El documento resume la historia del cálculo integral desde Arquímedes hasta Euler. Explica que Arquímedes obtuvo resultados importantes como el valor del área encerrada por un segmento parabólico. Más tarde, Newton, Leibniz y Barrow descubrieron la relación entre la derivada y la integral definida. Posteriormente, Euler desarrolló los métodos de integración indefinida hasta su forma actual.

2. Historia
 El origen del cálculo integral se remonta a la época de
Arquímedes (287-212 a.C.), matemático griego de la
antigüedad, que obtuvo resultados tan importantes como
el valor del área encerrada por un segmento parabólico.

3.  El descubrimiento más importante del cálculo
infinitesimal (creado por Barrow, Newton y Leibniz)
es la relación entre la derivada y la integral definida.
Una vez conocida la conexión entre derivada e
integral (teorema de Barrow), el cálculo de integrales
definidas se hace tan sencillo como el de las
derivadas.

4.  Introducir el cálculo integral,
se logro con el estudio de
J.Bernoulli, quien escribió el
primer curso sistemático de
cálculo integral en 1742. Sin
embargo, fue Euler quien llevó
la integración hasta sus
últimas consecuencias, de tal
forma que los métodos de
integración indefinida
alcanzaron prácticamente su
nivel actual.

5. El Cálculo Integral incluía los problemas
y la teoría de las ecuaciones
diferenciales, el cálculo variacional, la
teoría de funciones especiales, etc. Tal
formulación general creció
inusualmente rápido. Euler necesitó en
los años 1768 y 1770 tres grandes
volúmenes para dar una exposición
sistemática de él.
Según Euler el Cálculo Integral constituía
un método de búsqueda, dada la relación
entre los diferenciales o la relación entre
las propias cantidades. La operación con
lo que esto se obtenía se denominaba
integración.

6. Teorema fundamental del cálculo
 Consiste (intuitivamente) en la afirmación de que
la derivación e integración de una función son
operaciones inversas. Esto significa que toda función
continua integrable verifica que la derivada de su integral
es igual a ella misma.

7.  Las integrales eran investigadas como formas de
estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la
historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el
estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente
vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración,
la operación inversa a la derivación.

8. El área rayada en rojo puede ser calculada
como h f(x), o si se conociera la función A(X),
como A(x+h) − A(x). Estos valores son
aproximadamente iguales para valores pequeños de h.

9. Integral definida
 Es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas
limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el
que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f
(x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral
definida de la función entre los puntos a y b al área de la
porción del plano que está limitada por la función, el eje
horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x =
b.
 La integral definida de la función entre los extremos del
intervalo [a, b] se denota como:

10. Propiedades
 Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto,
[a, a], es igual a cero.
 Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es
positiva; si la función es menor que cero, su integral es
negativa.
 La integral de una suma de funciones es igual a la suma de
sus integrales tomadas por separado.
 (se puede «sacar» la constante de la integral).
 Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de
signo.
 Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple
que (integración a trozos):

11.  Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican
dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se
verifica que:

12. Integral indefinida
Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada
una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser
derivadas conducen a f(x).
Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada
de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las
funciones derivables F(x) tales que:
F'(x) = f(x).
Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas
primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.
[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

13. Integral indefinida es el conjunto de las infinitas
primitivas que puede tener una función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee : integral de x diferencial de x.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la
función que se integra.
C es la constante de integración y puede tomar cualquier
valor numérico real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es
correcta basta con derivar.

14. Propiedades de la integral indefinida
1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma
de las integrales de esas funciones.
∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
2. La integral del producto de una constante por una
función es igual a la constante por la integral de la
función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

15. Suma de Riemann
 Es un método de integración numérica que nos sirve para
calcular el valor de una integral definida, es decir, el área
bajo una curva, este método es muy útil cuando no es
posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo.
 La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un
número finito de rectángulos dentro de un área irregular,
calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos.
El problema es que al sumar las áreas se obtiene un
margen de error muy grande.

16. Cuatro de los métodos de suma de
Riemann para aproximar el área bajo
las curvas. Los métodos derecha e
izquierda hacen la aproximación
usando, respectivamente, los puntos
finales derechos e izquierdos de cada
sub-intervalo. Los
métodos máximo y mínimo hacen la
aproximación usando,
respectivamente, los valores más
grandes y más pequeños del punto
final de cada sub-intervalo. Los valores
de las sumas convergen a medida que
los sub-intervalos parten desde arriba
a la izquierda hasta abajo a la derecha.

17. Consideremos lo siguiente:
una función
donde D es un subconjunto de los números reales
I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.
Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales
que a = x0 < x1 < x2... < xn = b
crean una partición de I
P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}
Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma
de Riemann de f sobre I con la partición P se define como
donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es
arbitraria.
Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma
de Riemann por la izquierda.
Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann
por la derecha.
Promediando las sumas izquierda y derecha de Riemann
obtenemos la llamada suma trapezoidal.

18. Métodos de integración
 Cambio de Variable
 Integración por partes
 Integrales de funciones trigonométricas
 Sustitución Trigonométrica
 Fracciones parciales

19. Método de integración por sustitución o cambio de
variable
Se basa en la derivada de la función compuesta.
Para cambiar de variable identificamos una parte de lo
que se va a integrar con una nueva variable t, de modo
que se obtenga una integral más sencilla.

20. Ejemplo:
1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos
términos:
Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:
2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:
3º Se vuelve a la variable inical:

21. INTEGRACIÓN POR PARTES
La regla que corresponde a la regla del producto de la
derivación se llama regla de la integración por partes.
El método de integración por partes permite calcular
la integral de un producto de dos funciones aplicando
la fórmula:
Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen
como u.
Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno
y coseno, se eligen como v'.

22. Ejemplo: