Este documento presenta el Módulo 3 de un curso de Matemática Básica sobre funciones cuadráticas y problemas de optimización. Explica las funciones cuadráticas, cómo graficarlas y sus propiedades. Luego, describe cómo encontrar los máximos y mínimos de funciones cuadráticas mediante la determinación del vértice y el eje de simetría. Incluye ejemplos resueltos de estas aplicaciones. Finalmente, proporciona una estrategia para resolver problemas que involucren la maximización o minimización de funciones

1. MÓDULO 3: FUNCIONES CUADRÁTICAS Y PROBLEMAS
DE OPTIMIZACIÓN
MATEMÁTICA BÁSICA

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Curso: Matemática básica
Módulo 3: Funciones cuadráticas y problemas de optimización

3. Contenido
1. Introducción
2. Funciones cuadráticas
3. Gráfica de una función cuadrática de la forma
4. Gráfica de una función cuadrática de la forma
5. Propiedades de la función cuadrática y su gráfica
6. Optimización (maximizar o minimizar las funciones cuadráticas)
7. Referencias bibliográficas
3
3
6
7
7
8
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Módulo 3: Funciones cuadráticas y problemas de optimización
MATEMÁTICA BÁSICA
Las materias primas y el trabajo pueden ocasionar que los costos variables de algunos produc-
tos aumenten en forma considerable a medida que se producen más unidades, las funciones de
costo total no siempre son lineales. Por ejemplo, suponga que el costo total de producir un
producto está dado por la ecuación
Donde x representa el número de unidades producidas. Es decir, el costo de este producto se
representa con una función de segundo grado, o una ecuación cuadrática. Podemos encontrar
el costo de producir 10 unidades evaluando
Si la función ingreso para este producto es
entonces la ganancia también es una función cuadrática:
Es natural preguntarse cuantas unidades dan la ganancia máxima y cuál es esa ganancia
máxima. En esta sección describiremos la forma de encontrar el punto máximo, o el punto
mínimo, de una función cuadrática.
INTRODUCCIÓN
1
La función cuadrática general es de la forma:
donde a, b y c son números reales.
El dominio de f(x) es el conjunto de todos los números reales.
El rango de una función cuadrática se puede determinar transformando primero la ecuación
(1) al completar el cuadrado en la forma estándar
Su representación gráfica es una parábola con eje vertical.
FUNCIONES CUADRÁTICAS
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Ejemplo 01 Graficar una función cuadrática con un valor a > 0
Completando el cuadrado, determine el vértice de la gráfica de . Luego halle
el dominio y rango además dibuje la gráfica de la parábola.
Solución
Reescriba la ecuación en la forma escribiendo primero
como
Ahora complete el cuadrado de la expresión en paréntesis. Tome la mitad del coeficiente de x, es
decir y eleve al cuadrado el resultado: . Para completar el cuadrado de-
bemos añadir 9 dentro del paréntesis, pero para no cambiar la regla de la función debemos también
restar 9:
factorice , para obtener
Vemos que el vértice es (3, -2) y el eje de simetría es x = 3. Unimos los puntos para formar una pará-
bola que se abre hacia arriba, pues a > 0. Además, tabulamos puntos adicionales según se necesi-
ten para obtener la gráfica
0
1
3
5
6
7
2
-2
2
-7
Intersección
con el eje Y
Vértice
Encontramos usando
simetría respecto al eje
0
-2
6
7
3
x = 3
(3, -2)
De donde

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MATEMÁTICA BÁSICA
Ejemplo 02 Graficar una función cuadrática con un valor a < 0
Encuentre el vértice de la gráfica de .
a) Encuentre el vértice de la parábola.
b) Encuentre las intersecciones con x (si las hay) de la parábola.
c) Trace la parábola.
Solución
a) Ponemos f(x) en la forma factorizando primero en
Trabajando dentro del paréntesis, tome la mitad de (el coeficiente de x): . Eleve al
cuadrado este resultado: . Sume y reste dentro del paréntesis.
Simplifique y factorice para obtener
b) Como a = -3 es negativa, la parábola se abre hacia abajo. El vértice está en y el eje
de simetría es .
Usando estos resultados y tabulando pares ordenados adicionales para obtener la gráfica.
c) La intersección con el eje Y es hallada evaluando f(0).
la intersección con el eje Y es (0, 1).
Las intersecciones con el eje X se logra haciendo f(x) = 0 y solucionando la ecuación para x

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De la forma general de la función cuadrática, si b=0 y c=0, obtenemos f(x)=ax^2, a≠0 su gráfica
es una parábola que se abre hacia arriba si a>0 y hacia abajo si a<0. (El vértice se ubica en el
origen de coordenadas)
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA DE LA FORMA
3
2
1
1
2
-1
(0, 1)
(-1, 0)
Así la gráfica es:
( , 0)
x = -
-1
-1 1
1
2
3
2 3
-2
-3
-2
-3
mínimo (0, 0) -1
-1 1
1
2
3
2 3
-2
-3
-2
-3
máximo (0, 0)

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MATEMÁTICA BÁSICA
En , el vértice es el punto con coordenadas trasladado afuera del
origen.
Vértice =
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA DE LA FORMA
4
Dada una función cuadrática y la obtenida al completar el cuadrado
1) La gráfica de f es una parábola.
PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA Y SU GRÁFICA
5
0 0
Vértice (h, k)
Min
Eje de simetría
x = h
h
Vértice (h, k)
Max
Eje de simetría
x = h
h

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Ejemplo 03
Para la función , determine si su vértice es un punto máximo o un punto mínimo y
encuentre las coordenadas de este punto; encuentre los ceros, si existen, y trace la graficar.
Solución
La forma adecuada es , de modo que a = -1. De ahí que la parábola se abre
hacia abajo y el vértice es el punto más alto (máximo).
El vértice está en:a
Al completar el cuadrado de la función se puede reescribir en
la función:
Donde las coordenadas del vértice de la gráfica de es .
Valores máximos o mínimos de funciones cuadráticas
El valor máximo o mínimo de una función cuadrática , se presenta en
.
1. Si a > 0, f tiene un mínimo en . El valor mínimo es
2. Si a < 0, f tiene un máximo en . El valor máximo es
OPTIMIZACIÓN (MAXIMIZAR O MINIMIZAR LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS)
6
2) Vértice: (h, k). (La parábola aumenta en un lado del vértice y disminuye en el otro.)
3) Fórmulas del vértice:
4) Eje de simetría: x = h. (Paralela al eje Y)
5) f(h) = k es el mínimo si a > 0 y el máximo si a < 0.
6) Dominio: Todos los números reales.
7) Rango:
8) La gráfica de f es la gráfica de g(x)=ax2
trasladada horizontalmente h unidades y verticalmen-
te k unidades.

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Ejemplo 04
Encuentre el vértice de la gráfica de .
Solución
Como a = -3 y b = -2, el valor x del vértice es
El valor y del vértice es
El vértice es y el eje de la parábola es , como se muestra en la gráfica del
ejemplo 02.
La ordenada y del vértice es
Luego las coordenadas del vértice son (2,4)
Los ceros de la parábola son soluciones de
Es decir x = 0 y x = 4
Al usar estos tres puntos o un graficador se obtiene la gráfica.
De donde
-1 4
3
4
2
2
1
Vértice (2, 4) máximo

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6.1 Estrategia para resolver problemas que implican maximizar o minimizar las funciones
cuadráticas.
1) Lea el problema cuidadosamente y decida qué cantidad se debe maximizar o minimizar.
2) Use las condiciones del problema para expresar la cantidad como una función en una varia-
ble.
3) Reescribe la función en la forma .
4) Determina , f tiene un mínimo en . Este valor mínimo es
Si tiene un máximo en . Este valor máximo es .
5) Responda la pregunta planteada en el problema.
Maximización de la ganancia
Para la función de la ganancia de nuestra introducción de la aplicación,
Encuentre el número de unidades que da la ganancia máxima y encuentre la ganancia máxima
Solución
P(x) es una función cuadrática con a < 0. Por consiguiente, la gráfica de y = P(x) es una parábola
que se abre hacia abajo, de modo que el vértice es un punto máximo. Las coordenadas del vérti-
ce son
Por lo tanto, la ganancia máxima es $223800 cuando se vende 1500 unidades.
Usando un graficador obtenemos
3000
-1500
0
240,000

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BIBLIOGRAFÍA
Allen R. Ange.l (2008). “Álgebra Intermedia”. 7ma Edición. México. PEARSON EDUCACIÓN.
Barnett. R. Ziegler, M (2015) “College Mathematics”. 13 th. EEUU: Pearson.
Charles D. Miller, Vern e. heeren, John Hornsby (2016). “Mathematical ideas”. 13th edition. Pear-
son Education, Inc.
Harshbarger, R. Reynolds, J (2013). “Mathematical Applications”. 10 th. USA: Cengage Lear-
ning.
Harshbarger, R. Reynolds, J (2005) “Matemáticas aplicadas a la administración, economía y
ciencias sociales”. 7 ed. México. McGraw-Hill Interamericana.
Lial M, Hungerford T (2000). “Matemáticas para administración y economía en las ciencias
sociales, naturales y de administración”. 7 ed. México. Pearson educación.
Marvin. Bittinger (2002). “Cálculo para ciencias económico- Administrativas”. 7 Ed. Addinson
Wesley.
Sullivan M. (2017) “COLLEGE ALGEBRA. Enhanced with Graphing Utilities”. Seventh Edition.
Pearson Education.