La presente Exposición Escrita del Tema VII Estructuras Algebraicas, que pertenece al contenido programático de la asignatura Álgebra del Plan de Estudios Vigente en Ingeniería Civil (U.N.A.M.-D.G.A.E., 2007), representa una Guía Metodológica, para:
a) Apoyar a la y al Estudiante en su Proceso de Aprendizaje Metacognitivo.
b) Orientar a la y al Docente en su Labor e Intervención Didáctica.
1. El documento presenta los conceptos matemáticos fundamentales para modelar mecanismos 2D, incluyendo transformaciones lineales ortogonales y grupos. 2. Explica que una transformación representa una rotación y mapea un espacio vectorial V a V'. 3. Define las propiedades que debe cumplir una pareja (V,⊕) para tener estructura de grupo, incluyendo cerradura, asociatividad, elemento nulo e inverso.
El documento explica conceptos básicos sobre operaciones con matrices. Define la suma y resta de matrices como la adición u sustracción de elementos correspondientes siempre que sean del mismo tamaño. También define la multiplicación de una matriz por un escalar como la multiplicación de cada elemento por ese escalar, y la multiplicación de matrices como la suma de los productos de las filas de una por las columnas de la otra.
El documento presenta las propiedades fundamentales de la adición, multiplicación, potenciación, igualdad y radicación en el cuerpo de los números reales R. También introduce conceptos básicos de trigonometría como el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas directas e inversas. El documento proporciona una guía detallada sobre los principios matemáticos necesarios para comprender el cálculo.
Este documento describe las relaciones matemáticas. Define una relación como un subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos. Explica que una relación vincula elementos de un conjunto A con elementos de un conjunto B a través de pares ordenados. Además, describe las propiedades de dominio, recorrido e inversa de una relación, y las propiedades de reflexividad, simetría y transitividad que puede cumplir una relación.
Este documento resume dos ecuaciones diferenciales importantes: la ecuación diferencial de Bessel y la ecuación diferencial de Legendre. La ecuación de Bessel describe ondas expansivas y sus soluciones son las funciones de Bessel. La ecuación de Legendre describe problemas de valores propios esféricos y sus soluciones son los polinomios de Legendre y las funciones de Legendre. El documento explica cómo resolver ambas ecuaciones mediante el método de Frobenius y describe las propiedades de sus soluciones.
Este documento describe las ecuaciones de Bessel, sus aplicaciones (propagación de ondas, potenciales estáticos, etc.), y cómo resolverlas. Presenta las funciones de Bessel de primera y segunda clase, y explica que la solución general de la ecuación de Bessel depende de si el orden v es un entero o no. También cubre ecuaciones relacionadas como la paramétrica y modificada de Bessel, y cómo ciertas ecuaciones diferenciales pueden expresarse en términos de Bessel.
El documento explica los conceptos básicos de las funciones matemáticas. Define una función como una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde exactamente un elemento del segundo conjunto. Detalla los elementos del plano cartesiano como ejes, cuadrantes y el origen, y cómo se representan los pares ordenados en este plano. Finalmente, presenta algunos ejemplos de funciones y sus dominios, rangos e imágenes.
Este documento presenta conceptos básicos sobre vectores y matrices. Introduce la definición de vector, operaciones elementales con vectores como suma, diferencia y producto por escalar, y propiedades de estas operaciones. También explica conceptos como combinaciones lineales de vectores, conjuntos linealmente dependientes e independientes, y producto escalar. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios para aplicar estos conceptos.
1. El documento presenta los conceptos matemáticos fundamentales para modelar mecanismos 2D, incluyendo transformaciones lineales ortogonales y grupos. 2. Explica que una transformación representa una rotación y mapea un espacio vectorial V a V'. 3. Define las propiedades que debe cumplir una pareja (V,⊕) para tener estructura de grupo, incluyendo cerradura, asociatividad, elemento nulo e inverso.
El documento explica conceptos básicos sobre operaciones con matrices. Define la suma y resta de matrices como la adición u sustracción de elementos correspondientes siempre que sean del mismo tamaño. También define la multiplicación de una matriz por un escalar como la multiplicación de cada elemento por ese escalar, y la multiplicación de matrices como la suma de los productos de las filas de una por las columnas de la otra.
El documento presenta las propiedades fundamentales de la adición, multiplicación, potenciación, igualdad y radicación en el cuerpo de los números reales R. También introduce conceptos básicos de trigonometría como el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas directas e inversas. El documento proporciona una guía detallada sobre los principios matemáticos necesarios para comprender el cálculo.
Este documento describe las relaciones matemáticas. Define una relación como un subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos. Explica que una relación vincula elementos de un conjunto A con elementos de un conjunto B a través de pares ordenados. Además, describe las propiedades de dominio, recorrido e inversa de una relación, y las propiedades de reflexividad, simetría y transitividad que puede cumplir una relación.
Este documento resume dos ecuaciones diferenciales importantes: la ecuación diferencial de Bessel y la ecuación diferencial de Legendre. La ecuación de Bessel describe ondas expansivas y sus soluciones son las funciones de Bessel. La ecuación de Legendre describe problemas de valores propios esféricos y sus soluciones son los polinomios de Legendre y las funciones de Legendre. El documento explica cómo resolver ambas ecuaciones mediante el método de Frobenius y describe las propiedades de sus soluciones.
Este documento describe las ecuaciones de Bessel, sus aplicaciones (propagación de ondas, potenciales estáticos, etc.), y cómo resolverlas. Presenta las funciones de Bessel de primera y segunda clase, y explica que la solución general de la ecuación de Bessel depende de si el orden v es un entero o no. También cubre ecuaciones relacionadas como la paramétrica y modificada de Bessel, y cómo ciertas ecuaciones diferenciales pueden expresarse en términos de Bessel.
El documento explica los conceptos básicos de las funciones matemáticas. Define una función como una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde exactamente un elemento del segundo conjunto. Detalla los elementos del plano cartesiano como ejes, cuadrantes y el origen, y cómo se representan los pares ordenados en este plano. Finalmente, presenta algunos ejemplos de funciones y sus dominios, rangos e imágenes.
Este documento presenta conceptos básicos sobre vectores y matrices. Introduce la definición de vector, operaciones elementales con vectores como suma, diferencia y producto por escalar, y propiedades de estas operaciones. También explica conceptos como combinaciones lineales de vectores, conjuntos linealmente dependientes e independientes, y producto escalar. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios para aplicar estos conceptos.
Este documento presenta varios ejemplos de sistemas de ecuaciones con dos o más incógnitas. Explica cómo representar estos sistemas gráficamente y analizar si tienen solución o no. También muestra cómo resolver sistemas escalonados de dos o tres ecuaciones mediante el método de sustitución o eliminación de Gauss.
Este documento presenta la evaluación de la materia de Ecuaciones Diferenciales del segundo término del año 2017-2018. Incluye cuatro proposiciones para ser calificadas como verdaderas o falsas, y dos ejercicios sobre series de potencias y convergencia de series. El documento proporciona los criterios de calificación para cada parte de la evaluación.
El documento describe el producto cartesiano y sus propiedades. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece a A y la segunda a B. Se representa gráficamente en el plano cartesiano y mediante diagramas sagitales. El documento también explica que la cantidad de pares ordenados en el producto cartesiano de conjuntos A y B es el producto de las cardinalidades de A y B, y presenta ejemplos para ilustrar el cálculo del producto cartesiano y su representación grá
Este documento presenta información sobre series de Fourier y conceptos relacionados como trigonometría, derivadas, integrales, sucesiones y series. Explica la definición de función periódica y serie trigonométrica de Fourier. Incluye ejemplos de funciones periódicas y ejercicios propuestos para encontrar las series de Fourier de diferentes funciones mediante el uso de la forma general, simetría y forma compleja. El documento será utilizado para una tarea extracurricular que debe entregarse en diferentes fechas.
Este documento presenta los temas de matemáticas para ciencias biológicas que se cubrirán en el segundo bimestre. Incluye exponentes, radicales, expresiones algebraicas, fraccionarias y notación científica. También cubre sistemas de ecuaciones lineales y sus métodos de solución, así como sucesiones aritméticas y geométricas. Finalmente, introduce conceptos de geometría analítica como parábolas, elipses e hipérbolas.
Este documento presenta un cuadernillo de actividades y ejercicios sobre la resolución de ecuaciones de segundo grado mediante el uso de un puzzle algebraico. El cuadernillo incluye ejercicios para clasificar ecuaciones de segundo grado, comprobar soluciones, resolver ecuaciones por tanteo, representar expresiones algebraicas con piezas de puzzle, escribir expresiones a partir de representaciones geométricas, y factorizar expresiones mediante la construcción de rectángulos con el puzzle.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales y resuelve varios ejercicios relacionados. Explica conceptos básicos como ecuaciones diferenciales de primer orden, lineales y no lineales. Luego, resuelve ejercicios aplicando métodos como variables separables y determinando si una ecuación es exacta. Finalmente, modela una situación de contaminación de un lago usando una ecuación diferencial.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales y álgebra lineal. Explica conceptos como orden y grado de una ecuación diferencial, clasificación de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, y métodos para resolver ecuaciones diferenciales como variables separables. También cubre temas como soluciones explícitas e implícitas de ecuaciones diferenciales y problemas de valor inicial.
De la Universidad jorge Basadre Grohman, con el aporte del Licenciado Afredo Chacaltana y el Licenciado Luís Alfaro Herrera (Tacna-Perú año 2002). FÍSICA PRINCIPIOS Y APLICACIONES
Linear correlation and regression analysis - 7 Basic ToolsEdgar Mata
Linear correlation and regression analysis
Seven basic tools of quality
Análisis de correlación y regresión lineal
siete herramientas básicas para la calidad
7BTOQ
Este documento presenta una guía de ejercicios sobre ecuaciones diferenciales parciales de primer y segundo orden. Incluye problemas sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, como modelos de crecimiento poblacional y problemas de tanques, así como ecuaciones diferenciales lineales y no lineales de segundo orden con aplicaciones a sistemas mecánicos con resortes y amortiguadores. El documento proporciona 9 secciones con múltiples ejercicios para que los estudiantes practiquen y apliquen diferentes métodos para resolver este tipo
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos. Introduce definiciones como conjunto, elemento de un conjunto, conjunto vacío y operaciones básicas entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. Explica las relaciones de igualdad, contención e inclusión entre conjuntos y cómo representar conjuntos y sus relaciones mediante diagramas de Venn.
Este documento presenta temas sobre cálculo diferencial como límites, continuidad y derivadas. Explica la definición de límite y resuelve ejemplos calculando límites como el límite de una función cuando x se acerca a 1. También calcula si existe el límite de una función cuando x se acerca a -1 y encuentra el límite de otra función cuando x se acerca a -1.
Este documento presenta varios problemas de ecuaciones diferenciales. Resume cada una indicando si es lineal o no lineal, y su orden. Luego, pide resolver algunas usando métodos como separación de variables, hallar el factor integrante, y determinar si son exactas. Finalmente, modela la concentración de contaminantes en un lago a través del tiempo considerando tasas de entrada y salida.
Este documento presenta el proceso para resolver ecuaciones diferenciales mediante series matemáticas. Incluye cuatro ejemplos de problemas resueltos que muestran cómo hallar el radio de convergencia de una serie, obtener la solución general de una ecuación diferencial como una serie de potencias, y usar series de Taylor para resolver una ecuación diferencial con condiciones iniciales.
Este documento presenta los temas centrales del cálculo diferencial organizados en cuatro unidades. La primera unidad cubre conceptos básicos de funciones como tipos, gráficas y características. La segunda unidad trata sobre límites, incluyendo definiciones, tipos y determinación. La tercera unidad explica la derivada con definiciones, reglas y cálculos. La cuarta unidad analiza la continuidad y discontinuidad de funciones. El documento provee una introducción general al cálculo diferencial.
Este documento presenta los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Define el método de Jacobi como una adaptación vectorial del método de aproximaciones sucesivas, utilizando una ecuación de recurrencia matricial. Explica que el método de Gauss-Seidel es una versión acelerada de Jacobi que actualiza las aproximaciones con cada cálculo. Finalmente, aplica ambos métodos a un ejemplo numérico de tres ecuaciones para ilustrar los procesos iterativos.
1) El documento presenta la resolución de 6 problemas de ecuaciones diferenciales y de valores iniciales realizada por Roberto Cabrera para un examen parcial de la Escuela Superior Politécnica del Litoral.
2) Se resuelven ecuaciones diferenciales de primer orden, de segundo orden con valores iniciales, una ecuación cuarta orden y una ecuación diferencial no lineal.
3) Finalmente, se desarrolla una serie de potencias para resolver aproximadamente una ecuación diferencial ordinaria.
Este documento define conceptos algebraicos fundamentales como grupos, subgrupos y anillos. Explica que un grupo es un conjunto con una operación que cumple cuatro axiomas: clausura, asociatividad, elemento neutro e inverso. Proporciona ejemplos de grupos como los enteros con suma. Define un subgrupo como una parte de un grupo que también forma un grupo. Finalmente, introduce la definición formal de un anillo como un conjunto abeliano con dos operaciones, suma y multiplicación, que cumplen ciertos axiomas.
Algoritmo de la división, MCD y Ec. Diofánticas_Álgebra I 15-06-21.pptxMarlonCarter5
Este documento presenta conceptos sobre divisibilidad, algoritmos de división y cálculo del máximo común divisor (MCD). Explica la definición de divisibilidad, el algoritmo de Euclides para calcular el MCD utilizando sucesivas divisiones, y introduce ecuaciones diofánticas lineales. Contiene ejemplos y ejercicios resueltos sobre estos temas.
Algoritmo de la división, MCD y Ec. Diofánticas_Álgebra I 15-06-21.pptxMarlonCarter5
Este documento presenta conceptos sobre divisibilidad, algoritmos de división y cálculo del máximo común divisor (MCD). Explica la definición de divisibilidad, el algoritmo de Euclides para calcular el MCD utilizando sucesivas divisiones, y propiedades del MCD. Finalmente, introduce ecuaciones diofánticas como ecuaciones lineales con coeficientes e incógnitas enteros.
Este documento presenta la solución a varios ejercicios sobre conjuntos. En el primer ejercicio, se califican cinco proposiciones como verdaderas o falsas y se corrigen las falsas. En el segundo ejercicio, se analizan cinco proposiciones lógicas dadas un referencial. El tercer ejercicio involucra operaciones entre conjuntos dados. El cuarto ejercicio pide determinar el tamaño de una región en un diagrama de Venn. Finalmente, el quinto y sexto ejercicio involucran evaluar
Este documento presenta varios ejemplos de sistemas de ecuaciones con dos o más incógnitas. Explica cómo representar estos sistemas gráficamente y analizar si tienen solución o no. También muestra cómo resolver sistemas escalonados de dos o tres ecuaciones mediante el método de sustitución o eliminación de Gauss.
Este documento presenta la evaluación de la materia de Ecuaciones Diferenciales del segundo término del año 2017-2018. Incluye cuatro proposiciones para ser calificadas como verdaderas o falsas, y dos ejercicios sobre series de potencias y convergencia de series. El documento proporciona los criterios de calificación para cada parte de la evaluación.
El documento describe el producto cartesiano y sus propiedades. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece a A y la segunda a B. Se representa gráficamente en el plano cartesiano y mediante diagramas sagitales. El documento también explica que la cantidad de pares ordenados en el producto cartesiano de conjuntos A y B es el producto de las cardinalidades de A y B, y presenta ejemplos para ilustrar el cálculo del producto cartesiano y su representación grá
Este documento presenta información sobre series de Fourier y conceptos relacionados como trigonometría, derivadas, integrales, sucesiones y series. Explica la definición de función periódica y serie trigonométrica de Fourier. Incluye ejemplos de funciones periódicas y ejercicios propuestos para encontrar las series de Fourier de diferentes funciones mediante el uso de la forma general, simetría y forma compleja. El documento será utilizado para una tarea extracurricular que debe entregarse en diferentes fechas.
Este documento presenta los temas de matemáticas para ciencias biológicas que se cubrirán en el segundo bimestre. Incluye exponentes, radicales, expresiones algebraicas, fraccionarias y notación científica. También cubre sistemas de ecuaciones lineales y sus métodos de solución, así como sucesiones aritméticas y geométricas. Finalmente, introduce conceptos de geometría analítica como parábolas, elipses e hipérbolas.
Este documento presenta un cuadernillo de actividades y ejercicios sobre la resolución de ecuaciones de segundo grado mediante el uso de un puzzle algebraico. El cuadernillo incluye ejercicios para clasificar ecuaciones de segundo grado, comprobar soluciones, resolver ecuaciones por tanteo, representar expresiones algebraicas con piezas de puzzle, escribir expresiones a partir de representaciones geométricas, y factorizar expresiones mediante la construcción de rectángulos con el puzzle.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales y resuelve varios ejercicios relacionados. Explica conceptos básicos como ecuaciones diferenciales de primer orden, lineales y no lineales. Luego, resuelve ejercicios aplicando métodos como variables separables y determinando si una ecuación es exacta. Finalmente, modela una situación de contaminación de un lago usando una ecuación diferencial.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales y álgebra lineal. Explica conceptos como orden y grado de una ecuación diferencial, clasificación de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, y métodos para resolver ecuaciones diferenciales como variables separables. También cubre temas como soluciones explícitas e implícitas de ecuaciones diferenciales y problemas de valor inicial.
De la Universidad jorge Basadre Grohman, con el aporte del Licenciado Afredo Chacaltana y el Licenciado Luís Alfaro Herrera (Tacna-Perú año 2002). FÍSICA PRINCIPIOS Y APLICACIONES
Linear correlation and regression analysis - 7 Basic ToolsEdgar Mata
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7BTOQ
Este documento presenta una guía de ejercicios sobre ecuaciones diferenciales parciales de primer y segundo orden. Incluye problemas sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, como modelos de crecimiento poblacional y problemas de tanques, así como ecuaciones diferenciales lineales y no lineales de segundo orden con aplicaciones a sistemas mecánicos con resortes y amortiguadores. El documento proporciona 9 secciones con múltiples ejercicios para que los estudiantes practiquen y apliquen diferentes métodos para resolver este tipo
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos. Introduce definiciones como conjunto, elemento de un conjunto, conjunto vacío y operaciones básicas entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. Explica las relaciones de igualdad, contención e inclusión entre conjuntos y cómo representar conjuntos y sus relaciones mediante diagramas de Venn.
Este documento presenta temas sobre cálculo diferencial como límites, continuidad y derivadas. Explica la definición de límite y resuelve ejemplos calculando límites como el límite de una función cuando x se acerca a 1. También calcula si existe el límite de una función cuando x se acerca a -1 y encuentra el límite de otra función cuando x se acerca a -1.
Este documento presenta varios problemas de ecuaciones diferenciales. Resume cada una indicando si es lineal o no lineal, y su orden. Luego, pide resolver algunas usando métodos como separación de variables, hallar el factor integrante, y determinar si son exactas. Finalmente, modela la concentración de contaminantes en un lago a través del tiempo considerando tasas de entrada y salida.
Este documento presenta el proceso para resolver ecuaciones diferenciales mediante series matemáticas. Incluye cuatro ejemplos de problemas resueltos que muestran cómo hallar el radio de convergencia de una serie, obtener la solución general de una ecuación diferencial como una serie de potencias, y usar series de Taylor para resolver una ecuación diferencial con condiciones iniciales.
Este documento presenta los temas centrales del cálculo diferencial organizados en cuatro unidades. La primera unidad cubre conceptos básicos de funciones como tipos, gráficas y características. La segunda unidad trata sobre límites, incluyendo definiciones, tipos y determinación. La tercera unidad explica la derivada con definiciones, reglas y cálculos. La cuarta unidad analiza la continuidad y discontinuidad de funciones. El documento provee una introducción general al cálculo diferencial.
Este documento presenta los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Define el método de Jacobi como una adaptación vectorial del método de aproximaciones sucesivas, utilizando una ecuación de recurrencia matricial. Explica que el método de Gauss-Seidel es una versión acelerada de Jacobi que actualiza las aproximaciones con cada cálculo. Finalmente, aplica ambos métodos a un ejemplo numérico de tres ecuaciones para ilustrar los procesos iterativos.
1) El documento presenta la resolución de 6 problemas de ecuaciones diferenciales y de valores iniciales realizada por Roberto Cabrera para un examen parcial de la Escuela Superior Politécnica del Litoral.
2) Se resuelven ecuaciones diferenciales de primer orden, de segundo orden con valores iniciales, una ecuación cuarta orden y una ecuación diferencial no lineal.
3) Finalmente, se desarrolla una serie de potencias para resolver aproximadamente una ecuación diferencial ordinaria.
Este documento define conceptos algebraicos fundamentales como grupos, subgrupos y anillos. Explica que un grupo es un conjunto con una operación que cumple cuatro axiomas: clausura, asociatividad, elemento neutro e inverso. Proporciona ejemplos de grupos como los enteros con suma. Define un subgrupo como una parte de un grupo que también forma un grupo. Finalmente, introduce la definición formal de un anillo como un conjunto abeliano con dos operaciones, suma y multiplicación, que cumplen ciertos axiomas.
Algoritmo de la división, MCD y Ec. Diofánticas_Álgebra I 15-06-21.pptxMarlonCarter5
Este documento presenta conceptos sobre divisibilidad, algoritmos de división y cálculo del máximo común divisor (MCD). Explica la definición de divisibilidad, el algoritmo de Euclides para calcular el MCD utilizando sucesivas divisiones, y introduce ecuaciones diofánticas lineales. Contiene ejemplos y ejercicios resueltos sobre estos temas.
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Este documento presenta la solución a varios ejercicios sobre conjuntos. En el primer ejercicio, se califican cinco proposiciones como verdaderas o falsas y se corrigen las falsas. En el segundo ejercicio, se analizan cinco proposiciones lógicas dadas un referencial. El tercer ejercicio involucra operaciones entre conjuntos dados. El cuarto ejercicio pide determinar el tamaño de una región en un diagrama de Venn. Finalmente, el quinto y sexto ejercicio involucran evaluar
Este documento describe los conceptos fundamentales de los espacios vectoriales, incluidas sus propiedades, subespacios vectoriales, combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal, bases y dimensiones. También cubre los cambios de base, operaciones con subespacios vectoriales y varios ejemplos ilustrativos.
conjuntos desigualdades y valor absoluto.docxjoansira2425
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre conjuntos, desigualdades y valor absoluto. Define conjuntos, operaciones con conjuntos como unión e intersección, y complemento. Explica los números reales y su representación en la recta numérica. Describe desigualdades y cómo resolverlas gráficamente. Finalmente, define valor absoluto y cómo representarlo.
Este documento trata sobre sucesiones. Define una sucesión como una colección de objetos ordenados secuencialmente y representada mediante subíndices. Explica cómo encontrar los términos de una sucesión y determinar si una sucesión converge o diverge. También introduce conceptos como sucesiones monótonas y acotadas, y cómo estas propiedades pueden usarse para determinar la convergencia de una sucesión.
Solución Examen de Mejoramiento II Término 2017eduardo paredes
Este documento presenta la solución de Eduardo Paredes a una evaluación de matemáticas. Resuelve cinco proposiciones sobre sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales y matrices de cambio de base. Justifica cada respuesta mostrando cálculos y aplicando teoremas matemáticos relevantes.
El documento trata sobre estructuras algebraicas y los números reales. Explica conceptos como semigrupos, monoides, grupos, anillos y cuerpos. También cubre los axiomas de igualdad y las propiedades de la adición y multiplicación de los números reales como el elemento neutro y la prioridad de operaciones. Por último, introduce la inducción matemática y propiedades del signo sumatorio para representar sumas.
El documento presenta conceptos clave de álgebra lineal como ángulos entre vectores, ortogonalidad, conjuntos ortonormales, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt, proyecciones ortogonales, complemento ortogonal de un subespacio, valores y vectores propios, y matrices ortogonales. Explica definiciones matemáticas rigurosas y teoremas relacionados con estos conceptos fundamentales.
El documento introduce los conceptos de sucesiones y series numéricas. Explica que una sucesión está formada por una secuencia de números y que una serie es la suma de los términos de una sucesión. Describe propiedades importantes de las series como la convergencia y divergencia. Finalmente, presenta ejemplos de series especiales como la armónica y la geométrica.
El documento presenta 6 problemas de álgebra lineal resueltos. El Problema 1 construye una transformación lineal entre dos espacios polinómicos. El Problema 2 demuestra que la imagen de un plano bajo una transformación lineal sobreyectiva es también un plano. El Problema 3 determina la base del complemento ortogonal de un subespacio y calcula la proyección de un vector sobre dicho subespacio.
Este documento explica diferentes tipos de operaciones con funciones como suma, resta, multiplicación, división y composición. También describe cómo encontrar la función inversa. Se proporcionan ejemplos resueltos de cada operación y un procedimiento para hallar la función inversa de una función dada.
i. El documento introduce conceptos básicos de funciones y funciones lineales.
ii. Explica que una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales que preserva suma y producto por escalar.
iii. Presenta definiciones y teoremas clave sobre núcleo, recorrido, nulidad y rango de una transformación lineal.
El documento trata sobre relaciones y grafos. Explica que una relación es un par de conjuntos ordenados que se corresponden, y que un grafo consiste en un conjunto de vértices y aristas. También define conceptos como relaciones binarias, propiedades de relaciones como reflexividad y transitividad, y tipos de funciones como inyectivas y sobreyectivas. Finalmente, concluye que la teoría de grafos permite modelar estructuras de datos y medir propiedades de redes.
El documento describe el producto escalar de dos vectores como el escalar obtenido al multiplicar los módulos de los vectores por el coseno del ángulo entre ellos. Explica que el producto escalar de los versores fundamentales es 1 cuando son iguales y 0 cuando son distintos. Además, presenta algunas propiedades del producto escalar y cómo calcular el ángulo entre dos vectores a partir de su producto escalar.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la teoría de números, incluyendo la divisibilidad, el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM). Explica las propiedades de la divisibilidad y define el MCD y MCM. Luego, introduce el algoritmo de Euclides para calcular el MCD de dos números de forma algorítmica. Finalmente, caracteriza el MCM y establece su relación con el MCD.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la teoría de números, incluyendo la divisibilidad, el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM). Explica las propiedades de la divisibilidad y define el MCD y MCM. Luego, introduce el algoritmo de Euclides para calcular el MCD de dos números de forma algorítmica. Finalmente, caracteriza el MCM y establece su relación con el MCD.
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El documento presenta una crítica del programa de estudios vigente de la asignatura Álgebra para la Licenciatura en Ingeniería Civil. Se identifican algunas fortalezas como su enfoque interdisciplinario y las herramientas brindadas para el estudio, pero también se señalan problemas como carencias en el tiempo de estudio requerido y la secuencia lógica. Luego, se explican conceptos básicos de estructuras algebraicas como grupos y anillos, definiéndolos y mencionando algunos de sus tipos.
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1) Establecer una Correspondencia Biunívoca entre los Números Reales y los Términos que pueden ser Objetos de cualquier Cantidad, Tipo o Naturaleza.
2) Desarrollar los Conceptos Matemáticos que permitan calcular el valor exacto de sumas, o por lo menos saber si existe tal valor.
3) Proporcionar la Idea Intuitiva, Consecutiva y Ordenada que puede presentar los Datos o Eventos que Introduce el Estudio de Fenómenos en las Ciencias Ingenieriles.
La reseña crítica del programa de estudios de la asignatura álgebra, ofrece un análisis evaluativo de los objetivos, contenidos y metodologías que se pretenden enseñar en el aula, para que así, se obtenga una propuesta viable que promueva la innovación continua en el desarrollo docente de impartir su cátedra académica con asertividad a las y los estudiantes que cursan la carrera de Ingeniería Civil, en un panorama que le ofrezca el gran aprendizaje significativo en su formación profesional.
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Análisis Estadístico y Probabilístico de la Deserción Escolar del IEMSDF mediante el método de regresión por mínimos cuadrados. Tesina para obtener el título de la Licenciatura en Matemáticas presenta:
El Sustentante: Pte. Mat. Pedro Daniel Lara Maldonado Asesorado: Mat. Beatriz Carrasco Torres
Evaluado: Dra. Marlen Hernández Ortiz
Análisis Estadístico y Probabilístico de la Deserción Escolar del IEMSDF mediante el método de regresión por mínimos cuadrados.
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Tesina para obtener la titulación de la Licenciatura en Matemáticas presenta
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El tema de este proyecto se circunscribe a los datos registrados en el Sistema de Información Mexicana del Distrito Federal (INFOMEXDF) dentro de la dependencia paraestatal del Instituto de Educación Media Superior del Distrito Federal por parte de la Dirección Estudiantil; a través del conducto de la Subdirección de Administración Escolar. El objetivo de este proyecto es hacer predicciones de la deserción estudiantil en las últimas generaciones que comprenden del año 2013 hasta el año 2014, considerado para toda la dependencia; se aplicaron los modelos de ajuste de funciones polinomiales mediante el método regresión por mínimos cuadrados para encontrar una función polinomial de ajuste a los datos. Este ajuste se centró en el cálculo del error que define su desviación estándar con distribución 푡−student para poder construir un intervalo de predicción que representa una estimación muestral de estudiantes desertores para las generaciones venideras, cuya incidencia, se ha incrementado de manera gradual, debido a que dejan sus estudios inconclusos no suelen retomarlos posteriormente, por lo que este diagnóstico es una cuestión alarmante de riesgo en su credibilidad condicional, que aseveró la importancia de atender esta problemática, que implica una concientización de desempeño escolar, en relación a la eficiencia terminal.
El tema de este proyecto se circunscribe a los datos registrados en el Sistema de Información Mexicana del Distrito Federal (INFOMEXDF) dentro de la dependencia paraestatal del Instituto de Educación Media Superior del Distrito Federal por parte de la Dirección Estudiantil; a través del conducto de la Subdirección de Administración Escolar. El objetivo de este proyecto es hacer predicciones de la deserción estudiantil en las últimas generaciones que comprenden del año 2013 hasta el año 2014, considerado para los 16 planteles con amplio histórico; se aplicaron los modelos de ajuste de funciones polinomiales mediante el método regresión por mínimos cuadrados para encontrar una función polinomial de ajuste a los datos. Este ajuste se centró en el cálculo del error que define su desviación estándar con distribución 푡−student para poder construir un intervalo de predicción que representa una estimación muestral de estudiantes desertores para las generaciones venideras, cuya incidencia, se ha incrementado de manera gradual, debido a que dejan sus estudios inconclusos no suelen retomarlos posteriormente, por lo que este diagnóstico es una cuestión alarmante de riesgo en su credibilidad condicional, que aseveró la importancia de atender esta problemática, que implica una concientización de desempeño escolar, en relación a la eficiencia terminal.
Unidad 1. determinación del tipo de distribución que presenta un proceso esto...PEDRO LARA MALDONADO
Este documento presenta la Unidad 1 de un curso sobre modelación estocástica. La unidad se enfoca en determinar el tipo de distribución de probabilidad que mejor describe un proceso estocástico dado. Incluye una introducción al tema y comentarios iniciales, así como dos actividades para los estudiantes. También cubre pruebas estadísticas como chi cuadrada y Kolmogorov-Smirnov para determinar si un proceso se ajusta a una distribución propuesta.
Este documento presenta la unidad 4 sobre la integral de Lebesgue. Introduce los antecedentes históricos que motivaron el desarrollo de la integral de Lebesgue, incluyendo limitaciones de la integral de Riemann. Define formalmente la integral de Lebesgue para funciones medibles no negativas sobre conjuntos de medida finita y establece algunas de sus propiedades fundamentales como el lema de Fatou. Finalmente, incluye ejemplos y actividades para aplicar el cálculo de la integral de Lebesgue.
Este documento presenta conceptos preliminares de la teoría de la medida, incluyendo: 1) definiciones de semianillo, -conjunto y álgebra de conjuntos, 2) propiedades de las medidas como aditividad y monotonía, 3) definición de medida de Lebesgue y conjuntos medibles, y 4) teoremas clave sobre cómo una función satisface las propiedades de una medida. El objetivo es establecer una teoría general de medida de conjuntos que generalice conceptos como longitud, área y volumen.
Este documento presenta la unidad sobre la integral de Riemann-Stieltjes. Introduce los antecedentes de la integral, incluyendo su definición, propiedades como la linealidad y aditividad, y teoremas como la integración por partes y el cambio de variable. También incluye ejemplos y actividades para que los estudiantes apliquen los conceptos.
Este documento presenta la Unidad 1 de Análisis Matemático II sobre la aproximación de funciones continuas. La unidad cubre series de números, incluyendo criterios de convergencia como el criterio de comparación y el teorema de Leibniz. También introduce el teorema de aproximación de Weierstrass, el cual establece que toda función continua puede aproximarse uniformemente por polinomios. La unidad concluye con actividades para practicar los conceptos aprendidos.
Estilo Arquitectónico Ecléctico e Histórico, Roberto de la Roche.pdfElisaLen4
Un pequeño resumen de lo que fue el estilo arquitectónico Ecléctico, así como el estilo arquitectónico histórico, sus características, arquitectos reconocidos y edificaciones referenciales de dichas épocas.
1. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN
SECRETARÍA ACADÉMICA
COMISIÓN DICTAMINADORA DEL ÁREA DE LAS CIENCIAS
FÍSICO MATEMÁTICAS Y DE LAS INGENIERÍAS
Exposición Escrita del Tema VII Estructuras Algebraicas, acorde al
Programa Académico de Álgebra para Licenciatura en Ingeniería Civil.
QUE SUSTENTA:
PEDRO DANIEL LARA MALDONADO
EN LA SEGUNDA PRUEBA RELATIVA AL CONCURSO DE
OPOSICIÓN PARA INGRESO COMO:
Profesor de Asignatura “A” Definitivo.
CELEBRADO EN EL:
MUNICIPIO DE NEZAHUALCÓYOTL, ESTADO DE MÉXICO, A 3
DE NOVIEMBRE DEL 2017.
2. 2
ÍNDICE
PÁGINA
1. Introducción ………...…………………………………………3
2. Desarrollo del Tema…………………………………………....4
2.1. Operación Binaria…………………………………………....5
2.1.1. Definición
2.1.2. Propiedades
2.1.3. Ejemplos
2.2. Grupo…………………………………………………...............7
2.2.1. Definición.
2.2.2. Tipos
2.2.2.1. Definición de Grupo Conmutativo o Abeliano.
2.2.3. Ejemplos
2.3. Anillo……………………………………………………………11
2.3.1. Definición.
2.3.2. Tipos.
2.3.2.1. Definición de Anillo Conmutativo
2.3.2.2. Definición de Anillo Unitario o con Unidad
2.3.2.3. Definición de Anillo con Campo o Cuerpo
2.3.3. Ejemplos
3. Conclusiones………………………………………......................19
4. Referencias Bibliográficas……………………………………....20
3. 3
1. Introducción.
La presente Exposición Escrita del Tema VII Estructuras Algebraicas, que
pertenece al contenido programático de la asignatura Álgebra del Plan de
Estudios Vigente en Ingeniería Civil (U.N.A.M.-D.G.A.E., 2007), representa
una Guía Metodológica, para:
a) Apoyar a la y al Estudiante en su Proceso de Aprendizaje Metacognitivo.
b) Orientar a la y al Docente en su Labor e Intervención Didáctica.
A continuación, se proporciona las Nociones Teórico-Prácticas del Álgebra
Abstracta, que encadena dialécticamente el Método Matemático de:
a) La inducción (de lo fácil a lo concreto).
b) La deducción (de lo abstracto a lo concreto).
4. 4
2. Desarrollo del Tema.
Las Estructuras Algebraicas consisten en un conjunto no vacío (Espinosa,
2010), que están definidas por una colección finita de operaciones; desempeñan
un papel muy importante en muchas ramas de la ciencia como en: la mecánica
cuántica, la física nuclear, la teoría de la relatividad, etcétera y se clasifican en:
Grupo, Anillo. (Godínez, 2004).
5. 5
2.1. Operación Binaria.
2.1.1. Definición.
La Operación Binaria ∗ es una regla que asigna a cada par ordenado de elementos de un
conjunto un único elemento de dicho conjunto (Castañeda-de-Isla Puga, 2017).
2.1.2. Propiedades.
Una Operación binaria ∗ sobre un conjunto definido en este caso por 𝑆 se dice que tiene la
propiedad de:
a) Cerradura: Si ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆, (𝑎 ∗ 𝑏) ∈ 𝑆; esto quiere decir que el conjunto 𝑆 es cerrado
respecto a ∗ . (Speziale, 2010).
b) Asociativa: Si (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) para cualesquiera 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆. (Ayres, 1972).
c) Conmutativa: Si 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆. (Ayres, 1972).
d) Elementos Idénticos: Si existe un elemento en 𝑒 = {𝑒1, 𝑒2} ∈ 𝑆 tal que para todo 𝑎 ∈ 𝑆,
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎; el idéntico es el mismo para todos los elementos del conjunto de igualdad;
tanto en su lado izquierdo y derecho. (Speziale, 2010).
e) Elementos Inversos: Si ∀𝑎 ∈ 𝑆, existe 𝑎̂ ∈ 𝑆 tal que 𝑎 ∗ 𝑎̂ = 𝑎̂ ∗ 𝑎 = 𝑒. (Speziale, 2010).
2.1.3. Ejemplos.
1. Sea ℕ el conjunto de los números naturales y la operación binaria en ℕ definida por:
𝒂 ∗ 𝒃 = 𝒂(𝒃 + 𝟐) ∀𝒂, 𝒃 ∈ ℕ. Determinar si su ∗ cumple con la propiedad a) De
Cerradura, b) Asociativa, c) Conmutativa, d) De Elementos Idénticos, e) De Elementos
Inversos. (Arcila, 1976).
a) El resultado de: 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎(𝑏 + 2) = 𝑎𝑏 + 2𝑎, se considera para 𝑎𝑏 ∈ ℕ, 2𝑎 ∈ ℕ si y
solo si 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ, por lo tanto, esto implica la pertenencia del producto, para este conjunto de
los números naturales, es decir: 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ ℕ, con esto hemos demostrado que su ∗ Si Cumple
con la Propiedad de Cerradura.
b) Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ, entonces se corrobora, para:
(1) … (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) … (2)
(1) … (𝑎(𝑏 + 2)) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏(𝑐 + 2)) … (2)
(1) … 𝑎(𝑏 + 2)(𝑐 + 2) = 𝑎(𝑏(𝑐 + 2) + 2) … (2)
(1) … 𝑎(𝑏𝑐 + 2𝑏 + 2𝑐 + 4) = 𝑎(𝑏𝑐 + 2𝑏 + 2) … (2)
6. 6
Como su igualdad en la proposición (1) … es distinta de … (2), concluimos que él ∗ No
Cumple con su Propiedad Asociativa.
c) Para ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℕ si y solamente si:
(𝐼) … 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 … (𝐼𝐼)
(𝐼) … 𝑎(𝑏 + 2) = 𝑏(𝑎 + 2) … (𝐼𝐼)
Esta supuesta igualdad en (𝐼) … y … (𝐼𝐼) implica que 𝑎 ∗ 𝑏 ≠ 𝑏 ∗ 𝑎, por lo tanto, su ∗ No
Cumple con la Propiedad Conmutativa.
d) Los elementos idénticos se definen por la propiedad 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎, esto implica,
considerar a 𝑒 = {𝑒1, 𝑒2} ∈ ℕ, entonces se debe analizar por casos:
Sea 𝑒1 ∈ ℕ tal que 𝑎 ∗ 𝑒1 = 𝑎. Aplicando el ∗ se tiene: 𝑎(𝑒1 + 2) = 𝑎, entonces despejando
a: (𝑒1 + 2) =
𝑎
𝑎
→ 𝑒1 + 2 = 1 → 𝑒1 = 1 − 2 →∴ 𝑒1 = −1 ∉ ℕ, esto concluye, que su ∗ No
tiene elementos idénticos o neutros en el conjunto de los números naturales.
e) Si 𝑎 ∗ 𝑎̂ = 𝑎̂ ∗ 𝑎 = 𝑒 ∈ ℕ, se tiene que: 𝑒 = {𝑒1, 𝑒2} ∉ ℕ, por lo tanto, el ∗ No tiene
elementos inversos.
2. Sea el conjunto de los números enteros y su ∗ es la operación binaria en ℤ definida
por 𝒂 ∗ 𝒃 = 𝒌 𝟐
𝒂 + (𝟐𝒌 𝟐
− 𝟏)𝒃. Determinar el conjunto de valores 𝒌 ∈ ℤ tal que ∗ sea
conmutativa (Arzamendi, 2011).
La propiedad conmutativa de una operación binaria se define por el cumplimiento de la
igualdad 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑘, en este caso se considera que:
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑘2
𝑎 + (2𝑘2
− 1)𝑏 … (1)
𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑘2
𝑏 + (2𝑘2
− 1)𝑎 … (2)
Esto implica que las ecuaciones … (1) y … (2) deben cumplirse ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, por lo tanto, si
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 se tendrá que:
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 → 𝑘2
𝑎 + (2𝑘2
− 1)𝑏 = 𝑘2
𝑏 + (2𝑘2
− 1)𝑎
Esto implica, realizar su multiplicación en ambos miembros de la igualdad, para poder
despejar el valor de 𝑘2
, relacionándolo con 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ , es decir:
𝑘2
𝑎 + (2𝑘2
− 1)𝑏 = (2𝑘2
− 1)𝑎 + 𝑘2
𝑏 → 𝑎𝑘2
+ 2𝑏𝑘2
− 𝑏 = 2𝑎𝑘2
− 𝑎 + 𝑏𝑘2
→ 𝑎𝑘2
+ 2𝑏𝑘2
− 𝑏 = 2𝑎𝑘2
+ 𝑏𝑘2
− 𝑎 → 𝑎𝑘2
+ 2𝑏𝑘2
− 𝑏 − 2𝑎𝑘2
− 𝑏𝑘2
+ 𝑎 = 0
→ −𝑎𝑘2
+ 𝑎 + 𝑏𝑘2
− 𝑏 = 0 → 𝑘2(−𝑎 + 𝑏) + 𝑎 − 𝑏 = 0 → 𝑘2(−𝑎 + 𝑏) = −𝑎 + 𝑏
→
𝑘2
(−𝑎 + 𝑏)
(−𝑎 + 𝑏)
=
−𝑎 + 𝑏
(−𝑎 + 𝑏)
→ 𝑘2
= 1 → 𝑘 = ±√1 →∴ 𝑘 = ±1
Así, el conjunto solicitado es 𝑘 = {−1, +1} = {−1,1} ∈ ℤ.
7. 7
2.2. Grupo.
2.2.1. Definición.
Es la estructura con una sola operación binaria ∗ en un conjunto no vacío, definido por 𝐺,
para el sistema (𝐺 , ∗). (Speziale, 2010), tal que tenga las propiedades de:
i) Cerradura: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐺
ii) Asociatividad: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺, (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
iii) Existencia de Idéntico o del Neutro: ∃𝑒 ∈ 𝐺 | , 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎
iv) Existencia de Inversos: ∀𝑎 ∈ 𝐺, ∃𝑎̂ ∈ 𝐺 | , 𝑎 ∗ 𝑎̂ = 𝑎̂ ∗ 𝑎 = 𝑒
2.2.2. Tipos.
Los Tipos de Grupos se clasifican en: Abeliano o Conmutativo, Cíclico, Finito,
Diferenciable o De Lie, Libre y Alternante o De Klein (Rincón, 2014).
A continuación, se definirá el Tipo de Grupo Abeliano o Conmutativo, a razón de que los
otros Tipos de Grupos poseen un grado avanzado de dificultad, que no ayuda a comprender
el objetivo propuesto para el Tema VII (U.N.A.M.-D.G.A.E., 2007).
2.2.2.1. Definición de Grupo Conmutativo o Abeliano.
Es la estructura que cumple con las cuatro Propiedades Elementales de la Definición
Grupo, es decir con la: i) Cerradura, ii) Asociatividad, iii) Existencia de Idéntico o del
Neutro, iv) Existencia de Inversos y con su Propiedad característica de v)
Conmutatividad: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 (León, 2011).
2.2.3. Ejemplos.
1. Sea el grupo (ℝ , ∗), donde 𝒂 ∗ 𝒃 = 𝒂 + 𝒃 − √𝟑 ∀ 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ. Obtener el elemento
idéntico del grupo y los elementos inversos (Arzamendi, 2011).
Para obtener el elemento idéntico, se tiene que definir esta propiedad de la definición grupo,
como:
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∀𝑎 ∈ ℝ
En el idéntico izquierdo: 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎, se debe considerar su regla de correspondencia, como:
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 + 𝑒 − √3, entonces por transitividad, tenemos que:
8. 8
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 + 𝑒 − √3 ↔ 𝑎 + 𝑒 − √3 = 𝒂 ∗ 𝒆 → 𝑎 + 𝑒 − √3 = 𝒂 → 𝑒 = 𝑎 − 𝑎 + √3
→∴ 𝑒 = √3 ∈ ℝ
Como (ℝ , ∗) es un grupo, entonces el idéntico derecho es igual al idéntico izquierdo, por
tanto 𝑒 = √3 es el elemento idéntico del grupo.
Para obtener los elementos inversos, se tiene que definir esta propiedad de la definición
grupo, como:
𝑎 ∗ 𝑎̂ = 𝑎̂ ∗ 𝑎 = 𝒆 →∴ 𝑎 ∗ 𝑎̂ = 𝑎̂ ∗ 𝑎 = √𝟑
En el inverso izquierdo: 𝑎 ∗ 𝑎̂ = √𝟑, se debe considerar su regla de correspondencia, como:
𝑎 ∗ 𝑎̂ = 𝑎 + 𝑎̂ − √3, entonces por transitividad, tenemos que:
𝑎 ∗ 𝑎̂ = 𝑎 + 𝑎̂ − √3 ↔ 𝑎 + 𝑎̂ − √3 = 𝒂 ∗ 𝒂̂ → 𝑎 + 𝑎̂ − √3 = √𝟑
→ 𝑎̂ = −𝑎 + √3 + √3 →∴ 𝑎̂ = −𝑎 + 2√3
Como (ℝ , ∗) es un grupo, entonces, de manera análoga, decimos que el inverso derecho
es igual al inverso izquierdo, por tanto, los elementos inversos están dados por:
𝑎̂ = −𝑎 + 2√3 ∀𝑎 ∈ ℝ.
2. Sea el conjunto 𝑮 = {𝒄𝒊𝒔(𝟎°), 𝒄𝒊𝒔(𝟏𝟐𝟎°), 𝒄𝒊𝒔(𝟐𝟒𝟎°)}. Determinar si la Estructura
Algebraica (𝑮 , ∗) es un Grupo Abeliano, donde ∗ es la multiplicación usual en ℂ
(Arzamendi, 2011).
Para determinar si la estructura algebraica (𝐺 , ∗) sea un Grupo Abeliano, debe cumplir
las propiedades de: i) Cerradura, ii) Asociatividad, iii) Existencia de Idéntico o del
Neutro, iv) Existencia de Inversos y v) Conmutatividad.
Entonces, para la propiedad de:
i) Cerradura: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺: 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐺, esto implica, definir su operación binaria ∗ en la
multiplicación usual para el conjunto de los números complejos ℂ, como:
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎𝑏[𝑐𝑖𝑠(𝜃1 + 𝜃2)] ∈ 𝐺
Esto implica, construir la tabla multiplicativa usual del conjunto de los números complejos
ℂ, con sus tres elementos que forma el conjunto 𝐺, para observar, si este conjunto, tiene esta
propiedad, es decir:
9. 9
𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟏. Definición Multiplicativa Usual en el conjunto de los Números ℂ.
𝐅𝐮𝐞𝐧𝐭𝐞: Arizmendi. (2011).
Efectuando operaciones en la 𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟏., resulta qué los elementos del conjunto 𝐺,
respectivamente se definen, para:
𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟐. Producto Resultante de la ∗ en su multiplicación usual para ℂ.
𝐅𝐮𝐞𝐧𝐭𝐞: Arizmendi. (2011).
En la 𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟐., resulta que en los elementos de 𝑐𝑖𝑠 (360°) … (𝑖) y 𝑐𝑖𝑠 (480°) … . (𝑖𝑖), su
valor angular del circulo unitario se define hasta 360° y a partir de este se puede expresar un
ángulo equivalente, para esto, se le resta los 360° en la cantidad presentada, es decir:
𝑐𝑖𝑠 (360°) = 𝑐𝑖𝑠 (𝜃1 + 𝜃2) ↔ 𝑐𝑖𝑠𝜃 → 𝜃 = (𝜃1 + 𝜃2) − 360°
→ 𝜃 = (360°) − 360° → 𝜃 = 0° →∴ 𝑐𝑖𝑠𝜃 = 𝑐𝑖𝑠(0°)
… (𝑖)
𝑐𝑖𝑠 (480°) = 𝑐𝑖𝑠 (𝜃1 + 𝜃2) ↔ 𝑐𝑖𝑠𝜃 → 𝜃 = (𝜃1 + 𝜃2) − 360°
→ 𝜃 = (480°) − 360° →∴ 𝜃 = 120° →∴ 𝑐𝑖𝑠𝜃 = 𝑐𝑖𝑠(120°)
… (𝑖𝑖)
Por lo tanto, decimos que:
𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟑. Simplifcación del Producto usual para ℂ.
𝐅𝐮𝐞𝐧𝐭𝐞: Arizmendi. (2011).
Finalmente, en la 𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟑., se observa que 𝐺 si es cerrado para su multiplicación usual en ℂ.
ii) Asociatividad: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺: (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐), como el conjunto 𝐺 está
contenido en los números complejos: 𝐺 ⊆ ℂ, entonces 𝐺 cumple con esta propiedad.
* cis (0°) cis (120°) cis (240°)
cis (0°) 1(1)cis(0°+0°) 1(1)cis(0°+120°) 1(1)cis(0°+240°)
cis (120°) 1(1)cis(120°+0°) 1(1)cis(120°+120°) 1(1)cis(120°+240°)
cis (240°) 1(1)cis(240°+0°) 1(1)cis(240°+120°) 1(1)cis(240°+240°)a
b
* cis (0°) cis (120°) cis (240°)
cis (0°) cis(0°) cis(120°) cis(240°)
cis (120°) cis(120°) cis(240°) cis(360°)
cis (240°) cis(240°) cis(360°) cis(480°)a
b
* cis (0°) cis (120°) cis (240°)
cis (0°) cis(0°) cis(120°) cis(240°)
cis (120°) cis(120°) cis(240°) cis(0°)
cis (240°) cis(240°) cis(0°) cis(120°)a
b
10. 10
iii) Existencia de Idéntico o del Neutro: ∃𝑒 ∈ 𝐺 tal que 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎, ∀𝑎 ∈ 𝐺, esto
implica considerar la 𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟑., para definir, a su respectivo elemento idéntico, es decir:
𝑒 = 𝑐𝑖𝑠(0°), por lo que, sustituyendo este valor en la propiedad, resulta:
𝑎 ∗ (𝑐𝑖𝑠(0°)) = (𝑐𝑖𝑠(0°)) ∗ 𝑎 = 𝑎 → 𝑎 ∗ 1 = 1 ∗ 𝑎 = 𝑎 →∴ 𝑎 = 𝑎
Qué si cumple su igualdad de existencia del Neutro.
iv) Existencia de Inversos: ∀𝑎 ∈ 𝐺, 𝑎̂ ∈ 𝐺 tal que:
𝑎 ∗ 𝑎̂ = 𝑎̂ ∗ 𝑎 = 𝑒 →∴ 𝑎 ∗ 𝑎̂ = 𝑎̂ ∗ 𝑎 = 𝑐𝑖𝑠(0°)
Esta igualdad que define esta propiedad, implica encontrar sus respectivos inversos, para los
elementos definidos de la 𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟑., en 𝑎:
𝑎 = 𝑐𝑖𝑠(0°) ↔ 𝑎̂ ∗ 𝑎 = 𝑐𝑖𝑠(0°) → 𝑎̂ ∗ (𝑐𝑖𝑠(0°)) = 𝑐𝑖𝑠(0°) → 𝑎̂ =
𝑐𝑖𝑠(0°)
(𝑐𝑖𝑠(0°))
→ 𝑎̂ =
1
1
𝑐𝑖𝑠(0° − 0°) →∴ 𝑎̂ = 𝑐𝑖𝑠(0°) ∈ 𝐺
.
… (𝐼)
𝑎 = 𝑐𝑖𝑠(120°) ↔ 𝑎̂ ∗ 𝑎 = 𝑐𝑖𝑠(0°) → 𝑎̂ ∗ (𝑐𝑖𝑠(120°)) = 𝑐𝑖𝑠(0°) → 𝑎̂ =
𝑐𝑖𝑠(0°)
(𝑐𝑖𝑠(120°))
→ 𝑎̂ =
1
1
𝑐𝑖𝑠(0° − 120°) →∴ 𝑎̂ = 𝑐𝑖𝑠(−120°) = 𝑐𝑖𝑠 (𝜃1 + 𝜃2) ↔ 𝑐𝑖𝑠𝜃 = 𝑎̂
→ 𝜃 = (𝜃1 + 𝜃2) + 360° → 𝜃 = (−120°) + 360° → 𝜃 = 240° →∴ 𝑐𝑖𝑠𝜃 = 𝑐𝑖𝑠(240°) = 𝑎̂ ∈ 𝐺
.
… (𝐼𝐼)
𝑎 = 𝑐𝑖𝑠(240°) ↔ 𝑎̂ ∗ 𝑎 = 𝑐𝑖𝑠(0°) → 𝑎̂ ∗ (𝑐𝑖𝑠(240°)) = 𝑐𝑖𝑠(0°) → 𝑎̂ =
𝑐𝑖𝑠(0°)
(𝑐𝑖𝑠(240°))
→ 𝑎̂ =
1
1
𝑐𝑖𝑠(0° − 240°) →∴ 𝑎̂ = 𝑐𝑖𝑠(−240°) = 𝑐𝑖𝑠 (𝜃1 + 𝜃2) ↔ 𝑐𝑖𝑠𝜃 = 𝑎̂
→ 𝜃 = (𝜃1 + 𝜃2) + 360° → 𝜃 = (−240°) + 360° → 𝜃 = 120° →∴ 𝑐𝑖𝑠𝜃 = 𝑐𝑖𝑠(120°) = 𝑎̂ ∈ 𝐺
.
… (𝐼𝐼𝐼)
El elemento inverso 𝑎̂ para: … (𝐼) es 𝑐𝑖𝑠(0°) ∈ 𝐺, … (𝐼𝐼) es 𝑐𝑖𝑠(240°) ∈ 𝐺, … (𝐼𝐼𝐼) es
𝑐𝑖𝑠(120°) ∈ 𝐺, por tanto, todos los elementos de 𝐺 tiene un único inverso en el conjunto 𝐺,
esto quiere decir que la igualdad si cumple con su propiedad enunciada.
v) Conmutatividad: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺: 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎, esto implica que los elementos de la
𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟑, cumple su propiedad en el conjunto 𝐺 ∈ ℂ.
En este caso, se ha corroborado que las propiedades: i), ii), iii), iv) y v) si cumplen, con esto
determinamos, que la estructura algebraica (𝐺 , ∗) es un Grupo Abeliano en su respectiva
multiplicación usual en ℂ.
11. 11
2.3. Anillo.
2.3.1. Definición.
Es la estructura con dos operaciones binarias + y ∗ en un conjunto no vacío, definido por
𝐴, para el sistema (𝐴, +, ∗). (Solar, 2012), tal que tenga las propiedades de:
i) Asociatividad en la Adición: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐
ii) Conmutatividad en la Adición: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
iii) Existencia del Idéntico o Neutro Aditivo: ∃0 ∈ 𝐴 | , 0 + 𝑎 = 𝑎, ∀𝑎 ∈ 𝐴
iv) Existencia de Inversos o Simétricos Aditivos: ∀𝑎 ∈ 𝐴, ∃ − 𝑎 ∈ 𝐴 | , −𝑎 + 𝑎 = 0
v) Asociatividad en la Multiplicación: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐
vi) Distributividad: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, se tiene que 𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) + (𝑎 ∗ 𝑐) … (𝑖) y
(𝑏 + 𝑐) ∗ 𝑎 = (𝑏 ∗ 𝑎) + (𝑐 ∗ 𝑎) … (𝑖𝑖).
De las propiedades i) a la iv), se dice que un anillo es un grupo Abeliano para la primera
operación + (Solar, 2012).
2.3.2. Tipos.
Los Tipos de Anillos se clasifican en: Conmutativo, No Conmutativo, Unitario o Con
Unidad, Con División, Con Simplificación, Con Dominio de Integridad, Con Cuerpo o
Campo, Abeliano y Con Dominio Euclídeo (Rincón, 2014).
A continuación, se definirá el Tipo de Anillo: Conmutativo, Unitario o Con Unidad, Con
Campo o Cuerpo; a razón de que los otros Tipos de Anillos poseen un grado avanzado de
dificultad, que no ayuda a comprender el objetivo propuesto para el Tema VII (U.N.A.M.-
D.G.A.E., 2007).
2.3.2.1. Definición de Anillo Conmutativo.
Es la estructura que cumple con las seis Propiedades Elementales de la Definición Anillo,
es decir con la: i) Asociatividad en la Adición, ii) Conmutatividad en la Adición, iii)
Existencia de Idéntico o Neutro Aditivo, iv) Existencia de Inversos o Simétricos
Aditivos, v) Asociatividad en la Multiplicación, vi) Distributividad y con su Propiedad
característica de vii) Conmutatividad en la Multiplicación: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
(Castañeda-de-Isla Puga, 2016).
12. 12
2.3.2.2. Definición de Anillo Unitario o Con Unidad.
Es la estructura que cumple con las siete Propiedades de la Definición Anillo
Conmutativo, es decir con la: i) Asociatividad en la Adición, ii) Conmutatividad en la
Adición, iii) Existencia de Idéntico o Neutro Aditivo, iv) Existencia de Inversos o
Simétricos Aditivos, v) Asociatividad en la Multiplicación, vi) Distributividad, vii)
Conmutatividad en la Multiplicación y con su Propiedad característica de viii) Existencia
de Idéntico en la Multiplicación: ∀𝑎 ∈ 𝐴, ∃1 ∈ 𝐴 | , 1 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 1 = 1 (Castañeda-de-
Isla Puga, 2016).
2.3.2.3. Definición de Anillo Con Campo o Cuerpo.
Es la estructura que cumple con las ocho Propiedades de la Definición Anillo Unitario o
Con Unidad, es decir con la: i) Asociatividad en la Adición, ii) Conmutatividad en la
Adición, iii) Existencia de Idéntico o Neutro Aditivo, iv) Existencia de Inversos o
Simétricos Aditivos, v) Asociatividad en la Multiplicación, vi) Distributividad, vii)
Conmutatividad en la Multiplicación, viii) Existencia de Idéntico en la Multiplicación
y con su Propiedad característica de ix) Existencia de Inversos o Simétricos en la
Multiplicación: ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑎 ≠ 0, ∃𝑎−1
∈ 𝐴 | , 𝑎−1
∗ 𝑎 = 1 (Castañeda-de-Isla Puga,
2016).
2.3.3. Ejemplos.
1. Sea 𝑷 el conjunto de polinomios de la forma 𝒑(𝒙) = 𝒂𝒙, ∀𝒂 ∈ ℝ y sean + , ∗ las
operaciones binarias en 𝑷 definidas por:
𝒑(𝒙) + 𝒒(𝒙) = (𝒑 + 𝒒)(𝒙) ∀𝒑(𝒙), 𝒒(𝒙) ∈ 𝑷
𝒑(𝒙) ∗ 𝒒(𝒙) = (𝒑𝒒(𝒙)) ∀𝒑(𝒙), 𝒒(𝒙) ∈ 𝑷
Considerando que el sistema (𝑷, +, ∗) tiene Estructura de Anillo. Determinar: a) Si
es un Anillo Conmutativo y b) Si es un Anillo Unitario (Arzamendi, 2011).
a) Para determinar si es un Anillo Conmutativo, se corrobora las seis Propiedades
Elementales de la Definición Anillo: i) Asociatividad en la Adición, ii) Conmutatividad
en la Adición, iii) Existencia de Idéntico o Neutro Aditivo, iv) Existencia de Inversos o
Simétricos Aditivos, v) Asociatividad en la Multiplicación, vi) Distributividad y su
Propiedad característica de vii) Conmutatividad en la Multiplicación.
Sin embargo, el planteamiento 1. menciona que el sistema tiene una Estructura de Anillo,
esto implica que por definición cumple las cuatro propiedades de: i) Asociatividad en la
Adición, ii) Conmutatividad en la Adición, iii) Existencia del Idéntico o Neutro Aditivo,
iv) Existencia de Inversos o Simétricos Aditivos.
13. 13
Entonces, se verifica las dos últimas propiedades:
v) Asociatividad en la Multiplicación: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐, en este caso,
se define, como: ∀𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥), 𝑟(𝑥) ∈ 𝑃, 𝑝(𝑥) ∗ (𝑞(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) = (𝑝(𝑥) ∗ 𝑞(𝑥)) ∗ 𝑟(𝑥),
donde 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥 ∈ 𝑃, 𝑞(𝑥) = 𝑏𝑥 ∈ 𝑃, 𝑟(𝑥) = 𝑐𝑥 ∈ 𝑃, por lo tanto se verifica esta
propiedad, mediante la definición de operación binaria en ∗:
(𝐼) … 𝑝(𝑥) ∗ (𝑞(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) = (𝑝(𝑥) ∗ 𝑞(𝑥)) ∗ 𝑟(𝑥) … (𝐼𝐼)
(𝐼) … 𝑝(𝑥) ∗ (𝑞𝑟(𝑥)) = (𝑝𝑞(𝑥)) ∗ 𝑟(𝑥) … (𝐼𝐼)
(𝐼) … 𝑝 (𝑞(𝑟(𝑥))) = 𝑝 (𝑞(𝑟(𝑥))) … (𝐼𝐼)
Comparando las igualdades (𝐼) … y … (𝐼𝐼), decimos que si cumple esta propiedad.
vi) Distributividad: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, se tiene que 𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) + (𝑎 ∗ 𝑐) … (𝑖) y
(𝑏 + 𝑐) ∗ 𝑎 = (𝑏 ∗ 𝑎) + (𝑐 ∗ 𝑎) … (𝑖𝑖), en este caso, se define que ∀𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥), 𝑟(𝑥) ∈ 𝑃 es:
(𝐼𝐼𝐼) … 𝑝(𝑥) ∗ (𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)) = (𝑝(𝑥) ∗ 𝑞(𝑥)) + (𝑝(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) … (𝐼𝑉) … (𝑖)
∧
(𝑉) … (𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)) ∗ 𝑟(𝑥) = (𝑝(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) + (𝑞(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) … (𝑉𝐼) … (𝑖𝑖)
Siendo 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥 ∈ 𝑃, 𝑞(𝑥) = 𝑏𝑥 ∈ 𝑃, 𝑟(𝑥) = 𝑐𝑥 ∈ 𝑃, por lo tanto, se verifica la
condición … (𝑖), mediante la sustitución polinomial y las definiciones que describen el
planteamiento 1., para (𝐼𝐼𝐼) … :
𝑝(𝑥) ∗ (𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)) = 𝑝(𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥))
𝑝(𝑥) ∗ (𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)) = 𝑝(𝑏𝑥 + 𝑐𝑥)
𝑝(𝑥) ∗ (𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)) = 𝑝((𝑏 + 𝑐)𝑥)
𝑝(𝑥) ∗ (𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)) = 𝑎(𝑏 + 𝑐)𝑥
𝑝(𝑥) ∗ (𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)) = 𝑎𝑏𝑥 + 𝑎𝑐𝑥
Similarmente, se verifica para … (𝐼𝑉):
(𝑝(𝑥) ∗ 𝑞(𝑥)) + (𝑝(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) = (𝑝𝑞(𝑥)) + (𝑝𝑟(𝑥))
(𝑝(𝑥) ∗ 𝑞(𝑥)) + (𝑝(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) = 𝑝(𝑏𝑥) + 𝑝(𝑐𝑥)
(𝑝(𝑥) ∗ 𝑞(𝑥)) + (𝑝(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) = 𝑎(𝑏𝑥) + 𝑎(𝑐𝑥)
(𝑝(𝑥) ∗ 𝑞(𝑥)) + (𝑝(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) = 𝑎𝑏𝑥 + 𝑎𝑐𝑥
Esto implica, comparar sus igualdades (𝐼𝐼𝐼) … y … (𝐼𝑉), en su respectiva condición:
(𝐼𝐼𝐼) … 𝑝(𝑥) ∗ (𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)) = (𝑝(𝑥) ∗ 𝑞(𝑥)) + (𝑝(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) … (𝐼𝑉)
(𝐼𝐼𝐼) … 𝑎𝑏𝑥 + 𝑎𝑐𝑥 = 𝑎𝑏𝑥 + 𝑎𝑐𝑥 … (𝐼𝑉)
… (𝑖)
14. 14
Esta condición… (𝑖), si es cierta.
Luego, se verifica la condición … (𝑖𝑖), mediante la sustitución polinomial y las definiciones
que describen el planteamiento 1., para (𝑉) … :
(𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)) ∗ 𝑟(𝑥) = (𝑝 + 𝑞)(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)
(𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)) ∗ 𝑟(𝑥) = (𝑝 + 𝑞)(𝑟(𝑥))
(𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)) ∗ 𝑟(𝑥) = (𝑝 + 𝑞)(𝑐𝑥)
(𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)) ∗ 𝑟(𝑥) = (𝑎 + 𝑏)(𝑐𝑥)
(𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)) ∗ 𝑟(𝑥) = 𝑎𝑐𝑥 + 𝑏𝑐𝑥
Similarmente, se verifica para … (𝑉𝐼):
(𝑝(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) + (𝑞(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) = (𝑝𝑟(𝑥)) + (𝑞𝑟(𝑥))
(𝑝(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) + (𝑞(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) = 𝑝(𝑟(𝑥)) + 𝑞(𝑟(𝑥))
(𝑝(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) + (𝑞(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) = 𝑎(𝑐𝑥) + 𝑏(𝑐𝑥)
(𝑝(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) + (𝑞(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) = 𝑎𝑐𝑥 + 𝑏𝑐𝑥
Esto implica, comparar sus igualdades (𝑉) … y … (𝑉𝐼), en su respectiva condición:
(𝑉) … (𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)) ∗ 𝑟(𝑥) = (𝑝(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) + (𝑞(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) … (𝑉𝐼)
(𝑉) … 𝑎𝑐𝑥 + 𝑏𝑐𝑥 = 𝑎𝑐𝑥 + 𝑏𝑐𝑥 … (𝑉𝐼)
… (𝑖𝑖)
Esta condición… (𝑖𝑖), si es cierta.
Se concluye que las condiciones … (𝑖) y … (𝑖𝑖) son ciertas, esto implica, el cumplimiento
para esta propiedad.
vii) Conmutatividad en la Multiplicación: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎, en este caso, se define
que ∀𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥) ∈ 𝑃, 𝑝(𝑥) ∗ 𝑞(𝑥) = 𝑞(𝑥) ∗ 𝑝(𝑥), donde 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥 ∈ 𝑃, 𝑞(𝑥) = 𝑏𝑥 ∈ 𝑃,
por lo tanto se verifica esta propiedad, mediante la definición de operación binaria en ∗:
(𝑉𝐼𝐼) … 𝑝(𝑥) ∗ 𝑞(𝑥) = 𝑞(𝑥) ∗ 𝑝(𝑥) … (𝑉𝐼𝐼𝐼)
(𝑉𝐼𝐼) … 𝑝(𝑞(𝑥)) = 𝑞(𝑝(𝑥)) … (𝑉𝐼𝐼𝐼)
(𝑉𝐼𝐼) … 𝑝(𝑏𝑥) = 𝑞(𝑎𝑥) … (𝑉𝐼𝐼𝐼)
(𝑉𝐼𝐼) … 𝑎(𝑏𝑥) = 𝑏(𝑎𝑥) … (𝑉𝐼𝐼𝐼)
(𝑉𝐼𝐼) … (𝑎𝑏)𝑥 = (𝑏𝑎)𝑥 … (𝑉𝐼𝐼𝐼)
(𝑉𝐼𝐼) … (𝑎𝑏)𝑥 = (𝑎𝑏)𝑥 … (𝑉𝐼𝐼𝐼)
Comparando las igualdades (𝑉𝐼𝐼) … y … (𝑉𝐼𝐼𝐼), decimos que si cumple esta propiedad.
Se concluye, que las seis Propiedades Elementales de la Definición Anillo y su propiedad
característica, si cumplen, por lo tanto, el sistema (𝑃, +, ∗) es un Anillo Conmutativo.
15. 15
b) Para determinar si es un Anillo Unitario, se corrobora las siete Propiedades de la
Definición Anillo Conmutativo: i) Asociatividad en la Adición, ii) Conmutatividad en la
Adición, iii) Existencia de Idéntico o Neutro Aditivo, iv) Existencia de Inversos o
Simétricos Aditivos, v) Asociatividad en la Multiplicación, vi) Distributividad, vii)
Conmutatividad en la Multiplicación y su Propiedad característica de viii) Existencia de
Idéntico en la Multiplicación.
Por el inciso a), decimos que las seis Propiedades Elementales de la Definición Anillo y su
propiedad característica, cumplen.
Entonces, se verifica su Propiedad característica de viii) Existencia de Idéntico en la
Multiplicación: ∀𝑎 ∈ 𝐴, ∃1 ∈ 𝐴 | , 1 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 1 = 1 , para este caso, se define, como:
∀𝑢(𝑥) ∈ 𝑃, ∃𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥 ∈ 𝑃 | , (𝐼𝑋) … 𝑝(𝑥) ∗ 𝑢(𝑥) = (𝑋) … 𝑢(𝑥) ∗ 𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑥) … (𝑋𝐼)
Esto implica, definir la operación binaria en su producto ∗ con unidad, que este se considera,
en:
𝑢(𝑥) = {𝑢1(𝑥), 𝑢2(𝑥)} = {𝑒1 𝑥, 𝑒2 𝑥} ∈ 𝑃
Por lo tanto, su igualdad se debe analizar:
En (𝐼𝑋) … respecto a … (𝑋𝐼) , notamos que la ecuación alterna con unidad en su operación
binaria del producto ∗, se define por 𝑝(𝑥) ∗ 𝑢1(𝑥) = 𝑝(𝑥), donde 𝑢1(𝑥) = 𝑒1 𝑥 ∈ 𝑃, esto
implica, sustituir el valor, para:
(𝐼𝑋) … 𝑝(𝑥) ∗ 𝑢1(𝑥) = 𝑝(𝑥) … (𝑋𝐼)
(𝐼𝑋) … 𝑝(𝑢1(𝑥)) = 𝑝(𝑥) … (𝑋𝐼)
(𝐼𝑋) … 𝑝(𝑒1 𝑥) = 𝑎𝑥 … (𝑋𝐼)
(𝐼𝑋) … 𝑎(𝑒1 𝑥) = 𝑎𝑥 … (𝑋𝐼)
(𝐼𝑋) … 𝑎𝑥 = 𝑎𝑥 … (𝑋𝐼)
En (𝑋) … respecto a … (𝑋𝐼) , notamos que la ecuación alterna con unidad en su operación
binaria del producto ∗, se define por 𝑢2(𝑥) ∗ 𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑥), donde 𝑢2(𝑥) = 𝑒2 𝑥 ∈ 𝑃, esto
implica, sustituir el valor, para:
(𝑋) … 𝑢2(𝑥) ∗ 𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑥) … (𝑋𝐼)
(𝑋) … 𝑢2(𝑝(𝑥)) = 𝑝(𝑥) … (𝑋𝐼)
(𝑋) … 𝑢2(𝑎𝑥) = 𝑎𝑥 … (𝑋𝐼)
(𝑋) … 𝑒2(𝑎𝑥) = 𝑎𝑥 … (𝑋𝐼)
(𝑋) … 𝑎𝑥 = 𝑎𝑥 … (𝑋𝐼)
Por lo tanto, las igualdades en (𝐼𝑋) … respecto a … (𝑋𝐼) y (𝑋) … respecto a … (𝑋𝐼) son
ciertas, esto implica, el cumplimiento para esta propiedad.
16. 16
Se concluye, que las siete Propiedades Elementales de la Definición Anillo Conmutativo y
su propiedad característica, si cumplen, por lo tanto, el sistema (𝑃, +, ∗) tiene Estructura
de Anillo Unitario.
2. Sea 𝑬 = {𝒂 + 𝒃𝒊|𝒂, 𝒃 ∈ ℚ, 𝒊 𝟐
= −𝟏}, un subconjunto de ℂ. Determinar si
(𝑬, +, ∗) es un Anillo con Campo o Cuerpo, en donde + y ∗ son las operaciones
usuales de adición y multiplicación en ℂ. (Arzamendi, 2011).
Para determinar si es un Anillo con Campo o Cuerpo, se corrobora las ocho Propiedades de
la Definición Anillo Conmutativo:
i) Asociatividad en la Adición: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐, en este caso se
define mediante la consideración: ∀𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 ∈ ℂ, 𝑧1 + (𝑧2 + 𝑧3) = (𝑧1 + 𝑧2) + 𝑧3, donde
𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ 𝐸, 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖 ∈ 𝐸, 𝑧3 = 𝑒 + 𝑓𝑖 ∈ 𝐸, lo que implica que 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 ∈ ℚ,
como 𝐸 ⊂ ℂ, implica que para toda 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 ∈ 𝐸 es válida, por lo tanto, esta propiedad
cumple con su igualdad.
ii) Conmutatividad en la Adición: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎, en este caso se define:
∀𝑧1, 𝑧2 ∈ ℂ, 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧2 + 𝑧1, esto implica que ∀𝑧1, 𝑧2 ∈ 𝐸, por lo tanto, esta propiedad
cumple con su igualdad.
iii) Existencia del Idéntico o Neutro Aditivo: ∃0 ∈ 𝐴 | , 0 + 𝑎 = 𝑎, ∀𝑎 ∈ 𝐴, en este
caso, se dice que:
∃𝑒 = 𝑥 + 𝑦𝑖 ∈ 𝐸 | , ∀𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ 𝐸, 𝑒 + 𝑧1 = 𝑧1
Luego, se sustituye los valores en la igualdad, para encontrar los respectivos valores de 𝑒:
𝑒 + 𝑧1 = 𝑧1 → (𝑥 + 𝑦𝑖) + (𝑎 + 𝑏𝑖) = 𝑎 + 𝑏𝑖 → (𝑥 + 𝑎) + (𝑦 + 𝑏)𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖
→
𝑥 + 𝑎 = 𝑎
𝑦 + 𝑏 = 𝑏 →
𝑥 = 𝑎 − 𝑎
𝑦 = 𝑏 − 𝑏 →
𝑥 = 0
𝑦 = 0
Esto implica que 𝑒 = 𝑥 + 𝑦𝑖 = 0 + 0𝑖, por lo tanto, esta propiedad cumple con su igualdad.
iv) Existencia de Inversos o Simétricos Aditivos: ∀𝑎 ∈ 𝐴, ∃ − 𝑎 ∈ 𝐴 | , −𝑎 + 𝑎 = 0,
en este caso, se define para:
∀𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ 𝐸, ∃ − 𝑧1 = ℎ + 𝑘𝑖 ∈ 𝐸 | , −𝑧1 + 𝑧1 = 𝑒
17. 17
Después, se sustituye los valores en la igualdad, para encontrar los respectivos valores de
−𝑧1:
−𝑧1 + 𝑧1 = 𝑒 → (ℎ + 𝑘𝑖) + (𝑎 + 𝑏𝑖) = 0 + 0𝑖 → (𝑎 + ℎ) + (𝑏 + 𝑘)𝑖 = 0 + 0𝑖
→
𝑎 + ℎ = 0
𝑏 + 𝑘 = 0
→
ℎ = −𝑎
𝑘 = −𝑏
Esto implica que −𝑧1 = ℎ + 𝑘𝑖 = −𝑎 − 𝑏𝑖, por lo tanto, esta propiedad cumple con su
igualdad.
v) Asociatividad en la Multiplicación: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐, en este
caso, se define, como: ∀𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 ∈ ℂ, 𝑧1 ∗ (𝑧2 ∗ 𝑧3) = (𝑧1 ∗ 𝑧2) ∗ 𝑧3, esto implica que
∀𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 ∈ 𝐸, por lo tanto, esta propiedad cumple con su igualdad.
vi) Distributividad: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, se tiene que 𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) + (𝑎 ∗ 𝑐) … (𝑖) y
(𝑏 + 𝑐) ∗ 𝑎 = (𝑏 ∗ 𝑎) + (𝑐 ∗ 𝑎) … (𝑖𝑖), en este caso, se define que ∀𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 ∈ 𝐸 es:
𝑧1 ∗ (𝑧2 + 𝑧3) = (𝑧1 ∗ 𝑧2) + (𝑧1 ∗ 𝑧3) … (𝑖)
∧
(𝑧1 + 𝑧2) ∗ 𝑧3 = (𝑧1 ∗ 𝑧3) + (𝑧2 ∗ 𝑧3) … (𝑖𝑖)
Las condiciones … (𝑖) y … (𝑖𝑖) se consideran ciertas en 𝐸, a razón de que 𝐸 es un subconjunto
de ℂ, esto implica, el cumplimiento para esta propiedad.
vii) Conmutatividad en la Multiplicación: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎, en este caso, se define
que ∀𝑧1, 𝑧2 ∈ 𝐸, 𝑧1 ∗ 𝑧2 = 𝑧2 ∗ 𝑧1, donde 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ 𝐸, 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖 ∈ 𝐸, por lo tanto
se verifica esta propiedad, mediante la definición de operación binaria en ∗:
(𝑋𝐼𝐼) … 𝑧1 ∗ 𝑧2 = 𝑧2 ∗ 𝑧1 … (𝑋𝐼𝐼𝐼)
(𝑋𝐼𝐼) … (𝑎 + 𝑏𝑖) ∗ (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑐 + 𝑑𝑖) ∗ (𝑎 + 𝑏𝑖) … (𝑋𝐼𝐼𝐼)
(𝑋𝐼𝐼) … (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖 = (𝑐𝑎 − 𝑑𝑏) + (𝑐𝑏 + 𝑑𝑎)𝑖 … (𝑋𝐼𝐼𝐼)
(𝑋𝐼𝐼) … (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖 … (𝑋𝐼𝐼𝐼)
Como 𝑧1 ∗ 𝑧2 ∈ 𝐸 y 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 ∈ ℚ, 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 ∈ ℚ, entonces se compara las igualdades
(𝑋𝐼𝐼) … y … (𝑋𝐼𝐼𝐼), por lo tanto, decimos que si cumple esta propiedad.
viii) Existencia de Idéntico en la Multiplicación:
∀𝑎 ∈ 𝐴, ∃1 ∈ 𝐴 | , 1 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 1 = 1 , para este caso, se define, como:
∀𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ 𝐸, ∃𝑢 = 𝑢1 + 𝑢2 𝑖 ∈ 𝐸 | , 𝑢 ∗ 𝑧1 = 𝑧1
Después, se sustituye los valores en la igualdad, para encontrar los respectivos valores de 𝑢:
18. 18
𝑢 ∗ 𝑧1 = 𝑧1 → (𝑢1 + 𝑢2 𝑖) ∗ (𝑎 + 𝑏𝑖) = 𝑎 + 𝑏𝑖 → (𝑢1 + 𝑢2 𝑖) =
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑎 + 𝑏𝑖
→ (𝑢1 + 𝑢2 𝑖) = 1 + 0𝑖 →
𝑢1 = 1
𝑢2 = 0
Esto implica que 𝑢 = 𝑢1 + 𝑢2 𝑖 = 1 + 0𝑖, por lo tanto, esta propiedad cumple con su
igualdad.
Finalmente, se verifica la Propiedad característica de ix) Existencia de Inversos o
Simétricos en la Multiplicación: ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑎 ≠ 0, ∃𝑎−1
∈ 𝐴 | , 𝑎−1
∗ 𝑎 = 1 , para este
caso, se define, como:
∀𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ 𝐸, ∃𝑧−1
= 𝑧̂ = 𝑎̂ + 𝑏̂ 𝑖 ∈ 𝐸 | , 𝑧̂ ∗ 𝑧1 = 𝑢
Después, se sustituye los valores en la igualdad, para encontrar los respectivos valores de 𝑧̂:
𝑧̂ ∗ 𝑧1 = 𝑢 → (𝑎̂ + 𝑏̂ 𝑖) ∗ (𝑎 + 𝑏𝑖) = 1 + 0𝑖 → (𝑎̂ + 𝑏̂ 𝑖) =
1
𝑎 + 𝑏𝑖
→ (𝑎̂ + 𝑏̂ 𝑖) =
1
𝑎 + 𝑏𝑖
(
𝑎 − 𝑏𝑖
𝑎 − 𝑏𝑖
) → (𝑎̂ + 𝑏̂ 𝑖) =
𝑎 − 𝑏𝑖
𝑎2 + 𝑎𝑏𝑖 − 𝑎𝑏𝑖 − 𝑏2 𝑖2
→ (𝑎̂ + 𝑏̂ 𝑖) =
𝑎 − 𝑏𝑖
𝑎2 − 𝑏2 𝑖2
→ (𝑎̂ + 𝑏̂ 𝑖) =
𝑎 − 𝑏𝑖
𝑎2 − 𝑏2(−1)
→ (𝑎̂ + 𝑏̂ 𝑖) =
𝑎 − 𝑏𝑖
𝑎2 + 𝑏2
(𝑎̂ + 𝑏̂ 𝑖) =
𝑎
𝑎2 + 𝑏2
−
𝑏
𝑎2 + 𝑏2
𝑖 →
𝑎̂ =
𝑎
𝑎2 + 𝑏2
𝑏̂ = −
𝑏
𝑎2 + 𝑏2
Esto implica que 𝑧̂ = 𝑎̂ + 𝑏̂ 𝑖 =
𝑎
𝑎2+𝑏2
−
𝑏
𝑎2+𝑏2
𝑖, por lo tanto, esta propiedad cumple con su
igualdad.
Se concluye, que las ocho Propiedades Elementales de la Definición Anillo Unitario y su
propiedad característica, si cumplen, por lo tanto, el sistema (𝐸, +, ∗) tiene Estructura de
Anillo con Campo o Cuerpo.
19. 19
3. Conclusiones.
Los conceptos principales y secundarios de esta temática, fue:
a) Explicar el Concepto de Operación Binaria.
b) Demostrar las Propiedades de Operación Binaria.
c) Definir el Sistema, para la Estructura de Grupo o de Anillo.
d) Identificar la Estructura Algebraica, que tiene su Sistema, mediante el
Análisis de sus Propiedades, para dos Operaciones Binarias en el Conjunto
Dado.
20. 20
4. Referencias Bibliográficas.
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