Este documento explica las propiedades y definiciones del valor absoluto de un número real. Define el valor absoluto como la distancia de un número al origen. Presenta las propiedades básicas como |a| = a si a ≥ 0 y |a| = -a si a < 0. Explica cómo resolver ecuaciones con valor absoluto usando las propiedades a = b ↔ b ≥ 0 ∧ (a = b ∨ a = -b) y a = b → a = b ∨ a = -b.

1. INSTITUCIÓN
EDUCATIVA:
“Nuestra Señora
de Carmen”
Huamaní Pillaca, Víctor
Imail:huamanipillaca@gmail.com

2.
El valor absoluto de un número real "a", denotado
por |a|, se define por la regla:
a, si.a ≥ o - 10 = 10

−a, si.a < 0
Se lee: El valor absoluto de "a", es igual
al mismo número "a", si "a" es positivo o
cero o igual a su opuesto -a, si "a" es
negativo.
Ejemplo:
10 = 10

3. Interpretación geométrica del valor absoluto de un número real
El valor absoluto de un número real indica gráficamente la longitud del origen al
número "a" o la longitud del origen al número -a.

4. Completa usando los símbolos: < ó >.
a) |-5| _____ 0
b) |-1,01| _____ 1,02
c) -|219| _____ -218
d) -|-2006| _____ -2
Propiedad N° 1 Propiedad N°3
2
∀a ∈ ¡ → a ≥ o
∀a∈ ¡ → a = a 2
Propiedad N°2
Propiedad N°4
2
∀a∈ ¡ → a = a 2
∀a∈ ¡ → a = −a

5. Propiedad N°5
∀a, b ∈ ¡ → a.b = a . b
Propiedad N°6
a a
∀a, b ∈¡ → = b≠o
b b
∀ a, b ∈ ¡ → a + b = a + b Desigualdad
triangular

6. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Los teoremas que permiten la solución de ecuaciones con valor absoluto
son los siguientes:
a = b ↔ b ≥ 0 ∧ ( a = b ∨ a = −b )
Ejemplos: 12 − 3 x = 6 ∨ 12 − 3 x = −6
1.resuelve: Resolviendo las dos ecuaciones:
12 − 3x = 6 −3 x = 6 − 12 ∨ −3 x = −6 − 12
Desarrollo:
−3 x = −6 ∨ −3 x = −18
x = 2∨ x = 6
6≥0
c.s = { 2;6}

7. 3.Resuelve:
2.resuelve:
3 x − 2 = x − 18
x +1 = 8 Desarrollo:
Desarrollo: Recuerda que:
a = b ↔ b ≥ 0 ∧ ( a = b ∨ a = −b )
x +1 = 8
x − 18 ≥ 0 → x ≥ 18
8≥0
x + 1 = 8 ∨ x + 1 = −8 3x − 2 = x − 18 ∨ 3x − 2 = − ( x − 18)
Resolviendo las dos ecuaciones: Resolviendo las dos ecuaciones se tiene:
x = 7 ∨ x = −9 x = −8 ∨ x = 5
Los valores de x tiene que ser mayores
C.S = { 7 ; - 9 } e iguales 18 .
Los valores obtenidos no satisfacen.
C.S = { }

8. a = b → a = b ∨ a = −b
Ejemplos:
1.Resuelve:
4x − 3 = 2x + 7
Desarrollo:
4x − 3 = 2x + 7 ∨ 4x − 3 = − ( 2x + 7)
Resolviendo las dos ecuaciones se tiene:
5 2
x= ∨x=
2 3
5 2
c.s =  ; 
2 3

9. 2.resuelve:
||x - 1| -1| = 1 a = b ↔ b ≥ 0 ∧ ( a = b ∨ a = −b )
Desarrollo:
x −1 −1 = 1
x − 1 − 1 = 1 ∨ x − 1 − 1 = −1
x −1 = 2 ∨ x −1 = 0
Aplicando nuevamente la propiedad
de valor absoluto.

10. x −1 = 2 ∨ x −1 = 0
[ x − 1 = 2 ∨ x − 1 = −2] ∨ x − 1 = 0
x = 3 ∨ x = −1 ∨ x = 1
C.S = { −1;1;3}

11. Resumiendo:
Para resolver las ecuaciones con valor absoluto tienes que emplear una de las
propiedades:
a = b ↔ b ≥ 0 ∧ ( a = b ∨ a = −b )
a = b → a = b ∨ a = −b

12. Evaluación :
Relaciona mediante una flecha la propiedad a emplear en la solución de las
siguientes ecuaciones con valor absoluto.
x −1 = 2 a = b ↔ b ≥ 0 ∧ ( a = b ∨ a = −b )
3x − 2 = x − 1
x −8 = x − 2
a = b → a = b ∨ a = −b
2x −1 = x +1
x = −10

13. GRACIAS POR TU ATENCIÓN PRESTADA