El documento presenta una breve historia del cálculo integral. Explica que la integración se remonta al antiguo Egipto, pero que fue formalizada en el siglo XVII por Newton y Leibniz con el descubrimiento del teorema fundamental del cálculo. Este teorema establece una conexión entre la integración y la derivación y permitió resolver una clase más amplia de problemas.

1. Centro de Enseñanza Técnica Industrial
Registro: 12310146
Nombre del Alumno: Rubén Israel García Villagómez
20 de Mayo de 2013
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

2. Integración antes
del calculo
La integración se
puede trazar en el
pasado hasta el
antiguo Egipto
Donde se
demuestra que ya
se conocía una
fórmula para
calcular el
volumen de un
tronco piramidal
1800
A.C.
Siglo
XVIII
Formalización
de las
integrales
Newton y Leibriz
Los principales
adelantos en
integración vinieron
en el siglo XVII con el
descubrimiento del
teorema
fundamental del
cálculo.
El teorema
fundamental del
cálculo permite
resolver una clase
más amplia de
problemas.
El teorema demuestra
una conexión entre la
integración y la
derivación.
Siglo
XVIII
Para indicar
summa (en
latin; suma o
total), adopto el
simbolo de la
integral “ ʃ ”
La notación
moderna de las
integrales
indefinidas fue
presentada por
Gottfried Leibriz
en 1675
El cálculo
adquirió una
posición más
firme con el
desarrollo de
los límites
Notació
n
Historia del Calculo Integral

3. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO
El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación
y la integración son operaciones inversas: si una función continua
primero se integra y luego se deriva, se recupera la función
original.
Esto significa que toda función continua integrable verifica que la
derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es
central en la rama de las matemáticas denominada análisis
matemático o cálculo.
El área rayada en rojo puede ser
calculada como h f(x), o si se
conociera la función A(X), como
A(x+h) − A(x). Estos valores son
aproximadamente iguales para
valores pequeños de h.

4. La integral definida
Consideremos una curva situada sobre el eje X que representa la gráfica de la función con
ecuacion y = f(x).
Se desea encontrar el área S de la superficie limitada por la curva con ecuación y = f(x), el eje X y
las rectas paralelas al eje Y con ecuaciones x = a y x = b. Para tal efecto, dividimos el intervalo [a;
b] en n partes, no necesariamente iguales como se muestra a continuación:
Denotamos con x1 la longitud de la primera parte, la de la segunda parte con x2
y así sucesivamente hasta la ultima xn. En cada parte elegimos puntos r1; r2; …rn, de tal forma
que f(r1).x1 nos da el área del primer rectángulo, (x1, es la base y f(r1) la altura), f(r2) x2 da
el área del segundo rectángulo y por lo tanto f(rn) .xn da el área del enesimo rectángulo. Luego se
tiene que:
Sn = f(r1) .x1 + f(r2) .x2 + … + f(rn) .xn
es la suma de las áreas de los rectangulos de la figura anterior.

5. Integral indefinida
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee : integral de x diferencial de x.
∫ es el signo de integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
Propiedades de la integral indefinida
•La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.
∫*f(x) + g(x)+ dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
•La integral del producto de una constante por una función es igual a laconstante por la
integral de la función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

6. La suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve
para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva,
este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema
Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático
alemán Bernhard Riemann.
La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de
rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los
rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica
es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

7. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
Se verifica:
Estas propiedades son consecuencia de la linealidad de la
derivación:
Utilizando la propiedad de linealidad de la integral indefinida y las
primitivas de funciones sencillas podemos calcular la siguiente
integral:

8. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudarán a
evaluarlas con más facilidad.
1) donde c es una constante
2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las siguientes propiedades son
verdaderas:
(se pueden generalizar para más de dos funciones)
3) Si x está definida para x = a entonces = 0
4) Si f es integrable en [a, b] entonces
5) Propiedad de aditividad del intervalo: si f es integrable en los dos intervalos cerrados definidos
por a, b y c entonces

9. Teorema de existencia
Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a , b]. Entonces se puede
afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se
verifica:
El valor f © se conoce como el valor medio de la función f (x) en el intervalo [a,b].
Quizá sea interesante hacer varias observaciones:
1) El punto c puede no ser único. El teorema asegura la existencia de por lo menos un
punto con esa propiedad.
2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el
intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente.
3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza presupone el
cálculo de una integral definida. Dicho cálculo puede hacerse por la Regla de Barrow (que
se supone conocida) o bien, en el caso de funciones complicadas, utilizando métodos
numéricos, como la Regla de Simpson por ejemplo. En esta unidad utilizaremos funciones
de integración sencilla.

10. FUNCION PRIMITIVA
Una función primitiva es aquella que después de haber sido derivada pasando por su
diferencial y por el proceso de integración no vuelve exactamente a su función
original
ejemplo:
y=3x”+2x+18
dy/dx=6x+2
dy=6x+2 (dx)
Integral=3x”+2x = 3x”+2x+c

11. METODOS DE INTEGRACION
1. Integración por partes
2. Integrales racionales
3. Integración por sustitución o cambio de variable
4. Integrales trigonométricas

12. El método de integración por partes permite calcular la integral de un
producto de dos funciones aplicando la fórmula:
Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.
Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y
coseno, se eligen como v'.
Integración por partes

13. En las integrales racionales suponemos que el grado del
numerador es menor que del denominador, si no fuera así
se dividiría.
Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor
grado que numerador, descomponemos el denominador
en factores.
Integrales racionales

14. El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa
en la derivada de la función compuesta.
Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a
integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una
integral más sencilla.
Pasos para integrar por cambio de variable
1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:
Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:
2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:
3º Se vuelve a la variable inical: