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Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
317
13
13.1 DEFINICIÓN
13.2 DIMENSIÓN
13.3 CLASES DE MATRICES
13.4 IGUALDAD DE MATRICES
13.5 OPERACIONES
13.6 DETERMINANTE
13.7 MATRIZ INVERSA
Los arreglos matriciales permiten estructurar muchos contenidos matemáticos. De allí su
importancia de estudio en este capítulo.
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
318
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina arreglo matricial.
 Defina matrices cuadradas, matriz identidad, matrices triangulares superior e inferior, matrices diagonales, matrices
simétricas.
 Aplique operatoria elemental con matrices: suma, resta, multiplicación por escalares, multiplicación entre matrices.
 Halle determinantes de matrices.
 Aplique las propiedades de los determinantes para ejercicios conceptuales.
 Justifique la existencia de la inversa de una matriz
 Determine, de existir, la inversa de una matriz.
13.1 DEFINICIÓN
Una matriz es un arreglo rectangular de
números.
Se acostumbra denotar a una matriz con letras del abecedario, en
mayúscula.
nglón
R
R
R
R
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
CCCC
Columna
mmnmmm
n
n
n
n
Re
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
321







→
















=
↓
A los arreglos horizontales se los denominan renglones o filas.
A los arreglos verticales se los denominan columnas.
Al número ija se lo denomina elemento de la matriz, donde " i " (el
primer número del subíndice) indica la fila en donde se encuentra el
elemento y " j " (el segundo número del subíndice) indica la columna en
que se encuentra el elemento, es decir:
13.2 DIMENSIÓN
La dimensión de una matriz está dada por la cantidad de filas y la
cantidad de columnas que posea. Al decir nmA × , se indica que A es una
matriz que tiene m filas y n columnas.
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
319
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
320
Ejemplos
32
201
312
×






−
−
=A A→ es una matriz que tiene 2 filas y 3 columnas.
33
321
210
321
×










−
−−
=B B→ es una matriz que tiene 3 filas y 3 columnas.
Ejercicio Propuesto 13.1
1. Determine la matriz ( )ijaA =×34 para la cual 2−+= jiaij . [SUGERENCIA: por ejemplo con
objeto de calcular 21a , haga 2=i y 1=j en la fórmula 121221 =−+=a ].
13.3 CLASES DE MATRICES
13.3.1 MATRIZ CUADRADA
Una matriz nmA × es cuadrada si y sólo
sí nm = .
Es decir una matriz cuadrada tiene igual cantidad de filas que de
columnas y se lo denota como nnA × .
Cuando una matriz es cuadrada surge la definición de Diagonal
Principal para los elementos ija donde ji = .
Así como también aparecen las siguientes clases de matrices:
13.3.1.1 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
Una matriz cuadrada es triangular superior cuando los
elementos que están bajo la diagonal principal son todos ceros.
















=×
nnnnn
n
n
n
nn
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A





321
3333231
2232221
1131211
Diagonal
Principal
















=×
nn
n
n
n
nn
a
aa
aaa
aaaa
A





000
00
0
333
22322
1131211
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
321
13.3.1.2 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
Una matriz cuadrada es triangular inferior cuando los
elementos que están sobre la diagonal principal son todos ceros.
13.3.1.3 MATRIZ DIAGONAL
Una matriz cuadrada es diagonal cuando los elementos que
están sobre y bajo la diagonal principal son todos iguales a cero.
13.3.1.4 MATRIZ IDENTIDAD
Es una matriz diagonal que tiene al número 1 en toda la
diagonal principal.
13.3.1.5 MATRIZ CERO
Es la matriz que tiene todos sus elementos cero. Puede ser
cuadrada como puede no serlo.
















=×
nnnnn
nn
aaaa
aaa
aa
a
A





321
333231
2221
11
0
00
000
















=×
nn
nn
a
a
a
a
A





000
000
000
000
33
22
11
















== ××
1000
0100
0010
0001





nnnn IA
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
322
13.4 IGUALDAD DE MATRICES
Dos matrices nmA ×
y nmB × son iguales si y
sólo si:
ijij ba =
Es decir, sus elementos respectivos son iguales.
Ejercicios propuestos 13.2
1. Determine los valores de las variables para los cuales las ecuaciones matriciales siguientes se satisfacen:
a)






=





43
21
3
2
y
x
b)










−
−
+
=









 −
+










−
−
150
325
172
2
43
11
31
12
43
w
v
yu
x
t
z
y
x
2. Dadas las matrices:










+
+−+
=
243
012
4232
3
2321
k
kkkk
A y










=
043
012
232
B entonces el valor de
321 kkk ++ , tal que BA = , es:
a)
4
5
− b)
3
2
− c) 3 d)
2
1
e)
2
3
13.5 OPERACIONES
13.5.1 SUMA
Sean BA ∧ dos matrices de nm × , entonces:
nmnmnm CBA ××× =+ , donde ijijij bac +=
Los elementos de la matriz C se los obtiene sumando
algebraicamente los elementos de la matriz A con los respectivos
elementos de la matriz B .
Ejemplo
Sean las matrices
32
321
112
×





 −
=A y
32
312
101
×






−−
−
=B
hallar BAC += .
SOLUCIÓN:
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
323
32
3232
031
211
)3(312)2(1
1101)1(2
312
101
321
112
×
××






−
−
=





−++−+
++−−+
=






−−
−
+




 −
=+=
C
BAC
13.5.1.1 PROPIEDADES
Sean nmA × , nmB × y nmC × , matrices.
Entonces:
1. ABBA +=+
2. ( ) ( )CBACBA ++=++
3. AA =+ 0 , donde ≡×nm0 Matriz
Cero
4. ( ) 0=−+ AA
13.5.2 MULTIPLICACIÓN POR ESCALARES
Sea IR∈α y la matriz nmA × , entonces:
nmnm CA ×× =α , donde
ijij ac α=
Los elementos de la matriz C se los obtiene multiplicando por la
constante α a los elementos de la matriz A .
Ejemplo
Si tenemos la matriz 




 −
=
321
012
A , entonces:





 −
=




 −
=




 −
==
642
024
)2(3)2(2)2(1
)2(0)2(1)2(2
321
012
22AC
13.5.2.1 PROPIEDADES
Sean nmA × y nmB × matrices; y
IR∈βα, , entonces:
1. ( ) BABA α+α=+α
2. ( ) ( ) ( )AAA αβ=βα=αβ
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
324
13.5.3 MULTIPLICACIÓN ENTRE MATRICES
Sea A una matriz de nm × y sea B una
matriz de qn× ( la cantidad de columnas de la matriz A igual a la cantidad de filas de la
matriz B ) entonces:
qmqnnm CBA ××× =
donde njinjijijiij babababac ++++= 332211
Es decir, el elemento ijc se lo obtiene sumando algebraicamente
los resultados de la multiplicación de los elementos de la fila i de la
matriz A con los respectivos elementos de la columna j de B .
Ejemplo
Para las matrices
32
321
112
×





 −
=A y
33
111
320
111
×










−−
−
=B
Obtengamos la matriz ABC =
Primero observe que, sí es posible obtener la matriz C , porque la matriz A tiene 3
columnas y la matriz B tiene 3 filas.
Entonces:
32232221
131211
323332
×
××× 





==
ccc
ccc
CBA
6)1)(1()3)(1()1)(2(
5)1)(1()2)(1()1)(2(
1)1)(1()0)(1()1)(2(
13
12
11
=+−−+=
=+−−+=
−=+−+−=
c
c
c
2)1)(3()3)(2()1)(1(
0)1)(3()2)(2()1)(1(
2)1)(3()0)(2()1)(1(
23
22
21
−=+−+=
=+−+=
=++−=
c
c
c
Por lo tanto:






−
−
=×
202
651
32C
13.5.3.1 PROPIEDADES
Sea IR∈α y CBA ,, matrices.
Entonces:
1. ( ) ACABCBA +=+
2. AAI =
3. ( ) ( )BABAAB α=α=α
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
325
4. ( ) ( )BCACAB =
Las dimensiones de las matrices CBA ,, deben ser
tales que se puedan realizar las operaciones
indicadas.
Note que AB no siempre es igual a BA ¿PORQUÉ?
Ejercicio Resuelto
Si se tienen las matrices














−−−
−
−−
=
23
2
3
201
2
k
kkA y












−−
−−
−−
=
321
3
1102
5
3
k
k
k
kB , entonces el valor
de " k " para que la matriz AB sea una MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR es
a) 1− b) 0 c) 3 d) 2− e) 1
SOLUCIÓN:
Al multiplicar la matriz 33×A con la matriz 33×B resulta una matriz 33×C . El asunto es que
33×C sea triangular superior, entonces 000 323121 =∧=∧= ccc . Es decir:
3333
2322
131211
333333
00
0
×
×××










==
c
cc
ccc
CBA
032)1)(3())(()2)(( 2
21 =−−=−+−−+−= kkkkkc
045)2)(2())(3()10(
023)1)(2())(3()2(
32
3232
2
231
32
2
=++=−−+−−+−



−=
=++=−−+−−+−



−=
kkkkc
kkkc
kk
k
Las 3 ecuaciones proporcionan diferentes soluciones
1. ( )( )
13
013
0322
−=∨=
=+−
=−−
kk
kk
kk
2. ( )( )
12
012
0232
−=∨−=
=++
=++
kk
kk
kk
3.
( )( )
140
014
0)45(
045
2
23
−=∨−=∨=
=++
=++
=++
kkk
kkk
kkk
kkk
Observe que sólo 1−=k satisface las tres condiciones, por tanto
RESPUESTA: Opción "a"
Ejercicios Propuestos 13.3
1. Efectuar las operaciones:
a) 





−
−
+





− 821
210
741
312
b)










−
−
−
+










−
301
423
210
3
654
012
321
2
c)




















−−
3
2
1
654
321
132
d) 





−
−









−






12
13
30
42
01
654
321
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
326
2. Calcule IAA 322
−+ para 





=
32
21
A
3. Al multiplicar la matriz 





=
dc
ba
A por la matriz 




 −
=
04
33
B se obtiene la matriz






−−
−−
=
62
31
C , entonces la SUMA de dcba +++ es:
a) 0 b) 6 c) 2 d) 4 e) 3
4. Considerando las siguientes matrices:
( )304;
3
1
2
;
3
3
21
04
;
4
2
30
11
=










−=




 −
−−
=




 −
= DCBA . Determine
¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?
a)





 −
−
−
=+
7
1
11
15
BA b)










−−=
9012
304
608
CD
c) CA + no está definida d)






=
9
9
AD
e) Elija esta opción si todas las anteriores proposiciones son verdaderas.
5. Dadas las matrices: 





=
43
21
A y 





−−
−
=
23
12
B encuentre:
a) ( )2
BA + b) 22
2 BABA ++
6. Sean las matrices: 





−
=
1
1
q
p
A y 





−
−
=
12
11
B encuentre " p " y " q " para que
( ) 222
BABA +=+ .
13.5.4 MATRIZ TRANSPUESTA
Sea ( )ijaA = una matriz de nm × . Entonces su
matriz transpuesta, denotada como ( )ji
t
aA = ,
es de mn× y se obtiene tomando las filas de la
matriz A como columnas para la matriz t
A y
por ende las columnas de la matriz A serán
las filas de la matriz t
A .
Ejemplo
La matriz transpuesta para la matriz
32
321
112
×





 −
=A es
23
31
21
12
×










−=t
A
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
327
13.5.4.1 PROPIEDADES
Sean nmA × y nmB × matrices,
entonces:
1. ( ) AA
tt
=
2. ( ) ttt
BABA +=+
3. ( ) ttt
ABAB =
MATRIZ SIMÉTRICA
Una matriz nnA × es simétrica si y sólo si
AAt
=
Para que una matriz sea simétrica se debe cumplir que jiij aa =
Ejemplo
La matriz










−−
−
=
213
102
321
A es simétrica porque AAt
=










−−
−
=
213
102
321
Ejercicio Propuesto 13.4
1. Sea la matriz










=
410
538
642
A , la SUMA de los ELEMENTOS de la diagonal principal de la matriz
( )t
AA −24 es:
a) 36 b) 12 c) 16 d) 8 e) 9
13.6 DETERMINANTE
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
328
Sea A una matriz de nn× . El DETERMINANTE de
A, denotado por A o también Adet , se define de la
siguiente manera:
1. Si [ ] 111111 aAaA =→=×
2. Si 21122211
2221
1211
22 aaaaA
aa
aa
A −=→





=×
3. Si 13
13
12
12
11
11
333231
232221
131211
33 AaAaAaA
aaa
aaa
aaa
A ++=→
















=×
Donde ij
A se llama cofactor y se define como:
Entonces
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
aA +−=
NOTA: Se puede emplear cualquier fila o columna.
¿Cómo sería el determinante?
La forma mencionada para hallar el determinante se llama
MÉTODO DE MENORES. Si embargo existen otros métodos que podrían
emplearse. Este método es general. Sirve para matrices de mayor orden,
44×
Ejemplo
Hallar el determinante de la matriz










−=
001
153
412
A
SOLUCIÓN:
Note que es mejor emplear la última fila porque tiene algunos ceros, entonces
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
329
53
12
0
13
42
0
15
41
1
001
153
412
+
−
−
−
=−=A
[ ] 21)5)(4()1)(1(1
00
15
41
1
−=−−=
++
−
=
A
A
13.6.1. PROPIEDADES
Sean nnA × y nnB × matrices, entonces:
1. BAAB =
2. AAt
=
Pregunta: BABA +=+ ¿Si o no? Justifique su respuesta.
13.6.2 OTRAS PROPIEDADES
1. Si una matriz es triangular superior,
triangular inferior o diagonal entonces su
determinante es igual a la multiplicación de
los elementos de la diagonal principal.
Ejemplo
Para la matriz triangular superior










−
−
=
300
410
5102
A calculando su determinante
por el método de menores, empleando la primera columna, tenemos:
[ ] 6)3)(1)(2()0)(4()3)(1(200
30
41
2 −=−=−−=+−
−
=A .
¡Generalícelo!
2. Si una matriz tiene 2 filas o columnas
iguales o múltiplos entonces su
determinante es igual a "0".
Ejemplo
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
330
Al hallar el determinante de la matriz 





−−
=
62
31
A cuya segunda fila es 2−
veces la primera, encontramos que:
0
)2)(3()6)(1(
=
−−−=
A
A
Lo mismo ocurre con esta matriz
















−−
−−
−−
−
−
=
19031
06121
13212
20101
56321
A , note que la
cuarta columna es el triplo de la segunda, por lo tanto 0=A
¡Generalícelo!
3. Si se intercambian 2 filas o columnas en
una matriz entonces su determinante cambia
de signo.
Ejemplo
Suponga que se tiene la matriz 





−
−
=
54
31
A entonces 7125 −=−=A
Si formamos la matriz 





−
−
=
31
54
B (intercambiamos las filas de la matriz A )
entonces 7512 =−=B .
¡Generalícelo!
4. Si a todos los elementos de una fila o
columna de una matriz A los multiplicamos
por una constante 0≠k , entonces el
determinante de la nueva matriz es k veces el
determinante de la matriz A.
Ejemplo
Suponga que se tiene la matriz 





=
2221
1211
aa
aa
A entonces
22122211 aaaaA −=
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
331
Si formamos la matriz 





=
2221
1211
aa
kaka
B (multiplicamos por k a todos los elementos de
la primera fila de la matriz A ) entonces
AkaaaakakaakaB =−=−= )( 2112221121122211 .
En cambio el AkkA n
= ¿POR QUÉ?
5. Si a todos los elementos de una fila o
columna de una matriz A les sumamos
respectivamente k veces otra fila o columna,
entonces el determinante no varía.
Ejemplo
Suponga que se tiene la matriz 





=
2221
1211
aa
aa
A entonces
22122211 aaaaA −=
Si formamos la matriz 





++
=
12221121
1211
kaakaa
aa
B (a los elementos de la segunda
fila le adicionamos respectivamente k veces la primera fila) entonces
Aaaaa
akaaaakaaa
kaaakaaaB
=−=
−−+=
+−+=
21122211
1112211212112211
112112122211 )()(
Ejercicios Propuestos 13.5
1. Dadas las matrices: 




 −
=
320
121
A y 





−
=
111
021
B entonces el valor de:
( )t
ABdet es:
a) 15 b) 35 c) 5 d) 45 e) 25
2. Calcule los siguientes determinantes:
a)
001
153
412
−
b)
1021
1120
3012
0101
−
−
−
3. Sean las matrices:





 −
=





=










=










−
−
=
32
23
;
111
111
;
1
1
0
0
0
1
;
501
410
123
DCBA
, entonces el
valor del ( )[ ]DCBA TT
−..det es:
a) 44− b) 38 c) 38− d) 39 e) 44
4. Los valores de IRx ∈ que satisfacen la ecuación: 60
100
990
23
=
−x
x
xx
son:
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
332
a) 5 y 4− b) 5 y 4 c) 5− y 4 d) 5− y 4− e) 0 y 1
5. Los valores de x que satisfacen la ecuación: 3
1
32
001
2
=
+
−
xxx
xx , son:
a) 3 y 6 b) 6 y 0 c) -1 y 0 d) 6 y -1 e) 3 y 0
6. Al calcular 0
34
201
122
>
−
x
x
, se obtiene:
a) 0=x b) 5>x c) 0>x d) 3>x e) 2<x
7. El valor del determinante de la matriz














−
−
−
=
01
2
1
23log2
1log18log
3
10
1ln
2
x
xx
e
A es:
a) 0 b) 2 c) -6 d) 6 e) -4
13.7 MATRIZ INVERSA
Sea A una matriz de nn× . Si existe una
matriz 1−
×nnA tal que IAAAA == −− 11
, se dice
que A es inversible
En este caso a la matriz
1−
×nnA se la llama la matriz inversa de A .
Si 1−
A existe se dice que A es una matriz no singular. Caso
contrario, es decir que 1−
A no exista, se dice que A es una matriz
singular.
Existen varias maneras de calcular matrices inversas, pero aquí
solo lo vamos a hacer empleando la siguiente formula:
( )t
A
A
A ˆ11
=−
, donde ≡A

Matriz de Cofactores.
Esto da lugar el siguiente teorema (Una condición necesaria y suficiente para la
existencia de la matriz inversa)
Teorema.
1−
A existe si y sólo si 0≠A
Ejercicio resuelto 1
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
333
De existir, hallar la inversa de la matriz 





−
−
=
54
31
A
SOLUCIÓN:
Primero empecemos hallando: 7−=A . Este resultado nos indica que si va a existir la
matriz inversa.
A continuación hallamos la matriz de cofactores






−−
−−
=





−+−
−−+
=








=
13
45
)1()3(
)4()5(
2221
1211
AA
AA
A

Entonces:
( )








=






−−
−−
−=





−−
−−
−
==
−
−
7
1
7
4
7
3
7
5
1
1
14
35
7
1
13
45
7
11
A
A
A
A
t
t
Comprobando






=





=











−
−
=−
10
01
70
07
7
1
14
35
7
1
54
311
AA
Ejercicio resuelto 2
De existir, hallar la inversa de la matriz










−
=
012
130
201
A
El determinante de la matriz es: 11)6(20)1(1 −=−+−=A
Y su matriz de cofactores:










+−−+
−−−+−
−+−−+
=
)3()1()6(
)1()4()2(
)6()2()1(
A

=










−−
−−
−
316
142
621
Entonces su matriz inversa es:










−−
−
−
=










−
−−
−−
−
=










−−
−−
−
−
=−
316
142
621
11
1
316
142
621
11
1
316
142
621
11
11
t
A
Comprobando










=










=










−−
−
−










−
=−
100
010
001
1100
0110
0011
11
1
316
142
621
11
1
012
130
201
1
AA
13.7.1. Propiedades
Sean nnA × y nnB × matrices inversibles,
entonces:
1. ( ) AA =
−− 11
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
334
2.
A
A
11
=−
3. ( ) ( ) 11 −−
= tt
AA
4. ( ) 111 −−−
= ABAB
Ejercicio resuelto 3
Sea X una matriz tal que: 





−
=





040
321
84
32
X . Entonces X es igual a:
a) 





− 040
672
b)










− 04
67
02
c) 





−−− 341
672
d)










−
−
36
47
12
e) 





−
−
341
672
SOLUCIÓN:
Una manera es despejar la matriz x, multiplicando por la inversa a ambos miembros






−
=




 −−
040
321
84
32 11
AXA
A






−
=






−
=
−
−
040
321
040
321
1
1
Ax
AIx
Hallemos la inversa de 





=
84
32
A , para lo cual
41216 =−=A y 





+−
−+
=
23
48
ˆA entonces








−
−
=





−
−
=−
2
1
4
3
1
1
2
23
48
4
1
t
A
Por lo tanto






−−−
=





−−−
=





−





−
−
=
341
672
12164
24288
040
321
24
38
4
1
4
1x
Respuesta: Opción "c"
Ejercicio resuelto 4
Dada la matriz










−−
−
=
kk
k
kA
31
43
101
los valores de "k" que hacen que la matriz A
no tenga inversa, son:
a) 2 y 6 b) -2 y 6 c) 2± y 6± d) 2 y -6 e) -2 y -6
Solución:
Para que una matriz no tenga inversa se requiere que su determinante sea igual a cero
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
335
( )
( )( )
26
026
0128
0912
0)9(0121
0
31
3
101
2
2
2
4
−=∨−=
=++
=++
=−++
=+−−−+
=
−−
−
kk
kk
kk
kkk
kkk
kk
k k
RESPUESTA: Opción "e"
Ejercicios Propuestos 13.6
1. Dada la matriz A=









 −
112
020
312
, la matriz inversa de A es igual a:
a)












−
−−
2
1
2
1
2
1
0
2
10
4
3
2
1
4
1
b)












−
−
−
2
10
4
3
2
1
2
1
2
1
2
10
4
1
c)










−
−−
−
406
444
402
d)










−−
−
−
222
020
321
e)










−−
−
−
444
040
642
2. Dadas las matrices: 





=
42
31
A y 





−
−
=
13
12
B verifique que ( ) 111 −−−
= ABAB
3. Dada la matriz










=
654
021
432
A , una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela:
a) 6−=A b)










=+
12108
042
864
AA c)












−−
−
−−
=−
6
1
3
1
2
1
3
2
3
21
3
4
3
12
1
A
d)












−−
−−
−
=−
6
1
3
2
3
4
3
1
3
2
3
1
2
112
1
A e) 48−=+ AA
4. Encuentre la inversa de cada matriz, si existe:
a) 





− 11
23
b)










−
−−
213
112
321
c)










012
120
001
d)










987
654
321
e)














−
−
−
2103
1111
3032
2111
5. Dada la matriz
















−





−
−
=
42
2
1
log
131log
14log8log
2
2
22
A
. Entonces su MATRIZ INVERSA es:
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
336
a)










−−−
−
−−
−=−
931
8136
3110
31
11
A
b)










−−
−−
−−
−=−
983
3131
1610
31
11
A
c)










−−−
−
−−
=−
931
8136
3110
31
11
A
d)










−−
−−
−−
=−
983
3131
1610
31
11
A
e) A no tiene inversa
6. Sea la matríz










=
021
230
312
A
, entonces su MATRIZ INVERSA, es:
a)










−
−
−
−=−
633
432
764
15
11
A
b)










−
−
−
=−
647
336
324
15
11
A
c)










−
−
−
−=−
647
336
324
15
11
A
d)










−
−
−
=−
633
432
764
15
11
A
e) A no tiene inversa
7. Determine la matriz A que hace verdadera la ecuación matricial:










−=










−
10
13
06
10
11
02
A
8. Sea A una matriz tal que






=
32
21
A . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA , identifíquela:
a)






=
94
412
A b) 1=A c)







−
=−
9
1
4
1
4
1
1 1
A
d)






=−+
1612
124
322
IAA e)








=−
3
1
2
1
2
1
1 1
A
9. Si 




 −−
=
43
32
A , y además, 





=−
dc
ba
A 1 , entonces el valor de
( )
( )da
cb
−
− , es:
a) 0 b) -1 c) 1 d) -3 e) 3
10. Dada la matriz










−
β
−−
=
041
20
421
A entonces el valor de IR∈β para que la matriz NO TENGA
INVERSA es:
a) 0 b) -3 c) -1 d) 2 e)-2
11. Sean las matrices 





−
=





−−
=





−
−
=
011
321
42
21
,
54
32
CyBA , entonces es cierto que:
a) 





=−
10
211
B b) 




 −−
=
63
63
CB c) 





−
−
=
2010
164
AB
d)












−−
−−
=−
12
2
3
2
5
1
A e)












−
−
=−
5
1
1
11
1
A
12. Sea A la matriz:










−
−−
305
164
021
entonces es verdad que:
a) det(A)=12 b) det(A2)=1 c) det (AT)=1/16 d) det (A-1)=1/10
e) det(ATA-1)=1
Misceláneos
1. Sean las matrices 





−
−
=
51
24
A y 





−
−
=
k
B
2
14
. El valor de " k " para que BA detdet =
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
337
a) 5 b) 4 c)3 d)2 e)1
2. La matriz X que satisface la ecuación 





=





301
243
20
11
X
a)








2
1
2
3
2
1
42
0
b)








00
00
2
1
2
1
c)








2
3
2
1
2
1
2
5
0
4
d) 





110
111
e)







 −−
00
4
2
1
2
1
2
5
3. Sea la matriz










−
−
=
103
010
207
A
Entonces su MATRIZ INVERSA es:
a)










=−
703
010
201
1
A b)










−−
−
−−
=−
703
010
201
1
A
c)












=−
2
70
2
3
0
2
10
10
2
1
1
A d)










−
−
=
103
010
207
A
e) La matriz A no tiene inversa.
4. Sean las matrices 





−
−
=
113
202
A , 





−
−
=
211
201
B y










=
05
40
21
C
Entonces el VALOR del ( )( )[ ]T
CBADet 2− es:
a)74 b) 200 c)-100 d)10 e)100
5. Sean A, B y C matrices tales que,










−=
123
110
521
A ,










=
145
026
005
B y










=
241
300
620
C . Entonces
es VERDAD que:
a) 6det
det
det
2
−=−





C
B
A
b) CAT
detdet =
c) ( ) 5det =AB
d) T
CB detdet =
e) A no tiene inversa o B si tiene inversa.
6. Sea la matriz 





=
33
24
A . Entonces los VALORES de “ λ ” tal que ( ) 0det =λ− IA , son:
a) 1 y 6 b)–1 y –6 c)1 y –6
d)–6 y 1 e) 7 y 6
7. Dada la matriz










−−
−
=
304
213
012
A , el PRODUCTO DE LOS ELEMENTOS DE LA DIAGONAL PRINCIPAL de
1−
A es:
a)
343
90− b)
7
90− c)
343
90
d)
343
180− e)
441
90−
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
338
8. El DETERMINANTE de la matriz
















−
−=
10210
24204
73113
61011
52122
A es:
a) -2 b)0 c)-1 d)1 e)5
9. Sea la matriz 





=
01
12
A ; entonces es VERDAD que:
a) 





=
12
152
A b) 





=−
01
021
A c) 





=
25
5123
A
d) [ ] 





=−
10
0121
A e) 





=⋅
02
11
IA
10. La matriz X , tal que: 




 −
=





13
12
43
11
X es:
a) 





−
−
=
43
52
X b) 





−
−
=
43
55
X c) 





=
01
12
X
d) 





−
−
=
42
51
X e) 




 −
=
20
11
X
11. Dadas las matrices:










−=
20
01
21
A y 





=
014
131
B y ABC = . Entonces La MATRIZ INVERSA
1−
C , es:
a)










−−=−
022
130
152
1
C b)










−
−=−
011
235
202
1
C
c)












−−=−
0
4
1
4
1
8
1
8
30
8
1
8
5
4
1
1
C d)












−
−=−
0
8
1
8
1
4
1
8
3
8
5
4
10
4
1
1
C
e) La matriz C no tiene inversa.
12. Si el determinante de una matriz A es 16. Entonces es FALSO que:
a) La Matriz A tiene inversa.
b) La matriz A es una matriz cuadrada.
c) La matriz A tiene 2 filas iguales.
d) Si B es una matriz que tiene determinante igual a 2, entonces del det(AB)=32.
e) El determinante de la matriz inversa 1−
A es igual a
16
1 .
13. Sea la matriz










−
−
=
032
120
111
A entonces su MATRIZ INVERSA
1−
A es:
a)










−
−=−
011
321
201
1
A b)










−−
−−
−
=−
254
122
133
1
A
c)










−
−−
−−
=−
211
523
423
1
A d)










=−
100
010
001
1
A
e) La matriz A no tiene inversa.
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes
339
14. Sean A y B matrices tales que:










−
−
−
=
212
110
211
A y










−
−=
111
201
321
B , entonces el valor
de ( )ABDet es:
a)-35 b)7 c)-7 d)-5 e)35

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Cap13 matrices

  • 1. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 317 13 13.1 DEFINICIÓN 13.2 DIMENSIÓN 13.3 CLASES DE MATRICES 13.4 IGUALDAD DE MATRICES 13.5 OPERACIONES 13.6 DETERMINANTE 13.7 MATRIZ INVERSA Los arreglos matriciales permiten estructurar muchos contenidos matemáticos. De allí su importancia de estudio en este capítulo.
  • 2. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 318 OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:  Defina arreglo matricial.  Defina matrices cuadradas, matriz identidad, matrices triangulares superior e inferior, matrices diagonales, matrices simétricas.  Aplique operatoria elemental con matrices: suma, resta, multiplicación por escalares, multiplicación entre matrices.  Halle determinantes de matrices.  Aplique las propiedades de los determinantes para ejercicios conceptuales.  Justifique la existencia de la inversa de una matriz  Determine, de existir, la inversa de una matriz. 13.1 DEFINICIÓN Una matriz es un arreglo rectangular de números. Se acostumbra denotar a una matriz con letras del abecedario, en mayúscula. nglón R R R R aaaa aaaa aaaa aaaa A CCCC Columna mmnmmm n n n n Re 3 2 1 321 3333231 2232221 1131211 321        →                 = ↓ A los arreglos horizontales se los denominan renglones o filas. A los arreglos verticales se los denominan columnas. Al número ija se lo denomina elemento de la matriz, donde " i " (el primer número del subíndice) indica la fila en donde se encuentra el elemento y " j " (el segundo número del subíndice) indica la columna en que se encuentra el elemento, es decir: 13.2 DIMENSIÓN La dimensión de una matriz está dada por la cantidad de filas y la cantidad de columnas que posea. Al decir nmA × , se indica que A es una matriz que tiene m filas y n columnas.
  • 3. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 319
  • 4. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 320 Ejemplos 32 201 312 ×       − − =A A→ es una matriz que tiene 2 filas y 3 columnas. 33 321 210 321 ×           − −− =B B→ es una matriz que tiene 3 filas y 3 columnas. Ejercicio Propuesto 13.1 1. Determine la matriz ( )ijaA =×34 para la cual 2−+= jiaij . [SUGERENCIA: por ejemplo con objeto de calcular 21a , haga 2=i y 1=j en la fórmula 121221 =−+=a ]. 13.3 CLASES DE MATRICES 13.3.1 MATRIZ CUADRADA Una matriz nmA × es cuadrada si y sólo sí nm = . Es decir una matriz cuadrada tiene igual cantidad de filas que de columnas y se lo denota como nnA × . Cuando una matriz es cuadrada surge la definición de Diagonal Principal para los elementos ija donde ji = . Así como también aparecen las siguientes clases de matrices: 13.3.1.1 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR Una matriz cuadrada es triangular superior cuando los elementos que están bajo la diagonal principal son todos ceros.                 =× nnnnn n n n nn aaaa aaaa aaaa aaaa A      321 3333231 2232221 1131211 Diagonal Principal                 =× nn n n n nn a aa aaa aaaa A      000 00 0 333 22322 1131211
  • 5. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 321 13.3.1.2 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR Una matriz cuadrada es triangular inferior cuando los elementos que están sobre la diagonal principal son todos ceros. 13.3.1.3 MATRIZ DIAGONAL Una matriz cuadrada es diagonal cuando los elementos que están sobre y bajo la diagonal principal son todos iguales a cero. 13.3.1.4 MATRIZ IDENTIDAD Es una matriz diagonal que tiene al número 1 en toda la diagonal principal. 13.3.1.5 MATRIZ CERO Es la matriz que tiene todos sus elementos cero. Puede ser cuadrada como puede no serlo.                 =× nnnnn nn aaaa aaa aa a A      321 333231 2221 11 0 00 000                 =× nn nn a a a a A      000 000 000 000 33 22 11                 == ×× 1000 0100 0010 0001      nnnn IA
  • 6. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 322 13.4 IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices nmA × y nmB × son iguales si y sólo si: ijij ba = Es decir, sus elementos respectivos son iguales. Ejercicios propuestos 13.2 1. Determine los valores de las variables para los cuales las ecuaciones matriciales siguientes se satisfacen: a)       =      43 21 3 2 y x b)           − − + =           − +           − − 150 325 172 2 43 11 31 12 43 w v yu x t z y x 2. Dadas las matrices:           + +−+ = 243 012 4232 3 2321 k kkkk A y           = 043 012 232 B entonces el valor de 321 kkk ++ , tal que BA = , es: a) 4 5 − b) 3 2 − c) 3 d) 2 1 e) 2 3 13.5 OPERACIONES 13.5.1 SUMA Sean BA ∧ dos matrices de nm × , entonces: nmnmnm CBA ××× =+ , donde ijijij bac += Los elementos de la matriz C se los obtiene sumando algebraicamente los elementos de la matriz A con los respectivos elementos de la matriz B . Ejemplo Sean las matrices 32 321 112 ×       − =A y 32 312 101 ×       −− − =B hallar BAC += . SOLUCIÓN:
  • 7. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 323 32 3232 031 211 )3(312)2(1 1101)1(2 312 101 321 112 × ××       − − =      −++−+ ++−−+ =       −− − +      − =+= C BAC 13.5.1.1 PROPIEDADES Sean nmA × , nmB × y nmC × , matrices. Entonces: 1. ABBA +=+ 2. ( ) ( )CBACBA ++=++ 3. AA =+ 0 , donde ≡×nm0 Matriz Cero 4. ( ) 0=−+ AA 13.5.2 MULTIPLICACIÓN POR ESCALARES Sea IR∈α y la matriz nmA × , entonces: nmnm CA ×× =α , donde ijij ac α= Los elementos de la matriz C se los obtiene multiplicando por la constante α a los elementos de la matriz A . Ejemplo Si tenemos la matriz       − = 321 012 A , entonces:       − =      − =      − == 642 024 )2(3)2(2)2(1 )2(0)2(1)2(2 321 012 22AC 13.5.2.1 PROPIEDADES Sean nmA × y nmB × matrices; y IR∈βα, , entonces: 1. ( ) BABA α+α=+α 2. ( ) ( ) ( )AAA αβ=βα=αβ
  • 8. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 324 13.5.3 MULTIPLICACIÓN ENTRE MATRICES Sea A una matriz de nm × y sea B una matriz de qn× ( la cantidad de columnas de la matriz A igual a la cantidad de filas de la matriz B ) entonces: qmqnnm CBA ××× = donde njinjijijiij babababac ++++= 332211 Es decir, el elemento ijc se lo obtiene sumando algebraicamente los resultados de la multiplicación de los elementos de la fila i de la matriz A con los respectivos elementos de la columna j de B . Ejemplo Para las matrices 32 321 112 ×       − =A y 33 111 320 111 ×           −− − =B Obtengamos la matriz ABC = Primero observe que, sí es posible obtener la matriz C , porque la matriz A tiene 3 columnas y la matriz B tiene 3 filas. Entonces: 32232221 131211 323332 × ×××       == ccc ccc CBA 6)1)(1()3)(1()1)(2( 5)1)(1()2)(1()1)(2( 1)1)(1()0)(1()1)(2( 13 12 11 =+−−+= =+−−+= −=+−+−= c c c 2)1)(3()3)(2()1)(1( 0)1)(3()2)(2()1)(1( 2)1)(3()0)(2()1)(1( 23 22 21 −=+−+= =+−+= =++−= c c c Por lo tanto:       − − =× 202 651 32C 13.5.3.1 PROPIEDADES Sea IR∈α y CBA ,, matrices. Entonces: 1. ( ) ACABCBA +=+ 2. AAI = 3. ( ) ( )BABAAB α=α=α
  • 9. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 325 4. ( ) ( )BCACAB = Las dimensiones de las matrices CBA ,, deben ser tales que se puedan realizar las operaciones indicadas. Note que AB no siempre es igual a BA ¿PORQUÉ? Ejercicio Resuelto Si se tienen las matrices               −−− − −− = 23 2 3 201 2 k kkA y             −− −− −− = 321 3 1102 5 3 k k k kB , entonces el valor de " k " para que la matriz AB sea una MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR es a) 1− b) 0 c) 3 d) 2− e) 1 SOLUCIÓN: Al multiplicar la matriz 33×A con la matriz 33×B resulta una matriz 33×C . El asunto es que 33×C sea triangular superior, entonces 000 323121 =∧=∧= ccc . Es decir: 3333 2322 131211 333333 00 0 × ×××           == c cc ccc CBA 032)1)(3())(()2)(( 2 21 =−−=−+−−+−= kkkkkc 045)2)(2())(3()10( 023)1)(2())(3()2( 32 3232 2 231 32 2 =++=−−+−−+−    −= =++=−−+−−+−    −= kkkkc kkkc kk k Las 3 ecuaciones proporcionan diferentes soluciones 1. ( )( ) 13 013 0322 −=∨= =+− =−− kk kk kk 2. ( )( ) 12 012 0232 −=∨−= =++ =++ kk kk kk 3. ( )( ) 140 014 0)45( 045 2 23 −=∨−=∨= =++ =++ =++ kkk kkk kkk kkk Observe que sólo 1−=k satisface las tres condiciones, por tanto RESPUESTA: Opción "a" Ejercicios Propuestos 13.3 1. Efectuar las operaciones: a)       − − +      − 821 210 741 312 b)           − − − +           − 301 423 210 3 654 012 321 2 c)                     −− 3 2 1 654 321 132 d)       − −          −       12 13 30 42 01 654 321
  • 10. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 326 2. Calcule IAA 322 −+ para       = 32 21 A 3. Al multiplicar la matriz       = dc ba A por la matriz       − = 04 33 B se obtiene la matriz       −− −− = 62 31 C , entonces la SUMA de dcba +++ es: a) 0 b) 6 c) 2 d) 4 e) 3 4. Considerando las siguientes matrices: ( )304; 3 1 2 ; 3 3 21 04 ; 4 2 30 11 =           −=      − −− =      − = DCBA . Determine ¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA? a)       − − − =+ 7 1 11 15 BA b)           −−= 9012 304 608 CD c) CA + no está definida d)       = 9 9 AD e) Elija esta opción si todas las anteriores proposiciones son verdaderas. 5. Dadas las matrices:       = 43 21 A y       −− − = 23 12 B encuentre: a) ( )2 BA + b) 22 2 BABA ++ 6. Sean las matrices:       − = 1 1 q p A y       − − = 12 11 B encuentre " p " y " q " para que ( ) 222 BABA +=+ . 13.5.4 MATRIZ TRANSPUESTA Sea ( )ijaA = una matriz de nm × . Entonces su matriz transpuesta, denotada como ( )ji t aA = , es de mn× y se obtiene tomando las filas de la matriz A como columnas para la matriz t A y por ende las columnas de la matriz A serán las filas de la matriz t A . Ejemplo La matriz transpuesta para la matriz 32 321 112 ×       − =A es 23 31 21 12 ×           −=t A
  • 11. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 327 13.5.4.1 PROPIEDADES Sean nmA × y nmB × matrices, entonces: 1. ( ) AA tt = 2. ( ) ttt BABA +=+ 3. ( ) ttt ABAB = MATRIZ SIMÉTRICA Una matriz nnA × es simétrica si y sólo si AAt = Para que una matriz sea simétrica se debe cumplir que jiij aa = Ejemplo La matriz           −− − = 213 102 321 A es simétrica porque AAt =           −− − = 213 102 321 Ejercicio Propuesto 13.4 1. Sea la matriz           = 410 538 642 A , la SUMA de los ELEMENTOS de la diagonal principal de la matriz ( )t AA −24 es: a) 36 b) 12 c) 16 d) 8 e) 9 13.6 DETERMINANTE
  • 12. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 328 Sea A una matriz de nn× . El DETERMINANTE de A, denotado por A o también Adet , se define de la siguiente manera: 1. Si [ ] 111111 aAaA =→=× 2. Si 21122211 2221 1211 22 aaaaA aa aa A −=→      =× 3. Si 13 13 12 12 11 11 333231 232221 131211 33 AaAaAaA aaa aaa aaa A ++=→                 =× Donde ij A se llama cofactor y se define como: Entonces 3231 2221 13 3331 2321 12 3332 2322 11 aa aa a aa aa a aa aa aA +−= NOTA: Se puede emplear cualquier fila o columna. ¿Cómo sería el determinante? La forma mencionada para hallar el determinante se llama MÉTODO DE MENORES. Si embargo existen otros métodos que podrían emplearse. Este método es general. Sirve para matrices de mayor orden, 44× Ejemplo Hallar el determinante de la matriz           −= 001 153 412 A SOLUCIÓN: Note que es mejor emplear la última fila porque tiene algunos ceros, entonces
  • 13. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 329 53 12 0 13 42 0 15 41 1 001 153 412 + − − − =−=A [ ] 21)5)(4()1)(1(1 00 15 41 1 −=−−= ++ − = A A 13.6.1. PROPIEDADES Sean nnA × y nnB × matrices, entonces: 1. BAAB = 2. AAt = Pregunta: BABA +=+ ¿Si o no? Justifique su respuesta. 13.6.2 OTRAS PROPIEDADES 1. Si una matriz es triangular superior, triangular inferior o diagonal entonces su determinante es igual a la multiplicación de los elementos de la diagonal principal. Ejemplo Para la matriz triangular superior           − − = 300 410 5102 A calculando su determinante por el método de menores, empleando la primera columna, tenemos: [ ] 6)3)(1)(2()0)(4()3)(1(200 30 41 2 −=−=−−=+− − =A . ¡Generalícelo! 2. Si una matriz tiene 2 filas o columnas iguales o múltiplos entonces su determinante es igual a "0". Ejemplo
  • 14. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 330 Al hallar el determinante de la matriz       −− = 62 31 A cuya segunda fila es 2− veces la primera, encontramos que: 0 )2)(3()6)(1( = −−−= A A Lo mismo ocurre con esta matriz                 −− −− −− − − = 19031 06121 13212 20101 56321 A , note que la cuarta columna es el triplo de la segunda, por lo tanto 0=A ¡Generalícelo! 3. Si se intercambian 2 filas o columnas en una matriz entonces su determinante cambia de signo. Ejemplo Suponga que se tiene la matriz       − − = 54 31 A entonces 7125 −=−=A Si formamos la matriz       − − = 31 54 B (intercambiamos las filas de la matriz A ) entonces 7512 =−=B . ¡Generalícelo! 4. Si a todos los elementos de una fila o columna de una matriz A los multiplicamos por una constante 0≠k , entonces el determinante de la nueva matriz es k veces el determinante de la matriz A. Ejemplo Suponga que se tiene la matriz       = 2221 1211 aa aa A entonces 22122211 aaaaA −=
  • 15. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 331 Si formamos la matriz       = 2221 1211 aa kaka B (multiplicamos por k a todos los elementos de la primera fila de la matriz A ) entonces AkaaaakakaakaB =−=−= )( 2112221121122211 . En cambio el AkkA n = ¿POR QUÉ? 5. Si a todos los elementos de una fila o columna de una matriz A les sumamos respectivamente k veces otra fila o columna, entonces el determinante no varía. Ejemplo Suponga que se tiene la matriz       = 2221 1211 aa aa A entonces 22122211 aaaaA −= Si formamos la matriz       ++ = 12221121 1211 kaakaa aa B (a los elementos de la segunda fila le adicionamos respectivamente k veces la primera fila) entonces Aaaaa akaaaakaaa kaaakaaaB =−= −−+= +−+= 21122211 1112211212112211 112112122211 )()( Ejercicios Propuestos 13.5 1. Dadas las matrices:       − = 320 121 A y       − = 111 021 B entonces el valor de: ( )t ABdet es: a) 15 b) 35 c) 5 d) 45 e) 25 2. Calcule los siguientes determinantes: a) 001 153 412 − b) 1021 1120 3012 0101 − − − 3. Sean las matrices:       − =      =           =           − − = 32 23 ; 111 111 ; 1 1 0 0 0 1 ; 501 410 123 DCBA , entonces el valor del ( )[ ]DCBA TT −..det es: a) 44− b) 38 c) 38− d) 39 e) 44 4. Los valores de IRx ∈ que satisfacen la ecuación: 60 100 990 23 = −x x xx son:
  • 16. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 332 a) 5 y 4− b) 5 y 4 c) 5− y 4 d) 5− y 4− e) 0 y 1 5. Los valores de x que satisfacen la ecuación: 3 1 32 001 2 = + − xxx xx , son: a) 3 y 6 b) 6 y 0 c) -1 y 0 d) 6 y -1 e) 3 y 0 6. Al calcular 0 34 201 122 > − x x , se obtiene: a) 0=x b) 5>x c) 0>x d) 3>x e) 2<x 7. El valor del determinante de la matriz               − − − = 01 2 1 23log2 1log18log 3 10 1ln 2 x xx e A es: a) 0 b) 2 c) -6 d) 6 e) -4 13.7 MATRIZ INVERSA Sea A una matriz de nn× . Si existe una matriz 1− ×nnA tal que IAAAA == −− 11 , se dice que A es inversible En este caso a la matriz 1− ×nnA se la llama la matriz inversa de A . Si 1− A existe se dice que A es una matriz no singular. Caso contrario, es decir que 1− A no exista, se dice que A es una matriz singular. Existen varias maneras de calcular matrices inversas, pero aquí solo lo vamos a hacer empleando la siguiente formula: ( )t A A A ˆ11 =− , donde ≡A  Matriz de Cofactores. Esto da lugar el siguiente teorema (Una condición necesaria y suficiente para la existencia de la matriz inversa) Teorema. 1− A existe si y sólo si 0≠A Ejercicio resuelto 1
  • 17. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 333 De existir, hallar la inversa de la matriz       − − = 54 31 A SOLUCIÓN: Primero empecemos hallando: 7−=A . Este resultado nos indica que si va a existir la matriz inversa. A continuación hallamos la matriz de cofactores       −− −− =      −+− −−+ =         = 13 45 )1()3( )4()5( 2221 1211 AA AA A  Entonces: ( )         =       −− −− −=      −− −− − == − − 7 1 7 4 7 3 7 5 1 1 14 35 7 1 13 45 7 11 A A A A t t Comprobando       =      =            − − =− 10 01 70 07 7 1 14 35 7 1 54 311 AA Ejercicio resuelto 2 De existir, hallar la inversa de la matriz           − = 012 130 201 A El determinante de la matriz es: 11)6(20)1(1 −=−+−=A Y su matriz de cofactores:           +−−+ −−−+− −+−−+ = )3()1()6( )1()4()2( )6()2()1( A  =           −− −− − 316 142 621 Entonces su matriz inversa es:           −− − − =           − −− −− − =           −− −− − − =− 316 142 621 11 1 316 142 621 11 1 316 142 621 11 11 t A Comprobando           =           =           −− − −           − =− 100 010 001 1100 0110 0011 11 1 316 142 621 11 1 012 130 201 1 AA 13.7.1. Propiedades Sean nnA × y nnB × matrices inversibles, entonces: 1. ( ) AA = −− 11
  • 18. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 334 2. A A 11 =− 3. ( ) ( ) 11 −− = tt AA 4. ( ) 111 −−− = ABAB Ejercicio resuelto 3 Sea X una matriz tal que:       − =      040 321 84 32 X . Entonces X es igual a: a)       − 040 672 b)           − 04 67 02 c)       −−− 341 672 d)           − − 36 47 12 e)       − − 341 672 SOLUCIÓN: Una manera es despejar la matriz x, multiplicando por la inversa a ambos miembros       − =      −− 040 321 84 32 11 AXA A       − =       − = − − 040 321 040 321 1 1 Ax AIx Hallemos la inversa de       = 84 32 A , para lo cual 41216 =−=A y       +− −+ = 23 48 ˆA entonces         − − =      − − =− 2 1 4 3 1 1 2 23 48 4 1 t A Por lo tanto       −−− =      −−− =      −      − − = 341 672 12164 24288 040 321 24 38 4 1 4 1x Respuesta: Opción "c" Ejercicio resuelto 4 Dada la matriz           −− − = kk k kA 31 43 101 los valores de "k" que hacen que la matriz A no tenga inversa, son: a) 2 y 6 b) -2 y 6 c) 2± y 6± d) 2 y -6 e) -2 y -6 Solución: Para que una matriz no tenga inversa se requiere que su determinante sea igual a cero
  • 19. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 335 ( ) ( )( ) 26 026 0128 0912 0)9(0121 0 31 3 101 2 2 2 4 −=∨−= =++ =++ =−++ =+−−−+ = −− − kk kk kk kkk kkk kk k k RESPUESTA: Opción "e" Ejercicios Propuestos 13.6 1. Dada la matriz A=           − 112 020 312 , la matriz inversa de A es igual a: a)             − −− 2 1 2 1 2 1 0 2 10 4 3 2 1 4 1 b)             − − − 2 10 4 3 2 1 2 1 2 1 2 10 4 1 c)           − −− − 406 444 402 d)           −− − − 222 020 321 e)           −− − − 444 040 642 2. Dadas las matrices:       = 42 31 A y       − − = 13 12 B verifique que ( ) 111 −−− = ABAB 3. Dada la matriz           = 654 021 432 A , una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela: a) 6−=A b)           =+ 12108 042 864 AA c)             −− − −− =− 6 1 3 1 2 1 3 2 3 21 3 4 3 12 1 A d)             −− −− − =− 6 1 3 2 3 4 3 1 3 2 3 1 2 112 1 A e) 48−=+ AA 4. Encuentre la inversa de cada matriz, si existe: a)       − 11 23 b)           − −− 213 112 321 c)           012 120 001 d)           987 654 321 e)               − − − 2103 1111 3032 2111 5. Dada la matriz                 −      − − = 42 2 1 log 131log 14log8log 2 2 22 A . Entonces su MATRIZ INVERSA es:
  • 20. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 336 a)           −−− − −− −=− 931 8136 3110 31 11 A b)           −− −− −− −=− 983 3131 1610 31 11 A c)           −−− − −− =− 931 8136 3110 31 11 A d)           −− −− −− =− 983 3131 1610 31 11 A e) A no tiene inversa 6. Sea la matríz           = 021 230 312 A , entonces su MATRIZ INVERSA, es: a)           − − − −=− 633 432 764 15 11 A b)           − − − =− 647 336 324 15 11 A c)           − − − −=− 647 336 324 15 11 A d)           − − − =− 633 432 764 15 11 A e) A no tiene inversa 7. Determine la matriz A que hace verdadera la ecuación matricial:           −=           − 10 13 06 10 11 02 A 8. Sea A una matriz tal que       = 32 21 A . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA , identifíquela: a)       = 94 412 A b) 1=A c)        − =− 9 1 4 1 4 1 1 1 A d)       =−+ 1612 124 322 IAA e)         =− 3 1 2 1 2 1 1 1 A 9. Si       −− = 43 32 A , y además,       =− dc ba A 1 , entonces el valor de ( ) ( )da cb − − , es: a) 0 b) -1 c) 1 d) -3 e) 3 10. Dada la matriz           − β −− = 041 20 421 A entonces el valor de IR∈β para que la matriz NO TENGA INVERSA es: a) 0 b) -3 c) -1 d) 2 e)-2 11. Sean las matrices       − =      −− =      − − = 011 321 42 21 , 54 32 CyBA , entonces es cierto que: a)       =− 10 211 B b)       −− = 63 63 CB c)       − − = 2010 164 AB d)             −− −− =− 12 2 3 2 5 1 A e)             − − =− 5 1 1 11 1 A 12. Sea A la matriz:           − −− 305 164 021 entonces es verdad que: a) det(A)=12 b) det(A2)=1 c) det (AT)=1/16 d) det (A-1)=1/10 e) det(ATA-1)=1 Misceláneos 1. Sean las matrices       − − = 51 24 A y       − − = k B 2 14 . El valor de " k " para que BA detdet =
  • 21. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 337 a) 5 b) 4 c)3 d)2 e)1 2. La matriz X que satisface la ecuación       =      301 243 20 11 X a)         2 1 2 3 2 1 42 0 b)         00 00 2 1 2 1 c)         2 3 2 1 2 1 2 5 0 4 d)       110 111 e)         −− 00 4 2 1 2 1 2 5 3. Sea la matriz           − − = 103 010 207 A Entonces su MATRIZ INVERSA es: a)           =− 703 010 201 1 A b)           −− − −− =− 703 010 201 1 A c)             =− 2 70 2 3 0 2 10 10 2 1 1 A d)           − − = 103 010 207 A e) La matriz A no tiene inversa. 4. Sean las matrices       − − = 113 202 A ,       − − = 211 201 B y           = 05 40 21 C Entonces el VALOR del ( )( )[ ]T CBADet 2− es: a)74 b) 200 c)-100 d)10 e)100 5. Sean A, B y C matrices tales que,           −= 123 110 521 A ,           = 145 026 005 B y           = 241 300 620 C . Entonces es VERDAD que: a) 6det det det 2 −=−      C B A b) CAT detdet = c) ( ) 5det =AB d) T CB detdet = e) A no tiene inversa o B si tiene inversa. 6. Sea la matriz       = 33 24 A . Entonces los VALORES de “ λ ” tal que ( ) 0det =λ− IA , son: a) 1 y 6 b)–1 y –6 c)1 y –6 d)–6 y 1 e) 7 y 6 7. Dada la matriz           −− − = 304 213 012 A , el PRODUCTO DE LOS ELEMENTOS DE LA DIAGONAL PRINCIPAL de 1− A es: a) 343 90− b) 7 90− c) 343 90 d) 343 180− e) 441 90−
  • 22. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 338 8. El DETERMINANTE de la matriz                 − −= 10210 24204 73113 61011 52122 A es: a) -2 b)0 c)-1 d)1 e)5 9. Sea la matriz       = 01 12 A ; entonces es VERDAD que: a)       = 12 152 A b)       =− 01 021 A c)       = 25 5123 A d) [ ]       =− 10 0121 A e)       =⋅ 02 11 IA 10. La matriz X , tal que:       − =      13 12 43 11 X es: a)       − − = 43 52 X b)       − − = 43 55 X c)       = 01 12 X d)       − − = 42 51 X e)       − = 20 11 X 11. Dadas las matrices:           −= 20 01 21 A y       = 014 131 B y ABC = . Entonces La MATRIZ INVERSA 1− C , es: a)           −−=− 022 130 152 1 C b)           − −=− 011 235 202 1 C c)             −−=− 0 4 1 4 1 8 1 8 30 8 1 8 5 4 1 1 C d)             − −=− 0 8 1 8 1 4 1 8 3 8 5 4 10 4 1 1 C e) La matriz C no tiene inversa. 12. Si el determinante de una matriz A es 16. Entonces es FALSO que: a) La Matriz A tiene inversa. b) La matriz A es una matriz cuadrada. c) La matriz A tiene 2 filas iguales. d) Si B es una matriz que tiene determinante igual a 2, entonces del det(AB)=32. e) El determinante de la matriz inversa 1− A es igual a 16 1 . 13. Sea la matriz           − − = 032 120 111 A entonces su MATRIZ INVERSA 1− A es: a)           − −=− 011 321 201 1 A b)           −− −− − =− 254 122 133 1 A c)           − −− −− =− 211 523 423 1 A d)           =− 100 010 001 1 A e) La matriz A no tiene inversa.
  • 23. Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 339 14. Sean A y B matrices tales que:           − − − = 212 110 211 A y           − −= 111 201 321 B , entonces el valor de ( )ABDet es: a)-35 b)7 c)-7 d)-5 e)35