Este documento describe cómo calcular la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto dado. Explica que originalmente se usó el método de las raíces iguales de Descartes y el método de límites de Fermat. Luego, muestra un ejemplo de cómo calcular la pendiente de una recta tangente usando puntos cercanos en la curva y tomando el límite cuando esos puntos se acercan, lo que aproxima la pendiente de la tangente. Finalmente, enfatiza que la noción de límite es clave para encontrar correctamente la pendiente
Activity 1 1 introduction to differential calculusEdgar Mata
Este documento presenta una introducción al cálculo diferencial, incluyendo una discusión sobre el origen del cálculo y quién debe ser considerado su inventor. Resuelve un problema práctico sobre el volumen de una caja de cartón usando diferentes métodos como la aritmética, álgebra y funciones matemáticas. Finalmente, explica los fundamentos del cálculo como la teoría de límites y continuidad de funciones.
Activity 1 1 intro differential calculusEdgar Mata
Este documento presenta una breve introducción al cálculo diferencial, incluyendo sus aplicaciones y fundamentos como la teoría de límites y continuidad de funciones. Resuelve un problema sobre el volumen de una caja de cartón usando diferentes métodos como aritmética, álgebra y gráficas. Explica que el cálculo es necesario para obtener una solución exacta y analiza el proceso de modelado matemático para resolver problemas reales.
Activity 1 2 limit theory and continuityEdgar Mata
El documento trata sobre los conceptos de límite y continuidad de funciones. Explica que estos conceptos surgieron para darle un fundamento más sólido al cálculo, el cual carecía de rigor en sus inicios. Luego presenta tres ejemplos para introducir el concepto intuitivo de límite, analizando funciones que se comportan de forma discontinua en ciertos puntos. Finalmente propone algunos ejercicios para que el lector aplique los métodos vistos.
Activity 2 1 geometric interpret derivativeEdgar Mata
Este documento introduce el concepto de derivada desde una perspectiva geométrica. Explica cómo resolver el problema de encontrar el volumen máximo de una caja mediante la determinación del punto donde la tangente a la curva es horizontal, es decir, donde la pendiente es cero. Luego, describe el cálculo de la pendiente de la tangente a una curva en un punto dado usando límites laterales, aproximando la pendiente de la recta secante a la tangente. Finalmente, presenta algunos ejercicios para aplicar este método.
Este documento describe el concepto de límite y continuidad de funciones desde un enfoque intuitivo. Explica que el cálculo pasó por diferentes etapas de desarrollo, careciendo inicialmente de una base teórica sólida. Fue necesario desarrollar la teoría de límites y continuidad para fundamentar esta rama de las matemáticas. Luego presenta tres ejemplos para ilustrar el concepto intuitivo de límite, como la deformación de un resorte bajo carga creciente y los problemas que plantea la división entre cero.
Activity 1 1 intro differential calculusEdgar Mata
Este documento presenta una breve introducción al cálculo diferencial, incluyendo sus aplicaciones para resolver problemas, los fundamentos de límites y continuidad, y un ejemplo de cómo resolver un problema de optimización usando funciones. Explica que el cálculo fue desarrollado para resolver problemas donde la geometría y álgebra no eran suficientes y que Newton y Leibniz lo inventaron para situaciones donde cantidades desconocidas varían.
El documento describe la historia del desarrollo del concepto de límite y continuidad de funciones en matemáticas. Inicialmente, el cálculo carecía de fundamentos teóricos sólidos. Más tarde, Cauchy desarrolló en 1821 un enfoque lógico y adecuado al cálculo mediante la definición de los conceptos de límite y función continua. El documento también presenta ejemplos intuitivos para explicar el concepto de límite, como la deformación de un resorte bajo diferentes cargas.
Activity 2 1 geometric interpret derivativeEdgar Mata
Este documento describe el cálculo de la pendiente de la tangente a una curva en un punto dado. Explica que la pendiente de la tangente es igual al límite de la pendiente de la recta secante cuando el segundo punto se aproxima al primero. Proporciona un ejemplo numérico para ilustrar el método, y luego tres ejercicios para practicarlo.
Activity 1 1 introduction to differential calculusEdgar Mata
Este documento presenta una introducción al cálculo diferencial, incluyendo una discusión sobre el origen del cálculo y quién debe ser considerado su inventor. Resuelve un problema práctico sobre el volumen de una caja de cartón usando diferentes métodos como la aritmética, álgebra y funciones matemáticas. Finalmente, explica los fundamentos del cálculo como la teoría de límites y continuidad de funciones.
Activity 1 1 intro differential calculusEdgar Mata
Este documento presenta una breve introducción al cálculo diferencial, incluyendo sus aplicaciones y fundamentos como la teoría de límites y continuidad de funciones. Resuelve un problema sobre el volumen de una caja de cartón usando diferentes métodos como aritmética, álgebra y gráficas. Explica que el cálculo es necesario para obtener una solución exacta y analiza el proceso de modelado matemático para resolver problemas reales.
Activity 1 2 limit theory and continuityEdgar Mata
El documento trata sobre los conceptos de límite y continuidad de funciones. Explica que estos conceptos surgieron para darle un fundamento más sólido al cálculo, el cual carecía de rigor en sus inicios. Luego presenta tres ejemplos para introducir el concepto intuitivo de límite, analizando funciones que se comportan de forma discontinua en ciertos puntos. Finalmente propone algunos ejercicios para que el lector aplique los métodos vistos.
Activity 2 1 geometric interpret derivativeEdgar Mata
Este documento introduce el concepto de derivada desde una perspectiva geométrica. Explica cómo resolver el problema de encontrar el volumen máximo de una caja mediante la determinación del punto donde la tangente a la curva es horizontal, es decir, donde la pendiente es cero. Luego, describe el cálculo de la pendiente de la tangente a una curva en un punto dado usando límites laterales, aproximando la pendiente de la recta secante a la tangente. Finalmente, presenta algunos ejercicios para aplicar este método.
Este documento describe el concepto de límite y continuidad de funciones desde un enfoque intuitivo. Explica que el cálculo pasó por diferentes etapas de desarrollo, careciendo inicialmente de una base teórica sólida. Fue necesario desarrollar la teoría de límites y continuidad para fundamentar esta rama de las matemáticas. Luego presenta tres ejemplos para ilustrar el concepto intuitivo de límite, como la deformación de un resorte bajo carga creciente y los problemas que plantea la división entre cero.
Activity 1 1 intro differential calculusEdgar Mata
Este documento presenta una breve introducción al cálculo diferencial, incluyendo sus aplicaciones para resolver problemas, los fundamentos de límites y continuidad, y un ejemplo de cómo resolver un problema de optimización usando funciones. Explica que el cálculo fue desarrollado para resolver problemas donde la geometría y álgebra no eran suficientes y que Newton y Leibniz lo inventaron para situaciones donde cantidades desconocidas varían.
El documento describe la historia del desarrollo del concepto de límite y continuidad de funciones en matemáticas. Inicialmente, el cálculo carecía de fundamentos teóricos sólidos. Más tarde, Cauchy desarrolló en 1821 un enfoque lógico y adecuado al cálculo mediante la definición de los conceptos de límite y función continua. El documento también presenta ejemplos intuitivos para explicar el concepto de límite, como la deformación de un resorte bajo diferentes cargas.
Activity 2 1 geometric interpret derivativeEdgar Mata
Este documento describe el cálculo de la pendiente de la tangente a una curva en un punto dado. Explica que la pendiente de la tangente es igual al límite de la pendiente de la recta secante cuando el segundo punto se aproxima al primero. Proporciona un ejemplo numérico para ilustrar el método, y luego tres ejercicios para practicarlo.
Aplicaciones de la derivada max vol cajaEdgar Mata
Este documento describe el proceso de resolver un problema de maximización de volumen usando diferentes métodos como aritmética, geometría, funciones cúbicas y finalmente cálculo diferencial. El problema involucra determinar el tamaño óptimo de un cuadrado que se recorta de una caja para maximizar su volumen. Inicialmente se usan aproximaciones, luego se grafica la función cúbica del volumen, y finalmente se deriva la función y se iguala a cero para encontrar la solución exacta de 5.6574 cm.
El documento presenta un ejercicio de cálculo diferencial que pide derivar y graficar expresiones dadas, así como identificar los puntos donde la derivada es cero y cómo esto se relaciona con el comportamiento de la función original. El ejercicio fue tomado de un libro de matemáticas y contiene instrucciones específicas sobre qué ejercicios resolver y graficar.
Activity 2 2 algebraic geo interpretation of derivativeEdgar Mata
El documento describe el método algebraico para determinar la pendiente de la tangente a una curva en cualquier punto. Explica que este método involucra cuatro pasos: 1) calcular el incremento en x, 2) calcular el incremento en y, 3) dividir los incrementos, y 4) tomar el límite para obtener la derivada. Además, provee un ejemplo para ilustrar cómo aplicar este método algebraico para encontrar la pendiente de la tangente en puntos específicos de la curva y = x2.
Activity 2 2 special productos and factoringEdgar Mata
El documento describe el proceso de obtener reglas para productos notables de álgebra a través de la observación de regularidades en multiplicaciones. Primero, se realizan multiplicaciones paso a paso para notar patrones. Luego, se generalizan las observaciones en reglas para obtener productos directamente sin cálculos. Finalmente, se prueban las reglas en casos más complejos para verificar su validez. El objetivo es desarrollar conocimiento matemático a través de la experimentación y generalización de patrones empíricos.
Este documento presenta una introducción a la cinemática en una dimensión. Explica conceptos fundamentales como posición, velocidad, aceleración y sus relaciones. Incluye secciones sobre gráficos comunes como rectas y parábolas, y sus ecuaciones. También cubre temas como velocidad constante, media e instantánea, y movimiento con aceleración constante.
Activity 2 2 special productos and factoringEdgar Mata
El documento describe el proceso de obtención de reglas para productos notables como binomios con término común y binomio al cuadrado. Primero se realizan ejemplos con términos positivos para observar regularidades y formular una regla preliminar, luego se prueba con términos negativos para generalizar la regla. Finalmente, se verifica la regla con binomios más complejos para validarla.
Este documento describe las líneas rectas en el plano cartesiano. Introduce las tres formas de representar la ecuación de una línea recta (pendiente-intersección, forma general y forma canónica) y explica conceptos fundamentales de la geometría analítica como los ejes del plano y cómo graficar puntos y líneas. Finalmente, aplica estas ideas a un problema de costos de producción.
Actividad para elmdesarrollo de habilidades en la resolución de problemas de razonamiento
Activity for development of habilities in word problems solving
Este documento presenta información sobre geometría y el cálculo de áreas y volúmenes. Explica fórmulas para calcular el área y volumen de figuras geométricas comunes como cuadrados, cubos, triángulos, cilindros y esferas. También incluye ejemplos de problemas y sus soluciones, así como información histórica sobre el origen de la geometría.
De la Universidad jorge Basadre Grohman, con el aporte del Licenciado Afredo Chacaltana y el Licenciado Luís Alfaro Herrera (Tacna-Perú año 2002). FÍSICA PRINCIPIOS Y APLICACIONES
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica cómo construir modelos matemáticos a partir de problemas del mundo real y los pasos básicos involucrados. Luego, provee varios ejemplos de modelos matemáticos, incluyendo el crecimiento poblacional y las trayectorias ortogonales. Finalmente, introduce conceptos clave como variables independientes, dependientes, ecuaciones diferenciales y condiciones iniciales.
El documento describe cómo construir modelos matemáticos lineales para resolver problemas de la vida real. Explica que la matemática se usa para modelar situaciones mediante el establecimiento de variables y ecuaciones. Luego, detalla el proceso de Polya para resolver problemas, el cual incluye entender el problema, configurar un plan, ejecutar el plan y revisar la solución. Finalmente, provee un ejemplo de cómo aplicar este método para resolver un problema de pintar una barda.
Este documento describe la primera fase del proceso estadístico, que es la producción de datos. Esta fase consiste en obtener una muestra representativa y no sesgada de la población para analizar las variables de interés. Es importante evitar cualquier sesgo en los datos para obtener resultados precisos. La mayoría de los errores en el proceso estadístico ocurren en esta primera etapa de producción de datos.
El documento resume conceptos fundamentales del cálculo de variaciones. 1) Explica brevemente el origen histórico del cálculo de variaciones y algunos problemas clásicos como el de la braquistocrona. 2) Señala que en estos problemas la variable independiente es una función en lugar de un vector finito-dimensional. 3) Menciona que también existen problemas donde la variable independiente involucra múltiples funciones, como en el problema isoperimétrico.
Este documento compara las condiciones de Kuhn-Tucker y Lagrange. Kuhn-Tucker son condiciones necesarias y suficientes para problemas de optimización con restricciones. Lagrange es un método para encontrar máximos y mínimos sujetos a restricciones usando multiplicadores. Ambos son generalizaciones pero Kuhn-Tucker se enfoca en programación lineal mientras que Lagrange se aplica a más casos incluyendo problemas cotidianos.
El documento presenta información sobre diferentes temas de varias materias escolares. Resume la función cuadrática en matemáticas, el teorema de Bernoulli en física, y la economía informal en la estructura socioeconómica de México. También incluye secciones sobre literatura, informática, biología, tutorías y actividades extracurriculares.
Este documento resume la economía informal en México. Explica que alrededor del 25.5% de los mexicanos trabajan en la economía informal debido a factores como la corrupción, la falta de oportunidades y los altos costos de operar un negocio formalmente. Describe los tipos de economía informal como el ambulantaje y el trabajo doméstico subterráneo, así como las consecuencias negativas como la pérdida de ingresos fiscales y el estancamiento personal.
Este documento presenta información sobre magnitudes, vectores, suma de vectores y triángulos. Explica las características de las magnitudes escalares y vectoriales, y los métodos para sumar vectores de forma gráfica y analítica. También define los tipos de triángulos, sus componentes y el Teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo a partir de sus catetos. Finalmente, incluye actividades para aplicar estos conceptos.
Este documento introduce el concepto de antiderivada y describe los métodos para calcularlas, incluyendo la definición formal de antiderivada, ejemplos de antiderivadas comunes, y teoremas como la integración por partes y el cambio de variable que permiten calcular antiderivadas más complejas. También resume brevemente el origen histórico del cálculo de antiderivadas desde los matemáticos griegos hasta Newton y Leibniz.
Activity 1 1 limits and continuity ea2021Edgar Mata
Este documento introduce el concepto de límite matemático de manera intuitiva a través de ejemplos. Explica que el desarrollo del cálculo carecía de rigor teórico inicialmente y fue necesario formalizar los conceptos de límite y continuidad para fundamentar esta rama de las matemáticas. Luego presenta tres ejemplos para ilustrar el concepto intuitivo de límite usando una deformación de resorte, operaciones aritméticas y gráficas de funciones.
Aplicaciones de la derivada max vol cajaEdgar Mata
Este documento describe el proceso de resolver un problema de maximización de volumen usando diferentes métodos como aritmética, geometría, funciones cúbicas y finalmente cálculo diferencial. El problema involucra determinar el tamaño óptimo de un cuadrado que se recorta de una caja para maximizar su volumen. Inicialmente se usan aproximaciones, luego se grafica la función cúbica del volumen, y finalmente se deriva la función y se iguala a cero para encontrar la solución exacta de 5.6574 cm.
El documento presenta un ejercicio de cálculo diferencial que pide derivar y graficar expresiones dadas, así como identificar los puntos donde la derivada es cero y cómo esto se relaciona con el comportamiento de la función original. El ejercicio fue tomado de un libro de matemáticas y contiene instrucciones específicas sobre qué ejercicios resolver y graficar.
Activity 2 2 algebraic geo interpretation of derivativeEdgar Mata
El documento describe el método algebraico para determinar la pendiente de la tangente a una curva en cualquier punto. Explica que este método involucra cuatro pasos: 1) calcular el incremento en x, 2) calcular el incremento en y, 3) dividir los incrementos, y 4) tomar el límite para obtener la derivada. Además, provee un ejemplo para ilustrar cómo aplicar este método algebraico para encontrar la pendiente de la tangente en puntos específicos de la curva y = x2.
Activity 2 2 special productos and factoringEdgar Mata
El documento describe el proceso de obtener reglas para productos notables de álgebra a través de la observación de regularidades en multiplicaciones. Primero, se realizan multiplicaciones paso a paso para notar patrones. Luego, se generalizan las observaciones en reglas para obtener productos directamente sin cálculos. Finalmente, se prueban las reglas en casos más complejos para verificar su validez. El objetivo es desarrollar conocimiento matemático a través de la experimentación y generalización de patrones empíricos.
Este documento presenta una introducción a la cinemática en una dimensión. Explica conceptos fundamentales como posición, velocidad, aceleración y sus relaciones. Incluye secciones sobre gráficos comunes como rectas y parábolas, y sus ecuaciones. También cubre temas como velocidad constante, media e instantánea, y movimiento con aceleración constante.
Activity 2 2 special productos and factoringEdgar Mata
El documento describe el proceso de obtención de reglas para productos notables como binomios con término común y binomio al cuadrado. Primero se realizan ejemplos con términos positivos para observar regularidades y formular una regla preliminar, luego se prueba con términos negativos para generalizar la regla. Finalmente, se verifica la regla con binomios más complejos para validarla.
Este documento describe las líneas rectas en el plano cartesiano. Introduce las tres formas de representar la ecuación de una línea recta (pendiente-intersección, forma general y forma canónica) y explica conceptos fundamentales de la geometría analítica como los ejes del plano y cómo graficar puntos y líneas. Finalmente, aplica estas ideas a un problema de costos de producción.
Actividad para elmdesarrollo de habilidades en la resolución de problemas de razonamiento
Activity for development of habilities in word problems solving
Este documento presenta información sobre geometría y el cálculo de áreas y volúmenes. Explica fórmulas para calcular el área y volumen de figuras geométricas comunes como cuadrados, cubos, triángulos, cilindros y esferas. También incluye ejemplos de problemas y sus soluciones, así como información histórica sobre el origen de la geometría.
De la Universidad jorge Basadre Grohman, con el aporte del Licenciado Afredo Chacaltana y el Licenciado Luís Alfaro Herrera (Tacna-Perú año 2002). FÍSICA PRINCIPIOS Y APLICACIONES
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica cómo construir modelos matemáticos a partir de problemas del mundo real y los pasos básicos involucrados. Luego, provee varios ejemplos de modelos matemáticos, incluyendo el crecimiento poblacional y las trayectorias ortogonales. Finalmente, introduce conceptos clave como variables independientes, dependientes, ecuaciones diferenciales y condiciones iniciales.
El documento describe cómo construir modelos matemáticos lineales para resolver problemas de la vida real. Explica que la matemática se usa para modelar situaciones mediante el establecimiento de variables y ecuaciones. Luego, detalla el proceso de Polya para resolver problemas, el cual incluye entender el problema, configurar un plan, ejecutar el plan y revisar la solución. Finalmente, provee un ejemplo de cómo aplicar este método para resolver un problema de pintar una barda.
Este documento describe la primera fase del proceso estadístico, que es la producción de datos. Esta fase consiste en obtener una muestra representativa y no sesgada de la población para analizar las variables de interés. Es importante evitar cualquier sesgo en los datos para obtener resultados precisos. La mayoría de los errores en el proceso estadístico ocurren en esta primera etapa de producción de datos.
El documento resume conceptos fundamentales del cálculo de variaciones. 1) Explica brevemente el origen histórico del cálculo de variaciones y algunos problemas clásicos como el de la braquistocrona. 2) Señala que en estos problemas la variable independiente es una función en lugar de un vector finito-dimensional. 3) Menciona que también existen problemas donde la variable independiente involucra múltiples funciones, como en el problema isoperimétrico.
Este documento compara las condiciones de Kuhn-Tucker y Lagrange. Kuhn-Tucker son condiciones necesarias y suficientes para problemas de optimización con restricciones. Lagrange es un método para encontrar máximos y mínimos sujetos a restricciones usando multiplicadores. Ambos son generalizaciones pero Kuhn-Tucker se enfoca en programación lineal mientras que Lagrange se aplica a más casos incluyendo problemas cotidianos.
El documento presenta información sobre diferentes temas de varias materias escolares. Resume la función cuadrática en matemáticas, el teorema de Bernoulli en física, y la economía informal en la estructura socioeconómica de México. También incluye secciones sobre literatura, informática, biología, tutorías y actividades extracurriculares.
Este documento resume la economía informal en México. Explica que alrededor del 25.5% de los mexicanos trabajan en la economía informal debido a factores como la corrupción, la falta de oportunidades y los altos costos de operar un negocio formalmente. Describe los tipos de economía informal como el ambulantaje y el trabajo doméstico subterráneo, así como las consecuencias negativas como la pérdida de ingresos fiscales y el estancamiento personal.
Este documento presenta información sobre magnitudes, vectores, suma de vectores y triángulos. Explica las características de las magnitudes escalares y vectoriales, y los métodos para sumar vectores de forma gráfica y analítica. También define los tipos de triángulos, sus componentes y el Teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo a partir de sus catetos. Finalmente, incluye actividades para aplicar estos conceptos.
Este documento introduce el concepto de antiderivada y describe los métodos para calcularlas, incluyendo la definición formal de antiderivada, ejemplos de antiderivadas comunes, y teoremas como la integración por partes y el cambio de variable que permiten calcular antiderivadas más complejas. También resume brevemente el origen histórico del cálculo de antiderivadas desde los matemáticos griegos hasta Newton y Leibniz.
Activity 1 1 limits and continuity ea2021Edgar Mata
Este documento introduce el concepto de límite matemático de manera intuitiva a través de ejemplos. Explica que el desarrollo del cálculo carecía de rigor teórico inicialmente y fue necesario formalizar los conceptos de límite y continuidad para fundamentar esta rama de las matemáticas. Luego presenta tres ejemplos para ilustrar el concepto intuitivo de límite usando una deformación de resorte, operaciones aritméticas y gráficas de funciones.
El documento describe la derivada, incluyendo su definición como la razón de cambio instantánea de una función matemática con respecto a su variable independiente. Explica algunas aplicaciones comunes de la derivada como determinar la tasa de variación, puntos críticos, valores mínimos y máximos. También resume brevemente la historia del desarrollo de la derivada por matemáticos como Newton y Leibniz en el siglo XVII.
Este documento discute la relación entre dos propiedades de los números reales R: ser un cuerpo ordenado completo y ser un espacio métrico completo. Explica que R es un cuerpo ordenado completo debido al axioma de supremo, el cual garantiza que cualquier subconjunto no vacío y acotado superiormente tiene un supremo. También es un espacio métrico completo ya que toda sucesión de Cauchy en R es convergente. Finalmente, analiza cómo estas dos nociones de completitud están relacionadas a través del teorema de Arquímedes y
Ecuaciones de la tangente, normal, subtangente, subnormal, máximos y mínimos ...vane sanchez
Este documento introduce el concepto de derivada en tres oraciones:
1) Explica que la derivada de una función puede interpretarse geométricamente como la pendiente de una curva y físicamente como una razón de cambio instantánea. 2) Detalla que la derivada se define como el límite de la pendiente de secantes a medida que los puntos se acercan, siempre que exista el límite. 3) Indica que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la tangente a la curva en ese punto.
Este documento presenta una introducción a la integral definida. Explica que la integral definida surgió históricamente de la necesidad de calcular áreas bajo curvas. Describe cómo dividir el intervalo en partes más pequeñas y sumar las áreas de los rectángulos correspondientes da como resultado una aproximación al área real, y que al tomar el límite cuando las partes tienden a cero se obtiene el área exacta. También calcula como ejemplo el área bajo la curva y=x^2 entre 0 y 3.
El Cálculo Integral (también conocido como cálculo infinitesimal) es una rama de la matemática en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso de integración o antiderivación. Es muy común en la ingeniería y en la matemática en general, y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Una de las nociones fundamentales del cálculo integral es la llamada “area bajo la curva”. Veremos cómo surge esta interesante noción.
El documento habla sobre el desarrollo del cálculo diferencial y integral por Newton y Leibniz, que crearon la herramienta matemática más poderosa. También describe la derivada de una función como una medida del cambio de la función con respecto a los cambios en su variable. Por último, presenta un problema sobre fabricar una caja de cartón a partir de una pieza rectangular y cómo las dimensiones de la caja cambiarían dependiendo del tamaño de los cuadrados recortados.
¿PUEDE RESPONDERSE A LA PREGUNTA: “¿CÓMO LOS MÉTODOS TRASCENDENTES TRASCIENDE...AndresCardonaForero
El documento presenta una exposición de resultados y enfoques acerca de la trascendencia en matemáticas y su evolución. Introduce conceptos como los números algebraicos, irracionales y trascendentes. Resume los trabajos pioneros de Euler, Liouville, Hermite y Lindemann sobre el número e y π, demostrando que son trascendentes. Explica cómo históricamente se ampliaron los conjuntos de números y operaciones para resolver nuevos problemas, llevando al descubrimiento de números irracionales y trascendentes.
El documento describe los problemas resueltos por el cálculo integral, incluyendo calcular velocidades y aceleraciones a partir de distancias, tangentes a curvas, valores máximos y mínimos de funciones, áreas, volúmenes y centros de gravedad. También resume las contribuciones de figuras históricas como Newton, Leibniz, Cavalieri y otros al desarrollo del cálculo integral.
Ecuación de Euler-Lagrange: Deducción utilizando Cálculo Básicoguest6f168da
Este documento presenta una deducción de la Ecuación de Euler-Lagrange utilizando cálculo elemental. Explica que Euler dividió la curva en intervalos finitos y reemplazó la integral por una suma, luego evaluó los cambios en la suma cuando se introdujo una variación en la curva y equilibró los términos para derivar la ecuación fundamental de la mecánica variacional. El documento proporciona antecedentes sobre Lagrange, Euler y el problema clásico de la braquistócrona para ilustrar el método de Euler.
Este documento presenta información sobre el concepto de derivada en matemáticas. Explica que la derivada representa la tasa de cambio de una función y puede usarse para calcular velocidades, tasas de variación, puntos críticos y valores máximos y mínimos. Además, proporciona algunas aplicaciones importantes de la derivada en áreas como la física, el comercio y la aproximación lineal. Finalmente, brinda una breve historia sobre el desarrollo del cálculo infinitesimal por Isaac Newton y Gottfried Leibniz
El documento describe la historia de la derivada desde su origen en los estudios de Galileo sobre el movimiento de los cuerpos hasta su desarrollo formal en el cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz en el siglo XVII. Explica que la derivada mide la tasa de cambio instantánea de una función y proporciona ejemplos de su uso para calcular la velocidad y aceleración. También define formalmente la derivada como el límite del cociente de diferencias de una función cuando el cambio de variable tiende a cero.
Cálculo del tipo de interés de la ecuación de la cuota periódica del préstamo...José Manuel Gómez Vega
Se calacula el tipo de interés en la eucación de la cuota periódica de la amortización de un préstamo según el sistema francés tomando 2 métodos numéricos y comparando las soluciones y los procesos de cálculo
Este documento introduce los conceptos de cálculo vectorial y las diferencias entre magnitudes vectoriales y escalares. Explica que las magnitudes vectoriales como la fuerza y la velocidad requieren información adicional sobre su dirección y sentido para ser completamente especificadas, mientras que las magnitudes escalares como la masa solo necesitan un número y una unidad. También define los vectores mediante sus componentes de módulo, dirección y sentido, y explica cómo las coordenadas y la representación de vectores a través de su módulo y ángulo permiten realizar operaciones mate
El documento resume las derivadas de funciones, incluyendo su definición, aplicaciones y ejemplos. Explica que la derivada representa la pendiente de la recta tangente y mide cómo varía una función. Luego detalla algunas aplicaciones comunes como determinar la velocidad, puntos críticos, valores máximos y mínimos, y el método de Newton. Finalmente, ofrece ejemplos del uso de derivadas en la vida cotidiana como medir la velocidad de un auto o un corredor.
Este documento describe los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel para resolver sistemas de ecuaciones no lineales. El método de Jacobi involucra iteraciones para aproximar una solución descomponiendo la matriz del sistema en matrices triangulares y diagonales. El método de Gauss-Seidel es similar pero actualiza las aproximaciones en cada iteración para una convergencia más rápida. También se discute brevemente el método de Newton para encontrar raíces de funciones.
Este documento describe la historia y definición formal del concepto matemático de límite. Explica que los antiguos griegos utilizaban conceptos basados en límites para calcular áreas. Más tarde, en los siglos XVII y XIX, matemáticos como John Wallis, Louis Cauchy y Karl Weierstrass formularon definiciones más precisas del límite, culminando con la definición formal de Weierstrass usando épsilon y delta. Los límites son fundamentales en análisis matemático para definir conceptos como convergencia, contin
El documento explica los conceptos básicos de la derivada y algunas de sus aplicaciones. La derivada representa la pendiente de la tangente a una curva en un punto y se utiliza para determinar si una función es creciente o decreciente, así como para encontrar máximos, mínimos y puntos de inflexión. También se aplica en áreas como finanzas, aeronáutica, astronomía, medicina, química y física para calcular velocidades, tasas de reacción, deformación de fluidos y optimización de procesos.
El documento introduce los números reales para cubrir las insuficiencias de los números racionales. Explica que los racionales no pueden medir la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado uno debido a que la raíz cuadrada de dos no es un número racional. Presenta los números reales usando un enfoque axiomático, definiendo los axiomas que componen un cuerpo y teoremas como la unicidad de los neutros de la suma y el producto.
Similar a Activity 2 1 geometric interpretation of derivative (20)
El documento describe la evolución de los sistemas de numeración utilizados por el ser humano, comenzando con sistemas no posicionales como la numeración romana y progresando hacia sistemas posicionales como la numeración maya. Explica que la introducción del cero fue fundamental para los sistemas posicionales y que los números complejos se desarrollaron para incluir raíces cuadradas de números negativos mediante la adición de los números imaginarios.
Este documento explica cómo convertir números complejos de la forma binómica a la forma trigonométrica y aplicar el Teorema de De Moivre para elevar números complejos a potencias o extraer raíces. Primero se describen las fórmulas para la conversión. Luego, se muestra un ejemplo detallado de la conversión. Finalmente, se explica cómo usar el Teorema de De Moivre para elevar números complejos a potencias usando su forma trigonométrica.
Este documento presenta los conceptos básicos de las operaciones con números complejos, incluyendo suma, resta, multiplicación y división. Explica que la suma y resta se tratan como la misma operación y muestra ejemplos de cómo aplicar las reglas de signos. También muestra cómo se llevan a cabo la multiplicación y división de números complejos a través de ejemplos paso a paso.
Este documento presenta 8 ejercicios que involucran el cálculo de límites matemáticos y la traza de gráficas correspondientes, identificando discontinuidades. Se pide resolver los ejercicios aplicando estrategias aritméticas, anotando solo las soluciones de cada límite calculado.
Este documento describe la importancia de identificar correctamente el problema como el primer paso para escribir una tesis o tesina. Explica que un problema surge cuando una situación se aparta de lo deseado y no es simplemente lo contrario de lo deseado. Además, recomienda cuantificar el problema mediante datos como números, gráficas y tendencias para comprender su gravedad e impacto, así como señalar cómo afecta el problema a procesos, áreas y el entorno.
Este documento proporciona instrucciones para un ejercicio de cálculo que involucra la aproximación numérica de límites. Los estudiantes deben obtener valores de una función para valores de x cercanos al límite por la izquierda y la derecha, tabular los datos y graficar la función para visualizar el límite. Se especifican los requisitos para completar cada sección de la actividad y obtener la puntuación máxima.
Este documento presenta información sobre los números reales y la notación científica. Explica la importancia de los números en la civilización y el desarrollo de la numeración. Define los números reales e introduce conceptos como operaciones con números reales, porcentajes, localización en la recta numérica y notación científica. Incluye ejercicios para practicar estos temas.
Course presentation differential calculus ea2021Edgar Mata
Este documento presenta la asignatura de Cálculo Diferencial dictada por el profesor G. Edgar Mata Ortiz. Explica que se trata de un curso no presencial basado en competencias que utiliza tecnologías de la información. Describe los contenidos, objetivos y forma de evaluación del desempeño de los estudiantes a través de tareas, trabajos y participación en videoconferencias utilizando las plataformas Moodle y Microsoft Teams.
Course presentation linear algebra ea2021Edgar Mata
Este documento presenta la asignatura de Álgebra Lineal que será impartida de forma no presencial. Se describen los objetivos y contenidos de la asignatura, el modelo educativo basado en competencias, la evaluación y entrega de tareas a través de la plataforma Moodle, y los recursos tecnológicos como Moodle, Teams, blogs y redes sociales que se utilizarán.
Este documento presenta los pasos para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando el método de Cramer. Primero se anotan las tres ecuaciones y luego los determinantes formados por las ecuaciones y las incógnitas. A continuación, se calculan los valores de los determinantes y se sustituyen en las ecuaciones originales para encontrar los valores de las tres incógnitas.
Exercise 2 2 - area under the curve 2020Edgar Mata
El documento presenta un ejercicio de cálculo integral que pide determinar el área bajo la curva para tres funciones entre diferentes límites usando integración. Proporciona enlaces a artículos que explican las fórmulas de integración necesarias y pide trazar gráficas con toda la información requerida.
Este documento presenta varios ejercicios sobre álgebra vectorial. Instruye al lector a resolver problemas de vectores en dos y tres dimensiones utilizando solo una calculadora. Incluye ejemplos de sumas, restas, multiplicaciones y productos cruzados de vectores, así como representaciones gráficas. También cubre representaciones vectoriales de números complejos y transformaciones lineales como reflexión, rotación, traslación, expansión y contracción.
Este documento presenta dos problemas matemáticos que involucran funciones cúbicas. El primer problema proporciona cuatro puntos de datos y pide encontrar la función cúbica que pasa a través de ellos. El segundo problema presenta cuatro puntos de datos corregidos y pide lo mismo. Se pide graficar ambas funciones cúbicas y entregar las respuestas en formato PDF.
The document contains 32 systems of linear equations with 3 unknown variables (x1, x2, x3) each. Each system has 3 equations with coefficients for the variables and a constant. The goal is to solve for the unknown variables.
Este documento describe cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3 ecuaciones con 3 incógnitas utilizando el método de Cramer en Excel. Explica que el método de Cramer puede automatizarse fácilmente en Excel y muestra un ejemplo de cómo calcular los determinantes principales y de las incógnitas y luego dividir para obtener las soluciones utilizando fórmulas de referencia de celdas.
Este documento describe el método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método involucra calcular cuatro determinantes: el determinante principal y un determinante para cada incógnita. Proporciona un ejemplo numérico para ilustrar cómo calcular cada determinante y usar sus valores para encontrar las soluciones del sistema.
Exercise 2 1 - area under the curve 2020Edgar Mata
El documento presenta un ejercicio de cálculo integral que pide determinar el área bajo la curva para tres funciones entre diferentes límites usando integración. Proporciona enlaces a artículos que explican las fórmulas de integración y pide trazar gráficas con toda la información requerida.
Este documento presenta las instrucciones para resolver problemas de razonamiento con dos incógnitas. Se divide en 4 pasos: 1) entender el problema y crear un diagrama con las cantidades desconocidas, 2) configurar un plan para obtener ecuaciones, 3) resolver el sistema de ecuaciones gráficamente o algebraicamente para encontrar los valores de las incógnitas, y 4) verificar la respuesta y comprobar que se cumplan las condiciones del problema original.
Equipo 4. Mezclado de Polímeros quimica de polimeros.pptxangiepalacios6170
Presentacion de mezclado de polimeros, de la materia de Quimica de Polímeros ultima unidad. Se describe la definición y los tipos de mezclado asi como los aditivos usados para mejorar las propiedades de las mezclas de polimeros
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2. El concepto de derivada, desde un punto de vista matemático, es un
límite; y podríamos definirlo directamente como tal, sin embargo, es
preferible comprender dicho concepto a partir de una situación
problemática y, posteriormente, formalizar el término.
En el presente material se parte del problema resuelto en la
actividad 1.1; determinar las dimensiones de cuatro cuadrados que
se deben recortar para fabricar una caja con el máximo volumen
posible, a partir de una pieza de material de tamaño especificado.
Una vez resuelto el problema, se profundiza en la estrategia
aplicada, y cómo nos conduce a la determinación de la pendiente de
una recta tangente a la curva en un punto específico.
Contenido
Introducción. ............................................................................................................................................................1
Cálculo de la pendiente de la tangente a la curva en un punto dado..................................................................2
Ejemplo 1. Determina la pendiente de la recta tangente a la curva:...............................................................2
La pendiente de la recta secante a la curva. ................................................................................................3
Aproximación de la secante a la tangente. ..................................................................................................4
Ejercicio 1. Determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado...........................................5
Obtención de límites. .......................................................................................................................................5
Gráfica. .............................................................................................................................................................6
Ejercicio 2. Determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado...........................................6
Obtención de límites. .......................................................................................................................................6
Gráfica. .............................................................................................................................................................7
Ejercicio 3. Determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado...........................................8
Obtención de límites. .......................................................................................................................................8
Gráfica. .............................................................................................................................................................9
Bibliografía............................................................................................................................................................. 10
First, it is necessary to study the facts, to multiply the number of observations, and then later to search for
formulas that connect them so as thus to discern the particular laws governing a certain class of phenomena. In
general, it is not until after these particular laws have been established that one can expect to discover and
articulate the more general laws that complete theories by bringing a multitude of apparently very diverse
phenomena together under a single governing principle.
Augustine – Louise Cauchy
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Interpretación Geométrica de la Derivada
Introducción.
Vamos a revisar el problema que sirvió como introducción al cálculo:
El problema de la caja que
debe tener el volumen
máximo, el cual se encuentra
en el punto más alto de la
gráfica correspondiente.
Dicho punto fue encontrado
mediante aproximaciones
sucesivas, es decir, buscando
valores de equis (tamaño del
cuadrado que se recorta), que
produjeran un volumen mayor
al que teníamos en cada caso.
Vamos a desarrollar un método que nos permita encontrar este punto
más alto de la curva, sin necesidad de realizar tantas operaciones
aritméticas o algebraicas y que además se pueda aplicar a cualquier clase
de problema en el que se trate de obtener el punto máximo o mínimo de
una curva.
El razonamiento que nos permitirá llegar a este método general de
solución está basado en un hecho sencillo. El punto más alto de la gráfica
se encuentra justo cuando la curva ha dejado de ascender, pero todavía
no comienza a descender. Es el punto donde la curva “es horizontal”.
En las secciones donde el valor de ye aumenta al aumentar el valor de
equis, se dice que es “la función es creciente”, y en las secciones en las
que ye disminuye al aumentar el valor de equis, se le llama “función
decreciente”.
Interpretaciones
de la derivada.
Como ya hemos visto, el cálculo
es atribuido a Newton y/o a
Leibnitz, quienes en forma
independiente desarrollaron sus
fundamentos, cada uno con un
enfoque completamente
diferente.
Mientras Newton pensaba en
términos de variables que
cambian con respecto al tiempo,
como la velocidad y aceleración;
Leibnitz consideraba un enfoque
geométrico en el que las
variables x, y, tomaban valores
cada vez más cercanos a un
punto dado.
Estos dos enfoques de la
derivada nos muestran que
puede ser interpretada tanto
geométricamente, como
físicamente, en términos de
variaciones de magnitudes como
la velocidad y aceleración.
Además de lo anteriormente
citado, es conveniente destacar
que, la notación empleada
actualmente, es la que desarrolló
Leibnitz.
Tanto el cálculo de Newton como
el de Leibnitz recurría a los
“infinitésimos”, cantidades
fuertemente cuestionadas por los
matemáticos de la época,
especialmente Lord Bishop
Berkeley, quien los llamaba “Los
fantasmas de las cantidades que
se han ido”.
Finalmente Cauchy, Weierstrass y
Riemann, reformularon el cálculo
en términos de la teoría de
límites evitando así las bien
fundadas críticas al uso de los
infinitésimos.
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Interpretación Geométrica de la Derivada
Existe solamente un punto, no una sección de la curva, donde la función no está ascendiendo ni descendiendo,
permanece horizontal. A este punto se le llama “Punto Crítico”, y se dice que “la función es estacionaria”.
Con la finalidad de facilitar la comprensión, el lenguaje que hemos
empleado no es preciso, se trata simplemente de captar la idea
para, posteriormente, ser más formales con el vocabulario. Una
forma más matemática de expresar la idea anterior es: la tangente
a la curva en el punto máximo es horizontal, por lo que su
pendiente es cero.
El problema de encontrar el punto máximo se ha reducido a
localizar el punto donde la tangente a la curva es horizontal.
El problema original ha ido sufriendo transformaciones sucesivas
conforme lo hemos analizado. De un enfoque aritmético y
geométrico, pasamos a revisarlo algebraicamente, luego en
términos de funciones y geometría analítica. Hemos llegado a un
nuevo planteamiento. ¿Cómo calcular la pendiente de la tangente
a una curva en un punto dado?
Cálculo de la pendiente de la tangente a la curva en un punto dado.
A lo largo de la historia se realizaron diversos intentos por resolver este problema, un trabajo interesante es el
“Método de Descartes de las raíces iguales”, sin embargo, no funciona en todos los casos.
Pierre Fermat, matemático contemporáneo de Descartes, propuso un método universal para resolver este
problema: “Método de límites de Fermat”.
El proceso es ingenioso, aunque un poco laborioso, pero para comprenderlo mejor vamos a resolver el siguiente
ejemplo por medio de un acercamiento aritmético.
Ejemplo 1. Determina la pendiente de la recta tangente a la curva:
en
La gráfica nos muestra en qué consiste el problema, con el
valor de podemos obtener el valor de ye
sustituyendo en la ecuación:
Conocemos las coordenadas de un punto que pertenece
tanto a la curva como a la recta tangente, pero para calcular
la pendiente de una recta se necesitan las coordenadas de
dos puntos.
2
xy 1x
1x
2
xy 2
)1(y 1y
12
12
xx
yy
m
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Interpretación Geométrica de la Derivada
Puesto que no tenemos la ecuación de la recta, no podemos conocer otro punto de la misma, pero si podemos
tomar un punto de la curva, que esté cercano a 1x y determinar su coordenada ?y sustituyendo el valor
de equis en la ecuación. Con estos puntos podemos encontrar la pendiente de la recta tangente.
Un punto ya lo teníamos como dato: A (1, 1)
El otro punto lo elegimos nosotros:
2
2 xy B (0, 0)
Con estos puntos podemos determinar la pendiente de la recta tangente:
12
12
xx
yy
m
10
10
m 1m
Si observas cuidadosamente el procedimiento notarás una inconsistencia, es decir, algo que no resulta del todo
convincente. Anota donde te parece que está el problema:
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Si observamos con atención veremos que hemos involucrado un punto que no pertenece a la recta tangente,
en la siguiente gráfica podemos observar lo que sucedió.
La pendiente de la recta secante a la curva.
En realidad, estamos calculando la pendiente de una
recta distinta de la que nos interesaba. Es una recta
llamada secante.
Entonces la pendiente de la recta tangente no es 1,
este valor es la pendiente de la recta secante.
En este punto es donde vamos a involucrar la noción
de límite.
Podemos tomar valores de x2 cada vez más cercanos
al valor de x1, de tal forma que la recta secante
tenga una pendiente muy cercana a la de la
tangente.
Es muy importante que no olvidemos qué estamos buscando: la pendiente de la recta tangente a la curva en un
punto dado, pero debido a que no ha sido posible calcular dicho valor, decidimos obtener la pendiente de una
recta secante a la curva en el mismo punto, y poco a poco, ir tomando puntos más cercanos al punto (1, 1).
11 x 2
1 xy 2
1 )1(y 11 y
02 x 2
2 )0(y 02 y
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Interpretación Geométrica de la Derivada
Observa en la gráfica siguiente que, al tomar un valor de x2 (0.5) más cercano a x1 (1), la recta secante dos tiene
una pendiente más parecida a la de la recta tangente.
Aproximación de la secante a la tangente.
Si continuamos este proceso podemos acercar el
punto x2, a x1, tanto como sea necesario para
observar a qué valor se aproxima la pendiente de
la recta secante.
Esta aproximación es una aplicación del concepto
de límite, por lo tanto, es conveniente realizar la
aproximación por la izquierda y por la derecha
para asegurarnos que, efectivamente, la
pendiente de la recta tangente es el valor límite
de la pendiente de la recta secante, cuando x2 se
aproxima a x1. En la siguiente línea, expresa este
límite en forma simbólica:
________________________________________
En la tabla se van dando valores de x2, cada vez más cercanos a x1, para
ver qué sucede con la pendiente de la recta secante.
¿A qué valor se aproxima la pendiente? ___________
Este valor al que se aproxima, ¿es la pendiente de la recta tangente?
___________________________________________________________
El cálculo realizado hasta ahora es solamente el límite por la
izquierda, para estar seguros debemos obtener el límite por la
derecha. Completa la tabla y determina el valor del límite.
En la siguiente línea, anota la representación simbólica del límite
calculado:
________________________________________________________
A este proceso de aproximación es al que se le llama límite. Podemos decir que la pendiente de la recta tangente
es igual al límite de la pendiente de la recta secante cuando x2 se aproxima a x1.
En las siguientes líneas, explica el procedimiento seguido para determinar la pendiente de la recta tangente a la
curva en un punto:
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
x2 y2 m
0 0 1
0.8 0.64 1.8
0.9 0.81 1.9
0.99 0.9801 1.99
0.999 0.998 1.999
0.9999 0.9998 1.9999
x2 y2 m
2
1.5
1.1
1.01
1.001
1.0001
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Interpretación Geométrica de la Derivada
Ejercicio 1. Determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado
Aplica límites laterales, traza la gráfica de la función e incluye la recta tangente y dos rectas secantes, tal como
se muestra en el ejemplo 1.
Obtención de límites.
Función: y = x2
Punto de tangencia:
x1 = 2
Calcular el valor de y1:
y1 = x2 y1 = (2)2
→y1 = 4
Estos valores (x1, y1) se utilizarán
en cada cálculo de la pendiente.
Obtener el límite por la izquierda, tomando valores cada vez más cercanos, menores que x1 = 2.
Valores de x2 Calcular y2 Determinar la pendiente m
El valor de la pendiente, por la
izquierda, se aproxima a:
1
1.5
1.7
1.9
1.99
1.999
Obtener el límite por la derecha, tomando valores cada vez más cercanos, mayores que x1 = 2.
Valores de x2 Calcular y2 Determinar la pendiente m
El valor de la pendiente, por la
derecha, se aproxima a:
3
2.5
2.3
2.1
2.01
2.001
La pendiente de la recta tangente a la curva y = x2
, en el punto x1 = 2 es: m =
Los valores calculados tomando valores de equis por la izquierda y por la derecha, no nos dan el valor buscado
del límite, solamente son valores aproximados.
El proceso de “tomar el límite” consiste en observar los decimales que se van generando y, con base en ellos,
determinar a cuál valor se aproximan los resultados que se van obteniendo al calcular la pendiente. Al realizar
el cálculo por la izquierda y por la derecha facilita el razonamiento que nos permitirá determinar si la respuesta
es entera o tiene decimales, y si tiene decimales, cuáles forman parte del límite y cuáles no. En la página
siguiente se muestra la gráfica como debe quedar, incluyendo la tangente y una secante.
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Interpretación Geométrica de la Derivada
Gráfica.
Es importante que, en la gráfica, se
identifiquen los puntos (x1, y1); (x2, y2),
la recta tangente y, al menos una recta
secante.
En los siguientes problemas, asegúrate
de anotar todo el proceso
ordenadamente, paso por paso, así
como la gráfica de la función.
Al graficar funciones, es necesario que
se observen los puntos más altos, más
bajos e intersecciones con los ejes de
coordenadas.
Ejercicio 2. Determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado
En esta ocasión debemos determinar la pendiente de la tangente a la curva: y = 0.5x2
– 1, en x1 = 1. No olvides
seguir el procedimiento mostrado en el ejemplo 1.
Obtención de límites.
Función:
Punto de tangencia: Calcular el valor de y1: Estos valores (x1, y1) se utilizarán
en cada cálculo de la pendiente.
Obtener el límite por la izquierda, tomando valores cada vez más cercanos, menores que x1 =
Valores de x2 Calcular y2 Determinar la pendiente m
El valor de la pendiente, por la
izquierda, se aproxima a:
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Interpretación Geométrica de la Derivada
Obtener el límite por la derecha, tomando valores cada vez más cercanos, mayores que x1 =
Valores de x2 Calcular y2 Determinar la pendiente m
El valor de la pendiente, por la
derecha, se aproxima a:
La pendiente de la recta tangente a la curva y = , en el punto x1 = es: m =
Gráfica.
Es importante que, en la gráfica, se identifiquen los puntos (x1, y1); (x2, y2), la recta tangente y, al menos una
recta secante.
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Ejercicio 3. Determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado
Determina la pendiente de la tangente a la curva: y = -0.2x3
+ 4.5x, en x1 = 1.5; no olvides seguir el
procedimiento mostrado en el ejemplo 1.
Obtención de límites.
Función:
Punto de tangencia: Calcular el valor de y1: Estos valores (x1, y1) se utilizarán
en cada cálculo de la pendiente.
Obtener el límite por la izquierda, tomando valores cada vez más cercanos, menores que x1 =
Valores de x2 Calcular y2 Determinar la pendiente m
El valor de la pendiente, por la
izquierda, se aproxima a:
Obtener el límite por la derecha, tomando valores cada vez más cercanos, mayores que x1 =
Valores de x2 Calcular y2 Determinar la pendiente m
El valor de la pendiente, por la
derecha, se aproxima a:
La pendiente de la recta tangente a la curva y = , en el punto x1 = es: m =
En las siguientes líneas, explica cómo se determina el valor límite a partir de los límites por la izquierda y por la
derecha.
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