El documento aborda el análisis de funciones racionales, incluyendo conceptos básicos, puntos de corte con los ejes, asíntotas y huecos. Se presentan ejemplos que ilustran cómo hallar estos elementos en funciones específicas. Además, se menciona la importancia de las gráficas en relación a las asíntotas y puntos de corte.

1. Matemáticas
Grado Once
Cálculo
Función Racional
Docente
Rodrigo Velasco Palomino
www.rodrivelp.blogspot.com
Institución Educativa Técnico Industrial
I.E.T.I
Popayán Cauca
Colombia

2. 2
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TABLA DE CONTENIDO
FUNCIÓN RACIONAL
1. Conceptos Básicos de Función Racional
2. Puntos de corte con el eje X
3. Punto de corte con el eje Y
4. Asíntotas verticales
5. Puntos indefinidos (huecos)
6. Asíntotas horizontales
7. Asíntotas oblicuas
8. Gráficas

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FUNCIÓN RACIONAL
CONCEPTOS BASICOS:
Toda función racional es el cociente de dos funciones polinómicas, de la forma:
𝒇( 𝒙) =
𝑷(𝒙)
𝑸(𝒙)
Para hacer el análisis tomaremos unos ejemplos típicos, en el que se sugieren seguir los pasos explicados:
𝑓(𝑥) =
𝑥2
+ 2𝑥 − 8
𝑥 − 2
𝑔(𝑥) =
𝑥2
+ 2𝑥 − 3
𝑥 + 2
ℎ(𝑥) =
5
𝑥2 + 2𝑥 − 8
𝑘(𝑥) =
(𝑥 + 4)
(𝑥 − 2)
1. Factorizar la función tanto en el numerador como en el denominador, si es posible.
𝑓(𝑥) =
(𝑥 + 4)(𝑥 − 2)
(𝑥 − 2)
𝑔(𝑥) =
(𝑥 + 3)(𝑥 − 1)
(𝑥 + 2)
ℎ(𝑥) =
5
(2𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
𝑘(𝑥) =
(𝑥 + 4)
(𝑥 − 2)
2. Puntos de corte con el eje x: Los determinan las raíces del numerador
Un punto de corte Dos puntos de corte Cero puntos de corte Un punto de corte
X + 4 = 0
X = - 4
x – 3 = 0
x = 3
x – 2 = 0
x = 2
En el numerador no
hay ninguna ecuación
con x
X + 4 = 0
X = - 4
3. Puntos de corte con el eje Y: Se calculan tabulando x = 0 en la ecuación
Corta al eje Y en (0 , 4) Corta al eje Y en (0,-3/2) Corta al eje Y en (0 , -5/8) Corta al eje Y en (0 , 2)
𝑓(𝑥) =
𝑥2
+ 2𝑥 − 8
𝑥 − 2
𝑓(0) =
02
+ 2(0) − 8
0 − 2
𝑓(0) =
−8
−2
𝑓(0) = 4
𝑔(𝑥) =
𝑥2
+ 2𝑥 − 3
𝑥 + 2
𝑔(0) =
02
+ 2(0) − 3
0 + 2
𝑔(0) =
−3
2
ℎ(𝑥) =
5
𝑥2 + 2𝑥 − 8
ℎ(0) =
5
02 + 2(0) − 8
ℎ(0) = −
5
8
𝑘(𝑥) =
(𝑥 + 4)
(𝑥 − 2)
𝑘(0) =
(0 + 4)
(0 − 2)
𝑘(0) =
4
−2
𝑘(0) = 2
4. Huecos en la gráfica: Se presentan en las raíces de los términos que se cancelan del numerador con el denominador
Tiene un hueco: Hay un
término que se cancela
No tiene huecos: No hay
términos que se cancelen
No tiene huecos: No hay
términos que se cancelen
No tiene huecos: No hay
términos que se cancelen
𝑓(𝑥) =
(𝑥 + 4)(𝑥 − 2)
(𝑥 − 2)
𝑔(𝑥) =
(𝑥 + 3)(𝑥 − 1)
(𝑥 + 2)
ℎ(𝑥) =
5
(2𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
𝑘(𝑥) =
(𝑥 + 4)
(𝑥 − 2)
X – 2 = 0
X = 2

4. 4
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5. Asíntotas verticales: Las determinan las raíces del denominador
 Si algún factor del denominador se cancela, entonces, la raíz se convierte en un hueco en la gráfica
No tiene asíntota vertical porque
el denominador se cancela
Tiene una asíntota vertical
en x = - 2
Tiene dos asíntotas verticales
en x = - 3/2 y en x = 3
Tiene asíntota vertical en
x = 2
𝑓(𝑥) =
(𝑥 + 4)(𝑥 − 2)
(𝑥 − 2)
𝑔(𝑥) =
(𝑥 + 3)(𝑥 − 1)
(𝑥 + 2)
ℎ(𝑥) =
5
(2𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
𝑘(𝑥) =
(𝑥 + 4)
(𝑥 − 2)
X + 2 = 0
X = - 2
2x + 3 = 0
X = - 3/2
X – 3 = 0
X = 3
X – 2 = 0
X = 2
6. Asíntotas horizontales:
 Si el grado del numerador es igual que el grado del denominador la asíntota horizontal se obtiene dividiendo los coeficientes de
las variables de mayor grado.
 Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador la asíntota horizontal se encuentra en y = 0.
 Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador entonces no existe asíntota horizontal.
No tiene una asíntota horizontal
porque el grado del numerador
es mayor que el grado del
denominador
No tiene una asíntota horizontal
porque el grado del numerador
es mayor que el grado del
denominador
Tiene una asíntota horizontal
en Y = 0 porque el grado del
numerador es menor que el
grado del denominador
Tiene una asíntota horizontal
en Y = 1/1 = 1 porque el grado
del numerador es igual al
grado del denominador
𝑓(𝑥) =
𝑥2
+ 2𝑥 − 8
𝑥 − 2
𝑔(𝑥) =
𝑥2
+ 2𝑥 − 3
𝑥 + 2
ℎ(𝑥) =
5
𝑥2 + 2𝑥 − 8
𝑘(𝑥) =
(𝑥 + 4)
(𝑥 − 2)
7. Asíntota Oblicua:
Se presenta cuando el grado del numerador es mayor en una unidad que el grado del denominador, y esta se calcula dividiendo los
dos polinomios y el cociente corresponde a una línea recta oblicua.
No tiene asíntota oblicua,
aunque el grado del
denominador es mayor en una
unidad que el denominador, ya
que se canceló el denominador
Tiene una asíntota oblicua porque el
grado del numerador es mayor en
una unidad que el grado del
denominador, se obtiene dividiendo
los polinomios
No tiene una asíntota oblicua
porque el grado del
numerador es menor que el
grado del denominador
No tiene una asíntota oblicua
porque el grado del
numerador es menor que el
grado del denominador
𝑓(𝑥) =
𝑥2
+ 2𝑥 − 8
𝑥 − 2
𝑓(𝑥) =
(𝑥 + 4)(𝑥 − 2)
(𝑥 − 2)
𝑔(𝑥) =
𝑥2
+ 2𝑥 − 3
𝑥 + 2
X2 + 2X - 3 X + 2
- X2 - 2X X
0 + 0 - 3
ℎ(𝑥) =
5
𝑥2 + 2𝑥 − 8
𝑘(𝑥) =
(𝑥 + 4)
(𝑥 − 2)
8. Gráficas:
Para graficar se tienen en cuenta los puntos de corte con los ejes hallados, las asíntotas si las hay y sobre todo tener en cuenta que las
gráficas en su desplazamiento tienden a acercarse cada vez más hacia las asíntotas, como se puede ver a continuación:
𝑓(𝑥) =
𝑥2
+ 2𝑥 − 8
𝑥 − 2
𝑔(𝑥) =
𝑥2
+ 2𝑥 − 3
𝑥 + 2

5. 5
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ℎ(𝑥) =
5
𝑥2 + 2𝑥 − 8
𝑘( 𝑥) =
( 𝑥 + 4)
( 𝑥 − 2)
Rodrigo Velasco Palomino