La interpolación permite estimar valores de una función para puntos arbitrarios basándose en puntos de medición. Existen varios métodos de interpolación como la lineal, polinómica y spline. La interpolación polinómica asume que entre más puntos de medición se tengan, mejor se podrá aproximar la función mediante un polinomio de grado menor al número de puntos. La interpolación lineal conecta dos puntos con una línea recta.

1. República Bolivariana de Venezuela
Universidad Fermín Toro
Vice Rectorado Académico
Escuela de Mecánica
Participante:
Junior Zabala
20.178.647

2. La idea de la interpolación es poder estimar f(x) para
un x arbitrario, a partir de la construcción de una curva o
superficie que une los puntos donde se han realizado las
mediciones y cuyo valor si se conoce. Se asume que el
punto arbitrario x se encuentra dentro de los límites de
los puntos de medición, en caso contrario se llamaría
extrapolación. En este texto se discute exclusivamente la
interpolación, aunque la idea es similar. PRECAUCION:
El uso indiscriminado ´ de extrapolación no es
recomendable, siempre tratar con cuidado. Existe un sin
número de métodos de interpolación, incluyendo la
interpolación lineal, polinómica, y la spline, que se
discutirán más adelante.

3. INTERPOLACIÓN POLINÓMICA INTERPOLACIÓN LINEAL
Cuando se tienen dos puntos,
éstos pueden ser unidos con
una línea recta. Dos puntos
cualquiera en un plano (x0,
y0) and (x1, y1), donde x0 6=
x1, determinan un polinomio
de primer grado en x, donde la
función pasa por ambos
puntos. Una generalización de
lo anterior sugiere que dados
N puntos en un plano (xk, yk)
con k = 1, 2,3…N y distintos xk,
existe un único polinomio en x
de grado menor a N cuya
función pasa por todos los
puntos.
La interpolación lineal es el
método más simple en uso hoy.
Es el método usado por los
programas de generación de
graficas, donde se interpola con
líneas rectas entre una serie de
puntos que el usuario quiere
graficar. La idea básica es
conectar los 2 puntos dados en
xi, es decir (x0, y0) y (x1, y1). La
función interpolante es una
línea recta entre los dos puntos.
Para cualquier punto entre los
dos valores de x0 y x1 se debe
seguir la ecuación de la línea.

4. POLINOMIO INTERPOLANTE DE LAGRANGE
Para construir un polinomio de grado menor o igual que
n que pase por los n+1 puntos, donde se supone que si i ¹ j.
Este Polinomio Pn es la fórmula del Polinomio Interpolante
de Lagrange. Esta fórmula si puede aplicarse
independientemente del espaciamiento de la tabla, pero
tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del
polinomio.

5. Si se desea encontrar un polinomio que pase a través de los mismos puntos que la
función desconocida se puede establecer un sistema de ecuaciones, pero este proceso es un poco
engorroso; resulta conveniente arreglar los datos en una tabla con los valores de x en forma
ascendente. Además de las columnas para x y para f(x) se deberán tabular las diferencias de los
valores funcionales. Cada una de las columnas de la derecha de f(x), se estima o determina
calculando las diferencias entre los valores de la columna a su izquierda. La siguiente tabla es una
tabla típica de diferencias (ejemplo):
TABLA DE DIFERENCIAS

6. La diferenciación e integración de funciones son
operaciones matemáticas importantes. Existen técnicas que
permiten expresar la derivada o la integral de una función, la
cual no es conocida como una expresión explícita en x, sino
sólo como una tabulación de valores. Cuando la función sea
conocida explícitamente, las computadoras no pueden ser
programadas con rapidez para integrar analíticamente una
función arbitraria; y casi todas las integraciones ejecutadas
en una computadora, deben utilizar técnicas numéricas.

7. El cálculo de la derivada de una función puede ser un
proceso "difícil" ya sea por lo complicado de la definición
analítica de la función o por que esta se conoce únicamente
en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la
función representa el resultado de algún experimento). En
esta lección estudiaremos técnicas para aproximar las
derivadas de una función y veremos el análisis de error de
dichas formulas. Fórmulas para la primera derivada: La
definición de la derivada de una función f(x) en el punto "x"
está dada en términos del límite

8. En análisis numérico la integración numérica constituye una
amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral
definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir
algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término
cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos
sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales
de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones
también se utilizan. El problema básico considerado por la integración
numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida:

9. Este tema en primera instancia pretende profundizar
como resolver una ecuación diferencial de primer orden, una
vez que se conoce un punto por el que pasa la curva solución.
Antes de tratar de resolver un problema de valor inicial, nos
gustaría saber si existe una solución única. Una ecuacion
diferencial es una ecuacion en la que interviene una función
incógnita y una o varias de sus derivadas. Este tipo de
ecuaciones aparece en el estudio de numerosos fenómenos
físicos y químicos: desintegración radiactiva, crecimiento de
poblaciones, reacciones químicas, problemas gravitatorios, etc.

10. Error Absoluto
que viene dado por:
Error Relativo
que viene dado por:
Error porcentual
viene dado por:

11. El método de Runge-Kutta
Método de Euler y Euler Modificado
Método De La Serie De Taylor