El documento presenta una serie de ecuaciones de primer grado y sus soluciones. También incluye problemas resueltos utilizando métodos algebraicos sobre números, edades, vehículos y porcentajes. Finalmente, presenta ejemplos resueltos de problemas sobre mezclas y aleaciones.
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con la proporcionalidad directa e inversa. Incluye ejemplos de cálculos para determinar valores dados proporciones directas o inversas, así como repartos de cantidades según estas proporciones. También contiene algunos problemas adicionales sobre porcentajes y variación de precios.
Este documento presenta una programación de aula para el curso de Matemáticas 1o de Bachillerato sobre los temas de números reales, exponenciales, logarítmica y ecuaciones de valor absoluto. Incluye ejercicios y problemas resueltos sobre estas materias, así como sobre crecimiento exponencial y problemas financieros relacionados con intereses compuestos.
Este documento presenta 11 preguntas sobre técnicas de conteo y probabilidad. Algunas preguntas involucran contar el número de formas posibles de construir números, seleccionar equipos o conformar comités dados diferentes conjuntos de opciones. Otras preguntas cubren conceptos como la regla de la suma, el principio aditivo, la regla del producto y el factorial para calcular las posibilidades cuando una tarea puede realizarse en varios pasos o tiene múltiples alternativas.
El documento presenta una serie de ecuaciones y problemas matemáticos con sus respectivas soluciones. Se explican conceptos como el triple, cuádruple y otros de un número, sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, raíces cuadradas y más operaciones. Finalmente, se incluyen 19 problemas resueltos como práctica adicional de razonamiento matemático.
Este documento presenta diversos conceptos y técnicas de probabilidad y conteo, incluyendo árboles de probabilidad, principios multiplicativo y aditivo, factoriales, permutaciones y combinaciones. Explica cómo aplicar estas técnicas para enumerar eventos y resolver problemas que involucren la selección y ordenamiento de objetos.
Este documento trata sobre técnicas de conteo en estadística y probabilidad. Explica principios como el multiplicativo, aditivo y factoriales, así como permutaciones, combinaciones y el binomio de Newton para resolver problemas de conteo.
Este documento presenta el solucionario del primer módulo de resolución de problemas, el cual forma parte de un concurso de mejoramiento de capacidades matemáticas para docentes. Se espera que el solucionario les sea útil a los docentes no solo para continuar participando en el concurso, sino también para mejorar las habilidades lógico-matemáticas y los aprendizajes de los estudiantes.
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con la proporcionalidad directa e inversa. Incluye ejemplos de cálculos para determinar valores dados proporciones directas o inversas, así como repartos de cantidades según estas proporciones. También contiene algunos problemas adicionales sobre porcentajes y variación de precios.
Este documento presenta una programación de aula para el curso de Matemáticas 1o de Bachillerato sobre los temas de números reales, exponenciales, logarítmica y ecuaciones de valor absoluto. Incluye ejercicios y problemas resueltos sobre estas materias, así como sobre crecimiento exponencial y problemas financieros relacionados con intereses compuestos.
Este documento presenta 11 preguntas sobre técnicas de conteo y probabilidad. Algunas preguntas involucran contar el número de formas posibles de construir números, seleccionar equipos o conformar comités dados diferentes conjuntos de opciones. Otras preguntas cubren conceptos como la regla de la suma, el principio aditivo, la regla del producto y el factorial para calcular las posibilidades cuando una tarea puede realizarse en varios pasos o tiene múltiples alternativas.
El documento presenta una serie de ecuaciones y problemas matemáticos con sus respectivas soluciones. Se explican conceptos como el triple, cuádruple y otros de un número, sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, raíces cuadradas y más operaciones. Finalmente, se incluyen 19 problemas resueltos como práctica adicional de razonamiento matemático.
Este documento presenta diversos conceptos y técnicas de probabilidad y conteo, incluyendo árboles de probabilidad, principios multiplicativo y aditivo, factoriales, permutaciones y combinaciones. Explica cómo aplicar estas técnicas para enumerar eventos y resolver problemas que involucren la selección y ordenamiento de objetos.
Este documento trata sobre técnicas de conteo en estadística y probabilidad. Explica principios como el multiplicativo, aditivo y factoriales, así como permutaciones, combinaciones y el binomio de Newton para resolver problemas de conteo.
Este documento presenta el solucionario del primer módulo de resolución de problemas, el cual forma parte de un concurso de mejoramiento de capacidades matemáticas para docentes. Se espera que el solucionario les sea útil a los docentes no solo para continuar participando en el concurso, sino también para mejorar las habilidades lógico-matemáticas y los aprendizajes de los estudiantes.
Ejercicios resueltos de proporcionalidad-y-porcentajesJUANCA650
Este documento presenta ejercicios sobre proporcionalidad directa e inversa y porcentajes. Incluye problemas que involucran calcular cantidades proporcionales, tasas de cambio, aumentos y disminuciones porcentuales, y determinar porcentajes. Los ejercicios cubren temas como triángulos proporcionales, repartos directa e inversamente proporcionales, y cálculos que implican tasas, porcentajes y cambios de valor.
Este documento contiene 25 trabajos prácticos sobre números racionales, ángulos, conjuntos, probabilidades, estadística, triángulos, potencias, raíces y cuadriláteros. Los trabajos incluyen ejercicios para resolver mentalmente, calcular porcentajes, comparar fracciones, convertir entre fracciones y decimales periódicos, y resolver problemas matemáticos extraídos de textos históricos. El documento proporciona las respuestas a los ejercicios al final.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre divisibilidad y números primos. Incluye problemas para determinar si un número es múltiplo o divisor de otro, hallar múltiplos y divisores de números, descomponer números en factores primos, y calcular el máximo común divisor y mínimo común múltiplo de parejas y ternas de números.
Este documento contiene información sobre conceptos estadísticos como la combinatoria, las permutaciones, los factoriales y el principio multiplicativo. Explica fórmulas como n! para calcular permutaciones y combinaciones, y cómo usar la regla del producto para calcular el número total de posibilidades cuando hay múltiples opciones. También presenta ejemplos numéricos para ilustrar estas ideas estadísticas fundamentales.
Este documento presenta información sobre diagramas de Venn y probabilidad. Explica cómo construir diagramas de Venn dados datos sobre conjuntos y cómo calcular probabilidades utilizando estos diagramas. Incluye ejemplos detallados de cómo representar situaciones usando diagramas de Venn y calcular probabilidades. El objetivo es enseñar a los estudiantes cómo modelar datos sobre conjuntos y eventos usando diagramas de Venn y cómo utilizarlos para determinar probabilidades.
Probabilidad y estadistica...
Unidad 1 Tecnicas de conteo
Subtemas
*Principio aditivo
*Principio multiplicativo
*Notacion factorial
*Permutaciones
*Combinaciones
*Diagrama de arbol
*Teorema del Binomio
Comenta si te fue de mucha ayuda...
El documento habla sobre 10 jóvenes que decidieron celebrar su graduación en un restaurante. Se enfrascaron en una discusión sobre el orden en que se sentarían. El camarero les propuso sentarse en cualquier orden y probar todas las combinaciones posibles de asientos durante días consecutivos, ofreciéndoles comidas gratis cuando volvieran a usar el mismo orden. Sin embargo, el número total de combinaciones es de 3'628,800, lo que equivaldría a casi 10,000 años de intentos diarios.
Este documento presenta una guía de trabajo sobre razón, proporción y porcentaje para estudiantes de preuniversitario. Incluye definiciones de razón, proporción directa e inversa, y porcentaje. Luego presenta ejercicios para practicar estos conceptos, incluyendo calcular valores dados proporciones, identificar tipos de proporción, resolver problemas de proporcionalidad y calcular porcentajes. El objetivo es ayudar a los estudiantes a aplicar estos conceptos matemáticos a problemas y ejercicios.
Este documento presenta una prueba de diagnóstico para estudiantes de 1o medio, dividida en 3 ejes temáticos: números y proporcionalidad, álgebra y funciones y geometría. Consta de 21 preguntas, 18 de selección múltiple y 3 abiertas. Se instruye a los estudiantes a responder solo con lápiz en la hoja de respuestas en un tiempo de 90 minutos.
1) Este documento presenta diferentes métodos para resolver problemas de razonamiento matemático, incluyendo el método del cangrejo, el método del rombo, el método del rectángulo y la regla de la con junta.
2) El método del cangrejo involucra resolver el problema trabajando hacia atrás desde el resultado final hasta el principio realizando las operaciones inversas.
3) Se proveen ejemplos y ejercicios para aplicar cada método.
El documento describe diferentes técnicas de conteo como diagramas de árbol, permutaciones, combinaciones y el principio fundamental de conteo. Explica cómo usar estas técnicas para enumerar todas las posibilidades lógicas de una secuencia de eventos o objetos, resolviendo varios ejemplos numéricos como encontrar el número de formas de resolver un examen o integrar una mesa directiva.
Este documento contiene una serie de ejercicios y problemas de matemáticas relacionados con proporciones y razones. Incluye 30 problemas resueltos de razonamientos geométricos, cálculo de medias proporcionales, distribución de partes, y relaciones entre números. También presenta 20 problemas adicionales para practicar conceptos de razonamientos y proporciones.
El documento explica los pasos para plantear ecuaciones matemáticas para resolver problemas. Primero se lee el enunciado del problema, se separan los datos, se fija una variable para la incógnita, se establece un plan de solución y se resuelve la ecuación. Luego presenta ejemplos de cómo traducir expresiones matemáticas a lenguaje algebraico usando variables. Finalmente, proporciona ejemplos resueltos de problemas que involucran plantear y resolver ecuaciones.
Problemas resueltos para sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas. Ejercicios que implican la utilización de algunos procedimientos para la solución a sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento presenta conceptos básicos de conteo y probabilidad como permutaciones, combinaciones y espacios muestrales. Explica que las permutaciones permiten o no repetición de elementos y cómo calcular las posibilidades en cada caso. También define las combinaciones con y sin repetición y ofrece ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos. Finalmente, recomienda revisar el material nuevamente y completar ejercicios de práctica para comprender mejor cómo aplicar las fórmulas.
El documento presenta los principios de multiplicación y adición para el análisis combinatorio. Explica que el principio de multiplicación establece que si un suceso A puede ocurrir de p maneras y un suceso B de q maneras, ambos sucesos pueden ocurrir juntos de p*q maneras. El principio de adición establece que si A puede ocurrir de p maneras y B de q maneras, entonces A u B pueden ocurrir de p+q maneras, siempre que no puedan ocurrir juntos. Además, explica conceptos como vari
La madre de Isidro tuvo 10 descendientes: 6 hijas y 4 hijos. La compañía actualmente tiene 8 ciudades interconectadas y añadirá 4 más. Al permutar las cifras extremas de un número de tres cifras, se produce un incremento de 198 unidades.
Este documento presenta la resolución de varios problemas de matemáticas. El primer problema involucra calcular el área de un cuadrilátero formado dentro de un triángulo equilátero. El segundo problema trata de determinar la cantidad de problemas difíciles menos fáciles resueltos por tres personas. El tercer problema pide calcular la cantidad de alumnos que faltaron a la escuela un día dado.
Este documento explica diferentes métodos de conteo como combinaciones, permutaciones y principios multiplicativos y aditivos. Incluye ejemplos de cómo aplicar estos métodos para calcular el número de posibilidades en diferentes experimentos que involucran la selección y ordenamiento de elementos. También define conceptos como pruebas ordenadas y diagramas de árbol, y provee ejemplos para ilustrarlos.
Ejercicios resueltos de proporcionalidad-y-porcentajesJUANCA650
Este documento presenta ejercicios sobre proporcionalidad directa e inversa y porcentajes. Incluye problemas que involucran calcular cantidades proporcionales, tasas de cambio, aumentos y disminuciones porcentuales, y determinar porcentajes. Los ejercicios cubren temas como triángulos proporcionales, repartos directa e inversamente proporcionales, y cálculos que implican tasas, porcentajes y cambios de valor.
Este documento contiene 25 trabajos prácticos sobre números racionales, ángulos, conjuntos, probabilidades, estadística, triángulos, potencias, raíces y cuadriláteros. Los trabajos incluyen ejercicios para resolver mentalmente, calcular porcentajes, comparar fracciones, convertir entre fracciones y decimales periódicos, y resolver problemas matemáticos extraídos de textos históricos. El documento proporciona las respuestas a los ejercicios al final.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre divisibilidad y números primos. Incluye problemas para determinar si un número es múltiplo o divisor de otro, hallar múltiplos y divisores de números, descomponer números en factores primos, y calcular el máximo común divisor y mínimo común múltiplo de parejas y ternas de números.
Este documento contiene información sobre conceptos estadísticos como la combinatoria, las permutaciones, los factoriales y el principio multiplicativo. Explica fórmulas como n! para calcular permutaciones y combinaciones, y cómo usar la regla del producto para calcular el número total de posibilidades cuando hay múltiples opciones. También presenta ejemplos numéricos para ilustrar estas ideas estadísticas fundamentales.
Este documento presenta información sobre diagramas de Venn y probabilidad. Explica cómo construir diagramas de Venn dados datos sobre conjuntos y cómo calcular probabilidades utilizando estos diagramas. Incluye ejemplos detallados de cómo representar situaciones usando diagramas de Venn y calcular probabilidades. El objetivo es enseñar a los estudiantes cómo modelar datos sobre conjuntos y eventos usando diagramas de Venn y cómo utilizarlos para determinar probabilidades.
Probabilidad y estadistica...
Unidad 1 Tecnicas de conteo
Subtemas
*Principio aditivo
*Principio multiplicativo
*Notacion factorial
*Permutaciones
*Combinaciones
*Diagrama de arbol
*Teorema del Binomio
Comenta si te fue de mucha ayuda...
El documento habla sobre 10 jóvenes que decidieron celebrar su graduación en un restaurante. Se enfrascaron en una discusión sobre el orden en que se sentarían. El camarero les propuso sentarse en cualquier orden y probar todas las combinaciones posibles de asientos durante días consecutivos, ofreciéndoles comidas gratis cuando volvieran a usar el mismo orden. Sin embargo, el número total de combinaciones es de 3'628,800, lo que equivaldría a casi 10,000 años de intentos diarios.
Este documento presenta una guía de trabajo sobre razón, proporción y porcentaje para estudiantes de preuniversitario. Incluye definiciones de razón, proporción directa e inversa, y porcentaje. Luego presenta ejercicios para practicar estos conceptos, incluyendo calcular valores dados proporciones, identificar tipos de proporción, resolver problemas de proporcionalidad y calcular porcentajes. El objetivo es ayudar a los estudiantes a aplicar estos conceptos matemáticos a problemas y ejercicios.
Este documento presenta una prueba de diagnóstico para estudiantes de 1o medio, dividida en 3 ejes temáticos: números y proporcionalidad, álgebra y funciones y geometría. Consta de 21 preguntas, 18 de selección múltiple y 3 abiertas. Se instruye a los estudiantes a responder solo con lápiz en la hoja de respuestas en un tiempo de 90 minutos.
1) Este documento presenta diferentes métodos para resolver problemas de razonamiento matemático, incluyendo el método del cangrejo, el método del rombo, el método del rectángulo y la regla de la con junta.
2) El método del cangrejo involucra resolver el problema trabajando hacia atrás desde el resultado final hasta el principio realizando las operaciones inversas.
3) Se proveen ejemplos y ejercicios para aplicar cada método.
El documento describe diferentes técnicas de conteo como diagramas de árbol, permutaciones, combinaciones y el principio fundamental de conteo. Explica cómo usar estas técnicas para enumerar todas las posibilidades lógicas de una secuencia de eventos o objetos, resolviendo varios ejemplos numéricos como encontrar el número de formas de resolver un examen o integrar una mesa directiva.
Este documento contiene una serie de ejercicios y problemas de matemáticas relacionados con proporciones y razones. Incluye 30 problemas resueltos de razonamientos geométricos, cálculo de medias proporcionales, distribución de partes, y relaciones entre números. También presenta 20 problemas adicionales para practicar conceptos de razonamientos y proporciones.
El documento explica los pasos para plantear ecuaciones matemáticas para resolver problemas. Primero se lee el enunciado del problema, se separan los datos, se fija una variable para la incógnita, se establece un plan de solución y se resuelve la ecuación. Luego presenta ejemplos de cómo traducir expresiones matemáticas a lenguaje algebraico usando variables. Finalmente, proporciona ejemplos resueltos de problemas que involucran plantear y resolver ecuaciones.
Problemas resueltos para sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas. Ejercicios que implican la utilización de algunos procedimientos para la solución a sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento presenta conceptos básicos de conteo y probabilidad como permutaciones, combinaciones y espacios muestrales. Explica que las permutaciones permiten o no repetición de elementos y cómo calcular las posibilidades en cada caso. También define las combinaciones con y sin repetición y ofrece ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos. Finalmente, recomienda revisar el material nuevamente y completar ejercicios de práctica para comprender mejor cómo aplicar las fórmulas.
El documento presenta los principios de multiplicación y adición para el análisis combinatorio. Explica que el principio de multiplicación establece que si un suceso A puede ocurrir de p maneras y un suceso B de q maneras, ambos sucesos pueden ocurrir juntos de p*q maneras. El principio de adición establece que si A puede ocurrir de p maneras y B de q maneras, entonces A u B pueden ocurrir de p+q maneras, siempre que no puedan ocurrir juntos. Además, explica conceptos como vari
La madre de Isidro tuvo 10 descendientes: 6 hijas y 4 hijos. La compañía actualmente tiene 8 ciudades interconectadas y añadirá 4 más. Al permutar las cifras extremas de un número de tres cifras, se produce un incremento de 198 unidades.
Este documento presenta la resolución de varios problemas de matemáticas. El primer problema involucra calcular el área de un cuadrilátero formado dentro de un triángulo equilátero. El segundo problema trata de determinar la cantidad de problemas difíciles menos fáciles resueltos por tres personas. El tercer problema pide calcular la cantidad de alumnos que faltaron a la escuela un día dado.
Este documento explica diferentes métodos de conteo como combinaciones, permutaciones y principios multiplicativos y aditivos. Incluye ejemplos de cómo aplicar estos métodos para calcular el número de posibilidades en diferentes experimentos que involucran la selección y ordenamiento de elementos. También define conceptos como pruebas ordenadas y diagramas de árbol, y provee ejemplos para ilustrarlos.
Este documento resume as políticas de patrocínio de 10 empresas brasileiras. As políticas variam de acordo com os focos de investimento de cada empresa, que incluem projetos educacionais, culturais, esportivos, ambientais e de saúde. Algumas empresas também possuem restrições como patrocínios religiosos ou políticos.
La bandera italiana se originó en 1797 cuando los representantes de Reggio Emilia propusieron adoptar la bandera tricolor francesa para representar al nuevo Estado libre creado bajo dominio napoleónico. Aunque inicialmente no se unió a Milán, se estableció una bandera común. La moneda italiana, el euro, tiene diseños únicos en cada lado dedicados a obras de arte y artistas italianos. La comida italiana es variada y refleja las diferentes regiones, incluyendo platos famosos como pizza, pasta y café, así como verdur
El documento resume los resultados de varios partidos de fútbol entre equipos como Itaguaçu, Afonso Cláudio y ADGU. Itaguaçu ganó el campeonato y Afonso Cláudio fue subcampeón. Sebastião Neto de ABC fue el máximo goleador con 9 goles. Rafael Chiabai de Itaguaçu fue el mejor arquero con un promedio de 1 gol recibido. Itaguaçu terminó en primer lugar en la tabla general con 60 puntos.
Sesión 5: Tendencias del marketing digitalOmar Vite
El documento describe cómo Internet ha facilitado nuevas formas de interacción social a través de cuatro cambios: 1) Enormidad de las redes sociales, 2) Comunalidad al compartir información, 3) Especificidad de los vínculos que se pueden formar, y 4) Virtualidad al asumir identidades virtuales. Además, explica que el objetivo del curso es que los participantes aprendan conceptos básicos de marketing digital y reconozcan herramientas para establecer objetivos de campañas considerando el comportamiento del segmento meta.
O plano anual de atividades da biblioteca escolar inclui (1) apoio ao desenvolvimento curricular através de projetos colaborativos com professores, (2) promoção da literacia e leitura com projetos como "Ler em Família" e atividades durante a Semana da Leitura, e (3) parcerias com a comunidade incluindo receções aos pais e eventos culturais abertos ao público.
Este documento descreve como a Johnson & Johnson aplicou técnicas de liderança e motivação para melhorar o desempenho da empresa, contando com o envolvimento dos funcionários nas mudanças implementadas e valorizando suas opiniões. O presidente da Johnson & Johnson no Brasil promoveu a abertura na comunicação e tomada de decisões de forma conjunta, alinhando os objetivos individuais dos funcionários aos da empresa. Essas mudanças levaram a melhorias nos resultados e no comprometimento dos funcionários com a organização.
Potenciar la sensibilización medioambiental, promocionar la labor y los objetivos de esta asocición en la gestión del Punto Limpio ubicado en Vejer de la Frontera acercando a los ciudadanos de la Comarca de la Janda todos los servicios necesarios para un correcto reciclaje de residuos.
Cuyos objetivos son los siguientes:
Establecer una correcta gestión de los residuos incidiendo no solo en su separación y reducción, sino asegurando dar el destino correcto a cada uno de ellos.
Fomentar e incentivar cambios de hábitos y aptitudes en todos los habitantes, a fin de alcanzar su implicación activa, para lograr una mayor responsabilidad ambiental.
Proporcionar formación e información de carácter medioambiental a todos los colectivos.
O documento descreve o perfil do empreendedor, discutindo mitos comuns sobre empreendedorismo. Ele lista características-chave de empreendedores, como autoconfiança, criatividade, perseverança e disposição para assumir riscos. O documento conclui que embora algumas pessoas possam nascer com espírito empreendedor, empreendedores também podem ser formados através de experiências.
La misión en San Lucas, Madriz en 2009 fue una experiencia que fortaleció la fe de la gente a través del mensaje del Evangelio y el ejemplo de San Antonio María Claret. Los misioneros recibieron una cálida bienvenida y compartieron sobre la fe y el reino de Dios, mientras la gente les mostraba su caridad y servicio hacia los demás. La misión es seguir el ejemplo de Jesús al caminar con los marginados y excluidos.
Este documento trata sobre ecuaciones de primer grado con una incógnita. Explica conceptos básicos como qué es una ecuación, su grado y cómo resolverlas. Presenta las propiedades que permiten obtener ecuaciones equivalentes y realizar operaciones para despejar la incógnita. Incluye ejemplos resueltos de ecuaciones y problemas, con el procedimiento paso a paso.
Este documento trata sobre ecuaciones de primer grado con una incógnita. Explica conceptos básicos como qué es una ecuación, su grado y cómo resolverlas. Presenta las propiedades que permiten obtener ecuaciones equivalentes y realizar operaciones para despejar la incógnita. Incluye ejemplos resueltos de ecuaciones y problemas, con el procedimiento a seguir.
Este documento trata sobre ecuaciones de primer grado con una incógnita. Explica conceptos básicos como qué es una ecuación, su grado y cómo resolverlas. Presenta las propiedades que permiten obtener ecuaciones equivalentes y realizar operaciones para despejar la incógnita. Incluye ejemplos resueltos de ecuaciones y problemas, con el procedimiento paso a paso.
Este documento trata sobre ecuaciones de primer grado con una incógnita. Explica conceptos básicos como qué es una ecuación, su grado y cómo resolverlas. Presenta las propiedades que permiten obtener ecuaciones equivalentes y realizar operaciones para despejar la incógnita. Incluye ejemplos resueltos de ecuaciones y problemas, con el procedimiento paso a paso.
Este documento contiene una serie de ejercicios de matemáticas para repaso de 3o de Educación Secundaria Obligatoria. Incluye problemas sobre operaciones básicas, potencias, fracciones, expresiones algebraicas, ecuaciones de primer y segundo grado, sistemas de ecuaciones y problemas de aplicación. El documento proporciona los ejercicios pero no incluye las soluciones.
Este documento presenta una serie de ejercicios de matemáticas para primero de bachillerato que incluyen resolver ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones, ecuaciones irracionales y bicuadradas, y problemas resueltos mediante el planteamiento de ecuaciones. También incluye las soluciones detalladas a cada uno de los ejercicios planteados.
Este documento presenta un cuaderno de trabajo para estudiantes del octavo semestre de matemáticas. Incluye agradecimientos, contenido con temas como números decimales, regla de tres, producto cartesiano, gráficos de relaciones, dominio y rango de funciones, y ejercicios de geometría y álgebra. El objetivo es facilitar el aprendizaje de los estudiantes dentro y fuera del aula de manera sencilla y práctica.
Este documento presenta una guía de discusión para el estudio de álgebra vectorial y matrices. Incluye ejercicios sobre determinantes, matrices inversas, y sistemas de ecuaciones lineales, con instrucciones para resolverlos usando métodos como Gauss-Jordan, cofactores y Cramer. También incluye problemas de aplicación para plantear sistemas de ecuaciones.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones, incluyendo definiciones de igualdad, identidad, ecuación y sus elementos. Explica tipos de ecuaciones según su grado y clasificaciones como polinómicas, racionales e irracionales. Finalmente, describe métodos para resolver ecuaciones de primer grado y presenta ejemplos de problemas relacionados con relojes y móviles.
Problemas resueltos de dos ecuaciones con dos incognitascesar canal mora
Este documento presenta 8 ejemplos de problemas resueltos de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Los problemas cubren temas como costos de artículos, fracciones, y cantidad de billetes. Cada problema define un sistema de ecuaciones y proporciona los pasos para resolverlo y encontrar los valores de las incógnitas.
Problemas resueltos de dos ecuaciones con dos incognitascesar canal mora
Este documento presenta 8 ejemplos de problemas resueltos de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. En cada ejemplo, se describe brevemente el problema, se establecen las ecuaciones correspondientes a las incógnitas involucradas y se resuelve el sistema para encontrar los valores de dichas incógnitas.
Este documento presenta una evaluación de matemáticas sobre funciones que incluye 11 preguntas. La evaluación contiene preguntas sobre conceptos como variable dependiente, variable independiente, dominio y recorrido de funciones. También incluye ejercicios prácticos como determinar imágenes, preimágenes y valores de funciones dadas expresiones algebraicas o tablas de valores.
Este documento presenta ejemplos de problemas tipo ENLACE para preparar la prueba ENLACE 2014. Incluye problemas de números y sistemas de numeración, habilidades matemáticas como suma, resta, multiplicación y división de fracciones, patrones y ecuaciones. Explica cómo resolver cada problema paso a paso y ofrece la sugerencia de solución.
Este documento presenta ejemplos de problemas tipo ENLACE para preparar la prueba ENLACE 2014. Incluye problemas de números y sistemas de numeración, habilidades matemáticas como suma, resta, multiplicación y división de fracciones, patrones y ecuaciones. Explica cómo resolver cada problema paso a paso y ofrece la sugerencia de solución.
1. El documento presenta los contenidos mínimos de matemáticas para el primer curso de la educación secundaria obligatoria (ESO) en España. Incluye operaciones con números enteros, fraccionarios y decimales, álgebra, proporcionalidad, geometría y estadística.
2. Se dividen los contenidos en nueve bloques temáticos con ejercicios de ejemplo para cada uno. Los bloques cubren operaciones numéricas, álgebra, proporcionalidad, geometría plana, cambios de unidades y gráficas.
1. El documento presenta una serie de ejercicios de matemáticas para alumnos de 3o de ESO. Incluye ejercicios sobre números decimales, fracciones, porcentajes, progresiones aritméticas y geométricas, ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
2. Los ejercicios abarcan temas como ordenar números, operar con fracciones y decimales, calcular porcentajes, determinar términos y sumas de sucesiones, resolver ecuaciones de primer y segundo grado, y representar funciones.
3. El document
1) El documento presenta una serie de ejercicios matemáticos sobre álgebra, geometría y estadística.
2) Los ejercicios incluyen operaciones con números reales, fracciones, polinomios, sistemas de ecuaciones y cálculo de áreas y volúmenes de figuras geométricas.
3) También se piden resolver problemas estadísticos como calcular medidas de tendencia central, dispersión y coeficiente de variación para un conjunto de datos.
Este documento presenta estrategias para resolver problemas matemáticos de la vida diaria que conducen a ecuaciones de primer grado con una incógnita. Explica los pasos para traducir un problema verbal a una representación simbólica, formar una ecuación y resolverla para encontrar la solución. Incluye ejemplos numéricos y geométricos resueltos paso a paso como modelo para la práctica.
Este documento presenta estrategias para resolver problemas matemáticos de la vida diaria que conducen a ecuaciones de primer grado con una incógnita. Explica el proceso de 10 pasos para resolver problemas, incluyendo leer el problema, identificar datos conocidos y desconocidos, formular una ecuación y verificar la solución. Luego resuelve varios ejemplos numéricos y geométricos para ilustrar el proceso.
Este documento describe las razones y proporciones. Define una razón como una comparación por cuociente entre dos cantidades. Una proporción es la igualdad entre dos razones. Explica cómo calcular el término desconocido de una proporción usando las propiedades de las proporciones. También presenta ejemplos de problemas sobre proporciones directas, inversas y compuestas.
A empresa de tecnologia anunciou um novo smartphone com câmera avançada, bateria de longa duração e processador rápido para competir no mercado. O aparelho custará menos do que os principais concorrentes e estará disponível em versões de 64GB, 128GB e 256GB de armazenamento. A expectativa é que o lançamento ajude a empresa a aumentar sua participação no mercado global de smartphones.
En la ciudad de Pasto, estamos revolucionando el acceso a microcréditos y la formalización de microempresarios informales con nuestra aplicación CrediAvanza. Nuestro objetivo es empoderar a los emprendedores locales proporcionándoles una plataforma integral que facilite el acceso a servicios financieros y asesoría profesional.
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Innovación y transparencia se unen en un nuevo modelo de negocio para transformar la economia popular agraria en una agroindustria. Facilitamos el acceso a recursos crediticios, mejoramos la calidad de los productos y cultivamos un futuro agrícola eficiente y sostenible con tecnología inteligente.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
2. Ecuaciones de primer grado
- =-
a) 5x 6 3x
- =
b) 14 3x 4x
- - =-
c) 16 6x 2x
+ = -
d) 5x 12 2x 21
- = -
e) 7 3x 6x 20
( - ) = ( -
)
f ) 3 x 6 2 x 4
+ + = -
g) x 2 (3x 1) 3(x 2)
- - = - -
h) 4 2(x 1) 3(2 x) 10
- - = +
i) 12 (x 4) 6 x
- - = -
j) 5 (2x 3) 4 (x 1)
k) 3 5x 1
2
2x 1
x
ö çè
(3x 7) 10 0
3
l)
3
ö 5
çè
2
2
- - =
÷ø
æ + = - ÷ø
æ -
+ - = +
m) 3(x 1) 5 2x 1
=
-
+ = -
- = -
- + - =
+ - + = -
- + - =
+ - - - x + 3
= -
2x 1
x 3
3x 1
x 1
10 3 3x
2
x 3
o) x
p) 3 x
q) x 3
r) x 1
s) x 2
t) x 1
u) 2x 3
6
2
5
6
8
4
8
4
1
4
6
4
6
2
x 3
5
5 2x 14
3
1
5
n)
- = - -
Soluciones
a) x = 3 b) x = 2 c) x = -4 d) x = -11 e) x = 3 f ) x =10 g) x =-2
4
h) x =-10 i) x = 5 j) x = 2
k) x = 15
81
l) x = 22 m) x = 3 n) x = 8
3
o) x = 57 p) x =3
5
q) x = 34 r) x = 5
5
s) x = 37
5
t) x = 203
29
54
7
u) x
-
=
Geometría -pág 2-Áreas y Volúmenes
3. Llamadas de teléfono
Desde el teléfono de una casa se han hecho 17 llamadas cuyo coste y duración están recogidos en la
siguiente tabla:
Duración (minutos) Coste (€)
1 0’07
1 0’03
2 0’12
2 0’27
3 0’36
3 0’81
5 0’21
5 1’29
6 1’53
7 0’72
7 1’77
9 0’33
10 0’99
12 0’42
12 1’17
13 0’45
14 1’35
a) Sabiendo que existen tres tipos de llamadas: local, provincial e interprovincial, ¿podrías decir el
precio por minuto de cada tipo? ¿y el precio del establecimiento de llamada?
b) Haz un estudio completo (gráfica, expresión algebraica, características) de las funciones que te
han permitido conocer las respuestas.
Geometría -pág 3-Áreas y Volúmenes
4. Ecuaciones y sistemas de primer grado
Cuando un problema se resuelve utilizando sólo números se dice que se emplea el método aritmético
y cuando se resuelve utilizando ecuaciones o sistemas de ecuaciones se dice que se emplea el método
algebraico.
Método algebraico
Para resolver un problema por el método algebraico se suelen seguir los siguientes pasos:
1. Elección de la incógnita o incógnitas. En el problema se designan por x, y, z, ...., las cantidades
que se van a hallar.
2. Planteamiento. Consiste en expresar en una o varias ecuaciones las relaciones entre los datos y
las incógnitas.
3. Resolución. Consiste en resolver la ecuación o sistema de ecuaciones que resultan en el
planteamiento.
4. Comprobación y discusión. Consiste en comprobar si la solución encontrada verifica las
ecuaciones planteadas y las condiciones del problema, interpretando si tiene sentido.
Ejemplo: Eva gastó los del dinero que tenía y después de lo que le restaba. Al final le
quedaron 100 €. ¿Cuánto dinero tenía Eva?
Método aritmético
· Sea 1 la cantidad que tenía Eva.
· Gastó y le quedó:
· Después gastó: de
· Total gastado:
· De 6 partes iguales de dinero, Eva se
gastó 5 partes. Le quedó una parte
que equivale a 100 €. Luego Eva
tenía €.
Método algebraico
· Sea x la cantidad que tenía Eva.
· Gastó y le quedó:
· Después gastó:
· Total gastado:
· Le quedó a Eva:
· Como lo que le quedó son 100 €,
resulta:
€
Geometría -pág 4-Áreas y Volúmenes
5. 1. Problemas sobre Números
Ejemplo: Descomponer el número 48 en dos partes tales que dividiendo una por otra se
obtenga 3 de cociente y 4 de resto.
Si una parte es x, la otra será . De la regla de la división de entre x resulta (dividendo
igual a divisor por cociente más resto).
Por tanto, los números son 11 y 37.
Ejemplo: Dos números consecutivos son tales que la mitad del menor más el mayor excede en
13 a del menor más del mayor. Hallar los dos números.
Sean x y los dos números consecutivos. Trasladando el enunciado al lenguaje
algebraico, resulta la ecuación:
Los dos números son 10 y 11.
Ejemplo: Hallar dos números tales que si les agregamos 7 unidades los resultados están en la
relación 3 a 2, pero si les restamos cinco unidades, la razón de estas diferencias es .
Sean x e y los números pedidos.
Ejemplo: La cifra de las decenas de un número de dos cifras es el doble de la cifra de las
unidades, y si a dicho número le restamos 27 se obtiene el número que resulta al
invertir el orden de sus cifras. ¿Cuál es ese número?
En el número que buscamos llamamos:
a la cifra de las unidades a la cifra de las decenas
Recuerda que todo número de dos cifras se puede descomponer en suma:
El número de dos cifras yx se escribe:
El número de dos cifras xy se escribe:
Según el enunciado se tienen estas dos ecuaciones:
Estos valores son válidos por ser números naturales que verifican las condiciones del
enunciado.
1ª condición
2ª condición
Geometría -pág 5-Áreas y Volúmenes
6. 2. Problemas sobre Edades
Ejemplo: Luis preguntó a su primo cuántos años tenía, y Juan le contestó: “Si al triple de los
años que tendré dentro de tres años le restas el triple de los años que tenía hace tres
años, tendrás los años que tengo ahora”.
Si llamamos x a los años que tiene ahora Juan, dentro de 3 años tendrá y hace 3 años
tenía , por tanto la ecuación es:
años
Ejemplo: La edad de María es el doble que la edad de Julia. Hace 10 años la suma de las
edades de las dos era igual a la edad actual de María. ¿Cuál es la edad actual de
María? ¿Y la de Julia?
Llamemos: edad actual de María edad actual de Julia
Según el enunciado:
Los valores 40 y 20 son válidos porque son números naturales que verifican las
condiciones del problema. Por tanto María tiene 40 años y Julia 20 años.
3. Problemas sobre móviles
Ejemplo: A las 9 de la mañana sale un coche del punto A con una velocidad de 80 km/h. Dos
horas más tarde sale una moto del punto A en persecución del coche anterior con
una velocidad de 120 km/h. ¿A qué distancia del punto A le alcanza?
Cuando la moto sale a las 11 del punto A, el coche se encuentra en un punto B situado a
de A. Se puede suponer que la moto y el coche salen a las 11, uno de A y otro de B.
Sea C el punto de encuentro y t el tiempo, en horas, que tarda en alcanzar la moto al
coche a partir de las 11 horas.
ventaja que lleva el coche a la moto.
espacio recorrido por el coche desde las 11.
espacio recorrido por la moto desde las 11.
horas
Distancia km.
Ejemplo: Dos ciudades A y B distan entre sí 360 km. A las 5 de la tarde sale un coche de la
ciudad A a la ciudad B con una velocidad media de 70 km/h. A la misma hora sale
un camión de la ciudad B hacia A con una velocidad de 50 km/h. ¿A qué hora se
encuentran los coches? ¿A qué distancia de las ciudades A y B se encuentran los
vehículos?
La suma de los espacios recorridos por los dos coches es igual a 360 km.
Geometría -pág 6-Áreas y Volúmenes
7. horas
Tardan en encontrarse 3 horas, por tanto si salieron a las 5 de la tarde se encuentran a las
8 de la tarde.
La distancia a la que se encuentran los vehículos es:
Ejemplo: Un móvil A sale de cierto punto P a las 8 de la mañana en línea recta, con velocidad
de 20 km/h. Otro móvil B sale del mismo punto de hora después, también en línea
recta, por otro camino que forma con el anterior un ángulo de 60º, con velocidad de
25 km/h. ¿a qué hora estarán los dos móviles a igual distancia del punto P? ¿qué
distancia será ésta?
Sea t el tiempo que tardan en colocarse los dos móviles a igual distancia del punto P.
El móvil A habrá recorrido y el móvil B
habrá recorrido .
Del enunciado se deduce:
Los dos móviles A y B estarán a igual distancia a las 8 horas + 3 horas y 45 minutos = 11
horas y 45 minutos de la mañana.
La distancia será:
Ejemplo: Dos tractores parten juntos para recorrer 200 km. La velocidad por hora del
primero es igual a la del segundo más 10 km. De este modo, el primero tarda una
hora menos que el segundo en hacer el recorrido. Se piden las velocidades de los dos
tractores.
Si el tiempo que tarda el segundo tractor es t horas y su velocidad es v km/h, el primero
tarda horas y su velocidad es km/h. Como tenemos:
Sustituyendo en la segunda ecuación por 200 tenemos:
Ahora hay que resolver el sistema:
Geometría -pág 7-Áreas y Volúmenes
8. El segundo tractor tarda 5 horas y su velocidad es de mientras que el primer tractor
tarda 4 horas y su velocidad es de .
4. Problemas sobre porcentajes
Ejemplo: Un comerciante compra un pañuelo y una bufanda por 20 € y los vende por 22’60 €.
¿Cuánto le costó cada objeto, sabiendo que en la venta del pañuelo ganó el 10 por
100 y en la venta de la bufanda ganó el 15 por 100?
Llamemos: el coste del pañuelo el coste de la bufanda
Vendió el pañuelo por
Vendió la bufanda por
Resulta el sistema:
=
Þ
î í ì
x 8
=
þ ý ü
+ =
x y 20
+ = ¢
y 12
1'1x 1'15y 226
Los resultados son válidos porque verifican las condiciones del problema, por tanto el
pañuelo cuesta 8 € y la bufanda 12 €.
5. Problemas sobre Mezclas
Frecuentemente existen en el mercado productos de la misma clase pero de calidad y precios
diferentes. En ocasiones tiene interés mezclar dos calidades de un mismo producto con el fin de
obtener un producto de calidad intermedia y cuyo precio esté comprendido entre los precios de los
productos mezclados.
La unión de varias sustancias distintas se llama mezcla. Consideraremos como mezclas la unión de
varias clases de azúcar, la unión de distintos tipos de vino, etc. No consideraremos mezclas la unión
de azúcar y arroz, ni la unión de lápices y gomas etc.
Ejemplo: Un comerciante tiene dos clase de café, la primera de 6 € el kg y la segunda de 7’2 €
el kg. ¿Cuántos kilos hay que poner de cada clase de café para obtener 60 kg de
mezcla a 7 € el kg?
Primera clase a
6 € kg
Segunda clase a
7’2 € kg
Número de kg x
Valor del café 6x 7¢2 (60-x)
Valor total de los 60 kg
de mezcla 6 x +7¢2 (60-x)
Geometría -pág 8-Áreas y Volúmenes
9. 7
6x +7¢2 (60-x) =
60
El primer miembro representa el precio
de 1 kg de café de la mezcla, obtenido
dividiendo el valor total de la mezcla por
el número total de kg, mientras que el
segundo miembro representa el precio de
1 kg de café de la mezcla, conocido por
el enunciado.
Resolviendo la ecuación se obtiene:
Por tanto, hay que poner 10 kg de 6 € y 50 kg de 7’2 €.
Ejemplo: Por 5’6 € se han comprado 6 kg de azúcar de la clase A y 2 kg de azúcar de la clase
B. Se mezcla 1 kg de azúcar de cada clase y se obtiene una mezcla que vale 0’75 € el
kg. ¿Cuánto vale el kg de azúcar de la clase A? ¿Y el de la clase B?
Llamemos: al precio del kg de azúcar de la clase A
al precio del kg de azúcar de la clase B
Según el problema anterior obtenemos el sistema:
= ¢
Þ
î í ì
x 065€
= ¢
ü
ïþ
ïý
+ = ¢
6x 2y 56
× + × = ¢
y 085€
x 1 y 1
075
2
Es decir, el precio de 1 kg de azúcar de clase A es x = 0¢65 € y el precio de 1 kg de
azúcar de clase B es y =0¢85 €. Estos valores son válidos porque verifican las
condiciones del problema.
6. Problemas sobre Aleaciones
Se llama aleación a la mezcla de dos metales, proceso que se suele hacer fundiendo los mismos.
El metal de más valor se llama metal fino y el de menos valor se llama liga.
Se llama ley de una aleación al cociente entre el peso del metal fino y el peso total de la aleación.
Ley Peso del metal fino
Peso total
=
Ejemplo: Mezclamos 800 gr de plata con 200 gr de cobre . Calcular la ley de la aleación.
Ley 800
= = 0'8
800+ 200
Ejemplo: Se tienen dos lingotes de oro, uno de ley 0’75 y otro de ley 0’95. ¿Qué peso hay que
tomar de cada lingote para obtener 1800 gr de aleación de oro de ley 0’9?
Oro de 0’750 Oro de 0’950
Geometría -pág 9-Áreas y Volúmenes
10. Cantidad que se tiene
de cada lingote x
Cantidad de oro puro
que hay en la parte
tomada de cada lingote
0'75x 0'95 (1800-x)
La cantidad total de oro del lingote de 1800 kg es 0'9×1800
0'75x +0'95 (1800-x) =0'9×1800Þx =450 gr
Hay que tomar 450 gr de oro de ley 0’75 y 1350 gr de oro de ley 0’95.
7. Problemas sobre relojes
En los problemas sobre relojes hay que tener en cuenta el ángulo o arco descrito por la manecillas o
agujas del reloj: el arco que recorre el minutero es siempre 12 veces mayor que el arco que
describe el horario.
Ejemplo: Un reloj marca las 3 en punto. ¿A qué hora entre las 3 y las 4 se superpondrán las
manecillas?
Las manecillas se superpondrán a las 3 horas, 15 minutos y algo más. Ese algo más le
llamamos x, y es el arco que describe la aguja horaria, por lo tanto el arco que describe el
minutero será .
Como el arco que describe el minutero es 12 veces mayor que el arco que describe el
horario, resulta la siguiente ecuación:
Por tanto las manecillas se superpondrán a las 3 horas, 16 minutos y 22 segundos.
Ejemplo: Un reloj marca las dos en punto. ¿A qué hora formarán por primera vez un ángulo
recto sus agujas?
Las manecillas del reloj forman un ángulo recto a las 2 horas y 25 minutos y algo más.
Ese algo más lo llamamos x, y es el arco que describe el horario, por lo tanto el arco que
describe el minutero será . Como el camino que recorre el minutero es 12 veces el del
horario en el mismo tiempo, resulta la ecuación:
Las agujas forman ángulo recto por primera vez a las 2 horas, 27 minutos y 16 segundos.
8. Problemas sobre grifos
Ejemplo: Un grifo llena un depósito en 6 minutos y otro lo hace en 3 minutos. ¿Cuánto
tardarán en llenarlo abiertos los dos a la vez?
Geometría -pág 10-Áreas y Volúmenes
11. Como se observa en el dibujo adjunto
el primer grifo llena en un minuto 1/6
del depósito y el segundo grifo llena
en un minuto 1/3 del depósito, por
tanto entre los dos tardarán 2 minutos:
de depósito
Ejemplo: Un grifo A tarda en llenar una piscina 2 horas más que un grifo B. Los dos grifos
tardan 2 horas y 24 minutos en llenar la piscina. ¿Cuánto tiempo tardará cada grifo
en llenar la piscina?
Llamamos: a las horas que tarda el grifo B en llenar la piscina
a las horas que tarda el grifo A en llenar la piscina
En 1 hora, el grifo B llena mientras que el grifo A llena
2 horas y 24 minutos son: 2 horas + horas = horas
Como los dos grifos llenan la piscina en 2’4 horas, en una hora llenan de la piscina.
La ecuación es:
La solución válida es 4, por tanto el grifo B tarda 4 horas en llenar la piscina y el grifo A
tarda 6 horas.
9. Problemas sobre figuras geométricas
Ejemplo: ¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm y que su
base es el triple de su altura?
Llamemos:
a la base del rectángulo
a la altura del rectángulo
El sistema es:
El área del rectángulo es:
Ejemplo: La diagonal de un rectángulo mide 10 cm y su área 48 . Calcular sus dimensiones.
a la base del rectángulo
a la altura del rectángulo
Geometría -pág 11-Áreas y Volúmenes
12. 10. Otros problemas
Ejemplo: Los 65 viajeros de un avión pertenecen a 4 países. Colocados en orden decreciente el
número de viajeros que corresponde a cada país, México (M), Venezuela (V),
Argentina (A) y España (E), cada uno de ellos es 2/3 del anterior. ¿Cuántos viajeros
van de cada país?
Sea x el número de pasajeros de México.
Van de México 27 viajeros, de Venezuela 18, de Argentina 12 y de España 8.
Ejemplo: En un corral hay conejos y gallinas. En total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos
conejos y cuántas gallinas hay en el corral?
Llamemos: al número de gallinas al número de conejos
es el número de patas de las gallinas y el número de patas de los conejos, por tanto es
el número total de patas.
El sistema es:
Por tanto hay 32 gallinas y 26 conejos.
Ejemplo: Entre dos vasos A y B de igual capacidad se distribuyen en partes desiguales 10
litros de agua. El vaso A se llenaría si se vertiesen los del agua contenida en B, y
éste se llenaría si se le añadiera la mitad del agua contenida en A. Se desea saber el
agua contenida en cada vaso.
Si x es la cantidad de agua del vaso A, la de B será .
Del enunciado se deduce:
litros
En el vaso A hay 4 litros y en el B hay 6 litros.
Ejemplo: Para pagar una cuenta de 23’4 €, un extranjero entrega 9 libras esterlinas y 15
dólares, recibiendo 0’45 € de vuelta. Y para pagar otra cuenta de 25’98 €, otro
extranjero entrega 15 libras, 9 dólares y 0’15 €. ¿A qué cambio, en pesetas, se han
cotizado las libras? ¿Y los dólares?
Sea x el valor en euros de cada libra e y el valor en euros de cada dólar.
= ¢
Þ
î í ì
x 123
= ¢
þ ý ü
+ - ¢ = ¢
9x 15y 045 234
+ + ¢ = ¢
y 085
15x 9y 015 2598
Por tanto, cada libra se ha cotizado a 1’23 € y cada dólar 0’85 €.
Geometría -pág 12-Áreas y Volúmenes
13. Ejemplo: Epitafio de la tumba de Diofanto
La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de la vida de Diofanto (325-410)
notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado
de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio
matemático. Reproducimos esta inscripción:
¡Caminante!
Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto
y los números pueden mostrar, ¡oh, milagro!,
cuán larga fue su vida, cuya sexta parte fue su infancia.
Había transcurrido además una duodécima parte de su vida,
cuando de vello cubrióse su barbilla.
Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril.
Pasó un quinquenio más
y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito,
que entregó su cuerpo y su hermosa existencia a la Tierra,
que duró tan sólo la mitad que la de su padre.
Y con profunda pena descendió a la sepultura,
habiendo sobrevivido 4 años a la muerte de su hijo.
¿Cuántos años vivió Diofanto? ¿Cuántos años vivió su hijo?
Solución
años
Diofanto vivió 84 años, se casó a los 21, fue padre a los 38, perdió a su hijo a los 80,
murió a los 84 y su hijo vivió 42 años.
Geometría -pág 13-Áreas y Volúmenes
14. Sistemas de ecuaciones lineales
Resuelve analítica y gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones:
ü
ï ïþ
ïïý
y
3
+ =
y
3
- =
ü
ïþ
ïý
y
2
+ =
+ =
2x 10y 52
a)
5x 4y 10
b)
8
2
ü
+ =
ïþ
ïý
- = -
ü
+ =
ïþ
ïý
+ =
2
4
x
7
5
x
4
3
d)
x y 10
x
c)
3
2
x
y
2
x y
ü
ï ïþ
ïïý
3y
3
+ =
y
3
- =
ü
x 1
g)
5
3
y 3
2
3
3
ï ïþ
ïïý
- + + =
- + + =
y 2
3
6x y 20
f)
y 5
4
ü
- - =
ïþ
ïý
+ =
ü
- + =
ï ïþ
ïïý
+ + - =
3
2
5x
5
4
2x
h)
1
2
x 4
y 4
3
3x 1
y
2
3x 2
2
2
x 1
e)
ü
ï ïþ
ïïý
- - = -
3 2x 4
7
= - +
3
y
4x 15
3
5
3
3y 1
i)
Soluciones
Geometría -pág 14-Áreas y Volúmenes
15. ì
x73
f)
y4
ï ïî
ïïí
=
21
y6
=-
î í ì
=
=
ì
x43
d)
y6
ï ïî
ïïí
=
=
î í ì
=
=
ì
x14
b)
y4
ï ïî
ïïí
=
=
î í ì
=
=
7
3
x2
e)
9
y100
9
x4
c)
9
y40
x6
a)
x41
g)
=
y12
î í ì
=
=
x3
h)
5
î í ì
=
=
ì
ï ïî
ïïí
=-
x5
i)
y4
5
y24
Geometría -pág 15-Áreas y Volúmenes
16. Ecuaciones de segundo grado
0
- =
a) 3x 2
5x 0
2
- =
b) 2x 8x 0
2
- =
c) x 81 0
d) 25x 1
- =
100
2
2
- + =
e) x 14x 49 0
- - =
f ) (x 2)(3x 1) 0
- + =
g) 4(3 2x)(1 7x) 0
- + =
h) 4x 2
4x 1 0
- + =
i) 4x 2
28x 49 0
- + =
j) 3x 2
18x 27 0
+ = + - =
k) 3x 6x (x 2)(5 3x) 0
l) (2x 1)(3x 5) (1 5x)(2x 1) 0
ö
= + ÷ø
(3x 4) 0
1
æ -
n) 4(2x 1) x
ñ) 16x
ö çè
- =
o) x 2x
3
1
1
+ + =
- =
x x 0
5
p)
- + =
q) x 2
x 1 0
r) x x 1 0
0
9
3
0
16
25
5 0
2
3
m) x
2
2
2
2
+ + =
= ÷ø
+ æ -
çè
+ - + - + =
Soluciones
Geometría -pág 16-Áreas y Volúmenes
17. x1
d)
x9
x2
e){
x7f)
50
ì
x3
g)
3
=
ï ïî
ïïí
x1
=-
ì
=
ïî
ïí
=
ì
ï ïî
ïïí
=-
=
î í ì
=-
x0
a)
x0
b)
3
î í ì
=
=
ì
ïî
ïí
=
7
2
x1
50
x1
x9
c)
x4
x5
Geometría -pág 17-Áreas y Volúmenes
18. x 555
j){
x3k)
2
ì
1
x
n)
=
3
ïî
ïí
=-
ì
x1
m)
2
ï ïî
ïïí
=
=-
ì
x 2
l)
=-
3
ïî
ïí
=-
ì
=- -
= -
=
ï ïî
ï ïí
î í ì
=
h)x1
î í ì
=
2
x10
3
x 4
1
x
3
x 555
i)x7
2
x?
r)
x?
î í ì
=
=
î í ì
=
=
ì
x0
p)
3
=
ïî
ïí
=
î í ì
=-
ì
x 5
ñ)
ï ïî
ï ïí
=-
=
x?
x?
q)
3
5
x
16
o)x 1
16
5
x
Geometría -pág 18-Áreas y Volúmenes
19. Geometría
Polígonos
Polígono es una superficie cerrada limitada por segmentos de recta llamados lados. Se llama
vértices a los extremos de los segmentos, diagonal al segmento que une dos vértices no consecutivos
y perímetro a la suma de las longitudes de todos los lados.
Polígono regular es aquel que tiene todos sus ángulos y sus lados iguales. Según el número de
lados que tengan reciben los siguientes nombres: triángulo (tres lados), cuadrilátero (cuatro lados),
pentágono (cinco lados), hexágono (seis lados), heptágono (siete lados), octógono (ocho lados),
eneágono (nueve lados), decágono (diez lados), undecágono (once lados), dodecágono (doce
lados), etc...
EMBED CDraw s * MERGEFORMAT Polígono regular
Área = perímetro · apotema = p · a
2 2
a = apotema
Polígono cualquiera
El área se calcula descomponiendo el
polígono en triángulos y calculando por
separado sus áreas.
Atotal=+1234
Geometría -pág 19-Áreas y Volúmenes
20. Triángulos
Un triángulo es un polígono de tres lados. Un triángulo puede ser del siguiente tipo: equilátero (los
tres lados iguales), isósceles (dos lados iguales), escaleno (los tres lados diferentes), obtusángulo (un
ángulo obtuso), acutángulo (todos los ángulos agudos) y rectángulo (un ángulo recto).
EMBED CDraw s * MERGEFORMAT
g
a b
Los ángulos de un triángulo suman 180º
a+b+g=180°
Un lado de un triángulo es menor que la
suma de los otros dos y mayor que su dife-rencia.
a < b +
c
a > b -
c
Triángulo
Perímetro = a + b + c
Área = b · h
2
Triángulo rectángulo
Perímetro = a + b + c
Tª de Pitágoras a 2 = b2 +c2
Altura: Es la perpendicular desde un
vértice al lado opuesto.
Ortocentro (H): Es el punto donde se
cortan las tres alturas de un triángulo.
Mediana: Es la recta que va desde un
vértice al punto medio del lado opuesto.
Baricentro (G): Es el punto donde se
cortan las tres medianas de un triángulo.
La distancia del baricentro al vértice es
doble de la distancia del baricentro al
punto medio.
Geometría -pág 20-Áreas y Volúmenes
21. Mediatriz: Es la perpendicular a un lado
que pasa por su punto medio.
Circuncentro (C): Es el punto donde se
cortan las tres mediatrices de un triángulo.
Este punto se encuentra a la misma
distancia de los tres vértices, y es el centro
de la circunferencia circunscrita al
triángulo.
EMBED CDraw s * MERGEFORMAT Bisectriz: Es la recta que divide al ángulo
en dos partes iguales.
Incentro (I): Es el punto donde se cortan
las tres bisectrices de un triángulo. Está si-tuado
a la misma distancia de los lados y
es el centro de la circunferencia inscrita en
el triángulo.
Teorema de la altura
h2 p p
1 2 = ·
EMBED CDraw s * MERGEFORMAT
Teorema del cateto
b 2
a p
c a p
1
2
2
=
=
·
·
Circunferencia inscrita en un triángulo.
El centro es el punto de corte de las
bisectrices.
Geometría -pág 21-Áreas y Volúmenes
22. Circunferencia circunscrita a un
triángulo. El centro es el punto de corte de
las mediatrices.
Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales, o lo que es equivalente, si tienen un
ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman.
b¢ c¢
a¢
El cociente entre los lados homólogos de
dos triángulos semejantes es igual a una
constante llamada razón de semejanza.
a
a
b
b
c
c
cte
¢
=
¢
=
¢
=
De ésta expresión se derivan otras como
a
b
a
b
a
c
b
c
= ¢
¢
= ¢
¢
= ¢
¢
a
c
b
c
Cuadriláteros
Un cuadrilátero es una figura limitada por cuatro lados. Los ángulos interiores del cuadrilátero
suman 360º. Hay tres tipos de cuadriláteros: paralelogramos, trapecios y trapezoides.
Los paralelogramos tienen sus lados paralelos iguales dos a dos. Son paralelogramos: el cua-drado,
el rectángulo, el rombo y el romboide. En los paralelogramos, las diagonales los dividen en
dos partes iguales y se cortan en el punto medio. Las diagonales del rombo y del cuadrado son
perpendiculares.
Los trapecios tienen dos lados paralelos que se llaman bases. Trapecio rectángulo es el que
tiene un ángulo recto. Trapecio isósceles es el que tiene iguales los lados no paralelos.
Los trapezoides no tienen ningún lado paralelo.
Los cuatro ángulos interiores de un
cuadrilátero suman 360º.
Geometría -pág 22-Áreas y Volúmenes
24. Circunferencia
Es una curva cerrada y plana cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro. Se
llama radio a la recta que une un punto de la circunferencia con el centro de la misma. Todos los
radios son iguales. Cuerda es una recta que une dos puntos de una circunferencia. Círculo es la
porción de plano limitada por la circunferencia. Diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la
circunferencia y que por tanto tiene una longitud doble que la del radio. Arco es una porción de
circunferencia. Sector circular es la porción de círculo comprendida entre dos radios. Segmento
circular es la porción de círculo comprendida entre un arco y su cuerda.
EMBED CDraw s * MERGEFORMAT
Circunferencia
Longitud = 2pr
EMBED CDraw s * MERGEFORMAT
Círculo
Área = p · r2
EMBED CDraw s * MERGEFORMAT Sector circular de nº
A = p · r · nº
º
2
360
Segmento circular
Área = Área del sector área del triángulo
Posiciones de una recta y una circunfe-rencia
Geometría -pág 24-Áreas y Volúmenes
25. Poliedros
Se llama ángulo poliédrico a la porción del espacio limitada por tres o más planos que se cortan dos a
dos y tienen todos ellos un punto común. En el ángulo poliédrico hay caras, aristas y vértices.
Poliedro es un cuerpo limitado por superficies planas en un número mínimo de cuatro. Los
poliedros tienen: caras que son polígonos; aristas que son la intersección de dos caras; vértices
que son la intersección de las aristas; y diagonales que unen vértices situados en caras diferentes.
Un poliedro es regular cuando sus caras son iguales y los ángulos poliédricos de todos los vértices
también son iguales. Hay cinco poliedros regulares:
Tetraedro regular: tiene 4 caras que son triángulos equiláteros iguales. En cada vértice concurren
tres triángulos.
Octaedro regular: tiene 8 caras que son triángulos equiláteros iguales. En cada vértice concurren
cuatro triángulos.
Icosaedro regular: tiene 20 caras que son triángulos equiláteros iguales. En cada vértice concu-rren
cinco triángulos.
Hexaedro regular o cubo: tiene 6 caras que son cuadrados iguales. En cada vértice concurren
tres cuadrados.
Dodecaedro regular: tiene 12 caras que son pentágonos regulares iguales. En cada vértice con-curren
tres pentágonos.
Si C representa el número de caras, V el de
vértices y A el de aristas, se tiene la
relación:
C + V = A + 2
Geometría -pág 25-Áreas y Volúmenes
26. Los Prismas
Un prisma es un poliedro que consta de dos caras iguales situadas en planos paralelos, llamados
bases, y varias caras que son paralelogramos y se llaman caras laterales. Si las caras laterales son
rectángulos, se dice que es un prisma recto, en caso contrario se dice que es un prisma oblicuo. La
distancia entre las bases es la altura del prisma. Si en un prisma recto las bases son polígonos
regulares se dice que el prisma es regular y en caso contrario se dice irregular. Según la forma que
tengan las bases se llaman triangulares, cuadrangulares, pentagonales,.....
Se llama área lateral de un prisma a la suma de las áreas de las caras laterales. Se llama área total
de un prisma a la suma del área lateral con el área de las dos bases.
El volumen de cualquier prisma es igual al área de su base por su altura.
Prisma recto de base rectangular o
paralelepípedo
EMBED Equation
Perímetro = 4a + 4b +4h
Área lateral = 2 · (a · h) + 2· (b· h)
Área total = 2 · (a · b) + 2· (a · h) +2· (b · h)
Volumen = a · b · h
Prisma regular
Área lateral = Suma de las áreas de las
caras
laterales.
Área total = Área lateral + 2·área de la base
Volumen = Área de la base · altura
Geometría -pág 26-Áreas y Volúmenes
27. Las pirámides
La pirámide es un poliedro formado por una sola base que es un polígono de cualquier número
de lados y caras laterales que son triángulos que se unen en un punto llamado vértice. La altura de
una pirámide es la perpendicular desde el vértice a la base. Cuando la base de las pirámides es un
polígono regular y el vértice está en la perpendicular a la base desde el centro del polígono se dice
que la pirámide es regular. En caso contrario se llaman irregulares. En las pirámides regulares la
altura de las caras laterales se llama apotema de la pirámide. A la porción de pirámide comprendida
entre la base y un plano paralelo a la base que corta a todas las caras laterales se le llama tronco de
pirámide.
Pirámide regular
Área lateral = P· a
2
Área total P a Área de la base
·
2
= +
de la base · altura
3
de la base
Volumen Área
=
=
P Perímetro
a = apotema de las caras laterales
Tronco de pirámide
Área lateral
Área total
EMBED Equation Volumen EMBED
Equation.2
perímetro de la base mayor
perímetro de la base menor
área de la base mayor
área de la base menor
apotema de las caras laterales
Geometría -pág 27-Áreas y Volúmenes
28. Cuerpos de revolución
Si hacemos girar una figura plana alrededor de una recta perteneciente al mismo plano, lla-mada
eje de giro, se obtiene un cuerpo de revolución. Los principales cuerpos de revolución son el
cilindro, el cono y la esfera.
El cilindro es el cuerpo que se obtiene al hacer girar un rectángulo alrededor de uno de sus
lados. Las bases del cilindro son círculos cuyo radio es el lado no utilizado como eje de giro. El lado
que gira se llama generatriz. La altura de un cilindro recto es la distancia entre sus bases.
El cono de revolución es la figura engendrada por un triángulo rectángulo al girar sobre uno
de sus catetos. El lado que hace de eje de giro es la altura del triángulo, el otro lado es el radio de la
base del cono, y la hipotenusa es la generatriz. La altura de un cono es la distancia del vértice al
centro de la base y coincide con la longitud del eje. El radio del cilindro es el del círculo de la base.
Al cortar el cono por un plano paralelo a la base se obtiene un tronco de cono. Al cortar un cono
recto por un plano paralelo a la base, se obtienen un cono y un tronco de cono.
La esfera es el cuerpo de revolución engendrado al hacer girar un círculo sobre un diámetro. El
centro de la esfera es el centro del círculo que la engendra. La parte externa de la esfera se llama
superficie esférica y todos sus puntos están a la misma distancia de su centro. El radio de la esfera
coincide con el radio del círculo y es el segmento que une el centro con cualquier punto de la
superficie esférica. Cualquier segmento que une dos puntos de la superficie esférica pasando por el
centro es un diámetro. Un diámetro es igual a dos radios.
EMBED CDraw s * MERGEFORMAT Cilindro
Área
p
p p
p ·
lateral = 2 r · h
Área total = 2 rh +2 r
Volumen = r
h
2
2
Cono
p
p p
Área lateral = rg
+
total = r r · g
Volumen = 1
2
3
p
Área
· 2
r h
=
g generatriz
Tronco de cono
Área lateral
Área total
Geometría -pág 28-Áreas y Volúmenes
29. Esfera
Área
p 2
·p 3
= 4 r
= 4
3
Volumen r
Relación de semejanza entre las áreas y volúmenes de figuras semejantes
El cociente entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de seme-janza.
El cociente entre los volúmenes de dos figuras semejantes es igual al cubo de su razón de seme-janza.
Geometría -pág 29-Áreas y Volúmenes
30. Áreas
1) Una plaza de toros tiene 10m de radio. Alrededor de esta se encuentra el callejón formando una
corona circular de 2m de ancha. Se pide calcular el área de la plaza de toros así como del
callejón.
2) La misma plaza tiene unas gradas que forman un sector de corona circular como indica la figura.
Suponiendo que cada asiento ocupa 0,75m2. ¿Cuántas personas caben en dicha plaza?
3) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado que tiene un área de 225m2?
4) Un rectángulo tiene un área de 143m2. Sabemos que un lado mide 11m. ¿Cuánto mide el otro
lado?
5) Un triángulo tiene un área de 400 cm2. Si la altura de dicho triángulo es de 16cm. ¿Cuánto
medirá la base?
6) Un hexágono regular tiene un área de 96cm2. Calcula su perímetro sabiendo que la apotema mide
8cm.
7) Un pentágono regular tiene una superficie de 175cm2.Si la apotema mide 5cm. ¿Cuánto mide un
lado de dicho pentágono?
8) Calcula la diagonal de un cuadrado cuyo lado vale 64m.
9) Un trapecio tiene una altura de 4m, su base menor mide 6m y su área es de 36m2. ¿Cuánto vale
su base mayor?
10) Se desea embaldosar una sala rectangular de 12m de ancho y 6 de largo. Si el metro cuadrado de
baldosas nos cuesta 12 €. ¿Cuánto valdrá embaldosar la sala?
11) Se desea embaldosar una sala rectangular de 9m de ancho por 14 de largo con baldosas de
40x30cm. ¿Cuántas baldosas se necesitan?
12) Queremos chapar el tablero de una mesa circular cuyo radio es de 90cm. Si el metro cuadrado de
chapa vale 12 €. ¿Cuánto valdrá dicha chapa?
13) Se desea construir un rombo que tenga una superficie de 98cm2. Pero además se desea que la
diagonal mayor sea el doble de la menor. ¿Cuánto deben medir las diagonales? ¿Y los lados de
dicho rombo?
Geometría -pág 30-Áreas y Volúmenes
31. 14) El suelo de un piso de 50x20m se quiere cubrir con baldosas cuadradas de 20cm de lado.
¿Cuántas baldosas se necesitan en total?
15) Hallar el área del cuadrado interior de la siguiente figura.
16) Un cuadrado está inscrito en una circunferencia de radio 15cm como indica la siguiente figura.
a) Calcula el área del cuadrado.
b) Calcula el área de la parte coloreada.
17) Calcula el área de la siguiente figura:
18) La rueda de un coche tiene un diámetro exterior de 60cm. ¿Cuántas vueltas habrá dado la rueda
durante un trayecto de 20km?
19) Una pared cuadrada está cubierta por baldosas cuadradas. Si sobre las dos diagonales hay un
total de 65 baldosas. ¿Cuántas baldosas cubren toda la pared?
20) Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras:
Geometría -pág 31-Áreas y Volúmenes
32. 21) Halla el área de la zona coloreada.
Geometría -pág 32-Áreas y Volúmenes
33. 22) En este dibujo encontrarás una demostración
china del Teorema de Pitágoras. Para encontrarla
procederás como sigue:
a) Halla el área del cuadrado exterior. Recuerda
que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b) Halla el área de todas las figuras que forman
el cuadrado anterior. Es decir, del cuadrado
interior y de los cuatro triángulos.
c) Plantea una ecuación igualando el área del
cuadrado grande a la suma del área del
cuadrado pequeño y las áreas de los cuatro
triángulos.
d) Simplifica la ecuación e interpreta el
resultado.
23) El señor Pancracio posee una finca de campo
con una piscina cuadrada con un árbol en cada
esquina como indica la figura. Ahora desea
construir en el mismo lugar una piscina también
cuadrada pero con el doble superficie pero para
ello no puede arrancar ningún árbol pues su
mujer lo amenaza con el divorcio. Ayuda al
pobre Pancracio.
Soluciones:
1) A =314¢15m 2
A =138¢23m 2
PT call
2) 475 3) 15 m 4) 13 m 5) 50 cm 6) 24
cm
7) 14 cm 8) 90’50 cm 9) 12 m 10) 864 € 11) 1050 12) 30 €
13) d =9¢89cm D =19¢78cm l =11¢05cm 14) 25000 15) 51¢43u2 16) a) A =450cm2
b) A =64¢21cm2 17) A =325cm2 18) 10610’32
19) La pared tiene de lado x, y en cada diagonal hay 33 baldosas de lado a y diagonal l, por tanto se
verifica:
= = = baldosas
1089
×
1089 2a
l 2a (33l) 2x x 1089l 2
2
a
2
2
2
2 2 2 2 =
20) a)
P =29¢42u.l. A =29¢42u2 b)P =28¢48u.l. A =36¢28u2 c)P =39u.l. A =39¢80u2
d)P =44u.l. A =51¢87u2 e)P =20¢28u.l. A =26¢28u2
21) a)A =8u2 b)A =127¢39u2 c)A =9u2 d)A =7¢72u2 e)A =10¢93u2 f )A =24u2
a)A =(a +b) b) ba + + = + + = + +
22) 2 ; c2 ; (a b) 2 c)(a b) 2 2ab c 2 d) (a b)2 a 2 2ab b2
2
23) En la nueva piscina cuadrada, los árboles estarán situados en la mitad de cada lado.
Geometría -pág 33-Áreas y Volúmenes
34. Volúmenes
Un prisma es un cuerpo cuya sección recta es constante a lo largo de toda su longitud. Este hecho
nos dará un método muy fácil para calcular el volumen de cualquier prisma. Así el volumen de un
prisma será el área de la sección por su longitud.
1) Calcula el volumen y el área superficial de las siguientes figuras:
2) Halla la altura de un cilindro cuyo volumen es 300 cm3 y cuyo radio mide 5 cm.
3) Tenemos un bote cilíndrico de 15 cm de altura y cuya base tiene 5 cm de radio.
a) Calcula el volumen de dicho bote.
b) ¿Hasta que altura hay que llenar el bote para tener un litro de agua?
4) Una tarta mide 8 cm de alta y tiene un diámetro de 25 cm.
a) Halla el volumen de dicha tarta.
b) ¿Qué diámetro tendría una tarta con la misma altura que la anterior pero con el doble de
volumen?
Geometría -pág 34-Áreas y Volúmenes
35. 5) Tenemos una pecera cilíndrica de 20 cm de radio con agua hasta una altura de 10 cm. ¿Cuánto
subiría el nivel del agua si tiráramos en el interior un lingote de 3 cm de alto por 5 de ancho por
10 de largo de manera que el agua lo cubriera totalmente?
6) Calcula el volumen de la siguiente rueda sabiendo que tiene un diámetro exterior de 60 cm, un
diámetro interior de 40 cm y 15 cm de ancha.
7) Utilizando el Principio de Arquímedes “Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un
empuje vertical y hacia arriba igual al peso del fluido que desaloja” calcula el peso de la rueda
anterior si al sumergirla en agua permanece tumbada saliendo por fuera del líquido 5 cm.
8) Estamos situados en el puerto de Dénia cuando está descargando un barco procedente de
Baleares. A nivel de flotación el barco tiene una silueta como esta, donde las unidades vienen
expresadas en metros.
Si desde que comienza a descargar hasta que termina, el barco se eleva medio metro sobre el
nivel del agua. ¿Cuánto peso ha descargado el barco?
9) Una piscina tiene una forma como la de la figura. Calcula la capacidad de dicha piscina si las
medidas vienen dadas en metros.
Geometría -pág 35-Áreas y Volúmenes
36. Soluciones:
V94'5
e)
A56
î í ì
=
=¢
î í ì
=p
=p
=
V24
c)
A96
î í ì
î í ì
V36
1)a)
=
î í ì
A13256
V48
d)
A?
V64
b)
A72
Geometría -pág 36-Áreas y Volúmenes
37. =¢
A276
î í ì
=
=
V26696
g)
A12624
î í ì
=¢
=¢
î í ì
=¢
V144
h)
A2591
V7539
f)
2) h =3¢81 cm 3)
î í ì
= ¢
h 1273cm
V 117809cm3
= ¢
4)
î í ì
V 3926'96 cm3
=
d = 35 ¢
35cm
5) h =0¢11 cm 6) V =23561¢94
cm3
7) P =15707¢96 gr. 8) P @ 686.000 kg. 9) V =476,25 m3
Geometría -pág 37-Áreas y Volúmenes