El documento presenta información sobre conceptos básicos de cálculo diferencial como derivadas, máximos y mínimos locales, el teorema del valor medio, velocidad y aceleración. También incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre estas temáticas.

1. TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA
CALCULO DIFERENCIAL
EQUIPO 4
 ALEJANDRO ANTONIO SÁNCHEZ PÉREZ
 PATSY ALEJANDRO RUEDA
 CARLOS ARMANDO JIMÉNEZ SALA
 DIANA DEL ROSARIO RAMÍREZ TREJO
ACTIVIDAD 1, UNIDAD 5
Aplicaciones de la derivada
La derivadatiene una gran variedad de aplicacionesademás de darnos la pendiente de latangente a una curva enun
punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valoresmáximos y mínimosde una función,
concavidad y convexidad,etc.
Ejemplo:
Encuentre losmáximosymínimosde laecuación:
Por el criteriode laprimeraderivada.Obtenemoslaprimeraderivadade lafunción:
Encontrandolas raíces para la primeraderivadatenemos:
Por lotanto,tenemosalgúnmáximoomínimoenel puntox=0, para determinarsi esunmáximoo unmínimo
tendremosque valuarlapendiente antesydespuésde cero,esdecir,ensus vecindadesde este punto.
Evaluandoen y´(-0.01) tenemos:
y´(-0.01)= -0.004
Evaluandopara x despuésde cerotenemos:
y´(0.01)= 0.004
como la derivadaalrededorde cerocambiade positivonegativoapositivoportantotenemosunmínimolocal en(0,0).

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Teorema del Valor Medio:
Si f es continuaenel intervalocerrado[a,b] yderivableenel intervaloabierto(a,b) existeal menosunnúmeroctal que:
“.
Ejemplo:
(a+h)=hf'[a+t(b-a)]+f(a)
En nuestrocaso seaf(x)=ln(x) x para con a=1 y h=x2. Comox2 es siempre positivo,el logaritmose puede calcularpara
todox y la funciónescontinuaparatodo x.Tambiénesderivable entodovalorreal siendoladerivada:
Aplicandoel teorema:
Puesf(1)=ln1=0
Y como para x distintode cero:
Dado que la penúltimafracciónesigual aln(1+x2),quedafinalmente:
Como queríamosprobar.

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Concepto de Velocidad
El concepto de velocidad está asociado al cambio de posición de un cuerpo a lo largo del tiempo. Cuando necesitamos
información sobre la dirección y el sentido del movimiento, así como su rapidez recurrimos a la velocidad.
La velocidadesunamagnitudvectorial y,comotal,se representamediante flechasque indicanladirecciónysentidodel
movimiento que sigue un cuerpo y cuya longitud representa el valor numérico o módulo de la misma. Depende del
desplazamiento, es decir,de los puntos inicial y final del movimiento, y no como la rapidez, que depende directamente
de la trayectoria.
Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo (m/s), estoquiere decir que cuando por
ejemplo afirmamos que la velocidad (módulo) de un cuerpo es de 5 metros por segundo (m/s), estamos indicando que
cada segundo ese mismo cuerpo se desplaza 5 metros.
La velocidadpuededefinirsecomolacantidadde espaciorecorridoporunidadde tiempoconlaque uncuerpose desplaza
enunadeterminadadirecciónysentido.Se tratade unvectorcuyomódulo,suvalornumérico,se puede calcularmediante
la expresión:
v=Δr/Δt
Donde:
v: Módulode lavelocidaddel cuerpo.Suunidadde medidaenel SistemaInternacional(S.I.) eselmetroporsegundo(m/s)
∆r: Módulo del desplazamiento. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m)
∆t: Tiempoempleadoenrealizarel movimiento.Suunidadde medidaenel SistemaInternacional (S.I.) esel segundo (s)

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Concepto de Aceleración
Decimosque uncuerpotiene aceleracióncuandovaríasu velocidadenel transcursodel tiempoyaseaen:
Móduloo en dirección
Por tanto,la aceleraciónesunamagnitudvectorial.
Por ejemplo,decimosque "estáacelerando"uncoche que aumentasuvelocidadde 90 km/ha 120 km/h.Perotambién
decimosque uncoche tiene aceleraciónsi ladisminuye de 70km/ha 40km/h.A estaaceleración,responsable de que
cambie el módulode lavelocidad(tambiénllamadorapidezoceleridad),se le llamaaceleracióntangencial.
Al estudiarel comportamientode uncuerpoenmovimientoseráusual que te encuentresconque este nomantienesu
velocidadconstante.El hechode que uncuerpopuedaaumentarel módulode suvelocidad(tambiénconocidacomo
rapidezoceleridad) mientrasse mueve,esloque se conoce cotidianamentecomoaceleración.Cuandodisminuye el
módulode lavelocidad, se hablacotidiánamente de frenado.Ambostiposde movimientosonestudiadosenFísicapor
la mismamagnitud:laaceleración.Eneste apartadovamosa dar una primeraaproximaciónde qué se entiendeenFísica
por aceleración.Si deseasprofundizarmás,nodudesenconsultarnivelesmás avanzados.
Por otro lado,enFísicatambiéndecimosque uncuerpotiene aceleracióncuandovaríala direcciónde sumovimiento.
Así, unciclistaque toma unacurva tiene aceleración,independientemente de que lavelocidadque marque su
cuentakilómetrosno cambie.¿Porqué?El ciclistarecorre unatrayectoriacircular,ypor tanto, ladireccióndel vector
velocidadvacambiandoamedidaque tomala curva, independientemente del móduloque tenga(que esloque mideel
cuentakilómetros).A este tipode aceleración,responsable de que cambie ladirecciónde lavelocidad,se le denomina
aceleraciónnormal ocentrípeta.
La expresiónde laaceleracióntangencial vienedadapor:
a=Δv/Δt=vf/tf−vi/tf−ti
Donde:
a: Es la aceleracióndel cuerpo.Suunidadde medidaenel SistemaInternacional (S.I.) esel metroporsegundoal
cuadrado (m/s2)
∆v, vf,vi: Se trata respectivamentedel incrementode velocidadexperimentadoporel cuerpo,de lavelocidadfinal yde
la velocidadinicial.Suunidadde medidaenel SistemaInternacional (S.I.) esel metroporsegundo(m/s)
∆t, tf,ti: Se trata respectivamente delintervalode tiempoenel que transcurre el movimiento,del instante final ydel
instante inicial.Suunidadde medidaenel SistemaInternacional (S.I.) esel segundo(s)
La unidadde medidaenel SistemaInternacional (S.I.)de laaceleraciónesel metroporsegundoal cuadrado(m/s2). Un
cuerpocon una aceleraciónde 1 m/s2varía su velocidaden1metro/segundocadasegundo.

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EJERCICIOS
Un camión de bomberos aumenta su velocidadde 0 a 21 m/s hacia el Este,en 3.5 segundos.¿Cuál es su aceleración?
DATOS:
Velocidadinicial (Vi):0m/s
Velocidadfinal(Vf):21m/s, Este
Tiempo(t):3.5 segundos
Desconocida:Aceleracióna=?
Ecuación básica:
Solución:
Respuesta: Paraindicarla aceleracióndebesindicartambiénladirección. Comoel objetose mueve haciael este la
respuestaes: 6m/s², Este
El resultadoindica que por cada segundoque transcurre, la velocidaddel auto aumenta por 6.0 m/s.

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Un automóvil reduce su velocidad de 21m/s, Este a 7 m/s, Este, en 3.5.0 segundos. ¿Cuál es su aceleración?
DATOS:
Velocidadinicial (Vi):21 m/s,Este
Velocidadfinal(Vf):7m/s,Este
Tiempo(t):3.5 segundos
Desconocida:Aceleración=?
Ecuación básica:
Solución:
Debemosconsiderar la direcciónpor lo que la respuesta de la pregunta es: -4m/s² , Este. El resultadoindica que por
cada segundoque transcurre, la velocidaddel auto disminuye por 4 m/s. Fíjate que el auto va hacia el este y a la
aceleraciónser negativa,implica que el auto desacelera.

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Una pelotarueda por una cuesta inclinadadurante 5 segundos,a una aceleraciónde 8 m/s². Si la pelotatiene una
velocidadinicial de 2.0 m/s cuando comienzasu recorrido, ¿Cuál será su velocidadal final del recorrido?
DATOS:
Velocidadinicial (Vi):2m/s,bajando
Aceleración(a):8m/s²,bajando
Tiempo(t):5 segundos
Desconocida:Velocidadfinal(Vf)=?
Ecuación básica:
Despeja para la desconocida que es la velocidad final:
Solución:
El resultadoindica que la velocidadira aumentando hasta alcanzar una velocidadde 42 m/s, bajando llegadoslos
cinco segundosenmovimiento.