Este documento presenta los conceptos básicos de las operaciones con números complejos, incluyendo suma, resta, multiplicación y división. Explica que la suma y resta se tratan como la misma operación y muestra ejemplos de cómo aplicar las reglas de signos. También muestra cómo se llevan a cabo la multiplicación y división de números complejos a través de ejemplos paso a paso.

3. Objetivo
Que el estudiante resuelva operaciones fundamentales con
números complejos; suma resta multiplicación y división,
simplificando cuando sea posible de acuerdo con las propiedades
de las potencias del número 𝒊.

4. Introducción
Al igual que ocurre con los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales, existen
algoritmos para efectuar operaciones. En esta presentación se explican, paso a paso, los algoritmos
necesarios para efectuar operaciones aritméticas básicas con números complejos. Es importante
señalar que debe prestarse especial atención a las propiedades de las potencias del número 𝒊.
Tablilla egipcia que muestra el uso de algunos
números empleados por esta civilización.
Es notable lo mucho que ha avanzado la
matemática desde esa época hasta nuestros
días.
Los números complejos son, sencillamente,
un producto intelectual más avanzado que
esta numeración, pero que responde a la
misma necesidad: resolver problemas.

5. Introducción
Este sencillo problema geométrico conduce a la ecuación de segundo grado: 𝟔𝒙 𝟐
− 𝟒𝟑𝒙 + 𝟖𝟒 = 𝟎.
Actividad de clase: Utiliza la fórmula general para resolver la ecuación de segundo grado y te
encontrarás con los números complejos.
Podríamos suponer que los números se desarrollaron conforme al
orden lógico con el que se enseñan en la escuela: primero los
naturales, enteros, racionales, irracionales, luego reales y finalmente
los complejos. Sin embargo, los números complejos eran conocidos de
los griegos desde el siglo III d. C. En esta época Diofanto de Alejandría
se encontró con los números imaginarios al tratar de resolver un
problema geométrico:
“Determinar las medidas de los lados de un triángulo rectángulo cuyo
perímetro es de 12 unidades y su área es de 7 unidades al cuadrado.”

6. Introducción
Este sencillo problema geométrico conduce a la ecuación de segundo grado: 𝟔𝒙 𝟐
− 𝟒𝟑𝒙 + 𝟖𝟒 = 𝟎.
Actividad de clase: Utiliza la fórmula general para resolver la ecuación de segundo grado y te
encontrarás con los números complejos.
Podríamos suponer que los números se desarrollaron conforme al
orden lógico con el que se enseñan en la escuela: primero los
naturales, enteros, racionales, irracionales, luego reales y finalmente
los complejos. Sin embargo, los números complejos eran conocidos de
los griegos desde el siglo III d. C. En esta época Diofanto de Alejandría
se encontró con los números imaginarios al tratar de resolver un
problema geométrico:
“Determinar las medidas de los lados de un triángulo rectángulo cuyo
perímetro es de 12 unidades y su área es de 7 unidades al cuadrado.”

7. Contenido 7
Esta presentación aborda los siguientes tres temas
Suma y resta
La suma y resta se tratan
como la misma operación
con diferentes aplicaciones
de las leyes de los signos
Multiplicación
La multiplicación de
números complejos tiene
mucha relación con la
multiplicación de
polinomios.
División
La división requiere de la
multiplicación por el
conjugado del número
complejo que es el divisor.

8. Suma y Resta de Números Complejos
La suma y resta de números complejos pueden ser consideradas
la misma operación, una suma algebraica que se resuelve
aplicando las reglas de esta rama de la matemática.

9. Suma algebraica de números complejos 9
Identificamos una suma algebraica de números complejos
por los números complejos entre paréntesis 𝑎 + 𝑏𝑖 ,
precedidos por signos de suma y/o resta. Cuando no se
encuentra un signo antes del paréntesis inicial se considera
que es positivo.
+ −5 − 6𝑖 + 3 + 9𝑖 − −7 + 2𝑖 =
+

10. Ejemplo 10
Efectúa la siguiente suma de números complejos
+ −5 − 6𝑖 + 3 + 9𝑖 − −7 + 2𝑖 =

11. Ejemplo 11
El primer paso consiste en eliminar paréntesis aplicando las
leyes de los signos para la multiplicación:
+ −5 − 6𝑖 + 3 + 9𝑖 − −7 + 2𝑖 =
−5 − 6𝑖

12. Ejemplo 12
Cuando el signo que está fuera del paréntesis es positivo, los
signos del número complejo no cambian:
+ −5 − 6𝑖 + +3 + 9𝑖 − −7 + 2𝑖 =
−5 − 6𝑖 + 3 + 9𝑖

13. Ejemplo 13
Cuando el signo que está fuera del paréntesis es negativo, los
signos del número complejo sí cambian:

14. Ejemplo 14
Para simplificar la expresión que se obtuvo, se suman por
separado la parte real e imaginaria del número complejo:
+ −5 − 6𝑖 + +3 + 9𝑖 − −7 + 2𝑖 =
−5 − 6𝑖 + 3 + 9𝑖 + 7 − 2𝑖 =
−5 + 3 + 7 − 2𝑖 + 9𝑖 − 6𝑖 = +5 + 1𝑖

15. Ejemplo 15
Cuando el coeficiente de la 𝒊 es uno, puede omitirse:

16. Multiplicación de Números Complejos
La multiplicación de números complejos se lleva a cabo en forma
similar a una multiplicación de binomio por binomio, es decir,
debe multiplicarse término por término.

17. Ejemplo 17
Efectúa la siguiente multiplicación de números complejos
−6 − 4𝑖 × −2 + 5𝑖 =

18. Ejemplo 18
En ocasiones la multiplicación es expresada mediante el signo
×, o solamente con un punto, o incluso dejando simplemente
un paréntesis junto al otro.
−6 − 4𝑖 × −2 + 5𝑖 =
−6 − 4𝑖 ∙ −2 + 5𝑖 =
−6 − 4𝑖 −2 + 5𝑖 =

19. Ejemplo 19
Cualquiera que sea la notación empleada el procedimiento es
el mismo, se multiplica término por término
−𝟔 − 4𝑖 −2 + 5𝑖 =

20. Ejemplo 20
Se aplican las leyes de los signos para la multiplicación
−𝟔 − 4𝑖 −2 + 5𝑖 =
+12 − 30𝑖

21. Ejemplo 21
Es conveniente acomodar
los resultados de las
multiplicaciones parciales en
forma vertical, cada uno con
sus términos semejantes:

22. Ejemplo 22
Para terminar la
multiplicación debemos
tomar en cuenta que el
valor de 𝑖 al cuadrado es
menos uno, sustituimos
y efectuamos
operaciones.

23. Ejemplo
A continuación pueden
efectuarse las sumas
algebraicas.
Observa que uno de los
resultados contiene la 𝑖 al
cuadrado.

24. División de números complejos
La división de números complejos se efectúa multiplicando
dividendo y divisor por el conjugado del divisor, posteriormente
se simplifica el resultado tomando el valor de 𝒊 𝟐
= −𝟏.

25. Ejemplo 25
Efectúa la siguiente división de números complejos
−3 − 6𝑖
5 − 8𝑖
=

26. Ejemplo 26
Para efectuar la división vamos a obtener el conjugado del divisor
−3 − 6𝑖
5 − 8𝑖
=
Conjugado:
5 + 8𝑖

27. Ejemplo 27
El procedimiento consiste en multiplicar, dividendo y divisor,
por el conjugado que obtuvimos:
−3 − 6𝑖
5 − 8𝑖
×
5 + 8𝑖
5 + 8𝑖
=

28. Ejemplo 28
El procedimiento consiste en multiplicar, dividendo y divisor,
por el conjugado que obtuvimos:
−3 − 6𝑖
5 − 8𝑖
×
5 + 8𝑖
5 + 8𝑖
=
−15 − 24𝑖

29. Ejemplo 29
El procedimiento consiste en multiplicar, dividendo y divisor,
por el conjugado que obtuvimos:
−3 − 6𝑖
5 − 8𝑖
×
5 + 8𝑖
5 + 8𝑖
=
−15 − 24𝑖 − 30𝑖 − 48𝑖2

30. Ejemplo 30
El procedimiento consiste en multiplicar, dividendo y divisor,
por el conjugado que obtuvimos:

31. Ejemplo 31
El procedimiento consiste en multiplicar, dividendo y divisor,
por el conjugado que obtuvimos:

32. Ejemplo 32

33. Ejemplo 33

34. Gracias por su atención
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