Este documento describe tres métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de Jacobi, el método de Gauss-Seidel y el método de Richardson. Explica que los métodos iterativos calculan aproximaciones sucesivas a la solución mediante repetidas aplicaciones de una función. Luego, detalla los pasos matemáticos involucrados en cada uno de los tres métodos.

1. METODOS ITERATIVOS
Equipo:
Juan Manuel Ibarra
Miguel Sauceda
Erik Orozco

2. Definición de iteración
• Se refiere al proceso de iteración de
una función o a las técnicas que se
usan en métodos iterativos para la
resolución de problemas numéricos.
• Una función iterada es una función que
es compuesta consigo misma, en forma
repetida, en un proceso
llamado iteración.

3. GENERALIDADES:
• Es un método que progresivamente va calculando
aproximaciones a la solución de un problema.
• Los métodos iterativos son útiles para resolver
problemas que involucran un número grande de
variables.
• Trata de resolver un problema
mediante aproximaciones sucesivas a la
solución, empezando desde una estimación inicial

4. Ventajas
Permiten al usuario el control de errores
de redondeo.
Computacionalmente mas eficiente
para matrices grandes.
Aplicación a matrices dispersas no es
problema

5. Método de Jacobi
• En la iteración de Jacobi, se escoge
una matriz Q que es diagonal y cuyos
elementos diagonales son los mismos
que los de la matriz A. La matriz Q toma
la forma:

6. • y la ecuación general (63) se puede escribir
como:
Qx(k) = (Q-A)x(k-1) + b
• Si denominamos R a la matriz A-Q:
• a ecuación (65) se puede reescribir como:
Qx(k) = -Rx(k-1) + b

7. • El producto de la matriz Q por el vector
columna x(k) será un vector columna.
• El producto de la matriz R por el vector
columna x(k-1) será también un vector
columna.
• La ecuación vectorial anterior, se puede
expresar por n ecuaciones escalares.

8. • Podemos escribir, para un
elemento i cualquiera y teniendo en
cuenta que se trata de un producto matriz-
vector:

9. • Teniendo en cuenta que en la
matriz Q todos los elementos fuera de la
diagonal son cero, en el primer miembro el
único término no nulo del sumatorio es el
que contiene el elemento diagonal qii, que
es precisamente aii. Más aún, los
elementos de la diagonal de R son
cero, por lo que podemos eliminar el
término i=j en el sumatorio del segundo
miembro. De acuerdo con lo dicho, la
expresión anterior se puede reescribir
como:

10. • de donde despejando xi(k) obtenemos:
• que es la expresión que nos proporciona
las nuevas componentes del vector x(k) en
función de vector anterior x(k-1) en la
iteración de Jacobi.

11. • Implementación del método de Jacobi
• El método de Jacobi se basa en escribir el
sistema de ecuaciones en la forma:

12. Método de Gauss-Seidel
• La iteración de Gauss-Seidel se define
al tomar Q como la parte triangular inferior
de A incluyendo los elementos de la
diagonal:

13. • Si, como en el caso anterior, definimos la
matriz R=A-Q
• y la ecuación se puede escribir en la forma:
Qx(k) = -Rx(k-1) + b

14. • Un elemento cualquiera, i, del
vector Qx(k) vendrá dado por la ecuación:

15. • Si tenemos en cuenta la peculiar forma de
las matrices Q y R, resulta que todos los
sumandos para los que j > i en la parte
izquierda son nulos, mientras que en la parte
derecha son nulos todos los sumandos para
los que . Podemos escribir entonces:
=
=

16. • en el método de Gauss-Seidel los valores
actualizados de xi sustituyen de inmediato a
los valores anteriores.
• los cálculos deben llevarse a cabo por orden, ya
que el nuevo valor xi depende de los valores
actualizados de x1, x2, ..., xi-1.

17. • Algoritmo para la iteración de
Gauss-Seidel.

18. Método de Richardson
• El método de Richardson toma como
matriz Q la matriz identidad (I). En este
caso la ecuación entes usada queda en la
forma:
Ix(k) = (I-A)x(k-1)+b = x(k-1)+r(k-1)
• en donde r(k-1) es el vector residual
definido mediante r(k-1)=b-Ax(k-1).

19. • La matriz identidad es aquella matriz
diagonal cuyos elementos no nulos son
1, es decir:
• y cumple que
IA = A
• para cualquier valor de A; es
decir, es el elemento neutro del
producto matricial.

20. • De acuerdo con esto, la ecuación se
puede escribir como:
x(k) = x(k-1) - Ax(k-1) + b = x(k-1) + r(k-1)
• En donde un elemento cualquiera del
vector r(k-1) vendrá dado por la expresión:

21. • Este método recibe también el nombre de
método de relajación o método de los
residuos.
Implementación del algoritmo iterativo de Richardson.

22. Bibliografía
• http://www.uv.es/~diaz/mn/node32.html
Wladimiro Diaz Villanueva
• Y. Saad: Iterative Methods for Sparse Linear Systems, Primera
edición, PWS 1996
• Ensayo: http://ocw.unican.es/ciencias-experimentales/metodos-
numericos/practicas-2/40_Practicas_LeccionF.pdf
• Sistemas de ecuaciones lineales. Métodos iterativos