Este documento presenta conceptos clave sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Explica que las funciones exponenciales se usan para modelar matemáticamente cómo se propagan virus informáticos a través del tiempo. Luego, introduce las funciones exponenciales y logarítmicas, describiendo sus propiedades y cómo graficarlas. Finalmente, muestra ejemplos numéricos de cómo aplicar estas funciones a problemas financieros y de crecimiento poblacional.
Este documento describe métodos directos para resolver problemas numéricos. Estos métodos involucran una secuencia finita de operaciones aritméticas para obtener resultados exactos. Se provee un ejemplo de un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales triangulares inferiores. Adicionalmente, se discute la eficiencia de los métodos directos y cómo medirla usando la notación O(n) que indica el orden de complejidad de un algoritmo.
Este documento introduce el programa MATLAB y sus aplicaciones. Explica que MATLAB es un programa de cálculo numérico y visualización de datos que se usa ampliamente en universidades. Describe cómo crear variables, vectores, matrices y funciones, y cómo realizar operaciones matemáticas, gráficas y cálculo numérico en MATLAB. El documento proporciona numerosos ejemplos de código MATLAB.
Conceptos básicos de Función Lineal, Gráfica de una Función Lineal, Angulo de inclinación de la Linea Recta, Función Constante, Ecuación de una Recta que pasa por Dos Puntos, Ecuación de una Recta paralela a Otra y que pasa por un punto exterior a ella, Ecuación de una Recta Perpendicular a Otra y que pasa por un punto exterior a ella.
Este documento presenta el Módulo 3 de un curso de Matemática Básica sobre funciones cuadráticas y problemas de optimización. Explica las funciones cuadráticas, cómo graficarlas y sus propiedades. Luego, describe cómo encontrar los máximos y mínimos de funciones cuadráticas mediante la determinación del vértice y el eje de simetría. Incluye ejemplos resueltos de estas aplicaciones. Finalmente, proporciona una estrategia para resolver problemas que involucren la maximización o minimización de funciones
El documento explica las funciones afín y cuadrática. Una función afín es una expresión de la forma ax + b donde a y b son constantes y cuya gráfica es una línea recta. Una función cuadrática es una expresión de la forma ax2 + bx + c donde a, b y c son constantes y cuya gráfica es una parábola. El documento también presenta ejemplos de ecuaciones de primer y segundo grado y cómo resolverlas.
Este documento presenta un tutorial sobre el uso de MATLAB para aplicaciones numéricas. Introduce conceptos básicos como variables, vectores, matrices, funciones, polinomios y representación gráfica. Explica cómo crear y manipular este tipo de objetos matemáticos en MATLAB así como realizar cálculos y visualizaciones numéricas. El tutorial contiene numerosos ejemplos paso a paso para ilustrar el uso de las principales funciones y comandos de MATLAB.
1) Este documento trata sobre funciones polinómicas de primer y segundo grado.
2) Explica las características de las funciones de primer grado como su pendiente y término independiente, y cómo representar una recta que pase por dos puntos.
3) Describe las funciones de segundo grado y cómo se ven afectadas sus gráficas por traslaciones determinadas por sus coeficientes.
Funcion cuadratica clase n°1 prof. cristian maldonadokhrismal
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las funciones cuadráticas. Explica cómo determinar el vértice, eje de simetría y concavidad de una función cuadrática, así como cómo calcular las raíces de una ecuación cuadrática. Aplica estos conceptos para modelar la producción de naranjas en función del número de árboles plantados y determinar la cantidad de árboles adicionales que anularía la producción.
Este documento describe métodos directos para resolver problemas numéricos. Estos métodos involucran una secuencia finita de operaciones aritméticas para obtener resultados exactos. Se provee un ejemplo de un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales triangulares inferiores. Adicionalmente, se discute la eficiencia de los métodos directos y cómo medirla usando la notación O(n) que indica el orden de complejidad de un algoritmo.
Este documento introduce el programa MATLAB y sus aplicaciones. Explica que MATLAB es un programa de cálculo numérico y visualización de datos que se usa ampliamente en universidades. Describe cómo crear variables, vectores, matrices y funciones, y cómo realizar operaciones matemáticas, gráficas y cálculo numérico en MATLAB. El documento proporciona numerosos ejemplos de código MATLAB.
Conceptos básicos de Función Lineal, Gráfica de una Función Lineal, Angulo de inclinación de la Linea Recta, Función Constante, Ecuación de una Recta que pasa por Dos Puntos, Ecuación de una Recta paralela a Otra y que pasa por un punto exterior a ella, Ecuación de una Recta Perpendicular a Otra y que pasa por un punto exterior a ella.
Este documento presenta el Módulo 3 de un curso de Matemática Básica sobre funciones cuadráticas y problemas de optimización. Explica las funciones cuadráticas, cómo graficarlas y sus propiedades. Luego, describe cómo encontrar los máximos y mínimos de funciones cuadráticas mediante la determinación del vértice y el eje de simetría. Incluye ejemplos resueltos de estas aplicaciones. Finalmente, proporciona una estrategia para resolver problemas que involucren la maximización o minimización de funciones
El documento explica las funciones afín y cuadrática. Una función afín es una expresión de la forma ax + b donde a y b son constantes y cuya gráfica es una línea recta. Una función cuadrática es una expresión de la forma ax2 + bx + c donde a, b y c son constantes y cuya gráfica es una parábola. El documento también presenta ejemplos de ecuaciones de primer y segundo grado y cómo resolverlas.
Este documento presenta un tutorial sobre el uso de MATLAB para aplicaciones numéricas. Introduce conceptos básicos como variables, vectores, matrices, funciones, polinomios y representación gráfica. Explica cómo crear y manipular este tipo de objetos matemáticos en MATLAB así como realizar cálculos y visualizaciones numéricas. El tutorial contiene numerosos ejemplos paso a paso para ilustrar el uso de las principales funciones y comandos de MATLAB.
1) Este documento trata sobre funciones polinómicas de primer y segundo grado.
2) Explica las características de las funciones de primer grado como su pendiente y término independiente, y cómo representar una recta que pase por dos puntos.
3) Describe las funciones de segundo grado y cómo se ven afectadas sus gráficas por traslaciones determinadas por sus coeficientes.
Funcion cuadratica clase n°1 prof. cristian maldonadokhrismal
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las funciones cuadráticas. Explica cómo determinar el vértice, eje de simetría y concavidad de una función cuadrática, así como cómo calcular las raíces de una ecuación cuadrática. Aplica estos conceptos para modelar la producción de naranjas en función del número de árboles plantados y determinar la cantidad de árboles adicionales que anularía la producción.
Este documento introduce el concepto de álgebra de matrices. Explica que las matrices son herramientas importantes en matemáticas y ciencias y que existe una rama de las matemáticas dedicada exclusivamente al estudio de las matrices llamada álgebra lineal. Presenta algunos conceptos básicos como suma, resta y multiplicación de matrices, y tipos especiales de matrices como matrices cuadradas, diagonales e identidad. El objetivo es proporcionar una introducción general al tema antes de abordar la solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el uso de
Este documento explica las funciones polinómicas, comenzando con las funciones de primer grado (lineales) y luego las funciones de segundo grado (cuadráticas). Describe las características de cada tipo de función polinómica, incluida la forma de su gráfica y cómo los coeficientes de la función afectan a la pendiente, el corte con los ejes y la traslación de la gráfica. También proporciona ejemplos de cómo se pueden usar funciones polinómicas para modelar situaciones del mundo real como la proporc
Este documento presenta un resumen de tres oraciones o menos sobre el tema de álgebra de matrices. Introduce conceptos clave como definiciones de matrices, operaciones matriciales como suma, producto y transposición, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos como regla de Cramer e inversa de matrices. Además, explica propiedades importantes de las matrices y sus aplicaciones en álgebra lineal.
Este documento presenta información sobre funciones polinomiales de tercer y cuarto grado. Explica que las funciones polinomiales de tercer grado son funciones cúbicas definidas por un polinomio de la forma y=a3x3+a2x2+a1x+a0, mientras que las funciones de cuarto grado son definidas por polinomios de la forma y=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0. También describe propiedades geométricas como el número máximo de raíces reales
Matematicas 3 del 10 al 14 de mayo. 2021Esther Acosta
Este documento presenta información sobre funciones cuadráticas y cómo construir sus gráficas. Explica cómo resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización y que la gráfica de una función cuadrática es una parábola. También proporciona ejemplos de cómo graficar funciones cuadráticas y determinar si una función es cuadrática basada en su forma polinómica. Finalmente, detalla las actividades planeadas para la semana sobre este tema.
Este documento proporciona instrucciones para una práctica de laboratorio sobre matrices y determinantes. Explica que las matrices y determinantes son herramientas útiles en áreas como las ciencias sociales y económicas. El objetivo es enseñar a los estudiantes a calcular matrices y determinantes en Excel. El procedimiento incluye pasos para introducir datos en matrices, realizar cálculos matriciales básicos y avanzados, y calcular determinantes.
Este documento introduce conceptos básicos sobre matrices y determinantes. Explica que una matriz es una tabla rectangular de números ordenados en filas y columnas, y provee ejemplos de diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares e identidad. También describe cómo las matrices se usan para organizar datos numéricos y representar gráficos dirigidos mediante matrices de adyacencia.
Reactivo Prueba De La Recta Vertical Enlace 2009avcordova2002
Este documento presenta la prueba de la recta vertical para determinar gráficamente qué curvas son gráficas de funciones. La prueba establece que si una recta vertical intersecta a la gráfica en más de un punto, la curva no representa una función. El documento aplica esta prueba a varias curvas como elipses, circunferencias e hipérbolas para determinar cuál de las opciones gráficas representa una función.
Este documento presenta un plan de lección sobre funciones lineales. El objetivo es desarrollar una comprensión integral de las funciones lineales, incluyendo su concepto, representaciones y propiedades. El profesor utilizará métodos como el ciclo de aprendizaje para motivar a los estudiantes, revisar conocimientos previos, y construir nuevos conocimientos sobre funciones lineales a través de ejemplos y actividades grupales. La evaluación incluirá diagramas comparativos y la graficación y análisis de funciones dadas.
A continuación encontrarás unas recomendaciones para graficar una función racional teniendo en cuenta: puntos de corte con el eje X, puntos de corte con el eje Y, asíntotas verticales, asíntotas horizontales, asíntotas oblícuas, huecos en la gráfica...
El documento presenta una introducción al álgebra de matrices. Define una matriz como un arreglo rectangular de números y describe algunos tipos de matrices como cuadradas, nulas, diagonales y unitarias. Explica las operaciones básicas con matrices como suma, producto y producto por un escalar. Finalmente, menciona algunas aplicaciones del álgebra de matrices en diferentes disciplinas.
Este documento introduce las matrices y los determinantes. Explica que las matrices son tablas de números ordenados en filas y columnas que se utilizan para organizar datos. También define conceptos como matriz cuadrada, triangular y diagonal, y explica cómo representar relaciones entre elementos mediante matrices de adyacencia.
Este documento presenta los objetivos y contenidos de una lección sobre funciones cuadráticas. Los objetivos incluyen conocer y aplicar conceptos matemáticos relacionados con funciones cuadráticas, como graficarlas y determinar vértice, eje de simetría y concavidad. También incluye objetivos sobre el uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolver problemas, y sobre el uso de hojas de cálculo para interpretar funciones cuadráticas. El documento propone actividades prácticas para que los estudiantes apl
Lenguajesdeprogramacion c nivel1-unidad2-03-expresiones y funciones matematicasCarlos
Este documento presenta diferentes tipos de funciones matemáticas predefinidas en C++ como funciones matemáticas básicas (abs, sqrt, pow, ceil, floor), funciones trigonométricas (cos, sin, tan), funciones logarítmicas y exponenciales (log, log10, exp) y describe cómo construir expresiones matemáticas utilizando operadores y funciones.
Lenguaje de programacion c++ basico 4ta parte expresiones y funciones matemát...Dunkherz
El documento describe diferentes funciones matemáticas predefinidas en C++, incluyendo funciones matemáticas básicas como abs y sqrt, funciones trigonométricas como cos y tan, funciones logarítmicas y exponenciales como log y exp, y también define qué son expresiones y cómo se construyen en C++.
4ta parte expresiones y funciones matemáticasyuli02
El documento describe diferentes funciones matemáticas predefinidas en C++, incluyendo funciones matemáticas básicas como abs y sqrt, funciones trigonométricas como cos y tan, funciones logarítmicas y exponenciales como log y exp, y también define qué son expresiones y cómo se construyen en C++.
El documento presenta información sobre funciones polinómicas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Define cada tipo de función, explica sus características como dominio, recorrido, puntos de corte, crecimiento, concavidad, asíntotas y provee ejemplos. También cubre funciones inversas y cómo encontrar la fórmula inversa cuando se tiene la función original.
Este documento describe los métodos directos para resolver problemas numéricos y discute su implementación computacional. Los métodos directos obtienen resultados exactos realizando una secuencia finita de operaciones aritméticas. También se analiza la eficiencia de estos métodos y cómo se propaga y acumula el error de redondeo debido a las limitaciones en la representación de números reales durante los cálculos.
Este documento describe diferentes tipos de gráficas y funciones en MatLab. Explica cómo generar gráficas xy con escalas lineales y logarítmicas usando los comandos plot, semilogx, semilogy y loglog. También cubre cómo crear gráficas múltiples, subgráficas, y gráficas tridimensionales de funciones de dos variables.
Repaso de funciones exponenciales y logarítmicasJacob
El documento explica las funciones exponenciales y logarítmicas. Define las funciones exponenciales como funciones de la forma y = a^x donde a > 0 y a ≠ 1. También define los logaritmos como el exponente al que hay que elevar la base para obtener un número dado. Explica las propiedades y características de estas funciones y proporciona ejemplos para resolver ecuaciones que involucran funciones exponenciales y logarítmicas.
Mathematica para cálculo iii (archivo pdf)Antonio Franco
Este documento presenta una introducción al uso del programa Mathematica para realizar cálculos vectoriales. Explica que Mathematica permite realizar cálculos numéricos y simbólicos con una amplia gama de funciones y herramientas. Luego, muestra algunos conceptos básicos como operaciones aritméticas, variables, funciones, y gráficas de funciones. Finalmente, presenta los comandos básicos para trabajar con ecuaciones, sistemas de ecuaciones, derivadas e integrales en el curso de cálculo vectorial.
Este documento introduce el concepto de álgebra de matrices. Explica que las matrices son herramientas importantes en matemáticas y ciencias y que existe una rama de las matemáticas dedicada exclusivamente al estudio de las matrices llamada álgebra lineal. Presenta algunos conceptos básicos como suma, resta y multiplicación de matrices, y tipos especiales de matrices como matrices cuadradas, diagonales e identidad. El objetivo es proporcionar una introducción general al tema antes de abordar la solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el uso de
Este documento explica las funciones polinómicas, comenzando con las funciones de primer grado (lineales) y luego las funciones de segundo grado (cuadráticas). Describe las características de cada tipo de función polinómica, incluida la forma de su gráfica y cómo los coeficientes de la función afectan a la pendiente, el corte con los ejes y la traslación de la gráfica. También proporciona ejemplos de cómo se pueden usar funciones polinómicas para modelar situaciones del mundo real como la proporc
Este documento presenta un resumen de tres oraciones o menos sobre el tema de álgebra de matrices. Introduce conceptos clave como definiciones de matrices, operaciones matriciales como suma, producto y transposición, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos como regla de Cramer e inversa de matrices. Además, explica propiedades importantes de las matrices y sus aplicaciones en álgebra lineal.
Este documento presenta información sobre funciones polinomiales de tercer y cuarto grado. Explica que las funciones polinomiales de tercer grado son funciones cúbicas definidas por un polinomio de la forma y=a3x3+a2x2+a1x+a0, mientras que las funciones de cuarto grado son definidas por polinomios de la forma y=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0. También describe propiedades geométricas como el número máximo de raíces reales
Matematicas 3 del 10 al 14 de mayo. 2021Esther Acosta
Este documento presenta información sobre funciones cuadráticas y cómo construir sus gráficas. Explica cómo resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización y que la gráfica de una función cuadrática es una parábola. También proporciona ejemplos de cómo graficar funciones cuadráticas y determinar si una función es cuadrática basada en su forma polinómica. Finalmente, detalla las actividades planeadas para la semana sobre este tema.
Este documento proporciona instrucciones para una práctica de laboratorio sobre matrices y determinantes. Explica que las matrices y determinantes son herramientas útiles en áreas como las ciencias sociales y económicas. El objetivo es enseñar a los estudiantes a calcular matrices y determinantes en Excel. El procedimiento incluye pasos para introducir datos en matrices, realizar cálculos matriciales básicos y avanzados, y calcular determinantes.
Este documento introduce conceptos básicos sobre matrices y determinantes. Explica que una matriz es una tabla rectangular de números ordenados en filas y columnas, y provee ejemplos de diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares e identidad. También describe cómo las matrices se usan para organizar datos numéricos y representar gráficos dirigidos mediante matrices de adyacencia.
Reactivo Prueba De La Recta Vertical Enlace 2009avcordova2002
Este documento presenta la prueba de la recta vertical para determinar gráficamente qué curvas son gráficas de funciones. La prueba establece que si una recta vertical intersecta a la gráfica en más de un punto, la curva no representa una función. El documento aplica esta prueba a varias curvas como elipses, circunferencias e hipérbolas para determinar cuál de las opciones gráficas representa una función.
Este documento presenta un plan de lección sobre funciones lineales. El objetivo es desarrollar una comprensión integral de las funciones lineales, incluyendo su concepto, representaciones y propiedades. El profesor utilizará métodos como el ciclo de aprendizaje para motivar a los estudiantes, revisar conocimientos previos, y construir nuevos conocimientos sobre funciones lineales a través de ejemplos y actividades grupales. La evaluación incluirá diagramas comparativos y la graficación y análisis de funciones dadas.
A continuación encontrarás unas recomendaciones para graficar una función racional teniendo en cuenta: puntos de corte con el eje X, puntos de corte con el eje Y, asíntotas verticales, asíntotas horizontales, asíntotas oblícuas, huecos en la gráfica...
El documento presenta una introducción al álgebra de matrices. Define una matriz como un arreglo rectangular de números y describe algunos tipos de matrices como cuadradas, nulas, diagonales y unitarias. Explica las operaciones básicas con matrices como suma, producto y producto por un escalar. Finalmente, menciona algunas aplicaciones del álgebra de matrices en diferentes disciplinas.
Este documento introduce las matrices y los determinantes. Explica que las matrices son tablas de números ordenados en filas y columnas que se utilizan para organizar datos. También define conceptos como matriz cuadrada, triangular y diagonal, y explica cómo representar relaciones entre elementos mediante matrices de adyacencia.
Este documento presenta los objetivos y contenidos de una lección sobre funciones cuadráticas. Los objetivos incluyen conocer y aplicar conceptos matemáticos relacionados con funciones cuadráticas, como graficarlas y determinar vértice, eje de simetría y concavidad. También incluye objetivos sobre el uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolver problemas, y sobre el uso de hojas de cálculo para interpretar funciones cuadráticas. El documento propone actividades prácticas para que los estudiantes apl
Lenguajesdeprogramacion c nivel1-unidad2-03-expresiones y funciones matematicasCarlos
Este documento presenta diferentes tipos de funciones matemáticas predefinidas en C++ como funciones matemáticas básicas (abs, sqrt, pow, ceil, floor), funciones trigonométricas (cos, sin, tan), funciones logarítmicas y exponenciales (log, log10, exp) y describe cómo construir expresiones matemáticas utilizando operadores y funciones.
Lenguaje de programacion c++ basico 4ta parte expresiones y funciones matemát...Dunkherz
El documento describe diferentes funciones matemáticas predefinidas en C++, incluyendo funciones matemáticas básicas como abs y sqrt, funciones trigonométricas como cos y tan, funciones logarítmicas y exponenciales como log y exp, y también define qué son expresiones y cómo se construyen en C++.
4ta parte expresiones y funciones matemáticasyuli02
El documento describe diferentes funciones matemáticas predefinidas en C++, incluyendo funciones matemáticas básicas como abs y sqrt, funciones trigonométricas como cos y tan, funciones logarítmicas y exponenciales como log y exp, y también define qué son expresiones y cómo se construyen en C++.
El documento presenta información sobre funciones polinómicas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Define cada tipo de función, explica sus características como dominio, recorrido, puntos de corte, crecimiento, concavidad, asíntotas y provee ejemplos. También cubre funciones inversas y cómo encontrar la fórmula inversa cuando se tiene la función original.
Este documento describe los métodos directos para resolver problemas numéricos y discute su implementación computacional. Los métodos directos obtienen resultados exactos realizando una secuencia finita de operaciones aritméticas. También se analiza la eficiencia de estos métodos y cómo se propaga y acumula el error de redondeo debido a las limitaciones en la representación de números reales durante los cálculos.
Este documento describe diferentes tipos de gráficas y funciones en MatLab. Explica cómo generar gráficas xy con escalas lineales y logarítmicas usando los comandos plot, semilogx, semilogy y loglog. También cubre cómo crear gráficas múltiples, subgráficas, y gráficas tridimensionales de funciones de dos variables.
Repaso de funciones exponenciales y logarítmicasJacob
El documento explica las funciones exponenciales y logarítmicas. Define las funciones exponenciales como funciones de la forma y = a^x donde a > 0 y a ≠ 1. También define los logaritmos como el exponente al que hay que elevar la base para obtener un número dado. Explica las propiedades y características de estas funciones y proporciona ejemplos para resolver ecuaciones que involucran funciones exponenciales y logarítmicas.
Mathematica para cálculo iii (archivo pdf)Antonio Franco
Este documento presenta una introducción al uso del programa Mathematica para realizar cálculos vectoriales. Explica que Mathematica permite realizar cálculos numéricos y simbólicos con una amplia gama de funciones y herramientas. Luego, muestra algunos conceptos básicos como operaciones aritméticas, variables, funciones, y gráficas de funciones. Finalmente, presenta los comandos básicos para trabajar con ecuaciones, sistemas de ecuaciones, derivadas e integrales en el curso de cálculo vectorial.
MATLAB es un software para computación e ingeniería que ofrece un poderoso lenguaje de programación y herramientas para manipular gráficas y datos. El documento introduce conceptos básicos de MATLAB como vectores, matrices, operaciones matemáticas, derivadas, primitivas, gráficas y programación condicional y ciclos.
El documento define una función como una relación entre dos variables donde a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente. Explica que una función requiere un dominio, un rango y una regla de correspondencia, y describe características como el dominio, rango, ceros, máximos y mínimos. Además, clasifica funciones en algebraica, polinomial, racional, irracional, trascendente y logarítmica, e ilustra ejemplos de funciones lineales, cuadráticas y exponenciales.
El documento explica las funciones exponenciales y logarítmicas. Define las funciones exponenciales como y=ax, donde a es la base, y construye tablas y gráficas para bases mayores y menores que 1. Luego define las funciones logarítmicas como logx y=a, y explica sus propiedades y relación con las funciones exponenciales, siendo funciones recíprocas cuya gráfica es simétrica respecto a la bisectriz. Finalmente, da ejemplos para ilustrar los conceptos.
Este documento proporciona una introducción a los comandos y funciones básicas de MATLAB para realizar cálculos matemáticos, operaciones con matrices y vectores, generación y representación gráfica de funciones, y la creación de scripts para automatizar tareas. Se incluyen ejemplos y ejercicios resueltos de cada tema.
Este documento define las funciones logarítmicas, explica cómo resolver y graficar una función logarítmica, y da ejemplos de su aplicación. Las funciones logarítmicas tienen la forma f(x) = loga x, donde a es la base. Para resolver una, se cambian las variables por valores y se usa la propiedad exponencial. Para graficar una, se crea una tabla de valores y se traza el gráfico. Se aplican en ciencias para simplificar ecuaciones y medir solutos, y en informática para medir el rendimiento de algoritmos.
1) Las funciones polinómicas son funciones cuyas ecuaciones contienen un polinomio. Su grado depende del exponente más alto en el polinomio. 2) Ejemplos de funciones polinómicas son f(x)=x^3, que es de grado 3, y f(x)=x^2, que es cuadrática. 3) Las funciones polinómicas pueden tener máximo un número de intersecciones con los ejes x e y igual a su grado.
El documento trata sobre las funciones cuadráticas. Explica que son funciones polinómicas de segundo grado utilizadas para describir y predecir ganancias y costos. Detalla que la gráfica de una función cuadrática es una parábola simétrica respecto a un eje, con un vértice que representa el valor máximo o mínimo. También cubre cómo calcular los puntos importantes de una función cuadrática para graficarla.
Conceptos fundamentales del Álgebra.
Ecuaciones y desigualdades.
Funciones y gráficas.
Funciones polinomiales y racionales.
Funciones exponenciales y logarítmicas.
Universidad Técnica Particular de Loja
Ciclo Académico Abril Agosto 2011
Carrera:Ciencias de la Computación
Docente: Ing. Ricardo Blacio Maldonado
Ciclo: Segundo
Bimestre: Primero
Este documento presenta información sobre dos cortes (unidades temáticas) de la asignatura de Matemáticas IV. El primer corte cubre funciones polinomiales básicas como funciones lineales, cuadráticas y cúbicas, incluyendo cómo representarlas algebraicamente y gráficamente. El segundo corte trata sobre el concepto de derivada, incluyendo conocimientos previos requeridos y contenidos sobre este tema. Cada corte también incluye actividades de aprendizaje y recursos de consulta.
1) El documento presenta un cuaderno de trabajo para estudiantes de segundo año de ciencias con ejercicios de matemáticas. 2) El autor quiere presentar un instrumento práctico que facilite el aprendizaje dentro y fuera del aula. 3) El contenido incluye sistemas de coordenadas, funciones reales, dominios, funciones exponenciales y logarítmicas, y números complejos.
1. Nombre de la asignatura: Matemáticas para la Administración
Parcial de estudio: Segundo
Introducción
Mientras los científicos de importantes compañías estudian y desarrollan métodos para
luchar contra los virus de computadora, también diseñan modelos matemáticos de la rapidez
con que estos se propagan. El virus conocido como Melisa contagió 100.000 computadoras
en tan solo tres días.
Las funciones exponenciales que en este parcial estudiaremos con detalle, nos proporcionan
modelos matemáticos plausibles, los que nos permiten realizar estimaciones sobre el número
de computadoras contagiadas, en un determinado intervalo de tiempo; los modelos
exponenciales son más precisos para valores de tiempo relativamente cortos, pero a pesar
de esta limitación, los modelos exponenciales explican el porqué con frecuencia los nuevos
virus infectan a miles de máquinas, antes de que los expertos en antivirus tengan tiempo de
reaccionar.
Las empresas que realizan almacenamiento de artículos o presentación y manipulación de
datos o elaboración de artículos derivados de la mezcla de varios ingredientes, se valen de
programas de computación, los que nos permiten verificar cantidades de artículos o tipos de
datos en cualquier instante.
Los programas de computación se valen de matrices o arreglos para guardar esta
información y mediante operaciones entre matrices se puede obtener cualquier tipo de
información adicional que se desee. Como esta existen infinidad de aplicaciones de las
matrices al servicio de las industrias.
Asesoría didáctica 1
Hagamos un pequeño repaso de lo aprendido en algebra, en el semestre anterior, para luego
pasar a las aplicaciones de estas funciones en la Administración y Economía.
Función exponencial
A la función f, definida por: f(x) = bx
en la cual: b > 0 , b ≠ 1 y el exponente “x” es
cualquier número real, se le denomina función exponencial, con base b.
Algunas funciones que no parecen tener la forma exponencial, pueden ponerse en tal forma
aplicando las reglas de los exponentes, por ejemplo:
2-x
= 1/(2x
) = (1/2) x
32x
= (32
) x
= 9x
En la siguiente figura se muestran las gráficas de algunas funciones exponenciales en ellas
podemos observar lo siguiente:
2. Nombre de la asignatura: Matemáticas para la Administración
Parcial de estudio: Segundo
Propiedades
• El dominio de todas las funciones exponenciales son todos los números reales.
• El rango de todas las funciones exponenciales son los números reales positivos.
• Todas las funciones exponenciales, cortan al eje de las Y en el punto (0; 1),
porque: b0 = 1, no tienen intersección con el eje de las X.
• Las funciones exponenciales tienen dos formas básicas, que dependen de si b > 1 o
bien 0 < b < 1.
• Si b > 1 , entonces la gráfica de y = bx asciende de izquierda a derecha, es
decir, si aumenta el valor de la “x” también aumenta el valor de la “y” hasta valores
muy grandes.
• Si 0 < b < 1 , entonces la gráfica de y = bx desciende de izquierda a derecha, es
decir, al aumentar la “x” el valor de la “y” disminuye y toma valores muy cercanos a
cero.
• En todos los casos el eje de las x es una asíntota horizontal de la curva.
En las matemáticas hay el número “e” como una base de las funciones exponenciales, con
muchas aplicaciones en el análisis económico y en problemas que implican crecimiento o
decrecimiento natural, como en casos de interés compuesto y de poblaciones.
3. Nombre de la asignatura: Matemáticas para la Administración
Parcial de estudio: Segundo
Ejemplo de análisis de una función exponencial
Analizar y graficar la función:
x
xfy
56
4
3
)(
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==
Para trazar los gráficos se sugiere utilizar el programa DERIVE o cualquier otro graficador.
a) Puntos de corte con los ejes:
Si X = 0
)18,0;0(P;18,0y;
4
3
y
6
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Si Y = 0
x56
4
3
0
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= No se cumple nunca, la curva no corta el eje x
b) Dominio y rango
No existe impedimento alguno para que la x tome todos los valores, por tanto:
Dominio = Reales
Como elevado a cualquier potencia siempre es diferente de cero y positivo, entonces:
Rango = Reales positivos
c) Asíntotas
El eje de las x será asíntota horizontal.
d) Gráfico
Basta con calcular unos dos puntos de la curva: P (-1; 3/4); P (1; (3/4)11
) para realizar su
gráfica, pues ya conocemos las características de estas curvas.
4
3
4. Nombre de la asignatura: Matemáticas para la Administración
Parcial de estudio: Segundo
Analicemos otro ejemplo.
Analizar y graficar la función: 2ey 1x3
+= +−
a) Puntos de corte con los ejes
Si x = 0
y = e + 2 ; y = 4,72 ; P(0 ; 4,72)
Si y = 0
2e;2e0 1x31x3
−=+= +−+−
No se da nunca, la curva no corta al eje x.
b) Dominio y rango
Dominio: Como x está en el exponente puede tomar cualquier valor.
Dominio = Reales
Rango:
13
2 +−
=− x
ey
)eln()2yln( 1x3 +−
=−
2y;02y >>−
Rango: 2< y < ∞
c) Asíntotas
Asíntota horizontal: y=2
d) Gráfico
Basta con calcular unos dos puntos de la curva: P (-0.5; 14.2); P (0.5; 2.5) para realizar
su gráfica, pues ya conocemos las características de estas curvas.
5. Nombre de la asignatura: Matemáticas para la Administración
Parcial de estudio: Segundo
Función logarítmica
Funciones logarítmicas: son de la forma: y = log b x si y solo si: by
= x
En esta función “b” es la base, siendo: b > 0 y b ≠ 1.
En la figura tenemos algunas funciones logarítmicas y en ellas podemos observar:
Propiedades
El logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar la base para
obtener el número.
6. Nombre de la asignatura: Matemáticas para la Administración
Parcial de estudio: Segundo
• El dominio de estas funciones son los reales positivos.
• El rango son todos los números reales.
• Todas las funciones cortan al eje de las X en el punto (1 ; 0), porque el logaritmo de
uno en cualquier base vale cero.
• Si la base es mayor que uno, las funciones son crecientes, al aumentar “x” la “y”
también crece y tiende al infinito.
• Si la base es mayor que cero pero menor que uno las funciones son decrecientes.
• El eje de las y es asíntota vertical.
Otros logaritmos importantes, que debemos estudiar con atención son los logaritmos
naturales (ln) que tienen como base al número “e”, y cumplen con todo lo establecido para
las funciones logarítmicas.
Ln x significa loge x
Como e >1 la gráfica de y = ln x tiene la forma general de una función logarítmica con b
> 1 y asciende de izquierda a derecha.
Ejemplo de análisis de una función logarítmica
Analizar y graficar: y = log (5 - 4x)
7. Nombre de la asignatura: Matemáticas para la Administración
Parcial de estudio: Segundo
a) Puntos de corte con los ejes
Si x = 0
y = log (5);
y = 0.7 ; P (0; 0.7)
Si y = 0
0 = log (5 – 4x)
Esto se cumple solo si: 5 – 4x = 1
De donde: x = 1 ; P (1; 0)
b) Dominio y rango
y = log (5 – 4x); para que exista el logaritmo debe cumplirse que: 5 - 4x > 0, porque solo
hay logaritmos de cantidades positivas, por tanto:
Dominio: -∞ < x < 5/4.
Rango: poniendo la expresión en forma exponencial: 10y
= 5 – 4x; la y puede tomar todos
los valores, por tanto:
Rango: Reales
c) Asíntotas
x = 5/4 será asíntota de la curva.
d) Gráfico
Basta con calcular unos dos puntos de la curva: P (-2; 2.5); P (1.20; -2) para realizar su
gráfica, pues ya conocemos las características de estas curvas.
Analizar y graficar: y = log(7 – 4x) -3
a) Puntos de corte con los ejes:
8. Nombre de la asignatura: Matemáticas para la Administración
Parcial de estudio: Segundo
Analicemos otro ejemplo
Analizar y graficar: y = log (4x -3) - 3
a) Puntos de corte con los ejes
Si x = 0
y = log (– 3) - 3 No se da nunca, la curva no corta al eje x.
Si y = 0
3 = log (4x - 3) ; 103
= 4x - 3 ; 1000 = 4x - 3
4x = 1003 ; x = 250.75 ; P (250.75; 0)
b) Dominio y rango
y = log (4x - 3) – 3 ; Debe cumplirse que: 4x - 3 > 0 ; 4x > 3 ; x > 3/4
Dominio: x > 3/4
Rango: y + 3 = log (4x – 3) ; 10y+3
= 4x -3 Como y está en el exponente puede tomar
cualquier valor.
Rango: Reales
c) Asíntotas
Asíntota vertical: x = 3/4
9. Nombre de la asignatura: Matemáticas para la Administración
Parcial de estudio: Segundo
Una de las habilidades que debe desarrollar con el estudio de estos temas, es el paso de la
forma logarítmica a la forma exponencial y viceversa, para ello basta recordar la definición
de lo que es el logaritmo de un número.
Es importante recordar las propiedades generales de los logaritmos.
Mlog
n
1
Mlog
MlogPMlog
NlogMlog)N/M(log
NlogMlog)N.M(log
a
n
a
a
P
a
aaa
aaa
=
=
−=
+=
M = loga N El logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar la
base, para obtener el número. aM
= N
Asesoría didáctica 2
Los conocimientos adquiridos en el capítulo, deben ser aplicados a la resolución de
problemas de interés compuesto, valor presente, inversiones, etc. Solo debe tener cuidado
en elegir los períodos correctamente.
La fórmula: proporciona el monto acumulado S de un capital P al final de n
períodos de interés a una tasa periódica de r.
n
)r1(PS +=
• Para una composición semanal n = 52
• Parea una composición diaria n = 365
• Para una composición trimestral n = 4
• Para una composición semestral n = 2
• Para una composición anual n = 1
Veamos unos ejemplos
• ¿Cuál es el monto compuesto para $7.654.32 durante 2 años al 3.54% compuesto
cuatrimestralmente?
10. Nombre de la asignatura: Matemáticas para la Administración
Parcial de estudio: Segundo
• Determine el valor presente de $800.000 pagaderos dentro de 8 años al 12%
compuesto anualmente.
T= 8 años
S= 800000
r = 12%
S=223106,58 dólares
Otro ejemplo
• Una empresa obtiene un préstamo de $ 4000000 a 10 años plazo con una tasa de
interés de 15% capitalizable semestralmente. Calcular el interés y el monto que
debe pagar a la fecha de vencimiento.
n= 10*2 = 20 semestres
P= 4000000
r = 15%
S= 16991404,40 dólares
I = S – P = 16991404,40 – 4000000 = 12991404,40.
La fórmula: proporciona la población al cabo de t años que tendrá una
población Po que crece a un r% anual.
t
)r1(PoP +=
Si la población declina en su crecimiento poblacional P t
)r1(Po −=
Al trabajar con logaritmos de cantidades numéricas, debe hacerlo con todos los decimales
que la calculadora le entrega, para que los errores de cálculo sean mínimos.
Veamos unos ejemplos:
• La población de un país tiene una tasa de crecimiento del 2.67% anual, luego de 2
años es 14´230,524.02 habitantes. Cuál era la población inicial?
11. Nombre de la asignatura: Matemáticas para la Administración
Parcial de estudio: Segundo
Otro ejemplo
• La ciudad de Cuenca tiene actualmente 800.000 habitantes con una tasa de
crecimiento anual del 1.18%. Cuánto tiempo debe transcurrir para que llegue a tener
1´600.000 habitantes?
Asesoría didáctica 3
La actividad tres es de aplicación de las funciones exponenciales y logarítmicas a la vida real,
tiene que dar especial atención a la elaboración de los gráficos (se sugiere usar el programa
DERIVE).
Asesoría didáctica 4
En el texto guía debe estudiar la definición de matriz, su nomenclatura, las operaciones
básicas y sus propiedades, con estos conocimientos realice algunos de los ejercicios
propuestos en el texto guía; UD debe desarrollar la habilidad de realizar operaciones con
matrices.
Veamos un ejemplo
Dado
16
25
−
=A y 83
71
−
=B Determine (A-B)2
12. Nombre de la asignatura: Matemáticas para la Administración
Parcial de estudio: Segundo
Luego de estudiar la reducción de matrices, debemos poder distinguir cuando una matriz es
reducida o no, así como dominar el procedimiento para reducir matrices, debe desarrollar la
habilidad de realizar operaciones de renglón, para esto revise los ejercicios resueltos y
resuelva algunos de los ejercicios propuestos.
Veamos un ejemplo
Resolver por el método de reducción de matrices la siguiente matriz:
a + b - c = 4
2a - 3b + 2c = -5
-4a + b + c = 0
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
−
−
−−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
=
−
−
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
=
+⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
+
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
3
5
2
100
010
001
4
5/
5/
3
15
7
100
050
011
4
4
3
3
4
100
450
111
16
13
4
350
450
111
4
2
0
5
4
114
232
111
13
2
21
13
32
31
2313
12
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
RR
R
RR
RR
RR
RR
RRRR
RR
Respuesta:
A = 2
B = 5
C = 3
El concepto de matriz inversa y su campo de aplicación, deben quedar perfectamente claros
luego de estudiar el tema en el texto guía.
Debemos revisar cuidadosamente el método o procedimiento para hallar la inversa de las
matrices que la poseen, una vez que tengamos esta habilidad la aplicamos en la resolución
de sistemas lineales.
Veamos un ejemplo.
Resolver el sistema utilizando la inversa:
2x + 4y + 2z = 0
3x + z = 5
2x – 2y + 2z = 3
= =
F1 ÷2
13. Nombre de la asignatura: Matemáticas para la Administración
Parcial de estudio: Segundo
=
-3F1 +F2
-2F1 +F3
F2 *(-1/6)
=
-2F2 +F1
F3 *(1/2)6F2 +F3
=
-1/3F3 +F1
-1/3F3 +F2
X= * 0 + * 5 - * 3 = 2
Y= * 0+ 0 * 5 - * 3 = -1/2
Z= * 0 - * 5 + * 3 = -1
Actividades de aprendizaje
Actividad de aprendizaje 2.1.
Planteamientos
• En las funciones dadas, determine: los puntos de corte de la curva con los
ejes, el dominio y rango, las ecuaciones de las asíntotas, en caso de que
existan y realice un gráfico. (2 puntos)
6
7
9
)(
11
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==
+x
xfy
Solamente las matrices cuadradas poseen matriz inversa y para que la tengan el
valor de su determinante debe ser diferente de cero.
14. Nombre de la asignatura: Matemáticas para la Administración
Parcial de estudio: Segundo
7)74log( +−= xy
• En los siguientes ejercicios determine el valor de x: (3 puntos)
• !
• !
• !
• !
• !
• !
Objetivos
1. Analizar funciones logarítmicas y exponenciales.
2. Graficar las funciones logarítmicas y exponenciales en el sistema coordenado.
3. Aplicar correctamente los teoremas, axiomas y principios fundamentales de
las funciones logarítmicas y exponenciales
4. Resolver problemas de aplicación de las funciones logarítmicas y
exponenciales.
Orientaciones
didácticas
Estos son ejercicios de repaso del semestre anterior, si no recuerda
consulte el texto guía y los ejemplos que constan en la asesoría 1.
Criterios de
evaluación
Determina dominios y rangos de funciones logarítmicas y exponenciales.
Grafica las funciones logarítmicas y exponenciales en el sistema coordenado.
Aplica correctamente los teoremas, axiomas y principios fundamentales de las
funciones logarítmicas y exponenciales.
Resuelve problemas de aplicación de las funciones logarítmicas y exponenciales.
Actividad de aprendizaje 2.2.
Planteamientos
1. En los siguientes ejercicios, halle el monto compuesto y el interés
compuesto para la inversión y tasa anual dadas: (1 punto)
• $3.014,81 durante 5 años al 3,33% compuesto semestralmente.
• $978,32 durante 6 años al 4,21% compuesto bimensualmente.
• $1854,59 durante 3 años al 2.24% compuesto trimestralmente.
• $554.25 durante 7 años y cinco meses al 3.87% compuesto anualmente.
2. La población actual de Ambato es de 2.000.000, y crece a una tasa del
15. Nombre de la asignatura: Matemáticas para la Administración
Parcial de estudio: Segundo
3,30% anual. En el año 2015 se deben elegir concejales, uno por cada
80.000 habitantes, ¿cuántos concejales serán elegidos? (1 punto)
3. La ciudad de Loja tiene actualmente 750.000 habitantes, con una tasa de
crecimiento anual del 2.84%. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que
llegue a tener 1’950.000 habitantes? (1 punto)
4. La población de buenos Aires tiene una tasa de crecimiento del 3.12%
anual, luego de 3 años es 12´547,693 habitantes. ¿Cuál era la población
inicial? (1 punto)
5. El Ministerio de salud del Ecuador debe importar medicamentos a un
promedio de $9 por habitante cada año. Si la población actual es de
14´200.000 habitantes y la tasa de crecimiento es del 3,14% anual,
¿Cuánto se debe presupuestar para cubrir este rubro durante el período
del 1 de Enero del 2017 al 31 de Diciembre del 2020. (1 punto)
Objetivos
1. Resolver problemas de monto e interés compuesto.
2. Analizar las aplicaciones de las funciones logarítmicas y exponenciales en la
Administración de Empresas.
3. Aplicar correctamente los teoremas, axiomas y principios fundamentales de
las funciones logarítmicas y exponenciales.
4. Resolver problemas de aplicación de las funciones logarítmicas y
exponenciales.
Orientaciones
didácticas
Revise aplicaciones de las funciones exponencial y logarítmica, en su texto
guía.
Criterios de
evaluación
Resuelve problemas de monto e interés compuesto.
Analiza las aplicaciones de las funciones logarítmicas y exponenciales.
Aplica correctamente los teoremas, axiomas y principios fundamentales de las
funciones logarítmicas y exponenciales.
Resuelve problemas de aplicación de las funciones logarítmicas y exponenciales.
Actividad de aprendizaje 2.3.
Planteamientos
1. En una transacción financiera, se compra un certificado de depósito de
$1030.000 en $850.000 y se debe mantenerlo en el banco durante 6 años.
Si el certificado devenga una tasa efectiva del 3,1%, ¿cuál es su valor al
final de ese período? (1 punto)
2. La población de Bolivia es de 18 millones de habitantes y la de Uruguay de
27 millones, si la población de Bolivia crece a una tasa anual del 3,96% y
la de Uruguay al 2,11% ¿Al cabo de cuántos años los dos países tendrán
igual población? (1 punto)
16. Nombre de la asignatura: Matemáticas para la Administración
Parcial de estudio: Segundo
3. El número estimado de unidades que serán vendidas por una empresa en t
meses a partir de ahora está dado por:
t
e .tN 07,0
000.100)( −
=
a. ¿Cuáles son las ventas presentes (t = 0)?
b. ¿Cuáles serán las ventas en 2 meses? ¿En 6 meses?
c. Realice un gráfico de la función y luego responda a la pregunta:
¿Recuperarán las ventas su nivel presente? (2 puntos)
4. El número de visitantes a los parques nacionales pueden aproximarse por
la función logarítmica f(x) = - 255 + 81 ln(x). En esta función x
representa el número de años desde 1930. ¿En que año el número de
visitantes será de 1 millón? Realice una gráfica de la función. (1 punto)
Objetivos
Resolver problemas de aplicación de las funciones logarítmicas y exponenciales en
la administración de empresas.
Orientaciones
didácticas
Realice los gráficos utilizando un graficado (DERIVE), revise las
propiedades de los logaritmos.
Criterios de
evaluación
Aplica correctamente los teoremas, axiomas y principios fundamentales de las
funciones logarítmicas y exponenciales.
Resuelve problemas de aplicación de las funciones logarítmicas y exponenciales.
Actividad de aprendizaje 2.4.
Planteamientos
1. Dado
• Encuentre: (A + B)2
• Encuentre : A2
+ 2AB + B2
• c.- ¿Es (A + B)2
= A2 + 2AB +B2? (2 puntos)
2. Resuelva
(1 punto)
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
35
46
72
415
613
2
865
3147
3
3. Resuelva por el método de reducción. (1 punto)
a + b - c = 2
2a + 7b + 3c = -1
-4a + b - 3c = 3
4. Resuelva por el método de la inversa. (1 punto)
17. Nombre de la asignatura: Matemáticas para la Administración
Parcial de estudio: Segundo
3x - 2y + 2z = 2
x - 5y - 1z = -1
-3x - 2y + z = 1
Objetivos
1. Conocer y escribir correctamente las matrices.
2. Aplicar correctamente las propiedades de las matrices.
3. Resolver problemas sobre matrices.
4. Analizar las aplicaciones de las matrices a la administración de empresas.
5. Resolver problemas de administración de empresas mediante el uso de
matrices.
Orientaciones
didácticas
Aplique los métodos pedidos, los mismos que están definidos en su
texto guía.
Criterios de
evaluación
Aplica correctamente los principios y las propiedades de las matrices.
Resuelve problemas sobre matrices.
Analiza las aplicaciones de las matrices a problemas de economía.
Resuelve problemas de economía y administración de empresas mediante el uso
de matrices
Formato de
entrega
Archivo de Microsoft Office.
Enviar a
Envíe en un solo archivo que no pese más de 5.0 MB, a través de la
plataforma, mediante la sección Contenidos, cuyo nombre debe ser:
Formato: G#.Apellido.Apellido.Nombre.Asignatura
Preguntas o
dudas
Envíe sus preguntas o dudas a través de la plataforma: utilice la sección Enviar
correo y marque el nombre de su tutor.
Puntaje por actividad
Actividades de aprendizaje
Puntaje
Actividad de aprendizaje 2.1. 5
Actividad de aprendizaje 2.2. 5
Actividad de aprendizaje 2.3. 5
Actividad de aprendizaje 2.4. 5
20
18. Nombre de la asignatura: Matemáticas para la Administración
Parcial de estudio: Segundo
“En caso de que para el examen sea estrictamente
necesaria la consulta de tablas, fórmulas, esquemas o
gráficos, estos serán incluidos como parte del examen
o en un anexo”.
EL EXAMEN SERÁ SIN CONSULTA.
El tutor de la asignatura