Material didáctico de apoyo, para desarrollar el tema de los conjuntos, originalmente lo diseñé para desarrollar la temática correspondiente al área de matemática en el primer grado de secundaria, pero también puede utilizarse en el nivel primario.

1. UNIDAD I
CONJUNTOS
EUGENIO MARLON EVARISTO
BORJA
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
Bienvenidos a nuestra
Primera Unidad
Nuestro tema transversal
es Identidad Institucional
y Nacional

2. DIVERSIFICACIÓN
CAPACIDADES
Razonamientoy demostración
• Demuestra y verifica el uso operaciones con
conjuntos.
Comunicación Matemática
• Describe y utiliza Noción de conjunto.
Determinación de conjuntos.
• Describe y utiliza las Relaciones y operaciones
entre conjuntos.
• Describe y utiliza los Diagramas de clasificación y
organización de información cuantitativa (Venn.).
• Representa de diversas formas la dependencia
funcional entre variables: verbal, tablas, gráficos,
etc.
Resolución de problemas
• Resuelve problemas con las relaciones y
operaciones entre conjuntos.
• Resuelve problemas de contexto real y matemático
que implican la organización de datos utilizando
conjuntos.
CONOCIMIENTOS
Funciones
• Noción de dependencia, función,
variables dependientes e independientes.
• Representación tabular y gráfica de
funciones.
• Dominio y rango de funciones lineales.
Relaciones lógicas y conjuntos
• Noción de conjunto. Determinación de
conjuntos.
• Relaciones y operaciones entre
conjuntos.
• Diagramas de clasificación y
organización de información
cuantitativa (Venn, Carroll, cuadros
numéricos, etc.)
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.

3. ÍNDICE
• CONJUNTO
– Definición.
– Representación de conjuntos.
– Relación de pertenencia.
– Determinación de conjuntos.
– Clases de conjuntos.
– Relación entre conjuntos –
Inclusión.
– Relación entre conjuntos –
Igualdad.
– Conjuntos especiales –
Conjunto Universal.
– Conjuntos especiales –
Conjunto Potencia.
• Operaciones entre entre
conjuntos.
– Unión.
– Intersección.
– Diferencia.
– Diferencia Simétrica.
– Complemento.
– Producto Cartesiano.
• Funciones.
– Definición.
– Dominio y Rango.
– Variable Independiente y
Dependiente.
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.

4. CONJUNTO
Un conjunto es una colección
de objetos que tienen
características en común.
Cada objeto de
un conjunto se
llama elemento.
Escribir 5 ejemplos
de conjuntos en
nuestra sociedad.
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
Ejemplo: Conjunto de vocales
Conjunto de tortas

5. NOTACIÓN DE CONJUNTO
Diagrama de Venn Euler
A={a, e, i, o, u}
Los conjuntos se nombran con
letras mayúsculas:
A, B, C, D ……….
Se puede representar
por medio de diagramas
o entre llaves.
Cuando se representa entre llaves se
separan con comas y en el caso de
números se separan con punto y coma.
Cuando se representa en diagramas es
necesario que lleven un punto en el
lado izquierdo.
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.

6. CONJUNTO
Ejemplo:
Ejemplo:
B={1, 3, 5, 7, 9}
C
C={pato, gallo, pollo}
Escribir 5 ejemplos de
conjunto gráficamente
y entre llaves.
Aquí algunos ejemplos
de conjuntos.
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.

7. RELACION DE PERTENENCIA
Ejemplo:
B={1, 3, 5, 7, 9}
C
C={pato, gallo, pollo}
La relación de pertenencia se
establece de elementos a
conjunto.
•1 Є A
•3 Є A
•5 Є A
•7 Є A
•9 Є A
•11 ∉ A
•13 ∉ A
•15 ∉ A
•gallo Є A
•pollo Є A
•pato Є A
•zorro ∉ A
Se lee:
El elemento 1 pertenece al conjunto A.
El elemento 15 no pertenece al conjunto A.
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8. DETERMINACIÓN DE
CONJUNTOS
POR EXTENSIÓN
• Un conjunto se representa
por extensión cuando se
enumera uno a uno cada
uno de sus elementos.
POR COMPRENSIÓN
• Un conjunto se determina
por comprensión cuando se
recurre a una propiedad que
caracteriza todos sus
elementos.
A={a, e, i, o, u}
A={las vocales} ó
A={x/x es una vocal}
B={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} B={los números dígitos} ó
B={x/x Є N <10}
¿Cuántas formas de
determinar conjuntos hay?
Existen 2: Por Extensión y
Por Comprensión
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9. DETERMINACIÓN DE
CONJUNTOS
POR EXTENSIÓN
• A={x/x Є N, x es impar y x≤11}
• B={x/x Є N, x es impar y 2<x≤9}
• C={x/x es una vocal fuerte}
• D={x/x es un mes con cinco letras}
• E={x/x Є N, múltiplo de 5 y 10≤x ≤30 }
POR COMPRENSIÓN
• A={1; 3; 5; 7; 9; 11}
• B={3; 5; 7; 9}
• C={a, e, o}
• D={enero, marzo, abril, junio, julio}
• E={10; 15; 20; 25; 30}
Por Comprensión:
F={1; 2; 3; 4; 5; 6}
G={gato, tigre, león, leopardo}
H={7; 14; 21; 28; 35}
I={Pinta, Niña, Santa María}
J={55, 66, 77, 88, 99}
Por Extensión:
K={x/x Є N, x es un número par 5<x<11}
L={x/x es un ave domestico}
M={x/x es un planeta del sistema solar}
N={x/x Є N , x es un numero primo <13}
O={x/x es una consonante}
Aquí tienen algunos ejemplos de
determinación de conjuntos.
Determinar los siguientes conjuntos:
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10. CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS
¿Cuántos clases de conjuntos existen?
Existen 4 y son los que se
muestran en la tabla
Conjuntos Por extensión Por comprensión Características
Finito A={a, e, i, o, u} A={x/x es vocal} Se puede enumerar
todos sus elementos.
Infinito B={0;1;2;3;4;…} B={x/x ∈ ℕ} No se puede terminar
de enumerar todos los
elementos.
Vacio C={ } = Ø C={x/x ∈ ℕ ∧ 1<x<2} No tiene elementos.
Unitario D={3} D={x/x ∈ ℕ ∧ 2<x<4} Tiene un único
elemento.
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11. RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS
• B={1; 2; 3; 4; 5}
• C={1; 3; 5}
• D={2; 4; 6}
• E={6; 7; 8; 9}
INCLUSIÓN
1. C ⊂ B
2. D ⊄ B
3. B ⊂ B
4. C ⊂ C
5. B ⊄ E
¿A qué se llama
relación de Inclusión?
Se dice que un conjunto esta
incluido en otro si todo
elemento del primero es
también elemento del segundo.
.2
.4
.1
.3
.5
C
B
1) .1 .2
.3
.4 .5
B
3)
.2 .4 .6
.1
.3
.5
B
D
2)
.1
.3
.5
C
4) .1 .2
.3
.4 .5
B .6
.7
.8
.9
E5)
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12. RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS
Simbólicamente: A ⊂ B ⇔ ∀ x, x ∈ A ⇒ x ∈ B
Se escribe Se lee
A ⊂ B A esta incluido en B
A es subconjunto de B
A ⊄ C A no esta incluido en C
A no es subconjunto de C
C ⊄ B C no esta incluido en B
C no es subconjunto de B
Propiedades de la inclusión
Reflexiva: Todo conjunto esta incluido en si mismo A ⊂ A
Transitiva: Si A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C
Cuando un conjunto esta incluido en otro se
dice también que es subconjunto del otro.
.d .e
B
.a .b
.c
A
.i
.o
.u
C
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13. Simbólicamente:
A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A
RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS
• B={b; 2; 3; d; 5}
• C={d; 3; 5; b; 2}
IGUALDAD DE CONJUNTOS
¿A qué se llama
Igualdad de conjuntos?
Se dice que dos conjuntos son
iguales si tienen exactamente
los mismos elementos.
• D={χ; ψ; ω; σ}
• E={ω; χ; ψ; σ}
.b .2
.3
.d .5
B
C
E
D
.ω .χ
.ψ .σ
B=C D=C
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14. CONJUNTOS ESPECIALES
¿Cuántas clases de conjuntos
especiales existen?
Son dos y son los siguientes:
• U={plantas}
• F={flores}
• V={verduras}
• R={rosas}
CONJUNTO UNIVERSAL (U)
O referencial es aquel que se
fija de antemano e incluye a
todos los elementos que están
en discusión.
U
flores
F
rosas
R verduras
V
F⊂U, V⊂U, R⊂F, R⊂U
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15. CONJUNTOS ESPECIALES
¿Y que es un conjunto
potencia?
• Sea el conjunto:
• A={pan, queso}
• Donald cuenta con alimentos del conjunto A entonces
podemos formar 4 subconjuntos que muestran la manera de
comer sus alimentos.
• P(A)={{pan},{queso},{pan, queso}, ninguna de las dos}
CONJUNTO POTENCIA P(A)
Es aquel que está constituido
por todos los subconjuntos que
es posible formar con los
elementos del conjunto A.
Cantidad de elementos de P(A)=cantidad
de subconjuntos de A=n[P(A)]=2n(A)
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16. La unión de dos conjuntos A y B,
es el conjunto formado por todos
los elementos que pertenecen a
A o a B o a ambos
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
• Sean los conjuntos:
• A={1; 2; 3; 4; 5}
• B={1; 3; 5}
• C={2; 4; 6}
• D={3; 4; 5}
Unión (U) de conjuntos
¿Cuáles son las operaciones
entre conjuntos?
Existen 6 y son las
siguientes:
.1 .2
.3
.4 .5
A
B
A ∪ B
A ∪ B={1; 2; 3; 4; 5} C ∪ D={2; 3; 4; 5; 6}
.3
.5
C D
.2 .4
.6
C∪ D
.1
.3
.5
B
.2
.4
.6
C
B ∪ C
B ∪ C={1; 3; 5; 2; 4; 6}
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17. La intersección de dos conjuntos
A y B, es el conjunto formado por
todos los elementos que
pertenecen a A y a B y a ambos.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
• Sean los conjuntos:
• A={1; 2; 3; 4; 5}
• B={1; 3; 5}
• C={2; 4; 6}
• D={3; 4; 5}
Intersección (∩) de conjuntos
¿Cuál es la segunda
Operación entre conjuntos?
La segunda es la
Intersección
.1 .2
.3
.4 .5
A
.1 .2
.3B
A ∩ B
A ∩ B={1; 2; 3} C ∩ D={4}
.1
.3
.5
B
.2
.4
.6
C
B ∩ C
B ∩ C={ }
.6
.2
.3
.5
.4
C D
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
C ∩ D

18. La diferencia de dos conjuntos A
y B, es el conjunto formado por
todos los elementos que
pertenecen a A y no a B.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
• Sean los conjuntos:
• A={1; 2; 3; 4; 5}
• B={1; 3; 5}
• C={2; 4; 6}
• D={3; 4; 5}
Diferencia (-) de conjuntos
¿Cuál es la tercera
Operación entre conjuntos?
La tercera es la
Diferencia
.1 .2
.3
.4 .5
A
.1 .2
.3B
A - B
A - B={4; 5} C - D={6; 2; 3; 5}
.1
.3
.5
B
.2
.4
.6
C
B - C
B - C={1; 3; 5}
.6
.2
.3
.5
.4
C D
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
C - D

19. La diferencia simétrica de dos
conjuntos A y B, es el conjunto
formado por todos los elementos que
pertenecen a A y B. Pero no a ambos.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
• Sean los conjuntos:
• A={1; 2; 3; 4; 5}
• B={1; 3; 5}
• C={2; 4; 6}
• D={3; 4; 5}
Diferencia Simétrica (∆) de conjuntos
¿Cuál es la cuarta
Operación entre conjuntos?
La cuarta operación es
la Diferencia simétrica
.1 .2
.3
.4 .5
A
.1 .2
.3B
A ∆ B
A ∆ B={4; 5} C∆D={6; 2; 3; 5}
.1
.3
.5
B
.2
.4
.6
C
B ∆ C
B∆C={1; 3; 5; 2; 4; 6 }
.6
.2
.3
.5
.4
C D
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
C ∆ D

20. El complemento de un conjunto A’ ,
es el conjunto formado por todos
los elementos del conjunto
universal U que no pertenecen a A .
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
• Sean los conjuntos:
• U={1; 2; 3; 4; 5,6}
• A={1; 3; 5}
• B={2; 4; 6}
• C={3; 4; 5}
Complemento (’) de conjuntos
¿Cuál es la quinta
Operación entre conjuntos?
La quinta operación es
el Complemento
.2 .4 .6
U
.1 .5
.3
A
A’
A’={2; 4; 6} C’={1; 2; 6}
B’={2; 4; 6 }
.1 .2 .6
C .3 .4
.5
U
C’
.2
.4
.6
.1
.3
.5
B
B’
U
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21. El producto cartesiano de los
conjuntos A y B es un conjunto de
pares ordenados (x, y) tal que x ∈
A ∧ y ∈ B.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
• Sean los conjuntos:
• B={2; 4; 6}
• C={3; 5; 7}
Producto Cartesiano (x) de conjuntos
¿Cuál es la sexta Operación
entre conjuntos?
La sexta operación es el
Producto Cartesiano.
.2
.4
.6
B
.3
.5
.7
C
B x C
B x C={(2;3),(2;5),(2;7),(4;3),(4;5),(4;7),(6;3),(6;5),(6;7)}
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22. FUNCIONES: Definición.
• Sean los conjuntos: A={2; 4; 6} B={3; 5; 7}
¿Qué es una función?
La función es una
correspondencia entre
dos conjuntos
ƒ1={(2;3),(4;5),(6;7)}
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
.2
.4
.6
A
.3
.5
.7
B
Dominio Rango
.2
.4
.6
A
.3
.5
.7
B
Dominio Rango
•Un conjunto A llamado conjunto de partida o dominio
•Un conjunto B llamado conjunto de llegada o rango.
•Una regla que asigna a cada elemento de A un único elemento de B.
ƒ2={(2;3),(4;5),(6;7)}
.2
.4
.6
A
.3
.5
.7
B
Dominio Rango
No es una función
.2
.4
.6
A
.3
.5
.7
B
Dominio Rango
No es una función

23. FUNCIONES: Dominio y Rango.
• Sean los conjuntos:
• A={a; b; c}
• B={β; γ; δ}
¿Qué es el Dominio y Rango
de una función?
La función es una
correspondencia entre
dos conjuntos
ƒ1={(a;β),(b;γ),(c;δ)}
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
.a
.b
.c
A
.β
.γ
.δ
B
Dominio Rango
.a
.b
.c
A
.β
.γ
.δ
B
Dominio Rango
•Dado una función ƒ de A en B:
•El dominio de ƒ esta formado por todos los elementos de A.
•El Rango de ƒ esta formado por subconjunto de B.
ƒ2 ={(a; γ),(b;γ),(c; γ)}

24. FUNCIONES: Variable dependiente e
independiente.
¿Cuántas clases de variable
existe en una función?
Existen 2:
•Variable dependiente.
•Variable independiente.
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
•Una función ƒ : A => B
•La variable x representa cualquier valor del dominio y se llama
variable independiente.
•Los valores que tome la variable “y” dependen de los valores que
tome x, por lo que se denomina variable dependiente.
.x
A
y= ƒ(x)
B
V. Ind. V. Depen.
ƒ
(x,y) o (x, ƒ(x))
V. Ind. V. Depen. V. Ind. V. Depen.

25. FUNCIONES: Variable dependiente e
independiente.
¿Cómo se determina el valor de
la variable dependiente?
El valor de la V. dep. esta
en función de la variable
independiente.
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
•La función es
ƒ={(1;2),(2;3),(3;4),(4;5)}
• Sean los conjuntos:
• A={1; 2; 3; 4}
• B={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
Se define la función
ƒ : AB por el criterio y = x+1
Solución
Sabemos que ƒ(x) = y = x+1
Esto es ƒ(x)= x+1;
reemplazamos en x los elementos de A
ƒ(1)=1+1=2
ƒ(2)=2+1=3
ƒ(3)=3+1=4
ƒ(4)=4+1=5