Este documento describe varios métodos para resolver ecuaciones no lineales, incluyendo el método de bisección, interpolación lineal, método de la secante, método de Newton-Raphson, teorema del punto fijo, división sintética. Explica que las ecuaciones no lineales son comunes en problemas físicos y más difíciles de resolver que las ecuaciones lineales.

1. ECUACIONES NO
LINEALES
Ingeniería Industrial – Politécnico Santiago Mariño

2. Introducción
En la siguiente presentación conoceremos los distintos métodos
matemáticos en cual detallaremos cada uno de sus sistemas de
resolución, estudiaremos las ecuaciones no lineales, Bisección,
interpolación lineal, secante, newton-rasphson, punto fijo, división
sintética y determinaremos su relación con el análisis numérico.

3. Ecuaciones No
lineales
Las ecuaciones no lineales son de interés en física y matemáticas debido
a que la mayoría de los problemas físicos son implícitamente no lineales
en su naturaleza. Ejemplos físicos de sistemas lineales son
relativamente raros. Las ecuaciones no lineales son difíciles de resolver y
dan origen a interesantes fenómenos como la teoría del caos. Una
ecuación lineal puede ser descrita usando un operador lineal, L. Una
ecuación lineal en algún valor desconocido de u tiene la forma:
Lu= 0
Una ecuación no lineal es una ecuación de la forma:
F(u)= 0
Para algún valor desconocido de u

4. Modelo de
sistema de
ecuación no
lineal

5. Ecuación no
lineal

6. Bisección
En matemáticas, el método de bisección es un algoritmo de búsqueda de
raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el
subintervalo que tiene la raíz.
Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones
en una variable, también conocido como Método de Intervalo Medio..

7. Método de
bisección

8. Interpolación
lineal
La interpolación lineal es un procedimiento muy utilizado para estimar los valores
que toma una función en un intervalo del cual conocemos sus valores en los
extremos (x1, f(x1)) y (x2,f(x2)). Para estimar este valor utilizamos la aproximación
a la función f(x) por medio de una recta r(x) (de ahí el nombre de interpolación
lineal, ya que también existe la interpolación cuadrática).
La expresión de la interpolación lineal se obtiene del polinomio interpolador de
Newton de grado uno:
RECTA DE LINEAL:
Veamos los pasos que tenemos que seguir para hallar la recta de regresión:
1º. Dados los puntos de la función (x1, y1) y (x2, y2), queremos estimar el valor de
la función en un punto x en el intervalo x1<x<x2.
2º. Para hallar la recta de interpolación nos fijaremos en la siguiente imagen.

9. Interpolación
lineal
Para ello utilizamos la semejanza de los triángulos
ABD y CAE, obteniendo la siguiente proporcionalidad
de segmentos:AB/AC=BD/CE.
3º. Despejando el segmento BD (ya que el punto D es
el que desconocemos) obtenemos:
BD=(AB/AC)∙CE. Traduciendo al lenguaje algebraico
obtenemos que:
Y despejando y, obtenemos:
La misma expresión que se obtiene al utilizar el polinomio
interpolador de Newton que ya habíamos comentado.
Recordad que y1=f(x1) y análogamente y2=f(x2).

10. Interpolación
lineal

11. Secante
Definimos la secante de un ángulo como la inversa del coseno, la cosecante como la
inversa del seno y la cotangente como la inversa de la tangente. Ejercicio.- Sabiendo
que sec(x)=2. Halla las demás razones trigonométricas. Ejercicio.- Sabiendo que
cotg(x)=1/2.

12. Secante

13. Método
newton
raphson
En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de
Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo para encontrar
aproximaciones de los ceros o raíces de una función real.También puede ser usado
para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su
primera derivada.

14. Método
newton
raphson

15. Teorema del
punto fijo
En matemáticas, un teorema del punto fijo es un teorema que especifica condiciones
bajo las cuales se puede afirmar que una función f sobre un dominio dado (con rango
en el mismo dominio) tiene, al menos, un punto fijo; es decir, que existe un punto x en
dicho dominio para el cual: f(x) = x.

16. Teorema del
punto fijo

17. División
sintética
La división sintética es una forma sencilla de dividir un polinomio P(x) cualquiera por
uno de la forma d(x)=x – c. Es una herramienta de gran utilidad ya que, además de
permitirnos dividir polinomios, también permite evaluar un polinomio P(x) en
cualquier número c, lo cual a su vez nos indica de manera precisa si dicho número es un
cero o no del polinomio.

18. División
sintética

19. El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas encargada de diseñar
algoritmos para simular aproximaciones de solución a problemas en análisis matemático. Se
distingue del cómputo simbólico en que no manipula expresiones algebraicas, sino números.
Por cual es de vital importancia tener conocimientos de los distintos métodos de cálculos
matemáticos para comprender y analizar cada dato presentado

20. Bibliografía
• Teoremas matemáticos (Ecuaciones no lineales)
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales
• Teoremas matemáticos (Bisección)
https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_bisecci%C3%B3n
• Teoremas matemáticos (Interpolación)
https://es.wikipedia.org/wiki/Interpolación_lineal
• Trigonometría (Secante)
https://es.wikipedia.org/wiki/Secante_(trigonometr%C3%ADa)
• Teoremas matemáticos (newton-rasphson)
https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton
• Teoremas matemáticos (Punto fijo)
https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton
• Teoremas matemáticos (División sintetica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Ruffini