Este documento lista las muletillas más comunes usadas por los habitantes de Monterrey, México. Incluye muletillas como "este", "e", "wey", "osea", "pues", "bueno", "tipo", "verdad", "me entiendes?", "sabes", "y yo así", "ya se", "bañar", "vaya", "x", "oye", "para nada", "mira", "super" y "mil". Cada una se ilustra con un ejemplo de su uso en el habla regia.
El documento presenta notas de clase sobre álgebra lineal. Incluye definiciones de conceptos clave como matrices, tipos de matrices, suma y diferencia de matrices, y ejemplos de problemas resueltos que involucran sumar y restar matrices. También contiene tablas de contenido y referencias bibliográficas al final.
Este documento introduce los conceptos de matrices y determinantes. Define una matriz como una tabla rectangular de números y un determinante como un escalar asignado a cada matriz cuadrada. Explica los tipos de matrices como cuadradas, rectangulares, de fila y columna. También cubre cómo calcular determinantes, sumar y multiplicar matrices, y aplicar determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Concluye que las matrices y determinantes son herramientas matemáticas importantes para realizar cálculos precisos.
Este documento presenta una introducción a las matrices y determinantes. Define una matriz como una tabla rectangular de números dispuestos en filas y columnas, y un determinante como un escalar asignado a cada matriz cuadrada. Explica los tipos de matrices, cómo calcular determinantes, sumar y multiplicar matrices, y aplicar determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Concluye que tanto las matrices como los determinantes son herramientas matemáticas importantes.
Este documento trata sobre el estudio de las matrices y su aplicación en problemas de administración y economía. El objetivo general es ampliar los conocimientos sobre matrices resolviendo problemas, mientras que los objetivos específicos son determinar conceptos básicos de matrices, investigar métodos de solución de problemas de matrices y resolver problemas prácticos de administración y economía usando matrices. El marco teórico presenta definiciones y fórmulas sobre conceptos como adición, sustracción, multiplicación de matrices y producto escalar según tres libros de referencia.
El documento describe los conceptos básicos de las matrices y los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo la notación matricial, los tipos de matrices, la multiplicación y determinante de matrices, y métodos para resolver pequeños sistemas de ecuaciones como el método gráfico, la regla de Cramer y la eliminación de incógnitas.
Una matriz es un conjunto ordenado de números ubicados en filas y columnas que pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias maneras. Existen diferentes tipos de matrices como matrices fila, columna, rectangular, cuadrada, nula, identidad, escalar y triangular. Para realizar operaciones con matrices como suma, resta y multiplicación, deben cumplir ciertas condiciones sobre el número de filas y columnas.
Este documento describe los diferentes tipos de matrices, incluyendo matrices rectangulares, matrices traspuestas, matrices de identidad, matrices cuadradas, matrices triangulares superiores e inferiores, matrices escalares y matrices diagonales. Define cada tipo de matriz y proporciona ejemplos para ilustrar sus propiedades características.
El documento describe las matrices y fórmulas de matriz en Excel. Explica que una matriz es una colección de elementos organizados en filas y columnas y que las fórmulas de matriz pueden realizar cálculos complejos en una o más celdas de una matriz. También introduce conceptos básicos como los tipos de matrices, como las cuadradas, rectangulares, filas y columnas.
El documento presenta notas de clase sobre álgebra lineal. Incluye definiciones de conceptos clave como matrices, tipos de matrices, suma y diferencia de matrices, y ejemplos de problemas resueltos que involucran sumar y restar matrices. También contiene tablas de contenido y referencias bibliográficas al final.
Este documento introduce los conceptos de matrices y determinantes. Define una matriz como una tabla rectangular de números y un determinante como un escalar asignado a cada matriz cuadrada. Explica los tipos de matrices como cuadradas, rectangulares, de fila y columna. También cubre cómo calcular determinantes, sumar y multiplicar matrices, y aplicar determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Concluye que las matrices y determinantes son herramientas matemáticas importantes para realizar cálculos precisos.
Este documento presenta una introducción a las matrices y determinantes. Define una matriz como una tabla rectangular de números dispuestos en filas y columnas, y un determinante como un escalar asignado a cada matriz cuadrada. Explica los tipos de matrices, cómo calcular determinantes, sumar y multiplicar matrices, y aplicar determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Concluye que tanto las matrices como los determinantes son herramientas matemáticas importantes.
Este documento trata sobre el estudio de las matrices y su aplicación en problemas de administración y economía. El objetivo general es ampliar los conocimientos sobre matrices resolviendo problemas, mientras que los objetivos específicos son determinar conceptos básicos de matrices, investigar métodos de solución de problemas de matrices y resolver problemas prácticos de administración y economía usando matrices. El marco teórico presenta definiciones y fórmulas sobre conceptos como adición, sustracción, multiplicación de matrices y producto escalar según tres libros de referencia.
El documento describe los conceptos básicos de las matrices y los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo la notación matricial, los tipos de matrices, la multiplicación y determinante de matrices, y métodos para resolver pequeños sistemas de ecuaciones como el método gráfico, la regla de Cramer y la eliminación de incógnitas.
Una matriz es un conjunto ordenado de números ubicados en filas y columnas que pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias maneras. Existen diferentes tipos de matrices como matrices fila, columna, rectangular, cuadrada, nula, identidad, escalar y triangular. Para realizar operaciones con matrices como suma, resta y multiplicación, deben cumplir ciertas condiciones sobre el número de filas y columnas.
Este documento describe los diferentes tipos de matrices, incluyendo matrices rectangulares, matrices traspuestas, matrices de identidad, matrices cuadradas, matrices triangulares superiores e inferiores, matrices escalares y matrices diagonales. Define cada tipo de matriz y proporciona ejemplos para ilustrar sus propiedades características.
El documento describe las matrices y fórmulas de matriz en Excel. Explica que una matriz es una colección de elementos organizados en filas y columnas y que las fórmulas de matriz pueden realizar cálculos complejos en una o más celdas de una matriz. También introduce conceptos básicos como los tipos de matrices, como las cuadradas, rectangulares, filas y columnas.
Una matriz es un arreglo bidimensional de números u otros elementos que se utilizan para representar sistemas, ecuaciones diferenciales o aplicaciones lineales. Las matrices pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas y son un concepto clave en álgebra lineal. Existen diferentes tipos de matrices como cuadradas, rectangulares, diagonales e identidad.
Este documento presenta una introducción a las matrices, incluyendo definiciones de diferentes tipos de matrices (matriz cuadrada, diagonal, triangular, etc.), operaciones con matrices (suma, resta, producto por escalar, producto), y métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como la descomposición LU y el método de Gauss-Jordan. El documento contiene numerosos ejemplos para ilustrar los conceptos presentados.
El documento introduce las matrices, incluyendo su definición, tipos (nula, fila, columna, cuadrada, diagonal, triangular, identidad, simétrica, antisimétrica), operaciones (suma, producto escalar, transposición, producto de fila por columna, producto) y propiedades. Explica que las matrices permiten resolver sistemas de ecuaciones lineales y modelar sistemas físicos.
1) Una matriz es un arreglo bidimensional de números que se usa para representar sistemas de ecuaciones, aplicaciones lineales y sistemas diferenciales. 2) Las matrices se definen por el número de filas y columnas, y pueden ser cuadradas, rectangulares, nulas u otras formas especiales. 3) Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones incluyen sustitución, reducción e igualación.
El documento trata sobre matrices y determinantes. Explica conceptos como tipos de matrices, operaciones con matrices como suma, diferencia y producto, y determinantes. Los objetivos son analizar la teoría de matrices para resolver problemas y aplicar sistemas de ecuaciones lineales a situaciones profesionales.
Este documento proporciona una introducción a las matrices y los determinantes. Explica que las matrices son conjuntos ordenados de elementos en filas y columnas y que los determinantes son funciones exclusivas de las matrices cuadradas. Además, describe varios tipos de matrices como matrices cuadradas, diagonales y escalonadas. Finalmente, resume algunas propiedades clave de las matrices como la suma, resta, multiplicación y multiplicación por escalares.
El documento resume los principales temas del álgebra lineal, incluyendo espacios vectoriales, transformaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales, matrices, determinantes y sus propiedades. Explica que el álgebra lineal estudia vectores, espacios vectoriales y transformaciones lineales, y tiene aplicaciones importantes en ciencias naturales y sociales.
1) Se define una matriz como un conjunto rectangular de elementos dispuestos en filas y columnas.
2) Se describen diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, simétricas, triangulares, etc. según la disposición de sus elementos.
3) Se explican diversas operaciones con matrices como suma, multiplicación por un escalar, producto y trasposición, así como algunas de sus propiedades.
Trabajo Teórico Practico 1 (Algebra Lineal)diego_suarez
Este documento proporciona una introducción a los conceptos básicos de las matrices, incluyendo definiciones de términos como orden, elemento, igualdad, fila, columna, cuadrada, diagonal, traza, triangular, escalar, identidad y traspuesta. También explica operaciones comunes con matrices como suma, resta, producto por escalar y producto. Por último, introduce conceptos avanzados como matrices no singulares, invertibles, particionadas, submatrices y métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como descomposición LU y Gauss-Jordan.
TEMA 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICESelisancar
Este documento trata sobre matrices. Define una matriz, sus elementos, dimensión y orden. Explica los diferentes tipos de matrices como cuadradas, rectangulares, nulas, etc. Describe operaciones con matrices como suma, producto por escalar y producto entre matrices. También cubre cálculo de matriz inversa mediante el método de Gauss y el concepto de rango de una matriz.
Este documento describe diferentes tipos de matrices, incluyendo matrices simétricas, anti-simétricas y hermíticas. Una matriz simétrica tiene elementos iguales a ambos lados de su diagonal principal, mientras que una matriz anti-simétrica tiene elementos iguales pero de signo opuesto a ambos lados de su diagonal principal. El documento también discute cómo cualquier matriz puede descomponerse de manera única en la suma de una matriz simétrica y una anti-simétrica. Finalmente, se define una matriz hermítica como una matriz cuadrada compleja igual a su
Este documento describe los diferentes tipos de matrices, incluyendo matrices fila, columna, rectangular, cuadrada, nula, triangular superior e inferior, diagonal, escalar, identidad, regular, singular, simétrica, antisimétrica y ortogonal. Proporciona ejemplos de cada tipo y explica sus características distintivas.
Las matrices son arreglos bidimensionales de números que se usan para representar sistemas de ecuaciones lineales y aplicaciones lineales. Una matriz tiene elementos ordenados en filas y columnas, y su tamaño se define por el número de filas y columnas. Existen diferentes tipos de matrices como cuadradas, triangulares, diagonales y matrices identidad.
El documento define las matrices y sus tipos, y describe las operaciones básicas que se pueden realizar con ellas, como la suma, resta, multiplicación por un escalar, producto de matrices, y cálculo de la matriz inversa. Explica que una matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas, y define matrices cuadradas, filas, columnas, nulas y otras. Además, detalla métodos para calcular la inversa, como Gauss-Jordan y determinantes.
Este documento presenta información sobre matrices, incluyendo definiciones, tipos de matrices especiales como matrices identidad, simétricas y antisimétricas, y operaciones con matrices como adición, sustracción, multiplicación y transposición. También incluye ejemplos para ilustrar conceptos como las matrices de ventas de una compañía y operaciones entre matrices.
El documento describe conceptos básicos sobre matrices, incluyendo su definición, igualdad, suma, resta, producto por un número real, producto de matrices, rango y propiedades de estas operaciones. Explica que una matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas y cómo se designan y representan.
Este documento presenta una introducción a las matrices, incluyendo su historia, usos y tipos. Define qué es una matriz y explica conceptos como suma, producto, inversa y operaciones básicas con matrices. También introduce figuras históricas clave en el desarrollo de la teoría de matrices como Hamilton, Cayley y otros.
Este documento proporciona una introducción a las matrices, incluyendo su definición, clasificaciones (cuadradas, triangulares, diagonales, etc.), operaciones (suma, resta, traspuesta) y determinantes. Explica que una matriz es un arreglo bidimensional de números y que pueden clasificarse según su forma, como matrices cuadradas, triangulares o diagonales. También cubre conceptos como la traspuesta, simétricas, ortogonales y normales de una matriz, así como los métodos para calcular la suma, resta y determinantes.
Este documento describe 27 tipos diferentes de matrices, incluyendo matrices cuadradas, rectangulares, diagonales, triangulares, identidad, nulas, opuestas, traspuestas y submatrices. Explica las propiedades fundamentales de cada tipo de matriz como sus dimensiones, posición de ceros y unos, y relación con otras matrices como la traspuesta.
Este documento define y explica conceptos básicos de álgebra lineal relacionados con matrices. Define qué es una matriz, sus tipos (fila, columna, cuadrada, diagonal, triangular), operaciones (suma, producto, transpuesta, inversa), y métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como descomposición LU y el método de Gauss-Jordan.
El documento define una matriz como un arreglo bidimensional de números. Explica que una matriz se representa con una letra mayúscula y sus elementos con la misma letra en minúscula con doble subíndice. Además, detalla que el orden de una matriz depende del número de filas y columnas, y que una matriz m x n tiene m filas y n columnas. Finalmente, describe que los elementos de una matriz se ordenan en filas y columnas.
Este documento define y explica los conceptos básicos de las matrices. Resume que una matriz es una tabla rectangular de números reales con filas y columnas, donde cada elemento se identifica por su fila y columna (aij). Explica los tipos básicos de matrices como cuadradas, diagonales, triangulares, columna, fila, así como conceptos como igualdad, traspuesta, traza, operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Finalmente, presenta métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como descomposición LU y Gauss-Jordan.
Una matriz es un arreglo bidimensional de números u otros elementos que se utilizan para representar sistemas, ecuaciones diferenciales o aplicaciones lineales. Las matrices pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas y son un concepto clave en álgebra lineal. Existen diferentes tipos de matrices como cuadradas, rectangulares, diagonales e identidad.
Este documento presenta una introducción a las matrices, incluyendo definiciones de diferentes tipos de matrices (matriz cuadrada, diagonal, triangular, etc.), operaciones con matrices (suma, resta, producto por escalar, producto), y métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como la descomposición LU y el método de Gauss-Jordan. El documento contiene numerosos ejemplos para ilustrar los conceptos presentados.
El documento introduce las matrices, incluyendo su definición, tipos (nula, fila, columna, cuadrada, diagonal, triangular, identidad, simétrica, antisimétrica), operaciones (suma, producto escalar, transposición, producto de fila por columna, producto) y propiedades. Explica que las matrices permiten resolver sistemas de ecuaciones lineales y modelar sistemas físicos.
1) Una matriz es un arreglo bidimensional de números que se usa para representar sistemas de ecuaciones, aplicaciones lineales y sistemas diferenciales. 2) Las matrices se definen por el número de filas y columnas, y pueden ser cuadradas, rectangulares, nulas u otras formas especiales. 3) Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones incluyen sustitución, reducción e igualación.
El documento trata sobre matrices y determinantes. Explica conceptos como tipos de matrices, operaciones con matrices como suma, diferencia y producto, y determinantes. Los objetivos son analizar la teoría de matrices para resolver problemas y aplicar sistemas de ecuaciones lineales a situaciones profesionales.
Este documento proporciona una introducción a las matrices y los determinantes. Explica que las matrices son conjuntos ordenados de elementos en filas y columnas y que los determinantes son funciones exclusivas de las matrices cuadradas. Además, describe varios tipos de matrices como matrices cuadradas, diagonales y escalonadas. Finalmente, resume algunas propiedades clave de las matrices como la suma, resta, multiplicación y multiplicación por escalares.
El documento resume los principales temas del álgebra lineal, incluyendo espacios vectoriales, transformaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales, matrices, determinantes y sus propiedades. Explica que el álgebra lineal estudia vectores, espacios vectoriales y transformaciones lineales, y tiene aplicaciones importantes en ciencias naturales y sociales.
1) Se define una matriz como un conjunto rectangular de elementos dispuestos en filas y columnas.
2) Se describen diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, simétricas, triangulares, etc. según la disposición de sus elementos.
3) Se explican diversas operaciones con matrices como suma, multiplicación por un escalar, producto y trasposición, así como algunas de sus propiedades.
Trabajo Teórico Practico 1 (Algebra Lineal)diego_suarez
Este documento proporciona una introducción a los conceptos básicos de las matrices, incluyendo definiciones de términos como orden, elemento, igualdad, fila, columna, cuadrada, diagonal, traza, triangular, escalar, identidad y traspuesta. También explica operaciones comunes con matrices como suma, resta, producto por escalar y producto. Por último, introduce conceptos avanzados como matrices no singulares, invertibles, particionadas, submatrices y métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como descomposición LU y Gauss-Jordan.
TEMA 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICESelisancar
Este documento trata sobre matrices. Define una matriz, sus elementos, dimensión y orden. Explica los diferentes tipos de matrices como cuadradas, rectangulares, nulas, etc. Describe operaciones con matrices como suma, producto por escalar y producto entre matrices. También cubre cálculo de matriz inversa mediante el método de Gauss y el concepto de rango de una matriz.
Este documento describe diferentes tipos de matrices, incluyendo matrices simétricas, anti-simétricas y hermíticas. Una matriz simétrica tiene elementos iguales a ambos lados de su diagonal principal, mientras que una matriz anti-simétrica tiene elementos iguales pero de signo opuesto a ambos lados de su diagonal principal. El documento también discute cómo cualquier matriz puede descomponerse de manera única en la suma de una matriz simétrica y una anti-simétrica. Finalmente, se define una matriz hermítica como una matriz cuadrada compleja igual a su
Este documento describe los diferentes tipos de matrices, incluyendo matrices fila, columna, rectangular, cuadrada, nula, triangular superior e inferior, diagonal, escalar, identidad, regular, singular, simétrica, antisimétrica y ortogonal. Proporciona ejemplos de cada tipo y explica sus características distintivas.
Las matrices son arreglos bidimensionales de números que se usan para representar sistemas de ecuaciones lineales y aplicaciones lineales. Una matriz tiene elementos ordenados en filas y columnas, y su tamaño se define por el número de filas y columnas. Existen diferentes tipos de matrices como cuadradas, triangulares, diagonales y matrices identidad.
El documento define las matrices y sus tipos, y describe las operaciones básicas que se pueden realizar con ellas, como la suma, resta, multiplicación por un escalar, producto de matrices, y cálculo de la matriz inversa. Explica que una matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas, y define matrices cuadradas, filas, columnas, nulas y otras. Además, detalla métodos para calcular la inversa, como Gauss-Jordan y determinantes.
Este documento presenta información sobre matrices, incluyendo definiciones, tipos de matrices especiales como matrices identidad, simétricas y antisimétricas, y operaciones con matrices como adición, sustracción, multiplicación y transposición. También incluye ejemplos para ilustrar conceptos como las matrices de ventas de una compañía y operaciones entre matrices.
El documento describe conceptos básicos sobre matrices, incluyendo su definición, igualdad, suma, resta, producto por un número real, producto de matrices, rango y propiedades de estas operaciones. Explica que una matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas y cómo se designan y representan.
Este documento presenta una introducción a las matrices, incluyendo su historia, usos y tipos. Define qué es una matriz y explica conceptos como suma, producto, inversa y operaciones básicas con matrices. También introduce figuras históricas clave en el desarrollo de la teoría de matrices como Hamilton, Cayley y otros.
Este documento proporciona una introducción a las matrices, incluyendo su definición, clasificaciones (cuadradas, triangulares, diagonales, etc.), operaciones (suma, resta, traspuesta) y determinantes. Explica que una matriz es un arreglo bidimensional de números y que pueden clasificarse según su forma, como matrices cuadradas, triangulares o diagonales. También cubre conceptos como la traspuesta, simétricas, ortogonales y normales de una matriz, así como los métodos para calcular la suma, resta y determinantes.
Este documento describe 27 tipos diferentes de matrices, incluyendo matrices cuadradas, rectangulares, diagonales, triangulares, identidad, nulas, opuestas, traspuestas y submatrices. Explica las propiedades fundamentales de cada tipo de matriz como sus dimensiones, posición de ceros y unos, y relación con otras matrices como la traspuesta.
Este documento define y explica conceptos básicos de álgebra lineal relacionados con matrices. Define qué es una matriz, sus tipos (fila, columna, cuadrada, diagonal, triangular), operaciones (suma, producto, transpuesta, inversa), y métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como descomposición LU y el método de Gauss-Jordan.
El documento define una matriz como un arreglo bidimensional de números. Explica que una matriz se representa con una letra mayúscula y sus elementos con la misma letra en minúscula con doble subíndice. Además, detalla que el orden de una matriz depende del número de filas y columnas, y que una matriz m x n tiene m filas y n columnas. Finalmente, describe que los elementos de una matriz se ordenan en filas y columnas.
Este documento define y explica los conceptos básicos de las matrices. Resume que una matriz es una tabla rectangular de números reales con filas y columnas, donde cada elemento se identifica por su fila y columna (aij). Explica los tipos básicos de matrices como cuadradas, diagonales, triangulares, columna, fila, así como conceptos como igualdad, traspuesta, traza, operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Finalmente, presenta métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como descomposición LU y Gauss-Jordan.
El documento presenta un mapa mental sobre la matriz que incluye definiciones y ejemplos de diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, matrices identidad, matrices triangulares, matrices diagonales, matrices transpuestas, matrices simétricas, matrices normales y matrices ortogonales. También explica cómo se pueden resolver sistemas de ecuaciones lineales usando matrices y el método de Gauss-Jordan, y define conceptos como determinantes, suma y resta de matrices, división de matrices y potencias de matrices.
Este documento resume conceptos básicos sobre matrices. Define una matriz como una tabla de números o cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Explica que las matrices inversas solo existen para matrices cuadradas regulares, y que la matriz inversa es única si existe. También define conceptos como matriz identidad, traspuesta, fila, columna, opuesta, nula, simétrica, cuadrada, diagonal principal y secundaria.
Este documento proporciona una introducción a los conceptos básicos de las matrices, incluyendo definiciones de términos como orden, elemento, igualdad, fila, columna, cuadrada, diagonal, traza, triangular, escalar, identidad y traspuesta. También explica operaciones comunes con matrices como suma, resta, producto escalar, producto y propiedades asociadas. Por último, introduce conceptos avanzados como matrices no singulares, invertibles, particionadas, submatrices y métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como descomposición LU
Este documento explica conceptos básicos sobre matrices, incluyendo su definición como un arreglo bidimensional de números, las operaciones que se pueden realizar con ellas como suma, resta, producto por un escalar y producto de matrices. También describe matrices especiales como las matrices cuadradas, la matriz identidad, las matrices traspuestas, simétricas, antisimétricas y ortogonales. Finalmente, explica el método de Gauss para calcular el rango de una matriz.
Las matrices son tablas bidimensionales de números que se utilizan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Tienen una larga historia que se remonta a textos matemáticos chinos del 300 a. C. al 200 a. C. El término "matriz" fue acuñado en 1848 y la notación matricial moderna fue introducida por Cayley en 1858. Las matrices pueden ser cuadradas, rectangulares, nulas, simétricas u ortogonales, y se representan con letras mayúsculas mientras que sus elementos se representan con min
Una matriz es un conjunto ordenado de números ubicados en filas y columnas que pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias maneras. Existen diferentes tipos de matrices como matrices fila, columna, rectangular, cuadrada, nula, identidad, escalar, traspuesta, triangular superior e inferior, y diagonal. Para sumar, restar o multiplicar matrices, su número de filas y columnas deben coincidir de cierta manera, mientras que la división implica multiplicar por la matriz inversa.
El documento presenta información sobre operaciones con números complejos y matrices. En la primera sección se define una matriz, su notación y orden, así como operaciones básicas como suma y multiplicación de matrices. La segunda sección describe clasificaciones de matrices como cuadradas, triangulares y diagonales, así como cálculo de la inversa de una matriz.
El documento define conceptos básicos sobre matrices, incluyendo que son un conjunto de números ordenados en filas y columnas, y describe diferentes tipos de matrices como cuadradas, triangulares y diagonales. También explica operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación y cómo encontrar la inversa de una matriz.
El documento describe las matrices y sus propiedades fundamentales. Define una matriz como una tabla ordenada de escalares y explica que una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n. Describe los tipos básicos de matrices como cuadradas, triangulares, diagonales, identidad y ortogonales. También explica conceptos como la traspuesta, suma, producto y división de matrices.
El documento trata sobre matrices y determinantes. Explica conceptos como tipos de matrices, operaciones con matrices como suma, diferencia y producto, y determinantes. Los objetivos son analizar la teoría de matrices para resolver problemas y aplicar sistemas de ecuaciones lineales a situaciones profesionales.
El documento trata sobre matrices y determinantes. Explica conceptos como tipos de matrices, operaciones con matrices como suma, diferencia y producto, y determinantes. Los objetivos son analizar la teoría de matrices para resolver problemas y aplicar sistemas de ecuaciones lineales a situaciones profesionales.
El documento trata sobre matrices y determinantes. Explica conceptos como tipos de matrices, operaciones con matrices como suma, diferencia y producto, y determinantes. Los objetivos son analizar la teoría de matrices para resolver problemas y aplicar sistemas de ecuaciones lineales a situaciones profesionales.
El documento trata sobre matrices y determinantes. Explica conceptos como tipos de matrices, operaciones con matrices como suma, diferencia y producto, y determinantes. Los objetivos son analizar la teoría de matrices para resolver problemas y aplicar sistemas de ecuaciones lineales a situaciones profesionales.
El documento trata sobre matrices y determinantes. Explica conceptos como tipos de matrices, operaciones con matrices como suma, diferencia y producto, y determinantes. Los objetivos son analizar la teoría de matrices para resolver problemas y aplicar sistemas de ecuaciones lineales a situaciones profesionales.
1. Una matriz es un conjunto de números ordenados en filas y columnas, donde cada número se denomina elemento y se identifica por su posición en la fila y columna.
2. Existen diferentes tipos de matrices como cuadradas, triangulares, nulas y escalares. El rango de una matriz es el número máximo de filas linealmente independientes.
3. Se pueden realizar operaciones con matrices como suma, producto y cálculo de la inversa mediante el método de Gauss.
Matrices y determinantes son herramientas matemáticas importantes. Las matrices se utilizan para representar sistemas de ecuaciones lineales y aparecen en diversas áreas como geometría, estadística y física. Existen diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares e inversibles. Para calcular la inversa de una matriz cuadrada existe el método de los determinantes y el método de Gauss-Jordan.
Una matriz es una tabla ordenada de escalares que se representa entre paréntesis. Existen diferentes tipos de matrices como cuadradas, triangulares, diagonales y simétricas. Las matrices se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir siguiendo ciertas reglas. El método de Gauss permite calcular la inversa de una matriz cuadrada.
Este documento define y proporciona ejemplos de diferentes tipos de matrices, incluidas matrices de orden mxn, matrices fila y columna, matrices nulas, rectangulares, cuadradas, diagonales, identidad, traspuesta, simétricas y triangulares. Explica la notación para referirse a los elementos de una matriz y cómo calcular su orden y número total de elementos.
1. Las muletillas(expresiones innecesarias, comodines) más usadas por los regios son:
*La muletilla “este”…Ej.-¿Cómo van los tigres?
-Este….no creo que te importe, pero tu playera lila está bonita.
*La muletilla “e”. Ej.-Me llamo Zoila Cerda del Corral, e vivo en Monterrey y tengo
31 años.
*La muletilla “we” (referente a wey o guey).
Ej.-Si we… para que le decías we…
*La muletilla “osea”Ej.-No te entiendo, ósea, no puedo creer eso de tí.
*Las muletillas “pues”, “bueno”
Ej.-Pues te quería decir algo, pero pues si te digo no sé cómo reacciones y pues mejor
ya no te digo.
*La multilla “tipo”Ej.-Fuimos a un rancho, tipo como cuando fuimos al final del
semestre en tu rancho.
*La muletillas “¿verdad?”, “¿me entiendes?”, “¿me explico?”, “sabes”, “¿no?”,
“¿estamos?”, “¿ok?”,”¿o qué?”
Ej.- Fui a tu casa sabes…y no te encontré sabes…ya no te quiero sabes…
*La muletilla “y yo así”
Ej.-Me traté de copiar en el examen, pero el profe me volteó a ver y yo así.
*La muletilla “ya se”Ej.-El examen de mate estaba de la fregada.
*La muletilla “bañar” (en todas sus conjugaciones)
-Se la bañó, me habló tardísimo y le colgué.
-¡Te la bañasteee para que le colgabas!, tan lindo él.
*La muletilla “vaya”
-Hice el experimento, vaya lo realicé rápido, vaya pero no se que hice.
*La muletilla “x” (equis).
Ej.-El tipo que me habló estaba bien x.
*La muletilla “oye” Ej.-Oye chequé tu foto y oye si esta bien chido.
*La muletilla “para nada” Ej.-Para nada que le voy a hablar yo, estoy enojada y para
nada que me interesa.
*La muletilla “mira”
Ej.-Mira es la última vez que te lo voy a decir, pero mira tienes que portarte bien. Si no,
mira que le digo a tu padre.
*La muletilla “super”
Ej.-Super chida que estuvo tu super fiesta, me la pasé super bien.
*La muletilla “mil”Ej.
-Te quiero mil, ¡no sabes cuánto!, me encantó mil tu detalle, eres un cuero mil de cuero
miles.
2. Matrices
. El conocimiento de matrices y su álgebra es indispensable para
entender las bases en las cuales descansa el análisis estadístico.
Una matriz es un arreglo de elementos:
Las matrices se denotan generalmente con mayúsculas (M). Cada
elemento de una matriz se denota por mij, donde i corresponde a la hilera
y j corresponde a la columna. En el ejemplo anterior, el elemento (2,2)=
8, el elemento (1,1) es 1, el elemento (1,2) es 4. Un vector es una matriz
con una sola columna:
Una matriz que tiene una sola hilera se llama matriz hilera:
Una matriz constituída por un solo elemento se llama escalar:
Una matriz tiene dimension mXn, es decir el número de hileras y
columnas. Por ejemplo, la dimension de M es 2X2, la dimension de V es
3X1, la dimension de H es 1X3 y la dimension de A es 1X1.
La matriz identidad es es una matriz de dimensión mXn con 1s en la
diagonal principal y ceros en los otros elementos. Por ejemplo, la matriz
identidad de M es:
La matriz identidad se define únicamente para matrices cuadradas. Es
decir, matrices con el mismo número de columnas e hileras.
Operaciones con Matrices
Suma Algebraica
Para sumar dos matrices M, N, es necesario que sus dimensiones sean
iguales. El resultado de la suma es otra matriz con las mismas
3. dimensiones y cuyos elementos Xij corresponden a Mij + Nij. Por
ejemplo:
Traspuesta
La traspuesta de una matriz M (mXn) es la matriz T= M'= (nXm), con
cada elemento de la nueva matriz T, Tij= Mji:
Multiplicación
Producto Interno (Producto de Hilera por Columna)
Antes de describir la multiplicación de matrices, es necesario definir una
operación preliminar: El producto interno, que corresponde a un valor
escalar. El producto interno es la suma del producto de los elementos de
una hilera por los elementos de una columna. Para multiplicar una hilera
por una columna es necesario que el número de columnas en la hilera
corresponda al número de hileras en la columna. El producto de hilera
por columna es un escalar. Por ejemplo, la multiplicacion de A por B,
denotado AB, es:
La multiplicación de Matrices
Para multiplicar dos matrices, es necesario que el número de hileras de
la primera matriz Q corresponda al número de columnas de la segunda
matriz W. Los elementos del producto P= QW corresponden al producto
de hileras por columnas, como se menciona arriba:
4. En este ejemplo, el elemento (2,3)= 5 corresponde al producto de la
hilera dos de Q y columna tres de W. En general, no es lo mismo AB que
BA.
La inversa de una Matriz
Asi como se ha definido la multiplicación de matrices, existe una
operacion similar a la división. La inversa de una matriz cuadrada (M-1)
es la matriz que multiplicada por M da como resultado la matriz identidad
(I):
M-1M=I=MM-1
Por ejemplo:
En general, encontrar encontrar la inversa de matrices involucra resolver
una serie de ecuaciones simultáneas de primer grado, por ejemplo:
Existen varios métodos para encontrar la solución a este problema. El
libro de Numerical Recipes contiene algunos algoritmos para encontrar la
inversa de matrices. No todas las matrices cuadradas poseen inversa.
Aquellas que no lo tienen se denominan singulares.
Dependencia Lineal y Rango
5. Una de las razones por las que una matriz cuadrada no tenga inversa es
la ocurrencia de lo que se denomina dependencia lineal, por ejemplo,
observe la siguiente matriz:
la columna uno es la suma de la columna dos + columna tres. La
información contenida es redundante. Matrices de este tipo se
denominan singulares y no tienen inversa. Sólo las matrices no
singulares poseen inversa. Cuando todas las columnas (o hileras) son
independientes, es decir, no son una combinación lineal unas de otras,
entonces la matriz es de rango completo. Cuando la matriz no es de
rango completo, para encontrar la inversa hay que eliminar una columna
que no tenga coeficientes cero y examinar las columnas restantes por
dependencia lineal, el proceso se detiene hasta que las columnas son
independientes y entonces se puede encontrar la inversa de esta matriz
reducida.
MATRICES
Una matriz de orden m.n es un conjunto de números reales dispuestos
en filas y columnas de la siguiente forma:
Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices: El primero indica la fila
y el segundo la columna en que se encuentra ubicado.
Una de las principales aplicaciones de las matrices es la representación
de sistemas de ecuaciones de primer grado con varias incógnitas. Cada
fila de la matriz representa una ecuación, siendo los valores de una fila
los coeficientes de las distintas variables de la ecuación, en determinado
orden.
El orden de una matriz significa su tamaño, dos matrices son del mismo
orden cuando tienen el mismo tamaño (Igual numero de filas y columnas)
ÁLGEBRA DE MATRICES:
Suma y resta de matrices: Dadas dos matrices del mismo orden, A y B,
la matriz AB es una matriz del mismo orden, que se obtiene sumando o
restando los elementos de A y de B colocados en el mismo lugar.
Producto por escalares: Para multiplicar una matriz A por un numero
real cualquiera, multiplicamos el numero real por cada uno de los
elementos de la matriz.
Producto de matrices: Para poder multiplicar dos matrices A y B el
numero de columnas de A tiene que coincidir con el numero de filas de B.
La matriz producto resultante (AB) tiene como elemento ij el producto
6. escalar de la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B. La matriz
resultante tiene el numero de filas de A y el numero de columnas de B.
Propiedades del álgebra de matrices:
Ejemplo:
Realice (A+2B)C
Una matriz A es cuadrada si el numero de filas es igual al numero de
columnas. En una matriz cuadrada, el conjunto de elementos cuyos
subíndices coinciden forman la llamada diagonal principal: .
Una matriz cuadrada se dice que es triangular superior si los elementos
colocados por debajo de la diagonal principal son ceros y una matriz
cuadrada se dice que es triangular inferior si los elementos colocados
por encima de la diagonal principal son ceros.
A partir de una matriz A (cuadrada o no), podemos formar otra matriz
llamada matriz traspuesta que se denota At y se obtiene cambiando
filas por columnas en la matriz A, es decir, la fila i de A es ahora la
columna i de At. Si la matriz A tiene orden m.n, At tiene orden n.m. Una
matriz es simétrica si coincide con su traspuesta (A=At) y es
antisimetrica si coincide con su traspuesta cambiada de signo (A=-At).
MATRIZ INVERSA
Dada una matriz cuadrada A, diremos que tiene inversa si existe una
matriz cuadrada del mismo orden (A la que denotamos A-1) tal que el
producto AA-1=I. La matriz inversa, si existe, es única. No todas las
matrices tienen inversa; las matrices con inversa se llaman invertibles o
regulares. Una matriz no invertible es aquella cuyo determinante es igual
a cero.
Calculo de la matriz inversa: El método mas sencillo de usar es
mediante el método de Gauss. Por este método partimos la matriz A
y colocamos a su derecha la matriz identidad I del mismo orden de
A. Se trata de, sin cambiar el orden de las columnas, realizar
transformaciones elementales por filas en esta matriz hasta
convertir A en la matriz identidad I, mientras que la matriz I se ha
transformado en otra matriz que es precisamente A-1.
Las transformaciones elementales son:
Cambiar el orden de las filas.
Multiplicar alguna fila por un escalar diferente a cero.
Sumar a alguna fila una combinación lineal de las demás.
7. Ejemplo
Encuentre la inversa de la matriz A y verifique.( AA-1=I)
DETERMINANTES
Notación matemática formada por una tabla cuadrada de números, u
otros elementos; el valor de la expresión se calcula mediante su
desarrollo siguiendo ciertas reglas. Un determinante de orden n-ésimo es
una tabla cuadrada con n filas y n columnas.
Sea A una matriz cuadrada; asociada a esta existe el numero llamado
determinante, simbolizado por |A| ó det(A) y que se calcula de la
siguiente manera:
Si el orden de A es 2 el determinante es el producto de los elementos
de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la
diagonal secundaria:
Si la matriz A es de orden 3 el determinante se calcula usando la Regla
de Sarrus:
Si el orden de la matriz es superior a 3, seleccionando cualquier fila o
columna, el valor del determinante se obtiene calculando determinantes
de orden una unidad inferior. Elegimos una fila y una columna y la
suprimimos para hallar la matriz Mij (Donde suprimimos el i renglón y la j
columna, hasta haber seleccionado y suprimido todas las filas que se
encuentran en la columna suprimida). Hasta obtener una determinante
que podamos hallar por las reglas anteriormente vistas. Esta formula
puede aplicarse a las matrices 3x3 para encontrar el determinante.
Ejemplo:
Halle el determinante de la matriz A
Este método de cálculo del valor de un determinante puede ser bastante
laborioso, por lo que se utilizan ciertas propiedades de los determinantes
para reducir la cantidad de cálculos necesarios. Entre estas propiedades,
tenemos las siguientes:
Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces
|AB|=|A|.|B|.
Para una matriz cuadrada A: |A|=|At|.
Si una matriz tiene dos filas o columnas iguales o proporcionales, su
determinante =0.
Si una matriz tiene una fila o columna nula, el determinante vale cero.
Si en una matriz cambiamos el orden de dos filas o columnas el
determinante de la nueva matriz vale lo mismo que el de la matriz inicial
pero con el signo invertido.
8. |aA|=an|A|. Siendo a un numero real cualquiera y n el orden de la
matriz.
Un determinante es igual a cero si todos los elementos de una fila (o
columna) son idénticos, o proporcionales, a los elementos de otra fila (o
columna).
Si todos los elementos de una fila (o columna) se multiplican por un
factor dado, el determinante queda multiplicado por dicho factor.
El valor de un determinante no se altera si se añade a cada elemento
de una fila (o columna) el elemento correspondiente de otra fila (o
columna) multiplicado por un factor constante
Las determinantes son usadas comúnmente para hallar el área entre
puntos en un plano cartesiano, o para resolver sistemas de ecuaciones
lineales, al igual que las matrices.
SISTEMA DE ECUACIONES
Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se pretende hallar.
Para indicar que varias ecuaciones forman un sistema, se abarca el
conjunto de todas ellas con una llave.
Las ecuaciones de un sistema suelen tener dos o más incógnitas, por lo
que cada una de ellas puede tener infinitas soluciones. Se llama solución
del sistema a una solución común a todas las ecuaciones que lo forman.
Resolver un sistema de ecuaciones es hallar todas sus soluciones o
concluir que no tiene solución. Si dos sistemas de ecuaciones tienen las
mismas soluciones o ambos carecen de solución, se dice que son
equivalentes. Los sistemas de ecuaciones lineales (es decir, ecuaciones
del tipo ax+by=c, ax+by+cz= d,…) son especialmente interesantes por
las múltiples aplicaciones que tienen en diversas ciencias.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Una ecuación con varias incógnitas es lineal si es de la forma ax+by=c,
ax+by+cz=d,…, es decir, si las incógnitas aparecen sin exponentes
(elevadas a 1).
Existen varios métodos elementales para resolver sistemas de
ecuaciones: el método de sustitución, el método de igualación y el
método de reducción. A continuación se aplican en la resolución de
sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en
una de las ecuaciones y sustituir su expresión en la otra, la cual se
transformará en una ecuación con una incógnita que se puede resolver.
Una vez conocido el valor de dicha incógnita se obtiene, de inmediato, el
valor de la otra. Para resolver el sistema:
9. Por el método de sustitución conviene despejar la y de la segunda
ecuación:
Ahora se sustituye su valor en la primera:
Se resuelve la ecuación resultante, pues sólo tiene una incógnita:
Ahora el valor de x se sustituye en la expresión de y obtenida antes:
Se ha obtenido así la solución x=3, y=-2.
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las
dos ecuaciones e igualar sus expresiones, obteniendo así una ecuación
con una incógnita. Una vez resuelta se obtiene fácilmente el valor de la
otra incógnita. Para resolver por igualación el sistema anterior:
Se puede despejar la x en ambas ecuaciones e igualar sus expresiones:
Ahora se resuelve esta ecuación:
Por último, se sustituye el valor de y en alguna de las expresiones de x:
10. Se ha obtenido la solución x=3, y=-2.
El método de reducción consiste en procurar que una de las incógnitas
tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones para que, al restarlas
miembro a miembro, se elimine dicha incógnita, dando lugar a una
ecuación con sólo la otra incógnita. Se resuelve dicha ecuación y el valor
de la incógnita se sustituye en una de las ecuaciones primitivas, y con
ello se puede obtener el valor de la otra incógnita.
Se multiplican los dos miembros de la primera ecuación por 2 con el fin
de que el coeficiente de la x sea el mismo en ambas ecuaciones:
Ahora, restando miembro a miembro se obtiene la ecuación siguiente:
Y se sustituye en una de las ecuaciones iniciales:
La solución es x=3, y=-2.
Para solucionar un sistema de ecuaciones también se pueden trabajar,
fuera de los métodos antes vistos, los métodos de Gauss y Gauss-
Jordán, que consisten en la utilización de matrices para el desarrollo,
mas sencillo y claro, de los sistemas de ecuaciones lineales.
MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS.
Para solucionar por este método, debemos transformar las ecuaciones
lineales en una matriz escalonada, es decir, igualando la diagonal
principal a 1 y lo que se encuentre debajo de esta a cero, para plantear
unas ecuaciones mas sencillas para reemplazar.
11. Este proceso es aplicable a todos los sistemas de ecuaciones lineales
que existen, no hay un valor máximo de ecuaciones que se puedan
trabajar.
Ejemplo:
Desarrollar el siguiente sistema de ecuaciones:
MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDÁN
Este método es parecido al de Gauss, solo que al igualar la diagonal
principal a 1, el resto de las variables deben quedar igualadas a 0, así
obtenemos los resultados directamente.
Este proceso es aplicable a todos los sistemas de ecuaciones lineales
que existen, no hay un valor máximo de ecuaciones que se puedan
trabajar.
Ejemplo:
Desarrollar el siguiente sistema de ecuaciones:
Operaciones elementales por renglón o fila en una matriz
escalonada:
Multiplicar un renglón o fila por un numero " 0.
Multiplicar un renglón o fila por un numero " 0 y sumarlo a otro renglón.
Intercambiar filas.
MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
Esta técnica, aplicable solo a los casos donde el numero de incógnitas es
igual al numero de ecuaciones nos dice que:
En este caso, trabajaríamos con tres matrices, hallando la matriz inversa
de A, y multiplicándola por los resultados del sistema de ecuaciones para
obtener los valores de las incógnitas.
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
LEY DE KRAMER
La ley de Kramer es útil para resolver sistemas de ecuaciones 3x3, dice:
“El valor de cada incógnita es una fracción cuyo denominador es la
determinante formada por los coeficientes de las incógnitas
(determinante del sistema) y cuyo numerador es la determinante que se
obtiene sustituyendo en la determinante del sistema la columna de los
coeficientes de la incógnita que se halla por la columna de los términos
independientes de las ecuaciones dadas”.
Ejemplo:
12. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
SISTEMAS DE ECUACIONES CONSISTENTES E INCONSISTENTES
Un sistema de ecuaciones lineales sin solución, se denomina sistema de
ecuaciones inconsistente. Un sistema de ecuaciones lineales con única
solución, se denomina sistema de ecuaciones consistente con única
solución y un sistema de ecuaciones lineales con infinitas soluciones, se
denomina sistema de ecuaciones consistente con infinitas
soluciones.
Ejemplos:
Desarrollar el siguiente sistema de ecuaciones:
Sistema de ecuaciones inconsistente.
Desarrollar el siguiente sistema de ecuaciones:
Sistema de ecuaciones consistente con única solución.
Desarrollar el siguiente sistema de ecuaciones:
Sistema de ecuaciones consistente con infinitas soluciones.
EL ESPACIO VECTORIAL Rn
Un espacio vectorial es un conjunto de vectores Rn, las cuales se
pueden graficar en un plano:
También pueden unirse los puntos mediante una recta. (-1,-1,-
1)(0,0,0)(2,2,2)
Para hacer un grafico en R2 o en R3, podemos optar por graficar como:
Punto.
Una flecha que parta del origen.
Una flecha que parta de un punto distinto al origen.
SUMA Y RESTA DE VECTORES
Se suman o restan los valores algebraicamente, eje con eje, no se
pueden sumar o restar vectores de diferentes espacios.
13. Si
y
, su suma o resta es igual a:
MULTIPLICACIÓN DE VECTORES
Multiplicación de Escalar por Vector: Se multiplica el escalar por cada
termino del vector. Su resultado da en el mismo plano Rn.
PRODUCTO PUNTO O ESCALAR
Sean
y
en Rn.
Siempre da como resultado un numero, ya que es un producto escalar.
Ejemplo:
Propiedades del Producto Punto:
PRODUCTO VECTORIAL O CRUZ
Sean
y
en Rn.
Sean
y
dos vectores dados.
Se soluciona mediante determinantes o por el método de Sarrus.
Ejemplo:
Determine el producto cruz y el ángulo entre estos vectores.
Propiedades del Producto Cruz:
14. Producto triple escalar
La división entre vectores es una multiplicación inversa.
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES
Teniendo en cuenta que los vectores se pueden sumar entre sí y que se
pueden multiplicar por números reales, podremos obtener vectores
haciendo estas operaciones de suma y multiplicación. Supongamos que
un vector v es el resultado de multiplicar un vector a por 5 y sumarle otro
vector b(v = 5a + b), en este caso diremos que v es una combinación
lineal de a y b. Dado un conjunto de vectores, si ninguno de ellos es
combinación lineal de los demás, se dice que ese conjunto de vectores
son linealmente independientes y linealmente dependientes en caso
contrario. Un vector es combinación lineal de otros vectores si se puede
obtener mediante operaciones de suma de otros vectores.
Ejemplo:
El vector (3,5) es combinación lineal del vector (1,1) y (0,2) pues se
puede obtener multiplicando por 3 el vector (1,1) y sumándole el vector
(0,2).
IGUALDAD DE VECTORES
Para que
debe cumplir que
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La distancia entre dos puntos esta determinada por la formula algebraica:
LONGITUD O MAGNITUD DE UN VECTOR Y EL ANGULO ENTRE
VECTORES.
Sean
y
dos vectores dados.
Ejemplos:
Propiedades:
15. = Desigualdad triangular.
ANGULO ENTRE DOS VECTORES:
El ángulo formado por dos vectores en un plano Rn, esta determinado
por:
Ejemplo:
Encuentre el ángulo formado por los siguientes vectores:
PROYECCIÓN DE VECTORES
Sean A y B vectores distintos de cero. La proyección de A sobre B es un
vector denotado
, definido por:
La proyección de A sobre B se puede pensar como la “Componente B”
del vector A.
Ejemplo:
ÁREAS Y VOLÚMENES USANDO EL PRODUCTO CRUZ
La aplicación del producto cruz se puede definir como su utilización para
determinar el área o el volumen de sólidos en un plano determinado.
ÁREA DE UN PARALELOGRAMO
Si el área es igual a la base por la altura, utilizando el producto cruz
obtenemos que el área de un paralelogramo es igual a:
16. Ejemplo:
Halle el área del paralelogramo determinado por los lados
adyacentes A=(1,-2,3), B=(2,0,1) y C=(0,4,0)
VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO
Si el volumen es igual al área de la base por la altura, utilizando el
producto cruz obtenemos que el volumen de un paralelepípedo es igual
a:
Ejemplo:
Halle el volumen del paralelepípedo determinado por los puntos
A=(1,3,-2),B=(2,1,4) y C=(-3,1,6)
RECTAS Y PLANOS EN R3
Rectas en R3:En el plano R2 podemos encontrar la ecuación de una
recta dados dos puntos de la recta o un punto y la pendiente de la recta.
En R3, las ideas básicas son las mismas, así que podemos hallar la
ecuación de la recta si conocemos dos puntos de ella o un vector
paralelo a la recta. Denotamos Po como un punto de la recta (xo,yo,zo), v
como el vector dirección (a,b,c), y t como un numero real cualquiera,
podemos obtener las dos ecuaciones de la recta.
Con estas ecuaciones podemos obtener n puntos de la recta. Si
despejamos la t en las tres ecuaciones e igualamos, obtenemos:
Ejemplos:
Hallar las ecuaciones parametricas y simétricas de la recta que tiene
por vector dirección v=(1,-2,3) y pasa por el punto (1,1,1).
Hallar las ecuaciones de una recta L que pasa por los puntos (1,2,0)
y (0,1,1).
Planos en R3: Sea P un punto en el espacio y sea n un vector distinto de
cero: Entonces el conjunto de todos los puntos Q para los cuales forman
un plano en R3.
Siendo Q=(x,y,z), P=(xo,yo,zo) y n=(a,b,c), la ecuación del plano es:
Ejemplos:
Encuentre el plano que pasa por el punto Q=(2,5,1) y tiene por
vector normal (1,-2,3)
Puntos de corte de los ejes:
(Despejamos cada variable y el resultado y obtenemos el punto de corte).
Encuentre el plano que pasa por los puntos P=(1,2,1), Q=(4,2,6) y
R=(2,-1,3)
17. Para hallar el vector normal, debemos hallar y ya que se suponen que
están en el plano y son ortogonales al vector normal.
Puntos de corte de los ejes:
TRANSFORMACIONES LINEALES
Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V
en W es una función que asigna a cada valor de V un vector único.
Dados los espacios vectoriales V y W sobre un cierto campo, una
aplicación T:V!W es una transformación lineal si se cumplen las
siguientes condiciones:
T(V+W)=T(V)+T(W)
T(aV)=aT(V)
Ejemplo:
Sea V=(2,5,1), realice la transformación de R3!R2: T(x,y,z)=(2x,-y)