Este documento describe las características de las funciones cuadráticas y cómo graficarlas. Explica que una función cuadrática tiene la forma Y = AX^2 + BX + C, y describe los pasos para determinar la orientación, intersecciones con los ejes, eje de simetría y vértice. Luego, resuelve gráficamente tres ejemplos de funciones cuadráticas.

1. Luis Gonzalo Revelo Pabón 25
Dpto. de Matemáticas - Goretti
FUNCION CUADRATICA.
2
Se llama función cuadrática a la función: Y = AX + BX + C, donde A, B y C son números reales y el coe-
ficiente A 0.
Dónde:
Y: Variable Dependiente
X: Variable independiente.
2
AX : Coeficiente cuadrático.
BX: Coeficiente lineal.
C: Termino independiente.
La función cuadrática representa en el plano cartesiano, una gráfica llamada Parábola.
2
CARACTERISTICAS DEL GRAFICO DE LA FUNCION CUADRATICA: Y = AX + BX + C.
Paso 1.- ORIENTACIÓN O CONCAVIDAD
Una primera característica de la parábola es la orientación o concavidad
- Si el coeficiente A es positivo (A>0), entonces las ramas o brazos de la parábola se dirigen hacia arriba
(Parábola Cóncava).
- Si el coeficiente A es negativo (A<0), entonces las ramas o brazos de la parábola se dirigen hacia abajo
(Parábola Convexa).
Paso 2.- INTERSECCESION CON EL EJE Y
Para encontrar el punto de corte de la Parábola con el eje Y, hacemos X= 0, en la ecuación cuadrática:
2
Y = AX + BX + C. Para obtener
Y=C
Por lo tanto el punto de corte de la parábola con el eje Y es el coeficiente C.
Paso 3.- INTERSECCESION CON EL EJE X
Para encontrar el punto de corte de la Parábola con el eje X, hacemos Y= 0, en la ecuación cuadrática:
2
Y = AX + BX + C. Para obtener
2
AX + BX + C = 0 Resolvemos la ecuación cuadrática, mediante la expresión algebraica:
√
2
B -4AC: Discriminante
 SI > 0, (Es positivo) entonces la Parábola corta al eje X, en dos puntos X1, X2.

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 SI = 0, entonces la Parábola corta al eje X, en UN SOLO punto X1 = X2.
 SI < 0, (Es negativo) entonces la Parábola NO corta al eje X.
Paso 4.- EJE DE SIMETRIA
Los puntos de la Parábola son simétricos con relación a la línea recta X= (Se lo obtiene cuando el
discriminante vale cero).
Paso 5.- VERTICE (V)
El vértice V(x, y) es el punto más alto o más bajo de la Parábola y está definido por la siguiente expresión
algebraica:
V(x, y) = ( ( ))
 Si el coeficiente A es positivo (A>0), entonces el vértice de la parábola es mínimo.
 Si el coeficiente A es negativo (A<0), entonces el vértice de la parábola es máximo.

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RESUMIENDO:
Para dibujar la gráfica de una función cuadrática, debemos tener en cuenta los siguientes datos:
La orientación, la intersección con el eje y, la intersección con el eje x, el eje de simetría, y el vértice. Así:
Paso 1 1.) Si A>0, entonces las ramas o brazos de la parábola están dirigidos
Orientación o Concavidad hacia arriba
2.) Si A<0, entonces las ramas o brazos de la parábola están dirigidos
hacia abajo.
Paso 2 La parábola corta al eje Y en Y = C
Intersección con el eje Y
Paso 3 √
Intersección con el eje X
2
B -4AC: discriminante.
 Si el discriminante es un número positivo, entonces la parábola corta
al eje X, en dos puntos X1 y X2.
 Si el discriminante es un número cero, entonces la parábola corta al
eje X, en Un punto X1 = X2.
 Si el discriminante es un número negativo, entonces la parábola NO
corta al eje X.
Paso 4
Eje de Simetría
Paso 5
Vértice V(x,y)= ( ( ))
EJERCICIOS RESUELTOS.
Graficar en el plano cartesiano, las siguientes ecuaciones cuadráticas.
2
A. Y = -X +2X + 15
2
B. Y = X - 4X +4
2
C. Y = X -4X + 6
Solución:
2 2
A. Y = -X + 2X + 15 al comparar con la función Y=AX + BX + C se deduce que: {
Paso 1.- ORIENTACIÓN O CONCAVIDAD
- Como el coeficiente A es un numero negativo (A = -1), entonces las ramas o brazos de la parábola se
dirigen hacia abajo (Parábola Convexa).
Paso 2.- INTERSECCESION CON EL EJE Y
Para encontrar el punto de corte de la Parábola con el eje Y, hacemos X= 0, en la ecuación cuadrática:
2
Y = -X + 2X + 15. Para obtener
Y = 15.
Paso 3.- INTERSECCESION CON EL EJE X
Para encontrar el punto de corte de la Parábola con el eje X, hacemos Y= 0, en la ecuación cuadrática:
2
Y = -X + 2X + 15. Para obtener
2 2
-X + 2X + 15 = 0 al comparar con AX + BX + C = 0 se deduce que: {
Resolvemos la ecuación cuadrática, mediante la expresión algebraica:
√

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Remplazamos:
√
√
√
Como el Discriminante 64, es positivo, entonces la Parábola corta al eje X, en dos puntos X1, X2.
A saber:
Paso 4.- EJE DE SIMETRIA
Los puntos de la Parábola son simétricos con relación a la línea recta X= remplazamos:
X=
Paso 5.- VERTICE (V)
El vértice V(x, y) es el punto más alto o más bajo de la Parábola y está definido por la siguiente expresión
algebraica:
V(x, y) = ( ( ))
Remplazamos
V(x,y) = ( ( )) = V(1, = V(1,16)
Como el coeficiente A es negativo (A=-1), entonces el vértice de la parábola es máximo.
Gráfico:

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2
B . Y = X - 4X +4
2 2
Y = X - 4X +4 al comparar con la función Y=AX + BX + C se deduce que: {
Paso 1.- ORIENTACIÓN O CONCAVIDAD
- Como el coeficiente A es un numero positivo (A = 1), entonces las ramas o brazos de la parábola se
dirigen hacia arriba (Parábola Cóncava).
Paso 2.- INTERSECCESION CON EL EJE Y
Para encontrar el punto de corte de la Parábola con el eje Y, hacemos X= 0, en la ecuación cuadrática:
2
Y = X - 4X +4. Para obtener
Y = 4.
Paso 3.- INTERSECCESION CON EL EJE X
Para encontrar el punto de corte de la Parábola con el eje X, hacemos Y= 0, en la ecuación cuadrática:
2
Y = X - 4X +4 Para obtener
2 2
X - 4X +4 = 0 al comparar con AX + BX + C = 0 se deduce que: {
Resolvemos la ecuación cuadrática, mediante la expresión algebraica:
√
Remplazamos:
√
√
√
Como el Discriminante 0, entonces la Parábola corta al eje X, en un solo punto X1 =X2. A sa-
ber:
Paso 4.- EJE DE SIMETRIA
Los puntos de la Parábola son simétricos con relación a la línea recta X= remplazamos:
X=
Paso 5.- VERTICE (V)
El vértice V(x, y) es el punto más alto o más bajo de la Parábola y está definido por la siguiente expresión
algebraica:
V(x, y) = ( ( ))
Remplazamos

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V(x,y) = ( ( )) = V(2, = V(2,0)
Como el coeficiente A es positivo (A= 1), entonces el vértice de la parábola es mínimo.
Gráfico:
2
B. Y = X -4X + 6
2 2
Y = x - 4x + 6 al comparar con la función Y=AX + BX + C se deduce que: {
Paso 1.- ORIENTACIÓN O CONCAVIDAD
- Como el coeficiente A es un numero positivo (A = 1), entonces las ramas o brazos de la parábola se
dirigen hacia arriba (Parábola Cóncava).
Paso 2.- INTERSECCESION CON EL EJE Y
Para encontrar el punto de corte de la Parábola con el eje Y, hacemos X= 0, en la ecuación cuadrática:
2
Y = X - 4X +6. Para obtener
Y = 6.
Paso 3.- INTERSECCESION CON EL EJE X
Para encontrar el punto de corte de la Parábola con el eje X, hacemos Y= 0, en la ecuación cuadrática:
2
Y = X - 4X +6 Para obtener
2 2
X - 4X +6 = 0 al comparar con AX + BX + C = 0 se deduce que: {
Resolvemos la ecuación cuadrática, mediante la expresión algebraica:
√

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Remplazamos:
√
√
√
Como el Discriminante = -8, es negativo, entonces la Parábola corta al eje X, NO corta al eje X.
Paso 4.- EJE DE SIMETRIA
Los puntos de la Parábola son simétricos con relación a la línea recta X= remplazamos:
X=
Paso 5.- VERTICE (V)
El vértice V(x, y) es el punto más alto o más bajo de la Parábola y está definido por la siguiente expresión
algebraica:
V(x, y) = ( ( ))
Remplazamos
V(x, y) = ( ( )) = V (2, = V (2,2)
Como el coeficiente A es positivo (A= 1), entonces el vértice de la parábola es mínimo.
Gráfico:

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EJERCICIO
Graficar las siguientes funciones:
1.) Y = X2 - 4X - 5 5.) Y = 4X2 – 12X + 9
2.) Y = -3X2 -11X + 4 6.) Y = -X2 + 4
3.) Y = -X2 +X + 2 7) Y= -X2 +4X
4.) Y = -X2 -10X - 25 8.) Y = -2X2