Este documento define los conceptos básicos de un grupo, incluyendo la asociatividad, elemento identidad e inversos. Explica que un subconjunto de un grupo es un subgrupo si cumple con estas propiedades. También introduce ejemplos comunes de grupos como los enteros, reales y permutaciones, así como la noción de generadores de un subgrupo.
1) El documento presenta los conceptos básicos de las estructuras algebraicas, incluyendo semi-grupos, grupos y anillos.
2) Se analizan tres ejemplos de conjuntos (G1, G2 y G3) para verificar si cumplen las propiedades de grupo. G1 y G3 cumplen las propiedades y son grupos, mientras que G2 no tiene elemento neutro y no es grupo.
3) También se verifica que el conjunto A, formado por números reales de la forma a + b√2, es un anillo conmutativo y
Este documento introduce las estructuras algebraicas de grupo, grupo abeliano, cuerpo y campo. Define cada una de estas estructuras y sus propiedades, e incluye ejemplos como (Q,+,.) y (R,+,.) que son cuerpos conmutativos o campos. También analiza si ciertos pares cumplen con alguna de estas estructuras algebraicas y explica la propiedad de que en todo cuerpo la ecuación aTx=b tiene solución única.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre funciones reales de variable real. Explica cómo calcular los dominios de definición de varias funciones y realiza operaciones como sumas, productos y composiciones de funciones. También describe las características de funciones a partir de sus gráficas, indicando si son crecientes, decrecientes, cóncavas o convexas.
El documento describe diferentes tipos de funciones matemáticas como relaciones, funciones, funciones inyectivas, biyectivas y sobreyectivas. También explica conceptos como el dominio, rango e inversa de una función, así como operaciones entre funciones como suma, resta, multiplicación, división y composición.
Este documento presenta los conceptos básicos del cálculo integral, incluyendo la integral indefinida, métodos de integración como sustitución y por partes, e integrales definidas. El autor, Eduardo Mena Caravaca, explica estos temas para propósitos educativos a través de definiciones, ejemplos y propiedades.
Este documento presenta una introducción al cálculo integral. Explica conceptos como la integral indefinida, métodos de integración como sustitución, por partes e integrales racionales, y también introduce las integrales definidas. El documento contiene ejemplos para ilustrar estos conceptos y propiedades de la integral indefinida.
Este documento define conceptos matemáticos como operaciones binarias, propiedades algebraicas como asociatividad y conmutatividad, y estructuras algebraicas como monoides, semigrupos, grupos y anillos. Proporciona ejemplos de cada uno y explica sus definiciones formales.
Este documento explica las definiciones de preimágenes e imágenes de una función, y cómo calcular ambas. Define preimágenes como los elementos del dominio y las imágenes como los elementos del codominio. Explica que para calcular la imagen de un elemento del dominio se sustituye en el criterio de la función, mientras que para calcular la preimagen se iguala el criterio a la imagen dada y se resuelve. Proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
1) El documento presenta los conceptos básicos de las estructuras algebraicas, incluyendo semi-grupos, grupos y anillos.
2) Se analizan tres ejemplos de conjuntos (G1, G2 y G3) para verificar si cumplen las propiedades de grupo. G1 y G3 cumplen las propiedades y son grupos, mientras que G2 no tiene elemento neutro y no es grupo.
3) También se verifica que el conjunto A, formado por números reales de la forma a + b√2, es un anillo conmutativo y
Este documento introduce las estructuras algebraicas de grupo, grupo abeliano, cuerpo y campo. Define cada una de estas estructuras y sus propiedades, e incluye ejemplos como (Q,+,.) y (R,+,.) que son cuerpos conmutativos o campos. También analiza si ciertos pares cumplen con alguna de estas estructuras algebraicas y explica la propiedad de que en todo cuerpo la ecuación aTx=b tiene solución única.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre funciones reales de variable real. Explica cómo calcular los dominios de definición de varias funciones y realiza operaciones como sumas, productos y composiciones de funciones. También describe las características de funciones a partir de sus gráficas, indicando si son crecientes, decrecientes, cóncavas o convexas.
El documento describe diferentes tipos de funciones matemáticas como relaciones, funciones, funciones inyectivas, biyectivas y sobreyectivas. También explica conceptos como el dominio, rango e inversa de una función, así como operaciones entre funciones como suma, resta, multiplicación, división y composición.
Este documento presenta los conceptos básicos del cálculo integral, incluyendo la integral indefinida, métodos de integración como sustitución y por partes, e integrales definidas. El autor, Eduardo Mena Caravaca, explica estos temas para propósitos educativos a través de definiciones, ejemplos y propiedades.
Este documento presenta una introducción al cálculo integral. Explica conceptos como la integral indefinida, métodos de integración como sustitución, por partes e integrales racionales, y también introduce las integrales definidas. El documento contiene ejemplos para ilustrar estos conceptos y propiedades de la integral indefinida.
Este documento define conceptos matemáticos como operaciones binarias, propiedades algebraicas como asociatividad y conmutatividad, y estructuras algebraicas como monoides, semigrupos, grupos y anillos. Proporciona ejemplos de cada uno y explica sus definiciones formales.
Este documento explica las definiciones de preimágenes e imágenes de una función, y cómo calcular ambas. Define preimágenes como los elementos del dominio y las imágenes como los elementos del codominio. Explica que para calcular la imagen de un elemento del dominio se sustituye en el criterio de la función, mientras que para calcular la preimagen se iguala el criterio a la imagen dada y se resuelve. Proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
1) El documento habla sobre grupos, sus propiedades y ejemplos. 2) Define subgrupos y explica que un subconjunto de un grupo es un subgrupo si cumple con las propiedades de asociatividad, elemento identidad e inversa. 3) También introduce homomorfismos de grupos como funciones que conservan la estructura de grupos.
El documento define operaciones binarias y sus propiedades. Explica que una operación binaria asigna un elemento único a cada par ordenado de elementos tomados de un conjunto de definición. Luego describe propiedades como cerradura, conmutatividad, asociatividad, elemento neutro e inverso a través de ejemplos.
1. El documento describe operaciones binarias internas y externas, y define propiedades como asociatividad, conmutatividad y elementos neutros. También introduce estructuras algebraicas como semigrupos, monoides y grupos.
2. Explica que un homomorfismo entre estructuras algebraicas es una función que respeta las operaciones. Define también isomorfismos.
3. Proporciona ejemplos de grupos como (Z,+), (Q,+) y (R,+) que son abelianos, y explica por qué (N,+) no es grupo.
Este documento presenta definiciones y propiedades de estructuras algebraicas como conjuntos, operaciones, semigrupos, monóides, grupos, anillos y cuerpos. Introduce conceptos como clausura, asociatividad, elemento neutro e inverso. Explica las propiedades que deben cumplir estas estructuras algebraicas y provee ejemplos ilustrativos.
Este documento contiene 34 ejercicios sobre cálculo vectorial. Los ejercicios involucran el cálculo de derivadas parciales de primer y segundo orden, gradientes, direcciones de máxima y mínima variación, ecuaciones de planos y rectas tangentes y normales. Los ejercicios cubren una variedad de funciones de dos y tres variables.
Este documento contiene 10 ejercicios sobre estructuras algebraicas. Los ejercicios involucran analizar si ciertas operaciones definidas en diferentes conjuntos cumplen las propiedades para ser grupos, incluyendo la existencia de elemento neutro e inversos. También involucran determinar si las operaciones son conmutativas o no. Al final se incluyen las respuestas a los ejercicios.
Este documento explica las definiciones de preimágenes e imágenes de una función, y cómo calcularlas. Define que las preimágenes son los elementos del dominio y las imágenes son los elementos del codominio. Explica que para calcular la imagen de un elemento del dominio se sustituye en el criterio de la función, y para calcular la preimagen se iguala el criterio a la imagen dada y se resuelve. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los procedimientos.
Este documento presenta los métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y la ecuación de Bernoulli. Explica que para resolver ecuaciones lineales se utiliza el método de separación de variables o el factor integrante. También cubre la existencia y unicidad de soluciones y proporciona ejemplos resueltos de diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden.
Este documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo variables separables y ecuaciones homogéneas. Explica cómo separar variables para convertir una ecuación diferencial en una integral y cómo reducir una ecuación homogénea mediante sustitución a una forma en variables separables. Luego, presenta ejemplos y ejercicios resueltos para ilustrar estos métodos.
El documento introduce las estructuras algebraicas de grupo, anillo y cuerpo. Define un grupo como un conjunto con una operación binaria que cumple las propiedades de asociatividad, elemento identidad e inverso. Un anillo es similar a un grupo pero con dos operaciones donde solo se requiere que una de ellas sea asociativa. Estas estructuras juegan un papel importante en diversas ramas de la ciencia como física y cristalografía.
Este documento explica los conceptos básicos de la integral indefinida, incluyendo: (1) la definición de antiderivada y cómo se relaciona con la derivada de una función; (2) que existen múltiples antiderivadas que solo difieren por una constante; (3) reglas para calcular antiderivadas de funciones de potencias y sumas de funciones; (4) la interpretación geométrica de la integral indefinida como una familia de curvas; y (5) el método de sustitución para calcular integrales más complejas.
Este documento presenta una introducción a las estructuras algebraicas básicas como grupos, anillos y cuerpos. Primero define grupos, subgrupos, homomorfismos de grupos y teoremas clave sobre grupos. Luego introduce anillos, incluyendo sus propiedades y ejemplos. Finalmente, resume conceptos avanzados como extensiones de cuerpos y teoremas de Galois.
El documento describe las diferentes estructuras algebraicas como semigrupos, grupos, anillos y cuerpos. Explica que una estructura algebraica clasifica conjuntos basados en las propiedades de las operaciones internas definidas en ellos, como la ley de composición y la existencia de elementos neutros. Luego define cada estructura algebraica y proporciona ejemplos numéricos y no numéricos que cumplen con sus propiedades. Finalmente, señala que el concepto de estructura algebraica se formalizó en el siglo XX y se aplica en todas las á
metodo de cardano, funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas, traslación de funciones, funciones continuas, continuidad puntual, funciones exponenciales y logaritmicas, funciones trigonometricas, ecuaciones de tercer grado, ecuaciones de segundo grado, asintotas horizontales verticales y oblicuas, algebra de funciones, composicion de funciones, funciones inversas
1) Se define una ecuación diferencial (E.D.) como una ecuación que contiene derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
2) Se distinguen las E.D. ordinarias (E.D.O.), que contienen derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, de las ecuaciones en derivadas parciales, que contienen derivadas parciales.
3) Se presentan ejemplos de E.D.O. lineales y no lineales,
Este documento trata sobre cuatro capítulos relacionados con el cálculo. El Capítulo I introduce funciones exponenciales y logarítmicas. El Capítulo II cubre integrales. El Capítulo III cubre ecuaciones diferenciales. Y el Capítulo IV presenta métodos para resolver ecuaciones diferenciales. El documento también incluye referencias bibliográficas relacionadas con el cálculo.
Este documento trata sobre cuatro capítulos relacionados con el cálculo. El Capítulo I introduce funciones exponenciales y logarítmicas. El Capítulo II cubre integrales. El Capítulo III cubre ecuaciones diferenciales. Y el Capítulo IV presenta métodos para resolver ecuaciones diferenciales. El documento también incluye referencias bibliográficas relacionadas con el cálculo.
Una función asocia cada elemento de un conjunto dominio con un único elemento del conjunto codominio. Una función real asocia números reales del dominio con números reales del codominio. Las funciones se pueden representar a través de expresiones, descripciones, gráficas o tablas. Existen diferentes tipos de funciones como funciones polinómicas, algebraicas, trascendentes, trigonométricas y más.
Este documento introduce la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden n con coeficientes constantes. Define conceptos como el operador diferencial lineal, el núcleo del operador diferencial, y el principio de superposición. También explica que el producto de operadores diferenciales es conmutativo cuando los coeficientes son constantes, pero no necesariamente cuando los coeficientes son variables. Finalmente, define las condiciones iniciales como una o más condiciones colocadas en una ecuación diferencial en un punto.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las integrales indefinidas y sus propiedades. Explica cómo calcular integrales inmediatas mediante tablas de derivadas y el uso de la integración por partes, sustitución y descomposición en fracciones simples para integrales más complejas. Proporciona ejemplos detallados de cada método.
Este documento describe los conceptos básicos de los grupos en matemáticas. Explica que un grupo consiste en un conjunto con una operación binaria que cumple con las propiedades de cerradura, asociatividad, elemento identidad e inversos. También define los subgrupos y proporciona ejemplos como los números enteros y las simetrías de un cuadrado. Además, introduce los grupos finitos y el homomorfismo entre grupos.
Este documento describe los conceptos básicos de los grupos en matemáticas. Explica que un grupo consiste en un conjunto con una operación binaria que cumple con las propiedades de cerradura, asociatividad, elemento identidad e inversos. También define los subgrupos, grupos finitos y homomorfismos de grupos. Proporciona ejemplos como los números enteros y las simetrías de un cuadrado para ilustrar estos conceptos clave de la teoría de grupos.
1) El documento habla sobre grupos, sus propiedades y ejemplos. 2) Define subgrupos y explica que un subconjunto de un grupo es un subgrupo si cumple con las propiedades de asociatividad, elemento identidad e inversa. 3) También introduce homomorfismos de grupos como funciones que conservan la estructura de grupos.
El documento define operaciones binarias y sus propiedades. Explica que una operación binaria asigna un elemento único a cada par ordenado de elementos tomados de un conjunto de definición. Luego describe propiedades como cerradura, conmutatividad, asociatividad, elemento neutro e inverso a través de ejemplos.
1. El documento describe operaciones binarias internas y externas, y define propiedades como asociatividad, conmutatividad y elementos neutros. También introduce estructuras algebraicas como semigrupos, monoides y grupos.
2. Explica que un homomorfismo entre estructuras algebraicas es una función que respeta las operaciones. Define también isomorfismos.
3. Proporciona ejemplos de grupos como (Z,+), (Q,+) y (R,+) que son abelianos, y explica por qué (N,+) no es grupo.
Este documento presenta definiciones y propiedades de estructuras algebraicas como conjuntos, operaciones, semigrupos, monóides, grupos, anillos y cuerpos. Introduce conceptos como clausura, asociatividad, elemento neutro e inverso. Explica las propiedades que deben cumplir estas estructuras algebraicas y provee ejemplos ilustrativos.
Este documento contiene 34 ejercicios sobre cálculo vectorial. Los ejercicios involucran el cálculo de derivadas parciales de primer y segundo orden, gradientes, direcciones de máxima y mínima variación, ecuaciones de planos y rectas tangentes y normales. Los ejercicios cubren una variedad de funciones de dos y tres variables.
Este documento contiene 10 ejercicios sobre estructuras algebraicas. Los ejercicios involucran analizar si ciertas operaciones definidas en diferentes conjuntos cumplen las propiedades para ser grupos, incluyendo la existencia de elemento neutro e inversos. También involucran determinar si las operaciones son conmutativas o no. Al final se incluyen las respuestas a los ejercicios.
Este documento explica las definiciones de preimágenes e imágenes de una función, y cómo calcularlas. Define que las preimágenes son los elementos del dominio y las imágenes son los elementos del codominio. Explica que para calcular la imagen de un elemento del dominio se sustituye en el criterio de la función, y para calcular la preimagen se iguala el criterio a la imagen dada y se resuelve. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los procedimientos.
Este documento presenta los métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y la ecuación de Bernoulli. Explica que para resolver ecuaciones lineales se utiliza el método de separación de variables o el factor integrante. También cubre la existencia y unicidad de soluciones y proporciona ejemplos resueltos de diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden.
Este documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo variables separables y ecuaciones homogéneas. Explica cómo separar variables para convertir una ecuación diferencial en una integral y cómo reducir una ecuación homogénea mediante sustitución a una forma en variables separables. Luego, presenta ejemplos y ejercicios resueltos para ilustrar estos métodos.
El documento introduce las estructuras algebraicas de grupo, anillo y cuerpo. Define un grupo como un conjunto con una operación binaria que cumple las propiedades de asociatividad, elemento identidad e inverso. Un anillo es similar a un grupo pero con dos operaciones donde solo se requiere que una de ellas sea asociativa. Estas estructuras juegan un papel importante en diversas ramas de la ciencia como física y cristalografía.
Este documento explica los conceptos básicos de la integral indefinida, incluyendo: (1) la definición de antiderivada y cómo se relaciona con la derivada de una función; (2) que existen múltiples antiderivadas que solo difieren por una constante; (3) reglas para calcular antiderivadas de funciones de potencias y sumas de funciones; (4) la interpretación geométrica de la integral indefinida como una familia de curvas; y (5) el método de sustitución para calcular integrales más complejas.
Este documento presenta una introducción a las estructuras algebraicas básicas como grupos, anillos y cuerpos. Primero define grupos, subgrupos, homomorfismos de grupos y teoremas clave sobre grupos. Luego introduce anillos, incluyendo sus propiedades y ejemplos. Finalmente, resume conceptos avanzados como extensiones de cuerpos y teoremas de Galois.
El documento describe las diferentes estructuras algebraicas como semigrupos, grupos, anillos y cuerpos. Explica que una estructura algebraica clasifica conjuntos basados en las propiedades de las operaciones internas definidas en ellos, como la ley de composición y la existencia de elementos neutros. Luego define cada estructura algebraica y proporciona ejemplos numéricos y no numéricos que cumplen con sus propiedades. Finalmente, señala que el concepto de estructura algebraica se formalizó en el siglo XX y se aplica en todas las á
metodo de cardano, funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas, traslación de funciones, funciones continuas, continuidad puntual, funciones exponenciales y logaritmicas, funciones trigonometricas, ecuaciones de tercer grado, ecuaciones de segundo grado, asintotas horizontales verticales y oblicuas, algebra de funciones, composicion de funciones, funciones inversas
1) Se define una ecuación diferencial (E.D.) como una ecuación que contiene derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
2) Se distinguen las E.D. ordinarias (E.D.O.), que contienen derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, de las ecuaciones en derivadas parciales, que contienen derivadas parciales.
3) Se presentan ejemplos de E.D.O. lineales y no lineales,
Este documento trata sobre cuatro capítulos relacionados con el cálculo. El Capítulo I introduce funciones exponenciales y logarítmicas. El Capítulo II cubre integrales. El Capítulo III cubre ecuaciones diferenciales. Y el Capítulo IV presenta métodos para resolver ecuaciones diferenciales. El documento también incluye referencias bibliográficas relacionadas con el cálculo.
Este documento trata sobre cuatro capítulos relacionados con el cálculo. El Capítulo I introduce funciones exponenciales y logarítmicas. El Capítulo II cubre integrales. El Capítulo III cubre ecuaciones diferenciales. Y el Capítulo IV presenta métodos para resolver ecuaciones diferenciales. El documento también incluye referencias bibliográficas relacionadas con el cálculo.
Una función asocia cada elemento de un conjunto dominio con un único elemento del conjunto codominio. Una función real asocia números reales del dominio con números reales del codominio. Las funciones se pueden representar a través de expresiones, descripciones, gráficas o tablas. Existen diferentes tipos de funciones como funciones polinómicas, algebraicas, trascendentes, trigonométricas y más.
Este documento introduce la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden n con coeficientes constantes. Define conceptos como el operador diferencial lineal, el núcleo del operador diferencial, y el principio de superposición. También explica que el producto de operadores diferenciales es conmutativo cuando los coeficientes son constantes, pero no necesariamente cuando los coeficientes son variables. Finalmente, define las condiciones iniciales como una o más condiciones colocadas en una ecuación diferencial en un punto.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las integrales indefinidas y sus propiedades. Explica cómo calcular integrales inmediatas mediante tablas de derivadas y el uso de la integración por partes, sustitución y descomposición en fracciones simples para integrales más complejas. Proporciona ejemplos detallados de cada método.
Este documento describe los conceptos básicos de los grupos en matemáticas. Explica que un grupo consiste en un conjunto con una operación binaria que cumple con las propiedades de cerradura, asociatividad, elemento identidad e inversos. También define los subgrupos y proporciona ejemplos como los números enteros y las simetrías de un cuadrado. Además, introduce los grupos finitos y el homomorfismo entre grupos.
Este documento describe los conceptos básicos de los grupos en matemáticas. Explica que un grupo consiste en un conjunto con una operación binaria que cumple con las propiedades de cerradura, asociatividad, elemento identidad e inversos. También define los subgrupos, grupos finitos y homomorfismos de grupos. Proporciona ejemplos como los números enteros y las simetrías de un cuadrado para ilustrar estos conceptos clave de la teoría de grupos.
Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con subgrupos. Introduce la noción de subgrupo y discute cómo determinar si un subconjunto es un subgrupo. Luego, explora subgrupos cíclicos y el Teorema de Lagrange sobre el orden de un subgrupo. Finalmente, analiza la estructura de los subgrupos de un grupo cíclico finito.
Este documento define conceptos matemáticos como grupo, subgrupo, anillo y cuerpo. Un grupo es un conjunto con una operación binaria que cumple propiedades como asociatividad, elemento neutro e inverso. Se presentan ejemplos de grupos como números enteros con suma. Un subgrupo es un subconjunto de un grupo que también forma un grupo. Un anillo es un conjunto con dos operaciones, una de las cuales hace de él un grupo conmutativo. Un cuerpo es un anillo conmutativo donde todo elemento distinto de cero tiene inverso.
El documento describe las propiedades básicas de las estructuras algebraicas y los grupos. Define una estructura algebraica como una n-tupla formada por un conjunto no vacío y un conjunto de operaciones aplicables a sus elementos. Un grupo se define como una estructura algebraica que cumple con las propiedades de cerradura, asociatividad, elemento neutro e inversos. También introduce conceptos como subgrupos, homomorfismos de grupos y el núcleo de un homomorfismo.
Este documento describe las propiedades básicas de las estructuras algebraicas. Define una ley de composición interna y una estructura algebraica. Explica las propiedades de asociatividad, elemento neutro, elementos opuestos y conmutatividad que debe cumplir una operación para que (E,*) tenga una estructura de grupo. También define subgrupos, el teorema de Lagrange y propiedades de grupos cíclicos y simétricos.
El documento habla sobre las estructuras algebraicas. Explica que una estructura algebraica consiste en tomar un conjunto y definir operaciones en él que cumplen ciertas propiedades. Da algunos ejemplos de estructuras algebraicas como magmas, semigrupos, monoides, grupos y grupos abelianos. Cada una de estas estructuras se define agregando nuevas propiedades o axiomas a las anteriores.
Este documento describe las estructuras algebraicas de grupos, anillos y cuerpos. Define los grupos como conjuntos con una operación que cumple cuatro axiomas: clausurativa, asociativa, elemento neutro y elemento simétrico. Da ejemplos de grupos como números racionales y enteros. Luego define subgrupos y da ejemplos. Explica que un anillo es un conjunto con dos operaciones que cumplen propiedades de grupo conmutativo y semigrupo. Finalmente define un cuerpo como un anillo unitario donde los elementos no nulos forman un grupo
Este documento define relaciones y funciones matemáticas. Explica que una relación asocia elementos de un conjunto con otro conjunto, mientras que una función asocia cada elemento de un conjunto dominio con un único elemento del conjunto codominio. Proporciona ejemplos de relaciones como "es mayor que" y funciones como f(x)=2x+3. También clasifica funciones como inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
Este documento define los conceptos fundamentales de grupo, subgrupo y homomorfismo. Un grupo es un conjunto no vacío con una ley de composición interna asociativa que tiene elemento neutro y cada elemento tiene inverso. Un subgrupo es un subconjunto de un grupo que también es un grupo. Un homomorfismo es una función entre dos estructuras algebraicas que preserva la operación.
Este documento describe las operaciones binarias y estructuras algebraicas. Define operaciones binarias internas y externas, y propiedades como asociatividad y conmutatividad. Explica los conceptos de semigrupo, monoide, subsemigrupos, submonoides, grupo y sus propiedades. También cubre notación aditiva y multiplicativa para grupos.
Este documento define los conceptos fundamentales de grupo, subgrupo, grupo finito y homomorfismos de grupos. Un grupo es un conjunto con una operación interna que cumple las propiedades de asociatividad, elemento neutro e inverso. Un subgrupo de un grupo G es un subconjunto H de G que también es un grupo con la misma operación. Un grupo es finito si su conjunto es finito. Un homomorfismo entre dos grupos (G,·) y (H,◦) es una función f tal que f(xy)=f(x)f(y).
El documento define los conceptos de grupo, subgrupo, grupo finito y homomorfismo entre grupos. Proporciona ejemplos de cada uno y pide realizar ejercicios de autoevaluación sobre estos temas.
La presente Exposición Escrita del Tema VII Estructuras Algebraicas, que pertenece al contenido programático de la asignatura Álgebra del Plan de Estudios Vigente en Ingeniería Civil (U.N.A.M.-D.G.A.E., 2007), representa una Guía Metodológica, para:
a) Apoyar a la y al Estudiante en su Proceso de Aprendizaje Metacognitivo.
b) Orientar a la y al Docente en su Labor e Intervención Didáctica.
El documento define las estructuras algebraicas básicas de grupos, anillos y espacios vectoriales. Explica que una ley de composición puede ser interna u externa dependiendo de si los conjuntos de entrada y salida son iguales o diferentes. Define las propiedades de asociatividad, conmutatividad, elemento neutro y elemento inverso que deben cumplir estas estructuras. Finalmente, proporciona ejemplos de grupos, anillos y las propiedades que cumplen conjuntos numéricos comunes como los enteros y reales.
Este documento define y explica varias estructuras algebraicas, incluyendo grupos, subgrupos, anillos y cuerpos. Un grupo consiste en un conjunto no vacío con una operación interna que cumple las propiedades de asociatividad, elemento neutro e inverso. Un subgrupo es un subconjunto de un grupo que también forma un grupo. Un anillo generaliza los números enteros al definir dos operaciones, suma y producto, que cumplen propiedades como la distributividad. Un cuerpo es un anillo en el que toda operación distinta de cero tiene in
El documento describe operaciones básicas con funciones como suma, resta, multiplicación y división. Define el dominio de cada operación como la intersección de los dominios de las funciones involucradas. También cubre composición de funciones y tipos de funciones como inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Finalmente, define intervalos de crecimiento, decrecimiento y constancia para funciones basadas en su gráfica.
El documento define los números complejos como expresiones de la forma z = x + yi, donde x e y son números reales y i = √-1. Se explican las operaciones básicas con números complejos como suma, resta, multiplicación y división tanto en forma binómica como polar/trigonométrica. También se definen conceptos como parte real, parte imaginaria, módulo y argumento de un número complejo.
El documento presenta información sobre el teorema de Lagrange en teoría de grupos. Explica que Lagrange estudió un caso particular del teorema cuando G es el grupo de permutaciones. Luego define relaciones de equivalencia y clases de equivalencia. Finalmente, enuncia y demuestra el teorema de Lagrange, el cual establece que el orden de un subgrupo H de un grupo finito G divide al orden de G.
Este documento define conceptos básicos de conjuntos matemáticos, incluyendo: (1) la definición de un conjunto como una colección de objetos distintos, (2) ejemplos de diferentes tipos de conjuntos, (3) operaciones básicas entre conjuntos como la unión, intersección y diferencia, y (4) cuantificadores lógicos universales y existenciales para expresar propiedades de conjuntos.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
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Innovación y transparencia se unen en un nuevo modelo de negocio para transformar la economia popular agraria en una agroindustria. Facilitamos el acceso a recursos crediticios, mejoramos la calidad de los productos y cultivamos un futuro agrícola eficiente y sostenible con tecnología inteligente.
En la ciudad de Pasto, estamos revolucionando el acceso a microcréditos y la formalización de microempresarios informales con nuestra aplicación CrediAvanza. Nuestro objetivo es empoderar a los emprendedores locales proporcionándoles una plataforma integral que facilite el acceso a servicios financieros y asesoría profesional.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento contiene, el programa completo de un acto para realizar la pro...
grupo-simetrico
1. ´Algebra y Estructuras Discretas
Grupo B de la Ingenier´ıa T´ecnica de Sistemas
TEMA 2: Grupos. El grupo Sim´etrico.
1. Definici´on de Grupo. Propiedades B´asicas.
Definici´on 1.
Dado un conjunto no vac´ıo G, una operaci´on binaria sobre G es una aplicaci´on de
G × G en G.
Definici´on 2.
Un grupo viene definido por un conjunto G y una operaci´on binaria (representada por
)
G × G ! G
(g1, g2)7! g1 g2
verificando en primer lugar la propiedad asociativa, es decir, 8g1, g2, g3 2 G,
(1) g1 (g2 g3) = (g1 g2) g3.
En segundo lugar, existe un elemento e 2 G tal que para todo g 2 G,
(2) g e = e g = g,
y para todo g 2 G, existe h 2 G verific´andose
(3) g h = h g = e.
Si adem´as g h = h g para cualesquiera g, h 2 G, entonces el grupo se dice que es
conmutativo (o abeliano).
El elemento e es (tal y como justificaremos en breve) ´unico y se denomina el elemento
neutro o identidad del grupo.
Si g y h son dos elementos de un grupo verificando g h = h g = e, en tal caso h se
denomina un inverso de g. Veremos dentro de poco que cada elemento de un grupo tiene
un ´unico inverso.
Por tanto, dado un conjunto y una operaci´on binaria definida sobre dicho conjunto, para
que ´este sea un grupo tendremos que comprobar: asociatividad, existencia de un elemento
identidad y existencia de inverso.
Proposici´on 3 (Unicidad del elemento identidad).
Sea (G, ) un grupo y sean e1, e2 2 G tal que para todo g 2 G se verifica
e1 g = g e1 = g,
e2 g = g e2 = g.
Entonces e1 = e2.
1
2. 2
Proposici´on 4 (Unicidad del inverso).
Sea (G, ) un grupo, e el (´unico) elemento identidad de G y g, h, k elementos arbitrarios
de G. Supongamos adem´as que
g h = h g = e,
g k = k g = e.
Entonces h = k.
Por tanto todo elemento de un grupo tiene un ´unico elemento inverso.
Proposici´on 5. Sea (G, ) un grupo, e el elemento identidad de G, y sean g, h 2 G tales
que h g = e. Entonces g h = e, con lo cual h es el (´unico) inverso de g.
Al ver la demostraci´on de esta proposici´on (v´ease el Ap´endice 2), observamos que para
demostrar que h g = e ) g h = e, nos hemos basado en el hecho de que g tiene un
inverso, ya que es un elemento de un grupo. Se pueden presentar situaciones m´as generales
(que no corresponden a la estructura de grupo), en las cuales puede ocurrir que h g = e
pero no g h = e (v´ease el Ejercicio 4).
Notaci´on 6. Para cualquier elemento g de un grupo, representaremos a su ´unico inverso
como g−1.
Proposici´on 7 (Propiedades de los inversos).
Sea (G, ) un grupo, e su elemento identidad y g, h elementos arbitrarios de G. Entonces
g−1−1
= g, (g h)−1 = h−1 g−1, e−1 = e.
Cuando se refiere a operaciones binarias abstractas, se suele usar una notaci´on multipli-cativa,
es decir, escribir la operaci´on binaria del grupo usando un punto que es el s´ımbolo
usual para el producto. En tal caso, el resultado de operar dos elementos g1 y g2 se escribe
como g1 · g2 (´o simplemente g1g2), en vez de g1 g2, y el elemento neutro del grupo se
representa como 1.
Adem´as, la propiedad asociativa nos permite escribir g1g2g3 en lugar de (g1g2)g3 ´o g1(g2g3).
Si n 0, escribimos gn para representar el resultado de operar g consigo mismo n veces.
Tambi´en definimos g0 = 1 y g−n = (g−1)n.
Ejercicio 8. Si g es un elemento de un grupo G, demostrar para todo n 0 que g−n =
(gn)−1 (sugerencia: aplicar inducci´on).
Ejercicio 9 (Propiedades de potencias). Sea G un grupo. Entonces para cualesquiera
g, h 2 G y 8m, n 2 Z se verifica que:
gm+n = gm · gn
(gm)n = gm·n
Si g · h = h · g, entonces (g · h)m = gm · hm
Diremos por ´ultimo que para algunas operaciones conmutativas como es la suma, a veces
se emplea la notaci´on aditiva, siendo el s´ımbolo el usual “+” (en vez de “ · ”) y el elemento
neutro el 0. En este caso escribiremos n · g para indicar el resultado de operar g consigo
3. 3
mismo n veces. Adem´as se habla de elementos opuestos en vez de elementos inversos; como
es de esperar, −g es el opuesto de g. Se pueden escribir propiedades similares a las del
ejercicio anterior para esta situaci´on.
2. Ejemplos de Grupos.
1. El grupo trivial
Todo conjunto formado por un ´unico elemento e es un grupo bajo la operaci´on
definida por e · e = e. Este grupo es claramente conmutativo, la asociatividad es
trivial, e es la identidad y su propio inverso. Un grupo de esta forma diremos que
es un grupo trivial.
2. El conjunto de los n´umeros enteros
El conjunto Z de los n´umeros enteros tiene estructura de grupo con respecto de
la suma usual.
La suma es asociativa y el elemento neutro es el n´umero cero, es decir, 0 + n =
n+0 = n, para todo n 2 Z. Adem´as cada n´umero entero n tiene un inverso aditivo
que se representa como −n. Puesto que la suma de n´umeros enteros es conmutativa,
(Z, +) es un grupo abeliano.
3. El conjunto 2Z formado por todos los n´umeros enteros pares es un grupo respecto
de la suma usual.
4. Los n´umeros reales y Rn
El conjunto R de los n´umeros reales tiene estructura de grupo conmutativo con
respecto de la suma (aunque no con respecto del producto). Similarmente, el con-junto
Rn forma un grupo conmutativo con respecto de la operaci´on
(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
y su elemento neutro es (0, . . . , 0). El opuesto de (x1, x2, . . . , xn) es (−x1,−x2, . . . ,−xn).
5. (R, ·)
El conjunto de los n´umeros reales no nulos tiene estructura de grupo abeliano
con respecto del producto usual. La identidad multiplicativa es el n´umero 1 y cada
n´umero real no nulo x tiene un inverso multiplicativo que se representa como 1
x o
bien x−1.
De manera similar, el conjunto C de los n´umeros complejos no nulos, tiene
estructura de grupo abeliano respecto del producto usual (a + ib) · (c + id) =
(ac − bd) + i(ad + bc).
6. Las raices n-´esimas de la unidad
Dado un n´umero natural n 1, una ra´ız n-´esima de 1 es cualquier n´umero
complejo z tal que zn = 1. Denotamos por Un el conjunto de todas las ra´ıces
n-´esimas de 1. Entonces Un tiene estructura de grupo abeliano con respecto del
producto usual de n´umeros complejos.
7. (Zm, +)
El conjunto cociente de Z respecto de la congruencia m´odulo m, es decir, Zm =
{[0], [1], · · · , [m − 1]}, tiene estructura de grupo conmutativo con respecto de la
suma de clases. El elemento neutro es [0] y el opuesto de [x] es [−x].
4. 4
8. El conjunto {[a] 2 Zm | mcd{a,m} = 1} es un grupo con respecto del producto de
clases llamado el grupo de las unidades de Zm.
9. El grupo sim´etrico o grupo de las permutaciones
Denotamos por Sn el conjunto formado por todas las aplicaciones biyectivas del
conjunto {1, 2, . . . , n} en s´ı mismo. Entonces Sn es un grupo con respecto de la
composici´on de aplicaciones.
Para n = 1 resulta un grupo trivial y para n = 2 resulta un grupo de dos
elementos que es por tanto tambi´en abeliano. Sin embargo, Sn no es abeliano para
n 3. Basta considerar las aplicaciones f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 1 y g(1) =
1, g(2) = 3, g(3) = 2 y comprobar que g f6= f g.
Sn se denomina el grupo sim´etrico de grado n o grupo sim´etrico sobre n
letras y sus elementos se denominan permutaciones del conjunto {1, 2, . . . , n}.
3. Subgrupo de un Grupo.
Definici´on 10. Dado un grupo (G, ), un subgrupo de G es un subconjunto H of G el
cual verifica las siguientes propiedades:
1. si h1, h2 2 H, entonces h1 h2 2 H,
2. el elemento identidad de G es un elemento de H,
3. si h 2 H, entonces h−1 2 H.
Estas condiciones sobre H garantizan que H sea un grupo, con la misma operaci´on de
G (pero restringida a H). Observar que la propiedad asociativa para H es una consecuen-cia
de la propiedad asociativa que se verifica en G. Adem´as el elemento neutro de H es
precisamente el elemento neutro de G.
Ejemplos 11.
Todo grupo no trivial G tiene al menos dos subgrupos: G y el subgrupo {e}. Ambos se
denominan los subgrupos triviales de G.
El conjunto de los n´umeros enteros pares es un subgrupo de (Z, +): la suma de dos
enteros pares es par, el n´umero cero es par y el opuesto o negativo de un n´umero par es de
nuevo par.
El subconjunto A = {(x1, x2) 2 R2 | x1 + 3x2 = 0} es un subgrupo de R2, aunque el
subconjunto B = {(x1, x2) 2 R2 | x1 + 3x2 = 1} no lo es (¿por qu´e?).
La siguiente proposici´on da un criterio m´as compacto para comprobar si un subconjunto
de un grupo es un subgrupo suyo. Su demostraci´on aparece en el Ap´endice 2.
Proposici´on 12. Sea H un subconjunto no vac´ıo de un grupo G. Entonces H es un
subgrupo de G si y s´olo si x · y−1 2 H, para cualesquiera x, y 2 H.
Ejemplo 13. Aplicamos la propiedad anterior para comprobar que
A = {(x1, x2) 2 R2 | x1 + 3x2 = 0}
es un subgrupo de R2.
5. 5
En primer lugar observamos que (0, 0) 2 A, con lo cual A6= ?. Dados (a1, a2), (b1, b2) 2 A
hemos de probar que (a1 − b1, a2 − b2) 2 A, es decir, que (a1 − b1) + 3(a2 − b2) = 0. Pero
(a1 − b1) + 3(a2 − b2) = (a1 + 3a2) − (b1 + 3b2) = 0 − 0 = 0.
4. Sistemas de generadores para un grupo. Grupos c´ıclicos.
Sea G un grupo y X un subconjunto de G. Definimos
hXi = {x1
1 · x2
2 · · · xn
n | n 2 N, xi 2 X, i = ±1 para cada i}
siendo hXi = {1} si X = ?.
Se puede demostrar que hXi es un subgrupo de G, el cual se denomina el subgrupo de
G generado por el subconjunto X.
Observar que X hXi. Adem´as si H es un subgrupo de G tal que X H, entonces
hXi H. Por tal motivo se dice que hXi es el menor subgrupo de G que contiene al
subconjunto X.
De la definici´on anterior para hXi vemos que ´este est´a formado por todos los productos
posibles que se pueden formar a partir de elementos o inversos de elementos pertenecientes
a X. A veces, si X = {g1, g2, . . .}, escribiremos tambi´en hg1, g2, . . .i para denotar a hXi.
Por ejemplo, son elementos de ha, bi:
1, a, a2, a3, . . . , a−1, a−2, a−3, . . . b, b2, b3, . . . , b−1, b−2, b−3, . . . ab, a2b, a2ba−3, bab2a−5, etc
Por supuesto, muchos de estos elementos pueden ser iguales.
Ejemplos 14.
1. El subgrupo de (C, ·) generado por X = {i} es {±1,±i}.
2. El subgrupo de Z formado por todos los n´umeros pares est´a generado por el sub-conjunto
{2}.
3. El subconjunto X = {12,−8} de Z genera el subgrupo formado por todos los
n´umeros enteros m´ultiplos de 4. En este caso hXi = {n1 ·12+n2 ·(−8) | n1, n2 2 Z}.
Pero los n´umeros de la forma n1 · 12 + n2 · (−8) son exactamente los m´ultiplos de
4 ya que 4 = mcd{12,−8}.
Definici´on 15. Dado un grupo G y un subconjunto X de G, decimos que X es un sistema
de generadores para G, si hXi = G.
Por supuesto un grupo puede tener diversos sistemas de generadores.
Definici´on 16. Un grupo G se denomina c´ıclico si existe un elemento g 2 G tal que
G = hgi, es decir, G = {gn | n 2 Z}. En notaci´on aditiva se escribe G = {n · g | n 2 Z}.
Por tanto un grupo c´ıclico es aquel que se puede generar usando un ´unico elemento. Un
grupo c´ıclico puede tener distintos generadores posibles. Por ejemplo, si G = hgi entonces
tambi´en G = hg−1i. Adem´as es inmediato que todo grupo c´ıclico es conmutativo.
Ejemplos 17.
El grupo (Z, +) es un grupo c´ıclico, pues Z = h1i.
Tambi´en son c´ıclicos los grupos de la forma (Zm, +), pues Zm = h1i.
El grupo (Q, ·) no es c´ıclico (¿por qu´e?).
6. 6
Definici´on 18. Para un grupo G y un elemento h 2 G, se define el orden de h en G
como el menor entero positivo n tal que hn = 1, y se denota por |h|. En tal caso decimos
que h es un elemento de orden n. Si ninguna potencia positiva de h es igual al elemento
identidad, entonces el orden de h se define como 1 y decimos que h tiene orden infinito.
Observar que el orden de un elemento es el cardinal del subgrupo c´ıclico que genera
dicho elemento.
Ejemplos 19.
1. Un elemento de un grupo tiene orden 1 si y s´olo si es el elemento identidad.
2. En los grupos aditivos Z,Q,R ´o C, cualquier elemento no nulo tiene orden infinito.
3. En el grupo (C, ·) el elemento i tiene orden 4.
4. En el grupo (Z9, +) el elemento h = 6 tiene orden 3, ya que h6= 0, 2 · h = 36= 0,
pero 3 · h = 18 = 0.
5. Homomorfismos e Isomorfismos de Grupos.
Definici´on 20. Sean (G, ) y (H, •) dos grupos. Una aplicaci´on f : G ! H se denomina
un homomorfismo de grupos si
f(a b) = f(a) • f(b)
para cualesquiera a, b 2 G. Si adem´as f es biyectiva, entonces se dice que f es un iso-morfismo
de grupos. Un isomorfismo de un grupo G en ´el mismo se dice que es un
automorfismo de G.
Si existe un isomorfismo f de G en H, entonces se demuestra facilmente que f−1 es un
isomorfismo de H en G, por lo que se dice que G y H son grupos isomorfos, y se escribe
G =
H. El hecho de que dos grupos sean isomorfos nos indica que a efectos pr´acticos
podemos considerarlos como el mismo grupo.
Los homomorfismos de grupos verifican las siguientes propiedades:
Proposici´on 21. Sean G y H dos grupos, e1 el elemento identidad de G y e2 el elemento
identidad de H. Si f : G ! H es un homomorfismo, entonces f(e1) = e2 y f(a−1) =
f(a)−1 para todo a 2 G.
La demostraci´on se propone como ejercicio.
Con la notaci´on de la proposici´on anterior, se define el n´ucleo de f como el conjunto
N(f) = {a 2 G | f(a) = e2}.
Se demuestra facilmente que N(f) es un subgrupo de G. Adem´as el conjunto imagen
Im(f) es un subgrupo de H.
Ejemplos 22.
Dados dos grupos G y H, siempre es posible definir el homomorfismo trivial de G en H:
f(x) = eH para todo x 2 G. El n´ucleo de este homomorfismo es todo G y la imagen es el
subgrupo trivial de H.
7. 7
Para cualquier grupo G, la aplicaci´on identidad sobre G es un automorfismo de G, cuyo
n´ucleo es {e} y cuya imagen es G.
Para G = H = Z, definimos f(n) = 2n. Esta aplicaci´on es un homomorfismo de Z en Z,
pero no es un automorfismo. El n´ucleo es {0} y la imagen es 2Z, es decir, el conjunto de
todos los enteros m´ultiplos de 2.
La aplicaci´on proyecci´on p : Z ! Zm, p(x) = [x], es un homomorfismo sobreyectivo de
grupos.
La aplicaci´on f(x) = log(x) es un isomorfismo del grupo (R+, ·) en el grupo (R, +), ya
que aparte de ser biyectiva se verifica que log(x1 · x2) = log(x1)+log(x2) para cualesquiera
x1, x2 2 R+.
6. Grupos Sim´etricos
En esta secci´on estudiamos con m´as detalle los grupos sim´etricos. Dado un conjunto X
no vac´ıo, definimos el conjunto SX de todas las aplicaciones biyectivas de X en X. Bajo la
operaci´on “composici´on de aplicaciones”, SX es un grupo ya que
la composici´on de dos aplicaciones biyectivas es una aplicaci´on biyectiva,
se verifica la propiedad asociativa para la composici´on de aplicaciones, y en parti-cular
cuando ´estas son biyectivas,
la aplicaci´on identidad en X, representada como 1X, es biyectiva por lo cual per-tenece
a SX,
y por ´ultimo toda aplicaci´on biyectiva tiene una inversa (la cual tambi´en es biyec-tiva).
Los elementos de SX se llaman permutaciones del conjunto X, y SX se denomina el
grupo sim´etrico o grupo de las permutaciones sobre X. Para 2 SX y x 2 X,
decimos que x es un punto fijo para si se verifica que (x) = x; en caso contrario
decimos que mueve a x. En esta secci´on estudiamos el caso en el que X = {1, 2, . . . , n},
escribiendo Sn en vez de SX.
Sn es el grupo sim´etrico de grado n o grupo sim´etrico sobre n letras.
En primer lugar consideramos distintas representaciones para los elementos de Sn. Una
primera forma consiste en representar las permutaciones 2 Sn como
=
1 2 . . . n − 1 n
(1) (2) . . . (n − 1) (n)
As´ı por ejemplo, =
1 2 3 4
2 3 1 4
es el elemento de S4 que verifica
(1) = 2, (2) = 3, (3) = 1, (4) = 4.
Observar que −1 =
1 2 3 4
3 1 2 4
.
8. 8
Si =
1 2 3 4
4 3 2 1
es otro elemento de S4, entonces
=
1 2 3 4
4 3 2 1
1 2 3 4
2 3 1 4
=
1 2 3 4
3 2 4 1
.
Existe otra notaci´on usual para representar a los elementos de Sn. Suponganos que
Y = {i1, i2, . . . , ir} X; entonces escribimos (i1, i2, . . . , ir) para denotar la aplicaci´on
2 Sn que verifica (i1) = i2, (i2) = i3, . . . , (ir−1) = ir, (ir) = i1 y (x) = x cuando
x 2 X − Y . La permutaci´on as´ı definida se denomina un ciclo de longitud r o un
r-ciclo. Una transposici´on es un ciclo de longitud 2.
Ejemplo 23. La permutaci´on =
1 2 3 4
3 2 4 1
es un 3-ciclo, exactamente, =
(1, 3, 4). Un mismo ciclo se puede representar de diferentes formas; por ejemplo, = (3, 4, 1)
o bien = (4, 1, 3). Observar adem´as que −1 = (4, 3, 1), es decir, la permutaci´on inversa
se obtiene escribiendo la lista de elementos en orden inverso.
Si = (1, 2) es una transposici´on, entonces = (2, 1) = −1; por tanto toda transposici´on
es igual a su inversa, es decir 2 = 1.
Ejemplo 24. Sean las permutaciones = (3, 1, 4)(5, 2, 1, 7) y
11. = (1, 2, 7, 8, 6, 5)(3, 4).
Se dice que dos permutaciones , 2 Sn son disjuntas, si para todo x 2 {1, 2, . . . , n}
se verifican las condiciones siguientes:
si (x)6= x, entonces (x) = x,
si (x)6= x, entonces (x) = x.
Es decir, y nuncan mueven a un mismo elemento. En particular, los ciclos =
(i1, i2, . . . , ir) y = (j1, j2, . . . , js) son disjuntos si y s´olo si {i1, i2, . . . , ir}{j1, j2, . . . , js} =
?. Recordemos del Ejemplo 9 que el grupo sim´etrico Sn no es conmutativo para n 3.
Sin embargo podemos enunciar la siguiente propiedad cuya demostraci´on es trivial y la
dejamos propuesta como un ejercicio:
Proposici´on 25. Dos permutaciones disjuntas conmutan entre s´ı. Es decir, si y son
permutaciones disjuntas, entonces = .
Los ciclos son unas permutaciones a partir de las cuales se pueden construir todas las
dem´as:
Proposici´on 26. Todo elemento de Sn se puede escribir como producto de ciclos disjuntos.
Adem´as dicha representaci´on es ´unica salvo el orden en el que aparecen escritos los ciclos.
La demostraci´on se puede realizar por inducci´on sobre el n´umero de puntos del conjunto
{1, 2, . . . , n} que no quedan fijos por la permutaci´on dada (esta proposici´on tambi´en se
puede enunciar diciendo que el conjunto de todos los ciclos forma un sistema de generadores
para el grupo Sn).
12. 9
Ejemplo 27. Dada la permutaci´on
=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 2 1 9 8 3 7 5 4
,
al descomponerla en producto de ciclos disjuntos obtenemos = (1, 6, 3)(2)(4, 9)(5, 8)(7).
Los ciclos de longitud 1 suelen omitirse, sobreentendi´endose que los n´umeros que no
aparecen en ninguna lista corresponden a ciclos de longitud 1. As´ı, es usual escribir
= (1, 6, 3)(4, 9)(5, 8)
Ejemplo 28. Consideremos el ciclo = (5, 2, 3, 1). Entonces 2 = (5, 3)(2, 1), 3 =
(5, 1, 3, 2) y 4 = 1. ´Esto significa que el orden de es igual a 4, es decir, la longitud
del ciclo.
Proposici´on 29. El orden de un ciclo de longitud r es igual a r. M´as generalmente, el
orden de una permutaci´on es igual al m´ınimo com´un m´ultiplo de las longitudes de los
ciclos disjuntos en los que se descompone .
Ejemplo 30. Calcular el orden de la permutaci´on =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 9 4 1 8 3 5 7 2
Tenemos que = (1, 6, 3, 4)(2, 9)(5, 8, 7) es la descomposici´on en producto de ciclos
disjuntos para . Seg´un la proposici´on anterior el orden de ser´a igual a mcm{4, 2, 3} = 12.
Ejemplo 31. Para la permutaci´on del ejemplo anterior, calcular 1000.
Puesto que el orden era 12, dividimos 1000 entre 12 y obtenemos 1000 = 12 · 83 +
4, con lo cual 1000 = 12·83+4 = (12)83 4 = 4. Como tambi´en sab´ıamos que =
(1, 6, 3, 4)(2, 9)(5, 8, 7) y los ciclos disjuntos conmutan entre s´ı, obtenemos que 1000 = 4 =
((1, 6, 3, 4)(2, 9)(5, 8, 7))4 = (1, 6, 3, 4)4 (2, 9)4 (5, 8, 7)4 = 1 1 (5, 8, 7)4 = (5, 8, 7)1 =
(5, 8, 7).
Proposici´on 32. Todo ciclo puede descomponerse como producto de transposiciones.
Demostraci´on. Basta comprobar la igualdad siguiente
(i1, i2, i3, . . . , ir−1, ir) = (i1, ir)(i1, ir−1) · · · (i1, i3)(i1, i2),
recordando que la composici´on de aplicaciones se eval´ua de derecha a izquierda.
Como una consecuencia de las proposiciones 26 y 32 obtenemos el siguiente corolario:
Corolario 33. Toda permutaci´on se puede escribir como un producto de transposiciones.
Notamos que la descomposici´on a la que se refiere el corolario anterior ya no es ´unica.
Basta observar que 1 = (1, 2)(1, 2), con lo cual, si = (3, 6)(1, 3)(2, 5), entonces tambi´en
es correcto escribir = (3, 6)(1, 3)(2, 5)(1, 2)(1, 2), o bien = (1, 2)(1, 2)(3, 6)(1, 3)(2, 5),
entre otras posibilidades (tambi´en podemos enunciar este corolario diciendo que el conjunto
de todas las transposiciones es un sistema de generadores para el grupo sim´etrico).
13. 10
7. Paridad de una permutaci´on.
Acabamos de ver que toda permutaci´on se puede escribir como un producto de transpo-siciones,
aunque esta descomposici´on no es ´unica. Sin embargo existe una propiedad que
se mantiene en todas las descomposiciones posibles como producto de transposiciones para
una permutaci´on dada.
Definici´on 34. Decimos que una permutaci´on 2 Sn es par, si se puede escribir
como producto de un n´umero par de transposiciones. De igual forma, decimos que 2 Sn
es impar, si se puede escribir como producto de un n´umero impar de transposiciones.
Cabe preguntarse: ¿existen permutaciones que sean simultaneamente pares e impares?
Veremos a continuaci´on que ello no es posible. Antes intoducimos los siguientes elementos:
Sea el polinomio f = (x1−x2)(x1−x3) · · · (x1−xn) · (x2−x3) · · · (x2−xn) · · · (xn−1−xn)
en las indeterminadas x1, x2, . . . , xn, es decir,
f =
Y
(xi − xj).
1ijn
Para una permutaci´on 2 Sn, definimos
(f) =
Y
(x(i) − x(j)).
1ijn
Lema 35. Si es una transposici´on, entonces (f) = −f.
Proposici´on 36. Si 2 Sn, entonces no puede ser simultaneamente par e impar.
Demostraci´on.
Si se escribe como producto de n transposiciones, entonces (f) = (−1)n · f. Pero
este resultado es independiente del modo de representar a , ya que s´olo depende de la
permutaci´on . Por tanto, si adem´as se escribe como el producto de m transposiciones,
entonces (f) = (−1)m · f, con lo cual (−1)n · f = (−1)m · f, es decir, (−1)n = (−1)m,
y por tanto m y n deben ser ambos pares o ambos impares. En conclusi´on ser´a par o
impar, pero no ambas cosas.
Se define la aplicaci´on signatura sgn : Sn ! {1,−1} como
sgn() =
+1 si es par,
−1 si es impar.
Diremos que el valor sgn() es la signatura de la permutaci´on .
Dada una permutaci´on , para saber si es par o impar, y por tanto para calcular su
signatura, no es necesario descomponer en producto de transposiciones; basta escribirla
como producto de ciclos disjuntos y sumar cada longitud menos 1 por cada uno de los
ciclos resultantes.
Observar que la aplicaci´on identidad 1 es par, ya que admite la descomposici´on 1 =
(1, 2)(1, 2). Por supuesto toda transposici´on es impar. Observamos que pueden haber per-mutaciones
pares (similarmente impares) cuyo orden sea un n´umero impar o bien un n´ume-ro
par.
14. 11
Ejemplo 37. Para la permutaci´on = (1, 6, 3, 4)(2, 9)(5, 8, 7) del Ejemplo 30, el n´umero
de transposiciones resultantes es igual a 3 + 1 + 2 = 6, con lo cual es una permutaci´on
par y sgn() = +1.
8. Ejercicios.
1. En el conjunto R−{1} se considera la operaci´on x y = x+y−xy. Demostrar que
(R − {1}, ) es un grupo conmutativo.
2. En R × R definimos la operaci´on (u, v) (x, y) = (u · x, v · x + y). Probar que
(R × R, ) es un grupo no conmutativo.
3. Probar las propiedades de los inversos en la Proposici´on 7.
4. Consideremos el conjunto N={0, 1, 2, · · · } de los n´umeros naturales y el conjunto
F de todas las aplicaciones de N en s´ı mismo con la operaci´on “composici´on de
aplicaciones”.
Dar un ejemplo de dos aplicaciones f, g 2 F tales que f g = 1N, pero g f6= 1N.
Comparar este resultado con el enunciado de la Proposici´on 5.
5. Dados dos grupos (G,) y (H,~), consideramos el conjunto G × H producto car-tesiano
de G y H, es decir, el conjunto formado por todas las parejas ordenadas
(g, h) con g 2 G, h 2 H. Definimos una nueva operaci´on
sobre G × H:
(g1, h1)
(g2, h2) = (g1 g2, h1 ~ h2).
Comprobar que el conjunto G × H tiene estructura de grupo con respecto de esta
operaci´on, siendo el elemento identidad la pareja (e1, e2), con e1 el elemento iden-tidad
para G, y e2 el elemento identidad para H. Al grupo G × H as´ı construido
se le denomina el producto directo de G y H.
6. Probar que si G es un grupo tal que x2 = 1 para todo x 2 G, entonces G es abeliano.
7. Dado un n´umero entero k 0, definimos kZ = {k · x | x 2 Z}. Probar que todos
los subgrupos de (Z, +) son de la forma kZ, con k 2 N.
8. Sea H un subconjunto finito y no vac´ıo de un grupo G, verificando que si x, y 2 H
entonces x · y 2 H (es decir, H es cerrado con respecto de la operaci´on de G).
Probar que H es un subgrupo de G.
9. En los distintos apartados (a)-(i), se da un grupo G y un subconjunto H de G. En
cada caso, estudiar si H es o no es un subgrupo de G:
(a) G = (Z, +), H = {enteros impares}
(b) G = (Z, +), H = {enteros multiplos ´de 3}
(c) G = (Z11,
·), H = {1, 5, 7}
(d) G = (Z9, +), H = {0, 2, 4, 6, 8}
(e) G = (Z21, +), H = {0, 7, 14}
(f) G = (R, ·), H = R+
(g) G = (Z
13, ·), H = {1, 5, 8, 12}
(h) G = S8, H = { 2 S8 | (4) = 4}
(i) G = S8, H = { 2 S8 | 2 = 1}
15. 12
10. Demostrar que la intersecci´on de subgrupos de un grupo G es de nuevo un subgrupo
de G. Dar un ejemplo para poner de manifiesto que en general la uni´on de subgrupos
de un grupo G no tiene por qu´e ser un subgrupo de G.
11. Dados los subgrupos H1 = 28Z y H2 = 63Z de (Z, +), calcular el subgrupo H1H2.
12. El centro de un grupo G es el conjunto C(G) formado por todos los elementos
g 2 G tales que g · h = h · g, para todo h 2 G. Probar que C(G) es un subgrupo de
G.
13. Sea X = Q − {0, 1} y f1, f2, f3, f4, f5, f6 las aplicaciones de X en X definidas por
f1(x) = x, f2(x) =
1
1 − x
, f3(x) =
x − 1
x
,
f2(x) =
1
x
, f5(x) = 1 − x, f6(x) =
x
x − 1
.
Se pide:
a) Probar que el conjunto F = {f1, f2, f3, f4, f5, f6} tiene estructura de grupo con
respecto de la composici´on de aplicaciones.
b) Hallar todos los subgrupos de F.
14. Sea G un grupo y g 2 G. Demostrar las siguientes propiedades sobre ´ordenes de
elementos:
a) Si g tiene orden n, entonces hgi = {1, g, g2, . . . , gn−1}.
b) Si g tiene orden infinito, entonces gn6= 1 para todo n6= 0, y gn16= gn2 para
cualesquiera n16= n2 de Z.
c) Si g tiene orden n y gm = 1, entonces n divide a m.
d) Si g tiene orden n, entonces para cualquier m 2 Z se verifica que el orden de
gm es n
mcd{n,m} . En particular, si mcd{n,m} = 1, es decir, si n y m son primos
relativos, entonces gm genera el mismo subgrupo que g.
e) Si g1 tiene orden n1, g2 tiene orden n2, y g1 · g2 = g2 · g1 entonces g1 · g2 tiene
orden igual a mcm{n1, n2}.
15. Sabemos que el grupo (Z56, +) es c´ıclico, pues h1i = Z56. Encontrar todos los
elementos g 2 Z56 tales que hgi = Z56.
16. Comprobar que (Z7
, ·) es un grupo c´ıclico y encontrar todos los g 2 Z7
tales que
hgi = Z7
.
17. Dado un subgrupo H de un grupo G, consideramos la siguiente relaci´on binaria RH
definida sobre G:
x RH y () x · y−1 2 H.
Se pide:
a) Probar que RH es una relaci´on de equivalencia sobre G.
b) Probar que para todo x 2 G, la clase de equivalencia de x viene dada por
[x] = {h · x | h 2 H} y por tanto [e] = H.
c) Probar que para todo x 2 G, existe una aplicaci´on biyectiva de [e] en [x].
Deducir de aqu´ı que en el caso en que G sea finito, el cardinal de H divide al
cardinal de G (este hecho se denomina el Teorema de Lagrange).
d) Describir el conjunto cociente G/RH para los casos H = {e} y H = G.
16. 13
e) Usar el teorema de Lagrange para demostrar que si G es un grupo finito cuyo
cardinal viene dado por un n´umero primo, entonces G es un grupo c´ıclico
(indicaci´on: dado x 2 G, con x6= e, considerar H = hxi).
18. Supongamos un homomorfismo f entre los grupos (Z × Z, +) y (G, +) tal que
f(1, 3) = g1 y f(3, 7) = g2. Calcular f(4, 6) en funci´on de g1 y g2.
19. Sea f : G ! G0 un homomorfismo de grupos, y sean H y H0 subgrupos de G y G0,
respectivamente. Probar que f(H) es un subgrupo de G0 y f(H0) es un subgrupo
de G.
20. Dados los conjuntos A = {m +
p
2n | m, n 2 Z} y B = {3r · 2s | r, s 2 Z},
comprobar p
que (A, +) y (B, ·) son grupos, y que la aplicaci´on f : A ! B definida
por f(m +
2n) = 3m · 2n es un isomorfismo de grupos.
21. Demostrar que los grupos Z6 y Z2×Z3 son isomorfos. Dar un argumento para poner
de manifiesto que los grupos Z4 y Z2 × Z2 no pueden ser isomorfos.
22. Dado un grupo G y un elemento g 2 G, se define la aplicaci´on !g : G ! G como
!g(h) = ghg−1. Probar que !g es un automorfismo de G.
23. Dadas las permutaciones = (4, 7, 1, 5)(2, 7, 3)(6, 2, 1, 8, 9, 5) y
17. = (6, 7, 1)(2, 5, 4),
calcular la representaci´on como producto de ciclos disjuntos para
19. .
24. Probar que la aplicaci´on signatura sgn es un homomorfismo del grupo Sn en el
grupo multiplicativo {+1,−1}.
25. Razonar que una permutaci´on y su inversa tienen el mismo orden y la misma
signatura.
26. ¿Cual es la paridad de un permutaci´on de orden 26 perteneciente a S15?
27. ¿Cual es el m´aximo orden posible que puede tener una permutaci´on de S15?
28. Sea
=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4 3 2 7 6 9 1 10 8 5
.
Calcular 1000 y −1234.
29. Determinar en funci´on de n la paridad de la permutaci´on
=
1 2 · · · n − 1 n
n n − 1 · · · 2 1
30. Demostrar que toda transposici´on de Sn puede escribirse como una composici´on de
transposiciones de la forma (i, i + 1).
31. Demostrar la siguiente identidad sobre descomposici´on en transposiciones:
(i1, i2, i3, . . . , ir−1, ir) = (i1, i2)(i2, i3) · · · (ir−2, ir−1)(ir−1, ir)
32. Sea An = { 2 Sn | es una permutaci´on par}.
a) Probar que An es un grupo respecto de la composici´on de aplicaciones. An
recibe el nombre de grupo alternado.
b) Para n 2, considerar la aplicaci´on f : Sn ! Sn definida por f() = (1, 2).
Probar que f es una aplicaci´on biyectiva, la cual verifica adem´as que si es
par (impar) entonces f() es impar (par).
20. 14
c) Deducir del apartado anterior que en Sn existen tantas permutaciones pares
como impares, y por tanto |An| = 1/2 · |Sn| = 1/2 · n!.
d) Listar los elementos de A4.
33. Una secretaria recibe una m´aquina de escribir un tanto inusual. Cuando se pulsa
la tecla correspondiente a un car´acter, sobre el papel aparece un car´acter distinto.
Sin embargo, todo car´acter marcado en el teclado puede ser obtenido pulsando
alguna tecla del mismo. La secretaria decide escribir el texto siguiente en la forma
usual: “algunas veces encontrar una raz´on me deja exhausta pero
yo persisto”, obteniendo la siguiente frase: “rulvzrh xojoh ozjtzemrm vzr
mrstz yo ionr ogcrvher aomt dt aomhphet”. Ella retoma el resultado y lo
escribe en la forma usual, obteniendo otra copia (indescifrable); de nuevo escribe
el resultado en la forma usual, etc. Si la secretaria repite este proceso de forma
indefinida, ¿obtendr´a eventualmente un copia del texto original? ¿Cual es el texto
que imprimir´a la m´aquina de escribir tras repetir el proceso de escritura 2327 veces?
9. EJERCICIOS APARECIDOS EN EX´AMENES ANTERIORES.
1. Sea la permutaci´on =
1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 1 5 7 8 6
a) Calcular 1528
b) Sean = (2, 3, 4, 5) y
21. = (1, 3, 5, 7). Calcular una permutaci´on tal que
· ·
22. −1 = 2, escribi´endola como producto de ciclos disjuntos.
c) Calcular el conjunto {n 2 Z | n es par}
2. Sea (G, ·) un grupo y a 2 G. Definimos la aplicaci´on f : G ! G como f(x) =
a · x · a−1.
a) ¿Es f un homomorfismo de grupos?
b) ¿Es f biyectiva?
3. Sea la permutaci´on =
1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 1 5 7 8 6
. Entonces 1206 es igual a
a) 4 b) c) 8 d) 6
4. ¿Cu´al de las siguientes afirmaciones es falsa?
a) Existe 2 S8 tal que tiene orden 15 y paridad par.
b) Existe 2 S8 tal que tiene orden 15 y paridad impar.
c) Existe 2 S8 tal que tiene orden 6 y paridad par.
d) Existe 2 S8 tal que tiene orden 6 y paridad impar.
23. 15
5. Dados los grupos (Z, +) y ({1,−1}, ·) (con el producto usual), definimos la aplica-ci
´on
f : Z −! {1,−1}
x7−!
(
1 si x es par,
−1 si x es impar.
Entonces
a) f es un homomorfismo sobreyectivo de grupos no inyectivo,
b) f es un homomorfismo inyectivo de grupos no sobreyectivo,
c) f es un isomorfismo (homomorfismo biyectivo) de grupos,
d) f no es un homomorfismo de grupos.
6. Sea = (12345)(246)−1. Entonces 327 es igual a
a) Identidad b) c) 2 d) 3
7. Dado un grupo (G, ) y la aplicaci´on f : G ! G definida por f(a) = a a, entonces
a) f es un homomorfismo de grupos, aunque no es inyectivo,
b) f es un homomorfismo de grupos, aunque no es sobreyectivo,
c) f es un isomorfismo de grupos,
d) f no es necesariamente un homomorfismo de grupos.
8. En el conjunto Z de los n´umeros enteros la operaci´on
28. tiene elemento neutro, pero no todo entero tiene un elemento
sim´etrico o inverso respecto de esta operaci´on,
d) (Z,
29. ) es un grupo conmutativo.
9. El orden de la permutaci´on
=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 1 4 5 6 3 8 9 7
es
a) 6 b) 8 c) 12 d) 24
10. Sean 1 = (2, 3, 8, 6)(4, 2, 5) y 2 = (4, 5)(7, 1, 6)(6, 8)(4, 5). Entonces la permuta-ci
´on que satisface la igualdad 7 = −41−1
2 12 es
a) (3, 4, 5, 2, 8)(7, 1, 6)
b) (1, 6, 8)(2, 5, 4, 7, 3)
c) (2, 5, 1, 8, 7, 3, 4)
d) (7, 5, 2, 1, 6)(8, 3, 4)
30. 16
10. Ap´endice 1
En 1812 A.L. Cauchy defini´o la signatura de una permutaci´on 2 Sn como el valor de
la expresi´on
Y
1ijn
(j) − (i)
j − i
Se puede demostrar que esta definici´on coincide con la anterior. Sin embargo esta nueva
definici´on nos permite calcular la signatura de una permutaci´on sin tener que recurrir a su
descomposici´on en transposiciones o en ciclos disjuntos.
Dada una secuencia a1, a2, . . . , ak de n´umeros enteros, definimos el n´umero de inver-siones
asociado a dicha secuencia como el n´umero de elementos de la secuencia que son
menores estrictamente que el primer entero que aparece en la secuencia. As´ı por ejemplo,
el n´umero de inversiones de la secuencia 4, 7, 2, 5, 1, 8 es igual a dos. Usamos el concepto
de inversi´on para saber si una permutaci´on
=
1 2 . . . n − 1 n
(1) (2) . . . (n − 1) (n)
es par o impar. Para ello deber´ıamos de calcular el valor de
Y
1ijn
(j) − (i)
j − i
Pero muchos de los c´alculos son redundantes; de hecho nosotros tenemos que determinar
s´olo el signo de esta expresi´on, ya que su valor absoluto es igual a 1. En el denominador
siempre aparecer´an n´umeros positivos, mientras que en el denominador habr´a un valor
negativo en (j) − (i) si (i) (j). Para un i fijo, y variando j, el n´umero de factores
negativos que aparecen es el n´umero de valores de j tales que j i y (i) (j). Pero esta
cantidad es el n´umero de inversiones que aparecen en la fila (i), (i+1), . . . , (n). Por tan-to
el n´umero total de factores negativos es el n´umero de inversiones en (1), (2), . . . , (n),
m´as el n´umero de inversiones en (2), (3), . . . , (n), m´as ... el m´umero de inversiones en
(n − 1), (n). Si el valor de esta suma es t entonces sgn() = (−1)t.
Ejemplo 38. Calcular la signatura de la permutaci´on =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 9 4 1 8 3 5 7 2
Las secuencias a tener en cuenta y los n´umeros de inversiones resultantes son:
6 9 4 1 8 3 5 7 2 = 5
9 4 1 8 3 5 7 2 = 7
4 1 8 3 5 7 2 = 3
1 8 3 5 7 2 = 0
8 3 5 7 2 = 4
3 5 7 2 = 1
5 7 2 = 1
7 2 = 1
La suma total es 22, luego es una permutaci´on par.
31. 17
11. Ap´endice 2
Incluimos en este ap´endice las demostraciones de algunas propiedades vistas anterior-mente.
La unicidad del elemento identidad (Proposici´on 3)
Demostraci´on. Ya que e1 es un elemento identidad, se verifica
e1 e2 = e2.
Puesto que e2 tambi´en es un elemento identidad, tenemos
e1 e2 = e1.
Por tanto e1 = e1 e2 = e2.
La unicidad de los inversos (Proposici´on 4)
Demostraci´on. Partimos de g h = g k (= e). Multiplicando por la izquierda por
h resulta
h (g h) = h (g k).
Aplicando la propiedad asociativa,
(h g) h = (h g) k,
y por tanto
e h = e k
h = k.
Criterio pr´actico para inversos (Proposici´on 5)
Demostraci´on. Supongamos que h g = e. Entonces tenemos que comprobar que
´esto implica g h = e.
Ya que h g = e, podemos escribir
g (h g) = g e = g.
Aplicando la propiedad asociativa, resulta
(g h) g = g.
Pero seg´un la definici´on de grupo, g tiene un elemento inverso. Sea k dicho inverso
(de hecho, al final de la demostraci´on, concluiremos que k = h). Multiplicando por
la derecha por k y usando de nuevo la propiedad asociativa resulta
((g h) g) k = g k = e
(g h) (g k) = e
(g h) e = e
g h = e.
32. 18
Criterio para comprobar que es subgrupo (Proposici´on 12)
Demostraci´on. La implicaci´on hacia la derecha es inmediata por la propia definici´on
de subgrupo. Veamos la implicaci´on hacia la izquierda. Supongamos un subconjunto
H no vac´ıo verificando la condici´on del enunciado. Si y 2 H, tomando x = y,
entonces y · y−1 = e 2 H, con lo cual H contiene al elemento identidad de G.
Aplicando de nuevo dicha propiedad para los elementos e, y obtenemos que e·y−1 =
y−1 2 H, es decir, H es cerrado para los inversos. Finalmente, si x, y 2 H acabamos
de probar que y−1 2 H, con lo cual tambi´en contendr´a a x· (y−1)−1 = x· y, es decir,
H tambi´en es cerrado para la operaci´on de G.
Lema 35
Demostraci´on. Supongamos que = (i, j) con i j. Observamos en primer lugar
que (xi − xj) = −(xi − xj). Si k i, entonces intercambia xk − xi con xk − xj .
Similarmente, si k j. Cuando k es tal que i k j, entonces xi − xk y xk − xj
son reemplazados por −(xk −xj) y −(xi −xk), respectivamente. As´ı, el efecto total
es cambiar el signo de (xi − xj), con lo cual (f) = −f.