Este documento resume los pasos para resolver una desigualdad racional o inecuación. Explica cómo encontrar los puntos críticos, dividir en casos y determinar el intervalo de solución entre -3 y -1/2. Luego, construye una nueva inecuación cuya solución es el intervalo (-∞;11/3) aplicando propiedades de los números reales como aditividad, asociatividad e inverso multiplicativo. Finalmente, verifica que la solución propuesta satisface efectivamente la inecuación planteada.

1. ACTIVIDAD OBLIGATORIA 4 A-PRIMERA PARTE
Actividad del Proceso N° 19(C)
Desigualdades Racionales-Inecuaciones:
Ejercicio 19-C
𝑿 + 𝟑
𝟐𝑿 + 𝟏
≤ 𝟎
PUNTOS CRITICOS TODOS : ℝ − {−
𝟏
𝟐
}
NUMERADOR: 𝑿 + 𝟑 = 𝟎 ∴ 𝑿 = −𝟑 (INCLUYE, EXTREMO CERRADO ≤ )
DENOMINADOR: 𝟐𝑿 + 𝟏 = 𝟎 ∴ 𝑿 = −
𝟏
𝟐
(NO INCLUYE, EXTREMO ABIERTO < )
Esta desigualdad es una inecuación, una inecuación es una desigualdad que
Lleva en su expresión un valor desconocido, un datodesconocido
La regla de la división afirma que un cociente real es nulo si el numerador es nulo.
Un cociente está definido solo para los valores que NO anulan el denominador.
Las dos alternativas a saber: x + 3≤ 0 ∧ 2x +1< 0 o bien x + 3 ≥ 0 ∧ 2x +1 > 0.Para el
denominador 2x+1 “NO” poder ser mayor igual a cero ni menor igual a cero.
La regla de los signos afirma que un productoes positivo si ambos factores coinciden en
el signo y es negativo si difieren en sus signos.
𝑿 + 𝟑
𝟐𝑿 + 𝟏
≤ 𝟎
𝑿 + 𝟑 ≤ 𝟎⋀𝟐𝑿 + 𝟏 < 𝟎 ∨ 𝑿 + 𝟑 ≥ 𝟎⋀𝟐𝑿 + 𝟏 > 𝟎

2. 𝑿 ≤ −𝟑 ∨ 𝑿 ≥ −𝟑
𝑿 < −
𝟏
𝟐
∨ 𝑿 > −
𝟏
𝟐
−𝟑 ≥ 𝑿 < −
𝟏
𝟐
∨ −𝟑 ≤ 𝑿 > −
𝟏
𝟐
-3 -2 -1/2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1/2 -1 0 1 2 3
-3 -2 -1/2 -1 0 1 2 3
Solución: [-3;−
𝟏
𝟐
)
Solución final: Sea: (x/x ∈ ℝ∀ 𝒙 ∴ 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 [−𝟑;−
𝟏
𝟐
))
La solución viene dada por el intervalo marcado en el gráfico.
Verificamos:
Si x = −𝟑 reemplazamos en la ecuación de partida resulta:
𝑿 + 𝟑
𝟐𝑿 + 𝟏
≤ 𝟎
−𝟑 + 𝟑
𝟐(−𝟑)+ 𝟏
≤ 𝟎
𝟎
−𝟓
≤ 𝟎
0 ≤ 𝟎 Satisface con la desigualdad

3. Si x = −
𝟏
𝟐
reemplazamos en la ecuación de partida resulta:
𝑿 + 𝟑
𝟐𝑿 + 𝟏
≤ 𝟎
−
𝟏
𝟐
+ 𝟑
𝟐 (−
𝟏
𝟐
) + 𝟏
≤ 𝟎
𝟓
𝟐
𝟎
≤ 𝟎 “NO” cumple con la desigualdad
Si x = 𝟐 reemplazamos en la ecuación de partida resulta:
𝑿 + 𝟑
𝟐𝑿 + 𝟏
≤ 𝟎
𝟐 + 𝟑
𝟐. 𝟐 + 𝟏
≤ 𝟎
𝟓
𝟓
≤ 𝟎
𝟏 ≤ 𝟎 “NO” cumple con la desigualdad

4. También podemos verificar en la siguiente gráfica .Le damos valores a “x” en la ecuación
principal y vemos si satisfacen o pertenecen; los valores positivos no satisfacen la
inecuación porque tienen que ser valores ≤ (𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒐 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒂𝒄𝒆𝒓𝒐)obtenemos
lo demostrado en la gráfica.
𝑿 + 𝟑
𝟐𝑿 + 𝟏
≤ 𝟎
X=-4 X=-2 X=0
(−)
(−)
(+)
(−)
(+)
(+)
−∞ + ∞
NO (+) SI (-) NO (+)
-3 −
𝟏
𝟐
Solución: [-3;−
𝟏
𝟐
)

6. Los resultados con Wolfram Alpha coinciden con los resultados realizados
anteriormente.

7. ACTIVIDAD OBLIGATORIA 4 A-SEGUNDA PARTE
Siguiendoel ejemplodesarrolladoal final del apartado4de la unidadconstruyauna inecuación
cuya soluciónseael intervalo [2,∞),oel intervalo (−∞;
11
3
) .Paraconstruirloaplique nomenosde
tresveceslaspropiedadesde ordende losreales.Compartaeneste forodichaconstrucción,de
estaforma tendremosunabanicode inecuacionesconlamismasolución.
𝟑𝑿 + 𝟑 < 𝟏𝟒
𝟑𝑿 + 𝟑 − 𝟑 < 𝟏𝟒 − 𝟑 Propiedad aditiva
𝟑𝑿 + 𝟎 < 𝟏𝟏 Propiedad asociativa, definición de 0
𝟑𝑿 < 𝟏𝟏 Definición de neutro
𝟏
𝟑
𝟑𝑿 <
𝟏
𝟑
𝟏𝟏 Definición de inverso multiplicativo
𝑿 <
𝟏𝟏
𝟑
Propiedad asociativa
La última desigualdad determina claramente el dato desconocido. Se trata de:
Los números reales menores a once tercios
Solución: (−∞;
𝟏𝟏
𝟑
)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
𝟏𝟏
𝟑
4
Solución: Sea: (x/x ∈ ℝ (−∞;
𝟏𝟏
𝟑
))
Verificamos:
Si x = −𝟑 reemplazamos en la ecuación de partida resulta:
𝟑𝑿 + 𝟑 < 𝟏𝟒
𝟑(−𝟑)+ 𝟑 < 𝟏𝟒
−𝟔 < 𝟏𝟒 “Satisface la inecuación”

8. Si x = 𝟒 reemplazamos en la ecuación de partida resulta:
𝟑. 𝟒 + 𝟑 < 𝟏𝟒
𝟏𝟐 + 𝟑 < 𝟏𝟒
𝟏𝟓 < 𝟏𝟒 “NO Satisface la inecuación”
RESULTADO OBTENIDO CON WOLFRAMALPHA