1) El documento describe los conceptos y operaciones básicas del álgebra, incluyendo términos algebraicos, expresiones algebraicas, propiedades de los números reales y prioridad de operaciones. 2) Explica las reglas para sumar, restar, multiplicar y dividir términos y expresiones algebraicas, así como las propiedades de los exponentes. 3) Resalta la importancia de entender el significado del signo igual y la jerarquía de las operaciones para resolver correctamente expresiones algebraicas.

1. Para trabajar en álgebra son necesarios ciertos conocimientos previos sobre
operatoria en Números Enteros y Números Racionales. También deben
conocerse las propiedades de las potencias.
Los ejercicios deben desarrollarse de acuerdo a las operatorias que se
realicen. Se pueden restar o sumar términos semejantes, multiplicar
expresiones algebraicas o bien simplificarlas.
Símbolos y términos específicos
Entre los símbolos algebraicos se encuentran números, letras y signos que
representan las diversas operaciones aritméticas.
Los números son, por supuesto, constantes, pero las letras pueden
representar tanto constantes como variables. Las primeras letras del
alfabeto se usan para representar constantes y las últimas para variables.
Operaciones y agrupación de símbolos
La agrupación de los símbolos algebraicos y la secuencia de las
operaciones aritméticas se basa en los símbolos o signos de agrupación,
que garantizan la claridad de lectura del lenguaje algebraico.
Entre los símbolos de agrupación se encuentran los paréntesis ( ),
corchetes [ ], llaves { } y rayas horizontales —también llamadas
vínculos— que suelen usarse para representar la división y las raíces, como
en el siguiente ejemplo:
Los símbolos de las operaciones básicas son bien conocidos de la
aritmética: adición (+), sustracción (-), multiplicación (×) y división (:).
En el caso de la multiplicación, el signo ‗ב normalmente se omite o se
sustituye por un punto, como en a·b. Un grupo de símbolos contiguos,
como abc, representa el producto de a, b y c.

2. La división se indica normalmente mediante rayas horizontales. Una raya
oblicua, o virgulilla, también se usa para separar el numerador, a la
izquierda de la raya, del denominador, a la derecha, en las fracciones.
Hay que tener cuidado de agrupar los términos apropiadamente.
Por ejemplo, ax + b/c - dy indica que ax y dy son términos separados, lo
mismo que b/c, mientras que (ax + b)/(c – dy) representa la fracción:
Prioridad de las operaciones
Cada expresión algebráica (y matemática) posee una estructura
estrictamente jerarquizada.
Esto significa que para resolver una expresión algebraica es necesario
seguir un orden establecido con el fin de garantizar que los cálculos tengan
sólo un resultado.
Ese orden es el siguiente:
1) Cuando no hay signos de agrupación (paréntesis, corchetes,
llaves) hacemos primero las multiplicaciones y divisiones si las hay. Si hay
varios números positivos y negativos los agrupamos y después los
sumamos.
2) Si hay signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves) se realizan
en primer lugar todas las operaciones que se encuentren dentro de ellos,
respetando la secuencia general.
Los símbolos de agrupación indican el orden en que se han de realizar las
operaciones: se hacen primero todas las operaciones dentro de un mismo
grupo, comenzando por el más interno.
Cuando hay paréntesis y corchetes, hacemos primero los paréntesis, los
quitamos aplicando la regla de los signos. Después hacemos los

3. corchetes y los quitamos aplicando la regla de los signos (recuerden que la
regla de los signos se aplica solo para multiplicaciones y divisiones).
3) Luego se efectúan las elevaciones a potencia y las raíces (potencias y
raíces tienen la misma jerarquía)
4) En seguida se resuelven las multiplicaciones y las divisiones
(multiplicaciones y divisiones tienen la misma jerarquía)
5) Finalmente se realizan las sumas y las restas (sumas y restas tienen la
misma jerarquía)
Cuando un conjunto de operaciones se encuentran en el mismo nivel de
prioridad o jerarquía, las operaciones se realizan desde la izquierda hacia la
derecha.
Por ejemplo:
Un importante error conceptual relacionado con el significado del
signo igual
Es común que muchos estudiantes consideren el signo = solo como una
invitación al cálculo y no como una relación de equivalencia.
Así, por ejemplo, interpretan la expresión
5 + 8 = x + 3
en términos similares a los siguientes: ―A 5 se le suma 8 y al resultado (x) se
le suma 3‖.
Por tal razón, consideran que x debe valer 13 y piensan que la expresión
debería completarse así:
5 + 8 = x + 3 = 16

4. Como dijimos, este es un error muy común. Es importante, en este sentido,
hacer notar desde un comienzo que el signo igual indica que todo los que
está a la izquierda del signo igual (en este caso, 5 + 8) representa la misma
cantidad que lo que está a su derecha (en este caso, x + 3). Para que ello
se cumpla, x debe valer 10.
Gran parte de las dificultades que encuentran los estudiantes tienen su
origen en este error conceptual.
Números Reales
Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un
número real en cada punto de la recta numérica.
Los números reales se dividen en números racionales, números irracionales
y números enteros los cuales a su vez se dividen en números negativos,
números positivos y cero (0).
Podemos verlo en esta tabla:
Un número real es racional si se puede representar como cociente a/b,
donde a sea un entero y b sea un entero no igual a cero. Los números
racionales pueden escribirse en forma decimal.
Existen dos maneras para hacerlo:
1) como decimales finitos

5. 2) como decimales que se repiten infinitamente
Los números reales que no pueden ser expresados en la forma a/b,
donde a y b son enteros se llaman números irracionales. Los números
irracionales no tienen decimales finales ni decimales que se repiten
infinitamente.
Al hacer operaciones algebraicas, se asume que se cumplen las mismas
propiedades que para la aritmética numérica.
En aritmética, los números usados son sólo del conjunto de los números
racionales. La aritmética, por sí sola, no puede ir más lejos, pero el álgebra
y la geometría pueden incluir números irracionales, como la raíz cuadrada
de 2 y números complejos.
Repitiendo el concepto, el conjunto de todos los números racionales e
irracionales constituye el conjunto de los números reales.
Propiedades de los números reales
Propiedades de la adición
La suma de dos números reales a y b cualesquiera dará como resultado
otro número real que se escribe a + b. Los números reales son uniformes
para las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división; esto
quiere decir que al realizar una de estas operaciones con números reales el
resultado es otro número real.
Propiedad Asociativa de la adición:
Cualquiera que sea la forma en que se agrupan los términos de la adición,
el resultado de la suma es siempre el mismo: (a + b) + c = a + (b + c).
También Es la llamada propiedad asociativa de la
adición.
Un ejemplo aritmético: (4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9)
Elemento neutro de la adición

6. Dado un número real a cualquiera, existe el número real cero (0) conocido
como elemento neutro de la adición,
tal que a + 0 = 0 + a = a.
Elemento simétrico de la adición
Dado un número real a cualquiera, existe otro número real (-a),
llamado elemento simétrico de a (o elemento recíproco de la suma), tal
que a + (-a) = 0.
Propiedad Conmutativa de la adición
Cualquiera que sea el orden en que se realiza la operación, la suma es
siempre la misma: a + b = b + a.
También Es la llamada propiedad conmutativa de la
adición.
Un ejemplo aritmético: 4 + 2 = 2 + 4
Propiedades de la multiplicación
Para la multiplicación se cumplen propiedades similares a las de la adición.
Sin embargo, en la multiplicación hay que prestar especial atención al
elemento neutro y al elemento recíproco o inverso.
El producto de dos números reales a y b es otro número real, que se
escribe a·b o ab.
Propiedad Asociativa de la multiplicación
Cualquiera que sea la forma de agrupar los términos de la multiplicación, el
producto es siempre el mismo: (ab)c = a(bc).
También Es la llamada propiedad asociativa de la
multiplicación.
Un ejemplo aritmético:
Elemento neutro

7. Dado un número real a cualquiera, existe el número real uno (1)
llamado elemento neutro de la multiplicación,
tal que a(1) = 1(a) = a.
Elemento recíproco o inverso
Dado un número real a distinto de cero, existe otro número (a–1 o 1/a),
llamado elemento inverso (o elemento recíproco de la multiplicación), para
el que a(a–1) = (a–1)a = 1.
Propiedad Conmutativa de la multiplicación
Cualquiera que sea el orden en que se realiza la multiplicación, el producto
es siempre el mismo: ab = ba.
También Es la llamada propiedad conmutativa de la
multiplicación.
Un ejemplo aritmético:
Propiedad distributiva de multiplicación sobre adición:
Otra propiedad importante del conjunto de los números reales relaciona la
adición y la multiplicación de la forma siguiente:
a(b + c) = ab + ac también (b + c)a = ba + ca
También
Un ejemplo aritmético:
Regla de los Signos para sumar y restar:
1. En una suma de números con signos iguales, se suman los números y
el resultado lleva el mismo signo. Si los números tienen signos diferentes,
se restan y el resultado lleva el signo del mayor.
Ejemplo:
5 + 8 = 13
5 + –8 = –3

8. 2. En resta de signos iguales el resultado lleva el signo del mayor. Si se
restan signos diferentes, se suman los números y el resultado lleva el signo
del mayor.
Ejemplo:
5 – 8 = –3
5 – (–8) = 13
Regla de los signos en la multiplicación y la división
En multiplicación y división de números con signos iguales el resultado es
positivo. Si los números son de signos opuestos, el resultado es negativo.
Ejemplos:
5 x 8 = 40 5 x –8 = –40
Multiplicación de polinomios
El siguiente ejemplo es el producto de un monomio por un binomio:
(ax + b) (cx2
) = acx3
+ bcx2
Este mismo principio —multiplicar cada término del primer polinomio por
cada uno del segundo— se puede ampliar directamente a polinomios con
cualquier número de términos. Por ejemplo, el producto de un binomio y un
trinomio se hace de la siguiente manera:
(ax3
+ bx2
– cx) (dx + e) = adx4
+aex3
+ bdx3
+ bex2
– cdx2
- cex
Una vez hechas estas operaciones, todos los términos de un mismo grado
se han de agrupar, siempre que sea posible, para simplificar la expresión:
= adx4
+ (ae + bd)x3
+ (be – cd) x2
– cex
Recta Numérica
Para construir una recta numérica, primero se escoge un punto en la recta
que será un punto arbitrario al que le llamaremos cero (0). Este punto es
llamado el origen de la recta numérica.

9. El origen separa la recta en dos partes, el lado positivo y el lado negativo. A
la derecha del origen está el lado positivo y el negativo está a la izquierda.
En el lado derecho van números enteros positivos (en orden sucesivo) y en
el lado izquierdo se escriben los números enteros negativos (en orden
sucesivo), estos se marcan en unidades equidistantes.
Es importante recordar que para cualesquiera dos números reales
diferentes a los que llamaremos a y b, siempre uno es mayor que el otro.
Si a – b es positivo, entonces a > b.
Si b – a es positivo, entonces a < b.
Valor Absoluto
La distancia de un número en la recta numérica desde cero (0) se
llama valor absoluto. Se representa con el símbolo |x|. El valor absoluto de
un número se calcula de la siguiente manera:
si el número es negativo, lo convertimos a positivo.
si el número es cero o positivo, se queda igual.
Ejemplos:
|7| = 7
|–7| = 7

10. Notación Exponencial
La notación exponencial se usa para repetir multiplicaciones de un mismo
número. Es la elevación a la enésima potencia (n) de una base (X).
Ejemplos:
x2 = x x
22 = 2 2
34 = 3 3 3 3
Término algebraico
Término algebraico es el producto de una o más variables y una constante
numérica o literal.
Ej:
7xy3
–2mnp2
π r2
En todo término algebraico hay:
Signo: positivo o negativo
Coeficiente numérico: es el número que va al comienzo del término
algebraico
Factor literal: son las letras y sus exponentes
Grado: corresponde al mayor exponente dentro de los términos
Término
algebraico
Signo Coeficiente
numérico
Factor
literal
Grado

11. 2m2
n5
Positivo 2 m2
n5
5
5 a3
b6
c8
Positivo 5 a3
b6
c8
8
- 1/3 zhk5 Negativo 1/3 zhk5
5
Expresiones Algebraicas
Expresión algebraica es el resultado de combinar, mediante la operación
de adición, uno o más términos algebraicos.
Las expresiones algebraicas se clasifican según su número de términos.
monomio = un solo término.
Por ejemplo: 3x2
binomio = suma o resta de dos monomios.
Por ejemplo: 3x2
+ 2x
trinomio = suma o resta de tres monomios.
Por ejemplo: 3x2
+ 2x – 5
polinomio = suma o resta de cualquier número de monomios.
Monomio Binomio Trinomio Polinomio
8 x3
y4
3 a2
b3
+ 8z a – b9
+ a3
b6
2/3 a2
+ bc + a2
b4
c6
– 2
x2
z5
+32 x3
9a – b2
+ c3
ab – a6
b3
c + 8 – 26a
Reglas de los Exponentes:
Para multiplicar factores exponenciales que tienen la misma base y los
exponentes son enteros positivos diferentes.

12. Ejemplo: x2
. x4
= x2+4
= x6
Para multiplicar factores que tienen base diferente y exponentes iguales,
el exponente se queda igual.
Ejemplo: (x2
)4
= x2+4
= x6
En división, si tienen la misma base y los exponentes son enteros
positivos diferentes, se restan los exponentes. Las variables m y n son
enteros positivos, m > n.
Ejemplo: (xy)2
= x2
y2
En suma y resta, solo se procede si son términos similares, en otras
palabras lo que difiere es su coeficiente numérico.
Productos Notables
1.
Por ejemplo:
2.
3.
4.
5.

13. 6.
7.
8.
Expresiones fraccionales
Una fracción es una expresión en la forma:
Una expresión fraccional esta simplificada cuando el numerador y el
denominador no tienen factores comunes.
Por ejemplo:
Multiplicación de expresiones algebraicas
Para multiplicar expresiones fraccionales, se multiplican los numeradores y
se multiplican los denominadores.

14. Por ejemplo:
División de expresiones algebraicas
Para dividir se multiplica por el recíproco y luego se factoriza y se simplifica
el resultado.
Por ejemplo:
Suma y resta de expresiones algebraicas
En suma y resta cuando los denominadores son los mismos, se suman o
restan los numeradores y se mantiene el mismo denominador.
Por ejemplo:

15. Exponentes enteros
Reglas básicas para trabajar los exponentes:
Regla: Ejemplo:
Radicales (Raíces)
Un radical es una expresión en la forma:
que se lee "raíz n de b"

16. Cada parte de un radical lleva su nombre,
El índice debe ser un entero positivo. Para una raíz cuadrada, el índice 2 es
usualmente omitido.
Propiedades de los Radicales (de las raíces)
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:

17. Ejemplo:
Suma y Resta de Radicales (de raíces)
Cuando tenemos radicales "semejantes", podemos resolver la suma o la
resta usando la propiedad distributiva y agrupando los términos semejantes.
Los radicales "semejantes" son los que tienen el mismo radicando.
Ejemplos:
Si los radicales no son semejantes, la suma o la resta sólo puede ser
indicada. Se puede agrupar los términos semejantes del radical.
Ejemplo:

18. Para entender la operación algebraica llamada factorización es preciso
repasar los siguientes conceptos:
Cualquier expresión que incluya la relación de igualdad (=) se
llama ecuación.
Una ecuación se denomina identidad si la igualdad se cumple para
cualquier valor de las variables; si la ecuación se cumple para ciertos
valores de las variables pero no para otros, la ecuación es condicional.
Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos de
constantes y variables; 2x, – a, 3x son algunos ejemplos de términos.
La parte numérica de un término se denomina coeficiente.
Los coeficientes de cada uno de los ejemplos anteriores son 2, – 1, y 3.
Una expresión que contiene un solo término se denomina monomio; si
contiene dos términos se llama binomio y si contiene tres términos, es
un trinomio.
Un polinomio es una suma (o diferencia) finita de términos.
En este contexto, el grado es el mayor exponente de las variables en un
polinomio. Por ejemplo, si el mayor exponente de la variable es 3, como
en ax3
+ bx2
+ cx, el polinomio es de tercer grado.
Una ecuación lineal en una variable es una ecuación polinómica de primer
grado; es decir, una ecuación de la forma ax + b = 0.
Se les llama ecuaciones lineales porque representan la fórmula de una línea
recta en la geometría analítica.
Una ecuación cuadrática en una variable es una ecuación polinómica
de segundo grado, es decir, de la forma ax2
+ bx + c = 0.
Un número primo es un entero (número natural) que sólo se puede dividir
exactamente por sí mismo y por 1. Así, 2, 3, 5, 7, 11 y 13 son todos
números primos.

19. Las potencias de un número se obtienen mediante sucesivas
multiplicaciones del número por sí mismo. El término a elevado a la tercera
potencia, por ejemplo, se puede expresar como a·a·a o a3
Los factores primos de un cierto número son aquellos factores en los que
éste se puede descomponer de manera que el número se puede expresar
sólo como el producto de números primos y sus potencias.
Descomposición de números naturales en sus
factores primos
Por ejemplo, un número natural como 20 puede expresarse como un
producto de números de diferentes formas:
20 = 2 • 10 = 1 • 20 = 4 • 5
En cada uno de estos casos, los números que forman el producto son
los factores.
Es decir, cuando expresamos el número 20 como el producto 2 • 10, a cada
uno de los números (2 y 10) se les denomina factor.
En el caso de 1 • 20 los factores son 1 y 20 y finalmente en el caso de 4 • 5,
los factores son 4 y 5.
Cada uno de los números 1, 2, 4, 5, 10, 20 se denominan a su
vez divisores de 20.
Otro ejemplo, los factores primos de 15 son 3 y 5. Del mismo modo, como
60 = 22
• 3 • 5, los factores primos de 60 son 2, 3 y 5.
Debe recordarse, además, que cuando un número es divisible
únicamente por sí mismo y por la unidad el número se denominaprimo.
Factorización y productos notables
Así como los números naturales pueden ser expresados como producto de
dos o más números, los polinomios pueden ser expresadas como el
producto de dos o más factores algebraicos.

20. Cuando un polinomio no se puede factorizar se denomina irreducible. En
los casos en que la expresión es irreducible, solo puede expresarse como el
producto del número 1 por la expresión original.
Al proceso de expresar un polinomio como un producto de factores se le
denomina factorización.
El proceso de factorización puede considerarse como inverso al proceso
de multiplicar.
Factorizar, entonces, quiere decir identificar los factores comunes a
todos los términos y agruparlos.
Los factores comunes son aquellos números que aparecen multiplicando a
todos los términos de una expresión algebraica.
Estos números pueden estar dados explícitamente o representados por
letras.
Así, factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios
llamados factores, de tal modo que al multiplicarlos entre sí se obtenga el
polinomio original.
En otras palabras, dada una expresión algebraica complicada, resulta útil,
por lo general, el descomponerla en un producto de varios términos más
sencillos.
Por ejemplo, 2x3
+ 8x2
y se puede factorizar, o reescribir, como 2x2
(x + 4y).
Algunos ejemplos:
De la expresión ab2
+ 3cb b3
podemos factorizar b
y obtenemos la expresión: b(ab + 3c b2
) (1)
Veamos paso a paso cómo se obtuvo la expresión:

21. ahora podríamos reacomodar la expresión que queda dentro del paréntesis:
Finalmente si sustituimos este último resultado en (1), obtenemos:
ab2
+ 3cb b3
= b (b (a b) + 3c)
ab2
+ 3cb b3
= b (ab b2
+ 3c)
ab2
+ 3cb b3
= b (ab +3c –b2
)
Por otro lado, algunos productos sencillos que tienen una estructura
determinada y que pueden ser evaluados de forma directa se
denominan Productos notables.
En general los casos de factorización corresponden a los casos de
productos notables.
Antes de mostrar ejercicios de aplicación de factorización y productos
notables, es necesario recordar la forma de hallar el máximo común
divisor (mcd) de un conjunto de números dados.

22. Ejemplo: Determinar el máximo común divisor (mcd) de los números 56, 42
y 28.
El máximo común divisor de un conjunto de números dados corresponde
al mayor número natural que los divide simultáneamente, con residuo cero.
Para hallar el mcd de un conjunto determinado de números, estos se
dividen simultáneamente por los diferentes números primos (tomados en
orden ascendente, y desechando los números primos por los cuales no se
pueda hacer la división con residuo cero de todos los números de la fila)
según el arreglo mostrado a continuación.
El proceso termina, cuando los números que aparecen en la fila
inmediatamente inferior a la última división simultánea, no pueden
dividirse simultáneamente por algún número primo.
El mcd buscado es el producto de los números primos que aparecen a la
derecha:
56 42 28 ÷ 2
28 21 14 ÷ 7
4 3 2
Los números originales (56, 42, 28) se escriben desde la izquierda hacia la
derecha.
A la derecha de ellos se escribe el 2 (primer número primo de la lista) y se
divide cada uno de estos números por 2, escribiendo el resultado obtenido
en la misma columna del número original.
La segunda fila muestra estos resultados.
Como los números 28, 21 y 14 no pueden dividirse simultáneamente por 3,
este número primo se desecha.
De forma similar se desecha el 5.

23. El siguiente número primo en la lista es 7.
En este caso se puede hacer la división simultáneamente obteniéndose los
números 4, 3 y 2.
Esta última fila no puede dividirse simultáneamente ni por 2 ni por 3.
Como el siguiente número primo (5) es mayor que 4, el proceso termina.
Por lo tanto, el mcd de los números 56, 42 y 28 es el producto de los
números primos de la derecha: 2 • 7 = 14
Lo anterior se expresa como: mcd (56, 42, 28) = 14 (el máximo común
divisor de los números 56, 42 y 28 es igual a 14)
Ejemplo: Factorizar 9x + 6y - 12z
Este es un ejemplo sencillo de la factorización por factor común.
Dada una expresión algebraica se encuentra el máximo común divisor
(mcd) de los coeficientes de los términos de la expresión algebraica.
Este mcd corresponde al coeficiente del factor común.
Para la parte literal se toman las variables comunes a todos los términos
con el menor exponente que aparezca.
Para este ejercicio el mcd de 9, 6 y 12 es 3; además como no hay variables
comunes en los tres términos tenemos:
9x + 6y 12z = 3(3x + 2y 4z)
es decir 9x + 6y 12z se ha expresado como el producto de los factores 3
y 3x + 2y 4z.
Ejemplo: Factorizar 9xy2
+ 6y4
12 y3
z
En este caso además del factor común 3 (mcd de 9, 6, 12) la variable y es
común a los tres términos. La menor potencia común es y2
por lo tanto la
factorización queda:
9xy2
+ 6y4
12y3
z = 3y2
(3x + 2y2
4yz)

24. Los factores en este caso son 3x + 2y2
4yz y 3y2
. Para verificar, al
realizar el producto indicado se obtiene la expresión original:
3y2
(3x + 2y2
4yz) = (3y2
* 3x) + (3y2
* 2y2
) (3y2
* 4yz)
= 9xy2
+ 6y4
12y3
z
Nótese que se ha aplicado la propiedad distributiva del producto. En
general no es necesario hacer la verificación de la factorización, pero es
conveniente cuando existan dudas sobre el resultado obtenido:
Ver: PSU: Matemática
otenciacion
La potenciación o exponenciación es una
multiplicación de varios factores iguales, al
igual que la multiplicación es una suma de
varios sumandos iguales.
En la nomenclatura de la potenciación se
diferencian dos partes, la base y el
exponente, que se escribe en forma de
superíndice. El exponente determina la
cantidad de veces que la base se multiplica
por sí misma:
Una de las definiciones de la potenciación,
por recurcion, es la siguiente:
x1 = x
Si en la segunda expresión se toma a=1, se
tiene que x¹ = x•x0. Al dividir los dos
términos de la igualdad por x (que se puede
hacer siempre que x sea distinto de 0),
queda que x0=1.
Así que cualquier número (salvo el 0)
elevado a 0 da 1. El caso particular de 00, en
principio, no está definido. Sin embargo,
también se puede definir como 1 si nos
atenemos a la idea de producto vació o
simplemente por analogía con el resto de
números.
Para convertir una base con exponente
negativo a positivo se pone la inversa de la
base, es decir que la potencia pasa con
Radicación
La radicación es la operación inversa de la
potenciación. Supongamos que nos dan un núm
a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicad
por si mismo un número b de veces nos da el
numero a.
Por ejemplo: calcular qué número multiplicado
si mismo 2 veces da 196. Ese número es 14.
El número que esta dentro de la raíz se llama
radicando, el grado de la raíz se llama índice d
radical, el resultado se llama raíz.
Podemos considerar la radicación como un cas
particular de la potenciación. En efecto, la raíz
cuadrada de un numero (por ejemplo a) es igu

25. exponente positivo.
Propiedades de la potenciación
Las propiedades de la potenciacion son las
siguientes:
Potencia de potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la
potencia de base a y exponente igual a la
multiplicación de los primeros exponentes.
Multiplicación de potencias de igual base
La multiplicación de dos o más potencias de igual
base a es igual a la potencia de base a y exponente
igual a la suma de los mismos exponentes.
División de potencias de igual base
La división de dos potencias de igual base a es igual
a la potencia de base a y exponente igual a la resta
de los exponentes respectivos.
Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la
multiplicación y a la división, pero no lo es con
respecto a la suma ni a la resta.
En general:
En particular:
(a + b)m = am + bm
(a &#8722; b)m = am &#8722; bm
que a1/2, del mismo modo la raíz cúbica de a e
a1/3 y en general, la raíz enésima de un numer
es a1/n.
La mejor forma de resolver los ejercicios de
operaciones con raíces es convertir las raíces a
potencias y operar teniendo en cuenta las
propiedades dadas para la operación de
potenciación.
Raíz cuadrada
1- Para calcular la raíz cuadrada de un número
comienza separando el numero en grupos de d
cifras, empezando por la derecha
Por ejemplo: 5560164 lo separaríamos 5'56'01
2- A continuación se calcula un numero entero
elevado al cuadrado sea igual (o lo mas próxim
numero del primer grupo, empezando por la
izquierda).
En nuestro ejemplo el primer numero es 5 y el
numero entero que elevado al cuadrado se ace
mas a 5 es 2. 2 es la primera cifra de la raíz.
3- después se eleva al cuadrado esta cifra y se r
del numero del primer grupo
En nuestro ejemplo 22 = 4 y restándolo del nu
del primer grupo que es 5, sale 5 -4 = 1
4- A continuación ponemos al lado del resto
anterior el numero del siguiente grupo
En nuestro ejemplo nos quedaría 156
5- después multiplicamos por 2 el numero que
hemos calculado hasta el momento de la raíz.
En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4
6- A continuación tenemos que buscar un num
que multiplicado por el numero que resulta de
multiplicar por 10 el numero anterior y sumarl

26. Se cumple en los siguientes casos:
Si m=1.
Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1,
siempre que m sea distinto de 0.
Si a y b son iguales a 0 y m&#8800;0.
Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa no se cumple para la
potenciación, exceptuando aquellos casos en que
base y exponente son el mismo número / la misma
cifra o equivalentes.
En general:
En particular:
ab = ba
Si y sólo si a=b.
Potencia de exponente 0
Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0
es igual a 1.
a0 = 1 si se cumple que
Potencia de exponente 1
Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a.
a1 = a
Potencia de base 10
Toda potencia de base 10 es igual a la unidad
seguida de tantos ceros como unidades posee el
exponente.
101 = 10
como tambien pues ser un conjuntos de numeros
potenciados o elevados a un exponente
106 = 1000000
104 = 10000
numero que estamos buscando se acerque lo m
posible al numero que tenemos como resto. Es
numero será el siguiente numero de la raíz.
En nuestro ejemplo el numero seria 3 porque 4
3 = 129 que es el numero que se aproxima mas
156 y la raíz seria 23...
7- Ahora tenemos que volver a calcular el resto
restando el numero obtenido del que queríamo
obtener realmente.
En nuestro ejemplo: 156 - 129 = 27
8- A continuación repetimos el paso 4, esto es,
ponemos al lado del resto anterior el numero d
siguiente grupo
En nuestro ejemplo: 2701
9- A continuación repetimos el paso 5
En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46
10- después repetimos el paso 6
En nuestro ejemplo el numero seria 5 porque 4
*5 = 2325 que es el numero que se aproxima m
2701 y la raíz seria 235...
11- después repetimos el paso 7
En nuestro ejemplo: 2701 - 2325 = 376
12- A continuación repetimos el paso 8
En nuestro ejemplo: 37664
13 A continuación repetimos el paso 5
En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 470
14- A continuación repetimos el paso 6
En nuestro ejemplo el numero seria 8 porque 4
* 8 = 37664 que es el numero que se aproxima
a 37664 y la raíz seria 2358

27. Gráfico
gráfico de Y = X2El gráfico de una potencia par
tiene la forma de una parábola. Su extremo está en
el punto (0, 0), a menos que el gráfico sea
trasladado. Su sentido de crecimiento es positivo
en ambas direcciones
Dicho gráfico es continuo y derivable para todos los
reales.
15- A continuación repetimos el paso 7
En nuestro ejemplo: 37664 - 37664 = 0 En est
caso la raíz es exacta pues el resto es cero.
Cálculo de raíces cuadradas por aproximacione
sucesivas
Este método se debe a Newton
Si conocemos una aproximación de la raíz,
podemos calcular una aproximación mejor
utilizando la siguiente fórmula:
ai = 1/2(ai-1 + A/ai-1)
Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de
podemos partir de la aproximación 2, entonces
a1 = 2
a2 = 1/2(2 + 5/2) = 2,250
a3 = 1/2(2,250 + 5/2,250) = 2,236

28. Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación.
También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se
encuentran frecuentemente y que es preciso saberfactorizarlas a simple
vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales)
precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.
A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado
derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como
un producto notable).
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
a2
+ 2ab + b2
= (a +
b)2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la
primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la
segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con
una expresión de la forma a2
+ 2ab + b2
debemos identificarla de inmediato
y saber que podemos factorizarla como (a + b)2
Nota:

29. Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su
comprensión.
Ver: PSU; Matemática
Pregunta 12_2005
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
a2
– 2ab + b2
= (a – b)2
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la
primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la
segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con
una expresión de la forma a2
– 2ab + b2
debemos identificarla de inmediato
y saber que podemos factorizarla como (a – b)2
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto
de dos binomios conjugados)
(a + b) (a – b) = a2
– b2

30. El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al
cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con
una expresión de la forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato
y saber que podemos factorizarla como a2
– b2
Ver: PSU: Matematica,
Pregunta 15_2010
Pregunta 19_2010
Pregunta 09_2006
Otros casos de productos notable (o especiales):
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x2
+ (a + b)x + ab = (x + a)
(x + b)
Demostración:

31. Veamos un ejemplo explicativo:
Tenemos la expresión algebraica
x2
+ 9 x + 14
obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )
¿Cómo llegamos a la expresión?
a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2
b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es
(2 + 7)x = 9x
c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14
Así, tenemos:
x2
+ 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con
una expresión de la forma x2
+ (a + b)x + ab debemos identificarla de
inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x + b)
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x2
+ (a – b)x – ab = (x + a)
(x – b)
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con
una expresión de la forma x2
+ (a – b)x – ab debemos identificarla de
inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x – b).

32. Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x2
– (a + b)x + ab = (x – a)
(x – b)
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con
una expresión de la forma x2
– (a + b)x + ab debemos identificarla de
inmediato y saber que podemos factorizarla como (x – a) (x – b).
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
mnx2
+ ab + (mb + na)x =
(mx + a) (nx + b)
En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en
cada binomio (mx y nx).
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con
una expresión de la forma mnx2
+ ab + (mb + na)xdebemos identificarla de
inmediato y saber que podemos factorizarla como (mx + a) (nx + b).
Cubo de una suma
a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
= (a +

33. b)3
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con
una expresión de la forma a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
debemos identificarla de
inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)3
.
Cubo de una diferencia
a3
– 3a2
b + 3ab2
– b3
= (a –
b)3
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con
una expresión de la forma a3
– 3a2
b + 3ab2
– b3
debemos identificarla de
inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)3
.
A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos
notables y la expresión algebraica que lo representa:
Producto notable Expresión algebraica Nombre
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
Binomio al cuadrado
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
Binomio al cubo
a2 b2 = (a + b) (a b) Diferencia de
cuadrados
a3
b3
= (a b) (a2
+ b2
+ ab) Diferencia de cubos
a3
+ b3
= (a + b) (a2
+ b2
ab) Suma de cubos
a4
b4
= (a + b) (a b) (a2
+ b2
) Diferencia cuarta

34. (a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2ac
+ 2bc
Trinomio al cuadrado