1. HIPÉRBOLA
Mag. Ing. Riquelmer Vásquez Domínguez
Lima 2020
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
2. INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES
Definición:
Sean {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4,……….,𝑣𝑛} un conjunto de vectores ; ʎ1, ʎ2,
ʎ3, ʎ4,………., ʎ𝑛 escalares y sea la ecuación:
ʎ1𝑣1 + ʎ2𝑣2 + ʎ3𝑣3 + ʎ4𝑣4 +………. +ʎ𝑛𝑣𝑛=0
Existe la solución trivial: ʎ1 = ʎ2 = ʎ3= ʎ4 =………. = ʎ𝑛=0 .
Si solamente existiera la solución trivial y no existiera otra
solución , entonces {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4,……….,𝑣𝑛} se denominan
linealmente independientes, en caso contrario se llamarían
vectores linealmente dependientes.
3. Ejemplo: Averiguar si 𝑎 =(2,3) , 𝑏=(1,3) y 𝑐=( -2,-6) son
vectores linealmente independientes
Resolución:
n𝑎 +t𝑏 + r𝑐 = 0
n(2,3)+t(1,3) + r(-2,-6)=(0,0)
2n+ t-2r=0
3n+3t -6r =0
n=0
t=2k
r= k
Por tanto 𝑎 =(2,3)no es
una combinación lineal
de 𝑏=(1,3) y 𝑐=( -2,-6)
Donde k pertenece a los reales
4. n𝑎 + t𝑏 + r𝑐 = 0
n(2,3) + t(1,3) + r(-2,-6) =(0,0)
2n+ t-2r=0
3n+3t -6r =0
n=0
t=2k
r= k
Donde k pertenece a los reales
Solución={(0,0,0);(0,2,1);(0,6,3);(0,8,4),…………}
𝑎 =(2,3) , 𝑏=(1,3) y 𝑐=( -2,-6) no son vectores
linealmente independientes
Solución={(0,2k,k)/ kϵ R}
Por comprensión:
Por tanto:
5. PUNTO DE DIVISIÓN
Mag. Ing. Riquelmer Vásquez Domínguez
Lima 2020
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
6. PUNTO DE DIVISIÓN DE UN
SEGMENTO
Definición: Sea el segmento AB , y L la recta que la contiene, entonces cualquier
punto ubicado en la recta L se denomina punto de división del segmento
AB.
A
B
L
P
T
Q
Ejemplo:
Los puntos P, Q y T serían puntos de
división de AB
9. Demostración de la primera propiedad:
A
B
P
0
𝐵
𝑃
𝐴
m
n
m+n
r=
𝑚
𝑛
OAP :
𝑃 𝑃 = 𝐴 + 𝐴𝑃
Pero: 𝐴𝑃= t 𝐴𝐵
………(1)
………(2)
Reemplazando 2 en 1 :
𝑃 = 𝐴 + t𝐴𝐵
𝑃 = 𝐴 + t(𝐵- 𝐴)
𝑃 = 𝐴 + t(𝐵- 𝐴)
𝑃 = (1-t)𝐴 + t𝐵 ………(3)
10. 𝑃=
𝐴+ 𝑟𝐵
1+𝑟
Calculo de t:
De la ecuación 2: 𝐴𝑃= t 𝐴𝐵
/𝐴𝑃/= t /𝐴𝐵/
m= t (m+n)
t =m/ (m+n)
t =
(m/n)
(m/n+n/n)
t =
𝑟
(r+1)
Pero:
𝑚
𝑛
=r, ento nces:
………(4)
Reemplazando 4 en 3 :
𝑃 = (1-
𝑟
(r+1)
)𝐴 +
𝑟
(r+1)
𝐵
𝑃 = (
1
(r+1)
)𝐴 +
𝑟
(r+1)
𝐵
𝑃 =
1
(r+1)
(𝐴 + r𝐵)
Lqqd.
Dividiendo entre n se tiene :
11. A
B
L
Demostración de la segunda Propiedad
0
𝐵
𝑄
𝐴
n
m
𝑄=
𝐴+ 𝑟𝐵
1+𝑟
r= -
𝑚
𝑛
Q
OAQ : 𝑄= 𝐴 + 𝐴𝑄
Pero: 𝐴𝑄= t 𝐴𝐵
………(1)
………(2)
Reemplazando (2) en (1) :
𝑄 = 𝐴 + t𝐴𝐵
𝑄 = 𝐴 + t(𝐵- 𝐴)
𝑄 = 𝐴 + t(𝐵- 𝐴)
𝑃 = (1-t)𝐴 + t𝐵 ………(3)
12. Calculo de t:
De la ecuación 2: 𝐴𝑄= t 𝐴𝐵
/𝐴𝑄/= t /𝐴𝐵/
m= t (m-n)
t =m/ (m-n)
t =
(m/n)
(m/n−n/n)
t =
−𝑟
(−r−1)
Pero: −
𝑚
𝑛
=r, entonces:
………(4)
Dividiendo entre n se tiene :
t =
𝑟
(r+1)
13. CONCLUSIÓN:
r es positivo cuando el punto de división está en el segmento
r es negativo cuando el punto de división está fuera del segmento
𝑄=
𝐴+ 𝑟𝐵
1+𝑟
Reemplazando (4) en (3) :
𝑄= (1-
𝑟
(r+1)
)𝐴 +
𝑟
(r+1)
𝐵
𝑄 = (
1
(r+1)
)𝐴 +
𝑟
(r+1)
𝐵
𝑄 =
1
(r+1)
(𝐴 + r𝐵)
Lqqd.
14. Cuando el punto de división está en el segmento, r > 0
Cuando el punto de división está fuera del segmento, r < 0
Dicho de otra manera la conclusión:
Convención:
F divide a 𝑀𝑁 en una razón
1
3
M
N
F
t
3t
17. CHICOS, A PARTIR DE AQUÍ COLOCAN SU PARTE DE
ANALÍTICA, CADA SUBTEMA COLOCAN EN UNA
DIAPOSITIVA APARTE DE TÍTULO Y POSTERIORMENTE SU
PARTE TEÓRICA Y EJEMPLOS(misma letra indicada).
MUCHAS GRACIAS
Los quiero :3
