Este documento presenta el problema de la mochila, un problema NP-completo que involucra elegir los elementos a colocar en una mochila para maximizar el beneficio total sin exceder la capacidad. Explica formulaciones matemáticas, heurísticas como ordenar por rendimiento y comparar con el elemento crítico, y analiza cotas superiores. También cubre variantes como acotado y múltiples mochilas, y algoritmos como voraz, genético y dinámico. Finalmente, discute aplicaciones prácticas y conclusiones.
Este documento describe y compara tres métodos para encontrar las raíces de una función: el método de bisección, el método de la secante y el método de Newton-Raphson. Explica cómo funciona cada método, sus ventajas y desventajas. El método de bisección es el más simple pero también el más lento, mientras que el método de Newton-Raphson es el más rápido pero también el más complejo de implementar.
Programacion Lineal: Problema de asignacion, diapositivas del Ingeniero Eduardo Quiroz en la clase Investigacion de Operaciones I, Secciones K y L de la Escuela Profesional de Ingenieria Economica de la Facultad de Ingenieria Economica y Ciencias Sociales (FIECS)
5.3 arbol de expansión minima algoritmo de primADRIANA NIETO
El documento describe el algoritmo de Prim para encontrar el árbol de expansión mínima en una red. El algoritmo comienza conectando un nodo a su vecino más cercano, luego iterativamente conecta el nodo no conectado más cercano al árbol existente, hasta que todos los nodos estén conectados en un árbol sin ciclos y de costo mínimo total.
Este documento presenta un resumen del problema de la mochila en programación lógica. Explica la historia y definición del problema, diferentes casos en los que se presenta, métodos de resolución como algoritmos voraces y búsqueda con retroceso, aplicaciones a situaciones de la vida real y una conclusión donde se indica que el problema puede resolverse con algoritmos voraces y lógica. Finalmente incluye anexos y bibliografía.
Este documento describe el problema del flujo máximo en redes. 1) El objetivo es encontrar la cantidad máxima de flujo que puede pasar a través de una red desde un nodo origen hasta un nodo destino sin exceder la capacidad de los arcos. 2) Se presentan ejemplos para ilustrar cómo aplicar el algoritmo de flujo máximo para encontrar el flujo máximo y su distribución en cada arco. 3) Adicionalmente, se provee información sobre cómo modelar este problema matemáticamente y los pasos generales del algoritmo.
Este documento presenta un resumen de un trabajo de investigación sobre el problema de la mochila. Brevemente describe el problema de la mochila, los algoritmos de backtracking y voraz utilizados para resolverlo, y la implementación del problema en Prolog como lenguaje de programación.
El método de la secante pretende reducir las iteraciones necesarias para encontrar la solución mediante el cálculo de un nuevo punto que se encuentra en la línea entre los dos puntos anteriores en lugar de tomar la mitad del intervalo. Calcula las aproximaciones iniciales, la tolerancia y el número máximo de iteraciones antes de iterar para encontrar un nuevo punto cuya distancia a la aproximación anterior sea menor que la tolerancia. Se muestra un ejemplo resolviendo la ecuación x5+x-1=0 usando este método y comparándolo con el método de bisección
1) Las cadenas de Markov son procesos estocásticos donde la probabilidad de transición entre estados depende únicamente del estado actual, no del pasado.
2) Se caracterizan por su matriz de transición y diagrama de estados, y pueden ser recurrentes, transitorias, periódicas u otras.
3) Existen varios ejemplos como líneas telefónicas, buffers, lanzamiento de dados y organismos unicelulares.
Este documento describe y compara tres métodos para encontrar las raíces de una función: el método de bisección, el método de la secante y el método de Newton-Raphson. Explica cómo funciona cada método, sus ventajas y desventajas. El método de bisección es el más simple pero también el más lento, mientras que el método de Newton-Raphson es el más rápido pero también el más complejo de implementar.
Programacion Lineal: Problema de asignacion, diapositivas del Ingeniero Eduardo Quiroz en la clase Investigacion de Operaciones I, Secciones K y L de la Escuela Profesional de Ingenieria Economica de la Facultad de Ingenieria Economica y Ciencias Sociales (FIECS)
5.3 arbol de expansión minima algoritmo de primADRIANA NIETO
El documento describe el algoritmo de Prim para encontrar el árbol de expansión mínima en una red. El algoritmo comienza conectando un nodo a su vecino más cercano, luego iterativamente conecta el nodo no conectado más cercano al árbol existente, hasta que todos los nodos estén conectados en un árbol sin ciclos y de costo mínimo total.
Este documento presenta un resumen del problema de la mochila en programación lógica. Explica la historia y definición del problema, diferentes casos en los que se presenta, métodos de resolución como algoritmos voraces y búsqueda con retroceso, aplicaciones a situaciones de la vida real y una conclusión donde se indica que el problema puede resolverse con algoritmos voraces y lógica. Finalmente incluye anexos y bibliografía.
Este documento describe el problema del flujo máximo en redes. 1) El objetivo es encontrar la cantidad máxima de flujo que puede pasar a través de una red desde un nodo origen hasta un nodo destino sin exceder la capacidad de los arcos. 2) Se presentan ejemplos para ilustrar cómo aplicar el algoritmo de flujo máximo para encontrar el flujo máximo y su distribución en cada arco. 3) Adicionalmente, se provee información sobre cómo modelar este problema matemáticamente y los pasos generales del algoritmo.
Este documento presenta un resumen de un trabajo de investigación sobre el problema de la mochila. Brevemente describe el problema de la mochila, los algoritmos de backtracking y voraz utilizados para resolverlo, y la implementación del problema en Prolog como lenguaje de programación.
El método de la secante pretende reducir las iteraciones necesarias para encontrar la solución mediante el cálculo de un nuevo punto que se encuentra en la línea entre los dos puntos anteriores en lugar de tomar la mitad del intervalo. Calcula las aproximaciones iniciales, la tolerancia y el número máximo de iteraciones antes de iterar para encontrar un nuevo punto cuya distancia a la aproximación anterior sea menor que la tolerancia. Se muestra un ejemplo resolviendo la ecuación x5+x-1=0 usando este método y comparándolo con el método de bisección
1) Las cadenas de Markov son procesos estocásticos donde la probabilidad de transición entre estados depende únicamente del estado actual, no del pasado.
2) Se caracterizan por su matriz de transición y diagrama de estados, y pueden ser recurrentes, transitorias, periódicas u otras.
3) Existen varios ejemplos como líneas telefónicas, buffers, lanzamiento de dados y organismos unicelulares.
ASIGNACIÓN DE RECURSOS CON PROGRAMACIÓN DINAMICA ADRIANA NIETO
1) Se busca asignar 6,000 euros entre 3 proyectos de inversión para maximizar las ganancias. Cada proyecto tiene diferentes retornos dependiendo de la cantidad invertida.
2) Se usa programación dinámica con matrices para resolver el problema iterativamente asignando fondos de forma óptima a cada proyecto.
3) Se describe el modelo de programación dinámica incluyendo etapas, estados, variables de decisión y función de recursividad para calcular la asignación óptima.
Este documento describe la programación dinámica como un paradigma para diseñar algoritmos eficientes. Explica que la programación dinámica divide un problema complejo en subproblemas más pequeños, resuelve cada subproblema una sola vez y almacena las soluciones para reutilizarlas. Luego detalla el método, incluyendo ejemplos como la serie de Fibonacci y encontrar el camino de costo mínimo en un grafo. Finalmente, concluye que la programación dinámica es útil para problemas que pueden dividirse recursivamente pero puede ser menos eficiente que
Ejemplo 1 ruta mas corta entre dos nodos especificospodersonico
Ejemplo 1 de ruta mas corta entre dos nodos específicos para la materia de optimización entera y dinamica
https://sites.google.com/site/redesoptientera
Soluciones ejercicios algoritmo de kruskalCesar Flores
Este documento presenta dos problemas de determinar el árbol de mínima expansión para dos grafos dados utilizando el algoritmo de Kruskal. No se proporcionan detalles sobre los grafos, las aristas o los pasos del algoritmo de Kruskal aplicado a cada uno.
Este documento explica el método de variables separables para resolver ecuaciones diferenciales. Primero define el concepto de variables separables como aquellas ecuaciones donde las variables (x, y) y sus diferenciales están separadas. Luego ilustra el método con un ejemplo, mostrando cómo ordenar la ecuación para separar las variables y luego integrar cada parte. Finalmente, concluye que este método funciona para ciertos tipos de ecuaciones diferenciales pero a veces puede ser complicado y se requieren otros métodos.
Este documento describe el método iterativo de Jacobi para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método convierte el sistema en un proceso iterativo que genera una secuencia de vectores que convergen a la solución. Luego, detalla los pasos del algoritmo de Jacobi y presenta un ejemplo numérico. Finalmente, establece condiciones suficientes para la convergencia del método, como que la matriz sea estrictamente dominante por filas.
Este documento presenta conceptos sobre decisiones bajo riesgo e incertidumbre. Explica que los beneficios de cada alternativa de decisión se pueden representar mediante distribuciones de probabilidad. También describe el criterio del valor esperado para tomar decisiones, buscando maximizar la utilidad esperada o minimizar el costo esperado. Además, introduce diagramas de árbol para modelar problemas de decisión, donde círculos representan eventos aleatorios y cuadrados representan puntos de decisión. Por último, presenta ejemplos numéricos para ilustrar
Este documento describe el modelo de árbol de expansión mínima para representar problemas de redes. Explica conceptos clave como nodos, arcos, rutas y ciclos. También presenta el algoritmo de Kruskal para encontrar el árbol de expansión mínima que conecta todos los nodos de una red con el costo total mínimo, sin formar ciclos. Incluye dos ejemplos numéricos para ilustrar cómo aplicar este modelo y algoritmo para resolver problemas de diseño de redes de tránsito y comunicaciones.
Este documento describe dos algoritmos para resolver problemas de programación lineal con variables enteras: el algoritmo de ramificación y acotamiento (B&B) y el algoritmo de plano de corte. B&B divide el espacio de soluciones en subproblemas iterativamente hasta encontrar una solución entera óptima. El algoritmo de plano de corte agrega restricciones llamadas "cortes" que modifican el espacio de soluciones para producir un punto extremo entero. El documento incluye un ejemplo detallado para ilustrar cómo funciona cada algoritmo.
El documento describe el método del punto fijo para resolver ecuaciones no lineales. Este método involucra reescribir la ecuación original en la forma x=g(x) y luego generar una sucesión iterativa xi+1=g(xi) que converge a la raíz. Se presenta la existencia y convergencia del método, así como un algoritmo y ejemplos para ilustrar el cálculo numérico de raíces.
Este documento describe el algoritmo lineal congruencial, el cual genera números pseudoaleatorios mediante una ecuación recursiva. Explica que para lograr el máximo periodo de vida N, los parámetros X0, a, c, y m deben cumplir ciertas condiciones como m=2g, a=1+4k, c primo con m, y g entero. Incluye ejemplos para ilustrar cómo funciona el algoritmo y cómo violar una de las condiciones, como usar un a distinto de 1+4k, reduce el periodo de vida a menos de m
Este documento describe dos variantes del método simplex para resolver problemas de programación lineal con restricciones de igualdad o desigualdad: 1) el método de la Gran "M" penaliza la función objetivo para tratar las restricciones; y 2) el método de doble fase resuelve primero un problema auxiliar de minimización (Fase I) antes de resolver el problema original (Fase II).
El documento describe el problema de encontrar la ruta más corta entre un origen y un destino en una red. Explica cómo usar un algoritmo para construir una tabla que liste la distancia mínima desde el origen hasta cada nodo, identificando así la ruta más corta como A-B-C-D-F con una distancia total de 700 km. Luego, presenta un ejemplo de encontrar la ruta con la mayor probabilidad de evitar multas de tránsito al trabajo, transformando las probabilidades en distancias para aplicar el mismo algoritmo.
Este documento describe y compara varios algoritmos de ordenamiento como el quicksort, burbuja, inserción y selección. Explica que el quicksort es uno de los más rápidos, con un costo promedio de O(n log n), aunque en el peor caso es O(n2). También analiza la importancia de elegir el pivote de manera efectiva para mejorar el rendimiento del quicksort. Finalmente, concluye que no existe un algoritmo perfecto y la elección depende del uso particular que se le dará.
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre cálculo de integrales dobles en coordenadas rectangulares cartesianas. En total se presentan 7 problemas que involucran calcular áreas, volúmenes y otras cantidades mediante el uso de integrales dobles. Cada problema contiene la formulación del problema, la solución paso a paso y el resultado final de la integral doble correspondiente.
La programación dinámica implica descomponer un problema en subproblemas más pequeños, resolver los subproblemas de forma recursiva almacenando sus soluciones, y combinar las soluciones de los subproblemas para resolver el problema original. Puede realizarse de forma recursiva hacia adelante o hacia atrás. Se provee un ejemplo de encontrar la ruta más corta entre dos ciudades descomponiendo el problema en etapas.
Este documento presenta el concepto de condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) para la resolución de problemas de optimización con restricciones. Explica que las condiciones KKT generalizan el método de multiplicadores de Lagrange para permitir restricciones de desigualdad. Además, provee un ejemplo numérico para ilustrar el uso de las condiciones KKT en la determinación de la solución óptima de un problema de minimización con restricciones.
Este documento proporciona una introducción a la programación dinámica. Explica que la programación dinámica es una técnica matemática útil para resolver una serie de decisiones secuenciales donde cada decisión afecta las futuras. Luego describe las características de los problemas de programación dinámica y proporciona un ejemplo detallado llamado "el problema de la diligencia" para ilustrar cómo funciona la técnica.
Este documento describe el algoritmo voraz y su funcionamiento. Define los elementos clave de este tipo de algoritmos como el conjunto de candidatos, las decisiones ya tomadas, la función solución, la función de selección y la función objetivo. Explica cómo aplicar este enfoque a problemas como la mochila y los árboles de recubrimiento de manera genérica.
El documento habla sobre la programación dinámica y cómo puede usarse para resolver problemas de manera más eficiente que los algoritmos recursivos. La programación dinámica resuelve subproblemas solo una vez y almacena las soluciones en una tabla para su uso futuro, evitando repetir cálculos. Se usa comúnmente para problemas de optimización donde se busca encontrar la solución óptima. El problema de la mochila y el algoritmo de Needleman-Wunsch se dan como ejemplos de problemas que pueden resolverse usando programación dinámica.
ASIGNACIÓN DE RECURSOS CON PROGRAMACIÓN DINAMICA ADRIANA NIETO
1) Se busca asignar 6,000 euros entre 3 proyectos de inversión para maximizar las ganancias. Cada proyecto tiene diferentes retornos dependiendo de la cantidad invertida.
2) Se usa programación dinámica con matrices para resolver el problema iterativamente asignando fondos de forma óptima a cada proyecto.
3) Se describe el modelo de programación dinámica incluyendo etapas, estados, variables de decisión y función de recursividad para calcular la asignación óptima.
Este documento describe la programación dinámica como un paradigma para diseñar algoritmos eficientes. Explica que la programación dinámica divide un problema complejo en subproblemas más pequeños, resuelve cada subproblema una sola vez y almacena las soluciones para reutilizarlas. Luego detalla el método, incluyendo ejemplos como la serie de Fibonacci y encontrar el camino de costo mínimo en un grafo. Finalmente, concluye que la programación dinámica es útil para problemas que pueden dividirse recursivamente pero puede ser menos eficiente que
Ejemplo 1 ruta mas corta entre dos nodos especificospodersonico
Ejemplo 1 de ruta mas corta entre dos nodos específicos para la materia de optimización entera y dinamica
https://sites.google.com/site/redesoptientera
Soluciones ejercicios algoritmo de kruskalCesar Flores
Este documento presenta dos problemas de determinar el árbol de mínima expansión para dos grafos dados utilizando el algoritmo de Kruskal. No se proporcionan detalles sobre los grafos, las aristas o los pasos del algoritmo de Kruskal aplicado a cada uno.
Este documento explica el método de variables separables para resolver ecuaciones diferenciales. Primero define el concepto de variables separables como aquellas ecuaciones donde las variables (x, y) y sus diferenciales están separadas. Luego ilustra el método con un ejemplo, mostrando cómo ordenar la ecuación para separar las variables y luego integrar cada parte. Finalmente, concluye que este método funciona para ciertos tipos de ecuaciones diferenciales pero a veces puede ser complicado y se requieren otros métodos.
Este documento describe el método iterativo de Jacobi para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método convierte el sistema en un proceso iterativo que genera una secuencia de vectores que convergen a la solución. Luego, detalla los pasos del algoritmo de Jacobi y presenta un ejemplo numérico. Finalmente, establece condiciones suficientes para la convergencia del método, como que la matriz sea estrictamente dominante por filas.
Este documento presenta conceptos sobre decisiones bajo riesgo e incertidumbre. Explica que los beneficios de cada alternativa de decisión se pueden representar mediante distribuciones de probabilidad. También describe el criterio del valor esperado para tomar decisiones, buscando maximizar la utilidad esperada o minimizar el costo esperado. Además, introduce diagramas de árbol para modelar problemas de decisión, donde círculos representan eventos aleatorios y cuadrados representan puntos de decisión. Por último, presenta ejemplos numéricos para ilustrar
Este documento describe el modelo de árbol de expansión mínima para representar problemas de redes. Explica conceptos clave como nodos, arcos, rutas y ciclos. También presenta el algoritmo de Kruskal para encontrar el árbol de expansión mínima que conecta todos los nodos de una red con el costo total mínimo, sin formar ciclos. Incluye dos ejemplos numéricos para ilustrar cómo aplicar este modelo y algoritmo para resolver problemas de diseño de redes de tránsito y comunicaciones.
Este documento describe dos algoritmos para resolver problemas de programación lineal con variables enteras: el algoritmo de ramificación y acotamiento (B&B) y el algoritmo de plano de corte. B&B divide el espacio de soluciones en subproblemas iterativamente hasta encontrar una solución entera óptima. El algoritmo de plano de corte agrega restricciones llamadas "cortes" que modifican el espacio de soluciones para producir un punto extremo entero. El documento incluye un ejemplo detallado para ilustrar cómo funciona cada algoritmo.
El documento describe el método del punto fijo para resolver ecuaciones no lineales. Este método involucra reescribir la ecuación original en la forma x=g(x) y luego generar una sucesión iterativa xi+1=g(xi) que converge a la raíz. Se presenta la existencia y convergencia del método, así como un algoritmo y ejemplos para ilustrar el cálculo numérico de raíces.
Este documento describe el algoritmo lineal congruencial, el cual genera números pseudoaleatorios mediante una ecuación recursiva. Explica que para lograr el máximo periodo de vida N, los parámetros X0, a, c, y m deben cumplir ciertas condiciones como m=2g, a=1+4k, c primo con m, y g entero. Incluye ejemplos para ilustrar cómo funciona el algoritmo y cómo violar una de las condiciones, como usar un a distinto de 1+4k, reduce el periodo de vida a menos de m
Este documento describe dos variantes del método simplex para resolver problemas de programación lineal con restricciones de igualdad o desigualdad: 1) el método de la Gran "M" penaliza la función objetivo para tratar las restricciones; y 2) el método de doble fase resuelve primero un problema auxiliar de minimización (Fase I) antes de resolver el problema original (Fase II).
El documento describe el problema de encontrar la ruta más corta entre un origen y un destino en una red. Explica cómo usar un algoritmo para construir una tabla que liste la distancia mínima desde el origen hasta cada nodo, identificando así la ruta más corta como A-B-C-D-F con una distancia total de 700 km. Luego, presenta un ejemplo de encontrar la ruta con la mayor probabilidad de evitar multas de tránsito al trabajo, transformando las probabilidades en distancias para aplicar el mismo algoritmo.
Este documento describe y compara varios algoritmos de ordenamiento como el quicksort, burbuja, inserción y selección. Explica que el quicksort es uno de los más rápidos, con un costo promedio de O(n log n), aunque en el peor caso es O(n2). También analiza la importancia de elegir el pivote de manera efectiva para mejorar el rendimiento del quicksort. Finalmente, concluye que no existe un algoritmo perfecto y la elección depende del uso particular que se le dará.
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre cálculo de integrales dobles en coordenadas rectangulares cartesianas. En total se presentan 7 problemas que involucran calcular áreas, volúmenes y otras cantidades mediante el uso de integrales dobles. Cada problema contiene la formulación del problema, la solución paso a paso y el resultado final de la integral doble correspondiente.
La programación dinámica implica descomponer un problema en subproblemas más pequeños, resolver los subproblemas de forma recursiva almacenando sus soluciones, y combinar las soluciones de los subproblemas para resolver el problema original. Puede realizarse de forma recursiva hacia adelante o hacia atrás. Se provee un ejemplo de encontrar la ruta más corta entre dos ciudades descomponiendo el problema en etapas.
Este documento presenta el concepto de condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) para la resolución de problemas de optimización con restricciones. Explica que las condiciones KKT generalizan el método de multiplicadores de Lagrange para permitir restricciones de desigualdad. Además, provee un ejemplo numérico para ilustrar el uso de las condiciones KKT en la determinación de la solución óptima de un problema de minimización con restricciones.
Este documento proporciona una introducción a la programación dinámica. Explica que la programación dinámica es una técnica matemática útil para resolver una serie de decisiones secuenciales donde cada decisión afecta las futuras. Luego describe las características de los problemas de programación dinámica y proporciona un ejemplo detallado llamado "el problema de la diligencia" para ilustrar cómo funciona la técnica.
Este documento describe el algoritmo voraz y su funcionamiento. Define los elementos clave de este tipo de algoritmos como el conjunto de candidatos, las decisiones ya tomadas, la función solución, la función de selección y la función objetivo. Explica cómo aplicar este enfoque a problemas como la mochila y los árboles de recubrimiento de manera genérica.
El documento habla sobre la programación dinámica y cómo puede usarse para resolver problemas de manera más eficiente que los algoritmos recursivos. La programación dinámica resuelve subproblemas solo una vez y almacena las soluciones en una tabla para su uso futuro, evitando repetir cálculos. Se usa comúnmente para problemas de optimización donde se busca encontrar la solución óptima. El problema de la mochila y el algoritmo de Needleman-Wunsch se dan como ejemplos de problemas que pueden resolverse usando programación dinámica.
Este documento explica la técnica de programación dinámica. Se define como una técnica que resuelve problemas dividiéndolos en subproblemas solapados, almacenando las soluciones para evitar calcularlas repetidamente. Explica los pasos para aplicarla: caracterizar la estructura óptima, definir recursivamente la solución óptima, y construir la solución global de forma ascendente usando las soluciones parciales. Finalmente, concluye que se aplica a problemas con subproblemas simples y solapados cuya solución
El documento describe la historia del desarrollo del concepto de límite y continuidad de funciones en matemáticas. Inicialmente, el cálculo carecía de fundamentos teóricos sólidos. Más tarde, Cauchy desarrolló en 1821 un enfoque lógico y adecuado al cálculo mediante la definición de los conceptos de límite y función continua. El documento también presenta ejemplos intuitivos para explicar el concepto de límite, como la deformación de un resorte bajo diferentes cargas.
Este documento presenta varios temas relacionados con la investigación de operaciones, incluyendo la teoría de dualidad, análisis de sensibilidad, modelos de transporte y métodos para resolver problemas de transporte. Explica que la teoría de dualidad establece que cada problema de programación lineal tiene un problema dual asociado, y que ambos problemas tienen la misma solución óptima. También describe el procedimiento para realizar un análisis de sensibilidad y varios métodos para resolver problemas de transporte como el método de la esquina noroeste.
Este documento describe el algoritmo voraz y el problema de la mochila. Introduce el problema de la mochila, donde el objetivo es maximizar el beneficio total al llenar una mochila sin sobrepasar su capacidad. Explica que la función de selección óptima para este problema es tomar siempre el objeto que proporcione mayor beneficio por unidad de peso. Presenta un algoritmo voraz para resolver este problema en tiempo lineal.
Guia curso microeconomia d miras pilar - pedro baroni 2012giomaralvarezc
1. Se calcula el equilibrio de mercado original igualando las curvas de oferta y demanda, obteniéndose una cantidad de 2 unidades y un precio de $2.
2. Se analizan los efectos de diferentes políticas públicas como impuestos, subvenciones y subsidios sobre las curvas de oferta y demanda y los nuevos equilibrios. Los impuestos reducen la cantidad y aumentan el precio, mientras que las subvenciones aumentan la cantidad y reducen el precio.
Este documento presenta varios problemas y ejercicios relacionados con ecuaciones diferenciales de primer, segundo y superior orden para que un estudiante los resuelva. Incluye problemas sobre modelos matemáticos de situaciones físicas como la temperatura de un café, el vaciado de un tanque de agua y el crecimiento de una población de ardillas. También incluye ejercicios sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden, series de potencias, transformada de Laplace y vibraciones de un resorte amortiguado. El estudiante debe enviar la sol
El documento describe los conceptos clave de la regresión múltiple, incluyendo que permite utilizar múltiples variables independientes para estimar una variable dependiente de manera más precisa. Explica cómo construir un modelo de regresión múltiple para predecir los impuestos no pagados basado en horas de auditoría y horas de computadora.
Este documento proporciona las claves de corrección y explicaciones para 20 preguntas de una prueba de suficiencia de datos y álgebra. Para cada pregunta, se enumeran las posibles opciones de respuesta y se explica brevemente por qué una opción en particular es la correcta, identificando la(s) pieza(s) de información necesaria(s) para resolverla. El documento enfatiza la importancia de asistir a la corrección mediada por el profesor para resolver cualquier duda.
Este documento presenta una guía sobre linealización de modelos en ciencias naturales. Explica cómo linealizar funciones potenciales y exponenciales usando logaritmos, así como otros modelos usando cambio de variables. También describe el método de mínimos cuadrados para ajuste de recta a datos experimentales y cómo usar el software PhysicsSensor para realizar regresiones lineales. Incluye dos ejercicios de aplicación sobre oscilaciones de un sistema masa-resorte.
Este documento describe varios algoritmos voraces y sus aplicaciones. Explica el método general de los algoritmos voraces, incluyendo ejemplos como el problema del cambio de monedas, la mochila y la planificación de tareas. También analiza la complejidad de tiempo de estos algoritmos.
El documento describe un método para medir alturas sobre el nivel del mar utilizando GPS y datos de nivelación. El método produjo resultados dentro de los límites de tolerancia para el 926 de 1225 puntos de partida. El ingeniero quiere comprobar si este método produce resultados dentro de los límites más del 75% del tiempo. Para hacerlo, realiza un test de hipótesis para comparar la proporción muestral con un valor hipotético del 75%.
Método Simplex Mercadotecnia Análisis de Decisiones Equipo 2 MarketingAD
Este documento presenta información sobre el método simplex para resolver problemas de programación lineal. Explica que el método simplex es un procedimiento mecánico que parte de una solución factible inicial y busca puntos sucesivos que mejoren el valor de la función objetivo hasta alcanzar la optimización. También describe las etapas del método simplex y cómo convertir restricciones en ecuaciones para aplicar el método. Incluye un ejemplo numérico para ilustrar los pasos del procedimiento.
Este documento presenta información sobre programación lineal. Explica que la programación lineal resuelve problemas en los que las relaciones entre variables son lineales. Define los componentes clave de un problema de programación lineal, incluidas las variables de decisión, restricciones, función objetivo y condición de no negatividad. También proporciona ejemplos de cómo formular problemas del mundo real como modelos matemáticos de programación lineal.
Este documento presenta información sobre un servicio de asesoría y resolución de ejercicios de matemáticas a nivel secundaria. Incluye temas como integración, derivadas parciales, series, matrices y optimización. Además, proporciona ejercicios resueltos sobre estos temas y solicita cotizaciones para este servicio a través de correo electrónico o en la página web indicada.
Este documento describe el método de los multiplicadores de Lagrange. Joseph Louis Lagrange propuso este método para encontrar máximos y mínimos de funciones con múltiples variables sujetas a restricciones. El método reduce el problema restringido a uno sin restricciones mediante la adición de términos multiplicados por los multiplicadores de Lagrange. Este método proporciona una condición necesaria para que un punto sea un extremo de una función con restricciones.
El documento introduce los conceptos de límite y continuidad de funciones, los cuales resolvieron problemas de falta de rigor en el desarrollo inicial del cálculo. Explica el concepto intuitivo de límite a través de ejemplos y luego formaliza la definición matemática de límite usando la teoría de límites. Finalmente, presenta ejercicios para practicar el cálculo de límites.
Este documento contiene información sobre un servicio de asesoría y resolución de ejercicios de matemáticas avanzadas a través de correo electrónico o página web, incluyendo cuatro actividades integradoras con numerosos ejercicios de ecuaciones diferenciales, series y transformadas de Laplace.
Activity 2 1 geometric interpret derivativeEdgar Mata
Este documento introduce el concepto de derivada desde una perspectiva geométrica. Explica cómo resolver el problema de encontrar el volumen máximo de una caja mediante la determinación del punto donde la tangente a la curva es horizontal, es decir, donde la pendiente es cero. Luego, describe el cálculo de la pendiente de la tangente a una curva en un punto dado usando límites laterales, aproximando la pendiente de la recta secante a la tangente. Finalmente, presenta algunos ejercicios para aplicar este método.
1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
Escuela de Informática
“PROBLEMA DE LA MOCHILA”
CURSO : PROGRAMACION LOGICA
DOCENTE : ING. ARTURO DIAZ PULIDO
INTEGRANTES :
POZO VERA OSCAR EDUARDO
ROJAS SALAS KENNY
ROSAS AGUILAR CARLOS
BALTODANO PRADO ALEX
CICLO : VII
TRUJILLO – PERÚ
2014
2. Índice
INTRODUCCION........................................................................................................................ 3
Formulación Lineal.................................................................................................................. 3
Aproximaciones........................................................................................................................ 4
Análisis de cotas....................................................................................................................... 8
Variantes................................................................................................................................... 12
Otros algoritmos existentes.............................................................................................. 14
Aplicaciones............................................................................................................................. 15
Conclusiones............................................................................................................................ 15
Código en prolog del algoritmo de la mochila .......................................................... 16
Anexos........................................................................................................................................ 18
3. EL PROBLEMA DE LA MOCHILA
INTRODUCCION
El problema de la mochila es un problema simple de entender, hay una persona que tiene
una mochila con una cierta capacidad y tiene que elegir que elementos pondrá en ella.
Cada uno de los elementos tiene su peso y aporta un beneficio. El Objetivo de la persona
es elegir elementos que le permitan maximizar el beneficio sin excederse de la capacidad
permitida.
A la vez es un problema complejo, si por complejidad nos referimos a la computacional.
“Un problema se cataloga como inherente difícil si su solución requiere de una cantidad
significativa de recursos computacionales, sin importar el algoritmo utilizado.” El problema
de la mochila forma parte de una lista histórica de problemas NP- Completos elaborada
por Richard Karp en 1972.
1. Formulación Lineal
Una de las técnicas matemáticas que se puede utilizar para la resolución de este problema
es la programación lineal. Definiendo a:
C como la capacidad de la mochila.
pi como el beneficio unitario obtenido por ingresar al producto i en la mochila.
wi como el peso del producto i.
n como la cantidad de productos.
c, pi y wi como los valores enteros y positivos.
Se puede plantear el modelo como:
No obstante, el problema que tiene esta técnica es que no siempre se puede resolver
debido a su complejidad matemática. En esas ocasiones, es necesario recurrir a
heurísticas. Una heurística es un procedimiento que en la mayoría de las ocasiones
nos permite obtener una buena solución pero que no necesariamente es la óptima.
4. 2. Aproximaciones
2.1. Aproximaciones a través de coeficiente de rendimiento
Una solución intuitiva pero que puede no ser optima podría elaborarse
ordenando los productos en forma descendente según la proporción.
Y metiendo elementos de esta lista ordenada hasta que no se pueda ingresar
el siguiente elemento a la mochila. Desde este punto en adelante, siempre se
asumirá que los elementos del conjunto se encuentran ordenados según esta
proporción.
Ejemplo 1: considerando la siguiente instancia del problema de la mochila
con capacidad c=65.
Aplicando la heurística mencionada, elegiríamos los productos A y B ya que al
tratar de ingresar el producto C estaríamos excediendo la capacidad
permitida. El resultado obtenido entonces seria:
Es importante notar que los elementos en la tabla están ordenados según la
proporción ri. si no estuvieran ordenados, el primer paso consistiría en
ordenarlos.
5. 2.2. Evaluación de la heurística
Pese a que la heurística propuesta en el punto anterior tiende a funcionar
adecuadamente en la mayoría de los casos, existen casos patológicos que
pueden tener como consecuencia un rendimiento desastroso.
Definiendo a:
Z como el valor de la solución óptima.
Z’
como el valor de la solución obtenido aplicando la heurística
definida en la sección 2.1
como índice de performance de la heurística. Se puede observar
que si la heurística obtuviera la solución óptima, el rendimiento para
esa instancia seria 1.
Se puede observar que pueden existir casos en el cual el índice de
performance de la heurística sea tan cercano a 0 como se quiera.
Demostración: Considerando la siguiente instancia del problema de la
mochila con capacidad c=k (con k>1)
Aplicando el algoritmo de la sección 2.1, elegiríamos al producto A y en
consecuencia nuestro funcional sería igual a 1. En cambio, el valor de la
solución óptima seria k.
En este caso el índice de performance de la heurística en consecuencia
seria:
6. Ejemplo 2: considerando la siguiente instancia del problema de la
mochila c = 100
Se puede observar que la solución óptima estaría dad por la selección del
elemento B; en consecuencia z = 100. En cambio, utilizando la heurística
descripta, el valor obtenido es z’
= 2. En índice de performance de la
heurística en este caso particular resulta:
2.3. Mejoramiento a través de la comparación con el elemento
critico
Se puede realizar una pequeña modificación al algoritmo para asegurar que el
índice de calidad de la heurística en ningún caso sea tan pequeño.
En primer lugar es necesario definir al elemento crítico s. El elemento crítico
es el primer elemento que, en caso de incluirlo, se excede la capacidad
permitida. La heurística se puede mejorar agregando un paso posterior que
consiste en comparar al resultado obtenido con el beneficio del elemento
crítico ps. Es decir, en definitiva, el resultado obtenido seria:
Esto permitiría que por ejemplo en el caso descripto en el ejemplo 2, el valor
obtenido aplicando esta heurística mejorada sea de k y en consecuencia,
iguale la solución óptima.
7. Peor índice de performance de la heurística mejorada: Considerando la
siguiente instancia del problema de la mochila con capacidad c = 2k (con k>1)
Aplicando el algoritmo mejorado, elegiríamos a los productos A y B
obteniendo un valor de funcional z’’
= 1 + δ + k en comparación a z=2k.
En consecuencia el peor índice de performance sería igual a:
Ejemplo 3: Considerando la siguiente instancia del problema de la mochila
con capacidad c=200.
Se puede observar que la solución óptima estaría dada por la selección de los
elementos B y C, en consecuencia z=200. En cambio, utilizando la heurística
descripta, el valor obtenido es z’
=102. El índice de performance de la
heurística en este caso particular resulta:
8. 3. Análisis de cotas
En la sección 1 se estableció que no siempre es posible calcular la solución óptima de
una instancia del problema de la mochila debido a la complejidad computacional. En
consecuencia, en la sección 2 se buscó una alternativa a través del planteo de
heurísticas. No obstante, todavía no se estableció como determinar si una heurística
es buena o no.
Par determinar el desempeño de una heurística en una instancia en particular,
resulta útil poder acotar el problema. Si se supiera cual es el máximo valor que
podría valer la solución óptima, se contaría con más información para saber si es
buena la solución que se obtuvo con la heurística.
A continuación se analizara una serie de cotas superiores desarrolladas para el
problema de la mochila. Se debe tener en cuenta que siempre la solución óptima, z,
es menor o igual que una cota superior, U. Una cota es superior a otra si se
encuentra más cerca de la solución óptima.
3.1. Relajación lineal
Una primera cota que se puede obtener es realizando una corrida definiendo
como variables continuas a las variables de decisión, xi. Definiendo a Ĉ como
la capacidad restante luego de ingresar los elementos que se encuentran en
el intervalos [0; s-1] a la mochila. Es decir:
El resultado que se obtendría en la corrida utilizando variables continuas
seria:
El primer término corresponde a la selección de todos los términos con mejor
rendimiento que el elemento crítico s. El segundo término representa la
aplicación del rendimiento del elemento crítico a la capacidad restante. Es
decir, como no se puede ingresar todo el elemento crítico plantea la idea de
fraccionarlo e ingresar todo lo que pueda del producto.
9. 3.2. Dantzig
A la solución optima considerando a las variables de decisión como continuas,
Dantzig aplico una condición de integralidad. Denominado al operador [a]
como el operador piso, es decir, que devuelve el mayor entero no es superior
que a, obenemos:
Consderando la integralidad de pi y de xi, se obtiene la cota de Dntzig:
3.3. Martello & Toth
Martello & toth superaron la cota de Danzig estableciendo la integridad del
elemento crítico. Es decir, pidiendo que el elemento crítico sea ingresado o
no, pero dejando de aplicar la capacidad remanente al rendimiento asociado
al elemento crítico.
La primera parte del análisis consiste en ver cuál es el mayor resultado
posible considerando que no se ingresa el elemento crítico en la mochila.
Al no ingresarlo, existe la posibilidad de que se pueda ingresar un elemento
posterior; uno con peor rendimiento pero que permita no exceder la
capacidad disponible. En consecuencia:
Notar que ahora el rendimiento al que se aplica la capacidad restante no es
el rendimiento del elemento crítico sino el del elemento siguiente.
10. La segunda parte del análisis consiste en ver cuál es el mayor resultado
posible considerando que ahora si se ingresa el elemento crítico en la
mochila.
Como justamente por definición del elemento crítico, no se lo podía ingresar
a la mochila si se habían metido los elementos en el intervalo [0; s-1], la
única posibilidad de ingresar al elemento crítico es sacando a n de los
elementos en este intervalo.
La cota final se desprende de considerar ambos casos y ver cual tiene el
mayor valor.
Se puede demostrar que la cota de Martello & Toth es mejor a la planteada
por Dantzig. En consecuencia:
Ejemplo: Calculo de cotas para el ejemplo 1. Capacidad c=65
12. Ingresando al elemento crítico:
En consecuencia:
4. Variantes
Existen distintas variaciones que se han realizado al problema de la mochila
estándar. A continuación se presenta una breve introducción a algunas de ellas.
Acotado: en esta variante, en vez de contar con solamente un elemento de cada
tipo, se tiene una cantidad limitada y conocida de cada uno de los elementos (que no
necesariamente es la misma). Es decir, el modelo pasa a ser:
No acotado: el problema de la mochila no acotado es una instancia particular del
problema de la mochila acotado en el cual cada bi = ∞ .
13. Suma de subconjuntos: existe una variante en la cual el beneficio es igual al peso
para cada uno de los elementos. Esto no implica que el beneficio (o peso) sea el
mismo para cada uno de los elementos.
Problema del cambio: hay un caso particular que aparece cuando se exige
exactamente con la restricción de capacidad. En este caso además se plantea que pi
= 1 ya que se intenta reconstruir la situación de un cajero que debe maximizar o
minimizar la cantidad de monedas que entrega de cambio.
Múltiples mochilas: otra de las variantes conocidas surge de la generalización del
problema estándar, cuando en vez de tener un solo contenedor (mochila), se tienen
varios.
14. 5. Otros algoritmos existentes
Algoritmo Greddy o voraz: La idea es añadir un objeto prioritario mas efectivo hasta
la saturación de la mochila. La complejidad de estos algoritmos se basa en
la inversa de la calidad esperada.
Podemos ver las dos fases del algoritmo voraz.
A) El ordenamiento de las cajas según un interés (en este caso en peso en $/kg)
B) si es posible la entrar a la mochila.
Algoritmo genético: se utiliza a menudo en problemas de optimización difíciles,
como este, fácil de implementar y obtener rápidamente una solución.
Los objetos son utilizados para el algoritmo voraz, por ejemplo el genoma (0,1,0,0,0)
corresponde a un cuadro de selección de 12 kg de peso 7.
15. Programación dinámica: El problema de la mochila tiene la propiedad que le
permite utilizar el método de resolución de programación dinámica.
Este algoritmo tiene una complejidad en tiempo y espacio que tiene como ventajas la
velocidad y no hay necesidad de ordenar las variables, pero como desventajas es que
gasta mucha memoria, por lo tanto no puede ser solución para problemas grandes.
6. Aplicaciones
El problema tiene considerables aplicaciones prácticas, aparte de las más evidentes en
áreas de logística de transporte, que cualquier negocio pequeño o grande de reparto
conoce. Por ejemplo, en robótica, permite resolver problemas de fabricación para
minimizar el número de desplazamientos para conseguir realizar un número determinado
de perforaciones en una plancha o en un circuito impreso. Control y operativa optimizada
de semáforos, etc.
Existen otras aplicaciones en distintas áreas y que tienen distintos tipos de recurso
limitante. Algunos ejemplos son:
Selección de oportunidades de inversión: presupuesto como limitante. Un estudio
interesante se puede encontrar que analiza situaciones en las cuales los
elementos que se pueden incluir en la mochila se van recibiendo en forma
continua y se debe tomar una decisión de que elementos elegir sin haber recibido
todos (Problema de la secretaria)
Desperdiciar la menor cantidad de tela: material como limitante.
Aprovechar al máximo el uso de máquinas: tiempo como limitante.
7. Conclusiones
Se utiliza para modelar diferentes situaciones:
en los sistemas de apoyo a las fianzas: para encontrar el mejor equilibrio entre el
capital y rendimiento financiero.
en la carga del barco o avión: todo el equipaje debe ser llevado, sin ser
sobrecargado.
en el corte de materiales: para minimizar las caídas.
18. 9. Anexos
“PROBLEMA DE LA MOCHILA”, Modelos y Optimización I – Tomás Bruno, Facultad de
Ingeniería de Buenos Aires. Versión 1.0 – Octubre 2013
“TP: Mochila - Algoritmos voraces” – Diana H.
“Algoritmos genéticos: Aplicación al problema de la mochila.” - Javier Hidalgo Sánchez &
Jesús Ignacio Turrado Martínez, Universidad Carlos III de Madrid.