El documento introduce los conceptos de límite y continuidad de funciones, los cuales resolvieron problemas de falta de rigor en el desarrollo inicial del cálculo. Explica el concepto intuitivo de límite a través de ejemplos y luego formaliza la definición matemática de límite usando la teoría de límites. Finalmente, presenta ejercicios para practicar el cálculo de límites.
Activity 1 1 limits and continuity ea2021Edgar Mata
Este documento introduce el concepto de límite matemático de manera intuitiva a través de ejemplos. Explica que el desarrollo del cálculo carecía de rigor teórico inicialmente y fue necesario formalizar los conceptos de límite y continuidad para fundamentar esta rama de las matemáticas. Luego presenta tres ejemplos para ilustrar el concepto intuitivo de límite usando una deformación de resorte, operaciones aritméticas y gráficas de funciones.
Este documento describe el concepto de límite y continuidad de funciones desde un enfoque intuitivo. Explica que el cálculo pasó por diferentes etapas de desarrollo, careciendo inicialmente de una base teórica sólida. Fue necesario desarrollar la teoría de límites y continuidad para fundamentar esta rama de las matemáticas. Luego presenta tres ejemplos para ilustrar el concepto intuitivo de límite, como la deformación de un resorte bajo carga creciente y los problemas que plantea la división entre cero.
El documento describe la historia del desarrollo del concepto de límite y continuidad de funciones en matemáticas. Inicialmente, el cálculo carecía de fundamentos teóricos sólidos. Más tarde, Cauchy desarrolló en 1821 un enfoque lógico y adecuado al cálculo mediante la definición de los conceptos de límite y función continua. El documento también presenta ejemplos intuitivos para explicar el concepto de límite, como la deformación de un resorte bajo diferentes cargas.
Activity 1 2 limit theory and continuityEdgar Mata
El documento trata sobre los conceptos de límite y continuidad de funciones. Explica que estos conceptos surgieron para darle un fundamento más sólido al cálculo, el cual carecía de rigor en sus inicios. Luego presenta tres ejemplos para introducir el concepto intuitivo de límite, analizando funciones que se comportan de forma discontinua en ciertos puntos. Finalmente propone algunos ejercicios para que el lector aplique los métodos vistos.
El documento presenta el problema de encontrar el camino de costo mínimo en un grafo dirigido y acíclico. Explica que la Programación Dinámica aborda este problema mediante el Principio de Optimalidad de Bellman, el cual establece que las colas de un camino óptimo también son óptimas. Luego define una partición de los vértices y una función de costo para cada vértice, cuya ecuación funcional permite determinar de forma recursiva el camino óptimo desde cada vértice.
El documento presenta el problema de encontrar el camino de costo mínimo en un grafo dirigido y acíclico. Explica que la Programación Dinámica aborda este problema mediante el Principio de Optimalidad de Bellman, el cual establece que las colas de un camino óptimo también son óptimas. Luego divide el grafo en partes disjuntas y formula una ecuación funcional recursiva cuya solución proporciona el camino de costo mínimo desde cada vértice. Finalmente, describe cómo esta formulación conduce a un algoritmo
Este documento presenta una guía sobre linealización de modelos en ciencias naturales. Explica cómo linealizar funciones potenciales y exponenciales usando logaritmos, así como otros modelos usando cambio de variables. También describe el método de mínimos cuadrados para ajuste de recta a datos experimentales y cómo usar el software PhysicsSensor para realizar regresiones lineales. Incluye dos ejercicios de aplicación sobre oscilaciones de un sistema masa-resorte.
Este documento presenta una introducción a los métodos numéricos y la modelación matemática. Explica que los métodos numéricos son herramientas poderosas para resolver problemas que de otro modo serían imposibles de resolver analíticamente. Además, describe cómo la modelación matemática juega un papel clave en la solución de problemas de ingeniería mediante la expresión de sistemas físicos en términos de ecuaciones matemáticas. Finalmente, ilustra un modelo más complejo de la caída libre que involucra ecuaciones difer
Activity 1 1 limits and continuity ea2021Edgar Mata
Este documento introduce el concepto de límite matemático de manera intuitiva a través de ejemplos. Explica que el desarrollo del cálculo carecía de rigor teórico inicialmente y fue necesario formalizar los conceptos de límite y continuidad para fundamentar esta rama de las matemáticas. Luego presenta tres ejemplos para ilustrar el concepto intuitivo de límite usando una deformación de resorte, operaciones aritméticas y gráficas de funciones.
Este documento describe el concepto de límite y continuidad de funciones desde un enfoque intuitivo. Explica que el cálculo pasó por diferentes etapas de desarrollo, careciendo inicialmente de una base teórica sólida. Fue necesario desarrollar la teoría de límites y continuidad para fundamentar esta rama de las matemáticas. Luego presenta tres ejemplos para ilustrar el concepto intuitivo de límite, como la deformación de un resorte bajo carga creciente y los problemas que plantea la división entre cero.
El documento describe la historia del desarrollo del concepto de límite y continuidad de funciones en matemáticas. Inicialmente, el cálculo carecía de fundamentos teóricos sólidos. Más tarde, Cauchy desarrolló en 1821 un enfoque lógico y adecuado al cálculo mediante la definición de los conceptos de límite y función continua. El documento también presenta ejemplos intuitivos para explicar el concepto de límite, como la deformación de un resorte bajo diferentes cargas.
Activity 1 2 limit theory and continuityEdgar Mata
El documento trata sobre los conceptos de límite y continuidad de funciones. Explica que estos conceptos surgieron para darle un fundamento más sólido al cálculo, el cual carecía de rigor en sus inicios. Luego presenta tres ejemplos para introducir el concepto intuitivo de límite, analizando funciones que se comportan de forma discontinua en ciertos puntos. Finalmente propone algunos ejercicios para que el lector aplique los métodos vistos.
El documento presenta el problema de encontrar el camino de costo mínimo en un grafo dirigido y acíclico. Explica que la Programación Dinámica aborda este problema mediante el Principio de Optimalidad de Bellman, el cual establece que las colas de un camino óptimo también son óptimas. Luego define una partición de los vértices y una función de costo para cada vértice, cuya ecuación funcional permite determinar de forma recursiva el camino óptimo desde cada vértice.
El documento presenta el problema de encontrar el camino de costo mínimo en un grafo dirigido y acíclico. Explica que la Programación Dinámica aborda este problema mediante el Principio de Optimalidad de Bellman, el cual establece que las colas de un camino óptimo también son óptimas. Luego divide el grafo en partes disjuntas y formula una ecuación funcional recursiva cuya solución proporciona el camino de costo mínimo desde cada vértice. Finalmente, describe cómo esta formulación conduce a un algoritmo
Este documento presenta una guía sobre linealización de modelos en ciencias naturales. Explica cómo linealizar funciones potenciales y exponenciales usando logaritmos, así como otros modelos usando cambio de variables. También describe el método de mínimos cuadrados para ajuste de recta a datos experimentales y cómo usar el software PhysicsSensor para realizar regresiones lineales. Incluye dos ejercicios de aplicación sobre oscilaciones de un sistema masa-resorte.
Este documento presenta una introducción a los métodos numéricos y la modelación matemática. Explica que los métodos numéricos son herramientas poderosas para resolver problemas que de otro modo serían imposibles de resolver analíticamente. Además, describe cómo la modelación matemática juega un papel clave en la solución de problemas de ingeniería mediante la expresión de sistemas físicos en términos de ecuaciones matemáticas. Finalmente, ilustra un modelo más complejo de la caída libre que involucra ecuaciones difer
1) El documento describe el uso de diferentes programas computacionales para estudiar y simular el movimiento parabólico de un cuerpo que se ve afectado por la gravedad y la resistencia del aire proporcional al cuadrado de la velocidad.
2) Se utilizan programas como Mathcad, Interactive Physics y Modellus para resolver el problema mediante el método de Euler y visualizar gráficamente la trayectoria y variables como la velocidad.
3) También se menciona la posibilidad de realizar simulaciones en Java que pueden compartirse en línea
1) El documento describe el uso de diferentes programas computacionales para estudiar y simular el movimiento parabólico de un cuerpo que se ve afectado por la gravedad y la resistencia del aire proporcional al cuadrado de la velocidad.
2) Se utilizan programas como Mathcad, Interactive Physics y Modellus para resolver el problema mediante el método de Euler y visualizar gráficamente la trayectoria y variación de la velocidad.
3) También se menciona la posibilidad de realizar simulaciones en Java que pueden compartirse en lí
Este documento presenta el problema de la diligencia como un ejemplo de programación dinámica. El objetivo es encontrar la ruta óptima para que una diligencia viaje entre las ciudades A y J minimizando el costo total de los seguros. La solución se encuentra resolviendo el problema en etapas, almacenando los costos mínimos de cada etapa para evitar cálculos redundantes. Esto conduce a la generación de tablas que muestran el costo óptimo para llegar a cada ciudad en cada etapa.
Este documento presenta dos ejercicios sobre la aplicación de derivadas para optimizar funciones. En el primer ejercicio, se busca minimizar el área de un rectángulo sujeto a restricciones de grosor de paredes. La solución muestra que el área es mínima cuando el rectángulo es un cuadrado. En el segundo ejercicio, se busca encontrar los puntos óptimos a lo largo de una carretera para construir tiendas cerca de la ciudad e industrias lejos. La solución encuentra tres puntos críticos analizando
El documento describe los métodos de Lagrange y Kuhn-Tucker para la optimización de funciones sujetas a restricciones. Lagrange introdujo multiplicadores para reducir problemas restringidos a problemas sin restricciones, mientras que Kuhn-Tucker generalizó este método para incluir restricciones de desigualdad. Ambos métodos son útiles para problemas de decisión en economía, control y organizaciones.
Este documento presenta un laboratorio sobre la fuerza elástica. Los objetivos son determinar la constante de rigidez de un resorte mediante un simulador y calculando la masa de diferentes pesas. Se explican conceptos como fuerza, deformación elástica y constante de rigidez. El procedimiento incluye medir la deformación de un resorte con diferentes masas y calcular la constante de rigidez promedio.
16. Introducción a Matlab autor Julio Benítez Lopez y José Luis Hueso Pagoaga...RamonMartinespaa
Este documento presenta una introducción a MATLAB. Explica comandos básicos como help, diary y clear, y conceptos como variables, constantes, cadenas, funciones incorporadas, vectores, matrices, polinomios y gráficos. También cubre programación básica en MATLAB incluyendo archivos, bucles y condicionales.
El documento describe los métodos numéricos como técnicas para formular problemas matemáticos de forma que puedan resolverse mediante operaciones aritméticas. Estos métodos requieren muchos cálculos tediosos pero permiten resolver problemas que no admiten soluciones analíticas exactas. Antes de las computadoras, los ingenieros usaban métodos gráficos o numéricos manuales, pero estos eran lentos e imprecisos. El desarrollo de las computadoras permitió un gran avance en los métodos numéricos y su uso para resolver una amplia g
Este documento presenta un resumen del libro "Cálculo III". En el prólogo, el autor explica que la quinta edición ha sido revisada y corregida, y que el libro consta de siete capítulos que cubren temas como funciones vectoriales, funciones de varias variables, derivadas parciales, integrales múltiples y aplicaciones. El índice al final lista los temas tratados en cada capítulo.
Este documento presenta un resumen del libro "Cálculo III". En el prólogo, el autor explica que la quinta edición ha sido revisada y corregida, y que el libro consta de siete capítulos que cubren temas como funciones vectoriales, funciones de varias variables, derivadas parciales, integrales múltiples y aplicaciones. El índice al final lista los temas tratados en cada capítulo.
El documento describe los métodos de Kuhn-Tucker y Lagrange para la optimización de sistemas sujetos a restricciones. Estos métodos proporcionan condiciones necesarias para que una solución sea óptima al asociar multiplicadores a las restricciones. Los métodos se aplican comúnmente en problemas de ingeniería, economía y toma de decisiones para encontrar soluciones óptimas sujetas a recursos o condiciones limitadas.
Este documento describe el proceso de desarrollar un programa computacional para obtener la curva de capacidad pushover de una estructura mediante un análisis estático no lineal. Explica los conceptos básicos del análisis de capacidad, demanda y desempeño, y los pasos para modelar la estructura, iterar el análisis considerando la pérdida de rigidez de los elementos, y detener el análisis cuando la estructura colapse o la matriz de rigidez sea singular. El programa permite evaluar el desempeño sísm
El documento trata sobre el cálculo diferencial. Explica que estudia los incrementos en variables continuas y la derivada mide la variación de la función cuando hay pequeñas variaciones en la variable independiente. También describe algunas aplicaciones importantes como maximizar/minimizar cosas, calcular velocidad y pendiente, y crear modelos en áreas como ingeniería, física y crecimiento poblacional. Finalmente, concluye que el cálculo diferencial ha sido fundamental para los avances de la humanidad y ha permitido logros como la fabricación de chips y la computación.
Este documento presenta información sobre programación lineal. Explica que la programación lineal resuelve problemas en los que las relaciones entre variables son lineales. Define los componentes clave de un problema de programación lineal, incluidas las variables de decisión, restricciones, función objetivo y condición de no negatividad. También proporciona ejemplos de cómo formular problemas del mundo real como modelos matemáticos de programación lineal.
Este documento presenta las instrucciones para realizar la práctica de laboratorio sobre gráficas de funciones. Explica los conceptos teóricos necesarios como tablas de datos, variables dependientes e independientes, tipos de papeles gráficos y los pasos para construir una gráfica a partir de datos experimentales. Describe los principales tipos de funciones como lineales, cuadráticas y exponenciales y muestra ejemplos de gráficas para cada una. El objetivo es que los estudiantes aprendan a representar relaciones entre variables físic
Activity 2 1 geometric interpretation of derivativeEdgar Mata
Este documento describe cómo calcular la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto dado. Explica que originalmente se usó el método de las raíces iguales de Descartes y el método de límites de Fermat. Luego, muestra un ejemplo de cómo calcular la pendiente de una recta tangente usando puntos cercanos en la curva y tomando el límite cuando esos puntos se acercan, lo que aproxima la pendiente de la tangente. Finalmente, enfatiza que la noción de límite es clave para encontrar correctamente la pendiente
Este documento presenta el problema de la mochila, un problema NP-completo que involucra elegir los elementos a colocar en una mochila para maximizar el beneficio total sin exceder la capacidad. Explica formulaciones matemáticas, heurísticas como ordenar por rendimiento y comparar con el elemento crítico, y analiza cotas superiores. También cubre variantes como acotado y múltiples mochilas, y algoritmos como voraz, genético y dinámico. Finalmente, discute aplicaciones prácticas y conclusiones.
Este documento describe la aplicación del cálculo a la ingeniería civil. Explica conceptos clave como integrales definidas e indefinidas y cómo se usan para calcular áreas, longitudes y volúmenes. También proporciona ejemplos de cómo resolver integrales y concluye que aunque las matemáticas pueden ser difíciles, son fundamentales para el avance de la ingeniería y la resolución de problemas.
Este documento presenta tres ejercicios sobre la aplicación de derivadas en problemas relacionados con las carreras de tecnologías geoespaciales y biotecnología. Inicialmente, se proporciona una fundamentación teórica sobre conceptos como derivadas, monotonía de funciones, máximos y mínimos, y concavidad. Luego, los ejercicios resuelven problemas de optimización utilizando derivadas para determinar las dimensiones óptimas de un depósito, el área máxima de un terreno y el volumen máximo de un cilind
Este documento presenta tres ejercicios sobre la aplicación de conceptos de derivadas, como determinar máximos y mínimos, a problemas relacionados con las carreras de tecnologías geoespaciales y biotecnología. Inicialmente, se define la derivada y conceptos teóricos como monotonía, concavidad y puntos de inflexión. Luego, se resuelven tres ejercicios prácticos utilizando estas nociones para optimizar funciones dadas y encontrar sus valores óptimos. Finalmente, se concluye que la derivada es una herram
El documento describe la evolución de los sistemas de numeración utilizados por el ser humano, comenzando con sistemas no posicionales como la numeración romana y progresando hacia sistemas posicionales como la numeración maya. Explica que la introducción del cero fue fundamental para los sistemas posicionales y que los números complejos se desarrollaron para incluir raíces cuadradas de números negativos mediante la adición de los números imaginarios.
Este documento explica cómo convertir números complejos de la forma binómica a la forma trigonométrica y aplicar el Teorema de De Moivre para elevar números complejos a potencias o extraer raíces. Primero se describen las fórmulas para la conversión. Luego, se muestra un ejemplo detallado de la conversión. Finalmente, se explica cómo usar el Teorema de De Moivre para elevar números complejos a potencias usando su forma trigonométrica.
1) El documento describe el uso de diferentes programas computacionales para estudiar y simular el movimiento parabólico de un cuerpo que se ve afectado por la gravedad y la resistencia del aire proporcional al cuadrado de la velocidad.
2) Se utilizan programas como Mathcad, Interactive Physics y Modellus para resolver el problema mediante el método de Euler y visualizar gráficamente la trayectoria y variables como la velocidad.
3) También se menciona la posibilidad de realizar simulaciones en Java que pueden compartirse en línea
1) El documento describe el uso de diferentes programas computacionales para estudiar y simular el movimiento parabólico de un cuerpo que se ve afectado por la gravedad y la resistencia del aire proporcional al cuadrado de la velocidad.
2) Se utilizan programas como Mathcad, Interactive Physics y Modellus para resolver el problema mediante el método de Euler y visualizar gráficamente la trayectoria y variación de la velocidad.
3) También se menciona la posibilidad de realizar simulaciones en Java que pueden compartirse en lí
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Este documento presenta dos ejercicios sobre la aplicación de derivadas para optimizar funciones. En el primer ejercicio, se busca minimizar el área de un rectángulo sujeto a restricciones de grosor de paredes. La solución muestra que el área es mínima cuando el rectángulo es un cuadrado. En el segundo ejercicio, se busca encontrar los puntos óptimos a lo largo de una carretera para construir tiendas cerca de la ciudad e industrias lejos. La solución encuentra tres puntos críticos analizando
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16. Introducción a Matlab autor Julio Benítez Lopez y José Luis Hueso Pagoaga...RamonMartinespaa
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Este documento describe el proceso de desarrollar un programa computacional para obtener la curva de capacidad pushover de una estructura mediante un análisis estático no lineal. Explica los conceptos básicos del análisis de capacidad, demanda y desempeño, y los pasos para modelar la estructura, iterar el análisis considerando la pérdida de rigidez de los elementos, y detener el análisis cuando la estructura colapse o la matriz de rigidez sea singular. El programa permite evaluar el desempeño sísm
El documento trata sobre el cálculo diferencial. Explica que estudia los incrementos en variables continuas y la derivada mide la variación de la función cuando hay pequeñas variaciones en la variable independiente. También describe algunas aplicaciones importantes como maximizar/minimizar cosas, calcular velocidad y pendiente, y crear modelos en áreas como ingeniería, física y crecimiento poblacional. Finalmente, concluye que el cálculo diferencial ha sido fundamental para los avances de la humanidad y ha permitido logros como la fabricación de chips y la computación.
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Activity 2 1 geometric interpretation of derivativeEdgar Mata
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Este documento presenta los conceptos básicos de las operaciones con números complejos, incluyendo suma, resta, multiplicación y división. Explica que la suma y resta se tratan como la misma operación y muestra ejemplos de cómo aplicar las reglas de signos. También muestra cómo se llevan a cabo la multiplicación y división de números complejos a través de ejemplos paso a paso.
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Course presentation differential calculus ea2021Edgar Mata
Este documento presenta la asignatura de Cálculo Diferencial dictada por el profesor G. Edgar Mata Ortiz. Explica que se trata de un curso no presencial basado en competencias que utiliza tecnologías de la información. Describe los contenidos, objetivos y forma de evaluación del desempeño de los estudiantes a través de tareas, trabajos y participación en videoconferencias utilizando las plataformas Moodle y Microsoft Teams.
Course presentation linear algebra ea2021Edgar Mata
Este documento presenta la asignatura de Álgebra Lineal que será impartida de forma no presencial. Se describen los objetivos y contenidos de la asignatura, el modelo educativo basado en competencias, la evaluación y entrega de tareas a través de la plataforma Moodle, y los recursos tecnológicos como Moodle, Teams, blogs y redes sociales que se utilizarán.
Este documento presenta los pasos para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando el método de Cramer. Primero se anotan las tres ecuaciones y luego los determinantes formados por las ecuaciones y las incógnitas. A continuación, se calculan los valores de los determinantes y se sustituyen en las ecuaciones originales para encontrar los valores de las tres incógnitas.
Exercise 2 2 - area under the curve 2020Edgar Mata
El documento presenta un ejercicio de cálculo integral que pide determinar el área bajo la curva para tres funciones entre diferentes límites usando integración. Proporciona enlaces a artículos que explican las fórmulas de integración necesarias y pide trazar gráficas con toda la información requerida.
Este documento presenta varios ejercicios sobre álgebra vectorial. Instruye al lector a resolver problemas de vectores en dos y tres dimensiones utilizando solo una calculadora. Incluye ejemplos de sumas, restas, multiplicaciones y productos cruzados de vectores, así como representaciones gráficas. También cubre representaciones vectoriales de números complejos y transformaciones lineales como reflexión, rotación, traslación, expansión y contracción.
Este documento presenta dos problemas matemáticos que involucran funciones cúbicas. El primer problema proporciona cuatro puntos de datos y pide encontrar la función cúbica que pasa a través de ellos. El segundo problema presenta cuatro puntos de datos corregidos y pide lo mismo. Se pide graficar ambas funciones cúbicas y entregar las respuestas en formato PDF.
The document contains 32 systems of linear equations with 3 unknown variables (x1, x2, x3) each. Each system has 3 equations with coefficients for the variables and a constant. The goal is to solve for the unknown variables.
Este documento describe cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3 ecuaciones con 3 incógnitas utilizando el método de Cramer en Excel. Explica que el método de Cramer puede automatizarse fácilmente en Excel y muestra un ejemplo de cómo calcular los determinantes principales y de las incógnitas y luego dividir para obtener las soluciones utilizando fórmulas de referencia de celdas.
Este documento describe el método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método involucra calcular cuatro determinantes: el determinante principal y un determinante para cada incógnita. Proporciona un ejemplo numérico para ilustrar cómo calcular cada determinante y usar sus valores para encontrar las soluciones del sistema.
Exercise 2 1 - area under the curve 2020Edgar Mata
El documento presenta un ejercicio de cálculo integral que pide determinar el área bajo la curva para tres funciones entre diferentes límites usando integración. Proporciona enlaces a artículos que explican las fórmulas de integración y pide trazar gráficas con toda la información requerida.
Este documento presenta las instrucciones para resolver problemas de razonamiento con dos incógnitas. Se divide en 4 pasos: 1) entender el problema y crear un diagrama con las cantidades desconocidas, 2) configurar un plan para obtener ecuaciones, 3) resolver el sistema de ecuaciones gráficamente o algebraicamente para encontrar los valores de las incógnitas, y 4) verificar la respuesta y comprobar que se cumplan las condiciones del problema original.
Equipo 4. Mezclado de Polímeros quimica de polimeros.pptxangiepalacios6170
Presentacion de mezclado de polimeros, de la materia de Quimica de Polímeros ultima unidad. Se describe la definición y los tipos de mezclado asi como los aditivos usados para mejorar las propiedades de las mezclas de polimeros
ESPERAMOS QUE ESTA INFOGRAFÍA SEA UNA HERRAMIENTA ÚTIL Y EDUCATIVA QUE INSPIRE A MÁS PERSONAS A ADENTRARSE EN EL APASIONANTE CAMPO DE LA INGENIERÍA CIVIŁ. ¡ACOMPAÑANOS EN ESTE VIAJE DE APRENDIZAJE Y DESCUBRIMIENTO
Los puentes son estructuras esenciales en la infraestructura de transporte, permitiendo la conexión entre diferentes
puntos geográficos y facilitando el flujo de bienes y personas.
2. El proceso de desarrollo del cálculo pasó por diferentes etapas, en
algunas de ellas, especialmente al principio, la fundamentación teórica
no era suficientemente sólida; se realizaban procesos que, al ser
revisados con el rigor moderno, podrían considerarse incorrectos o
inadecuados. Fue necesario que se desarrollara la teoría de límites y
continuidad de funciones para contar con un planteamiento bien
fundamentado de esta rama de la matemática.
En el presente material se desarrolla el concepto intuitivo de límite para pasar luego a una comprensión y
fundamentación matemática de este.
Contenido
Introducción...............................................................................................................................................................................1
Elabora una línea de tiempo acerca del proceso de desarrollo de estos dos conceptos y explica la razón por la cuál
es necesario formalizar el conocimiento matemático. ................................................................................................1
Esta línea de tiempo puede ser elaborada a mano o con cualquier software y luego deberá convertirse en PDF
para poder subirlo en la sección de Moodle que se indica en dicha plataforma.....................................................1
Concepto intuitivo de límite..................................................................................................................................................1
Ejemplo 1 . Deformación de un resorte ................................................................................................................................1
La siguiente gráfica puedes trazarla sobre esta misma página y luego escanearla, convertirla en PDF y subirla en la
sección indicada o si lo prefieres puedes emplear Excel o algún otro software. No olvides agregar las respuestas a
las preguntas que aparecen debajo de la gráfica y en la página siguiente...................................................................2
Ejemplo 2. Dificultades con la aritmética..............................................................................................................................3
La división cero entre cero................................................................................................................................................3
Anota en las siguientes líneas, dónde se encuentra el error de dicha demostración, y en qué consiste: ...................3
La gráfica de la función y el límite calculado.....................................................................................................................4
Traza la gráfica en el plano cartesiano de la página siguiente, o si prefieres utiliza Excel o cualquier otro software
para entregar el trabajo correspondiente al ejemplo 2, recuerda que debes incluir las respuestas a todas las
preguntas y entregarlo a través de la plataforma Moodle en la sección que corresponde al ejemplo 2. ...................4
En la siguiente página se encuentra el ejemplo 3, deberás entregarlo en Moodle con todas sus respuestas y
gráficas..........................................................................................................................................................................5
Ejemplo 3. Repasando el método aritmético........................................................................................................................6
La división cero entre cero................................................................................................................................................6
La gráfica de la función, el límite calculado y la división entre cero.................................................................................7
Funciones discontinuas.....................................................................................................................................................8
Ejercicios....................................................................................................................................................................................8
Los 8 problemas acerca de límites serán entregados a través de Moodle en la sección de problemas actividad 1.1.8
Bibliografía.................................................................................................................................................................................9
3. http://licmata-math.blogspot.mx/ 1
Límites y Continuidad de Funciones
Introducción.
La historia del desarrollo de la matemática en general, y del cálculo en
particular, muestra un constante ir y venir entre periodos de desarrollo
altamente productivos, aunque sin la formalidad adecuada, y periodos de
consolidación y cristalización del conocimiento con elevados niveles de
rigor científico.
En el caso del cálculo, el concepto de límite y continuidad de funciones,
resolvieron el problema de la falta de rigor científico.
Elabora una línea de tiempo acerca del proceso de desarrollo de estos dos
conceptos y explica la razón por la cuál es necesario formalizar el conocimiento
matemático.
Esta línea de tiempo puede ser elaborada a mano o con cualquier software y luego
deberá convertirse en PDF para poder subirlo en la sección de Moodle que se
indica en dicha plataforma.
Concepto intuitivo de límite.
El concepto de límite es el resultado del trabajo de grandes matemáticos
de diferentes épocas y ubicaciones geográficas, y pudiera pensarse que es
difícil de comprender. Sin embargo, es posible abordar el tema desde un
punto de vista menos formal para entenderlo con mayor facilidad.
Ejemplo 1 . Deformación de un resorte
Un resorte tiene una capacidad de carga de 15 Kg.
Se desea determinar la longitud máxima que puede
alcanzar, por lo que se realiza un experimento
consistente en ir aumentando la carga, sin
sobrepasar su capacidad, para evitar que se
deforme permanentemente, o se rompa.
Los resultados del experimento pueden observarse en la tabla siguiente.
Tabla que relaciona la Fuerza aplicada al resorte, con su deformación.
Traza la gráfica de estos resultados tomando la fuerza
como equis, y la deformación como ye, de acuerdo con
la gráfica, contesta las preguntas.
Historia de la
teoría de límites.
Actualmente se considera
resuelta la disputa acerca de la
invención del cálculo; existe
cierto acuerdo en que Newton
y Leibnitz lo desarrollaron en
forma independiente y casi
simultánea. Las fluxiones de
Newton fueron cocientes de
diferenciales para Leibnitz.
Puesto que no disponían del
concepto de límite, está claro
que los fundamentos, en
ambos casos, son poco
rigurosos. El cálculo de
fluxiones de Newton se basa en
demostraciones algebraicas
muy poco convincentes y las
diferenciales de Leibnitz son
entidades que, a pesar de
haber sido definidas como
incrementos, no se comportan
como tales.
Durante todo el siglo XVIII, se
aplicaron los métodos del
cálculo de Newton y/o Leibnitz
en la resolución de problemas
de física o, incluso, se
propusieron nuevas ramas de la
matemática, lo cual
constantemente ponía de
relieve la falta de rigor del
cálculo.
No es sino hasta 1821 cuando
Cauchy consiguió elaborar un
enfoque lógico y adecuado al
cálculo, definiendo el concepto
de límite y el de función
continua.
Fuerza (Kg) 0 6 9.5 14 14.5 14.8 14.9 14.99 14.999 14.9999
Deformación
(cm)
0 1.19 1.87 2.85 2.89 2.95 2.98 2.99 2.999 2.9999
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Límites y Continuidad de Funciones
La siguiente gráfica puedes trazarla sobre esta misma página y luego escanearla, convertirla en PDF y subirla en la sección
indicada o si lo prefieres puedes emplear Excel o algún otro software. No olvides agregar las respuestas a las preguntas que
aparecen debajo de la gráfica y en la página siguiente.
¿La gráfica indica que se trata de una función lineal? ¿Es sólo aproximadamente lineal? ¿O definitivamente no
es lineal? Explica tu respuesta
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Podemos observar que la magnitud de la fuerza, aunque no es exactamente 15 Kg debido a que esto podría
dañar el resorte, sí se aproxima a dicho valor. Conforme la Fuerza es cada vez más cercana a 15 Kg, la
deformación se aproxima a: ______________________________.
Esta expresión verbal tan extensa, se expresa matemáticamente con la terminología de la teoría de límites
como se muestra en la página siguiente.
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Límites y Continuidad de Funciones
El límite de la deformación del resorte, cuando la fuerza aplicada tiende a 15 Kg, es igual a _______ cm.
Simbólicamente se escribe: lim
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎→15
𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =
Si representamos la Fuerza con F, y la deformación con d: lim
𝐹→15
𝑑 =
O, como es más usual, representando con y la deformación y con x la fuerza: lim
𝑥→15
𝑦 =
En este caso en particular, la razón por la que no podemos tomar el valor de 15 Kg como carga para el resorte
es que esto podría dañarlo, en otros casos, habrá diversas razones por las que un cierto valor de la variable
independiente no podrá ser utilizado.
Ejemplo 2. Dificultades con la aritmética.
Por ahora vamos a olvidarnos de las aplicaciones, y revisaremos el concepto de límite. Determina el límite
siguiente:
lim
𝑥→1
𝑥2
− 1
𝑥 − 1
=
En primer lugar, es conveniente revisar si no podemos, sencillamente, tomar el valor x = 1, y sustituirlo para
calcular el valor de la función.
𝑥2
− 1
𝑥 − 1
=
12
− 1
1 − 1
=
0
0
La división cero entre cero.
Esta división conduce a resultados incorrectos, aunque interesantes, cuando sin
darnos cuenta, asumimos que el resultado es uno. Revisa el ejemplo que se
encuentra en la imagen que “demuestra” que uno es igual a cero.
Anota en las siguientes líneas, dónde se encuentra el error de dicha demostración, y en
qué consiste:
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Una vez que entendemos las complicaciones que implica la división cero entre cero, vamos a determinar el
valor del límite buscado utilizando una estrategia similar a la que empleamos con el resorte; iremos dando a la
equis valores cada vez más cercanos a uno, ya que se busca el límite cuando equis tiende a uno, pero sin tomar
nunca x = 1. Se dejan espacios para que anotes primero el resultado obtenido en el numerador, luego en el
denominador, y al final la división.
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Límites y Continuidad de Funciones
Observa cómo le damos valores a
equis, cada vez más cercanos a uno.
Con base en los resultados obtenidos
en la tabla anota el valor del límite.
Esta es una buena estrategia, si encontramos dificultades al resolver un problema, siempre podemos
recurrir a la aritmética y geometría elementales.
La gráfica de la función y el límite calculado.
Con la finalidad de observar lo que
sucede con esta función, vamos a trazar
su gráfica poniendo especial atención en
el punto en el que se calculó el límite:
x = 1
Podemos tabular cualquier valor,
excepto equis igual a uno, por lo tanto,
se realizarán dos tabulaciones; una con
valores menores a uno (comenzamos en
menos tres), y otra con valores mayores
a uno, como se indica en las tablas
(desde 1.1 hasta 5).
Traza la gráfica en el plano cartesiano de la página siguiente, o si prefieres utiliza Excel o cualquier otro software para
entregar el trabajo correspondiente al ejemplo 2, recuerda que debes incluir las respuestas a todas las preguntas y
entregarlo a través de la plataforma Moodle en la sección que corresponde al ejemplo 2.
Tabulación para obtener el límite
x x2
– 1 x – 1 (x2 – 1) / (x – 1)
0.5
0.7
0.9
0.99
0.999
0.9999
Valores de equis menores
a uno
Valores de equis mayores
a uno
x y x Y
-3 1.1
-2 1.2
-1 1.5
0 2
0.5 3
0.8 4
0.9 5
lim
𝑥→1
𝑥2
− 1
𝑥 − 1
=
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Límites y Continuidad de Funciones
Explica, en las siguientes líneas lo que sucede con la gráfica en el punto x = 1. Consulta el nombre que
recibe una función que tiene este comportamiento.
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
En la siguiente página se encuentra el ejemplo 3, deberás entregarlo en Moodle con todas sus respuestas y gráficas.
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Límites y Continuidad de Funciones
Ejemplo 3. Repasando el método aritmético.
Utilizando la misma estrategia que ya conocemos, determina el siguiente límite, traza su gráfica, y explica el
comportamiento de la función alrededor de x = 1. Determina el límite siguiente:
lim
𝑥→1
𝑥 − 1
𝑥2 + 𝑥 − 2
=
Siempre es conveniente revisar si no podemos, sencillamente, tomar el valor x = 1, y sustituirlo para calcular el
valor de la función.
𝑥 − 1
𝑥2 + 𝑥 − 2
=
1 − 1
12 + 1 − 2
=
0
0
La división cero entre cero.
Nuevamente encontramos este resultado, por lo tanto, no podemos tomar el valor x = 1.
Vamos a efectuar la tabulación; se dejan espacios para que anotes primero el resultado obtenido en el
numerador, luego en el denominador, y al final la división.
Con base en los resultados obtenidos en
la tabla anota el valor del límite.
Pudimos obtener el límite utilizando solamente aritmética y geometría. Ahora vamos a trazar la
gráfica, tomando en cuenta que, además de la discontinuidad en x = 1, existe otra, que se presenta
cuando x = - 2, debido a que, en este punto, el denominador se hace cero.
𝑥 − 1
𝑥2 + 𝑥 − 2
=
−2 − 1
(−2)2 + (−2) − 2
=
−3
4 − 2 − 2
=
−3
0
= −∞
Debemos recordar que el resultado “menos infinito” no se refiere a ningún número, sino al hecho de
que se está dividiendo una cantidad entre cero.
Ahora debemos efectuar tres tabulaciones: una para valores de equis menores que menos dos; otra
para valores de equis entre menos dos y uno; y finalmente para valores mayores que uno. Estos
valores pueden ser seleccionados aleatoriamente, sin embargo, es conveniente siempre considerar
cantidades cercanas a los valores en los que la función no está definida.
Las tablas siguientes ya contienen la equis para que se comprenda mejor esta idea.
Tabulación para obtener el límite
x x – 1 x2
+ x – 2 (x – 1) / (x2
+ x – 2)lim
𝑥→1
𝑥 − 1
𝑥2 + 𝑥 − 2
=
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Límites y Continuidad de Funciones
La gráfica de la función, el límite calculado y la división entre cero.
Utiliza los valores de equis que se proponen para trazar la gráfica.
Con los resultados de esta tabulación, traza la gráfica.
Valores de equis menores
a menos dos (x<-2)
Valores de equis entre menos
dos y uno (-2<x<1)
Valores de equis mayores a
uno (x>1)
x y x Y x Y
-5 -1.9 1.1
-4 -1.7 1.2
-3 -1.5 1.5
-2.7 -1 1.8
-2.5 0 2
-2.3 0.5 3
-2.2 0.7 4
-2.1 0.9 5
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Límites y Continuidad de Funciones
Funciones discontinuas.
Cuando existen estos “saltos” o “huecos” en la gráfica de una función, decimos que es discontinua en
dichos puntos, para la función que estamos analizando decimos:
La función estudiada es discontinua en x = -2, y también en x = 1.
𝑓(𝑥) =
𝑥 − 1
𝑥2 + 𝑥 − 2
Ejercicios.
Resuelve los siguientes ejercicios aplicando esta estrategia aritmética y traza las gráficas correspondientes
señalando claramente dónde se encuentran las discontinuidades de las funciones.
1) lim
𝑥→3
𝑥2−9
𝑥−3
+
𝑁𝐿
5
=
2) lim
𝑥→−2
𝑥+2
𝑥3+8
−
𝑁𝐿
8
=
3) lim
𝑥→2
𝑥2−4
4𝑥2+5𝑥−6
+
𝑁𝐸
2
=
4) lim
𝑥→4
𝑥−4
2−√ 𝑥
−
𝑁𝐸
2
=
5) lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
+
𝜋
𝑁𝐸
=
6) lim
𝑥→0
𝑥
𝑥2 −
1
𝑁𝐿
=
7) lim
𝑥→3
1
𝑥
−
1
3
𝑥−3
+
1
𝑁𝐸
=
8) lim
𝑥→0
𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥
−
𝜋
𝑁𝐿
=
Los 8 problemas acerca de límites serán entregados a través de Moodle en la sección de problemas actividad 1.1