El documento no contiene información que pueda resumirse en 3 oraciones o menos.

1. SEMANA 10
ECUACION CUADRATICA Y
DESIGUALDADES E INECUACIONES
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Se llama ecuación cuadrática o de segundo grado
con una incógnita, a toda ecuación cuya forma
general es:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 , 𝑎 ≠ 0 𝑦 𝑎, 𝑏 , 𝑐 ∈ ℝ
MÉTODOS DE SOLUCIÓN
1. POR FACTORIZACIÓN
Una ecuación de segundo grado con una incógnita,
se puede resolver en forma sencilla por medio de la
factorización cuando el polinomio sea factorizable.
Ejemplo.
Resuelva 0652
 xx
Solución:
0)2)(3(  xx
31 x V 22 x
2. POR FÓRMULA GENERAL
Sea la ecuación   2
ax bx c 0 , de segundogrado,
entonces la fórmula general es:
  

2
b b 4ac
x
2a
Donde:   2
b 4ac es la discriminante.
ESTUDIO DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN
CUADRÁTICA
Sea la ecuación cuadrática 02
 cbxax ,
entonces se cumplirá:
 Si 0 , las raíces son reales y diferentes.
 Si 0 ,las raíces son reales e iguales.
 Si 0 ,lasraíces son complejasy conjugadas.
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN
CUADRÁTICA
Sea la ecuación cuadrática   2
ax bx c 0 .
1. Suma de las raíces:

 1 2
b
x x
a
2. Producto de las raíces: 1 2
c
x .x
a
3. Diferencia de las raíces:

  1 2 1 2x x (x x )
a
4. Suma inversa de las raíces:

 
1 2
1 1 b
x x c
5. Cuando las raíces son recíprocas se cumplirá:
1 2x .x 1
6. Cuando las raíces son simétricas se cumplirá:
 1 2x x 0
D ESIGU ALD AD ES E
IN ECU ACIO N ES
DEFINICIONES
Siendo 𝑎 ∈ ℝ, se establece:
a es positivo  a > 0
a es negativo  a < 0
a es no positivo 0 a
a es no negativo 0 a
AXIOMAS DE ORDEN: Si a; b y c ∈ ℝ,, entonces se
define

2. 1. Ley de Tricotomía: Siendoay b reales, unay solo
una de las siguientes sentencias es válida.
a < b v a = b v a > b
2. Ley Aditiva
Si a < b y c R  a + c < b + d
3. Ley multiplicativa
Si a < b y c > 0 ac < bc
4. Ley Transitiva
Si a < b y b < c  a < c
3.RECTA DE LOS NUMEROS REALES
Sea el número “n” ( 𝑛 ∈ ℝ,)
 
Dónde:
 : Menos infinito
 : Más infinito
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
Sean a, b, c, y d ∈ ℝ,
1. Si a > b y c > d  a + c > b + d
2. Si a > b y c < d  a - c > b – d
INECUACIONES
Es toda desigualdad condicional que contiene una o
más cantidades desconocidas (las variables) y es
verdadera sólo para determinados valores de las
mismas.
Ejemplo:
41x;01x4;04x3 22

Las inecuaciones pueden ser lineales, cuadráticas,
exponenciales, etc.; de acuerdo a la expresión
representada.
ConjuntoSolución, lo constituyen todoslos números
que hacen verdadera la desigualdad.
INTERVALOS
Es aquel subconjuntodelos númerosreales,
definiendo unconjuntode valoresentre dos limites,
inferior y superior.
Intervalo abierto: Es aquel conjunto de números
comprendidosentredosquetienela propiedaddeno
tomar los valores extremos.
Se representa: Gráficamente
Simbólicamente: a<x<b ó xa,b ó x]a,b[
Intervalo cerrado: Es aquel conjunto de números
comprendidos entre dos que incluye los valores
extremos.
Se representa: Gráficamente
Simbólicamente: a≤ x ≤b ó x [a,b]
Intervalo mixto:Aquellosque son abiertos en uno de
sus extremos.
Se representa: Gráficamente
n > 0n < 0 x
a b
x
a b
x
a b

3. Simbolicamente: a≤ x <b ó x[a, b[
Intervalos infinitos: Algunos son:
a) a,+ ó x > a b) [a,+  ó x ≥ a
c) –, a ó x < a d) [–,a ó x ≤ a
PROBLEMAS
1. Dada la ecuación 𝑥2
− 4𝑥 + 2 = 0 cuyo
conjunto solución es { 𝛼, 𝛽}, determine el valor
de la expresión 𝑀 = 𝛼 − 𝛽.
A)2√2 B) 2 C)
2
1

D) 2 E)
2
1
2. Si el conjunto solución de la ecuación
𝑥2 − 197781𝑥 − 197771 = 0
es { 𝛼, 𝛽}, indique el valor numérico de
𝛼2
+ 𝛽2
+ 𝛼2
𝛽2
+ 2𝛼𝛽(𝛼 + 𝛽 + 1)
A) 100 B) 121 C) 81
D) 64 E) 25
3. Si las raíces de la ecuación cuadrática
( 𝑛 + 1) 𝑥2 − ( 𝑛 + 3) 𝑥 + ( 𝑛 + 1) = 0, 𝑛 ∈ ℝ
soniguales entonces hallelosvaloresde n
.
A)







3
5
;1 B)







3
1
;5 C)  10;1 
D)






3
5
;1 E)







3
5
;3
4. Si 𝑎 𝑦 𝑏 son raíces de la ecuación
𝑥2
− 6 𝑥 + 12 = 0, indique la ecuación de
raíces
𝑎+𝑏
2
𝑦
𝑎𝑏
4
.
A) 092
x
B) 092
x
C) 0962
 xx
D) 025102
 xx
E) 0962
 xx
5. Dada la ecuación cuadrática
3𝑥2
+ 𝑏 𝑥 + 3 = 0
, determine el valorde "𝑏" para que la ecuación
cuadrática presenta raices complejas.
A) ;36 B) 6;6
C) 36;36 D) 36;
E) 4;4
6. Sea 𝑎 > 𝑏 , 𝑏 > 𝑐 𝑦 𝑐 > 0. Determine el signo
de cada factoren lasiguiente expresión
( 𝑎𝑏 − 𝑏𝑐)( 𝑏 − 𝑎)(−𝑐)
A)(+)(+)(-) B)(+)(-)(+) C)(-)(-)(+)
D)(-)(+)(-) E)(+)(-)(-)
7. Seanlosintervalos
𝐴 = [−2,2 > 𝑦 𝐵 =< −1, +∞ > . entonces
determine ( 𝐴 − 𝐵) ∪ ( 𝐵 − 𝐴).
A)[−2, −1 >∪ [2, +∞ >
B)< −2;−1 >∪< 2;+∞ >
C) [−2,−1] ∪ [2, +∞ >
D) [−2,−1] ∪< 2, +∞ >
E) [−2, −1 >∪< 2,+∞ >
8. Determine lalongituddelintervalo
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ/ 2𝑥 − 1 < 3𝑥 ≤ 3 − 𝑥}
A)1/4 B)3/4 C)4/3
D)2 E)7/4

4. 9. Si 𝑥 ∈< 0;7 >, entoncesencuentre lasumade
losvaloresextremosdel intervaloal que
pertenece 𝑦 =
5−𝑥
𝑥+3
A)22/15 B)28/15 C)8/3
D)1/6 E)-1/6
10. Sabiendoque lainecuación
3𝑥2 − 𝑥 − 4 < 0,
tiene 𝑛 soluciones enteras,resuelve lasiguiente
inecuación 𝑥2 − 𝑥 + 𝑛 ≤ 𝑛𝑥 + 6.
A)[−1;4] B) )[−1; 2] C) [−4;1]
D) [−1;3] E) [−2; 2]
11. Determine el complementodel conjunto
soluciónde
𝑥2 − ( 𝑎 − 𝑏) 𝑥 < 𝑎𝑏
Considere 𝑎 < 𝑏 < 0.
A)< −𝑏; 𝑎 > B) ))< 𝑏;−𝑎 >
C) < 𝑎;−𝑏 >
D) ℝ − [−𝑏; 𝑎] E) ℝ − [𝑎; −𝑏]
12. Halle el conjuntosoluciónde lasiguiente
inecuación.
𝑥 − 3
3
+
5
4
<
𝑥
12
+
2𝑥 + 9
15
𝐴) 〈−∞;2〉 𝐵) 〈−∞;3〉 𝐶) 〈3;+∞〉
𝐷) 〈−3; +∞〉 𝐸) ∅
13. Indique el conjuntosoluciónde lasiguiente
inecuación. ( 𝑎 > 0)
𝑎2( 𝑥 − 1) + 𝑎( 𝑥 − 𝑎) − 1 > 𝑎 − 𝑥 − 𝑎2
𝐴) 〈−∞;1〉 𝐵) 〈−1; +∞〉 𝐶) 〈1; +∞〉
𝐷) 〈0; +∞〉 𝐸) 〈1/2;+∞〉
14. Si 𝑥 ∈ ⟨−2;3], entonces 𝑥2 − 2𝑥 ∈ [ 𝑎; 𝑏⟩.
halle el valorde “𝑎𝑏”.
𝐴) − 8 𝐵) 24 𝐶) − 4
𝐷) − 3 𝐸) 0
15. Al resolverlainecuación
6
𝑥 − 1
−
5
𝑥 − 2
> −2
se obtiene 𝐶𝑆 = 〈−∞; 𝑎〉 ∪ 〈 𝑏; 𝑐〉 ∪ 〈 𝑑;+∞〉.
calcule el valorde 𝑅 = 𝑎. 𝑏. 𝑐. 𝑑
𝐴) − 1 𝐵) 3 𝐶) − 3
𝐷) 1 𝐸) 2
16. Resuelvala inecuación.
4𝑥 + 1
3
≤
5𝑥 − 1
4
≤
6𝑥 + 2
5
𝐴) 〈−7; +∞〉 𝐵) 〈−∞;−7〉 𝐶) ⟨−7;10]
𝐷) 〈−∞;7〉 𝐸) ∅
17. Indique el conjuntosoluciónde lainecuación
cuadrática
𝑎𝑥2 > 𝑏𝑥
considere 𝑎 > 0 > 𝑏.
𝐴) 〈−∞;0〉 ∪ ⟨𝑏/𝑎; +∞⟩ 𝐵) ⟨𝑏/𝑎;0⟩
𝐶) ⟨0; 𝑏/𝑎⟩
𝐷) 〈𝑏/𝑎; +∞〉 𝐸) 〈−∞; 𝑏/𝑎〉 ∪ 〈0;+∞〉
18. Dados los intervalos
𝑀 = [ −6; 13⟩ 𝑦 𝑁 = 〈−6; 5 〉
Si 𝑀 ∩ 𝑁está representada por
[ 𝑚 + 1; 𝑛 − 2⟩, calcule 𝑃 = 𝑚 + 𝑛.
A) -3 B) -1 C) 0
D) 3 E) 5
19.Halle el menor número entero “𝑀” tal que
∀𝑥 ∈ ℝ ;(1 − 𝑀) + 6𝑥 − 𝑥2 ≤ 0.
A)12 B)9 C)8
D)1 E)10

5. 20. La inecuación cuadrática
𝑥2 – 𝑚𝑥 + 𝑛 ≤ 0
tiene por conjunto solución 𝑥 ∈ [2; 4].
Halle 𝐾 =
𝑛−𝑚
2
.
A) 1 B) -1 C) 2
D) -2 E) 3