El documento introduce conceptos básicos de álgebra como letras para representar cantidades desconocidas, notación científica, historia del álgebra desde las civilizaciones antiguas hasta su desarrollo en la edad media, y operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división. Explica las propiedades y reglas de estas operaciones con ejemplos. También cubre temas como términos semejantes, lenguaje algebraico y signos de agrupación.

1. INTRODUCCION AL ALGEBRAEs la rama de las matemáticas que estudia la cantidad considerada del modo mas posible.El concepto de la cantidad en algebra es mucho mas amplio que en aritmética las cantidades se representan por números y estos expresan valores determinados. En algebra para logara la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales se pueden representar todos los valores así a representar el valor que nosotros le asignemos.

2. NOTACION CIENTIFICAEs la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo mas general posible.

3. HISTORIA DEL ALGEBRA La historia del álgebra, como en general la de la matemática, comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios, por su parte, resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. También fueron capaces de resolver algunas ecuaciones indeterminadas

4. En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Esta álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio.

5. LENGUAJE ALGEBRAICOEl lenguaje algebraico utiliza letras en combinación con números y signos y además las trata con números en operaciones y propiedades se llama lenguaje algebraico. El lenguaje es mas preciso que el lenguaje numérico permite expresar relaciones y propiedades numéricas.Si queremos representar la mitad de un numero seria: X/2

6. Ocho menos algún otro numero: 8-X Para representar el doble de la suma de dos números seria: 2 (A+B) La Resta de tres números: A-B-C

7. LEY DE SIGNOSPar indicar las operaciones algebraicas fundamentales (adición sustracción multiplicación y división).Se emplea en general los mismos signos de aritmética la regla de signos para multiplicar es la siguienteMas por mas= a masMenos por menos= a masMenos por mas= a menos Mas por menos= a menos

8. SIGNOS DE AGRUPACIONRecordemos siempre que cuando delante de un numero no hay signo se entiende que su signo es positivo.Los distintos signos de agrupación estos son los paréntesis los corchetes y las llaves aunque también puedan encontrarse en uso las barras verticales. ( ) [ ] {}

9. Colocar el signo positivo garantiza que las cantidades que ingresan no reciben alteración algunaEsto se lleva acabo colocando el signo positivo delante del signo de agrupación izquierdo y dentro se quedan los números con su signo sin agrupación.

10. Términos semejantesSe llaman términos semejantes aquellos que tienen la misma o las mismas literales y están elevados a la misma potencia.Ejemplo: 7a² y 3a²Son términos semejantes. 10a² y 4b No son términos semejantes

11. RESTA ALGEBRAICA O SUSTRACCION La resta algebraica es la operación binaria que tiene como objetivo hallar un sumando desconocido Se dice finalizado o completa si todos los términos semejantes entre minuendo y sustraendo han sido totalmente simplificados.Ejemplo: -3a² 5a² = -2a²

12. PROPIEDAD DE CERRADURA: la resta o diferencia de dos polinomios dará como resultado otro polinomio.NO HAY PROPIEDAD CONMUTATIVA: el orden de minuendo y sustraendosi altera el resultado de la RESTA.Sean A y B dos polinomios, entonces se cumple que A-B¹B-ANO HAY PROPIEDAD ASOCIATIVA: la resta solo puede hacerse entre dos polinomios

13. Suma o adición algebraica La suma algebraica es la operación binaria que tiene como objetivo el reunir dos o mas sumas (expresiones algebraicas) es una sola expresión llamada suma o adición Se dice finalizada la operación cuando todos los términos semejantes han sido simplificados correctamente.

14. PROPIEDAD DE CERRADURA.La suma de dos o mas polinomios dará como resultado otro polinomio PROPIEDAD CONMUTATIVA.El orden de los sumandos no afecta el resultado de la suma sean a y b dos polinomios entonces se cumple que. A+B= AB. PROPIEDAD ASOCIATIVA: sean A,B,C entonces será. (A+B)+C = A+(B+C)

15. PROPIEDAD NEUTRO O ADITIVO: Al sumarse con otro polinomio no lo altera este neutro es el 0 sean A y 0 se cumple. A+0 = A PROPIEDAD INVERSO ADICTIVO: sean A y –A polinomios que son inversos aditivos entre si entonces será. A + (-A) = 0

16. MULTIPLICACIONPara la multiplicación algebraica se mantienen las mismas leyes que para la multiplicación aritmética, las cuales son el producto de dos o más potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de las potencias.(xm) (xn) = xm + n el coeficiente del producto de dos o más expresiones algebraicas es igual al producto de los coeficientes de los factores.(4x) (5y) = 4 · 5 · x · y = 20xy

17. La multiplicación también cumple la propiedad asociativa, que consiste en que, para tres números cualquiera x, y, z, se cumple:(x·y)z = x(y·z) En la notación algebraica, los paréntesis indican que las operaciones dentro de los mismos deben ser realizadas con preferencia a cualquier otra operación.Por ejemplo:(8×3)×2 = 8×(3×2) 24×2 = 8×6 48 = 48

18. MULTIPLICACION DE MONIMIOSSe le llama multiplicación de monomios a la multiplicación de un solo término por otro término Reglas:Se multiplica él termino del multiplicando por él termino del multiplicador.Se suman los exponentes de las literales iguales.Se escriben las literales diferentes en un solo término resultado.Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente.

19. Propiedad distributivaLa multiplicación también tiene lo que se llama propiedad distributiva con la suma, porque:x.(y + z) = x.y + x.z Asimismo:(x + t).(y + z) = x(y + z) + t(y + z) = xy + xz + ty + tz 9x(3+5)= (9x3)+(9x5)27+45=72Elemento neutroEs de interés saber que cualquier número multiplicado por 1 es igual a sí mismo.Ejemplo: 1·x = xes decir, la multiplicación tiene un elemento neutro que es el 1

20. MULTIPLICACION DE POLINOMIOSMultiplicación de monomios con polinomiosSe le llama multiplicación de monomios con polinomios cuando un solo factor se encuentra multiplicando a un polinomioReglas:Se multiplica el término del monomio por cada término del polinomio, sumando los exponentes de las literales iguales.Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormenteSe encuentra la suma algebraica de los productos parciales.

21. Multiplicación de un número por un polinomioPropiedad conmutativaUtilizando esta definición, es fácil demostrar algunas propiedades interesantes de la multiplicación. Como indican los dos primeros ejemplos, el orden en que se multiplican dos números es irrelevante, lo que se conoce como propiedad conmutativa, y se cumple en general para dos números cualquieraxe y: x·y = y· x

22. MULTIPLICACION SUCECIVASProducto continuado de polinomios.Es cuando son más de dos los polinomios a multiplicar.ProcedimientoSe efectúa la multiplicación de dos factores cualquiera Se multiplica el resultado de la operación anterior con el tercer factor y así se sigue sucesivamente.Ejemplo z(5 – z)(z + 2)(z - 9)Lo desarrollaremos de dos maneras Primera forma (factor por factor)

23. Supresión de signos de agrupación con productos indicadosCuando un signo de agrupación tenga coeficiente que no sea 1 (que se sobreentiende si no tiene coeficiente), hay que multiplicar todos los términos encerrados en ese signo de agrupación por ese coeficiente, aplicando siempre la regla de los signos y se suprime dicho signo de agrupación.Ejemplo-(x + y)[-3(a + 3b + 7)] = (- x - y)(- 3a - 9b - 21)

24. DIVISION ALGEBRAICAEs la operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores dividendo y uno de los factores divisor encontrar otro factor llamado cociente:D = d · CDonde: D es el Dividendo (producto de los factores “d” y “C”) d es el divisor (factor conocido) C es el cociente (factor desconocido)Los factores “D”, “d” y “C” pueden ser números, monomios o polinomios.

25. REGLAS PARA DIVIDIR Si el resultado es negativo si la cantidad de factores negativos es impar, de lo contrario es positivo.PARA LOS COEFICIENTES el coeficiente del cociente es el cociente de dividir el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. mx ÷ nxy = (m ÷ n)(x ÷ xy) PARA LAS POTENCIAS : la división de dos o más potencias de la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de las potencias. resulta útil y cómodo colocar la división como una expresión fraccionaria.