Subido pornivelacion008
7,094 vistas

Cap13 matrices

El documento presenta los conceptos básicos de las matrices, incluyendo su definición, dimensión, clases (cuadradas, triangulares, diagonales, identidad), igualdad, y operaciones (suma, multiplicación por escalares, multiplicación entre matrices). El objetivo es que los estudiantes aprendan a definir, identificar, aplicar operaciones y determinar la inversa de las matrices.

Incrustar presentación

Descargado 334 veces
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 317 13 13.1 DEFINICIÓN 13.2 DIMENSIÓN 13.3 CLASES DE MATRICES 13.4 IGUALDAD DE MATRICES 13.5 OPERACIONES 13.6 DETERMINANTE 13.7 MATRIZ INVERSA Los arreglos matriciales permiten estructurar muchos contenidos matemáticos. De allí su importancia de estudio en este capítulo.
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 318 OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:  Defina arreglo matricial.  Defina matrices cuadradas, matriz identidad, matrices triangulares superior e inferior, matrices diagonales, matrices simétricas.  Aplique operatoria elemental con matrices: suma, resta, multiplicación por escalares, multiplicación entre matrices.  Halle determinantes de matrices.  Aplique las propiedades de los determinantes para ejercicios conceptuales.  Justifique la existencia de la inversa de una matriz  Determine, de existir, la inversa de una matriz. 13.1 DEFINICIÓN Una matriz es un arreglo rectangular de números. Se acostumbra denotar a una matriz con letras del abecedario, en mayúscula. nglón R R R R aaaa aaaa aaaa aaaa A CCCC Columna mmnmmm n n n n Re 3 2 1 321 3333231 2232221 1131211 321        →                 = ↓ A los arreglos horizontales se los denominan renglones o filas. A los arreglos verticales se los denominan columnas. Al número ija se lo denomina elemento de la matriz, donde " i " (el primer número del subíndice) indica la fila en donde se encuentra el elemento y " j " (el segundo número del subíndice) indica la columna en que se encuentra el elemento, es decir: 13.2 DIMENSIÓN La dimensión de una matriz está dada por la cantidad de filas y la cantidad de columnas que posea. Al decir nmA × , se indica que A es una matriz que tiene m filas y n columnas.
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 319
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 320 Ejemplos 32 201 312 ×       − − =A A→ es una matriz que tiene 2 filas y 3 columnas. 33 321 210 321 ×           − −− =B B→ es una matriz que tiene 3 filas y 3 columnas. Ejercicio Propuesto 13.1 1. Determine la matriz ( )ijaA =×34 para la cual 2−+= jiaij . [SUGERENCIA: por ejemplo con objeto de calcular 21a , haga 2=i y 1=j en la fórmula 121221 =−+=a ]. 13.3 CLASES DE MATRICES 13.3.1 MATRIZ CUADRADA Una matriz nmA × es cuadrada si y sólo sí nm = . Es decir una matriz cuadrada tiene igual cantidad de filas que de columnas y se lo denota como nnA × . Cuando una matriz es cuadrada surge la definición de Diagonal Principal para los elementos ija donde ji = . Así como también aparecen las siguientes clases de matrices: 13.3.1.1 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR Una matriz cuadrada es triangular superior cuando los elementos que están bajo la diagonal principal son todos ceros.                 =× nnnnn n n n nn aaaa aaaa aaaa aaaa A      321 3333231 2232221 1131211 Diagonal Principal                 =× nn n n n nn a aa aaa aaaa A      000 00 0 333 22322 1131211
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 321 13.3.1.2 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR Una matriz cuadrada es triangular inferior cuando los elementos que están sobre la diagonal principal son todos ceros. 13.3.1.3 MATRIZ DIAGONAL Una matriz cuadrada es diagonal cuando los elementos que están sobre y bajo la diagonal principal son todos iguales a cero. 13.3.1.4 MATRIZ IDENTIDAD Es una matriz diagonal que tiene al número 1 en toda la diagonal principal. 13.3.1.5 MATRIZ CERO Es la matriz que tiene todos sus elementos cero. Puede ser cuadrada como puede no serlo.                 =× nnnnn nn aaaa aaa aa a A      321 333231 2221 11 0 00 000                 =× nn nn a a a a A      000 000 000 000 33 22 11                 == ×× 1000 0100 0010 0001      nnnn IA
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 322 13.4 IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices nmA × y nmB × son iguales si y sólo si: ijij ba = Es decir, sus elementos respectivos son iguales. Ejercicios propuestos 13.2 1. Determine los valores de las variables para los cuales las ecuaciones matriciales siguientes se satisfacen: a)       =      43 21 3 2 y x b)           − − + =           − +           − − 150 325 172 2 43 11 31 12 43 w v yu x t z y x 2. Dadas las matrices:           + +−+ = 243 012 4232 3 2321 k kkkk A y           = 043 012 232 B entonces el valor de 321 kkk ++ , tal que BA = , es: a) 4 5 − b) 3 2 − c) 3 d) 2 1 e) 2 3 13.5 OPERACIONES 13.5.1 SUMA Sean BA ∧ dos matrices de nm × , entonces: nmnmnm CBA ××× =+ , donde ijijij bac += Los elementos de la matriz C se los obtiene sumando algebraicamente los elementos de la matriz A con los respectivos elementos de la matriz B . Ejemplo Sean las matrices 32 321 112 ×       − =A y 32 312 101 ×       −− − =B hallar BAC += . SOLUCIÓN:
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 323 32 3232 031 211 )3(312)2(1 1101)1(2 312 101 321 112 × ××       − − =      −++−+ ++−−+ =       −− − +      − =+= C BAC 13.5.1.1 PROPIEDADES Sean nmA × , nmB × y nmC × , matrices. Entonces: 1. ABBA +=+ 2. ( ) ( )CBACBA ++=++ 3. AA =+ 0 , donde ≡×nm0 Matriz Cero 4. ( ) 0=−+ AA 13.5.2 MULTIPLICACIÓN POR ESCALARES Sea IR∈α y la matriz nmA × , entonces: nmnm CA ×× =α , donde ijij ac α= Los elementos de la matriz C se los obtiene multiplicando por la constante α a los elementos de la matriz A . Ejemplo Si tenemos la matriz       − = 321 012 A , entonces:       − =      − =      − == 642 024 )2(3)2(2)2(1 )2(0)2(1)2(2 321 012 22AC 13.5.2.1 PROPIEDADES Sean nmA × y nmB × matrices; y IR∈βα, , entonces: 1. ( ) BABA α+α=+α 2. ( ) ( ) ( )AAA αβ=βα=αβ
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 324 13.5.3 MULTIPLICACIÓN ENTRE MATRICES Sea A una matriz de nm × y sea B una matriz de qn× ( la cantidad de columnas de la matriz A igual a la cantidad de filas de la matriz B ) entonces: qmqnnm CBA ××× = donde njinjijijiij babababac ++++= 332211 Es decir, el elemento ijc se lo obtiene sumando algebraicamente los resultados de la multiplicación de los elementos de la fila i de la matriz A con los respectivos elementos de la columna j de B . Ejemplo Para las matrices 32 321 112 ×       − =A y 33 111 320 111 ×           −− − =B Obtengamos la matriz ABC = Primero observe que, sí es posible obtener la matriz C , porque la matriz A tiene 3 columnas y la matriz B tiene 3 filas. Entonces: 32232221 131211 323332 × ×××       == ccc ccc CBA 6)1)(1()3)(1()1)(2( 5)1)(1()2)(1()1)(2( 1)1)(1()0)(1()1)(2( 13 12 11 =+−−+= =+−−+= −=+−+−= c c c 2)1)(3()3)(2()1)(1( 0)1)(3()2)(2()1)(1( 2)1)(3()0)(2()1)(1( 23 22 21 −=+−+= =+−+= =++−= c c c Por lo tanto:       − − =× 202 651 32C 13.5.3.1 PROPIEDADES Sea IR∈α y CBA ,, matrices. Entonces: 1. ( ) ACABCBA +=+ 2. AAI = 3. ( ) ( )BABAAB α=α=α
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 325 4. ( ) ( )BCACAB = Las dimensiones de las matrices CBA ,, deben ser tales que se puedan realizar las operaciones indicadas. Note que AB no siempre es igual a BA ¿PORQUÉ? Ejercicio Resuelto Si se tienen las matrices               −−− − −− = 23 2 3 201 2 k kkA y             −− −− −− = 321 3 1102 5 3 k k k kB , entonces el valor de " k " para que la matriz AB sea una MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR es a) 1− b) 0 c) 3 d) 2− e) 1 SOLUCIÓN: Al multiplicar la matriz 33×A con la matriz 33×B resulta una matriz 33×C . El asunto es que 33×C sea triangular superior, entonces 000 323121 =∧=∧= ccc . Es decir: 3333 2322 131211 333333 00 0 × ×××           == c cc ccc CBA 032)1)(3())(()2)(( 2 21 =−−=−+−−+−= kkkkkc 045)2)(2())(3()10( 023)1)(2())(3()2( 32 3232 2 231 32 2 =++=−−+−−+−    −= =++=−−+−−+−    −= kkkkc kkkc kk k Las 3 ecuaciones proporcionan diferentes soluciones 1. ( )( ) 13 013 0322 −=∨= =+− =−− kk kk kk 2. ( )( ) 12 012 0232 −=∨−= =++ =++ kk kk kk 3. ( )( ) 140 014 0)45( 045 2 23 −=∨−=∨= =++ =++ =++ kkk kkk kkk kkk Observe que sólo 1−=k satisface las tres condiciones, por tanto RESPUESTA: Opción "a" Ejercicios Propuestos 13.3 1. Efectuar las operaciones: a)       − − +      − 821 210 741 312 b)           − − − +           − 301 423 210 3 654 012 321 2 c)                     −− 3 2 1 654 321 132 d)       − −          −       12 13 30 42 01 654 321
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 326 2. Calcule IAA 322 −+ para       = 32 21 A 3. Al multiplicar la matriz       = dc ba A por la matriz       − = 04 33 B se obtiene la matriz       −− −− = 62 31 C , entonces la SUMA de dcba +++ es: a) 0 b) 6 c) 2 d) 4 e) 3 4. Considerando las siguientes matrices: ( )304; 3 1 2 ; 3 3 21 04 ; 4 2 30 11 =           −=      − −− =      − = DCBA . Determine ¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA? a)       − − − =+ 7 1 11 15 BA b)           −−= 9012 304 608 CD c) CA + no está definida d)       = 9 9 AD e) Elija esta opción si todas las anteriores proposiciones son verdaderas. 5. Dadas las matrices:       = 43 21 A y       −− − = 23 12 B encuentre: a) ( )2 BA + b) 22 2 BABA ++ 6. Sean las matrices:       − = 1 1 q p A y       − − = 12 11 B encuentre " p " y " q " para que ( ) 222 BABA +=+ . 13.5.4 MATRIZ TRANSPUESTA Sea ( )ijaA = una matriz de nm × . Entonces su matriz transpuesta, denotada como ( )ji t aA = , es de mn× y se obtiene tomando las filas de la matriz A como columnas para la matriz t A y por ende las columnas de la matriz A serán las filas de la matriz t A . Ejemplo La matriz transpuesta para la matriz 32 321 112 ×       − =A es 23 31 21 12 ×           −=t A
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 327 13.5.4.1 PROPIEDADES Sean nmA × y nmB × matrices, entonces: 1. ( ) AA tt = 2. ( ) ttt BABA +=+ 3. ( ) ttt ABAB = MATRIZ SIMÉTRICA Una matriz nnA × es simétrica si y sólo si AAt = Para que una matriz sea simétrica se debe cumplir que jiij aa = Ejemplo La matriz           −− − = 213 102 321 A es simétrica porque AAt =           −− − = 213 102 321 Ejercicio Propuesto 13.4 1. Sea la matriz           = 410 538 642 A , la SUMA de los ELEMENTOS de la diagonal principal de la matriz ( )t AA −24 es: a) 36 b) 12 c) 16 d) 8 e) 9 13.6 DETERMINANTE
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 328 Sea A una matriz de nn× . El DETERMINANTE de A, denotado por A o también Adet , se define de la siguiente manera: 1. Si [ ] 111111 aAaA =→=× 2. Si 21122211 2221 1211 22 aaaaA aa aa A −=→      =× 3. Si 13 13 12 12 11 11 333231 232221 131211 33 AaAaAaA aaa aaa aaa A ++=→                 =× Donde ij A se llama cofactor y se define como: Entonces 3231 2221 13 3331 2321 12 3332 2322 11 aa aa a aa aa a aa aa aA +−= NOTA: Se puede emplear cualquier fila o columna. ¿Cómo sería el determinante? La forma mencionada para hallar el determinante se llama MÉTODO DE MENORES. Si embargo existen otros métodos que podrían emplearse. Este método es general. Sirve para matrices de mayor orden, 44× Ejemplo Hallar el determinante de la matriz           −= 001 153 412 A SOLUCIÓN: Note que es mejor emplear la última fila porque tiene algunos ceros, entonces
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 329 53 12 0 13 42 0 15 41 1 001 153 412 + − − − =−=A [ ] 21)5)(4()1)(1(1 00 15 41 1 −=−−= ++ − = A A 13.6.1. PROPIEDADES Sean nnA × y nnB × matrices, entonces: 1. BAAB = 2. AAt = Pregunta: BABA +=+ ¿Si o no? Justifique su respuesta. 13.6.2 OTRAS PROPIEDADES 1. Si una matriz es triangular superior, triangular inferior o diagonal entonces su determinante es igual a la multiplicación de los elementos de la diagonal principal. Ejemplo Para la matriz triangular superior           − − = 300 410 5102 A calculando su determinante por el método de menores, empleando la primera columna, tenemos: [ ] 6)3)(1)(2()0)(4()3)(1(200 30 41 2 −=−=−−=+− − =A . ¡Generalícelo! 2. Si una matriz tiene 2 filas o columnas iguales o múltiplos entonces su determinante es igual a "0". Ejemplo
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 330 Al hallar el determinante de la matriz       −− = 62 31 A cuya segunda fila es 2− veces la primera, encontramos que: 0 )2)(3()6)(1( = −−−= A A Lo mismo ocurre con esta matriz                 −− −− −− − − = 19031 06121 13212 20101 56321 A , note que la cuarta columna es el triplo de la segunda, por lo tanto 0=A ¡Generalícelo! 3. Si se intercambian 2 filas o columnas en una matriz entonces su determinante cambia de signo. Ejemplo Suponga que se tiene la matriz       − − = 54 31 A entonces 7125 −=−=A Si formamos la matriz       − − = 31 54 B (intercambiamos las filas de la matriz A ) entonces 7512 =−=B . ¡Generalícelo! 4. Si a todos los elementos de una fila o columna de una matriz A los multiplicamos por una constante 0≠k , entonces el determinante de la nueva matriz es k veces el determinante de la matriz A. Ejemplo Suponga que se tiene la matriz       = 2221 1211 aa aa A entonces 22122211 aaaaA −=
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 331 Si formamos la matriz       = 2221 1211 aa kaka B (multiplicamos por k a todos los elementos de la primera fila de la matriz A ) entonces AkaaaakakaakaB =−=−= )( 2112221121122211 . En cambio el AkkA n = ¿POR QUÉ? 5. Si a todos los elementos de una fila o columna de una matriz A les sumamos respectivamente k veces otra fila o columna, entonces el determinante no varía. Ejemplo Suponga que se tiene la matriz       = 2221 1211 aa aa A entonces 22122211 aaaaA −= Si formamos la matriz       ++ = 12221121 1211 kaakaa aa B (a los elementos de la segunda fila le adicionamos respectivamente k veces la primera fila) entonces Aaaaa akaaaakaaa kaaakaaaB =−= −−+= +−+= 21122211 1112211212112211 112112122211 )()( Ejercicios Propuestos 13.5 1. Dadas las matrices:       − = 320 121 A y       − = 111 021 B entonces el valor de: ( )t ABdet es: a) 15 b) 35 c) 5 d) 45 e) 25 2. Calcule los siguientes determinantes: a) 001 153 412 − b) 1021 1120 3012 0101 − − − 3. Sean las matrices:       − =      =           =           − − = 32 23 ; 111 111 ; 1 1 0 0 0 1 ; 501 410 123 DCBA , entonces el valor del ( )[ ]DCBA TT −..det es: a) 44− b) 38 c) 38− d) 39 e) 44 4. Los valores de IRx ∈ que satisfacen la ecuación: 60 100 990 23 = −x x xx son:
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 332 a) 5 y 4− b) 5 y 4 c) 5− y 4 d) 5− y 4− e) 0 y 1 5. Los valores de x que satisfacen la ecuación: 3 1 32 001 2 = + − xxx xx , son: a) 3 y 6 b) 6 y 0 c) -1 y 0 d) 6 y -1 e) 3 y 0 6. Al calcular 0 34 201 122 > − x x , se obtiene: a) 0=x b) 5>x c) 0>x d) 3>x e) 2<x 7. El valor del determinante de la matriz               − − − = 01 2 1 23log2 1log18log 3 10 1ln 2 x xx e A es: a) 0 b) 2 c) -6 d) 6 e) -4 13.7 MATRIZ INVERSA Sea A una matriz de nn× . Si existe una matriz 1− ×nnA tal que IAAAA == −− 11 , se dice que A es inversible En este caso a la matriz 1− ×nnA se la llama la matriz inversa de A . Si 1− A existe se dice que A es una matriz no singular. Caso contrario, es decir que 1− A no exista, se dice que A es una matriz singular. Existen varias maneras de calcular matrices inversas, pero aquí solo lo vamos a hacer empleando la siguiente formula: ( )t A A A ˆ11 =− , donde ≡A  Matriz de Cofactores. Esto da lugar el siguiente teorema (Una condición necesaria y suficiente para la existencia de la matriz inversa) Teorema. 1− A existe si y sólo si 0≠A Ejercicio resuelto 1
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 333 De existir, hallar la inversa de la matriz       − − = 54 31 A SOLUCIÓN: Primero empecemos hallando: 7−=A . Este resultado nos indica que si va a existir la matriz inversa. A continuación hallamos la matriz de cofactores       −− −− =      −+− −−+ =         = 13 45 )1()3( )4()5( 2221 1211 AA AA A  Entonces: ( )         =       −− −− −=      −− −− − == − − 7 1 7 4 7 3 7 5 1 1 14 35 7 1 13 45 7 11 A A A A t t Comprobando       =      =            − − =− 10 01 70 07 7 1 14 35 7 1 54 311 AA Ejercicio resuelto 2 De existir, hallar la inversa de la matriz           − = 012 130 201 A El determinante de la matriz es: 11)6(20)1(1 −=−+−=A Y su matriz de cofactores:           +−−+ −−−+− −+−−+ = )3()1()6( )1()4()2( )6()2()1( A  =           −− −− − 316 142 621 Entonces su matriz inversa es:           −− − − =           − −− −− − =           −− −− − − =− 316 142 621 11 1 316 142 621 11 1 316 142 621 11 11 t A Comprobando           =           =           −− − −           − =− 100 010 001 1100 0110 0011 11 1 316 142 621 11 1 012 130 201 1 AA 13.7.1. Propiedades Sean nnA × y nnB × matrices inversibles, entonces: 1. ( ) AA = −− 11
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 334 2. A A 11 =− 3. ( ) ( ) 11 −− = tt AA 4. ( ) 111 −−− = ABAB Ejercicio resuelto 3 Sea X una matriz tal que:       − =      040 321 84 32 X . Entonces X es igual a: a)       − 040 672 b)           − 04 67 02 c)       −−− 341 672 d)           − − 36 47 12 e)       − − 341 672 SOLUCIÓN: Una manera es despejar la matriz x, multiplicando por la inversa a ambos miembros       − =      −− 040 321 84 32 11 AXA A       − =       − = − − 040 321 040 321 1 1 Ax AIx Hallemos la inversa de       = 84 32 A , para lo cual 41216 =−=A y       +− −+ = 23 48 ˆA entonces         − − =      − − =− 2 1 4 3 1 1 2 23 48 4 1 t A Por lo tanto       −−− =      −−− =      −      − − = 341 672 12164 24288 040 321 24 38 4 1 4 1x Respuesta: Opción "c" Ejercicio resuelto 4 Dada la matriz           −− − = kk k kA 31 43 101 los valores de "k" que hacen que la matriz A no tenga inversa, son: a) 2 y 6 b) -2 y 6 c) 2± y 6± d) 2 y -6 e) -2 y -6 Solución: Para que una matriz no tenga inversa se requiere que su determinante sea igual a cero
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 335 ( ) ( )( ) 26 026 0128 0912 0)9(0121 0 31 3 101 2 2 2 4 −=∨−= =++ =++ =−++ =+−−−+ = −− − kk kk kk kkk kkk kk k k RESPUESTA: Opción "e" Ejercicios Propuestos 13.6 1. Dada la matriz A=           − 112 020 312 , la matriz inversa de A es igual a: a)             − −− 2 1 2 1 2 1 0 2 10 4 3 2 1 4 1 b)             − − − 2 10 4 3 2 1 2 1 2 1 2 10 4 1 c)           − −− − 406 444 402 d)           −− − − 222 020 321 e)           −− − − 444 040 642 2. Dadas las matrices:       = 42 31 A y       − − = 13 12 B verifique que ( ) 111 −−− = ABAB 3. Dada la matriz           = 654 021 432 A , una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela: a) 6−=A b)           =+ 12108 042 864 AA c)             −− − −− =− 6 1 3 1 2 1 3 2 3 21 3 4 3 12 1 A d)             −− −− − =− 6 1 3 2 3 4 3 1 3 2 3 1 2 112 1 A e) 48−=+ AA 4. Encuentre la inversa de cada matriz, si existe: a)       − 11 23 b)           − −− 213 112 321 c)           012 120 001 d)           987 654 321 e)               − − − 2103 1111 3032 2111 5. Dada la matriz                 −      − − = 42 2 1 log 131log 14log8log 2 2 22 A . Entonces su MATRIZ INVERSA es:
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 336 a)           −−− − −− −=− 931 8136 3110 31 11 A b)           −− −− −− −=− 983 3131 1610 31 11 A c)           −−− − −− =− 931 8136 3110 31 11 A d)           −− −− −− =− 983 3131 1610 31 11 A e) A no tiene inversa 6. Sea la matríz           = 021 230 312 A , entonces su MATRIZ INVERSA, es: a)           − − − −=− 633 432 764 15 11 A b)           − − − =− 647 336 324 15 11 A c)           − − − −=− 647 336 324 15 11 A d)           − − − =− 633 432 764 15 11 A e) A no tiene inversa 7. Determine la matriz A que hace verdadera la ecuación matricial:           −=           − 10 13 06 10 11 02 A 8. Sea A una matriz tal que       = 32 21 A . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA , identifíquela: a)       = 94 412 A b) 1=A c)        − =− 9 1 4 1 4 1 1 1 A d)       =−+ 1612 124 322 IAA e)         =− 3 1 2 1 2 1 1 1 A 9. Si       −− = 43 32 A , y además,       =− dc ba A 1 , entonces el valor de ( ) ( )da cb − − , es: a) 0 b) -1 c) 1 d) -3 e) 3 10. Dada la matriz           − β −− = 041 20 421 A entonces el valor de IR∈β para que la matriz NO TENGA INVERSA es: a) 0 b) -3 c) -1 d) 2 e)-2 11. Sean las matrices       − =      −− =      − − = 011 321 42 21 , 54 32 CyBA , entonces es cierto que: a)       =− 10 211 B b)       −− = 63 63 CB c)       − − = 2010 164 AB d)             −− −− =− 12 2 3 2 5 1 A e)             − − =− 5 1 1 11 1 A 12. Sea A la matriz:           − −− 305 164 021 entonces es verdad que: a) det(A)=12 b) det(A2)=1 c) det (AT)=1/16 d) det (A-1)=1/10 e) det(ATA-1)=1 Misceláneos 1. Sean las matrices       − − = 51 24 A y       − − = k B 2 14 . El valor de " k " para que BA detdet =
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 337 a) 5 b) 4 c)3 d)2 e)1 2. La matriz X que satisface la ecuación       =      301 243 20 11 X a)         2 1 2 3 2 1 42 0 b)         00 00 2 1 2 1 c)         2 3 2 1 2 1 2 5 0 4 d)       110 111 e)         −− 00 4 2 1 2 1 2 5 3. Sea la matriz           − − = 103 010 207 A Entonces su MATRIZ INVERSA es: a)           =− 703 010 201 1 A b)           −− − −− =− 703 010 201 1 A c)             =− 2 70 2 3 0 2 10 10 2 1 1 A d)           − − = 103 010 207 A e) La matriz A no tiene inversa. 4. Sean las matrices       − − = 113 202 A ,       − − = 211 201 B y           = 05 40 21 C Entonces el VALOR del ( )( )[ ]T CBADet 2− es: a)74 b) 200 c)-100 d)10 e)100 5. Sean A, B y C matrices tales que,           −= 123 110 521 A ,           = 145 026 005 B y           = 241 300 620 C . Entonces es VERDAD que: a) 6det det det 2 −=−      C B A b) CAT detdet = c) ( ) 5det =AB d) T CB detdet = e) A no tiene inversa o B si tiene inversa. 6. Sea la matriz       = 33 24 A . Entonces los VALORES de “ λ ” tal que ( ) 0det =λ− IA , son: a) 1 y 6 b)–1 y –6 c)1 y –6 d)–6 y 1 e) 7 y 6 7. Dada la matriz           −− − = 304 213 012 A , el PRODUCTO DE LOS ELEMENTOS DE LA DIAGONAL PRINCIPAL de 1− A es: a) 343 90− b) 7 90− c) 343 90 d) 343 180− e) 441 90−
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 338 8. El DETERMINANTE de la matriz                 − −= 10210 24204 73113 61011 52122 A es: a) -2 b)0 c)-1 d)1 e)5 9. Sea la matriz       = 01 12 A ; entonces es VERDAD que: a)       = 12 152 A b)       =− 01 021 A c)       = 25 5123 A d) [ ]       =− 10 0121 A e)       =⋅ 02 11 IA 10. La matriz X , tal que:       − =      13 12 43 11 X es: a)       − − = 43 52 X b)       − − = 43 55 X c)       = 01 12 X d)       − − = 42 51 X e)       − = 20 11 X 11. Dadas las matrices:           −= 20 01 21 A y       = 014 131 B y ABC = . Entonces La MATRIZ INVERSA 1− C , es: a)           −−=− 022 130 152 1 C b)           − −=− 011 235 202 1 C c)             −−=− 0 4 1 4 1 8 1 8 30 8 1 8 5 4 1 1 C d)             − −=− 0 8 1 8 1 4 1 8 3 8 5 4 10 4 1 1 C e) La matriz C no tiene inversa. 12. Si el determinante de una matriz A es 16. Entonces es FALSO que: a) La Matriz A tiene inversa. b) La matriz A es una matriz cuadrada. c) La matriz A tiene 2 filas iguales. d) Si B es una matriz que tiene determinante igual a 2, entonces del det(AB)=32. e) El determinante de la matriz inversa 1− A es igual a 16 1 . 13. Sea la matriz           − − = 032 120 111 A entonces su MATRIZ INVERSA 1− A es: a)           − −=− 011 321 201 1 A b)           −− −− − =− 254 122 133 1 A c)           − −− −− =− 211 523 423 1 A d)           =− 100 010 001 1 A e) La matriz A no tiene inversa.
Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes 339 14. Sean A y B matrices tales que:           − − − = 212 110 211 A y           − −= 111 201 321 B , entonces el valor de ( )ABDet es: a)-35 b)7 c)-7 d)-5 e)35

Más contenido relacionado

PPTX
Propiedades de la integral definida
porMirna Cuautle
 
PDF
Cap 5 numeros
pornivelacion008
 
PDF
Cap 2 conjuntos
pornivelacion008
 
PDF
Arreglos o dimensiones en pseint
porDon Augusto
 
PPTX
Demostracion derivada
porMicrositeWS
 
PPT
7 Operaciones Con Funciones
porAlfa Velásquez Espinoza
 
DOCX
Ejercicios propuestos de dependencia e independencia lineal
poralgebra
 
PPT
Intervalos ejercios resueltos 1
porOmar Ramirez Acevedo
 
Propiedades de la integral definida
porMirna Cuautle
 
Cap 5 numeros
pornivelacion008
 
Cap 2 conjuntos
pornivelacion008
 
Arreglos o dimensiones en pseint
porDon Augusto
 
Demostracion derivada
porMicrositeWS
 
7 Operaciones Con Funciones
porAlfa Velásquez Espinoza
 
Ejercicios propuestos de dependencia e independencia lineal
poralgebra
 
Intervalos ejercios resueltos 1
porOmar Ramirez Acevedo
 

La actualidad más candente

DOC
Ejemplos metodo-de-lagrange1-ajustar-a-mat-3
porshirleyrojas2108
 
PDF
SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO I - EDUARDO ESPINOZA RAMOS
porGLIMEL YANAPA
 
PDF
Integral indefinida
porcamelro797
 
PDF
Tabla de derivadas
porJuan Paez
 
PPSX
Fórmula de cardano para cúbicas
porIgnacio Larrosa
 
DOCX
Desigualdades de primer grado (simples y dobles)
porAlisson Mora
 
PPTX
Bases de datos dinamicas y estaticas
porJeisonGrajales
 
ODP
Dominio y rango de funciones con restricciones
porMagiserio
 
PDF
Funciones ejercicios resueltos
porTamara Loyola Dìaz
 
DOCX
Arboles En Estructura de Datos
porDARKGIRL93
 
DOCX
CLASE 2.1 UNIT 2 - Función biyectiva e inversa.docx
porManuel Ortiz
 
PDF
Ejercicios de limites indeterminados
portinardo
 
DOCX
Monografia de mate 3 imprimir 2
porBrigitt Nicoll Salinas
 
PDF
Taller general sistemas de ecuaciones lineales ejercicios para resolver
porMarvy Henao
 
PPSX
Ecuaciones diferenciales homogeneas
porAlexCoeto
 
PDF
CINEMATICA
porjeffersson2031
 
PDF
Metodologia de la programación - expresiones
porMar_Angeles
 
PPTX
Pruebas de escritorio
porVideoconferencias UTPL
 
DOC
Problemas de analisis dimensional
porjo3migu3l21
 
PDF
Ejercicios de dominio y rango de funciones
porElidapastoraHernndez
 
Ejemplos metodo-de-lagrange1-ajustar-a-mat-3
porshirleyrojas2108
 
SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO I - EDUARDO ESPINOZA RAMOS
porGLIMEL YANAPA
 
Integral indefinida
porcamelro797
 
Tabla de derivadas
porJuan Paez
 
Fórmula de cardano para cúbicas
porIgnacio Larrosa
 
Desigualdades de primer grado (simples y dobles)
porAlisson Mora
 
Bases de datos dinamicas y estaticas
porJeisonGrajales
 
Dominio y rango de funciones con restricciones
porMagiserio
 
Funciones ejercicios resueltos
porTamara Loyola Dìaz
 
Arboles En Estructura de Datos
porDARKGIRL93
 
CLASE 2.1 UNIT 2 - Función biyectiva e inversa.docx
porManuel Ortiz
 
Ejercicios de limites indeterminados
portinardo
 
Monografia de mate 3 imprimir 2
porBrigitt Nicoll Salinas
 
Taller general sistemas de ecuaciones lineales ejercicios para resolver
porMarvy Henao
 
Ecuaciones diferenciales homogeneas
porAlexCoeto
 
CINEMATICA
porjeffersson2031
 
Metodologia de la programación - expresiones
porMar_Angeles
 
Pruebas de escritorio
porVideoconferencias UTPL
 
Problemas de analisis dimensional
porjo3migu3l21
 
Ejercicios de dominio y rango de funciones
porElidapastoraHernndez
 

Destacado

PDF
Cap16 func trigon
pornivelacion008
 
PDF
Cap14 siste. linel.
pornivelacion008
 
PDF
C ap15 circunferencia
pornivelacion008
 
PDF
Cap 1 logica
pornivelacion008
 
PDF
Cap17 geometría plana
pornivelacion008
 
PDF
Cap12 vectores
pornivelacion008
 
PDF
Cap 6 ecuaciones
pornivelacion008
 
PDF
Cap10 func exponencial
pornivelacion008
 
PDF
Cap 8 numeros naturales
pornivelacion008
 
PDF
Cap 4 relaciones y funciones
pornivelacion008
 
PDF
Cap11 polinomiales
pornivelacion008
 
PDF
Cap 7 desigualdades
pornivelacion008
 
PDF
Cap 9 función de una variable real
pornivelacion008
 
PDF
Cap 3 logica y conjuntos
pornivelacion008
 
PDF
Respuestas De Las Derivadas
porERICK CONDE
 
PDF
Respuestas.ejercicios
porRomulo Sevilla
 
PDF
Solucionario fundamentos matematicas ESPOL
porSteeven Rafael Pinargote
 
Cap16 func trigon
pornivelacion008
 
Cap14 siste. linel.
pornivelacion008
 
C ap15 circunferencia
pornivelacion008
 
Cap 1 logica
pornivelacion008
 
Cap17 geometría plana
pornivelacion008
 
Cap12 vectores
pornivelacion008
 
Cap 6 ecuaciones
pornivelacion008
 
Cap10 func exponencial
pornivelacion008
 
Cap 8 numeros naturales
pornivelacion008
 
Cap 4 relaciones y funciones
pornivelacion008
 
Cap11 polinomiales
pornivelacion008
 
Cap 7 desigualdades
pornivelacion008
 
Cap 9 función de una variable real
pornivelacion008
 
Cap 3 logica y conjuntos
pornivelacion008
 
Respuestas De Las Derivadas
porERICK CONDE
 
Respuestas.ejercicios
porRomulo Sevilla
 
Solucionario fundamentos matematicas ESPOL
porSteeven Rafael Pinargote
 

Similar a Cap13 matrices

PDF
kupdf.net_matrices-operaciones.pdf
porAlbertQuimper
 
DOC
Matrices
porMario Cesar Huallanca Contreras
 
PPTX
Matrices y determinantes
porJoanemarie28
 
PPTX
MATRICES Y DETERMINANTES.pptx,,,,,,,,,,,
porjnunezmontecinos
 
PDF
Algebra lineal 1
porCristina Somalla Irigollen
 
PPT
Matrices y determinantes
porwashingtonna
 
PDF
Matrices y sus Aplicaciones.pdf
porJudyMaca1
 
PDF
Álgebra Lineal (Escuela Politécnica Nacional)
porNO HAY COSAS IMPOSIBLES, SOLO PERSONAS INCAPACES.
 
PDF
Algebra lineal toro
porKumarsito Vivas
 
PDF
Algebra lineal
porAndreitashuguli
 
PDF
Libro de cueva toro
porscraily abg
 
PDF
Teoría de matrices ,matemática 1 para practicar
porTheboy30
 
PDF
1 MATRICES.pdf. La noción de matriz es útil como método simplificado para r...
pormchavezr241
 
PDF
Matrices y sus aplicaciones
porRaúl Monroy Pamplona
 
PPTX
Matrices y sus aplicaciones en un entorno cotidiano
porGerby2010
 
PDF
Matrices
porTrabajo en mi casa ;; Haciendo nada &i de gratis xDD
 
PDF
Matrices
porCarlos Luis Morales
 
PDF
Determinantes con matrices
porCrist Oviedo
 
PDF
Matrices
porCarlos Morales
 
PPTX
Fundamentos matrices y determinantes
porReybertS
 
kupdf.net_matrices-operaciones.pdf
porAlbertQuimper
 
Matrices
porMario Cesar Huallanca Contreras
 
Matrices y determinantes
porJoanemarie28
 
MATRICES Y DETERMINANTES.pptx,,,,,,,,,,,
porjnunezmontecinos
 
Algebra lineal 1
porCristina Somalla Irigollen
 
Matrices y determinantes
porwashingtonna
 
Matrices y sus Aplicaciones.pdf
porJudyMaca1
 
Álgebra Lineal (Escuela Politécnica Nacional)
porNO HAY COSAS IMPOSIBLES, SOLO PERSONAS INCAPACES.
 
Algebra lineal toro
porKumarsito Vivas
 
Algebra lineal
porAndreitashuguli
 
Libro de cueva toro
porscraily abg
 
Teoría de matrices ,matemática 1 para practicar
porTheboy30
 
1 MATRICES.pdf. La noción de matriz es útil como método simplificado para r...
pormchavezr241
 
Matrices y sus aplicaciones
porRaúl Monroy Pamplona
 
Matrices y sus aplicaciones en un entorno cotidiano
porGerby2010
 
Matrices
porTrabajo en mi casa ;; Haciendo nada &i de gratis xDD
 
Matrices
porCarlos Luis Morales
 
Determinantes con matrices
porCrist Oviedo
 
Matrices
porCarlos Morales
 
Fundamentos matrices y determinantes
porReybertS
 

Último

PDF
Filemón 1 (1a. Parte) El amor y la fe de Filemón. Por Humberto Rendon.pdf
porHumberto Rendon
 
PDF
Gestion de Emociones y Las Estrategias Docentes en el Acoso Escolar Ccesa007...
porDemetrio Ccesa Rayme
 
PDF
Física 2° Educacion Secundaria Editorial Ingenio Ccesa007.pdf
porDemetrio Ccesa Rayme
 
PDF
HIDRAULICA DE CANALES - DISEÑO DE CANALES (1).pdf
pormichaelccahuaniancco
 
PDF
Reporte Evento DevFest Sucre 2025 GDG Sucre
porGDGSucre
 
PDF
Curriculum Vitae CV Yamile Jimenez B.pdf
por424003054
 
PDF
Gestion de Emociones y el Acoso Escolar Ccesa007.pdf
porDemetrio Ccesa Rayme
 
DOCX
Tabla comparativa_ Material didáctico y Recurso didáctico.docx
porbenjafob
 
PPTX
DIAPOSITIVAS PRIMEROS AUXILIOS CLASE 17/01/2026
porAngieSalagata
 
PPTX
PRESENTACIÓN SOBRE EL ARTE PRERROMÁNICO Y ROMÁNICO PENINSULAR
porprofeRafa7
 
PDF
Algebra de Funciones Algebraicas MB1 Ccesa007.pdf
porDemetrio Ccesa Rayme
 
PDF
Cuadrocomparativomaterialyrecursoautores.pdf
porChristian Erik López Álvarez
 
PDF
La Estrategia de la Negociacion Alejandro Hernandez Ccesa007.pdf
porDemetrio Ccesa Rayme
 
PPTX
EL MODELO BIOPSICOSOCIAL Y LA COMUNICACION pptx
porGlendysd
 
PDF
Cuadro Comparativo- Yamile Jimenez Bautista...pdf
por424003054
 
PPTX
El reino de los hongos, por Irene Zaragoza
porIreneZaragoza1
 
PDF
Crecimiento 1. Clase 5.pdf. Estudio para persona que estan en el discipulado
poradanportillo64
 
PDF
Física 3° Secundaria Editorial Ingenio Ccesa007.pdf
porDemetrio Ccesa Rayme
 
PDF
Innovaciones Educativas Enseñar distinto en nuevos escenarios Ccesa007.pdf
porDemetrio Ccesa Rayme
 
PDF
Los Lideres comen al final - Simon Sinek Ccesa007.pdf
porDemetrio Ccesa Rayme
 
Filemón 1 (1a. Parte) El amor y la fe de Filemón. Por Humberto Rendon.pdf
porHumberto Rendon
 
Gestion de Emociones y Las Estrategias Docentes en el Acoso Escolar Ccesa007...
porDemetrio Ccesa Rayme
 
Física 2° Educacion Secundaria Editorial Ingenio Ccesa007.pdf
porDemetrio Ccesa Rayme
 
HIDRAULICA DE CANALES - DISEÑO DE CANALES (1).pdf
pormichaelccahuaniancco
 
Reporte Evento DevFest Sucre 2025 GDG Sucre
porGDGSucre
 
Curriculum Vitae CV Yamile Jimenez B.pdf
por424003054
 
Gestion de Emociones y el Acoso Escolar Ccesa007.pdf
porDemetrio Ccesa Rayme
 
Tabla comparativa_ Material didáctico y Recurso didáctico.docx
porbenjafob
 
DIAPOSITIVAS PRIMEROS AUXILIOS CLASE 17/01/2026
porAngieSalagata
 
PRESENTACIÓN SOBRE EL ARTE PRERROMÁNICO Y ROMÁNICO PENINSULAR
porprofeRafa7
 
Algebra de Funciones Algebraicas MB1 Ccesa007.pdf
porDemetrio Ccesa Rayme
 
Cuadrocomparativomaterialyrecursoautores.pdf
porChristian Erik López Álvarez
 
La Estrategia de la Negociacion Alejandro Hernandez Ccesa007.pdf
porDemetrio Ccesa Rayme
 
EL MODELO BIOPSICOSOCIAL Y LA COMUNICACION pptx
porGlendysd
 
Cuadro Comparativo- Yamile Jimenez Bautista...pdf
por424003054
 
El reino de los hongos, por Irene Zaragoza
porIreneZaragoza1
 
Crecimiento 1. Clase 5.pdf. Estudio para persona que estan en el discipulado
poradanportillo64
 
Física 3° Secundaria Editorial Ingenio Ccesa007.pdf
porDemetrio Ccesa Rayme
 
Innovaciones Educativas Enseñar distinto en nuevos escenarios Ccesa007.pdf
porDemetrio Ccesa Rayme
 
Los Lideres comen al final - Simon Sinek Ccesa007.pdf
porDemetrio Ccesa Rayme
 

Cap13 matrices

  • 1.
    Moisés Villena MuñozMatrices y Determinantes 317 13 13.1 DEFINICIÓN 13.2 DIMENSIÓN 13.3 CLASES DE MATRICES 13.4 IGUALDAD DE MATRICES 13.5 OPERACIONES 13.6 DETERMINANTE 13.7 MATRIZ INVERSA Los arreglos matriciales permiten estructurar muchos contenidos matemáticos. De allí su importancia de estudio en este capítulo.
  • 2.
    Moisés Villena MuñozMatrices y Determinantes 318 OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:  Defina arreglo matricial.  Defina matrices cuadradas, matriz identidad, matrices triangulares superior e inferior, matrices diagonales, matrices simétricas.  Aplique operatoria elemental con matrices: suma, resta, multiplicación por escalares, multiplicación entre matrices.  Halle determinantes de matrices.  Aplique las propiedades de los determinantes para ejercicios conceptuales.  Justifique la existencia de la inversa de una matriz  Determine, de existir, la inversa de una matriz. 13.1 DEFINICIÓN Una matriz es un arreglo rectangular de números. Se acostumbra denotar a una matriz con letras del abecedario, en mayúscula. nglón R R R R aaaa aaaa aaaa aaaa A CCCC Columna mmnmmm n n n n Re 3 2 1 321 3333231 2232221 1131211 321        →                 = ↓ A los arreglos horizontales se los denominan renglones o filas. A los arreglos verticales se los denominan columnas. Al número ija se lo denomina elemento de la matriz, donde " i " (el primer número del subíndice) indica la fila en donde se encuentra el elemento y " j " (el segundo número del subíndice) indica la columna en que se encuentra el elemento, es decir: 13.2 DIMENSIÓN La dimensión de una matriz está dada por la cantidad de filas y la cantidad de columnas que posea. Al decir nmA × , se indica que A es una matriz que tiene m filas y n columnas.
  • 3.
    Moisés Villena MuñozMatrices y Determinantes 319
  • 4.
    Moisés Villena MuñozMatrices y Determinantes 320 Ejemplos 32 201 312 ×       − − =A A→ es una matriz que tiene 2 filas y 3 columnas. 33 321 210 321 ×           − −− =B B→ es una matriz que tiene 3 filas y 3 columnas. Ejercicio Propuesto 13.1 1. Determine la matriz ( )ijaA =×34 para la cual 2−+= jiaij . [SUGERENCIA: por ejemplo con objeto de calcular 21a , haga 2=i y 1=j en la fórmula 121221 =−+=a ]. 13.3 CLASES DE MATRICES 13.3.1 MATRIZ CUADRADA Una matriz nmA × es cuadrada si y sólo sí nm = . Es decir una matriz cuadrada tiene igual cantidad de filas que de columnas y se lo denota como nnA × . Cuando una matriz es cuadrada surge la definición de Diagonal Principal para los elementos ija donde ji = . Así como también aparecen las siguientes clases de matrices: 13.3.1.1 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR Una matriz cuadrada es triangular superior cuando los elementos que están bajo la diagonal principal son todos ceros.                 =× nnnnn n n n nn aaaa aaaa aaaa aaaa A      321 3333231 2232221 1131211 Diagonal Principal                 =× nn n n n nn a aa aaa aaaa A      000 00 0 333 22322 1131211
  • 5.
    Moisés Villena MuñozMatrices y Determinantes 321 13.3.1.2 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR Una matriz cuadrada es triangular inferior cuando los elementos que están sobre la diagonal principal son todos ceros. 13.3.1.3 MATRIZ DIAGONAL Una matriz cuadrada es diagonal cuando los elementos que están sobre y bajo la diagonal principal son todos iguales a cero. 13.3.1.4 MATRIZ IDENTIDAD Es una matriz diagonal que tiene al número 1 en toda la diagonal principal. 13.3.1.5 MATRIZ CERO Es la matriz que tiene todos sus elementos cero. Puede ser cuadrada como puede no serlo.                 =× nnnnn nn aaaa aaa aa a A      321 333231 2221 11 0 00 000                 =× nn nn a a a a A      000 000 000 000 33 22 11                 == ×× 1000 0100 0010 0001      nnnn IA
  • 6.
    Moisés Villena MuñozMatrices y Determinantes 322 13.4 IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices nmA × y nmB × son iguales si y sólo si: ijij ba = Es decir, sus elementos respectivos son iguales. Ejercicios propuestos 13.2 1. Determine los valores de las variables para los cuales las ecuaciones matriciales siguientes se satisfacen: a)       =      43 21 3 2 y x b)           − − + =           − +           − − 150 325 172 2 43 11 31 12 43 w v yu x t z y x 2. Dadas las matrices:           + +−+ = 243 012 4232 3 2321 k kkkk A y           = 043 012 232 B entonces el valor de 321 kkk ++ , tal que BA = , es: a) 4 5 − b) 3 2 − c) 3 d) 2 1 e) 2 3 13.5 OPERACIONES 13.5.1 SUMA Sean BA ∧ dos matrices de nm × , entonces: nmnmnm CBA ××× =+ , donde ijijij bac += Los elementos de la matriz C se los obtiene sumando algebraicamente los elementos de la matriz A con los respectivos elementos de la matriz B . Ejemplo Sean las matrices 32 321 112 ×       − =A y 32 312 101 ×       −− − =B hallar BAC += . SOLUCIÓN:
  • 7.
    Moisés Villena MuñozMatrices y Determinantes 323 32 3232 031 211 )3(312)2(1 1101)1(2 312 101 321 112 × ××       − − =      −++−+ ++−−+ =       −− − +      − =+= C BAC 13.5.1.1 PROPIEDADES Sean nmA × , nmB × y nmC × , matrices. Entonces: 1. ABBA +=+ 2. ( ) ( )CBACBA ++=++ 3. AA =+ 0 , donde ≡×nm0 Matriz Cero 4. ( ) 0=−+ AA 13.5.2 MULTIPLICACIÓN POR ESCALARES Sea IR∈α y la matriz nmA × , entonces: nmnm CA ×× =α , donde ijij ac α= Los elementos de la matriz C se los obtiene multiplicando por la constante α a los elementos de la matriz A . Ejemplo Si tenemos la matriz       − = 321 012 A , entonces:       − =      − =      − == 642 024 )2(3)2(2)2(1 )2(0)2(1)2(2 321 012 22AC 13.5.2.1 PROPIEDADES Sean nmA × y nmB × matrices; y IR∈βα, , entonces: 1. ( ) BABA α+α=+α 2. ( ) ( ) ( )AAA αβ=βα=αβ
  • 8.
    Moisés Villena MuñozMatrices y Determinantes 324 13.5.3 MULTIPLICACIÓN ENTRE MATRICES Sea A una matriz de nm × y sea B una matriz de qn× ( la cantidad de columnas de la matriz A igual a la cantidad de filas de la matriz B ) entonces: qmqnnm CBA ××× = donde njinjijijiij babababac ++++= 332211 Es decir, el elemento ijc se lo obtiene sumando algebraicamente los resultados de la multiplicación de los elementos de la fila i de la matriz A con los respectivos elementos de la columna j de B . Ejemplo Para las matrices 32 321 112 ×       − =A y 33 111 320 111 ×           −− − =B Obtengamos la matriz ABC = Primero observe que, sí es posible obtener la matriz C , porque la matriz A tiene 3 columnas y la matriz B tiene 3 filas. Entonces: 32232221 131211 323332 × ×××       == ccc ccc CBA 6)1)(1()3)(1()1)(2( 5)1)(1()2)(1()1)(2( 1)1)(1()0)(1()1)(2( 13 12 11 =+−−+= =+−−+= −=+−+−= c c c 2)1)(3()3)(2()1)(1( 0)1)(3()2)(2()1)(1( 2)1)(3()0)(2()1)(1( 23 22 21 −=+−+= =+−+= =++−= c c c Por lo tanto:       − − =× 202 651 32C 13.5.3.1 PROPIEDADES Sea IR∈α y CBA ,, matrices. Entonces: 1. ( ) ACABCBA +=+ 2. AAI = 3. ( ) ( )BABAAB α=α=α
  • 9.
    Moisés Villena MuñozMatrices y Determinantes 325 4. ( ) ( )BCACAB = Las dimensiones de las matrices CBA ,, deben ser tales que se puedan realizar las operaciones indicadas. Note que AB no siempre es igual a BA ¿PORQUÉ? Ejercicio Resuelto Si se tienen las matrices               −−− − −− = 23 2 3 201 2 k kkA y             −− −− −− = 321 3 1102 5 3 k k k kB , entonces el valor de " k " para que la matriz AB sea una MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR es a) 1− b) 0 c) 3 d) 2− e) 1 SOLUCIÓN: Al multiplicar la matriz 33×A con la matriz 33×B resulta una matriz 33×C . El asunto es que 33×C sea triangular superior, entonces 000 323121 =∧=∧= ccc . Es decir: 3333 2322 131211 333333 00 0 × ×××           == c cc ccc CBA 032)1)(3())(()2)(( 2 21 =−−=−+−−+−= kkkkkc 045)2)(2())(3()10( 023)1)(2())(3()2( 32 3232 2 231 32 2 =++=−−+−−+−    −= =++=−−+−−+−    −= kkkkc kkkc kk k Las 3 ecuaciones proporcionan diferentes soluciones 1. ( )( ) 13 013 0322 −=∨= =+− =−− kk kk kk 2. ( )( ) 12 012 0232 −=∨−= =++ =++ kk kk kk 3. ( )( ) 140 014 0)45( 045 2 23 −=∨−=∨= =++ =++ =++ kkk kkk kkk kkk Observe que sólo 1−=k satisface las tres condiciones, por tanto RESPUESTA: Opción "a" Ejercicios Propuestos 13.3 1. Efectuar las operaciones: a)       − − +      − 821 210 741 312 b)           − − − +           − 301 423 210 3 654 012 321 2 c)                     −− 3 2 1 654 321 132 d)       − −          −       12 13 30 42 01 654 321
  • 10.
    Moisés Villena MuñozMatrices y Determinantes 326 2. Calcule IAA 322 −+ para       = 32 21 A 3. Al multiplicar la matriz       = dc ba A por la matriz       − = 04 33 B se obtiene la matriz       −− −− = 62 31 C , entonces la SUMA de dcba +++ es: a) 0 b) 6 c) 2 d) 4 e) 3 4. Considerando las siguientes matrices: ( )304; 3 1 2 ; 3 3 21 04 ; 4 2 30 11 =           −=      − −− =      − = DCBA . Determine ¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA? a)       − − − =+ 7 1 11 15 BA b)           −−= 9012 304 608 CD c) CA + no está definida d)       = 9 9 AD e) Elija esta opción si todas las anteriores proposiciones son verdaderas. 5. Dadas las matrices:       = 43 21 A y       −− − = 23 12 B encuentre: a) ( )2 BA + b) 22 2 BABA ++ 6. Sean las matrices:       − = 1 1 q p A y       − − = 12 11 B encuentre " p " y " q " para que ( ) 222 BABA +=+ . 13.5.4 MATRIZ TRANSPUESTA Sea ( )ijaA = una matriz de nm × . Entonces su matriz transpuesta, denotada como ( )ji t aA = , es de mn× y se obtiene tomando las filas de la matriz A como columnas para la matriz t A y por ende las columnas de la matriz A serán las filas de la matriz t A . Ejemplo La matriz transpuesta para la matriz 32 321 112 ×       − =A es 23 31 21 12 ×           −=t A
  • 11.
    Moisés Villena MuñozMatrices y Determinantes 327 13.5.4.1 PROPIEDADES Sean nmA × y nmB × matrices, entonces: 1. ( ) AA tt = 2. ( ) ttt BABA +=+ 3. ( ) ttt ABAB = MATRIZ SIMÉTRICA Una matriz nnA × es simétrica si y sólo si AAt = Para que una matriz sea simétrica se debe cumplir que jiij aa = Ejemplo La matriz           −− − = 213 102 321 A es simétrica porque AAt =           −− − = 213 102 321 Ejercicio Propuesto 13.4 1. Sea la matriz           = 410 538 642 A , la SUMA de los ELEMENTOS de la diagonal principal de la matriz ( )t AA −24 es: a) 36 b) 12 c) 16 d) 8 e) 9 13.6 DETERMINANTE
  • 12.
    Moisés Villena MuñozMatrices y Determinantes 328 Sea A una matriz de nn× . El DETERMINANTE de A, denotado por A o también Adet , se define de la siguiente manera: 1. Si [ ] 111111 aAaA =→=× 2. Si 21122211 2221 1211 22 aaaaA aa aa A −=→      =× 3. Si 13 13 12 12 11 11 333231 232221 131211 33 AaAaAaA aaa aaa aaa A ++=→                 =× Donde ij A se llama cofactor y se define como: Entonces 3231 2221 13 3331 2321 12 3332 2322 11 aa aa a aa aa a aa aa aA +−= NOTA: Se puede emplear cualquier fila o columna. ¿Cómo sería el determinante? La forma mencionada para hallar el determinante se llama MÉTODO DE MENORES. Si embargo existen otros métodos que podrían emplearse. Este método es general. Sirve para matrices de mayor orden, 44× Ejemplo Hallar el determinante de la matriz           −= 001 153 412 A SOLUCIÓN: Note que es mejor emplear la última fila porque tiene algunos ceros, entonces
  • 13.
    Moisés Villena MuñozMatrices y Determinantes 329 53 12 0 13 42 0 15 41 1 001 153 412 + − − − =−=A [ ] 21)5)(4()1)(1(1 00 15 41 1 −=−−= ++ − = A A 13.6.1. PROPIEDADES Sean nnA × y nnB × matrices, entonces: 1. BAAB = 2. AAt = Pregunta: BABA +=+ ¿Si o no? Justifique su respuesta. 13.6.2 OTRAS PROPIEDADES 1. Si una matriz es triangular superior, triangular inferior o diagonal entonces su determinante es igual a la multiplicación de los elementos de la diagonal principal. Ejemplo Para la matriz triangular superior           − − = 300 410 5102 A calculando su determinante por el método de menores, empleando la primera columna, tenemos: [ ] 6)3)(1)(2()0)(4()3)(1(200 30 41 2 −=−=−−=+− − =A . ¡Generalícelo! 2. Si una matriz tiene 2 filas o columnas iguales o múltiplos entonces su determinante es igual a "0". Ejemplo
  • 14.
    Moisés Villena MuñozMatrices y Determinantes 330 Al hallar el determinante de la matriz       −− = 62 31 A cuya segunda fila es 2− veces la primera, encontramos que: 0 )2)(3()6)(1( = −−−= A A Lo mismo ocurre con esta matriz                 −− −− −− − − = 19031 06121 13212 20101 56321 A , note que la cuarta columna es el triplo de la segunda, por lo tanto 0=A ¡Generalícelo! 3. Si se intercambian 2 filas o columnas en una matriz entonces su determinante cambia de signo. Ejemplo Suponga que se tiene la matriz       − − = 54 31 A entonces 7125 −=−=A Si formamos la matriz       − − = 31 54 B (intercambiamos las filas de la matriz A ) entonces 7512 =−=B . ¡Generalícelo! 4. Si a todos los elementos de una fila o columna de una matriz A los multiplicamos por una constante 0≠k , entonces el determinante de la nueva matriz es k veces el determinante de la matriz A. Ejemplo Suponga que se tiene la matriz       = 2221 1211 aa aa A entonces 22122211 aaaaA −=
  • 15.
    Moisés Villena MuñozMatrices y Determinantes 331 Si formamos la matriz       = 2221 1211 aa kaka B (multiplicamos por k a todos los elementos de la primera fila de la matriz A ) entonces AkaaaakakaakaB =−=−= )( 2112221121122211 . En cambio el AkkA n = ¿POR QUÉ? 5. Si a todos los elementos de una fila o columna de una matriz A les sumamos respectivamente k veces otra fila o columna, entonces el determinante no varía. Ejemplo Suponga que se tiene la matriz       = 2221 1211 aa aa A entonces 22122211 aaaaA −= Si formamos la matriz       ++ = 12221121 1211 kaakaa aa B (a los elementos de la segunda fila le adicionamos respectivamente k veces la primera fila) entonces Aaaaa akaaaakaaa kaaakaaaB =−= −−+= +−+= 21122211 1112211212112211 112112122211 )()( Ejercicios Propuestos 13.5 1. Dadas las matrices:       − = 320 121 A y       − = 111 021 B entonces el valor de: ( )t ABdet es: a) 15 b) 35 c) 5 d) 45 e) 25 2. Calcule los siguientes determinantes: a) 001 153 412 − b) 1021 1120 3012 0101 − − − 3. Sean las matrices:       − =      =           =           − − = 32 23 ; 111 111 ; 1 1 0 0 0 1 ; 501 410 123 DCBA , entonces el valor del ( )[ ]DCBA TT −..det es: a) 44− b) 38 c) 38− d) 39 e) 44 4. Los valores de IRx ∈ que satisfacen la ecuación: 60 100 990 23 = −x x xx son:
  • 16.
    Moisés Villena MuñozMatrices y Determinantes 332 a) 5 y 4− b) 5 y 4 c) 5− y 4 d) 5− y 4− e) 0 y 1 5. Los valores de x que satisfacen la ecuación: 3 1 32 001 2 = + − xxx xx , son: a) 3 y 6 b) 6 y 0 c) -1 y 0 d) 6 y -1 e) 3 y 0 6. Al calcular 0 34 201 122 > − x x , se obtiene: a) 0=x b) 5>x c) 0>x d) 3>x e) 2<x 7. El valor del determinante de la matriz               − − − = 01 2 1 23log2 1log18log 3 10 1ln 2 x xx e A es: a) 0 b) 2 c) -6 d) 6 e) -4 13.7 MATRIZ INVERSA Sea A una matriz de nn× . Si existe una matriz 1− ×nnA tal que IAAAA == −− 11 , se dice que A es inversible En este caso a la matriz 1− ×nnA se la llama la matriz inversa de A . Si 1− A existe se dice que A es una matriz no singular. Caso contrario, es decir que 1− A no exista, se dice que A es una matriz singular. Existen varias maneras de calcular matrices inversas, pero aquí solo lo vamos a hacer empleando la siguiente formula: ( )t A A A ˆ11 =− , donde ≡A  Matriz de Cofactores. Esto da lugar el siguiente teorema (Una condición necesaria y suficiente para la existencia de la matriz inversa) Teorema. 1− A existe si y sólo si 0≠A Ejercicio resuelto 1
  • 17.
    Moisés Villena MuñozMatrices y Determinantes 333 De existir, hallar la inversa de la matriz       − − = 54 31 A SOLUCIÓN: Primero empecemos hallando: 7−=A . Este resultado nos indica que si va a existir la matriz inversa. A continuación hallamos la matriz de cofactores       −− −− =      −+− −−+ =         = 13 45 )1()3( )4()5( 2221 1211 AA AA A  Entonces: ( )         =       −− −− −=      −− −− − == − − 7 1 7 4 7 3 7 5 1 1 14 35 7 1 13 45 7 11 A A A A t t Comprobando       =      =            − − =− 10 01 70 07 7 1 14 35 7 1 54 311 AA Ejercicio resuelto 2 De existir, hallar la inversa de la matriz           − = 012 130 201 A El determinante de la matriz es: 11)6(20)1(1 −=−+−=A Y su matriz de cofactores:           +−−+ −−−+− −+−−+ = )3()1()6( )1()4()2( )6()2()1( A  =           −− −− − 316 142 621 Entonces su matriz inversa es:           −− − − =           − −− −− − =           −− −− − − =− 316 142 621 11 1 316 142 621 11 1 316 142 621 11 11 t A Comprobando           =           =           −− − −           − =− 100 010 001 1100 0110 0011 11 1 316 142 621 11 1 012 130 201 1 AA 13.7.1. Propiedades Sean nnA × y nnB × matrices inversibles, entonces: 1. ( ) AA = −− 11
  • 18.
    Moisés Villena MuñozMatrices y Determinantes 334 2. A A 11 =− 3. ( ) ( ) 11 −− = tt AA 4. ( ) 111 −−− = ABAB Ejercicio resuelto 3 Sea X una matriz tal que:       − =      040 321 84 32 X . Entonces X es igual a: a)       − 040 672 b)           − 04 67 02 c)       −−− 341 672 d)           − − 36 47 12 e)       − − 341 672 SOLUCIÓN: Una manera es despejar la matriz x, multiplicando por la inversa a ambos miembros       − =      −− 040 321 84 32 11 AXA A       − =       − = − − 040 321 040 321 1 1 Ax AIx Hallemos la inversa de       = 84 32 A , para lo cual 41216 =−=A y       +− −+ = 23 48 ˆA entonces         − − =      − − =− 2 1 4 3 1 1 2 23 48 4 1 t A Por lo tanto       −−− =      −−− =      −      − − = 341 672 12164 24288 040 321 24 38 4 1 4 1x Respuesta: Opción "c" Ejercicio resuelto 4 Dada la matriz           −− − = kk k kA 31 43 101 los valores de "k" que hacen que la matriz A no tenga inversa, son: a) 2 y 6 b) -2 y 6 c) 2± y 6± d) 2 y -6 e) -2 y -6 Solución: Para que una matriz no tenga inversa se requiere que su determinante sea igual a cero
  • 19.
    Moisés Villena MuñozMatrices y Determinantes 335 ( ) ( )( ) 26 026 0128 0912 0)9(0121 0 31 3 101 2 2 2 4 −=∨−= =++ =++ =−++ =+−−−+ = −− − kk kk kk kkk kkk kk k k RESPUESTA: Opción "e" Ejercicios Propuestos 13.6 1. Dada la matriz A=           − 112 020 312 , la matriz inversa de A es igual a: a)             − −− 2 1 2 1 2 1 0 2 10 4 3 2 1 4 1 b)             − − − 2 10 4 3 2 1 2 1 2 1 2 10 4 1 c)           − −− − 406 444 402 d)           −− − − 222 020 321 e)           −− − − 444 040 642 2. Dadas las matrices:       = 42 31 A y       − − = 13 12 B verifique que ( ) 111 −−− = ABAB 3. Dada la matriz           = 654 021 432 A , una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela: a) 6−=A b)           =+ 12108 042 864 AA c)             −− − −− =− 6 1 3 1 2 1 3 2 3 21 3 4 3 12 1 A d)             −− −− − =− 6 1 3 2 3 4 3 1 3 2 3 1 2 112 1 A e) 48−=+ AA 4. Encuentre la inversa de cada matriz, si existe: a)       − 11 23 b)           − −− 213 112 321 c)           012 120 001 d)           987 654 321 e)               − − − 2103 1111 3032 2111 5. Dada la matriz                 −      − − = 42 2 1 log 131log 14log8log 2 2 22 A . Entonces su MATRIZ INVERSA es:
  • 20.
    Moisés Villena MuñozMatrices y Determinantes 336 a)           −−− − −− −=− 931 8136 3110 31 11 A b)           −− −− −− −=− 983 3131 1610 31 11 A c)           −−− − −− =− 931 8136 3110 31 11 A d)           −− −− −− =− 983 3131 1610 31 11 A e) A no tiene inversa 6. Sea la matríz           = 021 230 312 A , entonces su MATRIZ INVERSA, es: a)           − − − −=− 633 432 764 15 11 A b)           − − − =− 647 336 324 15 11 A c)           − − − −=− 647 336 324 15 11 A d)           − − − =− 633 432 764 15 11 A e) A no tiene inversa 7. Determine la matriz A que hace verdadera la ecuación matricial:           −=           − 10 13 06 10 11 02 A 8. Sea A una matriz tal que       = 32 21 A . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA , identifíquela: a)       = 94 412 A b) 1=A c)        − =− 9 1 4 1 4 1 1 1 A d)       =−+ 1612 124 322 IAA e)         =− 3 1 2 1 2 1 1 1 A 9. Si       −− = 43 32 A , y además,       =− dc ba A 1 , entonces el valor de ( ) ( )da cb − − , es: a) 0 b) -1 c) 1 d) -3 e) 3 10. Dada la matriz           − β −− = 041 20 421 A entonces el valor de IR∈β para que la matriz NO TENGA INVERSA es: a) 0 b) -3 c) -1 d) 2 e)-2 11. Sean las matrices       − =      −− =      − − = 011 321 42 21 , 54 32 CyBA , entonces es cierto que: a)       =− 10 211 B b)       −− = 63 63 CB c)       − − = 2010 164 AB d)             −− −− =− 12 2 3 2 5 1 A e)             − − =− 5 1 1 11 1 A 12. Sea A la matriz:           − −− 305 164 021 entonces es verdad que: a) det(A)=12 b) det(A2)=1 c) det (AT)=1/16 d) det (A-1)=1/10 e) det(ATA-1)=1 Misceláneos 1. Sean las matrices       − − = 51 24 A y       − − = k B 2 14 . El valor de " k " para que BA detdet =
  • 21.
    Moisés Villena MuñozMatrices y Determinantes 337 a) 5 b) 4 c)3 d)2 e)1 2. La matriz X que satisface la ecuación       =      301 243 20 11 X a)         2 1 2 3 2 1 42 0 b)         00 00 2 1 2 1 c)         2 3 2 1 2 1 2 5 0 4 d)       110 111 e)         −− 00 4 2 1 2 1 2 5 3. Sea la matriz           − − = 103 010 207 A Entonces su MATRIZ INVERSA es: a)           =− 703 010 201 1 A b)           −− − −− =− 703 010 201 1 A c)             =− 2 70 2 3 0 2 10 10 2 1 1 A d)           − − = 103 010 207 A e) La matriz A no tiene inversa. 4. Sean las matrices       − − = 113 202 A ,       − − = 211 201 B y           = 05 40 21 C Entonces el VALOR del ( )( )[ ]T CBADet 2− es: a)74 b) 200 c)-100 d)10 e)100 5. Sean A, B y C matrices tales que,           −= 123 110 521 A ,           = 145 026 005 B y           = 241 300 620 C . Entonces es VERDAD que: a) 6det det det 2 −=−      C B A b) CAT detdet = c) ( ) 5det =AB d) T CB detdet = e) A no tiene inversa o B si tiene inversa. 6. Sea la matriz       = 33 24 A . Entonces los VALORES de “ λ ” tal que ( ) 0det =λ− IA , son: a) 1 y 6 b)–1 y –6 c)1 y –6 d)–6 y 1 e) 7 y 6 7. Dada la matriz           −− − = 304 213 012 A , el PRODUCTO DE LOS ELEMENTOS DE LA DIAGONAL PRINCIPAL de 1− A es: a) 343 90− b) 7 90− c) 343 90 d) 343 180− e) 441 90−
  • 22.
    Moisés Villena MuñozMatrices y Determinantes 338 8. El DETERMINANTE de la matriz                 − −= 10210 24204 73113 61011 52122 A es: a) -2 b)0 c)-1 d)1 e)5 9. Sea la matriz       = 01 12 A ; entonces es VERDAD que: a)       = 12 152 A b)       =− 01 021 A c)       = 25 5123 A d) [ ]       =− 10 0121 A e)       =⋅ 02 11 IA 10. La matriz X , tal que:       − =      13 12 43 11 X es: a)       − − = 43 52 X b)       − − = 43 55 X c)       = 01 12 X d)       − − = 42 51 X e)       − = 20 11 X 11. Dadas las matrices:           −= 20 01 21 A y       = 014 131 B y ABC = . Entonces La MATRIZ INVERSA 1− C , es: a)           −−=− 022 130 152 1 C b)           − −=− 011 235 202 1 C c)             −−=− 0 4 1 4 1 8 1 8 30 8 1 8 5 4 1 1 C d)             − −=− 0 8 1 8 1 4 1 8 3 8 5 4 10 4 1 1 C e) La matriz C no tiene inversa. 12. Si el determinante de una matriz A es 16. Entonces es FALSO que: a) La Matriz A tiene inversa. b) La matriz A es una matriz cuadrada. c) La matriz A tiene 2 filas iguales. d) Si B es una matriz que tiene determinante igual a 2, entonces del det(AB)=32. e) El determinante de la matriz inversa 1− A es igual a 16 1 . 13. Sea la matriz           − − = 032 120 111 A entonces su MATRIZ INVERSA 1− A es: a)           − −=− 011 321 201 1 A b)           −− −− − =− 254 122 133 1 A c)           − −− −− =− 211 523 423 1 A d)           =− 100 010 001 1 A e) La matriz A no tiene inversa.
  • 23.
    Moisés Villena MuñozMatrices y Determinantes 339 14. Sean A y B matrices tales que:           − − − = 212 110 211 A y           − −= 111 201 321 B , entonces el valor de ( )ABDet es: a)-35 b)7 c)-7 d)-5 e)35