calificación en español, un 8 en matemáticas y un 6 en historia.
¿Cuál es la media ponderada de las calificaciones obtenidas por José?
Asignatura Ponderación
Peso (w)
Datos
Calificaciones Producto
Español 0.30 9 2.70
Matemáticas 0.50 8 4.00
Historia 0.20 6 1.20
Sumas 1.00 7.90
Media ponderada = = 7.9
1.- Encuentra el promedio y la media ponderada de los siguientes datos.
Asignatura
Matemáticas
Ponderación
Peso (w)
Datos
Prueba Parcial 1 0.40 7
Sumas
7.90
1.00
9 + 8 + 6
3
Promedio =
Promedio = 7.6

97
Promedio o media: _________ Media ponderada: _________
2.- El profesor Cruz le dio diferente peso a los temas del programa en el bloque 4 y en
cada uno nos aplicó una prueba. Encuentra el promedio y la media ponderada de las
calificaciones que obtuvo Rosa en cada una de estas pruebas.
Tema
Ponderación
Peso (w)
Datos
Patrones y ecuaciones 0.40 8
Medida 0.30 10
Proporcionalidad y Funciones 0.20 7
Representación de datos 0.10 9
Sumas
3.- La profesora Angélica le dio diferente peso a los diferentes aspectos que nos toma en
cuenta para evaluarnos. Encuentra el promedio y la media ponderada de las calificaciones
que obtuvo Víctor en cada uno de estos aspectos.
Rasgos
Ponderación
Peso (w)
Datos
Aprendizaje 0.50 10
Disposición para el trabajo 0.30 6
Disciplina 0.20 16
Asistencias 0.10 10
Sumas

97
4.- En la tienda de Don Gustavo se venden 4 tipos de zapatos en los cuales se tiene
diferente margen de ganancia. En los zapatos de piso para mujer el margen de ganancia
es de 4.6 %, en los zapatos de tacón alto a para mujer el margen es de 6.4 %, en los
tenis para niño el margen es de 7.5 % y en las botas de hombre el margen es de 9.8 %.
Las ventas de los zapatos de piso fueron de $2 500, de tacón alto se vendieron $4 800,
de tenis para niño se vendieron $1 800 y de botas para hombre $2 400.
Encuentra el promedio y la media ponderada de las ventas.
Zapatos
Ponderación
Peso (w)
Datos
Ventas Producto
De piso para mujer 4.6
De tacón alto para mujer 6.4
Tenis para niño
Botas de hombre
Sumas
4.- En el mercado se venden 4 tipos de productos en los cuales se tiene diferente margen
de ganancia. En el queso el margen de ganancia es de 8.4 %, en el dulce el margen es
de 20.4 %, en las verduras el margen de ganancia es de 30.5 % y en el frijol el margen es
de 10.4 %.
Las ventas de queso fueron de $3 500, de dulces se vendieron $3 700, de verduras se
vendieron $4 600 y de frijol $2 400.
Encuentra la media ponderada de las ventas.
PRODUCTOS
Ponderación
Peso (w)
Datos
Ventas Producto
QUESO
DULCE
VERDURAS
FRIJOL
Sumas

97
• Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema
de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y
resta, igualación o sustitución)
ECUACIONES SIMULTÁNEAS
Con el siguiente problema representado algebraicamente, podemos ver lo que es un
sistema de ecuaciones.
PROBLEMA: Encuentra dos números tales que al sumarse den 65 y que al restarse den
39. Los dos números los representamos con las letras “x” y “y” para plantear la ecuación
x + y = 65 Dos números que sumados den 65.
x – y = 39 Mismos números que al restarse den 39.
Este es un sistema de ecuaciones. Está formado por
dos ecuaciones diferentes en las que las dos incógnitas
tienen el mismo valor.
MÉTODO DE REDUCCIÓN (SUMA Y RESTA)
Este es uno de varios métodos, que se utiliza para resolver ecuaciones simultáneas.
El método consiste en reducir por medio de sumas y restas los términos semejantes que
hay en las ecuaciones, o que pueden haber, hasta eliminar una de las incógnitas en
ambas ecuaciones.
1ª ecuación: x + y = 65 Se reducen términos semejantes sumando y restando.
2ª ecuación: x – y = 39__
2x = 104 Podemos eliminar “y” porque son literales y coeficientes
iguales, solo diferentes en el signo: y – y = 0
x = Nos queda una ecuación con una incógnita, la cual,
resolvemos por medio de transposición de términos.
x = 52 Tenemos el valor de x.
Para encontrar el valor de y, basta con sustituir el valor de x que es 52 en cualquiera de
las dos ecuaciones planteadas al principio.
x – y = 39 2ª ecuación.
52 – y = 39 Sustituimos la “x” por el 52
104
2
BLOQUE 5

97
-y = 39 – 52
(Por -1) -y = -13 Cuando resulta signo negativo en los dos miembros,
y = 13 estos se pueden cambiar por signos positivos
(Multiplicación por –1 en los dos miembros).
1.- Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas. Utiliza el método de reducción.
x + y = 6 x + y = 7
x – y = 2 x – y = 3
x + y = 43 x + y = 100
x – y = 7 x – y = 20
x + y = 8 x + y = 121
x – y = 2 x – y = 29
x + y = 11 x + y = 25
x – y = 35 x – y = 25

97
2.- Resuelve los siguientes problemas con la aplicación de ecuaciones simultáneas.
1.- Encontrar dos números tales que al
sumarse den 47 y que al restarse den 3.
2.- Encontrar dos números tales que al
sumarse den 50 y que al restarse den 6.
3.- Encuentra dos números cuya suma sea 10
y cuya diferencia es 2.
4.- Resuelve el siguiente sistema:
x + y = 5
x – y = 3
¿Cuáles son los
valores de “x” y de
“y” que lo
satisfacen?________
x = 3 y = 2
x = 4 y = -4
x = 4 y = 1
x = 4 y = 5
5.- Encuentra dos números cuya suma sea
148 y cuya diferencia sea 46.
6.- Resuelve el siguiente sistema:
x + y = 75
x – y =_ 5_
¿Cuáles son los
Valores de “x” y
de “y” que lo
satisfacen?________
x = 40 y = 75
x = 5 y = 45
x = 45 y = 30
x = 40 y = 35

97
PROBLEMA: Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas.
2x + y = 3
-3x – 2y = - 2 Observa que al sumar y restar no se puede eliminar ninguna
incógnita, porque les falta tener coeficiente igual.
Buscamos la literal que nos conviene eliminar.
En este caso eliminaremos la “y”, para lo cual necesitamos tener +2y en la primera
ecuación y –2y en la segunda.
Para ello multiplicamos por 2 todos los términos de la primera ecuación:
Por (2) 2x + y = 3 2 por 2x = 4x, 2 por +y = 2y, y 2 por 3 = 6
- 3x – 2 y = - 2
4x + 2y = 6
- 3x - 2y = -2 Ahora sí podemos eliminar: 2y – 2y = 0
x = 4 Continuamos el procedimiento que ya vimos con el
ejemplo anterior para encontrar el valor de y.
1.- Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas.
4x + 6y = 26 x + y = 20 x + 2y = 5
x – 3y = 38 3x – 2y = 15 _ x – y = 5_
2x + y = 3 3x - 2y = 12 x + y = 22
3x – 7y = 30 x + y = -1 x – 2y = 1_

97
2.- Resuelve los siguientes problemas con aplicación del método de reducción.
1.- Mi mamá compró 2 lápices y 2 plumas en 16
pesos. La mamá de Raúl pagó por 4 lápices y 2
plumas 26 pesos.
Si la compra la hicieron en la misma tienda,
¿cuánto costó cada lápiz y cada pluma?
2.- Un bote grande y uno chico contienen 20
litros de pintura. 10 botes grandes y 4 botes
chicos contienen 152 litros de pintura. ¿Cuánto
contiene cada bote?
3.- 5 refrescos grandes y uno chico cuestan 44
pesos. 3 refrescos grandes y 3 chicos cuestan
36 pesos. ¿Cuál es el precio de cada refresco?
4.- A una función de cine asistieron 270
personas entre hombres y mujeres. Los boletos
de hombre costaron $10 y los de mujer $8 y se
recaudaron $2480. ¿Cuántos hombres y
cuántas mujeres fueron al cine?
5.- La suma de las edades de Mario e Iván es
de 75 años. Si el doble de la edad de Mario
menos la edad de Iván es igual a 57 años,
¿cuál es la edad de cada uno?
6.- La suma de dos compras hechas en una
tienda es de $84. Si el doble de la primera
compra menos la segunda es de $96, ¿cuánto
se gastó en cada compra?

97
PROBLEMA: Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas.
5x + 2y = 3
2x + 3y = -1
Da lo mismo eliminar x, que eliminar y, porque ambas tienen signo positivo y coeficientes
diferentes.
Eliminamos x.
(-2) 5x + 2y = 3 Toda la primera ecuación la multiplicamos por (–2) para
tener –10x (con signo negativo).
( 5) 2x + 3y = -1 Toda la segunda ecuación la multiplicamos por (5) para
tener +10x (con signo positivo).
- 10 x – 4y = - 6
10 x + 15y = - 5
11y = - 11
y =
y = -1 Buscamos enseguida el valor de “x”.
1.- Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas,
5x + 7x = 71 5x + 3y = 21 5x - 7y = -1
8x - 3y = 0_ 4x - 5y = 2 3x + 4y = 24_
-11
11

97
9x + 3y = 48 3x + 2y = 32 4x + 6y = 26
9x - 5y = 16_ 3x - 4y = -10_ 6x – 4y = 0_
1.- María compra 2 elotes y 3 refrescos por los
que paga $36. Luisa compra 1 elote y 2 refrescos
y paga $22.
¿Cuánto cuesta cada elote y cada refresco?
2.- La suma de las edades de Saúl y de Noé es
de 105 años. Si el doble de la edad de Saúl
menos la edad de Noé es de 39 años, ¿qué edad
tiene cada uno?
3.- Compro primero 2 chocolates y 2 refrescos
por los que pago 9 pesos. Luego compro 3
chocolates y 2 refrescos por los que pago 11
pesos.
¿Cuál es el precio de cada producto?
4.- Con 12 pesos puedo comprar 3 chicles y 2
dulces. Con 32 pesos puedo comprar 5 chicles y
2 dulces.
¿Cuánto vale cada producto?

97
3.- Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas.
x + y = 12 2x - y = 4 x - y = 5
x - y = 10_ x + y = 5 x + 2y = 8_
4x - y = 10 x + y = 25 3x – 2y = 5
3x + 5y = 19_ x – y = 1_ x + 2y = 15_
5.- Compré 5 litros de leche y 3 litros de aceite en
$110. Enseguida compré 2 litros de leche y 2 de
aceite en $60.
¿Cuánto vale cada producto?
6.- La suma de las edades de Omar y de Beto es
de 26 años. Si el doble de la edad de Omar
menos la edad de Beto es de 16 años, ¿qué edad
tiene cada uno?

97
• Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros.
Reconocimiento del punto de intersección de sus gráficas como la solución del sistema.
ECUACIONES SIMULTÁNEAS. MÉTODO GRÁFICO
Consiste en representar gráficamente en el plano cartesiano las dos ecuaciones.
PROBLEMA: Resuelve con el método gráfico el siguiente problema:
La suma de dos números es 6 y su diferencia es 4. ¿Cuáles son esos números?
x + y = 6 Primera ecuación.
x – y = 4_ Segunda ecuación.
1.- Tabulamos para hallar dos puntos para cada ecuación.
x + y = 6 Primera ecuación.
Si x = 0
Si x = 1
x + y = 6
x + y = 6
A) (0,6) 0 + y = 6 1 + y = 6
B) (1,5) y = 6 y = 6 – 1
y = 5
x – y = 4 Segunda ecuación.
x y
0 -4
1 -3
2.- Representamos las dos ecuaciones en el plano cartesiano.
x y
0 6
1 5
y
•
•
A) (0, -4)
B) (1, -3)
Si x = 0
x – y = 4
0 – y = 4
-y = 4 + 0
y = -4
Si x = 1
x – y = 4
1 – y = 4
-y = 4 - 1
-y = 3
y = -3
La solución de las ecuaciones
está donde se cruzan las rectas,
que en este caso es el punto: (5,
1)
x = 5
y = 1

97
1.- Resuelve por el método gráfico las ecuaciones simultáneas. Completa lo que falta.
2x – y = - 7 Primera ecuación.
x + y = 1 Segunda ecuación.
a) Hallamos dos puntos para cada ecuación dándole valores arbitrarios a x.
2x – y = -7 Primera ecuación.
(1, 9) 2x - y = -7 2x - y = -7
2(1) -y = -7 2(2) - y = -7
(2, ___) 2 - y = -7 4 - y = -7
- y = -7-2 - y = -7-4 Cambiamos
-y = -9 -y = -11 signos en los
y = 9 y = 11 dos miembros
x + y = 1 Segunda ecuación.
(1, 0) x + y = 1 x + y = 1
1 + y = 1 2 + y = 1
(2, __) y = 1-1 y = 1-2
y = 0 y = -1
b) Representamos las dos ecuaciones en un solo plano cartesiano.
x y
1 9
2
x y
1 0
2
x
•
•
y

97
2.- Resuelve por el método gráfico las siguientes ecuaciones simultáneas.
x + y = 5
x - y = 1_
Primera ecuación. Segunda ecuación.
x + y = 5 x – y = 1
PUNTOS PUNTOS
(___ , ___) (___ , ___)
(___ , ___) (___ , ___)
x y
1
2
x y
1
2
x
•
•
y = x + 1

97
y
SOLUCIÓN:
x = ______
y = ______
x
3.- Resuelve las siguientes ecuaciones por el método gráfico.
x + 2y = 5
x + y = 4_
x + 2y = 5 x + y = 4
PUNTOS
(1, ___) (___ , ___)
(3, ___) (___ , ___)
x y
1
3
x y
1
2

97
GRÁFICA
y
SOLUCIÓN:
x = _____
y = _____
x
4.- Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas con el método gráfico.
3x + 2y = 7
3x+ y = 5_
3x + 2y = 7 3x + y = 5

97
(___ , ___) (___ , ___)
(___ , ___) (___ , ___)
GRÁFICA
y
SOLUCIÓN:
x = _______
y = _______
x
5.- Resuelve los siguientes problemas aplicando el método gráfico.
1.- Compré 3 plumas y 2 lápices por los que pagué 8 pesos.
Enseguida compré 2 plumas y 3 lápices por los que pagué 7 pesos.
x y
1
3
x y
0
1

97
¿Cuánto pagué por cada cosa?________________
Ecuaciones simultáneas:
Primera Ecuación. Segunda Ecuación:
Puntos Puntos
(___ , ___) (___ , ___)
(___ , ___) (___ , ___)
GRÁFICA
y
SOLUCIÓN:
x = ______
y = ______
x
x y
0
2
x y
2
5

97
2.- Mi mamá compró 1 kg de sopa y 2 kg de lentejas por los que pagó $7.
En la misma tienda mi tía compró 2 kg de sopa y 1 kg de lentejas por los que pagó $8.
¿Cuánto costó el kg de sopa?_______ ¿Cuánto costó el kg de lentejas?_________
3.- Raúl compró 3 latas de atún y 2 paquetes de galletas por los que pagó $21. Juana
compró 2 latas de atún y 2 paquetes de galletas iguales que los de Raúl y pagó $16.
¿Cuánto cuesta la lata de atún? ______ ¿Cuánto cuesta el paquete de galletas? ______

97
FIGURAS Y CUERPOS
• Construcción figuras simétricas respecto de un eje, análisis y explicitación de las
propiedades que se conservan en figuras como: triángulos isósceles y equiláteros,
rombos, cuadrados y rectángulos.
SIMETRÍA AXIAL
PROBLEMA: Traza una figura simétrica al triángulo ABC.
La simetría axial también recibe el nombre de bilateral. Se llama simetría axial a la que se
relaciona con un eje de simetría.
1.- En base al eje de simetría m, completa los dibujos siguientes de tal manera que sean
simétricos. Ilumínalos.
2.- Traza correctamente 2 ejes de simetría en los tres siguientes dibujos y llámalo m y n.
m
La figura A´B´C´ es simétrica a la figura ABC con
respecto al eje de simetría m.
La distancia de m a A, es igual que la de m a A´.
El lado AB es igual que el lado A´B´.
El ángulo C es igual que el ángulo C´.
El triángulo ABC es igual o congruente que el triángulo
A´B´C´.
Una simetría axial es una reflexión. La figura se refleja
como en un espejo, por eso queda con diferente
orientación.
B´
C´
A´
C
B
A
m
m m

97
d
3.- A la figura ABCD trázale su simétrica con respecto al eje de simetría d, llámala figura A
´BĆ´D´ y contesta las preguntas que se hacen.
a) AB es paralela con CD. ¿Es paralela A´B´ con C´D´? _______
b) ¿Cómo es la medida de los ángulos de la figura original y su simétrica? ________
c) ¿Cómo es la medida de los lados de la figura original y su simétrica? __________
d) ¿Son iguales o diferentes las dos figuras? __________________
e) Si trazas las diagonales a las dos figuras uniendo A con C y B con D, ¿son
perpendiculares u oblicuas estas diagonales? ________________________
4.- A la figura ABCD trázale su simétrica con respecto al eje de simetría d, llámala figura A
´BĆ´D´ y contesta las preguntas que se hacen.
a) AD es paralela con BC. ¿Es paralela A´D´ con BĆ´? ____________
b) ¿Cómo es la medida de los ángulos de la figura original y su simétrica? ________
c) ¿Cómo es la medida de los lados de la figura original y su simétrica? __________
d) ¿Son iguales o diferentes las dos figuras? __________________
D C
BA
d
D C
BA

97
e) Si trazas las diagonales a las dos figuras uniendo A con C y B con D, ¿son
perpendiculares u oblicuas estas diagonales? ________________________
1.- Los puntos trazados enseguida representan cada uno a cuatro pueblos. P y P´, se
encuentran a una misma distancia de la carretera que es recta y lo mismo ocurre con Q y
Q´. Encuentra esa recta que representa a la carretera.
P •
• Q
• Q´
P´ •
2.- Traza los ejes de simetría a los siguientes triángulos.
Equilátero Isósceles Escaleno
¿Hay algún triángulo que tenga dos ejes de simetría? __________
3.- ¿Cuántos ejes de simetría tiene un cuadrado y un rectángulo?. Trázalos
Cuadrado: _____ ejes Rectángulo: _____ ejes
4.- Traza la figura simétrica respecto al eje de simetría que se da y contesta.
e

97
¿Cómo son los lados y los ángulos de la figura simétrica respecto a la figura original?
a) Diferentes b) Semejante c) Homólogos d) Iguales
6.- Dadas las siguientes figuras, traza a cada una su simétrica de acuerdo con el eje de
simetría m que se da. Aplica una reflexión.
7.- Traza la figura simétrica del siguiente triángulo y contesta las preguntas.
8.- Completa las siguientes figuras, para que la recta m sea eje de simetría de la figura
que resulta.
m
C
B
A
34°
56°
¿Cuánto medirá en ángulo A´?_______
¿Cuánto medirá el ángulo B´?________
¿Cuánto medirá el lado A´C?________
¿Cuánto medirá el lado BC?________
Si el área del triángulo ABC es 15 u²,
¿cuánto medirá el área del triángulo A
´BC?____________
m
mm

97
l
m
l m
Esta figura es una traslación
de la primera. Tienen ambas
la misma orientación.
9.- Las reflexiones son movimientos en el plano, o transformaciones geométricas que son
aplicadas sucesivamente a una figura, sin modificarla.
Enseguida realiza a la siguiente figura una reflexión de acuerdo a los ejes l y m que se
cortan formando un ángulo de 90°.
10.- Realiza enseguida dos transformaciones seguidas, con base a los ejes de simetría l y
m que son paralelos. Contesta enseguida las preguntas que se hacen.
¿Qué figura se formó?__________________

97
m
n
a) ¿Cuáles figuras coinciden en su orientación? ________________________________
_______________________________________________________________________
b) ¿Qué observas en las distancias entre la primera figura y la última?_______________
_______________________________________________________________________
c) ¿Se conservan las distancias y los ángulos? __________________________________
d) ¿Es ésta una reflexión donde todos los puntos se mueven en la misma dirección y a la
misma distancia?______
11.- Realiza la siguiente reflexión con respecto a los ejes de simetría m y n.
a) ¿Cuáles figuras coinciden en su orientación? ________________________________
_______________________________________

97
MEDIDA
• Cálculo de la medida de ángulos centrales e inscritos, así como de arcos, el área de
sectores circulares y de la corona.
Todo ángulo central determina una fracción o parte del círculo.
= 90°
El área de un círculo se encuentra con la formula ¶ r².
Sabemos que el valor de ¶ es 3.14 y que el radio mide 3 unidades:
Área de la parte sombreada = = = = = 7.065
1.- PROBLEMA: Una vaca está amarrada con una cuerda de 5 metros de largo, a una de
las esquinas de afuera de un corral de forma triangular que mide 10 metros de base por
10 m de altura. El corral está rodeado por un campo de hierba de donde come la cabra.
2.- Encuentra el área de las figuras que se te presentan enseguida.
A = ________ A = __________ A = ___________
10 m
10 m
. vaca
5 m
7 cm
8.5 cm 16 cm
1.- Traza con compás el área en que se
puede mover la vaca estando la cuerda
completamente estirada e ilumina del
área en que puede pastar.
2.- ¿Cuál es el área donde puede pastar
la vaca? ________________
360°
4
¶r²
4
3.14(3)²
4
(3.14)(9)
4
28.26
4

97
3.- PROBLEMA: Una pared de forma cuadrada que mide 16 metros por lado fue pintada
tal y como se muestra en la siguiente figura.
¿Cuánto mide el área de la parte que no se pintó con círculos?
A = ________________
4.- PROBLEMA: En un terreno circular que mide 20 metros de diámetro se va a construir
una pila para agua de forma cuadrada que mida 3 metros por lado. ¿Cuánto medirá el
área del espacio del terreno que queda libre después de construir la pila?
A = ________________
5.- PROBLEMA: El área de la corona circular de la rueda de un carro está delimitada por
dos circunferencias, una exterior que corresponde a la llanta y una interior que
corresponde al rin de la rueda. Calcula el área de la corona circular que corresponde a la
llanta si el diámetro de la llanta mide 54 cm y el del rin mide 38 cm?
A = ________________
6.- Dibuja dos circunferencias concéntricas, una cuyo radio menor mida 3 cm y otra que
su radio mayor sea de 4 cm, enseguida encuentra el área de la corona circular.
A = ________________
Observa que una forma más directa
de encontrar el área de cualquier
corona circular es obteniendo la
diferencia del cuadrado del radio
mayor y el cuadrado del radio menor
multiplicado por ¶ , esto es: Área de
la corona = ¶( R² – r²)

97
9.- PROBLEMA: La siguiente figura representa a una fuente de agua. Los 4 puntos están
alineados y O es el centro de los 3 círculos. La distancia del punto O al punto A es de 6
metros, y las distancias entre los demás puntos es de 3 metros. Considera ¶ = 3.14
A B C
O •
¿Cuánto mide el área del círculo
central de radio OA?
_________________________
de radio OB?
_________________________
¿Cuánto mide el área del sector
sombreado?
_________________________
¿Cuánto mide el área de la corona
mayor del tiro al blanco?
_________________________
3 m
4.5
7.- PROBLEMA: Un reloj está diseñado
con dos circunferencias concéntricas
cuyos radios miden 6.5 cm y 12 cm
respectivamente. Encuentra el área de la
corona circular del reloj.
8.- PROBLEMA: ¿Cuánto mide el área de
la corona circular en la siguiente figura
que representa el área donde se realiza el
lanzamiento de bala de juegos
deportivos?

97
10.- Resuelve los siguientes problemas:
4 m
8
5 m
10
mayor? _______________
a) ¿Cuánto mide el área del círculo mayor?
_______________
b) ¿Cuánto mide el área del círculo
menor? _______________
c) ¿Cuánto mide el área de la corona
circular? _______________
mayor? _______________
d) ¿Cuánto mide el área del círculo mayor?
_______________
e) ¿Cuánto mide el área del círculo
menor? _______________
f) ¿Cuánto mide el área de la corona
circular? _______________
g) En este momento siendo martes 24 de
julio el reloj de la casa marca las 4 horas
con 5 minutos. Encuentra el área de la
corona circular de dicho reloj que tiene las
siguientes dimensiones:
7 cm
10 cm
g) En este momento siendo martes 24 de
julio el reloj de la casa marca las 4 horas
con 5 minutos. Encuentra el área de la
corona circular de dicho reloj que tiene las
siguientes dimensiones:
h) Entre la herramienta que tiene el
profesor, se encuentran varias huachas
con las siguientes medidas. Encuentra el
área de la corona circular.
5 cm
2 cm

97
11.- Escribe la medida de los tres ángulos inscritos que se forman en los siguientes
círculos.
12.- Escribe la medida de los tres ángulos centrales que se forman en los siguientes
círculos.
α
90°
70°
140°
45°
60°
70°
13.- En la pared de la
escuela, los alumnos de
tercero dibujaron la
siguiente figura.
40°
β
El ángulo β mide _________
HONESTIDAD
DISCIPLINA
14.- A una pizza le han
hecho tres cortes de la
siguiente manera:
44°
El ángulo α mide ________
α
2
1
3
15.- La maestra nos pidió
que hiciéramos el siguiente
trazo:
130°
El ángulo b mide _________
b
TRABAJO

97
• Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas a diversos
fenómenos.
GRÁFICAS
El apoyo de una representación gráfica es muy importante, ya que con ellas conocemos lo
que la gráfica nos muestra y también podemos formular otras preguntas.
.
PROBLEMA: Interpreta la siguiente gráfica poligonal que representa el consumo de
gasolina en litros, por kilómetros recorridos por un automóvil.
Con esta gráfica podemos obtener la siguiente información:
¿Cuántos km recorre con 4 litros? 40 km.
¿Cuántos km recorre por litro el auto? 10 km.
¿Cuántos km recorre con 0 litros? 0 km.
¿Cuántos litros necesita para recorrer 110 km?
Para contestar esta última pregunta, utilizamos la información de la gráfica para formular
y resolver el problema utilizando las razones y proporciones.
= x = x = x = 11
1.- La siguiente gráfica representa el llenado de una alberca con agua en cierto tiempo.
Registra los diferentes ritmos en la tabla.
MINUTOS LITROS
12000
10000
8000
Se recomienda completar los
datos que faltan en la gráfica.
Escribimos en litros el 1, 3, 5…
KILÓMETROS
10 20 30 40 50 60 70 80 90
6
4
2
L
I
T
R
O
S
4
40
x_
110
4 x 110
40
440
40
5 10 15 20 25
6000
4000
2000
M I N U T O S
L
I
T
R
O
S

97
2.- Interpreta la información de la siguiente gráfica y contesta las preguntas.
a) Distancia recorrida por un vehículo en determinado tiempo.
¿Cuántos kilómetros recorre en 2 horas? ________________
¿Cuántos kilómetros recorre en 1 hora? _________________
¿Cuántos kilómetros recorre en 0 horas? __________________
¿Cuál es la distancia recorrida en 3 horas? _________________
¿Cuántos kilómetros recorrerá en 8.5 horas? _________________
3.- Construye la gráfica poligonal relacionada con el costo de llamadas telefónicas de
larga distancia por minuto, sabiendo que dos minutos cuestan $ 4.00
¿Cuánto pagará una persona que al mes habló cinco horas y media? ________________
2 4 6 8
400
240
80
HORAS
K
I
L
Ó
M
E
T
R
O
S
¿Cuánto pagará una persona por
llamadas de larga distancia que al
mes habló 13 minutos?
________________
¿Cuánto pagará una persona por
llamadas de larga distancia que al
mes habló dos horas y media?
________________

97
• Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de la función y = mx + b, en la gráfica
correspondiente.
GRÁFICAS. FUNCIONES DE LA FORMA: y = mx + b
PROBLEMA: Analiza funciones de la forma y = mx + b, donde cambie el valor de la
pendiente m.
FUNCIONES: y = 2x + 13 y y = 5x + 13
Fíjate que lo que cambia en las funciones es el 2 por el 5, que vienen siendo las
pendientes y que se representan de manera general por la letra m.
y = 2x + 13 y = 5x + 13 Son diferentes el 2 y el 5.
Si en las dos funciones le damos a x valor de 3, entonces tendremos:
y = 2(3) + 13 = 19 y= 5(3) + 13 = 28 El 19 es menor que 28
Al representar estas dos funciones en una gráfica nos van a resultar dos rectas en
diferente posición donde veremos cuál es la inclinación que tienen. Veremos si las rectas
que nos resultan son paralelas o concurrentes y si concurren en un mismo punto.
1.- Observa que en las siguientes funciones lo que cambia es la pendiente m.
Realiza la tabulación de cada una y elabora la gráfica en el mismo plano cartesiano.
Enseguida contesta lo que se pide.
y = 2x + 2 y = x + 2 y = 3x + 2 y = – x + 2
x y x y x y x y

97
¿Qué es lo que cambia en las funciones anteriores? ___________________
¿Cómo son las rectas que representan a cada una de las funciones (paralelas o
concurrentes)? ____________________
¿Cómo es la posición o la inclinación de las rectas que representan a cada una de las
funciones anteriores (igual o diferente)? __________________
2.- Resuelve lo que se pide del siguiente problema y elabora la gráfica.
PROBLEMA: Tres hermanos, Gilberto, Manuel y Oscar, rentan un traje cada uno en el
mismo lugar. A Gilberto se lo rentan en $100 más $20 de depósito diario; A Manuel se lo
rentan en $100 más $40 de depósito diario; A Oscar se lo rentan en $100 más $60 de
depósito diario. ¿Cuánto deberá pagar cada uno por cuatro días de renta?
¿Cuáles son las cantidades que cambian en este problema? ___________________
¿Qué cantidad es la que permanece constante? ____________
Si el pago de Gilberto se representa en forma general con la expresión algebraica:
y = 20x + 100, ¿cuáles son las funciones con las que se representa el pago que deben
hacer Manuel y Oscar? Manuel _________________ Óscar ______________
¿Cuáles son las tabulaciones que nos indican lo que pagará cada uno en los cuatro días?
Gilberto Manuel Oscar
y = 20x + 100
x y
1 120
2 140
3 160
4 180
Elabora en este plano la gráfica que represente los gastos de los tres hermanos.
y
x
42 31
280
240
200
160
120
0
80
40

97
x
3.- Tabula y grafica en el plano cartesiano trazado abajo las siguientes funciones y
enseguida contesta lo que se pide.
y = x + 4 y = 2x + 3 y = x + 1 y = 3x + 3
TABULACIONES
x y
1
2
3
4
GRÁFICA CARTESIANA
¿En cuáles funciones las rectas resultan paralelas? _____________________________
¿En cuáles funciones las rectas resultan concurrentes? __________________________
y

97
NOCIONES DE PROBABILIDAD
• Comparación de las gráficas de dos distribuciones (frecuencial y teórica) al realizar
muchas veces un experimento aleatorio.
GRÁFICAS DE PROBABILIDAD TEÓRICA Y FRECUENCIAL
5.- Lanza un dado 30 veces, registra en la siguiente tabla los resultados, y construye las
gráficas de las distribuciones teórica y frecuencial.
VECES CAE 1 CAE 2 CAE 3 CAE 4 CAE 5 CAE 6
30
40
30
20
10
SELLO ÁGUILA
F
R
E
C
U
E
N
C
I
A
S
1.- La siguiente gráfica representa la
probabilidad teórica de que caiga sello
o águila al lanzar una moneda al aire 40
veces.
2.- Realiza el lanzamiento de la moneda
las veces que se indica en la siguiente
tabla y registra los resultados.
PROBABILIDAD FRECUENCIAL
LANZAMIENTOS SELLO ÁGUILA
10
20
30
40
3.- Basado en la distribución de
la tabla construye la gráfica
frecuencial que represente a los
40 lanzamientos realizados.
40
30
20
10
SELLO ÁGUILA
F
R
E
C
U
E
N
C
I
A
S
4.- Compara las dos gráficas
elaboradas.

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