Este documento introduce conceptos básicos sobre grupos simétricos. Explica que un grupo simétrico Sn es el conjunto de todas las permutaciones de un conjunto finito de n elementos. Propone una notación compacta para representar permutaciones mediante una tabla de n números que muestran la imagen de cada elemento. También explica cómo calcular el producto de dos permutaciones utilizando esta notación. Finalmente, plantea algunos problemas sobre cálculos con permutaciones utilizando esta representación.

21. 1.3 Funciones o aplicaciones (mapeos) 13
DEMOSTRACIOSNe. verifica una de ellas. Si r E T, entonces (fo f -')(I)=
f( f -I([)). Pero ique es f -I(()? Por definicion, f -I(() es aquel elemento so E
S tal que t = f(so). iCuil es el so E S tal iue f(so) = f(s)? Claramente resulta
que so es el propio s. De esta manera f( f -'(t)) = f(so) = r. En otras palabras,
(f 0 f -l)(t) = I para todo t E T; por lo tanto f 0 f -I = iT, la aplicacion iden-tidad
en T.
Se deja a1 lector la demostracion del ultimo resultado de esta seccion.
LEMA 1.3.5. Si f: S + T e iT es la aplicacion identidad de T en si
mismo e is es la deS sobre si mismo, entonces iT 0 f = f y f 0 is = f.
PROBLEMAS 1.3
1. Para 10s S, T indicados, determinese sif: S + T define una aplicacion; si no,
expliquese por que.
(a) S = conjunto de las mujeres, T = conjunto de 10s hombres, f(s) =
esposo de s.
(b) S = conjunto de 10s enteros positivos, T = S, f(s) = s - 1.
. (c) S = conjunto de 10s enteros positivos, T = conjunto de 10s enteros no
negativos, f(s) = s - 1.
(d) S = conjunto de 10s enteros no negativos, T = S, f(s) = s - 1.
(e) S = conjunto de 10s enteros, T = S, f(s) = s - 1.
(f) S = conjunto de 10s numeros reales, T = S, f(s) = &.
(g) S = conjunto de 10s numeros reales positivos, T = S, f(s) = &.
2. En aquellas partes del Problema 1 en donde f define una funcion, deter-minese
si ista es inyectiva, suprayectiva o ambas cosas.
3. Si f es una aplicacion inyectiva de S sobre T, pruebese que f -' es una apli-cacion
inyectiva de T sobre S.
4. Si f es una aplicacion inyectiva de S sobre T, pruebese que f-I = is.
5. Dese una demostracion de la Observacion que sigue a1 Lema 1.3.2.
6.Sif:S- Tessuprayectivayg: T+ Uyh: T- Usontalesquegof =
h 0 f, pruebese que g = h.
7. Si g: S + ~:h: S + T, y si f: T + U es inyectiva, demuistrese que si f 0
g = f 0 h, entonces g =' h.
8. Sean S el conjunto de 10s enteros y T = (1, -I}; definase f: S + T como
f(s) = 1 si s es par, f(s) = -1 si s es impar.

22. 14 CAPRULO 1 * TEMAS FUNDAMENTALES
(a) Determinese si esto define una funcion de S en T.
(b) Demuestrese que f (s, + s2)= f(s, )f (s2). LQUd~ic e esto acerca de 10s
enteros?
(c) Determinese si tambien es cierto que f(s,s,) = f(s,) f (s2).
9. Sea S el conjunto de 10s numeros reales. Definansef: S + S por f(s) = s2,
y g: S+ S por g(s) = s + 1.
(a) Obtener f 0 g. .
(b) Obtener g 0 f.
(c) ~Esf0.g = go f?
10. Sea S el conjunto de 10s numeros reales y para a, b E S, donde a f 0; de-finase
fu,b(~=) as +- b.
(a) Demuestrese que faSb 0 fc,d = fu,,, para ciertos u, v reales. Dense valores
explicitos para u, v en terminos de a, b, c y d.
(b) iEs fo,b o fc,d = fc,d o forb siempre?
(c) Hallar todas las forb tales que f,,* f,., = f,., o f,,b.
(d) Demuestrese que f0>' existe y encuentrese su forma.
11. Sea S el conjunto de 10s enteros positivos. Definasef: S + S mediante f(1) =
2, f(2) = 3, f (3) = 1, y f (s) = s para cualquier otro s E S. Demuestrese
que f 0 f 0 f = is. ;Cud es f-I en este caso?
12. Sea S el conjunto de 10s numeros racionales no negativos, esto es, S =
{m/nlm, n enteros, n r" 0), y sea T el conjunto de 10s enteros.
(a) Determinese si f: S T dada por f(m/n) = 2'"3" dcfine una funcion
valida de S en T.
(b) Si no es funcion, jc6m0 se podria modificar la definicion de f para
obtener una funcion valida?
13. Sea S el conjunto de 10s enteros positivos de la forma 2"3", donde rn > 0,
n > 0, y T el conjunto de 10s ntimeros racionales. Definase f: S + T por
f(2"'3") = m/n. Pruebese que f define una funciCln de S en T. (;En que
propiedades de 10s enteros se basa esto?)
14. Definasef: S -+ S, donde S es el conjunto de 10s enteros, mediantef(s) =
as + b, donde a, b son enteros. Determinense condiciones necesarias y su-ficientes
para a, b de tal manera que f 0 f = is.
15. Hallar todas las f de la forma dada en el Problema 14 tales que f 0 f 0 f =
1s.
16. Si f es una aplicacion inyectiva ds S sobre si mismo, demuestrese que
(f -')-I = f.

117. .? EL GRUPO
" SIMETRICO
Recordemos un teorema de grupos abstractos demostrado en el Capitulo 2. Di-cho
resultado, conocido como teorema de Cayley (Teorema 2.5. I), afirma que
todo grupo G es isomorfo a un subgrupo de A(S), el conjunto de las aplicacio-nes
inyectivas del conjunto S sobre si mismo, para algun S apropiado. En reali-dad,
en la demostraci6n que dimos se utiliz6 como S el mismo grupo G
considerado simplemente como un conjunto.
HistQicamente, 10s grupos se originaron primer0 de esta manera, mucho
antes de que fuera definido el concepto de grupo abstracto. En 10s trabajos de
Lagrange, Abel, Galois y otros, encontramos resultados sobre grupos de per-mutaciones
que fueron demostrados a finales del siglo XVIIIy a principios del
XIX. Sin embargo, no fue sino hasta mediados del siglo XIX que Cayley introdujo
mAs o menos el concepto abstracto de grupo.
Puesto que la estructura de grupos isomorfos es la misma, el teorema de
Cayley seiiala un cierto cardcter universal de 10s grupos A(S). Si conocitramos
la estructura de todos 10s subgrupos de A (S) para cualquier conjunto S, cono-ceriamos
la estructura de todos 10s grupos. Esto seria demasiado pedir. No obs-
% tante, se podria intentar explotar este empotramiento de tip0 isomorfo de un
grupo arbitrario G dentro de algun A(S). Lo anterior tiene la ventaja de trans-formar
G como un sistema abstracto en-algo mds concreto, a saber, un con-junto
de aplicaciones precisas de algun conjunto sobre si mismo.
No nos ocuparemos de 10s subgrupos de A(S) para un conjunto arbitrario

118. 110 CANTULO 3 EL GRUPO SlMiTRlCO
S. Si S es infinito, A (S) resulta ser un objeto muy "arisco" y complicado. Aun
en el caso de que S sea finito, la naturaleza completa de A(S) es virtualmente
imposible de determinar.
En este capitulo se considera solamente A (S) para un conjunto S finito. Re-cuirdese
que si S tiene n elementos, entonces A(S) se llama grupo simktrico de
grado n, y se denota con S,,. Los elementos de S,, se llaman permutaciones; se
denotaran con letras griegas minusculas.
Dado que dos elementos a, T E A(S) se multiplican por medio de la regla
(uT)(s) = u(T(s)); Csta tendra el efecto de que cuando se introduzcan simbolos
apropiados para representar 10s elementos de S,,, dichos simbolos, o permuta-ciones,
se multiplicaran de derecha a izquierda. Si 10s lectores consultan algun
otro libro de algebra, deben asegurarse de la manera en que se estkn multipli-cando
las permutaciones: de derecha a izquierda o de izquierda a derecha. Con
mucha frecuencia, 10s algebristas multiplican permutaciones de izquierda a de-recha.
Para ser consistentes con nuestra definicion de composicion de elemen-tos
de S,,, lo haremos de derecha a izquierda.
Por el teorema de Cayley se sabe que si G es un grupo finito de orden n,
entonces G es isomorfo a un subgrupo de S,, y S,, tiene n! elementos. Vagamen-te
hablando, se dice normalmente que G es un subgrupo de S,,. Puesto que n
es mucho mas pequeiio que n! aun cuando n sea modestamente grande, el gru-po
ocupa tan solo un pequeiio rinconcito de S,,. Seria deseable meter a G
en un S,, con el menor n posible. Esto es factible para ciertas clases de grupos
finitos.
Sea S un conjunto finito de n elementos; se puede suponer que S =
{x,, x2, . . . , x,}. Dada la permutacion a E S,, = A (S), entonces a(xk) E S para
k = 1, 2, . . . , n, de manera que a(xk) = xik para algun ik, 1 I ik I n. Como
a es inyectiva, si j # k, entonces xi/ = a(x,) # a(xk) = xi*; por lo tanto, 10s
numeros i,, i2, . . . , in son simplemente 10s numeros 1, 2, . . . , n acomodados
en algun orden.
Evidentemente, la acci6n de a en S se determina por lo que a hace a1 subin-dice
j de xi, asi que el simbolo "x" sale sobrando y se puede descartar. En for-ma
breve, se puede suponer que S = { 1, 2, . . . , n}.
Recordemos lo que se entiende por producto de dos elementos de A (S). Si
a, T E A (S), se defini6 UT por (ar)(s) = a(r(s)) para todo s E S. En la Seccion
1.4 del Capitulo 1 se demostro que A(S) satisface cuatro propiedades que
se utilizaron posteriormente como modelo para definir el concept0 de grupo abs-tracto.
Asi que S,,, en particular, es un grupo relativo a1 producto de apli-caciones.
Lo primer0 que se necesita es una manera practica para denotar una per-mutation,
es decir, un elemento a de S,,. Una manera clara es hacer una tabla
que muestre lo que a hace a cada una de 10s elementos de S. ~stpao dria
llamarse grafica de a. Ya se hizo esto anteriormente, a1 expresar a, diga-mos
a E S3, en la forma: a: xl + x2, x2 + x3, x3 + xl; per0 resulta inc6modo
y consume espacio. Desde luego se puede hacer mas compacta eliminando las

119. 3.1 Preliminares 111
x y escribiendo i: 3, . En este simbolo el nlimero que se encuentra 3 1
en el segundo renglon es la imagen con respecto a a del niimero que se encuentra
en el primer renglon directamente sobre 61. En todo esto no hay nada en es-pecial
acerca del 3; funciona igual de bien para cualquier n.
Si a E Sn y a(1) = i,, a(2) = iz, . . . , a(n) = in, se emplea el simbolo
Observese que no es necesario escribir el primer renglon, en el orden usual
1 2 n; de cualquier manera que se escriba el primer renglon, mientras
10s i, se lleven consigo como corresponde, se tiene todavia a. Por ejemplo, en
el caso citado de S3,
2 . . .
Si se sabe que a = ... n, , ja que es igual a-'? Es fhcil,
i,,
simplemente inviertase el simbolo de o y se obtiene o--' =
(PruCbese.) En el ejemplo n
El elemento identidad -que sera expresado como e- es simplemente e =
(: 2 . . . 2 .a. n
jC6m0 se traduce el producto de Sn en terminos de estos simbolos? Dado
que UT significa: "apliquese primer0 T y a1 resultado apliquese a", a1 formar
el producto de 10s simbolos de a y T se examina el numero k del primer ren-glon
de T y se ve que numero ik esta directamente abajo de k en la segunda
fila de T. 1,uego se observa el lugar de ik en el primer renglon de a y se ve
que se encuentra directamente abajo de 61 en el segundo renglon de a. Esta es
la imagen de k respecto a or. Luego se pasa por k = 1, 2, . . . , n y se obtiene
el simbolo para UT. Esto se realiza a simple vista.
Se ilustra lo anterior con dos permutaciones
es S,. Entonces UT = 2 3 4
La economia lograda de esta manera no es suficiente a6n. DespuCs de todo,
el primer renglon es siempre 1 2 . . n, asi que se podria omitir y escribir
1 2 -..
= (i, i2 ... como (i,, i2, . . . , in). En la siguiente seccion se
encontrara una forma mejor y mas breve de representar permutaciones.

120. 112 CAP~T~I3L O EL GRUPO SIM~TRICO
PROBLEMAS 3.1
1. Determinar 10s productos.
2. Calculense todas las potencias de cada permutacion (es decir, evaluar
ak para todo k).
1 2 ... - 1
3. Prutbese que l2 "' ... 2 ... n
4. Encukntrese el orden de cada uno de 10s elementos del Problema 2.
5. Encutntrese el orden de 10s productos obtenidos en el Problema 1.
Continuarnos el proceso de simplificaci6n de la notacion empleada para repre-sentar
una permutacion dada. A1 hacerlo, se obtiene algo mhs que un mero sim-bolo
nuevo; se obtiene un mecanismo para descomponer cualquier permutaci6n
como un product0 de permutaciones particularmente c6modas.
DEFINICI~NS. ean i,, i2, . . ., ik, k enteros dis'tintos en S =
(1, 2, . . . , n). El simbolo (i, i2 - - . ik) representarh la permutacibn
a E S,, donde a(il) = i2, u(i2) = -4, . . ., a(ij) = ij+l para j < k,
a(ik) = i,, y a(s) = s para cualquier s E S si s # i,, i2, . . . , ik.
Por consiguiente, en S, la permutacion (1 3 5 4) es la permutacion

121. 3.2 Descomposicion en ciclos 113
(;;:;::7 7). Una permutacidn de la forma (i, i2 ik)
se llama ciclo de orden k o k-ciclo. Para el caso especial k = 2, la permutach
(i, i2) se llama transposicidn. Obstrvese que si a = (i, i2 . . . ik), entonces
a es igualmente (ik i, i2 - - . ik (i ik il i2 . . - ik-2), y asi su-cesivamente.
(PruCbese.) Por ejemplo,
Dados dos ciclos, digamos un k-ciclo y un m-ciclo, se dice que son ciclos
disjuntos o ajenos si no tienen ningun entero en comun. De donde (1 3 5)
y (4 2 6 7) son ciclos ajenos en S,.
os ajenos en S,, afirmamos que conmutan. La demostraci6n
de ello se deja a1 lector, con la sugerencia de que si a, 7 son ciclos ajenos, se
debe verificai que (os)(i) = (sa)(i) para todo i E S = { 1,2, . . . , n}. Expresa-mos
este resultado como
LEMA 3.2.1. -S--i . a, 7 E S,, son ciclos ajenos, entonces a7 = 70.
Consideremos un k-ciclo particular a = (1 2 - . k) en S,. Evidente-mente,
a(1) = 2 por la definici6n dada anteriormente; jc6m0 se relaciona 3
con l? Puesto que a(2) = 3, se tiene a2(l) = a(2) = 3. Continuando, se ve
que aJ(2) = j + 1 para j I k - 1, mientras que a k(l) = 1. En realidad,
se ve que ak = e, donde e es el elemento identidad de S,.
Hay dos cosas que se concluyen del parrafo anterior.
1. El orden de un k-ciclo, como elemento de S,, es k. (Prutbese.)
2. Si a = (il i2 - . ik) es un k-ciclo, entonces la drbita de i,, respecto a a
(vCase el Problema 27 de la Secci6n 1.4 del Capitulo 1) es {i,, i2, . . . , ik}.
De mod0 que es posible advertir que el k-ciclo a = (i, i2 . . - ik) es
a = (i, a(i,) a2 ji,) . . . ak-'(i,)).
Dada cualquier permutaci6n 7 en S, para i E (1, 2, . . ., n}, con-sidtrese
la erbita de i respecto a 7; entonces tenemos que dicha drbita es
{i, 7(i), r2(i), . . . 7'-'(i)}, donde rS(i) = i y s es el menor entero positivo con
esta propiedad. ConsidCrese el s-ciclo (i 7(i) r2(i) . . 7'-'(i)); se le
llama ciclo de 7 determinado por i.
Se considera un ejemplo especifico y se encuentran todos sus ciclos. Sea
jcual es el ciclo de 7 determinado por l? Afirmamos que es (1 3 4). jPor
quC? 7 lleva a1 1 hacia 3, a1 3 hacia 4 y a1 4 hacia 1, y puesto que 7 (1) = 3,

122. 114 CAP~TUL3O EL GRlIPO SIMETRICO
r2(1) = ~(3)= 4, r3(l) = ~(4)= 1. Esto se puede obtener visualmente zigza-gueando
entre lineas
por medio del trazo punteado. LCual es el ciclo de 7 determinado por 2? Zigza-gueando
segun la linea punteada, se ve que el ciclo de 7 determinado por 2 es (2 9 8 7).
Los ciclos de 7 determinados por 5 y 6 son (5) y (6), respectivamente, ya que
~dejafij os a 5 y 6. Asi que 10s ciclos de 7son (1 3 4), (2 9 8 7), (5)
y (6). Por lo tanto se tiene que 7 = (1 3 4)(2 9 8 7)(5)(6), donde se
consideraron estos ciclos -definidos anteriormente- como permutaciones en
S9 porque todo entero en S = (1, 2, . . . , 9) aparece en uno, y solamente en
un ciclo y la imagen de cualquier i respecto a 7 se lee en el ciclo en que aparece.
La permutacion 7 anterior, con la cual se llevo a cab0 el razonamiento que
se dio, no reviste nada en especial. El mismo razonamiento seria valido para
cualquier permutacion en S, y para cualquier n. Se deja a1 lector la redaccion
formal de la demostracion.
TEOREMA 3.2.2. T--o da permutation en S, es el product~d e ciclos
ajenos.
A1 expresar una permutacion a como un producto de ciclos ajenos, se omi-ten
todos 10s ciclos de orden 1; es decir, se ignoran 10s i tales que a(i) = i. De
esta manera a = (1 2 3)(4 5) en S, es la forma en la que se escribiria a =
(1 2 3)(4 5)(6)(7). En otras palabras, a1 escribir a como un producto
de k-ciclos, con k > 1, se supone que o deja fijo a cualquier entero que no
este presente en ninguno de 10s ciclos. Asi que en el grupo Sll la permutacion
7 = (1 5 6)(2 3 -9 8 7) deja fijos a1 4, 10 y 11.
LCual es el orden de un k-ciclo como elemento de S,? Afirmamos que es
k. Tambikn aqui se deja la demostracion a1 lector.
LEMA 3.2.3. -S-i 7. es un k-ciclo en S,, entonces el orden de 7 es If;
-e sto es, rk = e y 7j # e para 0 < j < k. -,-
Considkrese la permutacion 7 = (1 2)(3 4 5 6)(7 8 9) en S9. ~Cual
es su orden? Puesto que 10s ciclos ajenos (1 2), (3 4 5 6), (7 8 9) con-mutan,
7" = (1 2)"'(3 4 5 6)"(7 - 8 9)"; para que 7" = e se requie-re
(12)" = e, (3 4 5 6)" = e, (7 8 9)" = e. (PruCbese.) Para que
(7 8 9)" = e, se debe tener que 3 )m, ya que (7 8 9) es de orden 3; para
que (3 4 5 6)" = e, se debe tener que 41 m, porque (3 4 5 6) es de or- ,

123. 3.2 Descomposicion en ciclos 115
den 4, y para que (1 2)'" = e, se debe tener que 21m, porque (1 2) es
de orden 2. Esto dice que m debe ser divisible entre 12. Por otra parte,
De manera que 7 es de orden 12.
De nueva cuenta aqui no entran en escena las propiedades especiales de 7.
Lo que se hizo para 7 funciona para cualquier permutacion. Se prueba
TEOREMA 3.2.4. -Su p-b ngase que a E S,,t iene descomposici6n cicli-ca
en ciclos ajenos de longitud ml, m2, . . . , m,. Entonces el orden .*d-- e
zs" -e l'minimo comlin multiplo de m, , m2, . . . , mk,
DEMOSTRAC16N. Sea a = 717~ . . 7k, donde 10s ri son ciclos ajenos de longi-tud
mi. Puesto que 10s ri son ciclos ajenos, rirj = rjri; por lo tanto si M es el
minimo comun multiplo de m,, m2, . . . , m,, entonces aM = . . - 7k)M =
7f"7P - - - 7p = e (ya que 7y = e debido a que 7, es de orden mi y mi(M). Por
consiguiente, el orden de a es a lo sumo M. Por otra parte, si aN = e, entonces
ry7F - . . 7: = e; esto obliga a que cada riN = e (pruebese) porque las
ri son permutaciones ajenas, por lo tanto mil N, ya que ri es de orden mi. De
manera que N es divisible por el minimo comun multiplo de m,, m,, . . . , m,,
asi que MI N. Por consiguiente, se ve que a es de orden M como se afirma en
el teorema.
Notese que es imperativo que en el teorema los ciclos Sean ajenos. Por
ejemplo, (1 2) y (1 3), que no son ajenos, son cada uno de orden 2, per0
su product0 (1 2)(1 3) = (1 3 2) es de orden 3.
Consideremos el Teorema 3.2.4 en el context0 de un acomodo de naipes.
Sup6ngase que un conjunto de 13 cartas se acomoda de tal manera que la carta
de arriba se coloca en la posicidn de la tercera, la segunda en la de la cuarta,
. . . , la i-esima en la posicion i + 2, trabajando en mod 13. Considerado
como una permutacion, a, de 1, 2, . . . , 13; el acomodo se convierte en
y a es simplemente el 13-ciclo (1 3 5 7 9 11 13 2 4 6 8 10 12),
asi que a es de orden 13. ~Cuantavse ces se debe realizar el acomodo para vol-ver
las cartas a su orden original? La respuesta es sencillamente el orden de a,
es decir, 13. De manera que se requiere realizar 13 veces el acomodo para vol-ver
las cartas a su posicion inicial.
Modifiquemos el acomodo anterior. supongase que las cartas se acomodan
como sigue. Se toma primer0 la carta superior y se coloca en el penultimo lugar
y luego se aplica el acomodo descrito anteriormente. ~Cuantavse ces se requiere

124. 146 CAP~ULO3 EL GRUPOS IM~RICO
ahora realizar el nuevo acomodo para volver las cartas a su posici6n original?
La primera operaci6n es el acomodo expresado por la permutaci6n 7 =
(1 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2) seguida la a de antes. Asi que
se debe calcular a7 y encontrar su orden. Pero
por lo tanto es de orden 12. De manera que se requiere realizar 12 veces el aco-mod0
para que las cartas vuelvan a su orden inicial.
iSe puede encontrar un acomodo de las 13 cartas que requiera de 42 reali-zaciones,
o de 20? ~QuCac omodo requeriria el mayor numero de realizaciones
y cud seria dicho numero?
Regresamos a la discusi6n general. Considtrese la permutacion (1 2 3);
se ve que (1 2 3) = (1 3)(1 2). TambiCn se puede ver que (1 2 3) =
(2 3)(1 3). Asi que dos cosas son evidentes. Primero, se puede escribir
(1 2 3) como el producto de dos transposiciones, y en a1 menos dos ma-neras
distintas. Dado el k-ciclo (i,i2 . - . ik), entonces (il i2 - - . ik) =
(i, ik)(il i) - ( i i2), asi que todo k-ciclo es el producto de k transpo-siciones
(si k > 1) y se puede realizar de varias maneras, no de manera unica.
Como toda permutaci6n es el producto de ciclos ajenos y todo ciclo es un pro-ducto
de transposiciones, se tiene
TEOREMA 3.2.5. T-"o. d- a permutaci6n en S, es el product0 de transpo--
sic ionnes.
Realmente este teorema no es de sorprender ya que, desputs de todo, dice
precisamente que cualquier permutaci6n se puede efectuar realizando una serie
de intercambios de dos objetos en cada ocasi6n.
Vimos que no hay unicidad en la representaci6n de una permutaci6n dada
como producto de transposiciones. Sin embargo, como se verd en la Secci6n
3.3, algunos aspectos de dicha descomposici6n son en efecto unicos.
PROBLEMAS 3.2
1. DemuCstrese que si a, 7 son dos ciclos ajenos, entonces a7 = 70.
2. Hallar la descomposicion en ciclos y el orden.

125. 3.2 Descomposici6n en ciclos
3. ExprCsese como producto de ciclos ajenos y encuCntrese el orden.
(a) (1 2 3 5 7)(2 4 7 6).
(b) (12)(13)(14).
(c) (1 2 3 4 5)(1 2 3 4 6)(1 2 3 4 7).
(d)(l 2 3)(1 3 2).
(e) (1 2 3)(3 5 7 9)(1 2 3)-l.
(f) (1 2 3 4 5)3.
4. Formula una demostraci6n completa del Teorema 3.2.2.
5. Demutstrese que un k-ciclo tiene orden k.
6. Encutntrese un acomodo de un juego de 13 naipes que requiera 42 realiza-ciones
para regresar las cartas a su orden original.
7. Resutlvase el problema anterior para un acomodo que requiera 20 realiza-ciones.
8. Exprtsense las permutaciones del Problema 3 como producto de transposi-ciones.
9. Dadas las dos transposiciones (1 2) y (1 3), encutntrese una permutacibn
a tal que a(1 2)a-' = (1 3).
10. PruCbese que no existe ninguna permutacibn o tal que a(1 2)a-' =
(1 2 3).
11. Demostrar que existe una permutaci6n a tal que a(1 2 3)a-' = (4 5 6).
12. Prutbese que no existe ninguna permutacion a tal que a(1 2 3)a-' =
(1 2 4)(5 6 7).
13. Prutbese que (1 2) no se puede expresar como producto de 3-ciclos ajenos.
14. Prutbese que para cualquier permutaci6n a, a7a-' es una transposici6n si
7 lo es.

126. 118 CAP~TUL3O EL GRUPO SIM h~lC0
15. Demukstrese que si T es un k-ciclo, entonces arc-' es tambitn un k-ciclo,
para cualquier permutacibn a.
16. Sea un automorfismo de S3. Demutstrese que existe un elemento a E S3
tal que @(T) = U-~TU para toda T E S3.
17. Considtrense (1 2) y (1 2 3 . - n) en S,. DemuCstrese que cualquier
subgrupo de S, que contenga a estas dos permutaciones debe ser igual a to-do
S, (asi que dichas permutaciones generan S,).
18. Si T, y 7, son dos transposiciones, demuestrese que 7172 se puede expresar
como producto de 3-ciclos (no necesariamente ajenos).
19. PruCbese que si 71, 72 y T~ son transposiciones, entonces 717273 Z e, el
elemento identidad de S,.
20. Si T,, 72 son transposiciones distintas, demutstrese que 7172 es de orden 2
0 3.
21. Si a, 7 son dos permutaciones que rio tienen simbolos en comun y UT = e,
pruebese que a = T = e.
22. Determinar un algoritmo para obtener UTU-I para permutaciones cuales-quiera
a, T de S,.
23. Sean a, T dos permutaciones tales que ambas tienen descomposiciones en
ciclos ajenos de longitudes m,, m2, . . . , mk. (En tal caso se dice que
tienen descomposiciones semejantes en ciclos ajenos.) Prutbese que para al-guna
permutaci6n p, T = pap -I.
24. Encutntrese la clase de conjugaci6n en S, de (1 2 . . - n). ~Cuiels el
orden del centralizador de (1 2 . . . n) en S,?
25. ResuClvase el problema anterior para a = (1 2)(3 4).
3.3 PERMUTACIONEISM PARES Y PARES
En la Seccion 3.2 se observo que aunque toda permutaci6n es el producto
de transposiciones, esta descomposici6n no es unica. Sin embargo, se co-mento
que ciertos aspectos de esta clase de descomposici6n son unicos. Ahora
se examina esto a fondo.
Consideremos el caso especial de S3, ya que aqui se puede ver todo explici-tamente.
Sea f (x) = (x, - x2)(xl - x3)(x2 - x3) una expresion en las tres va-riables
xl, x2, x3. Hacemos que S3 actue sobre f(x) como sigue. Si a E S3,
entonces
Se examina lo que a* hace a f (x) para unas cuantas de las a en S3.

127. 3.3 Permutaciones impares y pares 119
ConsidCrese a = (1 2); entonces a(1) = 2, a(2) = 1, y a(3) = 3, de tal
manera que
Asique a*, queproviene de a = (1 2), cambia el signo de f (x). Examinemos
la acci6n de otro elemento, T = (1 2 3), de S3 en f (x). De mod0 que
y entonces T*, queproviene de T = (1 2 3), no altera el signo de f (x). ~QuC
hay respecto a las otras permutaciones en S3?, ~COa~feOcta n a f (x)? Desde
luego, el elemento identidad e induce una aplicacion e* en f (x) que no alte-ra
a f (x) en absoluto. iC6m0 afecta T~d,ad a T como antes, a f (x)? Puesto
que ~*(fx ) = f (x), se ve de inmediato que
ConsidCrese ahora a7 = (1 2)(1 2 3) = (2 3); dado que T no altera a f (x)
y a cambia el signo de f (x), a7 debe cambiar el signo de f (x). De manera seme-jante,
(1 3) cambia el signo de f (x . Se ha explicado asi la acci6n de cada ele-mento
de S3 sobre f (x).
Sup6ngase que p E S3 es un pr jducto p = 7172 . rk de transposiciones
TI, . . . , T~e;nt onces a1 actuar p sotlre f (x) el signo de f ( x ) cambiari k veces,
ya que cada ri cambia dicho signo. Por lo tanto, p*(f (x)) = (-l)kf(x). Si
p = u1u2 - . u,, donde al, . . . , a, son transposiciones, razonando del mismo
mod0 entonces n* (f (x)) = (-1)'f (x). Por consiguiente, (-l)k f (x) =
(-1)'f (x), de donde (-1)' = (-l)k. Esto dice que t y k tienen la mismaparidad;
es decir, si t es impar, entonces k debe ser impar, y si t es par, entonces k debe
ser par.
Lo anterior sugiere que aunque la descomposici6n de una permutaci6n da-da
a como un product0 de transposiciones no es unica, la paridad del nrimerg
d- e transposic-i.o nes en una de tales~desco-m posicionesd e a podria ser rinica.

128. 120 CAP~TULO3 r EL GRUPO SIM~RICO
Procuraremos ahora este resultado, sugiriendo a 10s lectores que lleven a
cab0 el razonarniento que se hace para n arbitrario, para el caso especial n = 4.
Como se hizo anteriormente, sea
X .-. (x2 - x,) ... (x,-~ - X,)
donde en este producto i asume todos 10s valores desde 1 hasta n - 1 inclusive,
y j todos aqukllos desde 2 hasta n inclusive. Si a E S,, definase a* sobre
f (x) mediante
Si a, T E S,, entonces
Asi que (or)* = a*r* cuando se aplica a f (x).
~QuCha ce una transposici6n T a f (x)? Afirmamos que T *( f (x)) = -f (x).
Para probarlo, suponiendo que T = (i j) donde i < j, contamos el numero
de (xu - x,), con u < v, que son transformados en un (x, - xb) con a > b.
Esto sucede para (xu - xi) si i < u < j, para (xi - x,) si i < v < j, y final-mente,
para (xi - x,). Cada uno de ellos conduce a un cambio de signo en f (x)
y puesto que hay 2(j - i - 1 ) + 1 de tales, es decir, un numero impar de ellos,
se obtiene un numero impar de cambios de signo en f(x) cuando sobre
este valor actua T*. De manera que T*( f (x)) = -f (x). Por lo tanto nuestra
afirmaci6n de que T *(f (x)) = -f (x) para toda transposici6n 7, queda justi-ficada.
Si a es cualquier permutaci6n en S,, y a = 7172 rk, donde T,, 7, . . . , tk
son transposiciones, entonces a * = (~~7. .2 - rk)* = T 1*T2* . . . T/: cuando
actua sobre f (x), y puesto que cada r,*(f (x)) = -f (x), se Ve que a *(f (x)) =
(-l)v(x). De manera semejante, si a = r1r2 . . . C,, donde r1, r2, . . . , ft son
transposiciones, entonces a *( f (x)) = (-l)'f(x). Comparando estas dos evalua-ciones
de a *( f (x) ) , se concluye que (- 1) = (- 1) '. De manera que estas dos
descomposiciones de a como producto de transposiciones son de la misma pari-dad.
&r-coekuieete, cualquier permutacidn e~elp~o~~-d_ec e-_ntu~moe ro im-par
de transposiciones o b-i-e n el product0 de un ntimero par de transposiciones,
y- ningti-n pr o-d -u _"ct o-deo n n t_i_ m_ e__r o_ par de tramposici~nespuedes er i&al a un pre -- -- -- - --
duct0 de gn -numero imparedeetransposicione_s.

129. 3.3 Permutaciones impares y pares 121
Lo anterior sugiere la siguiente
DEFINICI~NU. na permutaci6n a E S, es una p&mutacidn impar si
a es el producto de un numero impar de transposiciones, y es una per-mutacidn
par si o es el producto de un numero par de transposiciones.
Lo que hemos probado anteriormente es
TEOREMA 3.3.1. -U--n a- permutaci6n en S, es bien sea una permuta-c-
i.6...n impar o bien par, per0 no puede se-r ambas.
Con el apoyo del Teorema 3.3.1 se pueden deducir varias de sus conse-cuencias.
Sea A, el conjunto de todas las permutaciones pares; si a, 7 E A,, enton-ces
se tiene de inmediato que a7 E A,. Puesto que de esta manera A, es un sub-conjunto
cerrado finito del grupo (finito) s,, A, es un subgrupo de s,, por el
Lema 2.3.2. A, se llama grupo alternante de grado n.
Se puede demostrar que A, es un subgrupo de S, de otra manera. Ya vi-mos
que A,, es cerrado respecto al producto de S,, asi que para saber que A,
es un subgrupo de S, se requiere simplemente demostrar que a E S, implica que
a-' E S,. Afirmamos que para cualquier permutaci6n a, a y a-I son de la mis-ma
paridad. LPor qud? Bien, si a = 7172 s s - 7k, donde las ri son transposicio-nes,
entonces
ya que 7,~'= 7i; por lo tanto, se observa que la paridad de a y a-I es (-l)k,
asi que son de igual paridad. Esto demuestra desde luego que a E A, implica
que a-I E A,, de donde A, es un subgrupo de S,.
Pero ello prueba un poco mAs, a saber, que A, es un subgrupo normal
de S,. Porque sup6ngase que a E A, y p E S,. ~CUeAs la paridad de -p -'up?
Por lo anterior, p y p -' son de la misma paridad y a es una permutaci6n par
asi que p-laap es una permutaci6n par, por consiguiente estA en A,. De mane-ra
que A, es un subgrupo normal de s,.
Resumimos lo efectuado en el
TEOREMA 3.3.2. -E-l grupo alternante A d-e grad-o n., A ,, es u-n sub~ru-po
normal de S,. ---' ..- *- - -*-a
Examinamos esto de otra manera todavia. De las propias definiciones invo-lucradas
se tienen las siguientes reglas sencillas para el producto de permutaciones:
1. El producto de dos permutaciones pares es par.
2. El producto de dos permutaciones impares es par.
3. El producto de una permutaci6n par por una impar (o el de una impar por
una par) es impar.

130. 122 CAP~TUL3O EL GRUPO SIM~TRICO
Si a es una permutaci6n par, sea 8(a) = 1, y si a es una permutaci6n impar,
sea 8(a) = -1. Las reglas precedentes relativas a productos se traducen en
O(a7) = 8(a)0(7), de manera que 8 es un homomorfismo de S, sobre el grupo
E = { 1, -1 ) de orden 2 respecto a la multiplication. ~Cuiiels el ndcleo, N, de
8? En virtud de la propia definici6n de A,, se ve que N = A,. Asi que por el
primer teorema de homomorfismos, E = S,/A,. De esta manera 2 = (E1 =
(S,/A,( = JS,I/(A,J, si n > 1. Esto da por resultado que (A,[ = %IS,J =
%n!.
Por lo tanto,
TEOREMA 3.3.3. -P-a--r a n > 1, A, es un subgrupo normal de S, -'" - -* . . . - . -* . .
&,.orden .5(2 n_!.
COROLARIO. Si n > 1, en S, hay 1/2 n! permutaciones pares y %n!
permutaciones &pares.
Antes de concluir la presente seccidn, se hace un breve comentario final res-pecto
a la demostraci6n del Teorema 3.3.1. Se conocen muchas demostraciones
diferentes de este teorema. Sinceramente, no nos gusta particularmente ningu-na
de ellas. Algunas involucran lo que se podria llamar un "proceso de colec-ci6n9',
donde se trata de demostrar que e no se puede expresar como el producto
de un nlimero impar de transposiciones, haciendo la suposici6n de que si es po-sible,
y mediante una manipulaci6n apropiada de dicho producto se le reduce
hasta que se obtiene una contradicci6n. Otras demostraciones utilizan diferen-tes
artificios. La demostraci6n que se dio saca provecho del artefact0 que cons-tituye
la funci6n f (x), la cual, en cierto sentido, es ajena a la cuesti6n tratada.
Sin embargo, la demostraci6n dada es probablemente la miis clara de todas ellas,
y por tal motivo se utiliz6.
Finalmente, el grupo A,, para n r 5, es un grupo sumamente interesante.
En el Capitulo 6 se demostrarii que 10s dnicos subgrupos normales de A,, pa-ra
n r 5, son (e) y el mismo A,. Un grupo no abeliano que tenga esta propie-dad
se llama grupo simple (no debe confundirse con grupo facil). De manera
que 10s A, para n r 5 proporcionan una familia infinita de grupos simples.
Existen otras familias infinitas de grupos simples finitos. En 10s liltimos 20 aiios
aproximadamente 10s esfuerzos heroicos de un grupo de algebristas han deter-minado
todos 10s grupos simples finitos. La determinacibn de dichos grupos
simples comprende cerca de 10 000 piiginas impresas. Resulta muy interesante
saber que cualquier grupo simple finito debe tener orden par.
PROBLEMAS 3.3
1. Determinar la paridad de cada permutaci6n.

131. 3.3 Permutaciones impares y pares
2 3 4 5 6 7 8
:I.-
(a)(: 4 5 1 3 7 8 9 (b) (1 2 3 4 5 6)(7 8 9).
(c)(l 2 3 4 5 6)(1 2 3 4 5 7).
(d) (1 2)(1 2 3)(4 5)(5 6 8)(1 7 9).
2. Si a es un k-ciclo, demukstrese que a es una permutaci6n impar si k es par,
y es una permutaci6n par si k es impar.
3. PruCbese que a y 7-'a7, para a, 7 E S,,, cualesquiera, son de la misma
paridad.
4. Si m < n, se puede decir que S,,, C S,, considerando que j E S,, actda sobre
1, 2, . . . , m, . . . , n como lo hizo sobre 1, 2, . . . , rn y que a deja a j >
m fijo. PruCbese que la paridad de una permutacibn en S,, cuando se con-sidera
de esta manera como elemento de s,,, no cambia.
5; Sup6ngase que se sabe que la permutation
en S,, donde las imagenes de 5 y de 4 se han perdido, es una permutaci6n
par. ~Cuhlesd eben ser dichas imagenes?
6. Si n r 3, demutstrese que todo elemento de A, es un producto de ci-clos
de orden 3.
7. Demubtrese que todo elemento de A, es un producto de ciclos de orden n.
8. Hallar un subgrupo normal en A, de orden 4.
PROBLEMAS DIF~cILES (EN REALIDAD, MUY DIFiCILES)
I
9. Si n r 5 y (e) f N c A, es un subgrupo normal de A,, demutstrese que
N debe contener un ciclo de orden 3.
10. Aplicando el resultado del Problema 9, demukstrese que si n r 5, 10s dni-cos
subgrupos normales de A, son (e) y el mismo A,. (Asi que 10s grupos
A, para n r 5 dan una familia infinita de grupos simples.)

133. En el estudio del Algebra abstracta llevado a cab0 hasta ahora, se ha presentado
una clase de sistema abstracto, el cual desempefia un papel central en el dlgebra
de hoy en dia: el concept0 de grupo. Debido a que un grupo es un sistema alge-braic~
q ue consta solamente de una operaci6n y que no es necesario que satisfaga
la regla ab = ba, en cierto mod0 va en contra de nuestra experiencia anterior
con el algebra. Trabajamos con sistemas en donde se podia tanto sumar como
multiplicar elementos y se satisfacia la ley conmutativa de la multiplicaci6n ab =
ba. Ademds, dichos sistemas conocidos procedieron normalmente de conjuntos
de numeros -enteros, racionales, reales y en algunos casos, complejos.
El siguiente objeto algebraic0 que consideraremos es un anillo. En muchos
aspectos este sistema hara recordar mds lo conocido anteriormente que 10s grupos.
Por una parte 10s anillos serdn dotados con adici6n y multiplicaci6n, y estas
estaran sujetas a muchas de las reglas conocidas de la aritmetica. Por otra parte,
no es necesario que 10s anillos provengan de 10s sistemas numdricos usuales.
En efecto, normalmente tendrdn poco que ver con ellos. Aunque muchas de
las reglas formales de la aritmetica son vdlidas, ocurrirdn muchos fendmenos
extrafios -0 que pudieran parecer asi. A medida que se vaya avanzando y se
consideren ejemplos de anillos, se verd que se presentan algunas de estas cosas.
Luego de este predmbulo estamos preparados para empezar. Naturalmente
lo primer0 que se debe hacer es definir aquello de lo que se va a tratar:
DEFINICI~NSe. dice que un conjunto no vacio R es un anitlo si tiene
dos operaciones + y . tales que:
(a) a, b E R implica que a + b E R.

134. (b) a + b = b + a para a, b E R.
(c) (a + b) + c = a + (b + C) para a, b c.E R.
(d) Existe un elemento.0 E R tal que a + 0 = a para todo a E R.
(e) Dado a E R, existe un b E R tal que a + b = 0. (b se:xpresara
como -a).
Notese que lo que se ha dicho hasta ahora es que R es un grspo abe-limo
respecto a + . Ahora se explican las reglas de la multiplicacion en R.
(f) a, b E R implica que a . b E R.
(g) a . (b . C) = (a . b) . c para a, b, c E R.
Esto es todo lo que se exige por lo que se refiere a la multiplicacion sola.
Mas no se dejan las operaciones + y aisladas entre si, sino que se entre-lazan
mediante las dos leyes distributivas:
(h)
a-(b+c)=a.b+a.c
Y
(b+c).a=b.a+c-a,
para a, b, c E R.
Estos axiomas que definen un anillo parecen conocidos. Asi debe ser, ya
que el concept0 de anillo se introdujo como una generalizaci6n de lo que sucede
en el conjunto de 10s enteros. Debido a1 axioma (g), la ley asociativa de la mul-tiplicacion,
10s anillos que se han definido se llaman normalmente anillos aso-ciativos.
Los anillos no asociativos existen y algunos de ellos desempefian un
papel importante en las matemtiticas. Pero no nos ocuparemos aqui de ellos.
De manera que cuando se utilice la palabra "anillo" siempre significara "ani-
110 asociativo" .
Aunque 10s axiomas del (a) a1 (h) son conocidos, existen ciertas cosas que
ellos no dicen. Consideramos algunas de las reglas conocidas que no se exigen
para un anillo general.
En primer lugar, no se postulo la existencia de un elemento 1 E R tal que
a . 1 = 1 . a = a para todo a E R. Muchos de 10s ejemplos que se encontraran
tendrtin tal elemento y en ese caso se dice que R es un anillo con unidad. Con
toda franqueza debemos sefialar que muchos algebristas exigen que un anillo
tenga elemento unidad. Nosotros exigiremos que 1 # 0; o sea que el anillo con-sistente
solamente del 0 no es un anillo con unidad.
En segundo lugar, por nuestra experiencia anterior con cosas de esta clase,
siempre que a - b = 0 se concluia que a = 0 o bien b = 0. No es necesario
que esto sea cierto en un anillo, en general. Cuando es vtilido, el anillo es en
cierto mod0 miis grato y se le da un nombre especial: se le llama dominio.
En tercer lugar, en 10s axiomas que definen un anillo no se dice nada que
implique la ley conmutativa de la multiplicaci6n a . b = b a. Existen anillos
no conmutativos en donde no es vtilida esta ley; pronto se veran algunos. En
este capitulo nos ocuparemos principalmente de 10s anillos conmutativos, per0

135. 4.1 Definiciones y ejemplos '1 27
para muchos de 10s primeros resultados no se supondra la conmutatividad del
anillo estudiado.
Como se menciono anteriormente, algunos aspectos hacen a ciertos anillos
mas agradables que otros, y por lo tanto merecen tener un nombre especial. De
inmediato se da una lista de definiciones para algunos de ellos. I
i
DEFINICC~UNn. anillo conmutativo R es un dominio integral si a .
b = 0 en R implica que a = 0 o bien b = 0.
Se debe sefialar que algunos libros de algebra exigen que un dominio integral
contenga un elemento unidad. A1 leer otro libro, el lector debe verificar si tal
es el caso. Los enteros, Z, proporcionan un ejemplo obvio de un dominio integral.
Se consideraran otros un poco menos obvios.
I
DEFINICI~NSe. dice que un anillo con unidad, R, es un aniIIo con
divisidn si para a f 0 en R existe un elemento b E R (que normalmente
se expresa como a-') tal que a a-' = a-' . a = 1.
La razon de llamar a un anillo de esta clase un anillo con division es bas-tante
evidente: porque se puede dividir (a1 menos teniendo presentes 10s lados
izquierdos y derechos). Aunque 10s anillos con division no conmutativos existen
con mucha frecuencia y desempeiian un papel importante en el algebra no con-mutativa,
son bastante complicados y solo se dara un ejemplo de ellos. Dicho
anillo con division es el gran clasico presentado por Hamilton en 1843 que se
conoce como el anillo de 10s cuaternios. (Vease el Ejemplo 12 que sigue.)
Finalmente, pasamos a1 ejemplo tal vez mas interesante de una clase de anillos:
el campo.
I
DEFINICI~NSe. dice que un anillo R es un campo si R es un anillo
con divisidn conmutativo.
En otras palabras, un campo es un anillo conmutativo en el cual se puede
dividir libremente entre elementos distintos de cero. Dicho de otra manera,
R es un campo si sus elementos distintos de cero forman un grupo abeliano
respecto a1 producto . en R.
Se tienen a la mano muchos ejemplos de campos: 10s numeros racionales,
10s numeros reales, 10s numeros complejos. Pero se veran muchos mas ejemplos,
tal vez menos conocidos. El Capitulo 5 se dedicara al estudio de 10s campos.
El resto de la presente seccion se empleara en considerar algunos ejemplos
de anillos. Se omitira el para el producto y a . b se expresarii simplemenje
como ab.
1. Es obvio que el anillo que se debe escoger como primer ejemplo es 2,

136. el anillo de 10s enteros respecto a la adici6n y multiplicaci6n usuales entre ellos.
Naturalmente, Z es un ejemplo de dominio integral. .
2. El segundo ejemplo es una eleccion igualmente obvia. Sea Q el conjunto
de 10s numeros racionales. Como ya se sabe, Q satisface todas las reglas nece-sarias
para un campo, asi que Q es un campo.
3. Los numeros reales, R, tambitn proporcionan un ejemplo de campo.
4. Los numeros complejos, C, forman un campo.
Obstrvese que Q C R C C; lo anterior se describe diciendo que Q es un
subcampo de R (y de C ) y R es un subcampo de C.
5. Sea R = Z6, 10s enteros mod 6, con la adici6n y la multiplication defi-nidas
por [a] + [b] = [a + b] y [a:l[b] = [ab].
N6tese que [O] es el 0 requerido por 10s axiomas de anillo y [l] es el ele-mento
unidad de R. Observese, no obstante, que Z6 no es un dominio integral,
ya que [2] 131 = [6] = [0], aunque [2] # [0] y [3] # [O]. R es un anillo con-mutativo
con unidad.
El ejemplo anterior sugiere la
DEFINICI~NU.n elemento a # 0 de un anillo R es un divisor de cero
en R si ab = 0 para algun b # 0 de R.
En realidad lo que se acaba de definir se deberia llamar divisor de cero por
la izquierda; sin embargo, dado que se tratarh principalmente de anillos con-mutativos,
no se necesitara ninguna distinci6n izquierda-derecha para 10s divi-sores
de cero.
Obstrvese que tanto [2] como [3] son divisores de cero en Z6. Un dominio
integral es, desde luego, un anillo conmutativo sin divisores de cero.
6. Sea R = Z,, el anillo de 10s enteros mod 5. Por supuesto, R es un
anillo conmutativo con unidad; per0 es algo mas; en realidad, es un campo.
Sus elementos distintos de cero son [ 1 1,121, [3], [4] y se observa que [2] [3] =
[6] = [I], y [l ] y [4] son sus propios inversos. Asi que todo elemento distinto
de cero de Z, tiene inverso en Z,.
Generalizamos el Ejemplo 6 para cualquier primo p.
7. Sea Z, el anillo de 10s enteros modp, donde p es primo. Es evidente de
nuevo que Z, es un anillo conmutativo con unidad. Afirmamos que Z, es un
campo. Para tal fin, obsbvese que si [a] # [0], entonces p 4 a. Por lo tanto,
por el teorema de Fermat (corolario del Teorema 2.4.8), a,-' r 1 (p). Para las
clases [.I, lo anterior dice que [a*'] = [ 1 1. Pero [a*'] = [alp-', asi que
= [I]; por consiguiente, [alp2 es el inverso requerido para {a] en Z,,
por lo tanto Z, es un campo.

137. 4.1 Definiciones y ejemplos 129
En virtud de que Z, tiene solamente un numero finito de elementos, se le
llama campo finito. Posteriormente construiremos campos finitos diferentes a
10s z,.
8. Sea Q el conjunto de 10s numeros racionales; si a E Q, se puede escribir
a = (n/n, donde m y n no tienen factores comunes (son ielativamente primos).
LlAmese a tsta la forma reducida de a. Sea R el conjunto de todos 10s a E Q
en cuya forma reducida el denominador sea impar. Respecto a la adicidn y mul-tiplicacidn
usuales en Q el conjunto R forma un anillo, que es un dominio integral
con unidad per0 no es un campo, ya que i, el inverso necesario de 2, no esd
en R. ~Exactamente cuAles elementos de R tienen sus inversos en R?
9. Sea R el conjunto de todos 10s a E Q en cuya forma reducida el denomi-nador
no sea divisible por un primo fijop. Como en el Ejemplo 7, R es un anillo
respecto a la adicidn y la multiplicacidn usuales en Q, es un dominio integral
per0 no es un campo. iCuAles elementos de R tienen sus inversos en R?
Los Ejemplos 8 y 9 son, desde luego, subanillos de Q. Damos otro ejemplo
conmutativo mb. ~stpero viene del CAlculo.
10. Sea R el conjunto de todas las funciones continuas reales definidas en
el interval0 unitario cerrado [0, 11. Para f, g E R y x E [0, 1 ] definase
(f + g)(x) = f (x) + g(x) y (f . g)(x) = f (x)g(x). De 10s resultados del chlcu-lo,
se tiene que f + g y f . g son tambitn funciones continuas en [0, 11. Con
estas operaciones R es un anillo conmutativo. R no es un dominio integral. Por
ejemplo, si f(x) = -x + + para 0 I x I $ y f(x) = 0 para + < x I 1,
y si g(x) = 0 para 0 I x r 4 y g(x) = 2x - 1 para i < x I 1, entonces f,
g E R y, como es fAcil verificar, f . g = 0. R tiene un elemento unidad, a
saber la funcidn e definida por e(x) = 1 para todo x E [0, 11. ~Cualese le-mentos
de R tienen sus inversos en R?
Seria deseable considerar algunos ejemplos de anillos no conmutativos. ~stos
no son tan fAciles de conseguir, a pesar de que 10s anillos no conrnutativos existen
en abundancia, debido a que estamos suponiendo que el lector no tiene cono-cimientos
de Algebra lineal. La primera fuente, la mk facil y natural, de tales
ejemplos es el conjunto de matrices sobre un campo. De manera que en nuestro
primer ejemplo no conmutativo crearemos en realidad las matrices 2 x 2 con
componentes reales.
11. Sean F el campo de 10s numeros reales y R el conjunto de todas las
formaciones cuadradas
donde a, b, c, d son numeros reales cualesquiera. Para tales formaciones cua-dradas
se define la adicidn de una manera natural por medio de

183. Para la mayoria de nosotros el concepto de anillo constituia un terreno desco-nocido;
en cambio, el concepto de campo esta mas relacionado con nuestra ex-periencia.
Mientras que el unico anillo, aparte de un campo, que podria
haberse considerado en la ensefianza elemental era el anillo de 10s enteros, se
tenia un poco mas de experiencia trabajando con 10s numeros racionales, 10s
reales y, en algunos casos, 10s numeros complejos, a1 resolver ecuaciones linea-les
y cuadraticas. La capacidad de dividir entre elementos distintos de cero
proporciono cierta libertad de accion para resolver una amplia variedad de
problemas, la cual podria no haberse tenido con 10s enteros.
De mod0 que a primera vista, cuando se empieza a trabajar con campos
se siente uno como en su casa. A medida que se penetra mAs a fondo en la ma-teria,
se empiezan a encontrar nuevas ideas y nuevas Areas de resultados. Se en-cuentra
uno otra vez en terreno desconocido, per0 siendo optimista, despuCs
de cierta exposicion del tema tratado, 10s conceptos se volveran naturales.
Los campos desempeilan un papel importante en la geometria, la teoria de
las ecuaciones y en ciertas areas muy importantes de la teoria de 10s numeros.
Se hara referencia a cada uno de estos aspectos a medida que se avance. Desa-fortunadamente,
debido a la maquinaria tCcnica que se necesitaria desarrollar,
no se considera la teoria de Galois, que es una parte muy bella de la materia.
Se espera que muchos de 10s lectores entren en contact0 con la teoria de Galois,
y mas alla de Csta, en su instruccion matematica posterior.
175

184. 176 CAP~'~UL5O CAMPOS
- -
Recuerdese que un campo F es un anitlo conmutativo con efemento unidad 1
tal que para todo a E F distinto de cero existe un elemento a-' E F de tal mo-do
que aa-' = 1. En otras palabras, 10s campos son "algo parecido" a 10s
racionales Q. Pero jes asi en realidad? Los enteros m6dp,,Zp, donde p es pri-mo,
forman un campo; en Zp se tiene la relacion
-
(p veces)
Nada semejante a esto sucede en Q. Existen diferencias aun mas notables entre
10s campos: como se factorizan 10s polinomios en ellos, propiedades especiales
de las que se veran algunos ejemplos, etcttera.
Se empieza con varios ejemplos conocidos.
1. Q, el campo de 10s numeros racionales.
2. R, el campo de 10s numeros reales.
3. C, el campo de 10s numeros complejos.
4. Sea F = {a + bila, b E Q) C C. Es relativamente sencillo ver que F
es un campo. Se verifica solamente que si a + bi # 0 esta en F, entonces
(a + bi)-' tambitn esta en F. Pero ja qut es igual (a + bi)-'? Simplemente
es
a - ib (Verifiquese)
(a2 + b2) (a2 + b2)
y puesto que a2 + b2 # 0 y es racional, entonces a/(a2 + b2) y b/(a2 + b2)
son tambiCn racionales, por consiguiente (a + bi)-' esta efectivamente en F.
5. Sea F = (a + ~1 a, b E Q) C W. Nuevamente la verification de que
F es un campo no es muy dificil. Tambitn en este caso solamente se demuestra
la existencia en F de 10s elementos distintos de cero de F. Supdngase que a +
bJZ # 0 esta en F; entonces, dado que JTes irracional, a' - 2b2 # 0. Como
se obtiene que (a + bv'B(a/c - ab/c) = 1, donde c = a2 - 2b2. El inverso
requerido para a + bfi es a/c - Ab/c, el cual desde luego es un elemento
de F, ya que a/c y b/c son racionales.

185. 5.1 Ejemplos de campos 177
6. Sean f cualquier campo y F [x] el anillo de polinomios en x sobre F. Como
F [x] es un dominio integral o entero, tiene un campo de cocientes por el Teore-ma
4.7.1, el cual consta de todos 10s cocientes f (x)/g(x), donde f (x) y g(x) estan
en F [x] y g(x) # 0. Este campo de cocientes de F [x] se denota por F(x) y se
llama c.- ampo de 1as funciones rationales en x sobre F.
7. Z,, 10s enteros m6dulo el primo p, es un campo (finito).
>
8. En el Ejemplo 2 de la Seccion 4.4 del Capitulo 4 se vio como construir
un campo que tenga nueve elementos.
Estos ocho ejemplos son especificos. Utilizando 10s teoremas que se han de-mostrado
anteriormente, se tienen algunas construcciones generales de cam-pos.
9. Si D es cualquier dominio entero, entonces tiene campo de cocientes, por
el Teorema 4.7.1, el cual consiste de todas las fracciones a/b, donde a y b estan
en.D y b # 0.
10. Si R es un anillo conmutativo con elemento unidad 1 y M es un ideal
mhimo de R, entonces el Teorema 4.4.2 indica que R/M es un campo.
Este ultimo ejemplo, para R's particulares, desempefiara un papel impor-tante
en lo que sigue en este capitulo.
Se podria continuar viendo mas ejemplos, particularmente con casos espe-ciales
de 10s Ejemplos 9 y 10, per0 10s diez considerados anteriormente mues-tran
una cierta variedad de campos y se observa que no es muy dificil
encontrarse con ellos.
En 10s Ejemplos 7 y 8 10s campos son finitos. Si F es un campo finito con
q elementos, considerando a F simplemente como un grupo abeliano respecto
a su adicion " + ", se tiene, por el Teorema 2.4.5, que qx = 0 para todo
x E F. Este es un comportamiento muy distinto a1 que ocurre en 10s campos
usuales, como el de 10s racionales y el de 10s reales.
Esta clase de comportamiento se seiiala en la
DEFINICI~NSe. dice que un campo F tiene (o es de) caracterktica
p # 0 si para cierto entero positivop, px = 0 para todo x E F, y ningun
entero positivo menor que p goza de esta propiedad.
Si un campo F no es de caracteristica p # 0 para ningun entero positivo p,
se le llama campo de caracterktica 0. De esta manera Q, R, C son campos de
caracteristica 0, mientras que Z3 es de caracteristica 3.
En la definicion anterior el uso de la letra p para denotar la caracteristica
es altamente sugestivo, ya que siempre se ha utilizadop para representar un nu-mero
primo. En realidad, como se observa en el teorema siguiente, este empleo
de p resulta consistente.

186. 178 CAP~TUL5O CAMPOS
TEOREMA 5.1. I. L--.-a ca-r a.c ..t.. .e... r ,i. s. t.-i ,c a d., e.. . .u . .n. . campo , .. - es. ..-c ero , . , . . .. o - b. .i- e .. n, . un . nu.-
-m ero primo. -. -...- -
DEMOSTRACI~NS.i un campo F tiene caracteristica 0, no hay nada mhs que
decir. Supdngase entonces que mx = 0 para todo x E F, donde m es un entero
positivo. Sea p el menor entero positivo tal que px = 0 para todo x E F. Afir-mamos
quep es primo. Sip = uv, donde u > 1 y v > 1 son enteros, entonces
se tiene que en F, (ul )(vl ) = (uv)l = 0, donde 1 es el elemento unidad de
F. Pero por ser Fun campo, es un dominio integral (Problema 1); por lo tanto,
ul = 0 o bien vl = 0. En cualquier caso se obtiene que 0 = (ul)(x) = ux [o,
de manera semejante, 0 = (v1)x = vx] para cualquier x en F. Pero esto
contradice la elecci6n de p como el menor entero con esta propiedad. Por
consiguiente, p es primo.
ObsCrvese que no se emple6 toda la fuerza de la hip6tesis de que F era un
campo. Solamente se ocupo que F era un dominio integral (con unidad 1). De
manera que si se define la caracteristica de un dominio integral como cero o
el menor entero positivo p tal quepx = 0 para toda x E F, se obtiene el mismo
resultado. Por consiguiente, se tiene el
COROLARSIOi D. es un dominio integral (o entero), entonces su
caracteristica es cero o bien un numero primo.
PROBLEMAS 5.1
1. DemuCstrese que un campo es un dominio integral.
2. PruCbese el corolario aun en el caso en que D no tenga elemento unidad.
3. Dado un anillo R, sean S = R [x] el anillo de polinomios en x sobre R
y T = S [y] el anillo de polinomios en y sobre S. DemuCstrese que:
(a) Cualquier elemento f (x, y) de T tiene la forma CCaUx'yj, donde
10s aij estan en R.
(b) En tirminos de la forma de f (x, y) en Tdada en la parte (a), proporcio-nese
la condicion para la igualdad de dos elementos f (x, y) y g(x, y)
de T.
(c) En terminos de la forma de f (x, y) dada en (a), proporcionese la
formula de f (x, Y) + g(x, Y 1, para f (x, Y 1, g(x, Y) en T.
(d) Proporcionese la forma del product0 def (x, y) y g(x, y) si ambos es-tan
en T. (T se llama anillo de polinomios en dos variables sobre R y
se denota por R [x, y].)
4. Si D es un dominio integral o entero, demukstrese que D [x, y] es tambiCn
un dominio integral o entero.

187. 5.2 Breve excursion hacia 10s espacios vectoriales 179
5. Si F es un campo y D = F [x, y], el campo de cocientes de D se llama cam-po
de funciones racionales en dos variables sobre F y se denota usualmente
por F(x, y). Proporcionese la forma del elemento ~ipicod e F(x, y).
6. PruCbese que F(x, y) es isomorfo a F(y, x).
7. Si F es un campo de caracteristica p # 0, demuestrese que (a + b)P =
aP + bP para todo a, b E F. (Sugerencia: Utilice el teorema del bino-mio
y el hecho de que p es primo.) I
8. Si F es un campo de caracteristica p # 0, demuestrese que (a + b)m =
am + bm, donde m = pn, para todo a, b en F y cualquier entero posi-tivo
n.
9. Sea Fun campo de caracteristicap # 0 y sea cp: F + F definida por cp(a) =
aP para todo a E F.
(a) DemuCstrese que cp define un monomorfismo de F en 61 mismo.
(b) Proporcionese un ejemplo de un campo F donde cp no sea suprayectiva.
(Muy dificil.)
10. Si F es un campo finito de caracteristica p, demuestrese que la aplicacion
cp definida anteriormente es suprayectiva, por consiguiente es un automor-fismo
de F.
- - -
Para abordar las cosas deseables de realizar en la teoria de 10s campos, se re-quieren
ciertos instrumentos tecnicos que todavia no se tienen. Esto implica la
relacion de dos campos K > F y lo que seria bueno considerar como cierta me-dida
de la magnitud de K comparada con la de F. Dicha magnitud es lo que
se llamara dimension o grado de K sobre F.
Sin embargo, para tales consideraciones, se requiere de K mucho menos
que ser un campo. Seria una negligencia si se probaran estos resultados sola-mente
para el context0 especial de dos campos K > F, en virtud de que las mis-mas
ideas, demostraciones y espiritu son validos en una situacion mucho mb
amplia. Se necesita el concept0 de espacio vectorial sobre un campo F. Ademas
del hecho de que lo que se realice en 10s espacios vectoriales sera importante
en relacion a 10s campos, las ideas desarrolladas aparecen en todas las partes
de las matematicas. Los estudiantes de algebra deben ver estos temas en alguna
etapa de su instruccion. Un lugar apropiado es aqui precisamente.
DEFINICIONU. n espacio vectorial V sobre un carnpo F es un grupo
abeliano respecto a la adicion " + " tal que para todo a! E F y todo v E
V existe un elemento a!v E V de tal mod0 que:

188. 180 CAPiTULO 5 CAMPOS
(a) a(vl + v2) = avl + av2, para a E F, vl, v2 E V.
(b) (a + P)v = av + pv, para a , /3 E F, v E V.
(c) ~(Pv=) (aP)v, para a , E F, v E V.
(d) lv = v para todo v E V, donde 1 es el elemento unidad de F.
Cuando se trate de espacios vectoriales (lo cual se hara muy brevemente)
se emplearan letras latinas minusculas para 10s elementps de V y letras
minusculas griegas para 10s elementos de F.
El asunto basico que se tratara aqui radica solamente en un aspect0 de la
teoria de 10s espacios vectoriales: el concepto de la dimension de V sobre F.
Se desarrollara este concepto de la manera mas expedita posible, no necesaria-mente
la mejor o la mas elegante. Se aconseja firmemente a 10s lectores que
estudien 10s demas aspectos de lo que se realiza en 10s espacios vectoriales en
otros libros de algebra o de algebra lineal (por ejemplo, Algebra Moderna del
autor de este libro).
Antes de abordar algunos resultados, se examinan varios ejemplos. En ca-da
caso, se dejan a1 lector 10s detalles de verificacion de que el ejemplo real-mente
es de un espacio vectorial.
1. Sean F cualquier campo y V = {(al, a2, . . . , a,) 110s a; E F) el conjunto
de n-adas sobre F, con igualdad y adicion definidas por componentes. Para v =
(a1, a2, . . . , a,) y /3 E F, definase pv = (Pal, pa2, . . . , Pa,). V es un espacio
vectorial sobre F.
2. Sean F cualquier campo y V = F [x] el anillo de polinomios en x sobre
F. Haciendo a un lado el producto de elementos arbitrarios de F [x] y utilizan-do
solamente el producto de un polinomio por una constante, por ejemplo,
se encuentra que V se convierte en un espacio vectorial sobre F.
3. Sean V como en el Ejemplo 2 y W = { f (x) E VJ grd (f (x)) I n). En-tonces
W es un espacio vectorial sobre F y W C V es un subespacio de V.
4. Sea V el conjunto de todas las funciones reales diferenciables en [0, I.],
el interval0 unitario cerrado, con la adicion y multiplicacidn de una funcion
por un numero real usuales. Entonces V es un espacio vectorial sobre R.
5. Sea W el conjunto de todas las funciones reales continuas en [0, 1 1, de
nuevo con la adici6n y multiplicacion de ;na funci6n por un ndmero real usua-les.
Tambikn W es un espacio vectorial sobre R y el V del Ejemplo 4 es un su-bespacio
de W.

189. 5.2 Breve excursion hacia 10s espacios vectoriales 181
6. Sea F cualquier campo y F [x] el anillo de polinomios en x sobre F. Sea
f (x) un elemento de F [x] y J = (f (x)) el ideal de F [x] generado por f (x).
Sea V = F [x]/J, donde se define a(g(x) + J ) = ag(x) + J. Entonces
V es un espacio vectorial sobre F.
7. Sean R el campo real y Vel conjunto de todas las soluciones de la ecuacibn
diferencial d2y/dx2 + y = 0. V es un espacio vectorial sobre R.
I
8. Sea V cualquier espacio vectorial sobre un campo F y sean tambiCn
v,, v2, . . . , U, elementos del espacio vectorial V. Sea (v,, v2, . . . , v, ) =
{alul + a2v2 + - - + a,v, la1, a2, . . . , a, E F). Entonces ( v,, v2, . . . , V, )
es un espacio vectorial sobre F y es un subespacio de V. Este subespacio
(vl, v2, . . . , v, ) se llama subespacio de V generado o abarcado por v,, . . . , v,
sobre F; sus elementos se llaman combinaciones lineales de vl, . . . , v,. Pronto
se tendra mucho que decir con respecto a (vl, v2, . . . , u,).
9. Sean V y W espacios vectoriales sobre un campo F y V e W =
{(v, w) 1 v E V, w E W), con igualdad y adicion definidas por componentes y
donde a(v, w) = (av, aw). Entonces se ve facilmente que V e W es un espacio
vectorial sobre F; se le llama suma directa de V y W.
10. Sea K > F dos campos, con la adici6n " + " de K y donde av, para
a E F y v E K, es el producto como elementos del campo K. Entonces las con-diciones
1 y 2 que definen un espacio vectorial son simplemente casos especiales
de las leyes distributivas que son validas en K, y la condition 3 es simplemente
una consecuencia de la asociatividad del producto en K. Finalmente, la condi-cion
4 es exactamente la reformulacion del hecho de que 1 es el elemento uni-dad
de K. Por lo tanto, K es un espacio vectorial sobre F.
Entre estos ejemplos existe una marcada diferencia en un aspecto, la cual
se especifica analizandolos cada uno a su vez.
1. En el Ejemplo 1, si
v, = (1, 0, . . ., O), v2 = (0, 1, 0, .. ., O), . . ., vn = (0, 0, ..., I),
entonces todo elemento v de V tiene una representacibn unica de la forma
u = a1v1 + . . . + a,~,, donde a,, . . . , a, estan en F.
2. En el Ejemplo 3, si vl = 1, v2 = x, . . . , V, = xi-', . . . , u,+] = xn, enton-ces
donde v E V tiene una representacion unica como v = alvl + - . - +
a,~,, con 10s a; en F.
3. En el Ejemplo 7, toda solucidn de d2y/dx2 + y = 0 es de la forma unica
y = acosx + psenx, con a y p reales.
4. En el Ejemplo 8, todo v E (vl, . . . , v,) tiene una re~resentacion -aunque
no necesariamente unica- como v = alvl + . . . + anvn en virtud de la

190. 182 CAP~TUL5O CAMPOS
misma definicion de (v,, . . ., v,). La unicidad de esta representacion de-pende
mucho de 10s elementos v,, . . . , vn.
5. En el caso especial del Ejemplo 10, donde K = C , el campo de 10s numeros
complejos, y F = R el de 10s numeros reales, se tiene que todo v E C es
de la forma unica v = a, + pi, (Y, ,O E R.
6. ConsidCrese K = F(x) > F, el campo de las funciones racionales en x so-bre
F. Se afirma -y se deja a1 lector- que no se puede encontrar ningun
conjunto finito de elementos de K que genere K sobre F. Este fenomeno
tambikn fue cierto en algunos de 10s otros ejemplos de espacios vectoriales
que se dieron.
El unico centro de atencion aqui radicara en este concept0 de espacio vecto-rial
que contenga algun subconjunto finito que lo genere sobre el campo de ba-se.
Antes de iniciar la discusion del tema, se debe disponer primero de una lista
de propiedades formales que sean validas en un espacio vectorial. El lector ya
esta tan perfeccionado en el trato con estas cosas abstractas formales, que se
le deja la demostracion del siguiente lema.
LEMA 5.2.1. Si V es un espacio vector.i-a l sobre un campo a F. ,. e nt-on--
-c--e s, pa-r-a- todo (YFE y todo v E-y:
(a) (YO = 0, donde 0 es el elemento cero de V.
(b) Ov = 0, donde 0 es el cero de F.
(c) (YV = 0 implica que a, = 0 o bien v = 0.
(d) -(-( Y- )V= -(. (Y" V- ) .
En vista de este lema, no se incurrira en ninguna confusion si se utiliza el
simbolo 0 tanto para el cero de F como para el de V.
Nos olvidamos de 10s espacios vectoriales por un momento y analizamos
las soluciones de ciertos sistemas de ecuaciones lineales en campos. ConsidC-rense,
por ejemplo, las dos ecuaciones lineales homogeneas con coeficientes re-ales,
x, + x2 + x3 = 0 y 3x1 - x2 + x3 = 0. Se ve facilmente que para
cualesquier x,, x3 tales que 4x, + 2x3 = 0 y x2 = -(x, + x3), se obtiene una
solucion del sistema. En realidad, existe una infinidad de soluciones de este sis-tema
aparte de la trivial x, = 0, x2 = 0, x3 = 0. Si examinamos este ejemplo
y nos preguntamos: iPor quC hay infinidad de soluciones de este sistema de
ecuaciones lineales?, llegamos rapidamente a la conclusion de que, debido a
que hay mas variables que ecuaciones, se tiene espacio para maniobrar y pro-ducir
soluciones. Esta es exactamente la situacion que prevalece en el caso mas
general, como se ve en seguida.
DEFINICIONS. ea F un campo; entonces la n-ada (PI, . . . , on),
donde 10s 0, estan en F y no todos son 0, se dice que 13 una solucion
no trivial en F del sistema de ecuaciones lineales homogeneas

191. 5.2 Breve excursion hacia 10s espacios vectoriales
donde todos 10s a;, estan en F, si a1 sustituir xl = PI, . . . , xn = Pn se
satisfacen todas las ecuaciones de (*).
Para el sistema (*) se tiene el siguiente
TEOREMA 5.2.2. -.S. i n - >- r, es decir, si el nlimero de variables (incog--
nit .a. s)- -e--x -c ede el numero de ecuaciones en (*), entokes (*) trene un-a - so--
lu-c idn no trivial en F.
DEMOSTRACI~NE.l mktodo, que de ordinario se estudia en bachillerato, es
el de la soluci6n de ecuaciones simultaneas que consiste en eliminar una de las
incognitas y a la vez reducir en uno el numero de ecuaciones.
Se procede por induccidn en r, el nlimero de ecuaciones. Si r = 1, el siste-ma
(*) se reduce a allxl + . - . + aInxn= 0, y n > 1. Si todos 10s ali= 0,
entonces x, = x2 = . a = xn = 1 es una solucion no trivial de (*). De mane-ra
que, renumerando, se puede suponer que a,, # 0; entonces se tiene la solu-cion
no trivial de (*): x2 = . - - = xn = 1 y xI = -(l/all)(a12 + . . - + a,,).
Supongase que el resultado es correct0 para r = k, para cierto k, y que (*)
es un sistema de k + 1 ecuaciones homogkneas lineales en n > k + 1 va-riables.
Se puede suponer como antes que algun aii # 0, y que a,, # 0, sin que
se pierda generalidad.
Se construye un sistema relacionado (**) de k ecuaciones homogkneas line-ales
en n - 1 variables; puesto que n > k + 1, se tiene que n - 1 > k, por
lo tanto se puede aplicar induction a este nuevo sistema (**). iC6m0 obtener-lo?
Se desea eliminar x, de las ecuaciones. Para tal fin se resta la primera
ecuacion multiplicada por a,,/all de la i-ksima ecuacion para cada i = 2, 3,
. . . , k.+ 1. Luego de realizar lo anterior, se llega a1 nuevo sistema de k ecua-ciones
homogeneas lineales en n - 1 variables:

192. 184 CAP~TLIL5O CAMPOS
donde flu = au- ai,/allp ara i = 2, 3, . . ., k + 1 y j = 2, 3, . . ., n.
Puesto que (**) es un sistema de k ecuaciones homogkneas lineales en n -
1 variables y n - 1 > k, por la hipotesis de inducci6n (**) tiene una soluci6n
no trivial (y,, . . . , 7,) en F. Sea yl = -(alzyz + - - - + alnyn)/alls;e deja a1
lector verificar que la n-ada (y,, y,, . . . , y,) asi obtenida es una soluci6n no
trivial requerida de (*). Esto completa la inducci6n y de esta manera se prueba
el teorema.
Una vez establecido este resultado, se puede utilizar libremente en el estu-dio
de espacios vectoriales. Para hacer hincapik, se repite algo que se definio
anteriormente en el Ejemplo 8.
DEFINICI~NSe.a n V un espacio vectorial sobre F y u,, u,, . . . , u,
elementos de V. Se dice que un elemento u E V es .una combinacion li-neal
de u,, u,, . . . , u, si u = alu, + - e e + a,u, para algunos a,, e - a,
a, en F.
Como se sefial6 en el Ejemplo.8, el conjunto (u,, u,, . . . ,. u,) de todas las
combinaciones lineales de u,, u,, . . . , U, es un espacio vectorial sobre F y co-mo
esta contenido en V, es un subespacio de V. iPor que es un espaci'o vecto-rial?
Si a, v, + . . . + a,u, y Plvl + . . . + Pnvn son dos combinaciones
lineales de u,, . . . , u,, entonces
por 10s axiomas que definen un espacio vectorial, y por lo tanto esta en
(ul, . . ., u,). Si y E F y a1u1 + --a + a,~,E (ul, . . ., u,), entonces
asi que tambikn esta en (u,, . . . , u,). Por consiguiente, (u,, . . . , u,) es un
espacio vectorial. Como se le llamo anteriormente, es el subespacio de Vgenerado
sobre F por ul, . . ., Un.

193. 5.2 Breve excursion hacia 10s espacios vectoriales 185
Esto conduce a la muy importante
DEFINICI~NU.n espacio vectorial V sobre F es finito-dimensional
sobre F si V = ( v,, . . . , v,) para ciertos v,, . . . , v, en V, es decir, si
V es generado sobre F por un conjunto finito de elementos.
En caso contrario, se dice que V es infinite-dimensional sobre F si no es
finito-dimensional sobre F. Obstrvese que aunque se ha definido lo que signifi-ca
espacio vectorial finito-dimensional, aun no se ha definido lo que significa
su dimensi6n. Esto vendra a su debido tiempo.
Supongase que V es un espacio vectorial sobre F y que v,, . . . , v, en V
son tales que todo elemento v de (v,, . . . , v,) tiene una representacion unica
de la forma v = alvl + . . . + a,v,, donde a,, . . . , a, E F. Puesto que
0 E (~1,. . -9 ~n) Y 0 = OV, + ... + OV,,
por la unicidad supuesta se obtiene que si a,v, + -.- + a,v, = 0, entonces
a, = a2 = - - = a, = 0. Esto sugiere una segunda definicion muy impor-tante,
la cual se da a continuacion.
DEFINICI~NS.e a V un espacio vectorial sobre F; entonces se dice
que 10s elementos v,, . . . , v, en V son linealmente independientes
sobre Fsi a,v, + + a,v, = 0, donde a,, . . ., a, estan en F, im-plica
que a, = a2 = . . = a, = 0.
Si 10s elementos v,, . . . , v, en V no son linealmente independientes sobre
F, entonces se dice que son linealmente dependientes sobre F. Por ejemplo,
si W es el campo de 10s numeros reales y V es el conjunto de las triadas
sobre W como se defini6 en el Ejemplo 1, entonces (0, 0, I), (0, 1, 0) y
(1, 0, 0) son linealmente independientes sobre R (prutbese), mientras que
(1, -2, 7), (0, 1, 0) y (1, -3, 7) son linealmente dependientes sobre R , ya que
l(1, -2, 7) + (-1)(0, 1, 0) + (-1)(1, -3, 7) = (0, 0, 0)-es una combinacion
lineal no trivial de dichos elementos sobre R, que es igual a1 vector cero.
Obstrvese que la independencia lineal depende del campo F. Si C > R son
10s campos complejo y real, respectivamente, entonces C es un espacio vecto-rial
sobre W, per0 tambitn es un espacio vectorial sobre C mismo. Los elemen-tos
1, i en C son linealmente independientes sobre W per0 no lo son sobre C,
ya que il + (-l)i = 0 es una combinaci6n lineal no trivial de 1, i sobre C.
Se prueba el siguiente
LEMA 5.2.3. -S.-i v es" un espacio vectorial sobre F y v,, . . . , v, en V
son linealmente independientes sobre F, entonces todo elemento v €
"" .
( v,, . . . , vn ) tiene una representacion unica como
con a,, . . . , a, en F. -". ,.., , -

194. 186 CAP~TUL5O 0 CAMPOS
DEMOSCRAC16N. Sup6ngase que v E ( vl, . . . , v,) tiene las dos representa-ciones
v = alvl + + a,v, = Plvl + ... + P,v, con 10s a y 10s 0 en F.
Esto implica que (a, - Pl)vl + + (a, - &)v, = 0; puesto que v,, . . . ,
v, son linealmente independientes sobre F, se concluye que a, - PI = 0, .
a, - @,, = 0, lo cual da por resultado la unicidad de la representacibn. '
a
~QuCta n finito es un espacio vectorial finito-dimensional? Para medir esto,
llamese a un subconjunto vl, . . . , v, de V un conjunto generador minimo de
V sobre F si V = (v,, . . . , v,) y ningun conjunto con menos de n elementos
genera a V sobre F.
Se llega ahora a la tercera definici6n muy importante.
DEFINICI~NSi. Ves un espacio vectorial finito-dimensional sobre F,
entonces la dimension de V sobre F, que se expresa como dimF( V),
es n, el numero de elementos de un conjunto generador minimo de V
sobre F.
En 10s ejemplos dados, dim,(C) = 2, puesto que 1, i es un conjunto gene-rador
minimo de C sobre R. En cambio, dim, (C) = 1. En el Ejemplo 1,
dimF (V) = n y en el Ejemplo 3, dimF (V) = n + 1 . En el Ejemplo 7 la
dimensi6n de V sobre F es 2. Finalmente, si ( v,, . . . , vn ) C V, entonces
dimF (v,, . . . , v,) es a lo sumo n.
Se prueba ahora el
LEMA 5.2.4. &V es finito-dimensional sobre F de dimensi6n n y si
10s elementos v,, . . . , v, de V generan a V sobre F, entonces v,, . . .; -..
v,_son linealmente independientes sobre F.
DEMOSTRACI~NS. up6ngase que u,, . . . , v, son linealmente dependientes so-bre
F; por consiguiente existe una combinaci6n lineal a,vl + . . - + a,v, =
0, donde no todos 10s ai son cero. Se puede suponer que a, f 0; sin que se
pierda generalidad; entonces u, = (-~/o!~)(cY+~ v.~ . . + a,~,). Dado v E V,
en virtud de que v,, . . . , u, es un conjunto generador de V sobre F,
asi que LIZ., . . , V, generan V sobre F, lo cual contradice que el subconjunto
v,, v2, . . . , V, sea un conjunto generador minimo de V sobre F.
Se llega ahora a otra definici6n importante.

195. 5.2 Breve excursion hacia 10s espacios vectoriales 187
DEFINICION. Sea V un espacio vectorial finito-dimensional sobre F;
entonces v,, . . . , v, es una base de V sobre F, si 10s elementos v,, . . . ,
v, generan V sobre F y son linealmente independientes sobre F.
Por el Lema 5.2.4 cualquier conjunto generador minimo de V sobre F es
una base de V sobre F. Por consiguiente 10s espacios vectoriales finito-dimensionales
poseen bases. Se continua con el
TEOREMA 5.2.5. 26ngase que V cs finito-dimensional sobre F; en-
-ton ces dos bases cualesquiera de V sobre F deben tener el mismo numi--
ro. de elementos, y este numero es exactarnente dim,(V).
DEMOSTRACI~NS.e an v,, . . ., v, y w,, . . . , w, dos bases de V sobre F. Se
requiere demostrar que rn = n. Sup6ngase que rn > n. En virtud de que v,,
. . . , v, es una base de V sobre F, se sabe que todo elernento de V es una com-binacion
lineal de 10s vi sobre F. En particular, w,, . . . , w, son cada uno una
combinacion lineal de v,, . . . , v, sobre F. De esta manera se tiene
donde 10s aii estan en F.
Considerese
El sistema de ecuaciones homogeneas lineales
tiene una solucion no trivial en Fen virtud del Teorema 5.2.2, ya que el numero
de variables rn supera a1 numero de ecuaciones n. Si PI, . . . , 6, es una tal so-luci6n
en F, entonces, por lo anterior, P,w, + . . . + b,~, = 0, no obstante

196. 188 CAP~TUL5O CAMPOS
que no todos 10s Pi son cero. Esto contradice la independencia lineal de w,,
. . . , w, sobre F. Por lo tanto, m I n. De manera semejante, n 5 m; por
consiguiente m = n. El teorema resulta luego probado, puesto que un conjun-to
generador minimo de V sobre F es una base de V sobre F y el numero de
elementos en tal conjunto es por definicion dimF( V). Por lo tanto, en vista de
lo obtenido anteriormente, n = dimF(V) y se completa la demostracibn.
Otro resultado, que se utilizara en la teoria de campos, de naturaleza
semejante a 10s que se han obtenido, es
TEOREMA 5.2.6. Sea V un espacio vectorial sobre F tal que
-d- imf( V) = n. Si m 7-n, entonces m elementos cualesquiera de V son
l-i nealnkte dependien-te.s sobre F.
DEMOSTRAC16N. Sean w,, . . . , w, E V y vl, . . . , vn una base de V sobre F;
o sea que n = dimF(V) por el Teorema 5.2.5. Por consiguiente,
La demostracion dada en el Teorema 5.2.5, de que si m > n se pueden encontrar
PI, . . . , Pm en F, donde no todos son cero, de tal mod0 que PI w, + . . - +
P,w, = 0, se aplica a1 pie de la letra. Pero esto establece que w,, . . . , w, son
linealmente dependientes sobre F.
Se concluye esta secci6n con un teorema final del mismo tipo de 10s anterio-res.
TEOREMA 5.2.7. Sea V un espacio vectorial sobre F con dimF( V) =
n-. . E-nt onces n elemezos cualesquiera de V linealmente ;ndependientes
forman una base de V sobre F. -. -
DEMOSTRACI~NSe. requiere demostrar que si v,, . . . , un E V son lineal-mente
independientes sobre F, entonces generan V sobre F. Sea v E en-tonces
v, vl, . . . , vn son n + 1 elementos, por lo tanto, por el Teorema
5.2.6, son linealmente dependientes sobre F. De esta manera existen elemen-tos
a, al, . . . , an en F, no todos cero, tales que a v + alvl + . . + anun =
0. El elemento a no puede ser cero, de lo contrario a,v, + . . . + anun =
0, y no todos 10s ai son cero, por lo cual se contradiria la independencia
lineal de 10s elementos v,, . . . , un sobre F. Asi que a # 0, y entonces v =
(-l/a)(aI vI + - + anun) = Plul + - . - + Pnvn, donde Pi = -ai/al. Por lo
tanto, v,, . . . , vn generan V sobre F y por consiguiente deben formar una base
de V sobre F.

197. 5.2 Breve excursion hacia 10s espacios vectoriales
PROBLEMAS 5.2
1. Determinese si 10s siguientes elementos de V, el espacio vectorial de las ter-nas
sobre W , son linealmente independientes sobre W .
(a) (1, 2, 31, (4, 5, 61, (7, 8, 9).
(b) (1, 0, 11, (0, 1, 21, (0, 0, 1).
(c) (1, 2, 31, (0, 4, 5). (i, 3,3.
2. Encuentrese una solucion no trivial en ZS del sistema de ecuaciones homo-geneas
lineales:
3. Si V es un espacio vectorial de dimension n sobre Z,, p primo, demubtre-se
que V tiene pn elementos.
4. Pruebese todo el Lema 5.2.1.
5. Sea Fun campo y V = F [XI, el anillo de polinomios en x sobre F. Conside-rando
a V como un espacio vectorial sobre F, pruebese que V no es finito-dimensional
sobre F.
6. Si V es un espacio vectorial finito-dimensional sobre F y si W es un subes-pacio
de V, pruebese que:
(a) W es finito-dimensional sobre F y dim, ( W ) I dimF ( V ) .
(b) si dim, ( W ) = dim,( V ) , entonces V = W.
7. Defina el lector lo que crea que debe ser un homomorfismo # de espacios
vectoriales de V en W, donde V y W son espacios vectoriales sobre F. ~QuC
se puede decir respecto a1 nucleo K, de #, donde K = {v E Vl #(v) = O)?
8. Si V es un espacio vectorial sobre F y W es un subespacio de V, definanse
las operaciones requeridas en V/ W para que se convierta en un espacio
vectorial sobre F.
9. Demuestrese que si dim,(V) = n y W es un subespacio de V con
dim, ( W ) = m, entonces dim, ( V/ W ) = n - m.
10. Si #: V + V' es un homomorfismo de V sobre V' con nucleo K, demuestre-se
que V' 2: V/K (como espacios vectoriales sobre F).
11. Si V es un espacio vectorial finito-dimensional sobre F y v,, . . . , v, en V
son linealmente independientes sobre F, demuestrese que se pueden encon-

198. 190 CAP~TUL5O 0 CAMPOS
trar w,, . . ., w, en V, donde m + r = dimF(V), tales que v,, . . ., vrn,
w,, . . . , w, forman una base de V sobre F.
12. Si V es un espacio vectorial sobre F de dimension n, pruCbese que V es iso-morfo
a1 espacio vectorial de n-adas sobre F (Ejemplo 1).
13. Sean K > F dos campos; supongase que K, como espacio vectorial sobre
F, tiene dimension finita n. DemuCstrese que si a E K, entonces existen ao,
a,, . . . , a, en F, no todos cero, tales que
14. Sea Fun campo, F [x] el anillo de polinomios en x sobre F y f (x) # 0 en
F [x]. ConsidCrese V = F [x]/J como un espacio vectorial sobre F, donde
J es el ideal de F [x] generado por f (x). PruCbese que
dim, ( V) = deg f (x).
15. Si V y Wson dos espacios vectoriales finito-dimensionales sobre F, pruCbe-se
que V e W es finito-dimensional sobre F y que dim, ( V e W) =
dim, ( V) + dim, ( W).
16. Sea V un espacio vectorial sobre F y supongase que U y W son subespacios
de V. Definase U + W = {u + wlu E U, w E W). PruCbese que:
(a) U + W es un subespacio de V.
(b) U + W es finito-dimensional sobre F si tanto U como W lo son.
(c) U n W es un subespacio de V.
(d) U + W es una imagen homomorfa de U e W.
(e) Si U y W son finito-dimensionales sobre F, entonces
dimF([/ + W) = dim, ( U) + dim, ( W) - dim, ( U n W).
17. Sean K > F dos campos tales que dimF(K) = m. Supongase que V es un
espacio vectorial sobre K. PruCbese que:
(a) V es un espacio vectorial sobre F.
(b) Si V es finito dimensional sobre K, entonces es finito dimensional sobre
F.
(c) Si dim,( V) = n, entonces dimF(V) = mn [es decir, dimF( V) =
dim, ( V) dim, (K)] .
18. Sean K > F campos y supongase que V es un espacio vectorial sobre K tal
que dim, ( V) es finito. Si dimF(K) es finito, demuCstrese que dim, ( V) es
finita y determinese su valor en tirminos de dim,(V) y dim,(K).

199. 5.3 Extensiones de campos 191
19. Sea D un dominio integral con unidad 1, que es un espacio vectorial finito-dimensional
sobre un campo F. PruCbese que D es un campo. (Nofa: Dado
que F 1, que se puede identificar con F, esta en D, la estructura de anillo
de D y la estructura de espacio vectorial de D sobre F estan en armonia en-tre
si.)
20. Sea V un espacio vectorial sobre un campo infinito F. DemuCstrese que V
no puede ser la union (corno en la teoria de conjuntos) de un numero finito
de subespacios propios de V. (Muy dijicil.)
Nuestra atencion se vuelve ahora hacia una relaci6n entre dos campos K y F,
donde K > F. Se le llama a K una extension (o campo extension) de F, y a F
un subcampo de K. En todo lo que sigue en esta seccion se sobreentendera que
K 3 F.
Se dice que K es una extension finita de F si, considerado como espacio vec-torial
sobre F, dim,(K) es finita. Se expresara dim,(K) como [K : F] y se le
llamara grado de K sobre F.
Se inicia la discusion con el resultado que normalmente es el primer0 que
se prueba a1 hablar de extensiones finitas.
TEOREMA 5.3.1. -.S- ean- L > K > F tres campos tales que ambas
-[-L- : K] y [K : F ] son finitas. ~ntoncesL es una extension finita d .e. F-y[
L:F] = [L:K][K:F].
DEMOSTRACI~SNe. p robara que L es una extension finita de F mostrando ex-plicitamente
una base finita de L sobre F. A1 hacerlo se obtendra el resultado
mas fuerte afirmado en el teorema, a saber que [L : F ] = [L : K] [K : F].
Supongase que [L : K] = m y [K : F] = n; entonces L tiene una base v,,
v2, . . . , U, sobre K y K tiene una base w,, w2, . . . , w, sobre F. Se probara que
10s mn elementos viwj, donde i = 1, 2, . . . , m y j = 1, 2, . . . , n, constituyen
una base de L sobre F.
Se empieza por demostrar que, por lo menos, estos elementos generan L
sobre F; esto demostrara, por supuesto, que L es una extension finita de F. Sea
a E L; dado que 10s elementos v,, . . . , v, forman una base de L sobre K, se
tiene a = k,vl + . . + k,v,, donde k,, k2, . . . , k,,, estan en K. Puesto que
w,, . . . , w, es una base de K sobre F, se puede expresar cada ki como
donde 10s f,, estan en F. Sustituyendo estas expresiones de 10s ki en la expre-sion
anterior de a, se obtiene

200. 192 CAP~TULO5 CAMPOS
Por lo tanto, descifrando explicitamente esta suma, se obtiene que
De esta manera 10s mn elementos uiwj de L generan L sobre F; por lo tanto,
[L : F] es finita y, en efecto, [L : F] I mn.
Para demostrar que [L : F ] = mn, se necesita solamente probar que 10s
mn elementos uiwj anteriores son linealmente independientes sobre F, ya que
entonces -junto con el hecho de que generan L sobre F- se tendria que for-man
una base de L sobre F. Por el Teorema 5.2.5 se llegaria a1 resultado desea-do
[L : F] = mn = [L : K] [K: F].
Supongase entonces que para algun bU en F se tiene la relacion
Reuniendo tCrminos en esta suma, se obtiene que c,ul + c2u2 + -. . +
cmum = 0, donde c, = bllwl + . -. + blnwn, . . . , C, = bmlwl + . . . +
b,,w,. Puesto que 10s ci son elementos de K y 10s elementos u,, . . . , v, de L
son linealmente independientes sobre K, se tiene que c, = c2 = = c, = 0.
Recordando que ci = bi,wl + . . . + b,w,, donde 10s bU estan en F y w,,
. . . , w, de K son linealmente independientes sobre F, se deduce que todos 10s
bU = 0 a partir del hecho de que c, = c2 = . . - = c, = 0. Por consiguiente,
solo la combinacion lineal trivial, con todos 10s coeficientes cero, de 10s elementos
viwj sobre F puede ser cero. Por lo tanto, 10s uiwj son linealmente independien-tes
sobre F. Anteriormente se vio que esto era suficiente para probar el teore-ma.
El lector debe comparar el Teorema 5.3.1 con el resultado un poco mas ge-neral
del Problema 17 de la Seccion 5.2, el cual ya debe poder resolver.
Como consecuencia del teorema se tiene el
COROLARISOi L. 2 K 2 F son tres campos tales que [L : F~S
finito, entonces [K : F] es finito y divide a [L : F1.
DEMOSTRACI~NP.u esto que L > K, K no puede tener mas elementos lineal-mente
independientes sobre F que L. En virtud de que, por el Teorema 5.2.6,
[L : F ] es el tamaiio del mayor conjunto de elementos linealmente indepen-dientes
en L sobre F, se obtiene en consecuencia que [K : F ] I [L : F], asi
que debe ser finito. Dado que L es finito dimensional sobre F y puesto que K

201. 5.3 Exiensiones de campos 193
contiene a F, L debe ser finito dimensional sobre K. De esta manera se satisfa-cen
todas las condiciones del Teorema 5.3.1, de. lo cual [L : F] =
[L : K] [K : F]. Por consiguiente, [K : F] divide a [L : F], como se afirma en
el corolario.
Si K es una extension finita de F, se puede decir bastante con respecto a1
comportamiento de 10s elementos de K con relacion a F. Esto es
TEOREMA 5.3.2. -S-u-p ongase que K es una extension finita de F de
g-r ado n. Entonces, dado cualquier elemento u en K existen elementos
a-, ,- al, . . . , a, en F, no todos cero, tales que
DEMOSTRACI~DNa.d o que [K : F ] = dim,(K) = n y 10s elementos 1, u, u2,
. . . , un son en total n + 1, por el Teorema 5.2.6 deben ser linealmente depen-dientes
sobre F. De esta manera se pueden encontrar a,, al, . . . , a, en F, no
todos cero, tales que a, + alu + a2u2 + . - + a,un = 0, con lo cual se
prueba el teorema.
La conclusion de este teorema sugiere seiialar aquellos elementos de una ex-tension
de campo que satisfagan un polinomio no trivial.
DEFINICI~NS.i K > F son campos, entonces se dice que a E K es
algebraico sobre F si existe un polinomio p(x) # 0 en F[x] tal que
p(a) = 0.
Por p(a) se entiende el elemento a,,an + alan-' + . . . + a, de K, donde
p(x) = a&' + alxn-l + . . . + a,.
Si K es una extension de F tal que todo elemento de K es algebraico sobre
F, se dice que K es una extension algebraica de F. En estos tCrminos el Teorema
5.3.2 se puede reformular como sigue: Si K es una extension finita de F, enton-ces
K es una extension algebraica de F.
El reciproco de esto no es cierto; una extension algebraica de F no
necesariamente es de grado finito sobre F. iPuede el lector proporcionar un
ejemplo de tal situacion?
Un elemento de K que no es algebraico sobre F se dice que es trascendente
sobre F.
Veamos algunos ejemplos de elementos algebraicos en un context0 concre-to.
ConsidCrese Q= > Q, el campo complejo como una extension del campo de
10s racionales. El numero complejo a = 1 + i es algebraico sobre Q, ya que
satisface a2 - 2a + 2 = 0 sobre Q. De manera semejante, el numero real
3 3
b = 1 + /- es algebraico sobre Q, puesto que b2 = 1 + dl,de
mod0 que (b2 - = 1 + 6,y po r lo tanto ((b2 - 1)3- = 2. Desarro-

202. 194 CAP~TUL5O CAMPOS
llando esto ultimo, se obtiene una expresion polin6mica no trivial en b con coe-ficientes
racionales, que es cero. Por consiguiente, b es algebraico sobre Q.
Es posible obtener numeros reales que Sean trascendentes sobre Q muy fa-cilmente
(vtase la Section 6.6 del Capitulo 6). Sin embargo, el establecer la tras-cendencia
de ciertos numeros conocidos requiere un esfuerzo real. Se puede
demostrar que 10s numeros familiares e y a son trascendentes sobre Q. El caso
de e fue probado por Hermite en 1873; la demostracion de que a es trascenden-te
sobre Q es mucho mas dificil y fue llevada a cab0 primer0 por Lindemann
en 1882. Aqui no se examinara a fondo la demostracion de que cualquier nu-mero
particular sea trascendente sobre Q. No obstante, en la Seccion 6.7 del
Capitulo 6 se demostrara por lo menos que a es irracional. Esto lo hace ser un
candidato posible a numero trascendente sobre Q, ya que evidentemente cual-quier
numero racional b es algebraico sobre Q dado que satisface el polinomio
p(x) = x - b, que tiene coeficientes racionales.
DEFINICI~NSe. dice que un nlimero complejo es un numero alge-b
r a i c ~si es algebraico sobre Q.
Como se vera pronto, 10s numeros algebraicos forman un campo, el cual
es un subcampo de C .
Regresamos a1 desarrollo general de la teoria de 10s campos. En el Teorema
5.3.2 se ha visto que si K es una extension finita de F, entonces todo elemento
de K es algebraico sobre F. Damos la vuelta a esta cuestion preguntando: Si
K es una extension de F y a E K es algebraico sobre F, jse puede producir de
algun mod0 una extension finita de F usando a? La respuesta es si. Esto resul-tara
como consecuencia del siguiente teorema, el cual se demuestra en un con-texto
un poco mas general de lo que en realidad se requiere.
TEOREMA 5.3.3. -S-.e a D u-n- dominio integral con unidad 1 que es un
espacio --+ vectorial finito-dimensional sobre un cam-p o- F. ~ntonceDs &
-u.n- c-a mp-o-.
DEMOSTRACIOPNa.r a demostrar el teorema, para a f 0 en D se debe produ-cir
un inverso a-' en D tal que aa-' = 1.
Como en la demostracion del Teorema 5.3.2, si dimF(D) = n, entonces 1,
a, a 2 , . . . , a ne n D son linealmente dependientes sobre F. De manera que para
ciertos a,, a,, . . . , an en F apropiados, no todos ellos cero,
Sea p(x) = Poxr + Plxr-I + . . . + Pr P 0 un polinomio en F [x] de grado
minimo tal que p(a) = 0. Afirmamos que Or f 0. Si 0, = 0, entonces

203. 5.3 Extensiones de campos 195
como D es un dominio integral o entero y a # 0, se eoncluye que Pear-' +
Plar-2 + . . + Or-, = 0, por consiguiente q(a) = 0, donde q(x) =
Poxr-' + /31~r-2 + . + Pr-, en F[x] es de grado menor que p(x), lo cual
es una contradiccion. De esta manera 0, # 0, por lo tanto P,' esta en F y
lo cual da lugar a que -(boar-' + . . . + Pr-,)/Pr, que esta en D, es el a-'
requerido en D. Esto prueba el teorema.
Teniendo a la mano el Teorema 5.3.3, es deseable hacer uso de el. Asi que
jcomo producir subanillos de un campo K que contenga a F y Sean finito-di-mensionales
sobre F? Tales subanillos, por ser subanillos de un campo, son
automaticamente dominios integrales y cumplirian la hipotesis del Teore-ma
5.3.3. Los medios para este fin seran 10s elementos de K que Sean algebrai-cos
sobre F.
Pero primer0 una definicion.
DEFINICION. Se dice que un elemento a en la extension K de F es
algebraico de grado n si existe un polinomio p(x) en F [x] de grado
n tal quep(a) = 0 y ningun polinomio no cero de grado menor en F [x]
tiene esta propiedad.
Se puede suponer que el polinomio p(x) en esta definicion es monico, ya
que se podria dividir dicho polinomio entre su coeficiente de la potencia mayor
para obtener un polinomio monico q(x) en F [x], de igual grado que p(x), y
tal que q(a) = 0. De ahora en adelante se supone que el polinomiop(x) es mo-nico;
se le llama polinomio minimo de a sobre F.
LEMA 5.3.4. -Sea a E K algebraico sobre F con polinomio minimo -- . -- -"* " - .- .--.
-p- (x- ) en F [x]. Entonces p(x) es irreducible en FIX]. * .-.
DEMOSTRACI~NSu. pongase que p(x) no es irreducible en F[x]; entonces
p(x) = f (x)g(x), donde f (x) y g(x) estan en F [x] y cada uno tiene grado
positivo. Puesto que 0 = p(a) = f (a)g(a) y dado que f (a) y g(a) estan en
el campo K, se concluye que f (a) = 0 o bien g(a) = 0, lo cual es imposible,
ya que ambos f (x) y g(x) son de grado menor que f (x). Por lo tanto, p(x)
es irreducible en F Ix].
Sean a E K algebraico de grado n sobre F y p(x) E F [x] su polinomio mi-nimo
sobre F. Dado f (x) E F [XI, entonces f (x) = q(x)p(x) + r(x), donde
q(x) y r(x) estan en F [x] y r(x) = 0 o bien grd r(x) < grdp(x), en virtud
del algoritmo de la division. Por lo tanto, f(a) = q(a)p(a) + r(a) = r(a),

204. 196 CAP~TULO5 CAMPOS
ya que p(a) = 0. En forma breve, cualquier expresion polinomica en a sobre
F se puede expresar como un polinomio en a de grado n - 1 a lo sumo.
Sea F [a] = { f (a) If (x) E F [x] ). Afirmamos que F [a] es un subcampo de
K que contiene a ambos F y a, y que [F [a] : F] = n. Por la observacion hecha
anteriormente, F[a] es generado sobre F por 1, a, a2, ..., , por lo
tanto es finito-dimensional sobre F. Ademas, como es posible verificar facil-mente,
F [a] es un subanillo de K y como tal, F [a] es un dominio integral. Por
consiguiente, por el Teorema 5.3.3, F [a] es un campo. Puesto que es generado
sobre F por 1, a, a2, ..., an-', se tiene que [F[a] : F] I n. Para demostrar
que [F[a] : F ] = n se debe probar simplemente que 1, a, a2, .... son
linealmente independientes sobre F. Si a. + a,a + ... + an-,an-' = 0,
con 10s a, en F, entonces q(a) = 0, donde q(x) = a. + a,x + +
an-,xn-' esth en F[x]. Puesto que q(x) es de grado menor que p(x), el cual
es el polinomio minimo de a en F [XI, se concluye necesariamente que q(x) =
0. Esto implica que a. = a, = ... = an-, = 0. Por lo tanto, 1, a , a2, . . . .
an-' son linealmente independientes sobre F y forman una base de F [a] sobre
F. De esta manera [F[a] : F] = n. Dado que F[a] es un campo, y no sim-plemente
un conjunto de expresiones polinomicas en a, F [a] se denotara por
F(a). ObsCrvese ademas que si M es cualquier campo que contiene a ambos
F y a, entonces M contiene todas las expresiones polinomicas en a sobre F, por
consiguiente M > F (a). Por lo tanto, F (a) es el menor subcampo de K que
contiene a ambos F y a.
DEFINICIONF. (a) se llama campo o extension obtenida a1 agregar
a a1 campo F.
Ahora se resumen.
TEOREMA 5.3.5. -S. up,. o- ng ..ase que K > F y que a en K es algebraic0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-so. -b - re F.... de grado n. Entonces F(a), el campo obt.e ni.d o ag..r...e...g. ando a. .a.
5-ec~a. = xtension finit.a. d..e. F.. y.
Antes de dejar el Teorema 5.3.5, considerCmoslo de una manera un poco
diferente. Sean F[x] el anillo de poliriomios en x sobre F, y M = (p(x))
el ideal de F [x] generado por p(x), el polinomio minimo de a en K sobre F.
Por el Lema 5.3.4, p(x) es irreducible en F [x]; por consiguiente, por el Teore-ma
4.5.1 1, M es un ideal miximo de F [XI. Por lo tanto, F [x]/(p(x)) es un
campo por el Teorema 4.4.2.
Definase la aplicacion $ : F [x] + K mediante $( f (x)) = f (a). Esta apli-cacion
$ es un homomorfismo de F [x] en K y la imagen de F [x] en K es sim-plemente
F(a) por la definicion de ~(a).iC ual es el nucleo de rl/? Por
definicion es J = { f (x) E F [x] I rl/( f (x)) = 0), y puesto que se sabe que
$ (f (x)) = f (a), J = { f (x) E K [x:l If (a) = 0). Dado que p(x) esta en J y es

205. 5.3 Extensiones de campos 197
el polinomio minimo de a sobre F, p(x) es del grado minimo posible entre 10s
elementos de J. De esta manera J = (p(x)) por la demostracion del Teorema
4.5.6, y asi J = M. Por el primer teorema de homomorfismos para anillos
F [x]/M 2: imagen de F [x] respecto a $ = F(a), y puesto que F [x]/M es un
campo, se tiene que F(a) es un campo. Se deja a1 lector la demostracion, desde
este punto de vista, de que [F(a) : F] = degp(x).
PROBLEMAS 5.3
1. Demuestrese que 10s siguientes numeros en 02 son algebraicos.
(a) fi + ?/j.
(b) d7 + m.
(c) 2 + i&.
(d) cos (2a/k) + isen (2a/k), k entero positivo.
2. Determinense 10s grados sobre Q de 10s numeros dados en las partes (a) y
(c) del Problema 1.
3. es el grado de cos (2n/3) + isen (2a/3) sobre Q?
4. ~Cuaels el grado de cos (2a/8) + isen (2a/8) sobre Q?
5. Sip es un numero primo, prukbese que el grado de cos (2a/p) + i sen (2a/p)
sobre Q es p - 1 y que
es su polinomio minimo sobre Q.
6. (Para 10s lectores que hayan cursado Calculo.) Demuestrese que
es irracional.
7. Si a en K es tal que a2 es algebraico sobre el subcampo F de K, demostrar
que a es algebraico sobre F.
8. Si F c K y f (a) es algebraico sobre F, donde f (x) es de grado positivo en
F [x] y a E K, prukbese que a es algebraico sobre F.
9. En relacion con la discusion que sigue a1 Teorema 5.3.5, demostrar que
F [x]/M es de grado n = grdp(x) sobre F y por consiguiente [F(a) : F] =
n = grdp(x).
10. Pruebese que cos 1 es algebraico sobre Q. (1 " = un grado, medida angular.)
11. Si a E K es trascendente sobre F, sea F(a) = { f (a)/g(a) 1 f (x), g(x) #

206. 198 CAP~TUL5O CAMPOS
0 E F [x] ). Demuestrese que F(a) es un campo y que es el menor subcampo
de K que contiene a ambos F y a.
12. Si a es como en el Problema 11, demuestrese que F(a) = F(x), donde
F(x) es el campo de las funciones racionales en x sobre F.
13. Sea K un campo finito y F u n subcampo de K. Si [K : F] = n y F consta
de q elementos, demuestrese que K consta de qn elementos.
14. Aplicando el resultado del Problema 13, demuestrese que un campo finito
consta de pn elementos para cierto primo p y cierto entero positivo n.
15. Construyanse dos campos K y F de tal mod0 que K sea una extension alge-braica
de F per0 que no sea una extension finita de F.
Continuamos en el estilo de la seccion precedente. Nuevamente K > F siempre
denotara dos campos y se emplearan letras latinas para 10s elementos de K y
letras griegas para 10s de F.
Sea E(K) el conjunto de 10s elementos de K que son algebraicos sobre F.
Desde luego, F C E(K). Nuestro objetivo es probar que E(K) es un campo.
Una vez probado, se vera un poco acerca de como esta situado E(K) en K.
Sin mh consideraciones procedemos a1
TEOREMA 5.4.1. -.E (-K ) es un. .s.u bcampo , d. .e. -K- .
DEMOSTRACI~LNo. que se debe probar es que si a, b E K son a l g e b r a i c~so~-
bre F, entonces a & b, ab y a/b (si b # 0) son algebraicos sobre F. Esto garanti-zara
que E(K) es un subcampo de K. Se hara todo para a & b, ab y a/b "de
un solo golpe".
Sea KO = F(a) el subcampo de K que se obtiene agregando a a F. Puesto
que a es algebraico sobre F, digamos de grado m, entonces, por el Teorema
5.3.5, [KO : F] = m. Dado que b es algebraico sobre F y como KO contiene a
F, se tiene desde luego que b es algebraico sobre KO. Si b es algebraico sobre
F de grado n, entonces es algebraico sobre KO de grado n a lo sumo. De esta
manera K, = Ko(b), el subcampo de K obtenido agregando b a KO, es una ex-tension
finita de KO y [Kl : KO] I n.
Por consiguiente, por el Teorema 5.3.1, [K1 : F] = [K, : KO] [KO : F] I
mn; es decir, K, es una extension finita de F. Como tal, por el Teorema 5.3.2,
K, es una extension algebraica de F, asi que todos sus elementos son algebrai-cos
sobre F. Puesto que a E KO C Kl y b E K,, entonces todos 10s elementos
a & b, ab, a/b estan en K,, por consiguiente son algebraicos sobre F. Esto es
exactamente lo que se requeria y el teorema queda demostrado.

207. 5.4 Extensiones finitas
Si examinamos la demostracion un poco mas cuidadosamente, vemos que
en realidad se ha probado algo mas, a saber el
COROLARSIOi a .Y b en K son algebraicos sobre F de grados m y
n, respectivamente, entonces a & b, ab y a/b (si b # 0) son algebraicos
sobre F de grado mn a lo sumo.
Un caso especial, que merece seiialarse y registrarse, es K = C y F = Q.
En dicho caso 10s elementos algebraicos de C sobre Q fueron denominados nu-meros
algebraicos; por lo tanto el Teorema 5.4.1 se convierte para este caso en el
TEOREMA 5.4.2. -L.o s numeros algebraicos forman un sub- cam- po
-de C.
Por lo visto hasta ahora, el conjunto de 10s numeros algebraicos podria ser
muy bien todo C. Pero no es asi, ya que si existen numeros trascendentes; se
demostrara que esto es cierto en la Seccidn 6.6 del Capitulo 6.
Volvemos a un campo general K. El subcampo E(K) tiene una cualidad
muy particular, la cual se probara en seguida. Dicha propiedad consiste en que
cualquier elemento de K que sea algebraico sobre E(K) debe estar tambien en
E(K).
Para no hacer una digresidn en el curso de la demostracion que se va a dar,
se introduce la siguiente notacidn. Si a,, a2, . . . , a,, estan en K, entonces
F(al, . . . , a,,) sera el campo que se obtiene como sigue: Kl = F(a,), K2 =
Kl(a2) = F(a17 021, K3 = K2(a3) = F(al, 02, 0317 . . Kn = Kn-,(an) =
F(al, a2, . . . , a,,).
Ahora se prueba el
TEOREMA 5.4.3. -Si u- en , K es algebraic0 sobre E(K), entonces u .e st-a..
e-"n.- E..-( K).-
DEMOSlRAC16N. Para probar el teorema, todo lo que se debe hacer es demos-trar
que u es algebraico sobre F; esto colocara a u en E(K) y se habra concluido
la demostracidn.
Puesto que u es algebraico sobre E(K), existe un polinomio no trivial
f (x) = xn + alxn-I + a2xn-2 + . . + a,, donde a,, a2, . . . , a, estan en
E(K), tal que f (u) = 0. Dado que a,, a2, . . . , a, estan en E(K), son algebrai-cos
sobre F de grados, digamos, m,, m2, . . . , m,, respectivamente. Afirma-mos
que [F(a,, . . . , a,) : F] es a lo sumo m,m2 . . m,. Para tal fin, simple-mente
se llevan a cab0 n aplicaciones sucesivas del Teorema 5.3.1 a la sucesion
K,, K2, . . . , K,, de 10s campos definidos anteriormente. Su demostracidn
se deja a1 lector. De esta manera, dado que u es algebraico sobre el campo
K,, = F(al7 a2, . . . , a,) [despues de todo, el polinomio que u satisface es
p(x) = xn + a,xn-' + . -. + a,, el cual tiene todos sus coeficientes en
F(a,, a,, . . . , a,)], el campo K,(u) es una extension finita de K, y puesto que

208. 200 CAP~TULO~ CAMPOS
K,, es una extensi6n finita de F, se tiene, de nuevo por el Teorema 5.3.1, que
K,(u) es una extension finita de F. Como u E Kn(u), del Teorema 5.3.2 se ob-tiene
que u es algebraico sobre F. Esto situa a u en E(Kj por la misma defini-cion
de E(K), y con ello se prueba el teorema.
Existe un teorema famoso debido a Gauss, a menudo calificado como el
@orema fundamental del algebra, que afirma (en terminos de extensiones)
que la unica extension finita de 6 , el campo de 10s numeros complejos, es
C mismo. En realidad este resultado no es puramente algebraico, su validez de-pende
profundamente de las propiedades topol6gicas del campo de 10s nume-ros
reales. Sea como fuere, es un teorema sumamente importante en el algebra
y en muchas otras partes de la matematica.
La formulaci6n del Teorema fundamental del algebra en tkrminos de la in-existencia
de extensiones finitas de 6 es un poco diferente de la que usualmente
se da. La forma mas frecuente en la que se formula este fa~nosore sultado invo-lucra
el concept0 de raiz de un polinomio, el cual se tratara con cierta extension
posteriormente. En tales terminos el Teorema fundamental del algebra se
transforma en: todo polinomio de grado positivo que tenga sus coeficientes en
C tiene por lo menos una raiz en 6 . El significado precis0 de esta proposici6n
y su equivalencia con la otra forma del teorema expuesta anteriormente, se acla-raran
mh adelante, luego del desarrollo de 10s temas relativos a raices.
Un campo L con la propiedad de C descrita en 10s parrafos anteriores se
dice que es algebraicamente cerrado. Si se da por sentado que C es algebraica-mente
cerrado (teorema de Gauss), entonces, por el Teorema 5.4.3, se tiene
tambikn que
El campo de 10s numeros algebraicos es algebraicamente cerrado. --... - .-..- *. . . . .. .. . , . . - . . ..... ". .
1. DemuCstrese que a = - & es algebraico sobre Q de grado a lo sumo
4 mostrando un polinomio f (x) de grado 4 sobre Q tal que f (a) = 0.
2. Si a y b en K son algebraicos sobre F de grados m y n, respectivamente,
y si m y n son relativamente primos demuestrese que [F(a, b) : F] = mn.
3. Si a E 6 es tal que p(a) = 0, donde
demuestrese que a es algebraico sobre Q de grado a lo sumo 80.
4. Si K > F es tal que [K : F] = p, siendo p primo, probar que K = F(a)
para todo a en K que no este en F.

209. 5.5 Constructibilidad 201
5. Si [K : F] = 2" y T es un subcampo de K, demutstrese que [T : F] = 2m
para algun m I n.
6. Proporcionese un ejemplo de dos numeros algebraicos'a y b de grados 2
y 3, respectivamente, tales que ab sea de grado menor que 6 sobre Q.
7. Si K 3 F son campos y a,, . . ., a, estan en K, demutstrese que
F(a,, . . . , a,) es igual a F(ad,,, . . . , ad,,) para cualquier permutacion a
de1,2, ..., n.
En la antigua Grecia, a diferencia de las otras culturas de la tpoca, 10s matema-ticos
griegos se interesaron en la matematica como una disciplina abstracta mds
bien que como un caudal de habilidades pragmaticas para hacer cuentas o rea-lizar
mediciones. Desarrollaron notables intereses y resultados en la teoria de
10s numeros y, de manera muy especial, en geometria. En dichas areas formu-laron
cuestiones perspicaces. Los problemas que plantearon en geometria -dos
de 10s cuales constituiran el tema aqui tratado- son aun de interes y sustancio-sos.
El matematico inglks G. H. Hardy, en su triste per0 encantador librito A
Mathematician's Apology (Apologia de un matematico), describe a 10s antiguos
matematicos griegos como "colegas de otro colegio".
En esta seccion nos referiremos a dos de tales problemas griegos. Pero en
realidad la respuesta a ambos surgira como una consecuencia del criterio de
constructibilidad, el cual se obtendra. Ahora se plantean dichos problemas y
un poco despuks se explicard lo que traen consigo.
PROBLEMA1 . iSe puede duplicar un cubo usando solamente regla y compas?
PROBLEMA2 . iSe puede trisecar un angulo arbitrario usando solamente regla
y compas?
A pesar de la aparente infinidad de "trisectores de angulos" que afloran
cada aiio, la respuesta a ambos problemas es "no". Como se vera, es imposible
trisecar el dngulo de 60' usando solo regla y compas. Algunos dngulos, desde
luego, son trisecables, por ejemplo, 0°, 90°, 145O, 180°, . . . , per0 la mayoria
de 10s angulos (con un sentido muy precis0 de "mayoria") no lo son.
Antes de llegar a1 significado exacto de 10s mismos problemas, se requiere
explicar en terminos explicitos cuales son exactamente las leyes del juego. Por
regla no se entendera' una regla graduada -es decir, un instrumento para medir
longitudes arbitrarias. No. Una regla sera simplemente una linea recta, sin nin -
guna propiedad cuantitativa o metrica atribuida a ella. Se tiene dado un seg-

210. 202 CAP~TUL5O CAMPOS
mento de recta -a1 cual se le asigna longitud 1- y todas las demis longitudes
que se deriven de tal segmento deben obtenerse sencillamente empleando una
regla (un simple borde recto) y un compis.
Llamemos a un numero real no negativo b longitud constructible si, me-diante
un numero finito de aplicaciones de la regla y el compas y 10s puntos
de interseccion obtenidos entre rectas y circulos asi construidos, se puede
construir un segmento de recta de longitud b, a partir del segmento de recta
a1 que se le asign6 longitud 1.
De la geometria cursada en el bachillerato recordamos algunas cosas que
se pueden realizar dentro de este marco.
1. Cualquier longitud que se construya sobre una recta se puede construir so-bre
cualquier otra recta mediante el uso del compas como instrumento de
transferencia o transporte.
2. Se puede trazar una recta paralela a una recta dada que pase por un punto
dado.
3. Se puede construir una longitud n para cualquier entero no negativo n.
A partir de estos hechos y utilizando resultados referentes a la semejanza
de triangvlos, es posible construir cualquier longitud racional no negativa. Por
el momento esto no se realiza, ya que resultara como un caso especial de lo que
se hard en seguida.
Afirmamos las siguientes propiedades:
1. Si a y b son longitudes constructibles, entonces a + b tambikn lo es. Si
AB es un segmento de recta de longitud a y CD es uno de longitud b, se puede
transferir dicho segmento CD, por medio de un cornpas, para obtener el
diagrama ABE, donde AB es de longitud a y BE es de longitud b. De esta ma-nera
el segmento de recta AE es de longitud a + b. Si b > a, jc6m0 se
construiria b - a?
2. Si a y b son longitudes constructibles, entonces ab tambien lo es. Se pue-de
suponer que a # 0 y b # 0, de lo contrario, la proposici6n es trivial. Consi-dCr:
se el diagrama
donde L, y L2 son dos rectas distintas que se intersecan en P, y es tal que PA
tiene longitud a, PB tiene longitud b y PJ tiene longitud 1. Sea L3 la recta que
pasa por J y A y L, la recta paralela a L3 que pasa por B. Si C es el punto de
interseccion de L, y L,, se tiene el diagrama

211. 5.5 Constructibilidad
Todas estas construcciones se pueden llevar a cab0 con regla y compas. Por
geometria elemental, la longitud de PC es ab. Por tanto, ab es constructible.
3. Si a y b son constructibles y b # 0, entonces a/b es constructible. Consi-dCrese
el diagrama
donde P, A, B, J, L1 y L2 son como en la propiedad 2 anterior. Sean L5 la recta
que pasa por A y B, y L, la que pasa por J paralela a L5. Si D es el punto de
interseccion de L, y L2, entonces, nuevamente por geometria elemental, la lon-gitud
de PD es a/b. Se destaca de nuevo que todas las construcciones realizadas
pueden llevarse a cab0 con regla y compas.
Desde luego, esto demuestra que 10s numeros racionales no negativos son
longitudes constructibles, ya que son cocientes de enteros no negativos, 10s cua-les
se sabe que son longitudes constructibles. Sin embargo hay otras longitudes
constructibles, por ejemplo, el numero irracional a. Dado que se puede
construir con regla y compas el triangulo rectangulo
con 10s lados AB y BC de longitud I, por el teorema de Pitagoras se sabe que
AC es de longitud a. Por lo tanto, es una longitud constructible.
En las propiedades 1 a 3 se demostro que las longitudes constructibles casi
forman un campo. Lo que falta son 10s negativos. Para evitar esto se formula
la
DEFINICION. Se dice que un n6mero real a es un nu'rnero constructi-ble
si 1 a 1, el valor absoluto de a, es una longitud constructible.

212. 204 CAP~TULO5 CAMPOS
En lo que se puede decir hasta el momento, cualquier numero real podria
ser constructible. Pronto se dispondra de un criterio quedice que ciertos nume-ros
reales no son constructibles. Por ejemplo, se podra deducir a partir de este
criterio que tanto como cos 20° no son constructibles. Esto a su vez permiti-ri
demostrar que la respuesta para ambos Problemas 1 y 2 es "no".
Pero primer0 se formula el
TEOREMA 5.5.1. -L--o s numeros constructibles forman un subcamp-o.
-d- e.l campo de 10s nume-ros. re ales.
DEMOSTRACI~LaNs .p ropiedades 1 a 3 casi resuelven el problema; la propie-dad
1 se debe adaptar ligeramente para permitir valores negativos. Se dejan a1
lector 10s pocos detalles.
La meta siguiente es demostrar que todo numero constructible debe ser un
numero algebraico -no cualquier numero algebraico conocido, sin0 uno que
satisfaga una condici6n bastante severa.
Primero obskrvese que si a r 0 es un numero constructible, entonces &
tambiCn lo es. ConsidCrese el diagrama
Corresponde a una semicircunferencia de radio (a + 1)/2, centro en C; AD es
de longitud a, DB es de longitud 1 y DE es perpendicular a AB en D y corta
a la circunferencia en E. Todo esto es constructible con regla y compas. Por
geometria elemental se tiene que DE es de longitud &. Por consiguiente, &
es constructible.
Ahora nos dirigimos hacia la condici6n necesaria para que un numero real
sea constructible. Sean K el campo de numeros constructibles y KO un subcam-po
de K. Se entiende por el plano de KO el conjunto de todos 10s puntos (a, b)
en el plano euclidiano real cuyas coordenadas a y b estan en KO. Si (a, b) y
(c, d) estan en el plano de KO, entonces la recta que 10s une tiene la ecuacion
(y - b)/(x - a) = (b - d)/(a - c), de manera que es de la forma ux + uy +
w = 0, donde u, u y w estan en KO. Dadas dos de tales rectas u,x + u, y +
w1 = 0 y u2x + u2y + w2 = 0, donde u,, u,, w, y u2, u2, w2 estan todos
en KO, entonces son paralelas o bien su punto de interseccion es un punto de
KO. (PruCbese.)
Dada una circunferencia cuyo radio r esta en KO y cuyo centro (a, b) esta
en el plano de KO, su ecuacion es (x - a)2- + (y - b)2 = r2, la cual a1 desarro-llarse
se ve que es de la forma xZ + y2 + dx + ey + f = 0, donde d, e y f
estan en KO. Para ver donde interseca dicha curva a una recta ux + uy + w =
0, contenida en el plano de KO, se resuelven simultaneamente las ecuaciones de

213. 5.5 Constructibilidad
la recta y la circunferencia. Por ejemplo, si u Z 0, entonces y = -(ux + w)/u;
sustituyendo y por esta expresion en la ecuacion x2 + yf + dx + ey +. f =
0 se obtiene una ecuacion cuadratica en la abscisa c de dicho punto de intersec-cion,
de la forma c2 + s,c + s2 = 0, con S, y s2 en KO. Por la formula cua-dratica,
c = (-s, & dk: - 4s;)2, y si la recta y la circunferencia se cortan en
el plano real, entonces s: - 4s; r 0. Si s = s: - 4s; r 0 y si K1 = K~(&), 1
entonces se ve que la abscisa c se encuentra en K,. Si & E KO, resulta K, =
KO; de lo contrario, [K, : KO] = 2. Puesto que la ordenada d = (-uc + w)/u,
se tiene que tambiCn d esta en K,. Por consiguiente el punto de interseccion
(c, d) se encuentra en el plano de K, donde [K, : KO] = 1 o bien 2. Si u = 0
y u Z 0 el razonamiento es semejante.
Finalmente, para obtener la interseccion de las circunferencias x2 + y2 +
dx + ey + f = 0 y x2 + y2 + gx + hy + k = 0 en el plano de KO, restan-do
una de estas ecuaciones de la otra resulta la ecuacion de la recta en el plano
de KO, (d - g)x + (e - h)y + (f - k) = 0. Por tanto, encontrar 10s puntos
de interseccion de las dos curvas en el plano de KO es lo mismo que hallar 10s
puntos de interseccion de una recta en el plano de KO con una circunferencia
en ese plano. ~steas p recisamente la situation de que se dispuso anteriormente.
Por tanto, si las dos circunferencias se cortan en el plano real, sus puntos de
interseccion se encuentran en el plano de una extension de KO de grado 1 o 2.
Para producir una longitud constructible a se empieza en el plano de Q, el
conjunto de 10s racionales; la regla proporciona rectas en el plano de Q y
el compas circunferencias en el plano de Q. Por tanto, btas se intersecan en un
punto del plano de una extension de grado 1 o 2 de Q. Para llegar a a, se va
por este procedimiento del plano de Q a1 de L,, digamos, donde [L, : Q] =
1 o 2, luego a1 de L,, donde [L2 : L, 1 = 1 o 2, y se continua un numero finito
de veces. En esta forma se obtiene una sucesion finita Q = Lo c L, c
. . C L, de campos, donde cada [L, : L,-,I = 1 o 2 y donde a esta en L,.
Por el Teorema 5.3.1, [L, : Q] = [L, : L,-,] [L,-, : L,-,] . - [L, : Q]
y dado que cada [L, : Li-,I = 1 o 2, se ve que [L, : Q] es una potencia de 2.
Puesto que a E L,, se tiene que Q (a) es un subcampo de L,, por consiguiente,
por el corolario del Teorema 5 -3.1, [ Q (a) : Q ] debe dividir a una potencia de
2, por lo tanto [Q (a) : Q] = 2" para algun entero no negativo m. En forma
equivalente, por el Teorema 5.3.5, el polinomio minimo de a sobre Q debe te-ner
grado igual a una potencia de 2. ~steas una condicion necesaria para que
a sea constructible. Se ha probado el importante criterio de constructibilidad,
a saber
TEOREMA 5.5.2. Para que un ndmero real a sea con-s.t-r.u.c tible, es ne-cesario
que [Q( a) :3s]ea una potencia de 2. En forma equivalente,
-a- p.o linomio mMinimdoe a sobre Q debe tener grado igual a una poten--
c.i a de 2.
Duplicar un cub0 de lado 1, por lo tanto de volumen 1, mediante regla y
compas, requeriria construir un cub0 de lados de longitud b cuyo volumen

214. 206 CAP~T~I5L O CAMPOS
fuera 2. Pero el volumen de tal cub0 seria b3, asi que se tendria que poder en-
/ contrar un nuevo n~meroc onstructible b tal que b3 = 2.
Dado un numero real b tal que b3 = 2, entonces su polinomio minimo so-bre
Q es p ( ~ =) x3 - 2, ya que este polinomio es monico e irreducible sobre
Q (si el lector lo desea, por el criterio de Eisenstein) yp(b) = 0. Ademas, como
resulta obvio a la vista, p(x) es de grado 3. Puesto que 3 no es una potencia
de 2, por el Teorema 5.5.2, no existe tal b constructible. Por lo tanto, el proble-ma
de la duplication del cub0 mediante regla y compas tiene respuesta negati-va.
Esto se resume en el
TEOREMA 5.5.3. --&. Es imposible duplicar un cub0 de volumen 1 u,s-a n- --
do sola-mente regla y comias: -"-
Hemos resuelto ya el clasico Problema 1, asi que volvemos a1 Problema 2,
el de la trisection de un angulo arbitrario mediante regla y compas.
Si se pudiera trisecar el angulo particular 60°, se podria construir el trian-gulo
ABC del diagrama
donde 0 = 20" y AC es de longitud 1, usando solo regla y compb. Puesto
que AB es de longitud cos 20°, se tendria que b = cos 20' es un numero cons-tructible.
Se desea probar que b = cos 20° no es un numero constructible producien-do
su polinomio minimo sobre Q, y demostrando que este polinomio es de
grado 3. Para tal fin se recuerda la formula trigonomktrica del angulo triple,
a saber, cos 36 = 4cos3 4 - 3 cos 4. Si b = cos20°, entonces, dado que
cos(3 20') = cos60° = 5, dicha formula se convierte en 4b3 - 3b = I2, Y
de esta manera 8b3 - 6b - 1 = 0. Si c = 2b, esta se transforma en c3 - 3c -
1 = 0. Si b es constructible, entonces c tambien lo es. Pero p(c) = 0, donde
p(x) = x3 - 3x - 1, y este polinomio es irreducible sobre Q. (Pruebese.) Por
lo tanto, p(x) es el polinomio minimo de c sobre Q. Debido a que p(x) es de
grado 3, y 3 no es una potencia de 2, por el Teorema 5.5.1 se tiene que c no
es constructible. Por consiguiente no sepuede trisecar el angulo de 60" usando
solo regla y compas. Esto responde a1 Problema 2 en forma negativa.
TEOREMA 5.5.4. Es impo-.s ible trisecar un angulo de- .6 -0- " usando s-ol-o- .
regla y corn&!. -" . - *-

215. 5.6 Raices de polinornios 207
Se espera que este teorema disuada a1 lector de la idea de unirse a las multi-tudes
de trisectores de angulos. Hay formas mas productivas y placepteras de
emplear el tiempo.
Existe todavia otro problema clasico de este tip0 cuya respuesta es "no".
Es el que se refiere a la cuadratura del circulo. La pregunta es: iSe puede
construir un cuadrado cuya area sea la de un circulo de radio 1 usando sola-mente
regla y cornpas? Esto es equivalente a preguntar si & es un numero
constructible. Si Cste fuera el caso, entonces dado que a = (&)2, el numero
a seria constructible. Pero Lindemann probo en 1882 que a es en realidad tras-cendente,
asi que desde luego no es algebraico, y entonces no puede ser
constructible. Por lo tanto, no se puede realizar la cuadratura del circulo de
radio 1 mediante regla y compas.
Lo que se hizo anteriormente no constituye, por supuesto, una demostra-cion
de la imposibilidad de la cuadratura del circulo, ya que se ha presupuesto
el resultado de Lindemann sin probarlo. La demostracion de que a es trascen-dente
nos llevaria bastante lejos. Se podria esperar que fuera mas facil probar
que a no es constructible que probar que no es algebraico. Este no parece ser
el caso. Hasta ahora todas las demostraciones de que a no es constructible se
van por el camino de la consideracion de la trascendencia de a.
PROBLEMAS 5.5
1. Complktese la demostracion del Teorema 5.5.1.
2. Pruebese que x3 - 3x - 1 es irreducible sobre Q.
3. Demuestrese que la construccion dada para &, siendo a r 0, da efectiva-mente
&.
4. Pruebese que el heptagon0 regular (poligono de siete lados de la misma lon-gitud)
no es constructible, usando solamente regla y compas.
Sean F [x], como de ordinario, el anillo de polinomios en x sobre el campo F
y K una extension de campo de F. Si a E K y
entonces se entiende por f (a) el elemento
de K. ~stees el uso que se ha hecho de tal notacion a lo largo de este capitulo.
Ahora nos interesaremos en aquellos a en K tales que f (a) = 0.

216. 208 cAP~Tu LO 5 CAMPOS
DEFINICI~NU.n elemento a E K es una raiz de un polinomio f (x)E
F [x] si f ( a ) = -0.
En lo que se ha hecho hasta ahora siempre se ha dado un campo K exten-sion
de un campo F y se consideraron 10s elementos de K algebraicos sobre F,
es decir, aquellos elementos de K que son raices de polinomios distintos de cero
en F [XI. Se vio que si a E K es algebraic0 sobre F de grado n -es decir, si el
polinomio minimo de a sobre F es de grado n- entonces [F(a) : F] = n, don-de
F(a) es el subcampo de K que se obtiene agregando a a F.
Lo que se hace ahora es invertir el problema. Ya no se dispondra de la ex-tension
K de F. En efecto, la tarea principal sera producirla casi desde el princi-pio.
Se empieza con cierto polinomio f ( x ) de grado positivo en F[x] como
unico dato; la meta es construir una extension de campo K de Fen la cual f ( x )
tenga una raiz. Una vez que se tiene bajo control esta construccion de K, se
desarrolla el tema general, obteniendose por ello una serie de consecuencias in-teresantes.
Antes de salir en busqueda del K apropiado, se debe obtener cierta infor-macion
con respecto a la relacion de las raices de un polinomio dado y su
factorizacion.
LEMA 5.6.1. Si a €. L es una raiz de un polino.m" io -. f -(.x.. )E . ,F, . [ x ] de
grado. . n-, donde L es una extension de campo de F, entonces f ( x )s e fac--
t- ori-z a.. .e-.n . L [.x". ]c om.- o f .( x ) = ( x - a)q(x);'d onde q(x)e s de grado n.- , .. ., ,. . . , . .. , . . . .
-1- e.-n .. . - L. - [-.x ] .A la inversa, s'i f (x') = ' ( x- a-) q. .(. x. ),c on f ( x ) ,q (x)y a co-*
m---o-. an.t e.s ,. entonc.e s. a es . un.a .. ,. raiz de f ( x ) e n.- . L. u
DEMOSTRACI~DNad.o que F C L, F [ x ]e sta contenido en L [XI.C omo a E
L, x - a esta en L [ x ] ;p or el algoritmo de la division, Teorema 4.5.5, para poli-nomios
en L [x] se tiene que f ( x ) = (x - a)q(x) + r(x), donde q(x) y r(x)
estan en L [x] y r(x) = 0 o bien grd r(x) < grd (x - a) = 1. Esto implica que
r(x) = b, algun elemento de L. Sustituyendo a por x en la relacion anterior
y utilizando f ( a ) = 0, se obtiene 0 = (a - a)q(a) + b = 0 + b = b; asi que
b = 0. Puesto que r(x) = b = 0, se tiene lo que se requeria, es decir f ( x ) =
(x - a)q(x).
En cuanto a la afirmacion de que deg q(x) = n - 1 se observa que dado
que f ( x ) = (x - a)q(x), entonces, mediante el Lema 4.5.2, n = grd f ( x ) =
grd (x - a) + grd q(x) = 1 + grd q(x). Esto da lugar a1 resultado requerido,
grdq(x) = n - 1.
El reciproco es completamente trivial. n
Una consecuencia inmediata del Lema 5.6.1 es
TEOREMA 5.6.2. -.S.. up. .o -n.. g- a... se que f ( x )e n F [ x ]t iene. g.r. a. .d . . o n; enton-ces
f ( x ) puede tener a lo sumo n raicesen cualquier extension K de F. -. . . -. . .. -.

217. 5.6 Raices de polinomios 209
DEMOSTRACI~SNe. procede por inducci6n en n. Si n = 1, entonces f (x) =
ax + b, donde a y b estan en F y a # 0. Asi que la unica raiz de f (x)
es -b/a, un elemento de F.
Supongase que el teorema es valido para todos 10s polinomios de grado k -
1 sobre cualquier campo y que f (x) en F [x] es de grado k. Si f (x) no tiene
raices en K, entonces el teorema es desde luego correcto. Supongase, entonces,
que a E K es una raiz de f (x). Por el Lema 5.6.1, f (x) = (x - a)q(x), donde
q(x) es de grado k - 1 en K [XI. Cualquier raiz b en K de q(x) es bien sea a
o una raiz de q(x), ya que 0 = f (b) = (b - a)q(b). Por la hipotesis de induc-cibn,
q(x) tiene a lo sumo k - 1 raices en K, por consiguiente f (x) tiene a lo
sumo k raices en K. Esto completa la inducci6n y prueba el teorema.
En realidad, la demostraci6n da lugar a un poco mas. Para explicar este
"POCO mas", se necesita el concept0 de multiplicidad de una raiz.
DEFINICIONS. i K es una extensi6n de F, entonces un elemento a de
K es una raiz de multiplicidad k > 0 de f (x), donde f (x) esta en F [XI,
si f (x) = (x - a)kq(x) para algun q(x) en K [x] y x - a no divide a
q(x) (0, de manera equivalente, donde q(a) # 0).
El mismo argument0 dado para la demostraci6n del Teorema 5.6.2 propor-ciona
la siguiente version mas aguda:
Sea f (x) un polinomio de grado n en F [XI; entonces f (x) puede tener a
fi
de multiplicidad k como k raices.
TEOREMA 5.6.3. -S.,.e a f (x) en F [x] m6nico de grado n y sup.o.n.g.a.s.e.. . .
eu-e - K .. .e.s. .u.n..a. .e.x tensibn de F e n la cual f (x) tiene n raices, contando un"a
-ra-iz .d..e-. ..m...u..l. tiplicidad k comb k iaices. Si tales raices e.n K. son- - . a.! '-a -,,
cada una de ellas con multipliciclad k,, k2, ... , k,, res- I~:? ....ffm! .. ......... .
pectivamente, entonces f (x) se factoriza en K [x] ..c.o..m.- .o. .f .(x.) .= G-'- - a2)k, ... (X - a,)km. ........ .- .
DEMOS~RACIL~aN d.e mostracion es facil haciendo uso del Lema 5.6.1 e in-ducci6n
en n. Se deja a1 lector llevarla a cabo. n
DEFINICIONS. e dice que f (x) en F [x] se descompone en factores li-neales
sobre (o bien, en) K, si f (x) tiene en K [x] la factorizaci6n dada
en el Teorema 5.6.3.
Existe una aplicacion agradable del Teorema 5.6.3 a campos finitos. Sea
Fun campo finito que consta de q elementos y Sean a,, a2, ..., a,-, 10s ele-mentos
no cero de F. Puesto quz ellos forman un grupo de orden q - 1 respecto

218. 210 CAP~TUL5O CAMPOS
a la multiplicacion en F, por el Teorema 2.4.5 (demostrado ya hace mucho tiem-po),
aq-I = 1 para cualquier a f 0 en F. De esta manera el polinomio xq-I -
1 en F [x] tiene q - 1 raices distintas en F. Por el Teorema 5.6.3, el polinomio
xq-l - 1 = (x - al)(x - a,) - (x - aqPl). Si tamblkn se considera 0, enton-ces
todo elemento a de F satisface aq = a, de manera que el polinomio xq -
x tiene 10s q elementos de F como sus raices distintas. Por el Teorema 5.6.3 se tiene
TEOREMA 5.6.4. -S...e a F.u n campo finito que consta de q element.o s..
-E.-n. to.n * ces xq - x se factoriza en FLx] como . - - .e
donde al! a,, . .,,. ,,-a son 10s elementos no c....e....r..o.... de.. .F... y ,-- . . . . . . . . . . -
X~-' - 1 = (X - a,)(x - a,) -0 . (x - a,-,).
Un caso muy especial de este teorema es aquel en el que F = Z , 10s ente- --". ...... - . ? .... P -.
-r.-o- s m..o...d ulo el primo p. Aqui q = p y a,, a,, . . ., a,_~-son p..r.e.c..i.s.a..m...e.n..t.e. 1, -2 , .-...- ., .. p.. - 1 en algt.i.n. .o rden. Por c~nsi~uien.t..e.'.ts i-ee n e .e.l ..
COROLAREIOn Z. ,[x], xP-' - 1 se factoriza como
xp-' .1 = (x - 1)(x - 2) ... (x - ( p - 1)).
Pongase a prueba esto para p = 5, 7 y 11.
Como un corolario del corolario, se tiene un resultado de teoria de 10s nu-meros,
conocido como Teorerna de Wilson, el cual fue asignado como Proble-ma
18 de la Seccion 2.4 del Capitulo 2.
COROLARSIOi p. .e s primo, entonces (p - I)! = -1 rnodp.
DEMOSTRACIOPNo.r el corolario anterior.
sustituyendo x = 0 en esta expresion resulta
en Zp. En 10s enteros esto se traduce en-"congruente rnodp". De esta manera

219. 5.6 Raices de polinomios 21 1
y por lo tanto ( p - l)! e (-1)P modp. Pero (-1)P = -1 modp; por consiguien-te,
se ha probado el teorema de Wilson.
Ahora cambiamos de direction para considerar el problema mencionado a1
principio de esta seccion: dado f (x) E F [XI, ccmstruir una extension finita K
de Fen la cual f (x) tenga una raiz. Como se vera en un momento, tal construc-ci6n
de K sera bastante sencilla cuando se pongan en juego 10s resultados pro-bados
en el Capitulo 4 respecto a anillos de polinomios. Sin embargo, se lleva
un poco de trabajo verificar que dicha construccion funciona.
TEOREMA 5.6.5. -S.-e a -we- F u n- d c-.a mpo y f (x) un polinomio de grad-o- .p o".-
-s.i tivo n en F[x]. Entonces existe una extension finita K de F, con *. [_K_: F ] I n, en la cual f (x) tiene una ra.i-z-.
DEMOSTRACI~PNo.r el Teorema 4.5.12, f (x) es divisible en F [x] por algun
polinomio irreducible p(x) en F [XI. Dado que p(x) divide a f (x), grdp(x) I
grd f (x) = n y f (x) = p(x)q(x) para algun polinomio q(x) en F [XI. Si b es
una raiz de p(x) en alguna extension de campo de F, entonces b es automa-ticamente
una raiz de f (x), ya que f (b) = p(b)q(b) = Oq(b) = 0. Asi que
para probar el teorema es suficiente encontrar una extension de F en la cual
p(x) tenga una raiz.
Dado que p(x) es irreducible en F [x], el ideal M = (p (x)) de F [x] genera-do
por p(x) es un ideal maximo de F[x] por el Teorema 4.5. l l. Por consi-guiente,
por el Teorema 4.4.2, K = F [x]/M es un campo. Afirmamos que este
es el campo buscado.
Estrictamente hablando, K no contiene a F; sin embargo, como se demues-tra
en seguida, K si contiene un campo isomorfo a F. Puesto que todo elemento
de M es un multiplo dep(x) en F [XI, todo elemento de M que no sea cero debe
tener grado a1 menos igual a1 de p(x). Por lo tanto, M n F = (0). De esta ma-nera
el homomorfismo # : F [x] + K definido por #(g(x)) = g ( ~ +) M para
todo g(x) en F [XI, cuando se restringe a F, es inyectivo en F. Por consiguiente,
la imagen de F e K, F, es un campo isomorfo a F. Se puede identificar F, por
medio de #, con F y por lo tanto se puede considerar, en esta forma, que K
es una extension de F.
Denotese x + M E K por a, de manera que #(x) = a, a E K. Se deja a1
lector demostrar, a partir del hecho de que # es un homomorfismo de F [x] so-bre
K con nucleo M, que #(g(x)) = g(a) para todo g(x) en F [XI. LA que es
igual #(p(x))? Por una parte, puesto quep(x) esta en F[x], #(p(x)) = p(a).
Por otra parte, dado que p(x) esta en M, el nucleo de #, #(p(x)) = 0. Igua-lando
estas dos evaluaciones de #(p(x)), se obtiene que p(a) = 0. En otras
palabras, el elemento a = #(x) de K es una raiz de p(x).
Para terminar la demostracion, todo lo que se necesita es probar que
[K : F ] = grdp(x) I n. Esto surgio anteriormente, en la demostracion alter-nativa
que se dio del Teorema 5.3.5. En esa ocasion se dejo dicho punto para

220. 21 2 CAPiTULO 5 CAMPOS
que fuera probado por el lector. Seremos ahora un poco mas generosos y lleva-remos
a cab0 la demostracion en detalle.
Dado h(x) en F [x], entonces, por el algoritmo de la division, h(x) =
p(x)q(x) + r(x) donde q(x) y r(x) estln en F [x] y r(x) = 0 o bien
grdr(x) < grdp(x). Procediendo en modulo M, se obtiene que
[puesto que $(p(x)) = p(a) = 01.
Por lo tanto, puesto que todo elemento de K = F[x]/M es $(h(x)) para
algun h(x) en F[x] y $(h(x)) = r(a), se tiene que todo elemento de K
es de la forma r(a), donde r(x) esta en F [x] y grd r(x) < grd p(x). Si grdp(x) =
rn, la discusion que se acaba de realizar dice que 1, a, a2, . . . , am--' gene-ran
K sobre F. Ademas, estos elementos son linealmente independientes sobre
F, ya que una relacion del tip0 a. + ala + . . + am-I = 0 implicaria
que g(a) = 0 donde g(x) = a. + a,x + -. . + am-,xm-I esta en F [x]. Esto
situa a g(x) en M, lo cual es imposible puesto que g(x) es de grado menor que
p(x), a menos que g(x) = 0. En otras palabras, se obtiene una contradiccion
a no ser que a. = a, = . -. - am-, = 0. Por lo tanto 10s elementos 1, a, a2,
. . ., a "-1 son linealmente independientes sobre F. Dado que tambikn generan
K sobre F, forman una base de K sobre F. Consecuentemente,
dim,K = [K: F] = rn = grdp(x) I n = grdf(x).
El teorema estd probado.
Realizarnos ahora una iteracion del argument0 usado en la demostraci6n
anterior para probar el importante
TEOREMA 5.6.6. Sea f (x) E F [x] de grado n. Entonces existe una
extension K de F de Eado a lo sumo n! sobre F de tal manera que f (x)
-g-e ne n rakes, contando multi~licidadese, n K. De manera equivalent4
~AXs)e descompone en factores lineales sobre K.
DEMOSTRACI~NSe. procede por inducci6n en n. Si n = 1, entonces f (x) =
a + Px, donde a, P E F y P # 0. La unica raiz de f (x) es -a/P, la cual
esta en F. De esta manera K = F y [K : F] = 1.
Supongase que el resultado es cierto para todos 10s polinomios de gra-do
k sobre un campo y que f (x) E F[x] es de grado k + 1. Por el Teorema
5.6.5 existe una extension K, de F con [KI : F: 5 k + 1 en la cual f (x) tiene
una raiz a,. Por consiguiente en Kl [XI, f (x) se factoriza como f (x) =

221. 5.6 Raices de polinomios 21 3
(x - al)q(x), donde q(x) E K,[x] es de grado k. Por la hipotesis de induc-cion
existe una extension K de K, de grado a lo sumo k!. sobre Kl, sobre la cual
q(x) se descompone en factores lineales. Pero entonces f (x) se descompone en
factores lineales sobre K. En virtud de que [K : F] = [K : K,] [K, : K] 5
(k + l)k! = (k + I)!, se completa la inducci6n y se prueba el teorema.
Dejamos el tema de las extensiones de campo hasta este punto. Estamos
exactamente en lo que se podria describir como el principio de la teoria de Ga-lois.
Dada una extension K de F de grado finito sobre la cual un polinomio da-do
f (x) se descompone en factores lineales, existe una extension de grado
minimo que goza de esta propiedad. Tal extension se denomina campo de des-composicidn
de f (x) sobre F. Luego se procede a demostrar que tal campo de
descomposicion es dnico salvo isomorfismos. Una vez que se cuenta con esto
la teoria de Galois avanza sobre ruedas, estudiando la relacion entre el grupo
de automorfismos de dicho campo de descomposici6n y su estructura de sub-campo.
Con el tiempo, conduce a la demostracion, entre muchas otras cosas,
de que existen polinomios sobre 10s racionales de cualquier grado mayor que o
igual a 5 cuyas raices no se pueden expresar comodamente en terminos de 10s
coeficientes de tales polinomios.
Esto constituye una breve y muy superficial description de a donde se pue-de
ir a partir de aqui en la teoria de campos. Pero no hay prisa. Los lectores
deben asimilar el material que se ha presentado; esto 10s colocara en una buena
posicion para estudiar teoria de Galois si asi lo desean.
PROBLEMAS 5.6
1. Pruebese el Teorema 5.6.3.
2. Si F es un campo finito que tiene 10s q - 1 elementos distintos de -cero a,,
a2, . . . , a,-,, pruebese que a,a2 . . . a,-, = (-I),.
3. Sean Q el campo de 10s racionales y p(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1.
Demuestrese que existe una extension K de Q con [K : Q] = 4 sobre
la cual p(x) se descompone en factores lineales. [Sugerencia: Encuentrense
las raices de p (x) .]
4. Si q(x) = xn + a,xn-I + - . . + a,, a, # 0, es un polinomio con coefi-cientes
enteros y si un ndmero racional r es una raiz de q(x), pruebese que
r es entero y r/a,.
5. Probar que q(x) = x3 - 7x + 11 es irreducible sobre Q.
6. Si F es un campo de caracteristica p # 0, demuestrese que (a + b)P =
aP + bP para todo a y b en F.
7. Extiendase el resultado del Problema 6 demostrando que (a + b)"' =
am + bm, donde m = pn.

222. 214 CAP~TULO5 CAMPOS
8. Sea F = Z,, siendo p primo, y considkrese el polinomio xm - x en Z,[x],
donde m = pn. Sea k una extension finita de Zp sobre la cual xm - x se
descompone en factores lineales. En K sea KO el conjunto de todas las rai-ces
de xm - x. Demuestrese que KO es un campo que consta a lo sumo de
pn elementos.
9. En el Problema 8 demuestrese que KO tiene exactamente pn elementos.
(Sugerencia: Vease el Problema 14.)
10. Construyase una extension de campo Kn de Q tal que [Kn : Q] = n, para
cualquier n r 1.
11. Definir la aplicacion 6 : F [x] + F [x] mediante
Demostrar que:
(a) 6(f(x)+ go)) = &(f(x))+ 6(g(x)).
(b) 6(f (x)g(x))= f (x)6( g(x))+ 6(f (x))g(x)
para todo f ( x ) y g(x) en F [XI.
12. Si F es de caracteristica p # 0, describase todo f (x) en F[x] tal que
6(f 0)) = 0.
13. Demuestrese que si f ( x )e n F [ x ]ti ene una raiz de multiplicidad mayor que
1 en alguna extension de campo de F, entonces f (x) y 6( f ( x ) ) no son pri-mos
entre si en F [ x ].
14. Si F es de caracteristica p # 0, demuestrese que todas las raices de xm - x,
donde m = pn, son distintas.
15. Si f (x) en F [x] es irreducible y tiene una raiz de multiplicidad mayor que
1 en alguna extension de F, demuestrese que:
(a) F debe ser de caracteristica p para algun primo p.
(b) f (x) = g (xP) para algun polinomio g (x) en F [XI.

223. " ESPECIALES
11
En este capitulo final consideramos varios temas no relacionados. Uno de ellos
viene de la teoria de grupos y 10s restantes de la teoria de campos. En el estudio
de estos temas, nos tropezaremos con muchos de 10s resultados y conceptos de-sarrollados
anteriormente en el libro. Aunque dichos temas son un tanto espe-ciales,
cada uno tiene consecuencias que son verdaderamente importantes en
sus respectivas areas.
Los lectores que hayan logrado sobrevivir hasta ahora habran adquirido un
cierto conjunto de tecnicas, experiencia y habilidad algebraicas para poder se-guir
el material con relativa facilidad. Nos sentimos ahora en libertad para tra-tar
diversos temas de manera algo mas superficial que antes, dejando a1 lector
completar un poco mas 10s detalles.
El material que se tratara no se presta facilmente a problemas, a1 menos
no a problemas de un grado razonable de dificultad. Por consiguiente, se asig-naran
relativarnente pocos ejercicios. Esto debe ser como una ayuda para aquellos
que deseen asimilar 10s temas de este capitulo.
En el Capitulo 3, donde se hablo de S,, el grupo simetrico de grado n, se de-mostro
que si n r 2, entonces S, tiene un subgrupo normal A,, el cual se
denomino grupo alternante de grado n, que-es un grupo de orden n!/2. En rea-lidad,
A, fue simplemente el iinjuntdde todas las permutaciones pares en S,.

224. 216 CAP~U6 L~ TEMAS ESPECIALES
Cuando se trat6 de A,, se dijo que, para n 2 5, era un grupo simple, es
decir, que A, no tiene otros subgrupos normales aparte de (e) y 61 mismo. En
aquella ocasion se prometio que se demostraria este hechoen el Capi-t..u lo 6. Ahora se cumple tal promesa.
Para explicar con claridad qut es lo que se va a demostrar, quiza debamos
repetir lo que se dijo anteriormente y definir formalmente qut significa grupo
simple.
DEFINICI~NSe. d ice que un grupo no abeliano es simple si sus unicos
subgrupos normales son (e) y el mismo.
Se impone la condicion de que G sea no abeliano, para excluir de la desig-naci6n
de "simple" a 10s ejemplos triviales de grupos ciclicos de orden primo.
Dichos grupos ciclicos de orden primo no tienen subgrupos no triviales en ab-soluto,
asi que, forzosamente, carecen de subgrupos normales propios. Se ve
facilmente que un grupo abeliano sin subgrupos propios es ciclico de orden primo.
Empezamos con el muy sencillo
LEMA 6.1 .I. Si n 1 3 y 71, r2 son dos transposiciones en s,, entonces
7172 es un 3-ciclo o bien el droducto de dos 3-ciclos.
DEMOSTRACI~NS. i 7, = 72, entonces r1r2= 6 = e y desde luego e es el
producto de dos 3-ciclos, por ejemplo e = (123)(132).
Si 71 f 72, entonces tienen ya sea un simbolo en comun o ninguno. Si tienen
un simbolo en comun, se puede suponer, luego de una renumeracion apropiada,
que 7, = (12) y 72 = (13). Per0 entonces r1r2 = (12)(13) = (132), el cual ya
es un 3-ciclo.
Finalmente, si 71 y 72 no tienen simbolo en comun, se puede suponer, sin
perder generalidad, que r1 = (12) y 72 = (34), en cuyo caso = (12)(34) =
(142)(143), que es efectivamente el producto de dos 3-ciclos. El lema queda
entonces probado.
Una consecuencia inmediata del Lema 6.1.1 es que para n 1 3 10s 3-ciclos
generan A,, el grupo alternante de grado n.
TEOREMA 6.1.2. Si a es una permutacion par en S,, donde n r 3,
-ent o- nces a es un producto de 3-ciclor~no tras palabras, 10s 3-cic"los.
-e n- S, genera-n- A,
DEMOSTRACI~NS.e a a E S, una permutacion par. Por la definicion de pa-ridad
de una permutacion, a es el producto de un numero par de transposiciones.
Asi que a = r1r2 --. 72,1172, " - 72m-;72m es el product0 de 2m transposi-ciones
71, 72, . . . , rzm. Por el Lema 6.1 .l, cada 72;-172i es un 3-ciclo o bien el
producto de dos 3-ciclos. Por tanto, se tiene que a es un 3-ciclo o bien el producto
de a lo sumo 4m 3-ciclos. Esto demuestra el teorema.

225. 6.1 Simpticidad de A, 21 7
Ahora proporcionamos un algoritmo para calcular la conjugada de cual-quier
permutacion en S,. Sea a E S, y supongase que a(i) = j. LA que es igual
TOT-' si 7 E S,? Supongase que 7(i) = s y 7(j) = t;-entonces 7a7-'(s) =
TU(T-'(S)) = 7a(i) = 7(j) = t. En otras palabras, para calcular 707-' se
reemplaza cada simbolo de a por su imagen respecto a 7.
Por ejemplo, si a = (123) y 7 = (143), entonces dado que ~(1)= 4,7(2) =
2, 7(3) = 1 y 7(4) = 3, se ve que 707-I = (421) = (142).
Dados dos k-ciclos, digamos (12 . . k) y (i,i,, . . . , ik), entonces son con-jugados
en S, porque si 7 es una permutacion que envia 1 a i,, 2 a i2, . . . , k
a ik, entonces 7(12 - . - k)7-' = (iliz - - - ik). Puesto que toda permutacion es
el producto de ciclos ajenos y la conjugacion es un automorfismo, se obtiene,
a partir del resultado para k-ciclos, que para calcular TOT-' para cuulquier per-mutation
a, se reemplaza cada simbolo de a por su imagen respecto a 7. De
esta manera se ve que es sumamente sencillo calcular la conjugada de cualquier
permutacion.
Dadas dos permutaciones a, y a2 en S,, entonces son conjugadas en S,, apli-cando
la observacion anterior, si en sus descomposiciones en productos de ciclos
ajenos tienen iguales longitudes de ciclo y cada longitud de ciclo con la misma
multiplicidad. Asi que, por ejemplo (12)(34)(567) y (37)(24)(568) son conjugadas
en Sg, per0 (12)(34)(567) y (37)(568) no lo son.
RecuCrdese que una particion de un entero positivo n significa una descom-posicion
de n en la forma n = nl + n2 + . , . + nk,dondeO 5 n, 5 n2 5 - I nk. Si a en S, es el producto ajeno de un nl-ciclo, un n2-ciclo, . . . , un
nk-ciclo, entonces n, + n2 + - . . + nk = n, y una permutacion 7 es con-jugada
de a si y solo si 7 es el producto ajeno de ciclos en la misma forma. Por
lo tanto, el numero de clases de conjugacion en S, es igual a1 numero de parti-ciones
de n.
Por ejemplo, si n = 4, entonces las particiones de 4 son 4 = 4, 4 = 1 +
3, 4 = 1 + 1 + 2, 4 = 1 + 1 + 1 + 1 y 4 = 2 + 2, las cuales son cinco
en total. Asi que S, tiene cinco clases de conjugacion, a saber las clases de
(1234), (1 23), (1 2), e y (12)(34), respectivamente.
Todo lo dicho anteriormente se resume en tres proposiciones distintas.
LEMA 6.1.3. Para encontrar TOT-' en S,, se reemplaza cada simbolo
d-e a por su imGen respecto a 7.
LEMA 6.1.4. Dos elementos en S, son conjugados si tienen descom- -..-
-po"s iciones semejantes como productos de ciclos ajenos,
LEMA 6.1.5. El numero de clases de conjugacion en S, es igual al-n-
umero de pa-r.t ELnes de n.
Evidentemente, de 10s resultados anteriores cualquier par de 3-ciclos en S,
son conjugados en S,. Un 3-ciclo es una permutacion par, pof lo tanto esta en

226. 21 8 CAP~TULO6 TEMAS ESPECIALES
A,. Se podria preguntar si cualquier par de 3-ciclos son conjugados incluso en
el grupo mas pequeiio A,. Para n 2 5 la respuesta es "si" y es bastante facil
de probar.
LEMA 6.1.6. -Si n 2 5, entonces cualquier par de 3-ciclos en S, son -.., ", --..- ...... .... ...... - . ..... .*
-t-a mbien conjugados en A ,. .ma... .- ....- ... _..- ,_. -.... ..... .-
DEMOSTRACI~SNea. n a, y a2 dos 3-ciclos en S,; por el Lema 6.1.4 son conju-gados
en S,. Renumerando, se puede suponer que al = (123) y q = 7(123)7-'
para algun 7 E S,. Si es par, entonces se llega a la conclusion deseada. Si
es impar, entonces p = ~(45)e s par y p(123)p-' = ~(45)(123)(45)-'7-' =
7(123)7-' = a2. Por lo tanto, a, y a2 son conjugados en A,. De esta manera
se ve que el lema es correcto.
En S, 10s dos 3-ciclos (123) y (132) son conjugados en S, per0 no lo son en
A,, que es un grupo ciclico de orden 3.
Ahora se prueba un resultado que no es solamente importante en teoria de
grupos, sin0 que desempeiia tambien un papel clave en teoria de campos y en
la teoria de ecuaciones.
TEOREMA 6.1.7. &n g 5, entonces el linico subgrupo normal propip
n-. o .tri.vi al d. e S", -e-s. A ,-.
DEMOSTRAC16N. Supongase que N es un subgrupo normal de S, y que N no
es (e) ni tampoco S,. Sea a # e un elemento de N. Puesto que el centro de S,
es precisamente (e) y las transposiciones generan S,, existe una transposicion
7 tal que a7 # 70. Por el Lema 6.1.4, 7, = u~u-' es una transposici6n, por lo
tanto 77, = ~UTU-' # e esta en N, ya que a E N y 707 = TOT-' E N porque
N es normal en S,. De esta manera N contiene un elemento que es el product0
de dos transposiciones, a saber 771.
Si 7 y 71 tienen un simbolo en comun, entonces, como se vio en la demos-tracion
del Lema 6.1.1, 771 es un 3-ciclo, por consiguiente N contiene un 3-
ciclo. Por el Lema 6.1.4 todos 10s 3-ciclos en S, son conjugados a 771 asi que
deben estar en N, por la normalidad de N en S,. Por lo tanto el subgrupo de
S, generado por 10s 3-ciclos, el cual, segun el Teorema 6.1.2 es todo
A,, se encuentra en N. Notese que hasta este punto no se ha empleado el he-cho
de que n ? 5.
En estas condiciones se puede suponer que 7 y 7, no tienen simbolos en
comun. Sin perdida de generalidad se puede suponer que 7 = (12) y 7, = (34);
por lo tanto, (12)(34) esta en N. Puesto que n ? 5, (15) esth en S,, por consi-guiente
(15)(12)(34)(15)-' = (25)(34) esta tambien en N; de esta manera
(12)(34)(25)(34) = (125) esta en N. Asi que tambien en este caso, N debe con-tener
un 3-Ciclo. El argument0 anterior demuestra entonces que N > A,.

227. 6.1 Simplicidad de A, 21 9
Se ha demostrado que en ambos casos N debe contener a A,. Puesto que
no hay subgrupos estrictamente entre A, y S, y N # S,, se obtiene el resultado
deseado que N = A,.
El resultado es falso para n = 4; el subgrupo
es un subgrupo normal propio de S, y no es A,.
Ahora ya conocemos todos 10s subgrupos normales de S, cuando n r 5.
iSe pueden determinar a partir de esto todos 10s subgrupos normales de A,
para n r 5? La respuesta es "si"; como pronto se vera, A, es un grupo simple
si n r 5. La demostracion que se da puede parecer inesperada a muchos, ya
que gira en torno del hecho de que 60, que es el orden de A,, no es un cua-drado
perfecto.
TEOREMA 6.1.8. -E- l- grupo A, es un grupo simple de orden- . 6- 0. a
DEMOSTRAC16N. Supongase que A, no es simple; entonces tiene un subgrupo
normal propio N cuyo orden es tan pequefio como sea posible. Sea el subcon-junto
T = {a E S, 1 aNa-' C N ) o sea el normalizador de N en S,. Puesto que
N es normal en A,, se tiene que T > A,. T es un subgrupo de S,, asi que si
T # A,, se tendria que T = S,. Pero esto diria que N es normal en S,, lo cual,
por el Teorema 6.1.7, implicaria que N > A,, dando por resultado que N =
A,, lo que es contrario a la suposicion que N es un subgrupo propio de A,. De
manera que se debe tener T = A,. Dado que (12) es impar, no esta en A,, por
consiguiente no estii en T. Por lo tanto, M = (12)N(12)-' # N.
Puesto que N a A,, tambien se tiene que M a A, (prukbese), asi que
ambos M r7 N y MN = {mnJm EM, n E N ) son normales en A,. Dado que
M # N se tiene que M r7 N # N y puesto que N es un subgrupo normal propio
minimo de A,, se deduce que M r7 N = (e). Por otra parte, (12)MN(12)-' =
(12)M (12)-'(12)N (12)-I = NM [ya que (12)N(12)-' = M y (12)M(12)-' =
N ] per0 NM = MN por la normalidad de M y N en A5. Por lo tanto, el ele-mento
(12) esta en el normalizador de MN en S5 y dado que MN es normal en
A,, se obtiene, como se hizo anteriormente, que MN es normal en S5 y por lo
tanto MN = A, por el Teorema 6.1.7.
ConsidCrese lo que se tiene ahora. Ambos M y N son subgrupos normales
de A,, cada uno de orden JNI, y MN = A, y M r7 N = (e). Afirmamos, y lo
dejamos a1 lector, que MN debe tener entonces orden JNI2P. uesto que MN =
A,, se obtiene que 60 = I A, I = 1 MNl = I NJ2P. ero esto carece totalmente de
sentido, ya que 60 no es cuadrado de ningun entero. Esto establece el Teorema
6.1.8.
No es muy dificil pasar de la simplicidad de A, a la de A, para n r 5.
Notese que el razonamiento que se hizo para A, no dependi6 de 5 hasta llegar

228. 220 CAP~TUL6O TEMAS ESPECIALES
a "60 no es cuadrado de ningun entero". En efecto, el razonamiento es valido
mientras se sepa que n!/2 no es un cuadrado perfecto. Asi por ejemplo, si
n = 6, entonces 6!/2 = 360 no es cuadrado, por consiguiente A, es un grupo
simple. Dado que este hecho sera necesario en la discusion posterior, se registra
antes de continuar.
GOROLARIO DELA-DEMoSTRACI~~DJE ETEQ~REMA 6.1.8.
A, es un grupo simple.
Regresamos a la cuesti6n de si n!/2 es o no es cuadrado. En realidad, no lo
es si n > 2. Esto se puede demostrar como consecuencia del magnifico teorema
de la teoria de 10s numeros (llamado Postulado de Bertrand), que afirma que
para m > 1 siempre existe un primo entre m y 2m. Puesto que no se dispone
de este resultado, seguimos otro camino para demostrar la simplicidad de A,
para todo n 2 5.
Probamos ahora este importante teorema.
TEOREMA 6.1.9. -Pa ra todo n r 5 el grupo A, es simple..
DEMOSTRACI~NP. or el Teorema 6.1.8 se puede suponer que n 2 6. El centro
de A, para n > 3 es simplemente (e). (Pruebese.) Puesto que A, es generado
por 10s 3-ciclos, si a # e esta en A,, entonces, para algun 3-ciclo 7, a7 # ra.
Supongase que N # (e) es un subgrupo normal de A, y que a # e esta en
N. Por consiguiente, para algun 3-ciclo 7, a7 # 70, lo cual quiere decir que
070-'7-' # e. Dado que N es normal en A,, el elemento TU-'T-' esta en N,
por lo tanto ara-lr-' esta tambiin en N. Puesto que 7 es un 3-ciclo, entonces
070-' debe ser tambiin un 3-ciclo. De esta manera N contiene el producto de
dos 3-ciclos, y dicho producto no es e. Estos dos 3-ciclos contienen a lo sumo
seis simbolos, asi que se pueden considerar situados en A, el cual, dado que
n 2 6, se puede considerar empotrado isomorfamente en A,. (Prukbese.)
Pero entonces N n A, # (e) es un subgrupo normal de A,, por consiguiente,
por el corolario anterior, N n A, = A,. Por lo tanto, N debe contener un 3-
ciclo y puesto que todos 10s 3-ciclos son conjugados en A, (Lema 6.1.6), N
debe contener todos 10s 3-ciclos en S,. Dado que estos 3-ciclos generan A,, se
obtiene que N es todo A, y con ello se prueba el teorema.
Existen muchas demostraciones diferentes del Teorema 6.1.9 -1as que nor-malmente
comprenden la prueba de que un subgrupo normal de A, debe con-tener
un 3-ciclo- que son mas breves y posiblemente mas sencillas que la que
se dio. Sin embargo, preferimos el rasgo curioso contenido en la demostracion
dada en el sentido de que todo el asunto se reduce a1 hecho de que 60 no es
un cuadrado. Recomendamos a1 lector examinar algunas otras demostraciones
de este teorema tan importante, especialmente en libros de teoria de grupos.
Los A, proporcionan una familia infinita de grupos simples finitos. Hay
algunas otras familias infinitas de grupos simples finitos y 26 grupos simples

229. 6.2 Campos finitos I 221
finitos particulares que no pertenecen a ninguna familia infinita. Esta determi-nation
de todos 10s grupos simples finitos, que fue llevada a cab0 en las dCca-das
de 1960 y 1970 por un gran numero de investigadores de la teoria de gru-pos,
es uno de 10s mas grandes logros de la matematica del siglo xx.
PROBLEMAS 6.1
1. PruCbese que si n > 2, el centro de S, es (e).
2. PruCbese que si n > 3, el centro de A, es (e).
3. ~QuCse puede decir respecto a las estructuras de ciclo del product0 de dos
3-ciclos?
4. Si m < n, demukstrese que hay un subgrupo de S, isomorfo a S,.
5. Demostrar que un grupo abeliano que no tenga subgrupos propios es ciclico
de orden primo.
6. iCuantas clases de conjugation hay en S6?
7. Si 10s elementos a,, a2, . . . , a, generan el grupo G y b es un elemento no
central de G, prukbese que ba, # sib para algun i.
8. Si M a N y N a G, demukstrese que aMa-' es normal en N, para todo
a€ G.
9. Si M a G y N a G, demuCstrese que MN es un subgrupo normal de G.
10. Si n r 5 es impar, demukstrese que 10s n-ciclos generan A,.
11. DemuCstrese que el centralizador de (12 . . . k) en S, tiene orden k(n - k)!
y que (12 . - - k) tiene n!/(k(n - k)!) conjugados en S,.
12. En la demostracion del Teorema 6.1.8, pruCbese que (MNJ = (NI2.
Nuestra meta en esta seccion y en las dos siguientes es obtener una descripcion
completa de todos 10s campos finitos. Lo que se demostrara es que el grupo
multiplicativo de 10s elementos distintos de cero de un campo finito es un grupo
ciclico. Esto se realiza en la presente seccion. En las dos siguientes 10s objetivos
seran establecer la existencia y unicidad de 10s campos finitos que constan de
pn elementos para cualquier primo p y cualquier entero positivo n.
Algunas de las cosas que se van a hacer ya aparecieron en 10s conjuntos de
problemas de teoria de grupos y teoria de campos como problemas dificiles.
Las tkcnicas que se emplean provienen de las teorias de grupos y campos, agre-gando
un poco ile teoria de 10s numeros.

230. 222 CAP~TUL6O TEMAS ESPECIALES
Se recuerda lo que es lafuncion cp de Euler. Dicha funcion se define por:
cp(1) = 1 y, para n > 1, cp(n) es el numero de enteros positivos menores que
n y primos con respecto a n.
Empezamos con un resultado de teoria de 10s numeros cuya demostracion,
sin embargo, utilizara teoria de grupos. Antes del caso general, presentamos
un ejemplo.
Sea n = 12; entonces cp(12) = 4 ya que solamente 1, 5, 7 y 11 son menores
que 12 y relativamente primos con 12. Se calcula ~(dp)ar a todos 10s divisores
de 12. Se tiene: cp(1) = 1, cp(2) = 1, cp(3) = 2, cp(4) = 2, cp(6) = 2 y cp(12) =
4. Observese que la suma de todos 10s valores cp(d) sobre todos 10s divisores
de 12 es 12. Esto no es casualidad sino un caso especial del
TEOREMA 6.2.1. -me Si n 2 1, entonces Ccp(d) = n, donde esta suma
-re corre to. -d os 10s divisores d *-d e n. -
DEMOSTRACI~NS.e a G un grupo ciclico de orden n generado por el elemento
a. Si d In, jcuantos elementos de G tienen orden d? Si b = a"Id, entonces todas
las soluciones en G de xd = e son las potencias e, b, b2, . . . , bd-' de b.
~Cuantasd e ellas tienen orden d? Afirmamos, y lo dejamos a1 lector, que br
tiene orden d si y solo si r es primo con respecto a d. Asi que el numero de
elementos de orden d en G, para todo divisor d de n, es cp(d). Cada elemento
de G tiene como orden algun divisor de n, de mod0 que si se suma el numero
de elementos de orden d -a saber cp(d)- sobre todos 10s d que dividan a n,
por cada elemento de G se cuenta una y solo una vez. Por consiguiente Ccp(d) =
n si se recorren todos 10s divisores d de n. El teorema ahora esti probado.
En un grupo ciclico finito de orden n el numero de soluciones de xd = e,
el elemento unidad de G, es exactamente d para cada d que divida a n. Este
hecho se utiliza en la demostracion del Teorema 6.2.1. Ahora se prueba el reci-proco
de este, obteniendose por ello un criterio para la ciclicidad de un grupo
finito.
TEOREMA 6.2.2. -.S..--e-., a G un, g. rupo f..i n.. ito de ,. . ord. e- n- n. c.o. . .n, -, l .a p-r. -- opi-e. d. a.-d
deue para todo , . d. que. . div.. i".d a a n existen a l. o. s.u"m. - o . d.. .s. o.. luc. io.*n- es -.d...e -
-x-.d- =--.- " e ,. en G. '~.n.-t oncesG . .e-s. -u--n- .g ru.p..o cic- lic*.o .
DEMOSTRACI~SNea. $(d) el numero de elementos de G de orden d. Por hi-potesis,
si a E G es de orden d, entonces todas las soluciones de xd = e son
las potencias distintas e, a, a2, . . . , ad-'; de las cuales .cp(d) son de orden d.
De manera que si hay un elemento de orden d en G, entonces $(d) = cp(d).
Por otra parte, si no hay ningun elemento en G de orden d, entonces $(d) =
0. Asi que para todo d(n se tiene que $(dl I cp(d). Sin embargo, puesto que
todo elemento de G tiene cierto orden d que divide a n se tiene que C$(d) =
n, donde esta suma recorre todos 10s divisores d de n. Pero

231. 6.2 Campos finitos I
n = C$(d) 5 Ccp(d) = n
ya que cada $(d) r cp(d). Esto da por resultado que C$(d) = Ccp(d), lo cual,
junto con $(d) I cp(d), obliga a que $(d) = cp(d) para todo d que divida a
n. Asi que, en particular, $(n) = cp(n) r 1. iQud indica esto? Despub -- de todo,
$(n) es el numero de elementos en G de orden n, y puesto que $(n) > 1 debe
h~beurn elemento a en G de orde~n~ploo rta nto, 10s elementos e, a, a2, . . . ,
son todos distintos y son n en cantidad, de mod0 que deben dar lugar a
todo G. Por consiguiente, G es ciclico con a como generador y se demuestra
el teorema.
iExiste alguna situacion donde se pueda estar seguro que la ecuacion xd =
e tiene a lo sumo d soluciones en un grupo dado? Por supuesto. Si K * es el
grupo de elementos distintos de cero de un campo respecto a la multiplicacion,
entonces el polinomio xn - 1 tiene a lo sumo n raices en K * por el Teorema
5.6.2. Por lo tanto, si G C K* es un subgrupo multiplicativo finito de K *, en-tonces
el numero de soluciones de xd = 1 en G es a lo sumo d para cualquier
entero positivo d, y en particular para todo d que divida a1 orden de G. Por
el Teorema 6.2.2 G debe ser un grupo ciclico.
Se ha probado el
TEOREMA 6.2.3. -S- i K es un campo y K* es el grupo de elementos
-d-is t.i-n tos de cero de K respect; a la ~ultiplicaci6ne, ntonces cualquj *" .
-sub- -g-r u- p-o finito d
Este es un caso muy especial del Teorema 6.2.3, per0 por el momento el
mas importante es el
TEOREMA 6.2.4. -S- i K es un campo finito, entonces K* es un a grupo ,4
-c-i"c.-l-i co..
DEMOSTRACI~N. K * es un subgrupo finito de si mismo, por consiguiente, por
el Teorema 6.2.3, K* es ciclico.
Un caso particular del Teorema 6.2.4 es de gran importancia en teoria de
10s numeros, donde se conoce como la existencia de raices primitivas modp
para p primo.
-..,.. - - -- . * -
TEOREMA 6.2.5. Si p es primo, entonces z,* es un grupo ciclico.
1. Si a E G tiene orden d, prukbese que a' tambikn tiene orden d si y solo si
r y d son primos entre si.

232. 224 CAP~TUL6O TEMAS ESPECIALES
2. Encuentrese un generador ciclico (raiz primitiva) para Z:, .
3. Resolver el Problema 2 para Z:,.
4. Construyase un campo K que conste de nueve elementos y encuentrese un
generador ciclico para el grupo K *.
5. Si p es primo y m = p2, entonces Zm no es un campo per0 10s elementos
{[all [(a, p) = 1) forman un grupo respecto a la multiplicacion de 2,.
Pruebese que este grupo es ciclico de orden p(p - 1).
6. Determinense todos 10s subgrupos finitos de Q: *. donde C es el campo de
10s numeros complejos.
En 10s problemas restantes (p es la funcion (p de Euler.
7. Si p es primo, demostrar que (p(pn) = pn-'(p - 1).
8. Si m y n son enteros positivos primos entre si, pruebese que
9. Aplicando 10s resultados de 10s Problemas 7 y 8, encuentrese p(n) en ter-minos
de la factorizacion de n en potencias de primos.
n + -
10. Pruebese que lim (p(n) = a.
6.3 CAMPOFlSNlT OS II: EXISTENCIA
Sea K un campo finito; entonces K debe ser de caracteristica p, p primo, y K
contiene a 0, 1, 2, . . . , p - 1, 10s p multiplos del elemento unidad 1 de K. De
mod0 que K > Z,, o bien, de manera mas precisa, K contiene un campo iso-morfo
a 2,. Puesto que K es un campo vectorial sobre Z, y evidentemente es
de dimension finita sobre Z,, si [K : Z,] = n, entonces K tiene pn elementos.
Esto es cierto porque, si v,, v2, . . . , v, es una base de K sobre Z,, entonces,
para toda eleccion distinta de (a,, a2, . . . , a,), donde 10s ai estan en Z,, 10s
elementos
son diferentes. Por consiguiente, dado que se puede escoger (al, a2, . . . , a,)
en pn formas, K tiene pn elementos.
Puesto que K *, el grupo multiplicative de elementos distintos de cero de
K, es un grupo de orden pn - 1 se tiene que am-' = 1, donde m = pn, para
todo a en K, por consiguiente am = a. Dado que esto obviamente tambien es
cierto para a = 0, se tiene que am = a para todo a en K. Por lo tanto, el poli-

233. 6.3 Campos finitos 11: existencia 225
nomio xm - x en Z,[x] tiene m = pn raices distintas en K, a saber todos 10s
elementos de K. Por consiguiente xm - x se factoriza en K [x] como
xm - x = (x- a,)(x- a2) ... (x- a,),
donde a,, a2, . . . , a, son 10s elementos de K.
Todo lo que se acaba de decir ya se dijo, mb o menos de la misma manera,
en la Seccion 5.6 del Capitulo 5. Puesto que se requeria tener frescos estos
resultados en la mente del lector, se present6 de nuevo lo expuesto.
Lo que se acaba de hacer se resume en el
TEOREMA 6.3.1. Sea K un campo finito de caracteristicap, p primo.
E-n tonces K contien& = pne lementos donde n = [K :'z,], y el Po!;-
-no mio xm- x en Z,[x] se descompone en factores lineales en K. [x.* ]
-c-o m- -o-xm-
x = (X - a , ) ( -~ a2) . . . (X - a,),
donde a,, a2, . . . , a, son 10s elementos de K. -, * . -- - .-
Se presentan por si mismas dos preguntas naturales:
1. iPara cuales primos p y enteros n existe un campo que conste de pn ele-mentos?
2. iCuantos campos no isomorfos que consten de pn elementos hay?
Contestaremos ambas preguntas en esta seccion y en la siguiente. Las res-puestas
seran
1. Para cualquier primo p y cualquier entero positivo n existe un campo finito
que consta de pn elementos.
2. Dos campos finitos que tengan igual numero de elementos son isomorfos.
A estos dos resultados nos dirigimos ahora. En primer lugar, se plantea la
pregunta de la existencia de campos finitos. Se empieza con una observaci6n
general acerca de polinomios irreducibles.
LEMA 6.3.1. S-... ea -F- cualquier campo y supongase quep(x) es un poli-tomio
irreducible en F [XI. Supongase que q(x) en F [i] es-g qu<&
alguna extension de campo de F, p(x) y q(x) tienen una raiz co.m dn.
E&n. toncis p (x) divide a q (x) en F [x].
DEMOSTRAC16N. Supongase que p(x) no divide a q (x), dado que p(x) es irre-ducible
en F [x], p(x) y q(x) deben ser por lo tanto primos entre si en F [XI.
Por consiguiente, existen polinomios u(x) y v(x) en F [x] de tal manera que

234. 226 CAPI6T UTLEMOAS ESPECIALES
Supongase que el elemento a de alguna extension K de F es una raiz de ambos
p(x) y q(x); de manera quep(a) = q(a) = 0. Pero entonces 1 = u(a)p(a) +
u(a)q(a) = 0, lo cual es una contradiccion. Por lo tanto se obtiene que p(x)
divide a q(x) en F [XI.
ObsCrvese que en realidad se ha demostrado un poco mas, a saber
COROLARIO. Si f (x) y g(x) en F [x] no son primos entre si en K[x],
donde K es una extension de F, entonces no son reciprocamente primos
Sea Fun campo de caracteristicap # 0. Afirmarnos que el polinomio f (x) =
xm - X, donde m = pn, no puede tener una raiz multiple en ninguna extension
de campo K de F. ~Recuerdae l lector lo que es una raiz multiple de un polino-mio?
A continuacion lo repasamos. Si g(x) esta en F [x] y si K es una extension
de campo de F, entonces a en K es una raiz multiple de g(x) si g(x) =
(x - a)'q(x) para algun q(x) en K [XI.
Regresamos a1 polinomio f (x) = xm - x. Dado que f (x) = x(xm-I - 1)
y 0 no es una raiz de xm-' - 1, resulta evidente que 0 es una raiz simple (es
decir, no multiple) de f (x). Supongase que a E K, K > F, es una raiz de f (x);
de esta manera am = a. Si y = x - a , entonces
f(y) = ym- y = (X- ( X - a ) = xm-am- ( X - a )
(puesto que la caracteristica p # 0 y m = pn)
= X" - x (dado que am = a )
= f (x).
Por consiguiente,
f (x) = f (y) = ym - y = (X - a)m - (X - a )
y claramente Cste es divisible entre x - a solamente a la primera potencia,
ya que x - a no divide a ((x - a)"-' - 1). Asi que a no es una raiz multiple
de f (x).
Se ha demostrado el
TEOREMA 6.3.3. --S- i n.. - >- - 0, entonces f (x) = xm- x, donde m = p-n.,
-no tiene r-a- ices multiples en ningun campo de caracteristica p. " -
Debemos aiiadir unas palabras a la demostracion anterior para afianzar el
enunciado del Teorema 6.3.3 tal como se dio. Cualquier campo de caracteristica
p # 0 es una extension de Z, y el polinomio f (x) esta en Z,[x]. De esta manera
el razonamiento anterior, siendo K cualquier campo de caracteristica p y F =
Z,, demuestra el teorema en su forma dada.

235. 6.3 Campos finitos 11: existencia 227
Se tiene exactamente lo que se requiere para probar el importante
TEOREMA 6.3.4. -P-a-r a cua- l-q- uier primo p y cualquier entero positivo * -&" -. .
n, existe un campo finito que consta d< pn el&entos. -" ". -* - - - . -" --.* .-A .-
DEMOSTRACI~NC. onsidCrese el polinomio xm- x en ~ , [ X Id, o nde rn = pn.
Por el Teorema 5.6.6 existe una extension finita K de 2, tal que en K [x] el po-linomio
x" - x se factoriza como
xm - x = (X - al)(x - a2) (X - a,),
donde a,, a2, . . . , a, estan en K. Por el Teorema 6.3.3, xm - x no tiene raices
multiples en K, por consiguiente 10s elementos a,, a2, . . . , a, son rn = pn ele-mentos
distintos. TambiCn se sabe que a,, a2, . . . , a, son todas las raices xm -
x en K, ya que xm - x es de grado rn.
Sea A = {a E K(am = a); como se acaba de ver, A tiene rn elementos dis-tintos.
Afirmamos que A es un campo. Si a, b E A, entonces am = a y bm =
b, por consiguiente (ab)" = ambm = ab, asi que ab E A. Dado que la carac-teristica
p # 0 y rn = pn, (a + b)" = am + bm = a + b, por lo tanto a +
b esta en A.
Puesto que A es un subconjunto finito de un campo y es cerrado con res-pecto
a la suma y a1 producto, A debe ser un subcampo de K. Dado que A tiene
rn = pn elementos, A resulta ser el carnpo cuya existencia se afirmo en el enun-ciado
del teorema. Con esto queda probado el teorema.
1. Dense 10s detalles de la demostracion del corolario a1 Lema 6.3.2.
Los dos siguientes problemas son repeticiones de unos que se presentaron
anteriormente en el libro.
2. Si f (x) = aoxn + alxn-' + . . + a, esta en F [XI, sea f '(x) la derivada
formal de f (x) definida por la siguiente ecuacion: f '(x) = naoxn-' +
(n - l)a,xn-2 + . . 9 + (n - i)aixn-i-l + . . . + a,-,.
PruCbese que:
(a) (f (x) + g(x))' = f'(x) + g'(x).
(b) (f (x)g(x))' = f '(x)g(x) + f (x)g'(x) para todo f (x) Y g(x) en F 1x1.
3. Pruebese que f (x) en F[x] tiene una raiz multiple en alguna extension de
F si y solo si f (x) y f '(x) no son relativamente primos.
4. Si f (x) = xn - x esta en F [XI, pruCbese que f (x) no tiene una raiz multi-ple
en ninguna extension de F si F es de caracteristica 0 o bien de caracteris-tica
p # 0, donde p no divide a n - 1.

236. 228 CAPkUL0 6 TEMAS ESPECIALES
5. ~seseel resultado del Problema 4 para dar otra demostracion del Teorema
6.3.3.
6. Si F es un campo de caracteristicap # 0, construyase un polinomio con rai-ces
multiples de la forma xn - x, donde p((n - l).
7. Si K es un campo que consta de pn elementos, demuestrese que para todo
m que divida a n existe un subcampo de K que consta de pm elementos.
6.4 CAMPOFSINI TOS III:UNlClDAD
Ahora que ya sabemos que existen campos finitos que constan de pn elemen-tos,
para cualquier primo p y cualquier entero positivo n, se podria preguntar:
jcuantos carnpos finitos hay con pn elementos? Para que esto tenga sentido,
lo que en realidad se pregunta es: jcuantos campos no isomorfos distintos hay
con pn elementos? La respuesta es .breve y agradable: uno. Se demostrartt aqui
que cualquier par de campos finitos que consten del mismo numero de elemen-tos
son isomorfos.
Sean K y L dos campos finitos que constan de pn elementos. Por consi-guiente,
K y L son ambos espacios vectoriales de dimension n sobre 2,. Como
tales, K y L son espacios vectoriales isomorfos. Por otra parte, K * y L* son
ambos grupos ciclicos de orden i"- 1 por el Teorema 6.2.4; por lo tanto K *
y L* son isomorfos como grupos mult&licativos. Es especial imaginar que se
podrian juntar estos dos isomorfismos para probar que K y L son isomorfos
como campos. Pero no es asi. La demostracion no sigue tal direction en abso-luto.
Pero la finitud de K y L junto con estos dos isomorfismos (de dos estruc-
turas que llevan consigo IK y L ) si sugieren que, tal vez, K y L son isomorfos
como campos. Efectivamente este es el caso, como se demuestra en seguida.
Empezamos con el
LEMA 6.4.1. Si q(x) en Z,[x] es irreducible de grado n, entonces --..- -A - - -
q(x) 1 (xm - x), donde m = pn.
-" d "-.
DEMOSTRACI~NP.o r el Teorema 4.5.1 1 el ideal (q(x)) de Z,[x] generado por
q(x) es un ideal mkimo de Z, [XI, ya que q(x) es irreducible en Z,[x]. Sea A
= Z,[x]/(q(x)); por el Teorema 4.4.3; A es un campo de grado n sobre 2,;
por consiguiente, consta de pn elementos. De mod0 que, urn = u para todo ele-mento
u de A.
Sea a = x + (q(x)) la clase lateral de x en A = Z,[x]/(q(x)); de esta
manera q(a) = 0 y q(x) es el polinomio minimo de a sobre 2,. Puesto que
a esta en A, am = a, asi que a es una raiz del polinomio xm - x, donde m =
pn. Por consiguiente xm - x y q(x) tienen una raiz comun en A. Por el Lema
6.3.2 se tiene que q(x)((xm - x).

237. 6.5 Polinomios cic~otomicos 229
Ahora estamos en posibilidad de probar el resultado principal de esta seccion.
TEOREMA 6.4.2. -S--.ai. K y- -L. s.o. .n - campos , , . finitos que constan del mismo
A .-. .. - . .... ..A . .. ..*
n--u,.m e-. ro. de elementos, entonces ,,. --,.. . - ,.K-.. y. son ca.m pos...- *. isomorfos. ~ ... . . " . .*.
DEMoSTRACI~NS. upongase que K y L constan de pne lementos. Por el Teo-rema
6.2.4, L * es un grupo ciclico generado, digamos, por el elemento b de
L. Entonces, desde luego, Z,(b) -el campo que se obtiene agregando b a 2,-
es todo L. Puesto que [L : Z,] = n, por el Teorema 5.3.2 b es algebraic0 so-bre
Z, de grado n, con n = grd (q(x)), donde q(x) es el polinomio minimo
de b en Z,[x], y es irreducible en Z,[x].
La aplicacion #: Z,[x] + L = Z,(b) definida por #( f (x)) = f (b) es un
homomorfismo de Z,[x] sobre L con nucleo (q(x)), el ideal de Z,[x] genera-do
por q(x). Por consiguiente, L = Z,[x]/(q(x)).
Como q(x) es irreducible en Z,[x] de grado n, por el Lema 6.4.1 q(x)
debe dividir a xm - x, donde m = pn. Sin embargo, por el Lema 6.3.1, el
polinomio xm - x se factoriza en K [x] como
donde a,, a,, . . ., a, son todos 10s elementos de K. Asi que q(x) divide a
(X - a,)(x - a2) . . . (X - a,). Por el corolario a1 Teorema 4.5.10, q(x) no
puede ser primo con respecto a todos 10s x - ai en K [XI, por consiguiente pa-ra
algh j, q(x) y x - a, tienen un factor comun de grado a1 menos l. En for-ma
breve, x - a, debe dividir a q(x) en K [XI, de manera que q(x) =
(x - a,)h(x) para algun h(x) en K[x]. Por lo tanto, q(a,) = 0.
Puesto que q(x) es irreducible en Z,[x] y a, es una raiz de q(x), q(x) debe
ser el polinomio minimo de a, en Z,[x]. Por consiguiente Z,(a,) =
Z,[x]/(q(x)) = L. Esto indica, entre otras cosas, que se tiene [Z,(a,) : Z,] =
n, y dado que Zp(aj) c K y [K : Z,] = n se concluye que Z,(a,) = K. Por
lo tanto, K = Z,(a,) = L. De esta manera se obtiene que K y L son campos
isomorfos. Esto demuestra el teorema.
Combinando 10s Teoremas 6.3.4 y 6.4.2, se tiene el
TEOREMA 6.4.3. -P.- ara. t.o do primop y cualquier entero positiv-,o-,. .n." .e, xis- ~ -
-t-e ,-. ...s, al. v. o. i-s..o morfismos, uno y solo un camPo que consta de pn ele- " . ~ .., .> . . . ,, ..- .,."+.. .. . ~~.
mentos. -.. . .>..
6.5 POLINOMIOS CICLOTOMICOS -
Sea C el campo de 10s numeros complejos. Como consecuencia del teorema de
De Moivre el numero complejo 19, = cos 27r/n + isen27r/n satisface 8,:' = 1

238. 230 CAP~TULO6 . TEMAS ESPECIALES
y Or # 1 si 0 < m < n. Se llama a 8, una raiz n-bima primitiva de la unidad. .--.---A,---... -.. ....-- -.- -..." -.-" .-
Las otras son
ek cos 2ak i sen 2a = +
k 9 n
donde (k, n) = 1 y 1 r k < n.
Evidentemente, 8, satisface el polinomio xn - 1 en Q[x], donde Q es el
campo de 10s numeros racionales. Se requiere encontrar el polinomio (monico)
minimo de 8, sobre Q.
Para tal fin, definimos una sucesion de polinomios inductivamente. A pri-mera
vista podrian no parecer relevantes para obtener el polinomio minimo de
8, sobre Q. ResultarA que tales polinomios estan muy relacionados con dicho
aspecto, ya que, como se probara posteriormente, el polinomio +,(x) que se
va a introducir es un polinomio monico con coeficientes enteros, es irreducible
sobre Q y ademas, +,(On) = 0. Esto indicara que +,(x) es el polinomio mini-mo
monico deseado para 8, sobre Q.
Pasamos ahora a la definicion de estos polinomios.
DEFINICI~NL. os polinomios +,(x) se definen inductivamente me-diante:
(a) +,(x) = x - 1.
(b) Si n > 1, entonces 4,(x) = (xn - l)/H+Ax), donde en el product0
que aparece en el denominador, d recorre todos 10s divisores de n
except0 el mismo n.
Estos polinomios se denominan polinomios ciclotdmicos y +,(x) se
llama n-bimo polinomio ciclotdnico.
Por lo pronto no es obvio que 10s +,(x) asi definidos sean polinomios pa-res,
ni tampoco se tiene una idea de la naturaleza de sus coeficientes. Todo esto
vendra a su debido tiempo. Primero conviene considerar algunos ejemplos ini-ciales.
3. +,(x) = (x4 - ~)/(+,(x)+~(x)-)= (x4 - l)/((x - l)(x + I)) =
(x4 - l)/(xZ - 1) = x2 + 1.

239. 6.5 Polinomios ciclotomicos
Algunas observaciones respecto a estos polinomios:
1. Todos son monicos con coeficientes enteros.
2. El grado de 4,(x) es cp(n), donde cp es la funcion cp de Euler, para 1 s n s
6. (Compruibese.)
3. Para 1 r n I 6, cada 4,(x) es irreducible en Q(x). (Verifiquese.)
4. Para 1 r n r 6, 8, es una raiz de 8,(x). (Verifiquese.)
Estos casos proporcionan una sugerencia respecto a la situacion general pa-ra
todos 10s 4,(x). Pero solo una sugerencia. Establecer las propiedades desea-das
de 10s +,(x) se llevara algo de trabajo.
Para adquirir una mejor idea de estos polinomios, consideramos el caso par-ticular
en el que n = pm, dondep es primo. Para evitar subindices inc6modos,
se denotara 4,(x) por J/("')(X)d, onde n = pm.E l primo p se mantendran fijo
durante la discusion. Se obtendran f6rmulas explicitas para 10s J/(")(x) y se de-terminarb
sus propiedades bbicas. Sin embargo, el mitodo empleado no sera
aplicable a1 caso general de +,(x). Para analizar la situacion general se requie-re
un conjunto de tCcnicas mas amplias y profundas que las que se necesitan .
para J/("')(X).
Observamos un ejemplo sencillo. Sip es un primo, el unico divisor dep que
no es igual al mismo p es 1. De la definici6n de &(x) = J/(l)(x) se tiene
que
N6tese que a1 estudiar el criterio de Eisenstein se demostr6 que este polinomio
es irreducible en Q(x).
~QuCse puede decir de 10s J/(")(x) mayores?
LEMA 6.5.1. -P- ara * todo rn 2 1, -

240. 232 CAPiTULO 6 TEMAS ESPECIALES
DEMOSTRACI~SeN p. rocede por induccion en m.
Si m = 1, se demostro anteriormente que $(')(x) -= (xP - l)/(x - 1) =
1 +x+x2+ --. + XP-I, por consiguiente el lema es cierto en este caso.
Sup6ngase que $(r) = (XP' - I)/(~P'-' - 1) para todo r < m. Considerese
$(")(x). Puesto que 10s unicos divisores propios de pm son 1, p, p2, . . . ,
pm-', de la definicion de $(")(x) se tiene que
Por induccion, $(')(x) = (xPr - l)/(xp"' - 1) para r < m, por consiguiente
Pero entonces
con lo cual se completa la induccion y se prueba el lema.
Notese aqui que
es un polinomio monico con coeficientes enteros. Su grado es evidentemente
pm-'(p - I), el cual es efectivamente p(pm). Finalmente, si 8 es una raiz pri-mitiva
pm-esima de la unidad, entonces BP'" = 1, per0 BP'"-' # 1, por lo tanto
$(")(8) = 0; asi que 8 es una raiz de $(")(x). Lo ultimo que deseamos saber es
si $(")(x) es irreducible sobre Q.
Observese que
y se sabe que $(')(x) es irreducible en Q [x]. Se aplicara el criterio de Eisens-tejn
para probar que $(")(x) es irreducible en Q [XI.
Hacemos una digresion por un momento. Si f (x) y g(x) son dos polino-mios
con coeficientes enteros, se define f (x) = g(x) modp si f (x) = g(x) +
pr(x), donde r(x) es un polinomio con coeficientes enteros. Esto equivale a de-cir
que 10s coeficientes correspondientes de f (x) y g(x) son congruentes m6dp.

241. 6.5 Polinomios ciclotdmicos 233
Desarrollando (f( x) + g(~)p)or~ e l teorema del binomio y haciendo uso de
que todos 10s coeficientes binomiales son divisibles por p, dado quep es primo,
se llega a que (f( x) + g(~)=) f~ ( x)~+ g(~m)od~p.
Dado f (x) = a,-,xn + a,xn-I + . . + a,, donde 10s ai son enteros, enton-ces,
por lo anterior,
-- aox)IP + aIxOI- ')P + . . . +a,, modp,
siendo esta ultima congruencia una consecuencia del teorema de Fermat (el co-rolario
del Teorema 2.4.8). Puesto que f (xP) = a,-,xnP + af"-'IP + - . . + a,,
se obtiene que
Iterando lo que se acaba de hacer se llega a
para todo k no negativo.
Regresamos a $("')(x). Dado que $("')(x) = $(')(xpm-I) se tiene, de la dis-cusion
anterior, que $("')(x) $(')(xp'"-I) modp. Por lo tanto,
-= X~n'( p-') modp = +'""(x + 1)m odp.
Esto indica que
donde r(x) es un polinomio con coeficientes enteros. De esta manera todos 10s
coeficientes de $("')(x + l), con excepcion del primer coeficiente 1, son divisi-b
l e ~po r p. Si por alguna raz6n se supiera que el termino constante de h(x) =
$("')(x + 1) no es divisible por p2, se'podria aplicar el criterio de Eisenstein pa-ra
demostrar que h(x) es irreducible. Pero jcual es el termino constante de
h(x) = $("')(x + l)? Este es simplemenfe h(0) = $("')(l), el cual por la for-ma
explicita de $("')(x + 1) que se obtuvo cuatro parrafos antes es exactamente
p. De esta manera h(x) es irreducible en Q [x] es decir $("')(x + 1) es irreduci-ble
en Q [XI. Pero esto implica de inmediato que $(")(x) es irreducible en Q [XI.

242. 234 CAP~TUL6O TEMAS ESPECIALES
Resumiendo, hemos demostrado el
TEOREMA 6.5.2. -P-a ra n -= -p- m...,-d on..*=" dep es cualquier primo y m cual- ..---- - - - > " ziu. - - entero no negativo, el polinomio A 4,(x) es irredudble e-n- .Q [XI. A --
Como se sefial6 antes, este es un caso muy especial del teorema que se de-mostrara
pronto; a saber, que 4,(x) es irreducible para todos 10s enteros posi-tivos
n. Por otra parte, el resultado y la demostracion del Teorema 6.5.2 no
desempefian ningun papel en la demostraci6n de la proposici6n general que
4,(x) es irreducible en Q [XI. Pero gracias a1 resultado del Teorema 6.5.2 y a
la forma explicita de 4.(x) cuando n = pm, se obtiene una idea muy buena de
lo que debe ser cierto en general. Procedemos ahora a la discusion de la irredu-cibilidad
de 4,(x) para n general.
TEOREMA 6.5.3. -p. ara todo entero. -n - 1 -1 ,
-dond- -e- -.8 - ( -' -) , 8(2), . . . , 8'"")) son las cp(n) raices n-tsimas pri-m- -i tivas-d@-
-tin- t- as de la unjd,aa. a-.
DEMOSTRACI~N. Se procede por induccion en n.
Si n = 1, entonces 4 l(x) = x - 1 y puesto que 1 es la unica raiz primera
de la unidad, el resultado es ciertamente correct0 en este caso.
Supongase que el resultado es cierto para todo m < n. Por consiguiente,
si din y d # n, entonces, por la hipotesis de induccion, $J~(x=) (X - eA1)) . . .
(x - Bz((~)))d,o nde 10s 82' son las raices d-tsimas primitivas de la unidad.
Ahora bien
donde 10s ti recorren todas las raices entsimas de la unidad. Separando las rai-ces
n-tsimas primitivas de la unidad en este producto, se obtiene
donde u(x) es el producto de todos 10s demb x - ti; asi que por la hip6tesis
de induccion v(x) es el producto de 10s PAX) sobre todos 10s divisores d de n
con exception de d = n. Por consiguiente, dado que
(xn - 1) (X - ecl)) - -
- (x - 0 'PC")) v (x)
4n(x) =
v (x)
-- (X - ~(l))-( g~(2 )) . . (X - @(dn))),
se ha demostrado el resultado afirmado en el teorema.

243. 6.5 Polinomios ciclot6micos 235
A partir de la forma de c#J,(x) dada en el Teorema 6.5.3 se ve inmediata-mente
que r#~,(x) es un polinomio m6nico en C [x] de grado p(n). Sabiendo
esto, se prueba que, en efecto, 10s coeficientes de r#~,(x) son enteros. iPor quC
es cierto lo anterior? Procediendo por induccion en n, se puede suponer
que este es el caso si dl n y d # n. Por lo tanto, si v(x) denota el polinomio usa-do
en la demostracion del Teorema 6.5.3, entonces (xn - l)/v(x) = r#~,(x) E
C [XI, por consiguiente v(x) lxn - 1 en C [XI. Pero, mediante el procedimien-to
de division larga, la division de xn - 1 entre el polinomio monico v(x) con
coeficientes enteros conduce a un polinomio m6nico con coeficientes enteros
(y residuo cero, ya que v(x) 1 (xn - 1) en C [x]). Asi que (xn - l)/v(x) =
c#J,(x) es un polinomio monico con coeficientes enteros. Como se vio, su gra-do
es p(n). De esta manera se tiene
TEOREMA 6.5.4. -p-a r-a todo entero positivo n el polinomi-o - +,-( x) *- .e--s
-un p-o -l inomio monico con coeficientes enteros de grado pin), don"-d e p--
es l.a f unci6n p de Euler.
Sabiendo que r#~,(x) es un polinomio, se puede ver tambiCn que su grado
es p(n) de otra manera. A partir de r#~,(x) = (xn - l)/v(x), usando induccion
en n, grd (pn(x)) = n - grd (v(x)) = n - Cp(d), la suma se realiza sobre to-dos
10s divisores d de n aparte de d = n, en virtud de la forma de u(x). Re-curriendo
al resultado del Teorema 6.2.1, n - Cp(d) = p(n), donde nueva-mente
la suma es sobre todo dln, siendo d # n. De esta manera se obtiene que
grd(4n(x)) = dn).
El resultado que se va a demostrar es sin lugar a dudas uno de 10s mas bhsi-cos
respecto de polinomios ciclotonicos.
TEOREMA 6.5.5. xar-a- - -t -o do entero positivo n el polino-mi.o + ,(.-x ) -e-s.
-irre d-u-c ible en Q [XI. " ""- - -
DEMOSTRACI~SNea. f (x) en Q [x] un polinomio irreducible tal que
f (x) I~,(x). Asi que +,(x) = f (x)g(x) para algun g(x) en Q [XI. Por el lema
de Gauss se puede suponer que ambos f (x) y g(x) son polinomios monicos con
coeficientes enteros, por consiguiente estan en Z [XI. El objetivo es demostrar
que 4,(x) = f (x); si este fuera el caso, entonces, puesto que f (x) es irreduci-ble
en Q [XI, se tendria que 4,(x) es irreducible en Q [XI.
Dado que r#~,(x) no tiene raices multiples, f (x) y g(x) deben ser reciproca-mente
primos. Sea p un numero primo tal que no divide a n. Si 8 es una raiz
cte f (x), entonces es una raiz de r#~,(x), por consiguiente por el Teorema 6.5.3
8 es una raiz n-Csima primitiva de la unidad. Dado quep es primo con respecto
a n, 8P es tambiCn una raiz n-Csima primitiva de la unidad, asi que, por el Teo-rema
6.5.3, BP es una raiz de 4,(x). orl lo tanto se tiene que 0 = 4,(OP) =
f (OP)g(OP), de lo cual se deduce que f (OP) = 0 o bien g(8P) = 0.
Nuestro objetivo es demostrar que f (OP) = 0. Sup6ngase que no; enton-ces
g(OP) = 0, por consiguiente 8 es una raiz de g(xP). Dado que 8 es tambiin

244. 236 CAPiTuLO 6 TEMAS ESPECIALES
una raiz del polinomio irreducible f (x), por el Lema 6.3.2 se obtiene que
f (x) lg(xP). Como se vio en el transcurso de la demostracion del Teorema
6.5.2, g(xP) = g(x)P modp.
Sea J el ideal de Z generado por p; por el corolario del Teorema 4.6.2,
Z [x]/J[x] = Zp[x], lo cual significa que la reduccion de 10s coeficientes de
cualquier polinomio m6dp es un homomorfismo de Z[x] sobre Zp[x].
Puesto que todos 10s polinomios t$,(x), v(x), f (x) y g(x) esthn en Z [XI,
si 6,(x), G(x), f (x) y g(x) son sus imagenes en ZP[x], todas las relaciones en-tre
ellos se preservan procediendo en m6dp. De esta manera se tienen las rela-ciones
x" - 1 = S,(x)G(x), ~$,(x) = f (x)&(x) y f (x) lg(xP) = &(x)P.
Por lo tanto, f (x) y g(x) tienen una raiz comun, a, en alguna extensi6n K
de 2,. Ahora x" - 1 = 6,(x)~(x) = f (x)g(x), por consiguiente a, como raiz
de ambos f (x) y g(x) es una raiz multiple de xn - 1. Pero la derivada formal
(xn - 1)' de xn - 1 es nxn-I # 0, ya quep no divide a n; por lo tanto, (xn - 1)'
es primo con respecto a xn - 1. Por el resultado del Problema 3 de la Seccion
6.3 el polinomio xn - 1 no puede tener una raiz multiple. Debido a esta con-tradicci6n,
que se obtuvo a partir de la suposicion de que BP no era una raiz
de f (x), se concluye que siempre que 8 sea una raiz de f (x), tambikn 8P debe
serlo, para cualquier primo p que no divida a n.
Repitiendo este razonamiento, se llega a que 8' es una raiz de f (x) para to-do
entero r que sea primo con respecto a n. Pero por ser 8 una raiz de f (x),
es una raiz de t$,(x), asi que es una raiz n-esima primitiva de la unidad. De es-ta
manera 8' es tambitn una raiz n-esima primitiva de la unidad para todo r
primo con respecto a n. Recorriendo todos 10s r que Sean relativamente primos
con n, se obtiene cada una de las raices nCsimas primitivas de la unidad como
una de tales 8'. De esta manera todas las raices n-bimas primitivas de la uni-dad
son raices de f (x). Por el Teorema 6.5.3 se ve que t$,(~) = f (x), por con-siguiente
t$,(x) es irreducible en Q [XI.
Puede parecerle a1 lector como artificial y poco natural el haber recurrido
a1 paso modp para llevar a cab0 la demostracion de la irreducibilidad de un
polinomio con coeficientes racionales. En realidad, puede ser muy bien asi. Hasta
donde sabemos, nunca se ha dado una demostraci6n de la irreducibilidad de
t$,(x) permaneciendo completamente en Q [x] y sin pasar a modp. Seria este-ticamente
satisfactorio contar con una de tales demostraciones. Por otra parte,
tste no es el unico caso donde se demuestrs un resultado pasando a un sistema
subsidiario relacionado. Muchos teoremas de la teoria de 10s numeros -respecto
a 10s enteros ordinarios- tienen demostraciones que utilizan a 10s enteros modp.
Dado que t$,(x) es un polinomio monico con coeficientes enteros que es
irreducible en Q [x] y puesto que On, la raiz n-esima primitiva de la unidad,
es una raiz de t$,(x), se tiene
TEOREMA 6.5.6 .ZI,. 4 ( x_) e-s. el polinomio minimo- en .-Q- [-x ] de las rai--
ces n-esim- a-s- p rimitivas de -la unidad.

245. 6.6 Criterio de Liouville
PROBLEMAS 6.5
1. Verifiquese que 10s seis primeros polinomios ciclotomicos son irreducibles
en Q [x] en forma directa.
2. Expresar las formas explicitas de:
(a) 4J IO(X).
(b) 91dx).
(c) 4J20(x).
3. Si (xm - 1) J(xn - I), prudbese que m In.
4. Si a > 1 es un entero y (am - l)J(an - I), pruebese que mln.
5. Si K es una extension finita de Q, el campo de 10s numeros racionales, pruk-bese
que existe solamente un numero finito de raices de la unidad en K. (Su-gerencia:
Apliquese el resultado del Problema 10 de la Seccion 6.2, junto
con el Teorema 6.5.6.)
RecuCrdese que un numero complejo es algebraico de grado n si es raiz de un
polinomio de grado n sobre Q, el campo de 10s numeros racionales, y no es raiz
de ninguno de tales polinomios de grado menor que n. En 10s terminos emplea-dos
en el Capitulo 5, un numero algebraico es un numero complejo algebraico
sobre Q.
Un numero complejo que no es algebraico se llama t_ra.s-cendente. Algunos
nurneros conocidos, tales como e, ?r, e" y muchos otros, se sabe que son tras-cendentes.
De otros, igualmente conocidos, como e + ?r, e?r y ?re, se presume
que son trascendentes pero, hasta la fecha, este aspect0 de su naturaleza esta
sun indeterminado.
El matematico frances Joseph Liouville (1 809- 1882) proporciono un crite-rio
que todo numero algebraico de grado n debe satisfacer. Este criterio esta-blece
una condici6n que limita la magnitud a la cual se puede aproximar un
numero algebraico real mediante numeros racionales. El criterio es de tal natu-raleza
que se pueden construir facilmente numeros reales que no lo cumplen
para todo n > 1. Cualquiera de dichos numeros tendra que ser entonces tras-cendente.
De esta manera se podran producir numeros trascendentes a volun-tad.
Sin embargo, ninguno de 10s numeros conocidos es de tal mod0 que se pueda
probar su trascendencia aplicando el criterio de Liouville.
En esta seccion del libro se presenta dicho resultado de Liouville, el cual
es, de manera sorprendente, simple y elemental de probar. Lo anterior no le
resta nada a1 resultado; en nuestra opinion, lo realza enormemente.

246. 238 CAP~TULO6 TEMAS ESPECIALES
TEOREMA 6.6.1 (IIEL lOUVIl.1~). -S.. ea a un numero algebr.a.i c..-0-.- ..d- e
gradon,g - 2 (es decir, a es algebrdco .p.e.r.0. .n.o.. r.a.c..io..n.a.l.).. E- .n ton. ces ex.- i.-s-t- e
u--.-n a con.st.an.te. p.o sitiva. .~..."..(..l..ac u al depe.n- de solamente de a) tal q..u..e.. .p a-.r-a*
todos 10s enteros u, v con u > 0, la - u/vl > c/vn. -.,.- ....... - ..... ....... ..
DEMOSTRAC16N. Sea a una raiz del polinomio f (x) de grado n en Q (x), don-de
Q es el campo de 10s numeros racionales. Eliminando 10s denominadores en
10s coeficientes de f (x), se puede suponer que f (x) = r&" + rlxn-I + ... +
r,, donde todos 10s ri son enteros y ro > 0.
Puesto que el polinomio f (x) es irreducible de grado n tiene n raices distin-tas
a = a,, a2, ..., a, en C, el campo de 10s numeros complejos. Por lo tan-to,
f (x) se factoriza sobre C como f (x) = ro(x - a)(x - a2) ... (x - a,).
Sean u, v enteros con v > 0; entonces
Por consiguiente,
es un entero. Por otra parte, dado que f (x) es irreducible en Q [x] de grado
n r 2, f (x) no tiene raices racionales, asi que vnf (u/v) es un entero distinto
de cero, de lo cual I vnf (u/v)l r 1. Usando la forma factorizada de f (x), se
tiene que
por lo tanto
Sea s el mayor de 1 a 1, 1 a21 , .... 1 a, 1 .-Dividimos el razonarniento seg6n sea
I u/v I > 2s o bien I u/v I I 2s. Si 1 u/v I > 2s, entonces, por la desigualdad trian-gular,
Ja-(u/v)l r Iu/vI -la1 > 2s-s = s,ydadoquev 2 1,la-(u/v)I >
s/vn.

247. 6.6 Criterio de Liouville 239
Por otra parte, si I u/v I I 2, entonces nuevamente por la desigualdad trian-gular,
lai - (u/v)l I laiJ + lu/vJ r s + 2s = 3s. Por lo tanto,
de tal manera que l/t r 1/(3s)"-I = 1/(3"-'s "-I). Regresando a la desigual-dad
que dice la - (u/v) 1 r l/[rovnla2- (u/v) 1 . . . la, - (u/v) I], se tiene que
1 a - (u/v) 1 2 1/(ro3"-ls "-lvn). Estos numeros rO, 3"-l, s se determinan
todos de una vez por a y su polinomio minimo f (x) y no dependen de u o v.
Si se hace b = l/(ro3n-1sn-1), entonces b > 0 y la - (u/v)l > b/vn. Esto cu-bre
el segundo caso, donde (u/vl 5 2s.
Si c es un numero positivo menor que ambos b y s, de la discusion se tiene
que Ja - u/vl > c/vn para todos 10s enteros u, v, donde v > 0, con lo cual
se prueba el teorema.
Veamos 10s detalles de la demostraci6n para el caso particular a = a. El
polinomio minimo de a en Q [x] es f (x) = (x - a)(x + a), de mod0 que a =
a, y -a = a2. Asi que si u y v son enteros y v > 0, entonces
que es un entero. Por lo tanto I v2f(u/v) I r 1 2 l/v2. El numero s es el ma-yor
de y l-fi~; es decir, s = 4. Ademh, b es 1/(32-1(fi)2-') =
1/(3a), asi que si c es cualquier numero positivo menor que 1/(3a), entonces
(JZ - u/vl > c/v2.
Lo que dice el teorema es lo siguiente: cualquier numero real algebraico tie-ne
numeros racionales tan cercanos a kl como se quiera (esto es cierto para to-dos
10s nGmeros reales), per0 si dicho numero real algebraico a es de grado n r
2, hay restricciones sobre la forma en que se puede aproximar a por numeros
racionales. Tales restricciones son las impuestas por el teorema de Liouville.
iC6m0 utilizar este resultado para producir numeros trascendentes? Todo
lo que se requiere es producir un numero real T, digamos, tal que para cualquier
entero positivo n y cualquier c positivo que se elija, se pueda encontrar un par
de enteros u, v, con v > 0 de tal mob que JT - dvI < dun. Se puede encon-trar
facilmente uno de tales T escribiendo un decimal infinito que contenga 0
y 1, donde se haga que 10s 0 se dispersen entre 10s 1 muy rapidamente. Por ejem-plo,
T = 0.10100100000010 . . . 010. . . , donde 10s 0 entre 1 sucesivos crecen
como m!, es un numero que no cumple el criterio de Liouville para todo n >
0. (Prukbese.) Por consiguiente, este numero T es trascendente.
Se podrian, desde luego, usar otras propagaciones extensas de 0 entre 10s
1 -mm, (m!)2, y asi sucesivamente- para producir multitudes de numeros

248. 240 CAP~TUL6O 0 TEMAS ESPECIALES
trascendentes. Ademas, en vez de utilizar nada mas 1 se podria emplear cual-quiera
de 10s nueve digitos distintos de cero para obtener mas numeros trascen-dentes.
Se deja la verificaci6n de que 10s numeros del tiPo descrito no satisfacen
el criterio de Liouville, para cualquier entero positivo n y cualquier c positivo.
Se puede usar el numero trascendente T y sus variantes descritas para de-mostrar
un famoso resultado debido a Cantor, el cual dice que existe una co-rrespondencia
biyectiva entre todos 10s numeros reales y su subconjunto de
10s numeros reales trascendentes. En otras palabras, en cierto sentido, hay tan-tos
reales trascendentes como numeros reales. Se da una breve descripcion de
como se lleva a cab0 y se dejan 10s detalles a1 lector.
Primeramente, es fdcil construir una aplicaci6n inyectiva de 10s reales sobre
10s reales que se encuentran estrictamente entre 0 y 1 (tratese de encontrar tal
aplicacion). Esto tambitn es cierto para 10s numeros reales trascendentes y 10s
que de ellos se encuentran estrictamente entre 0 y 1. Denotese el primer conjun-to
por A y el segundo por B. Se construira una aplicacion inyectiva de A hacia
B. Esto sera suficiente para concluir la tarea.
Dado cualquier numero de A, se le puede representar como uq decimal infi-nit0
a,a2 . . . a, . . . , donde 10s ai estan entre 0 y 9. (Ahora se procedera con
un poco de inexactitud. El lector debe intentar hacer estricto el razonamien-to.)
Definamos ahora la aplicacion f de A a B por f (ala2 . . a, . . .) =
0.a,0a200a3000000a4 . . . ; por el criterio de Liouville, salvo un pequeiio con-junto
de a,, a2, . . . , a,, . . . , 10s numeros 0.1a,0a200a3000000a4 . . . son tras-cendentes.
La f considerada proporciona entonces la aplicacion requerida.
Un comentario final acerca del tipo de aproximacion de numeros algebrai-cos
mediante racionales, expresada en el Teorema 6.6.1. Ahi se tiene que si a
es real algebraic0 de grado n 2 2, entonces la -u/v 1 > c/vn para algun po-sitivo
c apropiado. Si se pudiera disminuir n para que la - u/v l > c/vm para
m < n y algun c adecuado (dependiente de a y m), se ob.tendria un resultado
aun mas profundo. En 1955 el entonces joven matematico inglCs K. F. Roth
demostro el poderoso resultado de que efectivamente se puede reducir n a 2.
Su resultado exacto es: Si a es algebraic0 de grado n 2 2, entonces para todo
numero real r > 2 existe una constante positiva c, que depende de a y r, de tal
manera qpe 1 a - u/v I > c/vr para todas except0 un numero finito de fraccio-nes
u/v.
Como se indic6 anteriormente, Lindemann demostro en 1882 que ?r es un nu-mero
trascendente. A partir de dicho resultado de Lindemann se deduce, en par-ticular,
que ?r es irracional. No se demostrara aqui la trascendencia de ?r -ello
requeriria una digresion bastante extensa- pero, por lo menos, se demostrara
que ?r es irracional. La excelente demostracion que se da de este hecho se. debe
a I. Niven; aparecio en su articulo "Una demostracion sencilla de que ?r es irra-

249. 6.7 Irracionalidad de .K 241
cional", que fue publicado en el Bulletin of the American Mathematical So-ciety,
vol. 53 (1947), pag. 509. Para seguir la demostraci6n de Niven so10 se
requieren algunos temas de un curso elemental de ciilculo.
Se empieza con
LEMA 6.7.1. -S-.i u es un numero real, entonces lim un/n! = 0.
n-m
DEMOSTRAC16N. Si u es cualquier numero real, entonces eu es un numero real
bien definido y e" = 1 + u + u2/2! + u3/3! + - + un/n! + , . . . La se-rie
1 + u + u2/2! + a . a + un/n! + e e a converge a e"; dado que la serie con-verge,
su tkrmino general debe tender a 0. De esta manera lim un/n! = 0.
n-OD
Ahora presentamos la demostracion de Niven de la irracionalidad de ?r.
TEOREMA 6.7.2. -a- -e s un numero irracional.
DEMOSTRACI~SNup.o ngase que ?r es racional; entonces ?r = a/b, donde a y
b son enteros positivos.
Con base en el supuesto de que ?r = a/b, se introduce un polinomio para
todo entero n > 0, cuyas propiedades conduciran a la conclusion deseada.
Las propiedades basicas de este polinomio seran validas para todo n posi-tivo.
La estrategia de la demostracion es realizar una eleccion sensata de n en
el momento apropiado.
Sea f (x) = xn(a - bx)"/n!, donde ?r = a/b. ~stees un polinomio de
grado 2n con coeficientes racionales. Desarrollandolo, se obtiene que
donde
a, = an, a , = -nan-'b, . . . a. = (-1 an-;b; 9 ..., an = (-l)"bn
i!(n - i)!
son enteros.
Se denota la i-esima derivada de f (x) con respecto a x mediante la notacion
usual f ("(x), sobreentendiendose que f cO)(x)s ignifica f (x).
Primero se hace notar una propiedad de simetria de f (x), a saber que
f (x). = f (?r - x). Para tal fin, observese que f (x) = (bn/n!)xn(?r - x)", de cu-ya
forma es evidente que f (x) = f (a - x). Puesto que esto es valido para f (x),
es facil ver, a partir la regla de la cadena para la diferenciacibn, que f(')(x) =
(-l)y(I'(?r - x).

250. 242 CAP~TULO6 'TEMAS ESPECIALES
Esta afirmacidn referent e a f ( x )y todas sus derivadas permite concluir- .q--u - e
para 10s enunciados que se hagan respecto a la naEraleza de toda~.lassf('~(O),
existen afirmaciones apropiadas respecto a todas las7'(7
Se tendra interCs en 10s valores de f(')(O) y f ("(n), para todo i no negativo.
ObsCrvese que de la forma desarrollada de f (.u) dada anteriormente se obtiene
facilmente que f ("(0) es simplemente i! multiplicado por el coeficiente de x' del
polinomio f (x). Esto implica de inmediato que f (''(0) = 0 si i < n, puesto que
la menor potencia de x que aparece en f ( x ) es la entsima. Para i r n se obtiene
que f("(0) = i!a,-,/n!; dado que i r n, i!/n! es entero y como se seiialo an-teriormente,
a ,-, tarnbiCn es entero; por lo tanto, f '"(0) es ennzro gars- Lodo en-tero
no negativo i. Puesto que f ("(n) = (-l)'f(O), se tiene que f ("(n) es entero
para todo entero no negativo i.
Se introduce una funci6n auxiliar
F ( x ) = f (x) - f ("(x) + . . . + (-l)"f(2n)(~).
Dado que f(m)(~=) 0 si m > 2n, se ve que
-d2-F - F" (x) = f (2)(x-) f (4)(x)+ . . . + (- 1)" f (2n)(x)
dx2
Por lo tanto,
-d ( F' ( x )s en x - F ( x )c os x ) = F " ( x )s en x + F ' ( x )c os x
dx
- F1(x) cosx + F(x) senx
= (Fr'(x) + F (x)) sen x = f (x) sen x.
De esto se concluye que
C(x)se n x dx = [Fr(xs)e n x - F ( x )c os x);
= (F ' ( n ) sen n - F ( n) cos n) - (F '(0) sen 0 - F (0) cos 0)
Pero de la forma de F(x) dada anteriormente y el hecho de que todos lo&
valores f(')(O) y f(')(r) son enteros, se concluye que F(n) + F(0) es ente-*
ro. PO; consiguiente .- f ( x ) sen x " d... x.. .e s.. entero-.. .E~s ta a. .f.-i-r.a macion referent-e- .o

251. ' 6.7 lrracionalidad de r 243
lo"f (x) sen x dx es valida para cualquier entero n- > 0. Ahora se requiere elegir
n de manera inteligente para asegurq que 1% aseveracidn " /On f (x) sen x dx es
entero" no pueda ser cierta.
Se lleva a cab0 ahora una apreciacidn del valor de /," f ( x ) senx dx. Para
0 < x < s la funcidn f (x) = xn(a - bx)"/n! r ffan/n! (ya que a > 0), y
adern& 0 < sen x I 1. De manera que 0 < 1," f (x) sen x dx < /: s "an/n ! dx =
snl+an /n!.
Sea u = sa; entonces, por el Lema 6.7.1, 4% un/n! = 0, asi que si se
escoge n suficientemente grande, sep uede asegurar que un/n! < l%po,r con-siguiente
s"+ 'an/n! = run/n! < 1. Pero entonces /;f (x) senx dx queda
cdnfinado estrictamente entre 0 y 1. Sin embargo, por lo que se ha demos-trado,
/; f (x) senx dx es entero. Puesto que no existe ningiin entero estricta-mente
entre 0 y 1, se ha llegado a una contradiccidn. Por consiguiente la premi-sa
de que s es racional es falsa. Por lo tanto, s es irrational. Esto completa
la demostracion del teorema.

252. s/;*-9 4.'i = (Gtj, 4,. - + nnj) J. I . . . . ,..,-,
n e5 1~." fS+ko@- A A A cIc. 02J- 4
A- .;*:, . /- {QJ,$ =,. ..-,: ,. "$ ..,. -." :.->. G3 @ecldL% .$< , . " a?", +-..-- --
.# 'A/ A $0
,
, i
d m- ns:A !

253. A(S), 16, 18, 39
Abel, 41
Abeliano(s), grupo(s), 41
finito(s), 96-101
teorerna fundamental, 97-100
Alternante, 121
sirnplicidad de, 215, 222
Anillo(s), 125-1 74
booleanos, 138
conrnutativos, 128
con unidad, 127
de divisidn, 127
definicidn de. 127
euclidianos, 161, 162
hornornor fisrno de, 139
no conrnutativos, 127
polinorniales, 15 1 - 162
Aplicacibn(es) (o rnapeos), 8
biyectiva, correspondencia, 1 I
cornposicibn de, I I
conrnutacibn, 21
identidad, 9
inyectiva, 10
suprayectiva (sobre), 10
uno a uno (1-l), 10
Asociativa, ley, 12, 43
Automorfisrno de grupo, 69, 75
interno (o interior), 69 / j1 '
Axiornas, 2 I ,
Base (de un espacio vectorial), 187 : 'j 14.,tjf,
Biyeccibn, I 1
Biyectiva, correspondencia, 1 I
Boole, 138
Booleano, anillo, 138
Buena ordenacibn, principio de, 22
Carnpo, 33, 127, 175-214
caracterlstica de un, 178
cerrado algebraicarnen~; 200
cociente, 171
de cocientes, 171-178
de descornposici6n, 21 3
de funciones rationales, 176
.de.ntirneros algebraicos, 199
definici6n de, 175-176
extensibn de un, 191
finita, 198-201
finito, 129, 185-191
Cantor, 240
Caracterlstica de un carnpo, 178
Carroll, 7
Cartesiano, producto, 5, 6
Cauchy, 80
Cauchy, teorerna de, 89, 91
para grupos abelianos, 80
Cayley, 68
Cayley, teorerna de, 42, 68
Centro, 52
Centralizador, 52, 101
Cero, divisor de, 128
Ciclico, grupo, 52
generador de, 52
Ciclo de una perrnutacibn, 112
245

254. Ciclotdmico, polinomio, 229-230
definicidn de, 237
irreducibilidad de, 235
Clase, ecuacidn de, 102
Clase lateral (coset), 57
derecha, 63
izquierda, 57
Cociente, grupo, 78
Complejo(s), nlimero(s), 31-36
argument0 de, 35
definicidn de, 31
forma polar de, 35
imaginario (puro), numero, 32
parte imaginaria 'de, 32
parte real de, 32
valor absoluto de, 33
Complemento, 5
Composicidn de aplicaciones, 11
Congruencia mddulo n, 56 ,
Conjugacidn, 57, 101
clase de, 67
Conjugado complejo, 32
Conjugados, elementos, 57
Conjuntos, 3
diferencia de, 5
igualdad de, 10
interseccidn de, 4
producto cartesiano de, 5
unibn de, 4
Conmutacibn (de aplicaciones), 21
Constructibilidad, 201, 207
Constructible, longitud, 202
numero, 203
Correspondencia biyectiva o uno a
uno, 11
Cuadritico, '
no residuo, 151
residuo, 151
Cuadratura del circulo, 207
Cuaternios (o cuaterniones), 71, 127, 131
Chino, teorema, del residuo, 147
De Moivre, teorema de, 35
Derivada formal, 227
Descomposicibn (splitting), campo
de, 213
Desigualdad del tridngulo, 34
Dimensidn de un espacio vectorial, 186
Directa, suma
de anillos, 146
de espacios vectoriales, 18 1
Dirccto, producto, de grupos, 92-93, 95
b externo (o exterior), 93
interno (o interior), 93'
Distributiva, ley, 126
~ivisidn
algoritmo de la, 155'
anillo de, 127, 132
divide a . . . , 23, 159
Divisor, 23
de cero, 128
mhimo comlin, 23, 158
Dominio, 126
ideal principal, 156
integral (0 entero), 127
campo de cocientes, 171
Duplicacidn del cubo, 205
Eisenstein, 1 69
Eisenstein, criterio de, 168
Elemento(s), 3
algebraico, 193
de grado n, 195
conjugados, 57
identidad, 40
drbita de un, 21, 65
trascendente, 193
Equivalencia -. clase de, 57
relacidn de, 56
Espacios vectoriales, 179- 188
base de, 1 87
conjunto 'generador mfnimo de, 186
de dimensidn finita, 185
de dimensidn infinita, 185
definicidn de, 179
dimensidn de, 186
Euclides, 26
Euclides, algoritmo de, 22
Euler, 59, 65
Euler, funcibn 4 'de, 61
Euler, teorema de, 62
Exponentes, 18
Extensidn de campo, 191-201
algebraica, 193
definicidn de, 191
finita, 191, 198-201
grado de, 191
Factor, 23
Factor, grupo, 77-82 ;
definicidn de, 78
Factorial, 17

255. Fermol, 59, 62
Fermat, teorerna de, 62
Finito-dimensional, espacio vectorial, 182
Finitos, campos, 221-229
ciclicidad de, 222-224
existencia de, 224-228
unicidad de, 228-229
Funcibn, 8
constante, 9
racional, 177
o de Euler, 61
Fundanlental, teorerna
del Algebra, 200
de 10s grupos abelianos finitos,
96,100
Gauss, 168
Gauss, lerna de, 200
Gaussianos, enteros, 38, 165
Grado (grd)
de uha extensidn de campo, 191
de un polinomio, 153
Grupo(s), 39-123
abeliano, 41
finito, 96-101
alternante, 121, 215-222
autornorfismo de, 69, 75
axiomas, 40
clclico, 52
cociente; 78
definicidn de, 40
diddrico, 43
factor, 77
finito, 41
hamiltoniano, 71
: isombrficos, 68
no abeliano, 42
simple, 123, 216
Hamillon, 7 1, 13 1
Harniltoniano, grupo, 71
Hardy, 201
Hermile, 194
Homomorfismo
primer teorerna de
para anillos, 142
para grupos, 85
segundo teorerna de
para anillos, 141
para grupos, 86
tercer teorema de
para anillos, 141
para grupos, 86
Hornornorfisrno de anillos, 139
nucleo (o kernel) de, 140
Hornomorfisrno de grupos, 66-77
definicibn de, 66
irnagen bajo, 69
nucleo (o kernel) de, 69
trivial, 66
Ideal, 140
bilateral, 140
derecho, 140
izquierdo, ' 140
mlximo, 148-150
, trivial, 142
Ideal principal. dorninio, 156
Identidad
aplicacibn, 9
elemento, 40
Igualdad
de aplicaciones (o mapeos), 8
de conjuntos, 5
Irnagen, 8
inversa, 12
fndice de un subgrupo, 59
Induccibn, 28-31
paso de, 30
Induccidn rnatemltica, 28-31 (
principio de, 28
lnductiva, hipbtesis, 29
Infinito-dimensional, espacio
vectorial, 185
Invariantes de grupos abelianos, 100
lnversa
de una aplicacidn (o mapeo), 12
en un grupo, 40
Inyectiva, aplicacibn, 10
Isornbrficos, grupos, 68
Isomorfisrno
de anillos, 142
de grupos, 68
Kernel (vbase Nbcleo)
Logrange, 58-59
Lagrange, identidad de, 133
Lagrange, teorema de, 55-62
Lindemonn, 194, 207, 240
Lineal
combinacibn, 184-185
dependencia, 185
independencia, I85
Liouville, 237
Liouville, criterio de, 237-240

256. Mapeos (vhase Aplicaciones)
Matrlces
de 2 x 2 sobre un anillo, 130
reales de 2 x 2, 129
Mbimo comlin divisor
de enteros, 23, 24
de polinomios, 157
McKay, 88
Mlnimo
conjunto generador, 186
polinomio, 195
Mlnimo comlin mliltiplo, 27
Mdnico, polinomio, 157
Multiplicidad de una ralz, 209
Mliltiplo, 23
minimo comlin, 27
Producto
cartesiano, 5
de aplicaciones, I I
directo, de grupos, 92-96
Proyeccidn, 9 '
, Rational, funcidn, 177
Reflexividad, 56
Residuo, teorema chino del, 147
. Roth, 240
Simetrla, 56
Simttrico, grupo; 16, 109- 123
Simple, grupo, 122, 216
Simplicidad de A,, 215-219
Subcampo, 128
Subconjunto, 3-4
Niven, 240 Subespacio, 180
Normal, subgrupo, 66-72 generado por elementos, 18 1
definicidn de, 70 Subgrupo, 50-53
Nricleo (o kernel) de un homomorfismo caracterlstico, 75
para anillos, 140 ciclico, 52
para grupos, 69 de Sylow, 104
Nulo, conjunto, 4 definicidn de, 0
lndice de, 59
drbita de un elemento, 21, 65
Orden
de un elemento, 59
de un grupo, 41
Particidn de n, 236
Permutacidn, 110
ciclo de una, 1 13
impar, 118 y sgtes.
par, 118 y sgtes.
Polinomio(s), I5 1
Polinomiales, anillos, 151-162
ciclotdmico, 229-230
coeficiente de, 152
grado de un, 153, 156
irreducible, 195
minimo, 195
mdnico, 156
primos entre sf, 158
Primo, ntimero, 21, 25
Primos entre si
enteros, 24
polinomios, 158
Primitiva, rafz, mddulo p, 65
Primitiva, ralz n-hima, de la unidad, 36
normal, 70
propio, 50
trivial, 50 ---
Suma directa
de anillos, 146
de espacios vectorialcs, 181
Sylow, 104
Sylow, subgrupo de, 104
Sylow, teorema de, 104-105
para grupos abelianos, 83
Trascendente, elemento, 193
Transitividad, 56
Transposicidn, 21-1 13
TriAngulo, desigualdad de, 34
Triseccidn de un ingulo, 206-207
Unidn de conjuntos, 4
Unitario (o unidad), elemento, 39
Uno a uno,
aplicacidn, 10
correspondencia, 1 I
Vaclo (o nulo). conjunto. 4
Wilson, teorema de. 65. 210