Aplicaciones Integral

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
Ilustración deIlustración de
la integral cona eg a co
métodos ymétodos y
li iaplicacionesp
Pablo García y Colomé

Integración
por partes

( ) ( )u f x y v g x= =( ) ( )u f x y v g x
( )d uv udv vdu+( )d uv udv vdu= +
( )udv d uv vdu= −
udv uv vdu= −∫ ∫udv uv vdu∫ ∫

2x sen x dx∫
cos2
; 2
2
x
u x du dx dv sen x dx v= ⇒ = = ⇒ = −
2
udv uv vdu= −∫ ∫∫ ∫
2 cos2
2
2 2
xcos x x
x sen x dx dx
⎛ ⎞
= − − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫2 2⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫
2 1
2 cos2
xcos x
x sen x dx x dx= +∫ ∫2 cos2
2 2
x sen x dx x dx= − +∫ ∫
2 2
2
xcos x sen x
d C∫ 2
2 4
cos se
x sen x dx C∴ = − + +∫

lnx dx∫∫
d
ln ;
dx
u x du dv dx v x
x
= ⇒ = = ⇒ =
ln ln
dx
x dx x x x
x
= −∫ ∫ x∫ ∫
ln lnx dx x x dx= −∫ ∫∫ ∫
ln lnx dx x x x C∴ = +∫ln lnx dx x x x C∴ = − +∫

2 3x
x e dx∫∫
3x
e2 3
2 ;
3
x e
u x du x dx dv e dx v= ⇒ = = ⇒ =
( )
2 3 3
2 3
2
x x
x x e e
x e dx x dx∫ ∫ ( )2
3 3
x e dx x dx= −∫ ∫
2 3
2 3 32
3 3
x
x xx e
x e dx xe dx= −∫ ∫3 3∫ ∫

∫
3x
xe dx∫
3
3
x
x e3
;
3
x e
u x du dx dv e dx v= ⇒ = = ⇒ =
3 3x x
xe e
∫ ∫
3
3 3
3 3
x
x x
xe e
xe dx dx= −∫ ∫
3 3
3
1
3 9
x x
x xe e
xe dx C⇒ = − +∫
2 3 3 3
2 3 2
3 3 3 9
x x x
x x e xe e
x e dx C
⎛ ⎞
= − − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ 3 3 3 9⎝ ⎠
∫
2 3 3 3
2 2x x x
x e xe e
∫
2 3 2 2
3 9 27
x x e xe e
x e dx C∴ = − + +∫

lntansenx xdx∫ lntansenx xdx∫
2
sec
lntan
tan cos
x dx
u x du dx
x sen x x
= ⇒ = =
tan cos
cos
x sen x x
dv sen x dx v x= ⇒ = −
lntansenx x dx∴ ∫
( )
lntan
cos lntan cos
senx x dx
dx
x x x
∴
= − − −
∫
∫( )cos lntan cos
cos
x x x
se x xn
= − − −∫

cos lntan cscx x x dx= − +∫
lntansenx x dx∴ =∫ lntan
cos lntan ln csc cot
senx x dx
x x x x C
∴
= − + − +
∫

DiferencialesDiferenciales
trigonométricas

2 2
3 cos 3sen x xdx∫∫
1 1 1 1⎛ ⎞⎛ ⎞
∫
1 1 1 1
cos6 cos6
2 2 2 2
x x dx
⎛ ⎞⎛ ⎞
− + =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
∫
2 21 1 1 1
cos 6 cos 6x dx dx xdx
⎛ ⎞
⎜ ⎟∫ ∫ ∫cos 6 cos 6
4 4 4 4
x dx dx xdx− = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫

1 1 1 1
cos12
4 4 2 2
dx x dx
⎛ ⎞
= − + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫4 4 2 2
1 1 1
cos12dx dx xdx
⎝ ⎠
= ∫ ∫ ∫ cos12
4 8 8
1 1
dx dx xdx= − −∫ ∫ ∫
∫ ∫
1 1
cos12
8 8
dx xdx= −∫ ∫
2 2 12
3 cos 3
x sen x
sen x xdx C∴ +∫ 3 cos 3
8 96
sen x xdx C∴ = − +∫

5
cos x
dx∫ dx
senx
∫
1
4 2
cos cosx sen x xdx
−
= ∫
( )
1
2
2 2
1 cossen x sen x xdx
−
= − =∫( )
( )
1
2 4 2
1 2 cossen x sen x sen x xdx
−
= − + =
∫
∫( )
1 3 7
2 2 2
cos 2 cos cossen x xdx sen x xdx sen x xdx
−
= − +
∫
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

cosu senx du xdx= ⇒ =
1 5 9
1 3 7 2 2 2
2 2 2
2
2
u u u
u du u du u du C
−
+ + +∫ ∫ ∫2 2 2
2
1 5 9
2 2 2
u du u du u du C− + = − + +∫ ∫ ∫
2 2 2
1 5 95
2 2 2
cos 4 2
2
x
dx sen x sen x sen x C∴ + +∫ 2 2 2
2
5 9
dx sen x sen x sen x C
senx
∴ = − + +∫

64
sec x dx
π
π∫6
π∫
2
( )
( )
2
6 2 2
4 2 2
sec tan 1 sec
t 2t 1
x dx x x dx
d
= + =∫ ∫
∫( )
( )
4 2 2
4 2 2 2 2
tan 2tan 1 sec
tan sec 2tan sec sec
x x x dx
x x x x x dx
= + +
= + +
∫
∫( )tan sec 2tan sec secx x x x x dx= + +∫
2
5 3
tan sec
2
u x du x dx
u u
= ⇒ =
5 3
4 2 2
2
5 3
u u
u du u du du u C+ + = + + +∫ ∫ ∫

5 3 5 3
2 tan 2tan
tan
u u x x
u C x C+ + + + + +tan
5 3 5 3
u C x C
π
= + + + = + + +
⎡ ⎤5 3 4
64
6
tan 2tan
sec tan
5 3
x x
x dx x
π
π
π
⎡ ⎤
= + + =⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫6
6
5 3
tan 2tan
π π
⎣ ⎦
tan 2tan
4 4 tan
5 3 4
π
= + +
5 3
tan 2tan
6 6 tan
π π
π6 6 tan
5 3 6
− − −

5 3
1 1
2
1 2 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠1 2 13 3
1
5 3 5 3 3
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + + − − −
5 3 5 3 3
28 1 2 1 28 56
= − − − = −
15 1545 3 9 3 3 45 3
64
sec 1 1482x dx
π
∴ ≈∫ 4
6
sec 1.1482x dxπ∴ ≈∫

3
tan 4x dx∫∫
3 2
tan 4 tan 4 tan4x dx x x dx=∫ ∫
( )2
sec 4 1 tan4x x dx∫( )sec 4 1 tan4x x dx= −∫
2
tan4 sec 4 tan4x x dx x dx= −∫ ∫

2
2 2
tan4 4sec 4
1 1 t 4
u x du x dx= ⇒ =
2 2
1 1
1 1 tan 4
4 4 2 8
u x
udu C C= + = +∫
1
2
1
tan4 ln sec4
4
x dx x C= +∫
2
3 tan 4 1
tan 4 ln sec4
8 4
x
x dx x C∴ = + +∫ 8 4∫

3 5
sec tanx x dx∫∫
∫ ∫
( )
3 5 2 4
2
2 2
sec tan sec tan sec tan
1 t
x x dx x x x xdx
d
=∫ ∫
∫ ( )
( )
2 2
2 4 2
sec sec 1 sec tan
sec sec 2sec 1 sec tan
x x x xdx
x x x x xdx
= −
= − +
∫
∫ ( )
6 4
sec sec 2sec 1 sec tan
sec sec tan 2 sec sec tan
x x x x xdx
x x x dx x x x dx
= − +
= −
∫
∫ ∫
2
sec sec tanx x x dx+
∫ ∫
∫

6 4
sec sec tan 2 sec sec tanx x x dx x x x dx= −∫ ∫
2
sec sec tanx x x dx+
∫ ∫
∫
7 5 3
sec sec tanu x du x x dx= ⇒ =
7 5 3
6 4 2 2
2
7 5 3
u u u
u du u du u du C− + = − + +∫ ∫ ∫ 7 5 3
3 5
sec tanx x dx∴ ∫
7 5 3
sec 2sec secx x x
C= − + +
∫
7 5 3
C= + +

SustituciónSustitución
trigonométrica

( )
1
2 2 2
)i a u−
a u
y( ))i a u
2 2
a u−
y
( )
1
2 2 2
)ii a u+ u
2 2
a u+
( )2 2 2
)ii a u+ u
a
a u+
y
a
1
u
( )
1
2 2 2
)iii u a−
u 2 2
u a−
a
y
a

2
9 1 6x d x−∫
2 2
9 ; 3 ; 3u x u x du dx= = =
2
16 ; 4a a= =
1
∫
2 21
3
u a du⇒ −∫
u2 2
u a−
sec
sec tan
u a y
du a y y dy
=
=
y
a
u a
2 2
tanu a a y− =

1
tan sec tan
3
a y a y y dy⇒ ∫
( )
2 2
2 2
3
sec tan sec sec 1
3 3
a a
y y dy y y dy= = −∫ ∫ ( )
2 2
3
3 3
sec sec
a a
y dy y dy= −
∫ ∫
∫ ∫sec sec
3 3
y dy y dy∫ ∫
3 2
sec sec secy dy y y dy=∫ ∫
2
sec ; sec tan
sec ; tan
u y du y ydy
dv ydy v y
= =
= =sec ; tandv ydy v y= =

3 2
sec sec tan sec tany dy y y y y dy= −∫ ∫
( )3 2
3 3
sec sec tan sec sec 1
t
y dy y y y y dy
d d d
= − −∫ ∫
∫ ∫ ∫
3 3
3
sec sec tan sec sec
2 sec sec tan sec
y dy y y y dy y dy
y dy y y y dy
= − +
= +
∫ ∫ ∫
∫ ∫2 sec sec tan secy dy y y y dy= +∫ ∫
3 1 1
sec sec tan ln sec tan
2 2
y dy y y y y C∴ = + + +∫ 2 2

2
⎛ ⎞2
1 1
sec tan ln sec tan
3 2 2
a
y y y y
⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
ln sec tan
3
a
y y C
⎝ ⎠
− + +
3
2 2
sec tan ln sec tan
6 6
a a
y y y y C= − + +
6 6

u2 2
u a
y
a
u a−
a
2 2 2 2 2 2
ln
6 6
a u u a a u u a
C
a a a a
− −
− + +
2 2 2 2 2
6 6a a a a
u u a a u u a+2 2 2 2 2
ln
6 6
u u a a u u a
C
a
− + −
= − +

2 2
3 9 16 16 3 9 16
ln
6 6 4
x x x x
C
− + −
= − +
6 6 4
2
9 16x dx∴ − =∫
2 2
9 16 8 3 9 16
ln
x x x x
C
− + −
= − +ln
2 3 4
C= +

22
2
1 4
x dx
x−
∫ 1 4x−
2 2
4 2 2u x u x du dx= ⇒ = ⇒ =
2
1 1a a= ⇒ =
2
u
d2 2
2 2 2 2 2
1 14
2 81 4
u
dux dx u du
x a u a u
= =∫ ∫ ∫2 81 4x a u a u− − −
cosu aseny du a y dy= ⇒ =a
2 2 2 2 2
; cos
y y y
u a sen y a u a y= − =y
u
a
2 2
u a−

2 2 2
1 1 cosu du a sen ya ydy
∫ ∫2 2
1 1 cos
8 8 cos
u du a sen ya ydy
a ya u
=
−
∫ ∫
2 2
2 1 1
cos2
8 8 2 2
a a
sen y dy y dy
⎛ ⎞
= = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫
2 2 2 2
cos2 2
16 16 16 32
a a a a
dy y dy y sen y C
⎝ ⎠
= − = − +∫ ∫16 16 16 32
y y y y y∫ ∫

u
a
y
2 2
u a
2 2
a u a
2 2
u a−
2 2
2 cos
16 32
a u a
angsen seny y C
a
= − +
2 2
cos
16 16
a u a
angsen seny y C
a
= − +
2 2 2 2
16 16
a u a u a u
angsen C
a a a
−
= − +
16 16a a a

2 2 2
16 16
a u u a u
angsen C
a
−
= − +
2
16 16
1 2 2 1 4
a
x x x
angsen C
−
= +
2
16 1 16
1 1 4
angsen C= − +
2
1 1 4
2
16 8
x x
angsen x C
−
= − +
2 2
1 1 4x dx x x2 2
2
1 1 4
2
16 81 4
x dx x x
angsen x C
x
−
∴ = − +
−
∫

d
2
64 25
dx
x x +
∫ 64 25x x +
2 2
64 8 8u x u x du dx= ⇒ = ⇒ =
2
25 5
1
a a
dx du du
= ⇒ =
∫ ∫ ∫2 2 22
1
864 25 64 25
8
dx du du
ux x u u ax
= =
+ ++
∫ ∫ ∫
8
2 2
u a+ 2
tan secu a y du a y dy= ⇒ =
y
u
u a+
2 2
tan sec
sec
u a y du a y dy
a u a y
= ⇒ =
+ =
a

2
2 2
sec
tan sec
du a y dy
a y a yu u a
=
+
∫ ∫
1
1 sec 1 1cos
y yu u a
y dy y
+
∫ ∫ ∫
1 sec 1 1cos
csc
tan
y dy y
dy y dy
senya y a a
= = =∫ ∫ ∫
cos
1
ln csc cot
y
y y C= +ln csc coty y C
a
= − +

11
ln csc coty y C
a
= − +
2 2
1
ln
u a a
C
+
= − +2 2
2
ln C
a u u
+
y
u
2 2
u a+
2
1 64 25 5
ln
5 8
x
C
x
+ −
= +
y
a
2
1 64 25 5d 2
2
1 64 25 5
ln
5 864 25
dx x
C
xx x
+ −
∴ = +
+
∫ 64 25x x +

Sustitución
trigonométrica
del ángulo mediode á gu o ed o

tan
2
x
z =
2
1
2
xz
2
1z −
2
1
2 2 cos
2 2 2
x x x
sen sensenx
⎛ ⎞
= =⎜ ⎟
⎝ ⎠2 2 2
1
2
2z z
⎝ ⎠
= =
2 22 1
2
1 1z zz+ ++

xz
2
1z −
2
1
2 2
cos cos2 cos
2 2 2
x x x
senx
⎛ ⎞
= = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
2 2
1
2 2 2
1 z z
⎜ ⎟
⎝ ⎠
−
22 2
11 1z z
x
z
= − =
+ + +
tan 2 ta
2
2
n
x
ang
dz
z x ang z= ⇒ =
2
2
1
dz
dx
z
=⇒
+

2
cos
dx
senx x+∫
2dz
2
2
2
22 1
2 1cos
dz
dx z
z zsenx x
+=
+∫ ∫
2 2
2 1cos
1 1
z zsenx x
z z
d d
−+
+
+ +
∫ ∫
( )2 2
4 4
2 1 2 1
dz dz
z z z z
= =
+ − − − −
∫ ∫ ( )
( ) ( )
22
4 4
2 1 1 1 2 1
dz dz
= =∫ ∫( ) ( )
22
2 1 1 1 2 1z z z− − + − − − −
∫ ∫

( )
22
2
1 1u z u z= − ⇒ = −
2
; 2 2
4 4
du dz a a
dz du
⇒ = = ⇒ =
∫ ∫( )
2 2 2
4 4
2 1 a uz
= =
−− −
∫ ∫
1 2 2 1
4 ln ln
2 2 2 1
a u z
C C
a a u z
+ + −
+ = +
− − +2 2 1a a u z +
2 1 tan
x
+2 1 tan
2 22 ln
cos
dx
C
xsenx x
− +
∴ = +
+∫ cos 2 1 tan
2
xsenx x+ + −
∫

Descomposición
en fraccionesen fracciones
racionales

( )) ; 1
n
i ax b n+ ≥" "n
( ) ( )
1 2
2
n
n
A A A
ax b ax b ax b
+ + +
+ + +( ) ( )
; 1,2, ,iA i n N= ∈…
( )2 2
) ; 1 4 0
n
ii ax bx c n y b ac+ + ≥ <( )2 2
1 1 2 2
) ; 1 4 0
n n
ii ax bx c n y b ac
A x B A x B A x B
+ + ≥ − <
+ + +
+ + +
( ) ( )
1 1 2 2
22
2 2
n n
n
ax bx c ax bx c ax bx c
+ + +
+ + + + + +
; 1,2,i iA y B i n N= ∈…

2
6
3 10
x
dx
x x
−
− −∫ 3 10x x
( )( )2
3 10 2 5x x x x− − = + −( )( )
1 2
2
3 10 2 5
6
3 10 2 5
x x x x
A Ax
+
−
= +
( ) ( )
2
1 2
3 10 2 5
5 26
x x x x
A x A xx
− − + −
− + +− ( ) ( )
( )( )2
3 10 2 5
5 26
x x x x
A x A A x Ax
=
− − + −
+ +
( )( )
1 1 2 2
2
5 26
3 10 2 5
A x A A x Ax
x x x x
− + +−
⇒ =
− − + −
1 1 2 26 5 2x A x A A x A− = − + +

1 1A A A A= + + =⎧1 2 1 2
1 2 1 2
1 1
6 5 2 5 2 6
A A A A
A A A A
= + + =⎧
⇒ ⎨
− = − + − + = −⎩
( )1 2 2 21 ; 5 1 2 6
5 5 2 6
A A A A
A A
= − − − + = −
⇒ + +2 25 5 2 6
1 1 8
7 1 ; 1
A A
A A A A
⇒ − + + = −
⎛ ⎞
= − ⇒ = − = − − ⇒ =⎜ ⎟2 2 1 17 1 ; 1
7 7 7
8 1
A A A A= − ⇒ = − = − − ⇒ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
8 1
6 7 7
3 10 2 5
x
dx dx dx
x x x x
−
−
= +
− − + −∫ ∫ ∫3 10 2 5x x x x+

6 8 1x dx dx
∫ ∫ ∫2
6 8 1
3 10 7 2 7 5
2
x dx dx
dx
x x x x
d d
−
= −
− − + −∫ ∫ ∫
2
5
u x du dx
v x dv dx
= + ⇒ =
= − ⇒ =
1 1
8 8 8 8
ln ln 2
7 2 7 7 7
dx du
u C x C
x u
= = + = + +
+∫ ∫
2 2
7 2 7 7 7
1 1 1 1
ln ln 5
7 5 7 7 7
x u
dx dv
v C x C
x v
+
− = − = − + = − − +∫ ∫ 2 2
7 5 7 7 7x v−∫ ∫

6 8 1
ln 2 ln 5
x
dx x x C
−
∴ + +∫
( )
2
8
ln 2 ln 5
3 10 7 7
dx x x C
x x
∴ = + − − +
− −∫
( )
8
21
ln
7 5
x
C
x
+
= +
−7 5x

3 23 2
4
2 1
1
x x x
dx
x
− + −
−∫ 1x
( )( ) ( )( )( )
3 2 3 2 3 2
4 2 2 2
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1 1 1
x x x x x x x x x
x x x x x x
− + − − + − − + −
= =
− − + − + +( )( ) ( )( )( )
3 2
4 2
2 1x x x A B Cx D− + − +
= + +4 2
3 2
1 1 1 1
2 1
x x x x
x x x
+ +
− − + +
− + − =
( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2
1 1 1 1 1A x x B x x Cx D x+ + + − + + + −

3 2
2 1x x x+ =
( ) ( )3 2 3 2 3 2
2 1
1 1
x x x
A x x x B x x x Cx Cx Dx D
− + − =
+ + + + + − − + − + −
3 2
2 1x x x− + − =
3 2 3 2 3 2
2 1x x x
Ax Ax Ax A Bx Bx Bx B Cx Cx Dx D
+ =
+ + + + + − − + − + −

1 1
2 2
A B C A B C
A B D A B D
= + + + + =⎧ ⎧
⎪ ⎪
⎪ ⎪2 2
1 1 1
A B D A B D
A B C A B C C A B
⎪ ⎪− = − + − + = −⎪ ⎪
⇒⎨ ⎨
= + − + − = ⇒ = + −⎪ ⎪
1 1 1A B D A B D D A B
⎪ ⎪
⎪ ⎪− = − − − − = − ⇒ = − +⎩ ⎩
1 1
1 2
A B A B
A B A B
+ + + − =⎧
⎨
− + − + = −⎩ 1 2A B A B+ + =⎩
1
A
⎧
=⎪ 2 2 2 44 1
2 2 3 5
A
A B
A
A B
B
= −⎪ + =⎪
⇒ ⇒ = − ⇒⎨
− = −⎪
4
B⎪ =
⎪⎩

11
4
A = −
5
4
B =
1 5
1 0
4 4
C C= − + − ⇒ =
4 4
1 5 1
1
4 4 2
D D= − − + ⇒ = −
4 4 2
3 23 2
4 2
2 1
1 1 1 1
x x x A B Cx D
x x x x
− + − +
= + +
− − + +

3 2
2 1x x x
dx
− + −
∫ 4
1
11 5
dx
x −
⎛ ⎞
∫
2
11 5 0
24 4
x
dx dx
⎛ ⎞
+ −− ⎜ ⎟
⎝ ⎠= + +∫ ∫ ∫ 2
3 2
1 1 1
2 1
dx dx
x x x
x x x
+ +
− + +
− + −
∫ ∫ ∫
∫ 4
2 1
1
x x x
dx
x
+
−∫
1 5 1
ln 1 ln 1 tan
4 4 2
x x ang x C= − − + + − +
4 4 2

3 2
2 1x x x
d
− + −
∫ 4
5
1
dx
x
∴
−∫
( )
5
11 1
ln tan
4 1 2
x
ang x C
x
+
= − +
4 1 2x −

2 1
3
2 1
8
x
dx
x
+
−∫
2 1 2 1x x+ +
=
( )( )3 2
8 2 2 4x x x x
A Bx C
=
− − + +
+
( ) ( )( )
2
2
2 2 4
2 1 2 4 2
A Bx C
x x x
A B C
+
= +
− + +
( ) ( )( )2
2 2
2 1 2 4 2
2 1 2 4 2 2
x A x x Bx C x
x Ax Ax A Bx Bx Cx C
+ = + + + + −
+ = + + + − + −
0
2 2 2
A B
A B C
= +
= +2 2 2
1 4 2
A B C
A C
= − +
= −

2 4A C= +2 4
1 4 2
1
A C
B A
A C
+
= − ⇒
= −
1
3
C =
2 4 5
1 3
121 4 2
A C
C A
A C
= +
⇒ ⇒ = ⇒ =
− = − +
5
12
C
B = −
12
5 15
2 1 12 312
x
x
− +
+
∫ ∫ ∫3 2
2 1 12 312
8 2 2 4
5 1 5 4
x
dx dx dx
x x x x
d
+
= +
− − + +∫ ∫ ∫
2
5 1 5 4
12 2 12 2 4
dx x
dx
x x x
−
= −
− + +∫ ∫

1
5 5
ln 2
12 2 12
dx
x C
x
= − +
−∫
( ) ( )2
12 2 12
2 4 2 2 2 1
x
u x x du x dx x dx= + + ⇒ = + = +
2 2
5 4 5 5 5 4
2 4 2 4
x x
dx dx
x x x x
− + − −
=
+ + + +∫ ∫
2 2
1
5 9
2 4 2 4
x dx
dx
x x x x
+
= −
+ + + +∫ ∫
22
2 4 2 4
1 5 5
5 ln
2 4 2 2
x x x x
x du
dx u C
x x u
+ + + +
+
= = +
+ +∫ ∫2
2
2
2 4 2 2
5
ln 2 4
x x u
x x C
+ +
= + + +
∫ ∫
2
2

2 2
2 4 2 1 1 4
d x d x
d x
x x x x
=
+ + + + +∫ ∫
( )
2
2 4 2 1 1 4x x x x
d x
+ + + + − +
=
∫ ∫
∫ ( )
2
2
1 3
3 ; 3
x
a a
+ +
= =
∫
( )
22
3 ; 3
1 ; 1 ;
a a
u x u x d u d x
= =
= + = + =
( )
22 2 2
9 9 9
2 4
dx dx du
dx− = − = −∫ ∫ ∫( )
22 2 2
2 4 1 3
1 9 1
9 t t
x x u ax
u x
C C
+ + ++ +
+
∫ ∫ ∫
3 3
1 9 1
9 tan tan
3 3
u x
ang C ang C
a a
+
= − ⋅ + = − +

3
2 1
8
x
dx
x
+
∴
−∫
2
8
5 1 5
ln 2 ln 2 4
x
x x x
⎛
= − − + +⎜ln 2 ln 2 4
12 12 2
9 1
x x x
x
+ +⎜
⎝
⎞+9 1
tan
3 3
x
ang C
⎞+
− +⎟
⎠
25 5
ln 2 ln 2 4
12 24
x x x
⎠
= − − + +
12 24
3 1
tan
x
ang C
+
+ +tan
4 3 3
ang C+ +

Sustituciones
diversasdiversas

3
dx
∫ 3
x x+
∫
6 5
6x z dx z dz⇒6 5
6x z dx z dz= ⇒ =
5 5 3
6
6 6
dx z dz z dz z dz
= = =∫ ∫ ∫ ∫3 23 36 6
6 6
1zz zx x z z +++ +
∫ ∫ ∫ ∫

3
1z dz ⎛ ⎞2 1
6 6 1
1 1
z dz
z z dz
z z
⎛ ⎞
= − + −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
∫ ∫
3 2
2 3 6 6ln 1z z z z C= − + − + +
( )
6
3 6 6
2 3 6 ln 1
dx
x x x x C∴ = − + − + +∫ ( )3
x x+
∫

1 x
dx
+
∫1 x+
∫
2
2x u dx udu= ⇒ =
2 3
1 1 2 2
2
x u u u
dx udu du
+ + +
= =∫ ∫ ∫2
1 11
dx udu du
u ux + ++
∫ ∫ ∫
3
22 2 4
2 2 4
u u
du u u du
+ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟∫ ∫ 2 2 4
1 1
du u u du
u u
= − + −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
∫ ∫

2
2 2 4 4
du
u du udu du= − + −∫ ∫ ∫ ∫2 2 4 4
1
u du udu du
u
+
+∫ ∫ ∫ ∫
3 3
22 2 2
4 4ln 1
u u u
du u u u C
+
= − + − + +∫ 4 4ln 1
1 3
du u u u C
u
= + + +
+∫
1 2x x x+
∫
1 2
4 4ln 1
31
x x x
dx x x x C
x
+
∴ = − + − + +
+
∫

1x
dx
e
∫ 1e −
2 2
1 1x x
e u e u= ⇒ = +1 1e u e u− = ⇒ = +
( )2 2
ln 1
udu
x u dx⇒ = + ⇒ =( ) 2
ln 1
1
2
x u dx
u
udu
⇒ = + ⇒ =
+
2
2
2
1 2 2 tan
11x
udu
dx duu ang u C
u ue
+= = = +
+∫ ∫ ∫
2 tan 1xdx
ang e C∫
11 u ue +−
2 tan 1
1
x
x
ang e C
e
∴ = − +
−
∫

Á b jÁrea bajo
la curva

Calcular el valor del área limitada porp
la gráfica de la función
( )f x senx=
el eje de las abscisas y las rectas
( )
3
el eje de las abscisas y las rectas
3
0
2
x y x π= =
2

y
y senx=
y
A
π
x
π
A
2
3
0x =
3
2
x
π
=
2

3π
2
0
A senxdx senxdx
π
π
= −∫ ∫
3
2
0
cos cosA x x
π
π
π
= − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3
cos cos0 cos cos
2
π
π π
⎛ ⎞
= − + − − +⎜ ⎟
⎝ ⎠2
3
0A
π
⎜ ⎟
⎝ ⎠
( ) ( )
cos cos0 cos cos
2
1 1 0 1 3
A π π= − + + −
( ) ( )1 1 0 1 3= − − + − − − =
2
3A 2
3A u∴ =

Área entre
curvas

y f
A
x y
A
x y fg
A x
y g
A
y
f
g
( ) ( )
b
a
A f x g x dx⎡ ⎤= −⎣ ⎦∫
A x
a
g

Calcular el valor del área de la región
limitada por las curvas:limitada por las curvas:
2
4 1.5 1.5y x y x y= − + + =
y
2
y
2
4y x= − +
A
( )1, 3−
A
x
1.5 1.5x y+ =
( )2 5 2 25−( )2.5, 2.25

( ) 2
4y f x x= = − +
( )1.5 1.5 1.5 1.5x y y g x x+ = ⇒ = = −
( )
2 5
⎡ ⎤
∫ ( ) ( )
2.5
2
1
4 1.5 1.5A x x dx
−
⎡ ⎤= − + − −
⎣ ⎦∫
( )
2.5
3 2
2 5
2 1 5x x⎡ ⎤
∫ ( )
2.5
2
1
1
1.5
1.5 2.5 2.5
3 2
x x
A x x dx x
−
−
⎡ ⎤
= − + + = − + +⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫

( ) ( )
( )
3 2
2 5 1 5 2 5⎛ ⎞
⎜ ⎟
( ) ( )
( )
2.5 1.5 2.5
2.5 2.5
3 2
A ⎜ ⎟= − + +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
( ) ( )
( )
3 2
1 1.5 1
2 5 1
⎝ ⎠
⎛ ⎞− −
⎜ ⎟
( ) ( )
( )2.5 1
3 2
⎜ ⎟− − + + −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
5.2083 4.6875 6.25 0.3333 0.75 2.5A ≈ − + + − − +
2
7.1459A u∴ ≈ 7.1459A u∴

Calcular el área limitada, en el primer
cuadrante, por las gráficas de las curvas:g
2
2 2 2
; ; ; 8
8
x
y x y y x y x= = = =
8
( )
2
4 3
2
1 0
y x
x x x x
y x
⎧ =
⇒ = ⇒ − =⎨
=⎩
0 0
y x
x y
=⎩
= ⇒ =⎧
⇒ ⎨
( )
2
4 3
1 1
8 8 0
x y
y x
⇒ ⎨
= ⇒ =⎩
⎧ =
⎨ ( )4 3
2
8 8 0
8
0 0
y x
x x x x
y x
⎧
⇒ = ⇒ − =⎨
=⎩
⎧ 0 0
2 4
x y
x y
= ⇒ =⎧
⇒ ⎨
= ⇒ =⎩

( )
2
4
3
64 0
x
y x
⎧
=⎪
⎨ ( )3
2
64 08
64
y x
x x x
y x
⎪
⇒ = ⇒ − =⎨
⎪ =⎩
0 0
4 2
x y
x y
= ⇒ =⎧
⇒ ⎨
⇒⎩
2
4
4 2x y
x
y x
= ⇒ =⎩
⎧
⎪
( )
4
3
2
8 512 08
64
8
y x
x x x
y x
=⎪
⇒ = ⇒ − =⎨
⎪ =⎩ 8
0 0
y x
x y
=⎩
= ⇒ =⎧
⇒ ⎨
8 8x y
⇒ ⎨
= ⇒ =⎩

y
2
8y x2
8y x=
2
y x=
( )8, 8
A
2
x
y
A
3A
8
y =
( )2, 4
1A
2A
( )4 2
x
2
y x=
( )4, 2
( )1,1
x

( )
2
2
1 1
A x x dx−=∫ ( )1 1∫
( )
4
2 8A x x dx= −∫ ( )2 2
8A x x dx∫
2
8 x⎛ ⎞
∫3 4
8
8
x
A dxx
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎠⎝
∫ ⎠⎝

2
3
1 3
⎡ ⎤
⎛ ⎞1 3 22
2 2
1 1
2
3 3
x x
A x x dx
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎢ ⎥= − = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
1
8 4 2 1 2 4 2
⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞8 4 2 1 2 4 2
3
3 3 3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
2
1 114A u∴ 2
1 1.114A u∴ ≈

4
3
1 1 24 2x
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎢ ⎥
( )
1 1 24
2 2
2 2
2
2 2 2 2 1
3
x
A x x dx
⎛ ⎞ ⎢ ⎥= − = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
( )
2
16 4 2
2 2 1
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞
⎜ ⎟( )2 2 1
3 3
= − −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
6 303A u∴ ≈2 6.303A u∴ ≈

8
3
1 2 328
2
4 2
2 2
x x x
A x dx
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎢ ⎥
⎜ ⎟∫ 2
3 4
4
2 2
8 3 24
A x dx ⎢ ⎥= − = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
128 64 32 2 8
3 3 3 3
⎛ ⎞⎛ ⎞
= − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 3 3 3⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
22
3 8.915A u∴ ≈
2
1 2 3 16.332T TA A A A A u= + + ∴ ∴ =1 2 3 16.332T TA A A A A u+ + ∴ ∴

Área en
lpolares

( )r f θ=2
π
β
AA α
0
( )
2 21 1
A f d r d
β β
θ θ θ⎡ ⎤= =⎣ ⎦∫ ∫( )2 2
A f d r d
α α
θ θ θ⎡ ⎤= =⎣ ⎦∫ ∫

Calcular el área limitada por las curvas:
4 2r sen y r senθ θ4 2r sen y r senθ θ= =
π
2
2r senθ=
4r senθ=
2r senθ
0π
3
0
3
2
π

2 2 2
0 0 0
1 1
16 4 6
2 2
A sen d sen d sen d
π π π
θ θ θ θ θ θ= − =∫ ∫ ∫
1 1 2sen
π
θ θ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞
0
0
1 1 2
6 cos2 6 6 3
2 2 2 2 2
sen
A d
π θ θ π
θ θ π
⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞
= − = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠
∫
2
3A uπ∴ =

L it dLongitud
de arco

y
f
x
b a
( )
2
1 '
b
L f x dx⎡ ⎤= + ⎣ ⎦∫ ( )1
a
L f x dx⎡ ⎤= + ⎣ ⎦∫
2 2
dx dx
L d
β
θ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∫L d
d dα
θ
θ θ
+⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫

Verificar que la longitud de una
circunferencia de radio esr 2 rπ
a) Con la expresión que define la longitud
de arco cuando la función está expresada
en su forma explícita, es decir, ( )y f x=p , , ( )y
b) Mediante la e presión q e define lab) Mediante la expresión que define la
longitud de arco cuando la función está
dada por sus ecuaciones paramétricas

2 2 2
y 2 2 2
x y r+ =
y
r
2 2
y r x= −
x
rr−
y r x
dy x
d
=
−
⇒ =rr 2 2dx r x−
r−
22
⎛ ⎞⎛ ⎞
2
2 20
1 4 1
b r
a
dy x
L dx L dx
dx r x
⎛ ⎞−⎛ ⎞
= + ⇒ = + ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ −⎝ ⎠
∫ ∫ ⎝ ⎠
2 2 2 2
1
4 1 4
rx r x x
L dx dx
− +
= + =∫ ∫2 2 2 20 0
4 1 4L dx dx
r x r x
= + =
− −∫ ∫

2 2 2 20 0
4 4
r rr dx
dx r
r x r x
= =
− −
∫ ∫r x r x
r
x⎡ ⎤
4
o
x
L r angsen
r
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
( ) ( )
π⎛ ⎞
⎡ ⎤( ) ( )4 1 0 4
2
L r angsen angsen r
π⎛ ⎞
⎡ ⎤= − = ⎜ ⎟⎣ ⎦
⎝ ⎠
2L r uπ∴ =

cosx r y y rsenθ θcosx r y y rsenθ θ= =
cos
dx
x r rsenθ θ= ⇒ = −cos
cos
x r rsen
d
dy
y rsen r
θ θ
θ
θ θ
⇒
⇒ cosy rsen r
d
θ θ
θ
= ⇒ =
2 22 2
dx dy
L d
d d
β
α
θ
θ θ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( )
2 2
2 2
4 cos 4L rsen r d r d
π π
θ θ θ θ⇒ = − + =∫ ∫
π
( ) ( )0 0
4 cos 4L rsen r d r dθ θ θ θ⇒ = + =∫ ∫
2
0
4 2L r rθ π∴ = =⎡ ⎤⎣ ⎦

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONESLongitud de
arco en polaresarco en polares

2
π
β ( )r f θ=
α
0
α
0
( ) ( )
2
2 2 2
'
dr
L f f d r d
β β
θ θ θ θ
⎛ ⎞
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎝ ⎠
∫ ∫( ) ( )
dα α θ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎝ ⎠
∫ ∫

Calcular la longitud de arco de la gráfica de la
siguiente función en el intervalo considerado:g
4cos ; ,
2 2
r
π π
θ θ
⎡ ⎤
= = −⎢ ⎥
⎣ ⎦2 2⎣ ⎦
2
π
4cosr θ=
2
2
0π
4
3π
4
3
2
π

2 2 2
4cos 4 cos 4r r r x y xθ θ= ⇒ = ⇒ + =
( )
22 2 2
4 4 4 0 2 4x x y x y⇒ − + − + = ⇒ − + =
2
2 2 22
6 6
dr
d d
π
β ⎛ ⎞
∫ ∫
2 2 22
2
16cos 16
dr
L r d sen d
d
β
πα
θ θ θ θ
θ −
⎛ ⎞
= + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫
2 2
2 2
4 4 4d
π π
π πθ θ π
− −
= = =⎡ ⎤⎣ ⎦∫ 2 2
4L uπ∴ =

Volúmenes de sólidos
d l ió (dide revolución (discos
Cilíndricos)

( )
y
( )y f x=
y
xx
a ba b
y
( )if α
xx
a b
ixΔ

( )
2
1
lim
n
i i
n
i
V f xπ α
→∞
⎡ ⎤= Δ⎣ ⎦∑1i=
( ) ( )
2 2b b
a a
f x dx f x dxπ π⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫
( ) ( )
2 2d d
V f y dy f y dy⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫( ) ( )c c
V f y dy f y dyπ π⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

Calcular el volumen del cono truncado que
se genera al hacer girar alrededor del ejese genera al hacer girar, alrededor del eje
de las abscisas, la superficie limitada por las
i i t t h tsiguientes rectas y hacer un trazo
aproximado de la superficie de giro, así
como del cono truncado cuyo volumen se
pide:p
5 ; 0 ; 0 ; 3y x y x x5 ; 0 ; 0 ; 3y x y x x= − = = =

y y
cono3x =5
y y
truncado5y x= −0x =
53
xx
0y =

b
( )
2b
a
V f x dxπ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫
( ) ( )
3 32 2
5 25 10x dx x x dxπ π= − = − +∫ ∫( ) ( )0 0
5 25 10x dx x x dxπ π= − = − +∫ ∫
3
3
2 27 87
25 5 75 45
2 2 2
x
x xπ π π
⎡ ⎤ ⎛ ⎞
= − + = − + =⎢ ⎥ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦ 0
2 2 2⎢ ⎥ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
3
136.66V u∴ ≈

Volúmenes de sólidos
de revoluciónde revolución
(cortezas cilíndricas)

yy
f
x
a b
y
fixΔ
( )if α
x
a b
ix1ix iα
( )i
i1i−

xΔ
( ) ( )2
b
a
V p x q x dxπ∴ = ∫( )p x
eje de
revolución ( )q x
ba xΔ
( ) ( )2
d
V p y q y dyπ∴ ∫
( )q y
d ( ) ( )2
c
V p y q y dyπ∴ = ∫d
yΔ
( )p yc
eje de revolución

Se construye un depósito de combustible
cuya forma se obtiene al hacer girarcuya forma se obtiene al hacer girar
alrededor del eje de las abscisas, el
segmento de la parábola
2
x
segmento de la parábola
2 ; 4 4
8
x
y x= − − ≤ ≤
¿Cuál es su volumen? (magnitudes
en metros) Utilizar para el cálculo los dos
" " " "x y y
en metros). Utilizar para el cálculo los dos
métodos, el de las cortezas cilíndricas y el de
los discos

y
2
2
8
x
y = −
44 m x
8 m

Cortezas
2
2
8
x
y = −
y
2
y
8
dy
y
x
4− 4
( ) ( )
d
∫
2 4 2x y= −
( ) ( )2
d
c
V p y q y dyπ= ∫
( ) ( )2 4 4 2 ;q y x y p y y= = − =

( )
2 2
∫ ∫( )
2 2
0 0
2 4 4 2 8 4 2V y y dy V y y dyπ π= − ⇒ = −∫ ∫
4
4 2 ; 4 2 2 ;
2
u
y y dy u y du dy y
−
− = − ⇒ = − =∫
( )
1 3
2 2
1 4 1 1
4 4
2 2 4 4
u
u du u u u du u u du
⎛ ⎞−
− = − − = − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫( )2 2 4 4 ⎝ ⎠
3 5
3 5
⎛ ⎞
⎜ ⎟ 3 52 2
2 2
1 4 2 1
3 54 3 10
2 2
u u
C u u C
⎜ ⎟
= − − + = − + +⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠2 2⎝ ⎠
( ) ( )
3 5
2 2
2 1
4 2 4 2y y C+ +( ) ( )2 24 2 4 2
3 10
y y C− − + − +

( ) ( )
2
3 5
2 2
2 1
8 4 2 4 2
3 10
V y yπ
⎡ ⎤
= − − + −⎢ ⎥
⎣ ⎦
( ) ( )
0
3 10
y y⎢ ⎥
⎣ ⎦
( ) ( )
3 5
2 2
2 1
8 4 4
3 10
π
⎡ ⎤
= −⎢ ⎥
⎣ ⎦3 0⎣ ⎦
16 32⎛ ⎞16 32
8
3 10
V π
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
3
53 62V m∴ ≈ 53.62V m∴ ≈

Discos
2
y
Discos
2
2
8
x
y = − dx2
x
2
2
8
x
y = −
x
44−
( )
2b
a
V f x dxπ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫ ( )
2 2
2 2
4 4
2 2 2
a
x x
dx dx
⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
∫
∫ ∫4 0
2 2 2
8 8
dx dxπ π
−
= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫

22
2 2 4 3 5
2 4 4
8 2 64 6 320
x x x x x
dx dx x C
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− = − + = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
⎡ ⎤
4
3 5
0
64 1024
2 4 2 16
6 320 6 320
x x
V xπ π
⎡ ⎤ ⎛ ⎞
= − + = − +⎢ ⎥ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
3
53.62V m∴ ≈

En la ciudad de San Luis Missouri, EUA, se
construyó un arco que posee la forma de unaconstruyó un arco que posee la forma de una
catenaria invertida. En el centro tiene de
altura y de extremo a extremo en la base hay
192 m
altura y de extremo a extremo en la base hay
una longitud de . La forma del arco
obedece en forma apro imada a la c r a de
192.28 m
obedece, en forma aproximada, a la curva de
ecuación:
⎛ ⎞
231 39cosh
39
x
y
⎛ ⎞
= − ⎜ ⎟
⎝ ⎠39⎜ ⎟
⎝ ⎠
Determinar la longitud total del arco, así comog ,
el área total bajo el mismo

231 39cosh
x
y
⎛ ⎞
= − ⎜ ⎟231 39cosh
39
y ⎜ ⎟
⎝ ⎠

y
231 39cosh
39
x
y
⎛ ⎞
= − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )0,192
y
39⎝ ⎠
x
( )96.14,0− ( )96.14,0
x
2
96.14
2 1
dy
L dx
⎛ ⎞
= + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫0 dx⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫

⎛ ⎞ ⎛ ⎞
231 39cosh ;
39 39
x dy x
y senh
dx
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
2
39
dy x
senh
d
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠39dx⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
96 14 x⎛ ⎞96.14
2
0
2 1
39
x
L senh
⎛ ⎞
= + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
96.14
96.14
0
cosh 2 39
39 39
x x
dx senh
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫0
0
39 39⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
455.52L m≈

( )
96.14
0
2A f x d x= ∫
96.14
2 231 39 h
x
A d
⎡ ⎤⎛ ⎞
⎜ ⎟∫0
2 231 39cosh
39
A dx
⎡ ⎤⎛ ⎞
= − ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
( )
96.14
2
2 231 39 2 22 208 34 8 882 63
x
x senh
⎡ ⎤⎛ ⎞
⎜ ⎟⎢ ⎥ ( )2
0
2 231 39 2 22,208.34 8,882.63
39
x senh= − = −⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠⎣ ⎦
2
26,651.42A m∴ =

M chas
Yo gané,
¿verdad?
Muchas ¿verdad?
graciasgracias
P bl G í C l éPablo García y Colomé
Blog “colomenta”

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