Este documento presenta una introducción a las matrices, incluyendo su historia, usos y tipos. Define qué es una matriz y explica conceptos como suma, producto, inversa y operaciones básicas con matrices. También introduce figuras históricas clave en el desarrollo de la teoría de matrices como Hamilton, Cayley y otros.

1. Universidad de los Andes<br />Ministerio Para La Educación Superior<br />Facultad de Humanidades y Educación<br />Escuela de Educación Mención Matemática<br />Mérida – Edo. Mérida<br />MATRICES DE 5TO AÑO DE EDUCACION DIVERSIFICADA <br />Angely K. Uzcátegui C<br />CI: 19421718<br />Mérida, Marzo 2011<br />INTRODUCCION<br />Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. <br />Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc.<br />La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos.<br />Hamilton, William Rowan (1805-1865), matemático y astrónomo británico, conocido sobre todo por sus trabajos en análisis de vectores y en óptica. Nació en Dublín y estudió en el Trinity College. En 1827, sin haber obtenido su título, fue nombrado profesor de astronomía, y al año siguiente astrónomo real para Irlanda. Hamilton pasó el resto de su vida trabajando en el Trinity College y en el observatorio de Dunsink, cerca de Dublín. En el campo de la dinámica, introdujo las funciones de Hamilton, que expresan la suma de las energías cinética y potencial de un sistema dinámico; son muy importantes en el desarrollo de la dinámica moderna y para el estudio de la teoría cuántica. Describió una forma matemática de manejar pares de números reales. Esas reglas se usan en la actualidad para operar con números complejos. Más adelante descubrió la clave para operar con ternas o n-uplas de números, en el caso de n2, que consistiía en descartar la propiedad conmutativa de la multiplicación usual. A los nuevos objetos que creó les llamó cuaterniones, precursores de lo que ahora son los vectores.<br />Cayley, Arthur (1821-1895), matemático británico, cuya aportación más importante a las matemáticas es la teoría de los invariantes algebraicos. Nació en Richmond (Surrey) y estudió en el King's College y en el Trinity College, Universidad de Cambridge. A comienzos de su carrera, mientras se dedicaba al estudio y a la práctica del derecho, realizó alguno de sus descubrimientos matemáticos más brillantes. En 1857 desarrolló el álgebra de matrices. Es considerado como el tercer escritor más prolífico de matemáticas, siendo sólo superado por Euler y Cauchy. Hizo importantes contribuciones en la Teoría de curvas y superficies, en la geometría analítica, en la teroria de los determinantes y el desarrollo de la teoría de los invariantes.En 1863 fue profesor de matemáticas puras en Cambridge. Sus trabajos en geometría cuatridimensional, proporcionaron a los físicos del siglo XX, especialmente a Albert Einstein, la estructura para desarrollar la teoría de la relatividad.<br /> CONCEPTO DE MATRIZ:<br />Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma: <br />Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C,... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c,... Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij . Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz: A = (aij)<br />Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales<br />TIPOS DE MATRICES:<br />Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma, sus elementos, ... reciben nombres diferentes:<br />Tipo de matrizDefiniciónEjemplo FILAAquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1×n COLUMNAAquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m×1 RECTANGULARAquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden m×n , TRASPUESTADada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.Se representa por At ó AT OPUESTALa matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A. NULASi todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n CUADRADAAquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciendose que la matriz es de orden n.Diagonal principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A.Diagonal principal : Diagonal secundaria : SIMÉTRICAEs una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.A = At , aij = aji ANTISIMÉTRICAEs una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta.A = -At , aij = -aji Necesariamente aii = 0 DIAGONALEs una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principalESCALAREs una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son igualesIDENTIDADEs una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. Tambien se denomina matriz unidad.TRIANGULAREs una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.ORTOGONALUna matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible : A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal.El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal.El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.NORMALUna matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, antisimétricas u ortogonales son necesariamente normales.INVERSADecimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, A-1, si se verifica que :A·A-1 = A-1·A = I <br />OPERACIONES CON MATRICES:<br />SUMA DE MATRICES<br />La suma de dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij) p×q de la misma dimensión: m = p y n = q es otra matriz C = A+B = (cij)m×n = (aij+bij)<br />PROPIEDADES DE LA SUMA:<br />· Asociativa: A+ (B+C) = (A+B) +C· Conmutativa: A+B = B+A· Elemento neutro: ( matriz cero 0m×n ) , 0+A = A+0 = A· Elemento simétrico: ( matriz opuesta -A ) , A + (-A) = (-A) + A = 0<br />La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A  (–B) Sin embargo, no se puede suma<br />2. PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ<br />Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por todos los elementos de la matriz, obteniéndose otra matriz del mismo orden.<br />PRODUCTO DE MATRICES<br />Dadas dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q donde n = p, es decir, el número de columnas de la primera matriz A es igual al número de filas de la matriz B , se define el producto A·B de la siguiente forma :<br /> El elemento que ocupa el lugar (i, j) en la matriz producto se obtiene sumando los productos de cada elemento de la fila i de la matriz A por el correspondiente de la columna j de la matriz B.<br />MATRIZ INVERSA<br />Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada An y la representamos por A-1, a la matriz que verifica la siguiente propiedad: A-1·A = A·A-1 = I<br />Decimos que una matriz cuadrada es \"
regular\"
si su determinante es distinto de cero, y es \"
singular\"
si su determinante es igual a cero.<br />PROPIEDADES: <br />Sólo existe matriz inversa de una matriz cuadrada si ésta es regular.<br />La matriz inversa de una matriz cuadrada, si existe, es única.<br />Entre matrices NO existe la operación de división, la matriz inversa realiza funciones análogas.<br />MÉTODOS PARA HALLAR LA MATRIZ INVERSA:<br /> Aplicando la definición.<br /> Por el método de Gauss.<br /> Por determinantes.<br />EJERCICIOS<br />Dadas las matrices: <br />Calcular:<br />A + B; A - B; A x B; B x A; At. <br />2. Demostrar que: A2 - A- 2 I = 0, siendo: <br /> Sea A la matriz . <br />Hallar An , para n <br />Calcular el rango de la matriz siguiente:<br />Siendo:<br />Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones: <br />