Función proposicional y cuantificadores

Función proposicional y cuantificadores

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  FUNCIÓN PROPOSICIONAL Y CUANTIFICADORES Autor: Luis RolandoPacheco Huarotto
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  FUNCIÓN PROPOSICIONAL Una funciónproposicional es un enunciado abierto P(x), en la que figura la variable “x” como sujeto u objeto directo; la cual se convierte en una proposición para cada especificación de “X”. Ejemplos: a) P (x): X es impar P ( - 4 ): - 4 es impar ( F ) P ( 5 ): 5 es impar ( V ) b) P ( x, y): X es divisor de Y P ( -2,6): - 2 es divisor de 6 (V) p (10,2): 10 es divisor de 2 ( F ) Nota.- Al conjunto de todos los valores convenidos para “x”, se denomina DOMINIO DE LA VARIABLE. c) P(x): x+1 < 9. Si x Є Z, entonces p(x) es una función proposicional cuyo dominio son los Números enteros. p (-2): -2 + 1 < 9 (V) P(10): 10 + 1 < 9 (F)
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  CUANTIFICADORES Son expresiones “PARATODO” o “ALGUNOS”, etc.; que se anteponen a un enunciado abierto para convertirlo en proposición. Estas proposiciones indican dos opciones: que todos los elementos intervienen o que algunos elementos intervienen. Se utilizan en el lenguaje cotidiano y también en el lenguaje matemático. Ejemplos: a) Todos los Iqueños son Peruanos b) Algunos números enteros son naturales c) Todas las ciudades son bellas d) Algunas pruebas se quedaron en casa Nota.- A través de la Cuantificación, también se pueden crear proposiciones desde una función proposicional.
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  CLASES DE CUANTIFICADORES Entreellos tenemos el Cuantificador Universal y el Cuantificador Existencial. 1.- CUANTIFICADOR UNIVERSAL: Es una generalización de la Conjunción. Por ello es Verdadero cuando todos los valores de “x” que pertenecen al Dominio de A son Verdaderos. Se denota: ∀x ; p(x) Se lee: “Para Todo x”, “Para cada x”, “Todos (as) las x”, “Todo (a) x”; etc. 2.- CUANTIFICADOR EXISTENCIAL: Es una generalización de la Disyunción Inclusiva. Por ello, es Verdadero cuando al menos un valor de “x” perteneciente al Dominio de A, es Verdadero. Se denota; ∃ x / P (x) Se lee: “Existe al menos un x”, “Algunos x”, “ Hay x”, “Existe un x”, etc.
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  EJEMPLOS: 1.- Formaliza lassiguientes proposiciones: a) Todo número natural , es mayor o igual que uno R: ∀x Є N; x ≥ 1 b) Existe al menos un número entero, cuya raíz cuadrada es un número irracional. R: ∃ x Є Z / Є I 2.- Sea A = { 1, 2, 3, 4, 5 }. Determine el valor de verdad de cada uno de los enunciados siguientes: a) ∃ x ∈ A/ x+3 =10 ……………. Es ( F ) Porque, ningún número de A es una solución de x + 3 = 10 b) ∀ x ∈ A: x+3 < 10 ………….. Es ( V ) Porque, cualquier número de A cumple que x + 3 < 10.
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  NEGACIÓN DE LOSCUANTIFICADORES La negación de cualquiera de los cuantificadores, se realiza negando la proposición p(x) y cambiando el cuantificador universal por el cuantificador existencial, o viceversa. Así:  ~ [ ∀x ; p(x) ] Ξ ∃ x / ~ P (x)  ~ [∃ x / P (x)] Ξ ∀x ; ~ p(x) Ejemplos: 1.- Simboliza y Niega las siguientes proposiciones: a) Todos los números enteros son impares Sea el Dominio Z y la función Proposicional p(x): x es un número impar. Simbolicamente: ∀x Є Z ; p(x) Negamos: ~ [ ∀x Є Z ; p(x) ] Ξ ∃ x Є Z / ~ P (x) Interpretamos: Existe al menos un número entero que no es impar
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  b) Algunos estudiantesaprobaron el examen Simbolizamos: ∃ x / P (x) Negamos: Todos los estudiantes no aprobaron el examen ( ∀x ; ~ p(x) ) c) Todos los gatos maullan : ∀x ; p(x) Algunos gatos no maulla : ∃ x / ~ P (x) d) Algunos triángulos son equiláteros Todos los triángulos no son equiláteros e) Todo número entero es negativo Algunos números enteros no son negativos
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  EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Simbolizalas proposiciones considerando como universo el conjunto de estudiantes de tu aula. a) Todos llegaron a tiempo b) Algunos estudian c) Hay pocos que son aplicados d) Todos estudian aunque algunos no aprueban 2.- Sea A ⁼ { x/x Є N, x<10} y las funciones proposicionales P(x): x≤9, Q(x): x>9 y R(x): x<5 a) Utiliza Cuantificadores y convierte las funciones en proposiciones. b) Determina su valor de verdad 3.- Expresa la negación de: a) Algunos números primos no son impares b) Todos los metales son buenos conductores de calor c) El doble de todo número entero positivo es un número par 4.- Decodifica las notaciones y exprésalas en lenguaje verbal a) ∀ x ∈ N: x+3 < 10 c) ∀ x ∈ Z: x ≥ 0 b) ∃ x ∈ Z/ 2x es par d) ∃ x ∈ N/ x ≤ 0 Docente: Luis Rolando Pacheco Huarotto