El documento explica la integral definida y el teorema fundamental del cálculo. La integral definida es igual al área delimitada entre la gráfica de una función f(x), el eje x y las líneas verticales x=a y x=b. El teorema fundamental del cálculo establece que la derivación e integración de una función son operaciones inversas, por lo que la derivada de la integral de una función es igual a la función original.

1. Integral Definida
EQUIPO 2

2. DADA UNA FUNCIÓN F(X) Y UN INTERVALO [A,B],
LA INTEGRAL DEFINIDA ES IGUAL AL ÁREA LIMITADA ENTRE
LA GRÁFICA DE F(X), EL EJE DE ABSCISAS, Y LAS RECTAS
VERTICALES
X = A Y X = B.
LA INTEGRAL DEFINIDA SE REPRESENTA POR .
∫ ES EL SIGNO DE INTEGRACIÓN.
A LÍMITE INFERIOR DE LA INTEGRACIÓN.
B LÍMITE SUPERIOR DE LA INTEGRACIÓN.
F(X) ES EL INTEGRANDO O FUNCIÓN A INTEGRAR.
DX ES DIFERENCIAL DE X, E INDICA CUÁL ES LA
VARIABLE DE LA FUNCIÓN QUE SE INTEGRA

4. Concepto y propiedades
lim
n →∞ 𝑖=1
𝑛
𝑓( 𝑎 + 𝑖
𝑏−𝑎
𝑛
)(
𝑏 −𝑎
𝑛
)

5. Área = 2 A
0
2𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = A – A = 0
↑= 0
𝜋
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 + | 𝜋
2𝜋
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥|

6. 𝑎
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0
lim
n →∞ 𝑖=1
𝑛
𝑓( 𝑎 + 𝑖
𝑏−𝑎
𝑛
)(
𝑏 −𝑎
𝑛
)
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎
𝑐
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
a
a
a c b

7. lim
n →∞ 𝑖=1
𝑛
𝑓( 𝑎 + 𝑖
𝑏−𝑎
𝑛
)(
𝑏 −𝑎
𝑛
)
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = - 𝑏
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 solo si a > b
𝑎
𝑏
𝑘 𝑑𝑥 = k ( b – a )
Y = k
a b

8. 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑎
𝑏
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
lim
n →∞ 𝑖=1
𝑛
𝑓( 𝑎 + 𝑖
𝑏−𝑎
𝑛
)(
𝑏 −𝑎
𝑛
)
𝑎
𝑏
𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = k 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥

9. lim
n →∞ 𝑖=1
𝑛
𝑓( 𝑎 + 𝑖
𝑏−𝑎
𝑛
)(
𝑏 −𝑎
𝑛
) = f(b) – f(a)
Donde f(x) es la primitiva de f(x)
Ejemplo: Si tenemos la función f(x) = 2x cual será el área de
esta, entre 0 y 3
0
3
2𝑥 𝑑𝑥
2𝑥 𝑑𝑥 =
2𝑥2
2
+ C = 𝑥2
+ C
𝑥2
𝑥=0
𝑥=3
= 32
- 02
= 9

10. Teorema
fundamental del
cálculo

11. Teorema fundamental del cálculo
 Consiste en la afirmación de que la derivación e
integración de una función son operaciones inversas.
Esto significa que toda función acotada e integrable
verifica que la derivada de su integral es igual a ella
misma.
 Este teorema es central en la rama de
las matemáticas denominada análisis matemático o
cálculo

12. Teorema fundamental del cálculo
 El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo
aproximado de áreas en el que se venía trabajando
desde Arquímedes , era una rama de las matemáticas que se
seguía por separado al cálculo diferencial que se venía
desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en
el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las
integrales eran investigadas como formas de
estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia
ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área
bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo
diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la
derivación.

13. Teorema fundamental del cálculo
Primer teorema fundamental
Dada una función f integrable sobre el intervalo ,
definimos F sobre por . Si f es continua en ,
entonces F es derivable en y F'(c) = f(c).

14. Teorema fundamental del cálculo
Segundo teorema fundamental
Dada una función f(x) continua en el intervalo [a,b] y sea
F(x) cualquier función primitiva de f, es decir F '(x) = f(x).
Entonces