El documento presenta varios ejemplos resueltos sobre independencia lineal de vectores. En el Ejemplo 1, se muestra que el conjunto de polinomios {p1(x), p2(x), p3(x)} es linealmente independiente. En el Ejemplo 2, se determina si el conjunto de vectores {u, v, w} en R3 es linealmente independiente o no. En el Ejemplo 3, se encuentran los valores de c para los que el conjunto {u, v, w} es linealmente dependiente.

1. ´Algebra Lineal VII: Independencia Lineal.
Problemas Resueltos.
Jos´e Mar´ıa Rico Mart´ınez
Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica
Facultad de Ingenier´ıa Mec´anica El´ectrica y Electr´onica
Universidad de Guanajuato
email: jrico@salamanca.ugto.mx
En esta secci´on se presentan algunos problemas resueltos acerca de la independencia lineal de vectores.
Ejemplo 1. Determine si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes o no.
1. Muestre que el conjunto de polinomios, del espacio vectorial real P3
(x), definidos por
p1(x) = x3
, p2(x) = (x − 1)3
, p3(x) = (x − 2)3
,
forman un conjunto linealmente independiente.1
Solucion: Considere la ecuaci´on vectorial
λ1 p1(x) + λ2 p2(x) + λ3 p3(x) = z(x)
expandiendo la ecuaci´on
λ1 x3
+ λ2 (x3
− 3 x2
+ 3 x − 1) + λ3 (x3
− 6 x2
+ 12 x − 8) = 0 + 0 x + 0 x2
+ 0 x3
,
se tiene que el sistema de ecuaciones resultante est´a dado por
1 λ1 + 1 λ2 + 1 λ3 = 0
0 λ1 − 3 λ2 − 6 λ3 = 0
0 λ1 + 3 λ2 + 12 λ3 = 0
0 λ1 − 1 λ2 − 8 λ2 = 0
La matriz aumentada en su forma original y en los sucesivos pasos de escalonamiento est´an dadas
por
M0 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 1 1 0
0 −3 −6 0
0 3 12 0
0 −1 −8 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
M1 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 1 1 0
0 1 8 0
0 −3 −6 0
0 3 12 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
M2 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 1 1 0
0 1 8 0
0 0 18 0
0 0 −12 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Evidentemente, el sistema de ecuaciones tiene una ´unica soluci´on, la trivial, y el conjunto formado
por
{p1(x), p2(x), p3(x)}
es linealmente independiente.
1Tomado de Messer, R. Linear Algebra: Gateway to Mathematics, New York: Harper Collins, [1994].
1

2. 2. Considere el conjunto S1 = {p1(t), p2(t)} del espacio vectorial P2
(t), de polinomios de grado menor
o igual a 2.
p1(t) = 2t2
+ 4t − 3 p2(t) = 4t2
+ 8t − 6.
Determine si el conjunto S1 es o no linealmente independiente.
3. Considere el conjunto S1 = {p1(t), p2(t)} del espacio vectorial P2
(t), de polinomios de grado menor
o igual a 2.
p1(t) = 2t2
− 3t + 4 p2(t) = 4t2
− 3t + 2.
Determine si el conjunto S1 es o no linealmente independiente.
4. Considere el conjunto S1 = {M1, M2} del espacio vectorial M2×3
, de matrices de 2 filas y 3 columnas
M1 =
1 3 −4
5 0 −1
M2 =
−4 −12 16
−20 0 4
Determine si el conjunto S1 es o no linealmente independiente.
5. Considere el conjunto S1 = {M1, M2, M3, M4} del espacio vectorial M2×2
, de matrices de 2 filas y
2 columnas
M1 =
1 0
2 1
M2 =
2 3
3 2
M3 =
2 1
5 3
M4 =
3 c
3 2
Determine el valor de c ∈ R para que el conjunto S1 sea linealmente dependiente.
Ejemplo 2. Determine si el siguiente conjunto de vectores, S = {u, v, w} del espacio vectorial R3
, de
triadas ordenadas de n´umeros reales sobre el campo, R, de n´umeros reales es o no linealmente indepen-
diente.
u = (1, 1, 2), v = (2, 3, 1) w = (4, 5, 5)
Ejemplo 3. Determine los valores de c ∈ R para que el siguiente conjunto de vectores, S = {u, v, w}
del espacio vectorial R3
, de triadas ordenadas de n´umeros reales sobre el campo, R, de n´umeros reales
sea linealmente dependiente.
u = (1, −1, 2), v = (2, 3, 4) w = (4, c, 5)
Ejemplo 4. Determine si el conjunto S ⊂ F(−∞, +∞) es o no linealmente independiente, donde
S = {f(t) = sin(t), g(t) = cos(t), h(t) = t}
Ejemplo 5. Determine si el conjunto S ⊂ F(−∞, +∞) es o no linealmente independiente, donde
S = {f(t) = cos(2t), g(t) = cos2
(t), h(t) = 1}
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