Este documento describe la representación gráfica de funciones polinómicas de grado 3 y ecuaciones de cuarto grado. Explica que las funciones polinómicas de grado 3 tienen cuatro posibles gráficas dependiendo de los coeficientes, y siempre tienen un punto de inflexión. También cubre cómo calcular los puntos de corte con el eje X y representar la función según sus coeficientes y puntos de corte. Para ecuaciones de cuarto grado, describe el método de Descartes para encontrar las cuatro raíces resolviendo la ecu

1. Representación gráfica de funciones
Ecuación de grado 3
Las funciones polinómicas de grado 3 son del tipo , con
. Hay cuatro posibles representaciones gráfica de este tipo de funciones
que dependen del signo de y de la relación entre y . Por tanto, para poder
representarlas debemos tener en cuenta sus coeficientes. Os dejo una tabla con las
cuatro gráficas posibles:
Este tipo de funciones tienen un punto de inflexión, es decir, un punto donde la
curvatura de la función cambia, esto es, la función antes del punto se curva de una
forma y pasa acurvarse de otra. El punto donde ocurre ese hecho se calcula de la
siguiente forma:
 Coordenada del punto de inflexión:
 Coordenada del punto de inflexión:
Para obtener más información sobre el la representación de la función también es útil
calcular los puntos de corte con el eje X resolviendo la ecuación . Una función
de este tipo puede tener uno, dos o tres cortes con el eje X.
Las funciones que cumplen que cortan al eje X en sólo un punto. En este
caso habrá que tener muy en cuenta el punto de inflexión para poder representarlas de
forma correcta.
Las funciones que cumplen que pueden tener uno, dos o tres puntos de corte
pero su representación es la misma. En el caso de que obtengamos dos soluciones
reales (dos puntos de corte por tanto) obliga a que una de ellas aparezca dos veces
(por ejemplo, para ocurre eso). En ese punto la función toca al
eje X y cambia de monotonía, es decir, si antes crecía en ese punto pasa a decrecer y

2. viceversa. El punto de inflexión no será tan relevante para éstas aunque siempre puede
calcularse para asegurar más la representación.
Por todo esto la representación gráfica de las funciones polinómicas de grado tres
comenzará viendo la relación entre y (con lo que sabremos la forma de la
gráfica) y seguirá calculando las soluciones reales de la ecuación (con lo que
conoceremos cuántos puntos de corte tiene la función con ele eje X ). En ese momento
elegimos la representación correspondiente a la función que tengamos y hacemos que
la función pase por esos puntos dándole la forma que nos indica la tabla, teniendo en
cuenta el detalle del punto de inflexión en el caso en el que sea necesario. Sin olvidar,
claro está, que si con todo esto no nos vemos capaces de realizar todavía la
representación siempre podemos hacer una tabla de valores tomando valores a cada
lado de los puntos de corte consiguiendo así más puntos que completen la información
anterior.
Ecuación de cuarto grado
(Redirigido desde Función cuartica)
Gráfico de una ecuación de cuarto grado.
Una ecuación de cuarto grado o ecuación cuártica con una incógnita es una ecuación
que se puede poner bajo la forma canónica:
donde a, b, c, d y e (siendo ) son números que pertenecen a un cuerpo,
usualmente a los reales o los complejos .
Caso general
Sea K un cuerpo, donde se pueden extraer raíces cuadradas y cúbicas (y por lo tanto
también de cuarto orden, pues equivale a extraer raíces cuadradas dos veces
seguidas). En este cuerpo, es posible factorizar por todo a, y la identidad siguiente es
válida:
.
En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 4 tiene
cuatro raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el Teorema Fundamental
del Álgebra.
El método siguiente permite obtener las cuatro raíces al mismo tiempo. Este método es
llamado "método de Descartes", pues fue dado por el matemático francés René
Descartes(1596-1650) en el año de 1637 en su célebre libro "La Geometría". Aunque
existan diferentes métodos para resolver las ecuaciones cuarticas, algunos son:
método de Ferrari, método deDescartes, método de Euler, método de Lagrange,
método de Alcalá, etcétera.

3. Método de Descartes
Los pasos de la resolución para el método de Descartes (1637) son:
 Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a. Se obtiene:
, donde , , y
 Proceder al cambio de incógnita , para suprimir el término cúbico. En
efecto, al desarrollar con la identidad precedente, vemos aparecer el
término , compensado exactamente por que aparece en . Tras
sustituir x y operando con las identidades notables, se obtiene:
, con p, q y r números del cuerpo.
 Y ahora, la idea genial: factorizar lo anterior en , lo que
es posible porque no hay z³ en el polinomio.
Desarrollando la expresión e identificando los dos polinomios, obtenemos las
condiciones:
(coeficiente de x²)
(coeficiente en x)
(término constante)
Después de algunos cálculos, hallamos:
es una ecuación de sexto grado, pero si
miramos bien, α sólo aparece con potencias pares.
Pongamos . Entonces:
, que resulta ser una ecuación de tercer grado en
la variable y que se puede resolver usando el método de Cardano.

4. Luego se encuentra α, β y γ, y se resuelven y , y
para terminar, no olvide que .

5. Michelle Ceseña Rodríguez
Grupo: 404 / Análisis clínicos
Matemáticas IV
Profesor: Alberto Maldonado Duran
Tarea para entregar:
Representación gráfica de funciones polinómicas
Mayo del 2012