Análisis de las decisiones multicriterio carlos romero

P u b l i c a c i o n e s d e I n g e n i e r í a d e S i s t e m a s
ANÁLISISDELASDECISIONESMULTICRITERIO.CarlosRomero
Ingeniería de Sistemas
c/ Edison, 4
28006 Madrid
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ANÁLISIS DE LAS DECISIONES
MULTICRITERIO
por
Carlos Romero
Otros títulos publicados:
1. Ingeniería de Sistemas. Benjamin S. Blanchard.
2. La Teoría General de Sistemas. Ángel A. Sarabia.
3. Dinámica de Sistemas. Javier Aracil.
4. Dinámica de Sistemas Aplicada. Donald R. Drew.
5. Ingeniería de Sistemas Aplicada. Isdefe.
6. CALS (Adquisición y apoyo continuado durante el ciclo de
vida). Rowland G. Freeman III.
7. Ingeniería Logística. Benjamin S. Blanchard.
8. Fiabilidad. Joel A. Nachlas.
9. Mantenibilidad. Jezdimir Knezevic.
10. Mantenimiento. Jezdimir Knezevic.
11. Ingeniería de Sistemas de Software. Gonzalo León Serrano.
12. Simulación de Sistemas Discretos. Jaime Barceló.
13. La Ergonomía en la Ingenieria de Sistemas.
Pedro R. Mondelo y Enrique Gregori Torada.
14COMITÉ DE REDACCIÓN
Presidente
Sr. D. Martín Aleñar Ginard
Teniente General (R) del Ejército de Tierra
Vocales
Sr. D. Eduardo Avanzini Blanco
General de Brigada Ingeniero del Ejército del Aire
Sr. D. Carlos Casajús Díaz
Vicealmirante Ingeniero de la Armada
Sr. D. Luis García Pascual
Vice-Rector de Investigación y Postgrado de la UPCO
Sr. D. Ricardo Torrón Durán
General de División Ingeniero del Ejército de Tierra
Sr. D. Alberto Sols Rodríguez-Candela
Ingeniero de Sistemas. Isdefe
Sra. Dña. Mª Fernanda Ruiz de Azcárate Varela
Imagen Corporativa. Isdefe
ILUSTRACIÓNDEPORTADA
Molino hidráulico para cereales de Thomas Ellykott en 1797.
Carlos Romero
EnlaactualidadesCatedrático
deEconomíaenlaUniversidad
Politécnica de Madrid. Con
anterioridadfueCatedráticoen
la Universidad de Córdoba y
ProfesorVisitanteenlaUniversi-
dad de Reading. Ha impartido
SeminariosyConferenciassobrediferentesaspectos
deAnálisisdelaDecisionesen másde30universi-
dadesycentrosdeinvestigacióndediferentespaíses
(Alemania,Chile,GranBretaña,Italia,Túnez,etc.).
SustrabajossobreEconomía,InvestigaciónOpera-
tiva y Teoría de la Decisión han sido publicados en
revistascomo:AgriculturalSystems,AmericanJour-
nalofAgriculturalEconomics,EngineeringOptimiza-
tion,EuropeanJournalofOperationalResearch,Jour-
nalofOptimizationTheoryandApplications,Journalof
theOperationalResearchSociety,Omega,Opera-
tionsResearchLetters,TheoryandDecision,etc.
Es autor de once libros, de ellos sus textos más re-
lacionadoscon esta monografía son: Multiple Crite-
ria Analysis for Agricultural Decisions (Elsevier,
1989),HandbookofCriticalIssuesinGoalProgram-
ming(Pergamon,1991),TeoríadelaDecisiónMulti-
criterio(Alianza,1993)yEconomíadelosRecursosAmbien-
talesy Naturales (Alianza, 1994). En 1994 recibió el
Premio de Investigación de la Universidad Politéc-
nica de Madrid y en 1995 fue miembro del Jurado
queconcedelaMedalladeOrodelaFederaciónEuro-
pea de Asociaciones de Investigación Operativa.

No está permitida la reproducción total o
parcial de este libro, ni su tratamiento
informático, ni la transmisión de ninguna
forma o por cualquier medio, ya sea
electrónico, por fotocopia, por registro o por
otros métodos, sin el previo consentimiento
por escrito de los titulares del Copyright.
Primera Edición: Noviembre - 1996
1.250 ejemplares
© Isdefe
c/ Edison, 4
28006 Madrid.
Diseño y fotomecánica:
HB&h Dirección de Arte y Edición
Infografía de portada:
Salvador Vivas
Impresión:
Gráficas Algorán, S.A.
ISBN: 84-89338-14-0
Depósito legal: M- 42127-1996
Printed in Spain - Impreso en España.

Para María Inés, por supuesto.

PRÓLOGO
La ingeniería de sistemas aborda problemas de naturaleza muy
diversa que sin embargo tienen un denominador común: la necesidad
de elegir entre diferentes alternativas que han de evaluarse en base a
varios criterios. Así, en todas las fases del ciclo de vida de los sistemas
es necesario elegir entre diferentes alternativas de diseño, de apoyo,
de fabricación, etc. Por tanto, parece razonable que una colección de
monografías que pretende cubrir los diferentes aspectos de la ingeniería
de sistemas incluya una obra dedicada al análisis de las decisiones
multicriterio.
La necesidad de imbricar el análisis de las decisiones con la
ingeniería de sistemas ha supuesto algunos cambios de enfoque con
respecto a otros trabajos míos sobre metodología de las decisiones.
Así, en vez de apoyar mi exposición, como ha sido habitual en mis
trabajos anteriores, en una teoría de la decisión de carácter descriptivo
o normativo, en este libro he sustentado mis explicaciones en una teoría
de la decisión fundamentalmente de carácter prescriptivo. Es decir, en
vez de intentar explicar como se comportan los centros decisores
(enfoque positivo) o como deberían de comportarse bajo ciertas
condiciones (enfoque normativo), en este libro presento una serie de
instrumentos analíticos que pretenden servir de ayuda (enfoque
prescriptivo) a centros decisores que tienen que abordar problemas
decisionales en el campo de la ingeniería de sistemas.

Coherentemente con estos planteamientos he pretendido en todo
momento que la presentación sea clara e introductoria. Por ello, en la
mayor parte de los casos he primado la argumentación intuitiva frente
a formalizaciones más rigurosas. Dicho en pocas palabras, he
pretendido no solo que el lector entienda con facilidad todos mis
planteamientos sino que además se sienta capaz de aplicar las ideas
expuestas a problemas decisionales concretos. Por esta razón, la
exposición teórica la he apoyado en continuos ejemplos que pretenden
por una parte facilitar la comprensión del texto y por otra hacer ver al
lector las enormes posibilidades que presenta el análisis decisional
multicriterio en el campo de la ingeniería de sistemas.
Los lectores interesados en una visión más general, más
completa y tal vez algo más académica del análisis de las decisiones
multicriterio pueden consultar mi libro Teoría de la Decisión Multicriterio:
Conceptos, Técnicas y Aplicaciones.
Deseo agradecer al Teniente General Martín Aleñar y a Alberto
Sols su invitación a que escribiera la presente monografía. Los
comentarios de Comité de Redacción de la Serie de Monografías de
ISDEFE a mi primer borrador de este texto resultaron especialmente
útiles para mí. Finalmente, agradezco a María Jesús Rejas su esmerado
trabajo de procesamiento de textos.
Carlos Romero
Madrid, septiembre de 1996

ÍNDICE GENERAL
1. INTRODUCCIÓN 13
1.1. Estructura de un proceso de decisión 14
1.2. El papel del análisis multicriterio en la ingeniería de sistemas 18
1.3. Algunos conceptos básicos 19
1.4. El criterio de optimalidad paretiana 22
1.5. La normalización de los criterios 25
1.6. La ponderación preferencial de los criterios 27
2. MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN MULTIOBJETIVO 35
2.1. Aspectos básicos 36
2.2. Técnicas generadoras del conjunto eficiente 37
2.3. Programación compromiso 39
2.4. Diseño óptimo de un contenedor 44
2.5. Una aplicación a la selección de inversiones desde una óptica
económica y ambiental 48
3. MÉTODOS SATISFACIENTES (PROGRAMACIÓN POR METAS) 55
3.1. Aspectos básicos 56
3.2. Niveles de aspiración y variables de desviación 57
3.3. Variantes de la programación por metas 59
3.4. Una aplicación a un problema de ingeniería de diseño 63
3.5. Algunos comentarios finales 66
4. MÉTODOS MULTICRITERIO DISCRETOS 69
4.1. Fundamento de los métodos de sobreclasificación 70
4.2. Estructura algorítmica del método ELECTRE 72
4.3. Una aplicación del ELECTRE a la selección de un caza-bombardero 74
4.4. Procesos analíticos jerarquizados (método AHP) 82
4.5. Algunos comentarios críticos 86

5. EPÍLOGO 91
REFERENCIAS 97
BIBLIOGRAFÍA 103
GLOSARIO 109

ANÁLISIS DE LAS DECISIONES MULTICRITERIO
12

14
1.1. Estructura de un proceso de decisión
En su dimensión más básica un proceso de toma de decisión
puede concebirse como la elección por parte de un centro decisor (un
individuo o un grupo de individuos) de «lo mejor» entre «lo posible».
Los problemas analíticos surgen a la hora de definir «lo mejor» y «lo
posible» en un determinado contexto decisional.
El enfoque tradicional para abordar este tipo de cuestiones puede
resumirse de la siguiente manera. La existencia de recursos limitados
–entendiendo el término recurso en un sentido amplio– generan las
restricciones del problema. El valor de las variables de decisión que
satisfacen las restricciones constituyen lo que se denomina el conjunto
factible o alcanzable que estructura y formaliza lo que se entiende por
lo posible. Este conjunto puede ser continuo (esto es, existen infinitas
soluciones factibles) o discreto (esto es, existe un número finito de
soluciones factibles).
Una vez determinado lo posible (conjunto factible) se aborda
la determinación de lo mejor. Para ello, se define una función de
criterio que refleja adecuadamente las preferencias o deseos del
centro decisor. Esta función de criterio, usualmente llamada función
de utilidad o función de valor, asocia de una manera monótona un
número real a cada solución factible. Recurriendo a técnicas
matemáticas más o menos sofisticadas se optimiza la función de
utilidad sobre el subconjunto alcanzable, obteniendo de esta manera

15
Introducción
la solución óptima (esto es, la mejor solución dentro del conjunto de
soluciones posibles).
Resulta interesante observar que la primera fase del proceso
decisional que acabamos de describir requiere una información
exclusivamente de tipo técnico. Dicho con otras palabras, para
determinar el conjunto factible sólo se necesita información no
preferencial. Las preferencias reales del centro decisor aparecen en la
segunda fase cuando se establece la función de criterio o de utilidad.
Dicho brevemente, en la primera fase a partir de una información técnica
se define lo que es posible mientras que en la segunda fase los juicios
preferenciales del centro decisor definen lo mejor. La intersección de
ambas fases determinan la mejor de entre las elecciones posibles;
esto es, la «solución óptima».
Este sencillo marco de análisis es el que subyace a cualquier
problema de decisión investigado dentro del paradigma tradicional de
la optimización. Así, por ejemplo, en el campo de la teoría
microeconómica para establecer el punto de equilibrio o decisión óptima
del consumidor se comienza por establecer el conjunto de cestas de
mercancías posibles, entendiendo por tales las que satisfacen las
condiciones impuestas por la llamada restricción presupuestaria. A
continuación, fundándose en un criterio de satisfacción o utilidad se
procede a la ordenación de las cestas de mercancías posibles.
Seguidamente, recurriendo a las técnicas de optimización condicionada
de Lagrange se encuentra la cesta posible que proporciona la máxima
utilidad al consumidor y que constituye la «solución óptima».
Los problemas de decisión abordados por medio de la
programación matemática se ajustan, asimismo, a este tipo de
estructura teórica. Así, en esta clase de problemas, las soluciones
posibles son aquellas que satisfacen las restricciones del problema.
Estas decisiones posibles se ordenan con arreglo a un cierto criterio
que representa las preferencias del centro decisor. Esta función de
criterio recibe el nombre de función objetivo. Recurriendo a técnicas

16
matemáticas relativamente sofisticadas (p.ej. el «Simplex» cuando la
estructura definida por las restricciones, así como la función de criterio
son lineales) se establece la «solución óptima», como aquella solución
factible para la que la función objetivo alcanza un valor óptimo.
La estructura paradigmática que acabamos de comentar posee
una gran solidez desde un punto de vista lógico. Dicho con otras
palabras, su coherencia interna es perfecta. Ahora bien, desde un punto
de vista de contenido empírico, el marco teórico anterior presenta
importantes debilidades que lo desvía considerablemente de los
procesos reales de toma de decisiones. En efecto, en muchos casos
de la vida ordinaria, los centros decisores no desean ordenar las
soluciones factibles con arreglo a un único criterio, sino que desean
efectuar esta tarea con arreglo a diferentes criterios que reflejen sus
particulares preferencias.
Así, cuando el lector de esta monografía decida cambiar de coche
o de apartamento, el conjunto factible que define lo posible (todos los
modelos de coches y apartamentos que caen dentro de su restricción
presupuestaria), se evalúa en base a varios criterios. Así, en el caso
de la compra de un nuevo coche consideraremos como criterios: la
potencia, el consumo, el confort, etc. En el caso del apartamento los
centros decisores (compradores potenciales) consideran criterios como:
número de habitaciones, barrio, antigüedad del edificio, etc. Es decir,
los centros decisores eligen lo mejor entre lo posible, sin embargo la
definición de lo mejor es ambigua, implicando en muchas situaciones
reales la consideración simultánea de más de un criterios de elección.
Con objeto de enfatizar el amplio rango de problemas decisionales
que pueden formularse fructíferamente con una óptica de criterio
múltiples se ha elaborado la Tabla 1 en la que figuran recogidos una
serie de problemas que ya han sido analizados con la ayuda de un
marco decisional multicriterio.
Otro problema empírico relacionado con el paradigma decisional
anteriormenteexpuestosedebealadefiniciónyformalizacióndeloposible.

18
En efecto, la consideración de las restricciones que definen el conjunto
factible como ataduras rígidas que no pueden violarse no es en muchos
casos realista. En efecto en muchos contextos decionales es más realista
aceptar que una cierta relajación en el cumplimiento de las restricciones
no afecta seriamente al marco real en el que hemos definido el problema
decisional, pudiendo obtenerse gracias a esta relajación, mejores
significativas en los resultados alcanzados por algunos criterios.
Estos ejemplos y consideraciones ponen de manifiesto que los
centros decisores reales toman sus decisiones en base a varios objetivos
y no en base a un único criterio u objetivo, como supone el paradigma
decisional tradicional anteriormente comentado. En definitiva, los centros
decisores cuya racionalidad queda adecuadamente reflejada por el
paradigma tradicional son entes abstractos cuyo comportamiento queda
considerablemente alejado del que realmente siguen los centros decisores
de carne y hueso que pueblan el mundo en el que vivimos. Por todo ello,
investigadores de diferentes áreas, principalmente del campo de la
investigación operativa, han desarrollado en los últimos treinta años un
paradigma alternativo al tradicional, que permiten acomodar con mayor
precisión los procesos reales de decisión. El propósito de esta monografía
consiste en exponer los aspectos básicos del paradigma decisional
multicriterio, poniendo especial énfasis en aquellos métodos específicos
especialmente relevantes en el campo de la ingeniería de sistemas.
1.2. El papel del análisis multicriterio en la ingeniería de sistemas
El análisis multicriterio se puede visualizar como una herramienta
analítica de una gran potencialidad en los procesos de ingeniería de
sistemas. Esta imbricación de los enfoques multicriterio y sistémico
puede plantearse tanto a un nivel conceptual como a un nivel operativo
o de actuaciones concretas.
A un nivel conceptual puede decirse que el hombre desarrolla los
sistemas con el propósito de alcanzar una amplia gama de objetivos de

19
Introducción
diferente naturaleza. En bastantes casos estos objetivos entran en
conflicto entre sí, por lo que se hace necesario encontrar un compromiso
o equilibrio entre los mismos.
A un nivel operativo la ingeniería de sistemas puede concebirse
como una secuencia de pasos o actividades en las que en todo
momento es necesario elegir entre diferentes alternativas. Normalmente
estas alternativas deben de evaluarse con arreglo a diferentes criterios.
Así, en todas las fases del ciclo de vida de los sistemas es necesario
elegir entre diferentes alternativas de diseño, de fabricación, de
mantenimiento, etc. Conforme la complejidad del sistema es mayor, el
análisis decisional subyacente se hace más difícil, implicando un
número mayor de objetivos. Dicho en pocas palabras, el análisis
multicriterio constituye un instrumento racional y objetivo tanto para
mejorar la comprensión de los procesos de decisión que subyacen a
los procesos sistémicos, como para ayudar a los centros decisores a
abordar la necesaria comparación entre alternativas.
Esta monografía pretende estimular al ingeniero de sistemas a
incorporar las técnicas decisionales multicriterio a su conjunto de
herramientas analíticas. Por esta razón, se expondrán a lo largo del
texto aquellos enfoques multicriterio que, en principio, parecen mostrar
una mayor potencialidad en el campo sistémico. Asimismo, los ejemplos
elegidos para exponer las técnicas (p.ej. selección de ofertas,
alternativas de fabricación, etc), pretenden aclarar el importante papel
del análisis multicriterio en la ingeniería de sistemas.
1.3. Algunos conceptos básicos
Para poder entender tanto el significado como el alcance del análisis
decisional multicriterio es necesario introducir una serie de conceptos y
definiciones. Comencemos con el concepto de atributo. Este concepto
se refiere a los valores con los que el centro decisor se enfrenta a un
determinado problema decisional. Para que estos valores se

20
conceptualicen como atributos es necesario que puedan medirse inde-
pendientemente de los deseos del centro decisor y a su vez sean sus-
ceptibles de expresarse como una función de las correspondientes va-
riables de decisión. Así como veremos en el ejemplo de la Sección 2.4
el coste y el peso son los valores con los que el centro decisor aborda el
problema de encontrar el diseño óptimo de un contenedor. Estos valores
se conceptualizan como atributos pues se pueden medir con indepen-
dencia de los deseos del centro decisor, formulándose matemáticamen-
te de la siguiente manera:
( )
( )
COSTE f x x x
PESO f x x x
= = +
= = +
1 1
2
1 2
2 1
2
1 2
1000 2000
4 32
x
x
(1.1)
donde: x1
= dimensión de los lados de la base del contenedor y x2
=
dimensión de la altura del contenedor.
El concepto de atributo se enlaza con el concepto de objetivo.
Los objetivos representan direcciones de mejora de los atributos
que estemos considerando. La mejora puede interpretarse en el
sentido «más del atributo mejor» o bien «menos del atributo mejor».
El primer caso corresponde a un proceso de maximización y el
segundo a un proceso de minimización. Así, maximizar la fiabilidad
de un sistema, minimizar el coste de un proceso de producción, etc.,
son ejemplos típicos de objetivos. En general, los objetivos toman
la forma: Max f(x) o Min f (x). Por ejemplo, Min (4 x1
2
+ 32 x1
x2
)
representa el objetivo de minimizar el peso del contenedor.
El concepto de objetivo se enlaza con el concepto de meta,
aunque para ello tenemos que introducir previamente el concepto de
nivel de aspiración. Un nivel de aspiración representa un nivel
aceptable de logro para el correspondiente atributo. La combinación
de un atributo con un nivel de aspiración genera una meta. Así, si en el
ejemplo anterior se desea fabricar un contenedor con un peso máximo
de 150 Kg tendremos una meta. La expresión matemática de tal meta

21
Introducción
sería 4 x1
2
+ 32 x1
x2
£ 150. En algunos casos, el centro decisor puede
desear alcanzar exactamente el nivel de aspiración -es decir, no desea
desviaciones por arriba ni por abajo con respecto al nivel de aspiración-
en tal caso, la expresión matemática de la meta será f(x) = t, siendo t el
nivel de aspiración.
Las ideas y conceptos expuestos pueden clarificarse diciendo que,
por ejemplo, la fiabilidad de un sistema es un atributo, maximizar dicha
fiabilidad un objetivo y, finalmente, alcanzar una fiabilidad al menos igual
a un determinado nivel de aspiración es una meta. Por último,
introducimos el concepto de criterio como un término general que
engloba los tres conceptos precedentes. Así, los criterios son los atributos,
objetivos o metas que se consideran relevantes en un cierto problema
decisional. Por consiguiente el análisis de la decisión multicriterio
constituye un marco general o paradigma en el que se investigan
problemas decisionales con diferentes atributos, objetivos o metas.
Para concluir este apartado puede resultar oportuno tratar de
aclarar una aparente anomalía que surge de la diferenciación conceptual
que acabamos de realizar. En efecto, cabe preguntarse ¿cuál es la
diferencia real que existe entre las metas y las restricciones tradicionales?
Aparentemente, no existe ningún tipo de diferencia entre ambos
conceptos, pues las metas y las restricciones se representan como
desigualdades. La diferencia existente entre ambos conceptos reside
en el significado que dé al término de la derecha de la correspondiente
desigualdad. Si se trata de una meta, el término de la derecha es un
nivel de aspiración deseado por el centro decisor que puede o no ser
alcanzado. Sin embargo, si la desigualdad se refiere a una restricción, el
término de la derecha debe de alcanzarse o nos encontraremos con
una solución no factible o inalcanzable. Dicho con otras palabras, las
metas permiten ciertas violaciones de las inecuaciones, cuestión que,
sin embargo, no es posible en el dominio de las restricciones.
Por ejemplo, la desigualdad 4 x1
2
+ 32 x1
x2
£ 150 referente al peso
delcontenedor,puedeinterpretarsecomounametaocomounarestricción,

22
según cual sea la interpretación que se dé al término de la derecha de la
desigualdad. Así, se tratará de una meta si los 150 kilogramos de peso
representan un simple nivel de aspiración para el centro decisor. Puede
decirse que las metas constituyen una especie de restricciones «blandas»
que pueden violarse sin que por ello se generen soluciones imposibles.
La cantidad de violación puede medirse introduciendo dos variables de
desviación, una negativa n y otra positiva p. Así la meta consistente en
fabricar un contenedor con un peso que no supere los 150 kilogramos,
puede representarse por medio de siguiente igualdad
4 32 1501
2
1 2x x x n p+ + - = (1.2)
Por consiguiente, una meta puede representarse de la siguiente
manera:
ATRIBUTO + VARIABLES DE DESVIACIÓN = NIVEL DE ASPIRACIÓN
o en términos matemáticos como:
( )f n p tx + - = (1.3)
El análisis multicriterio basado en metas múltiples será objeto
de detallado estudio en el Capítulo 3 de esta monografía.
1.4. El criterio de optimalidad paretiana
En 1896, el economista italiano Vilfredro Pareto introdujo un
criterio de optimalidad que ha recibido su nombre y que puede
considerarse crucial en teoría económica. En su formulación inicial,
Pareto considera que una colectividad se encuentra en un estado óptimo
si ninguna persona de esa colectividad puede mejorar su situación sin
que empeore la situación de alguna otra persona de la misma. Esta
clase de optimalidad se denomina también eficiencia paretiana. El
atractivo del criterio de Pareto es que, aún tratándose indiscutiblemente

23
Introducción
de un juicio de valor, es muy poco fuerte, por lo que la mayoría de las
personas lo aceptarían razonablemente.
Este criterio de optimalidad paretiana puede transferirse de una
manera directa de la economía al análisis decisional multicriterio. Para
ello, basta sustituir el concepto original de Pareto de «sociedad» o
«colectivo» de personas por el de conjunto de criterios. Así, cada
criterio individual representa a una persona en esta nueva
interpretación. Esta traslación del concepto de optimalidad paretiana
juega un papel esencial en los diferentes enfoques desarrollados
dentro del paradigma multicriterio. Puede decirse que la eficiencia
paretiana es una condición exigida como necesaria para poder
garantizar la racionalidad de las soluciones generadas por los
diferentes enfoques multicriterio.
El concepto de optimalidad paretiana dentro del campo
multicriterio puede definirse formalmente de la siguiente manera. Un
conjunto de soluciones es eficiente (o Pareto óptimas) cuando está
formado por soluciones factibles (esto es, que cumplen las
restricciones), tales que no existe otra solución factible que
proporcione una mejora en un atributo sin producir un empeoramiento
en al menos otro de los atributos. A título de ejemplo, supongamos
que en un problema de selección de un modelo de caza-bombardero
el centro decisor considera como relevantes los siguientes atributos:
velocidad, carga máxima, coste y maniobrabilidad. Las seis ofertas
posibles vienen representadas en la Tabla 2.
Todos los atributos considerados son del tipo «más mejor»
excepto el atributo coste que, obviamente, es del tipo «menos mejor».
De acuerdo con la definición de eficiencia paretiana el modelo F es
no eficiente o inferior y nunca será elegido por un centro decisor
racional, pues está dominado por la alternativa o modelo D. En efecto,
aunque la velocidad y el coste en los dos modelos coinciden, sin
embargo, tanto la carga máxima como la maniobrabilidad
proporcionada por el modelo D es mayor que el proporcionado por el

24

25
Introducción
modelo F. Por el contrario, los modelos A, B, C y E son eficientes en
términos paretianos, pues ninguno de los modelos iguala o supera a
los otros tres en los cuatro criterios considerados.
Todos los enfoques multicriterio pretenden obtener soluciones
que sean eficientes en el sentido paretiano que acabamos de definir.
Incluso dentro de la programación multiobjetivo –que presentaremos
en el próximo Capítulo– el primer paso consiste en obtener el conjunto
de soluciones factible y eficientes. Esto es, el conjunto de soluciones
posibles se particiona en dos subconjuntos disjuntos. El subconjunto
de soluciones factibles no eficientes y el subconjunto de soluciones
factibles y eficientes. Una vez realizada tal partición, se introducen de
diferentes maneras las preferencias del centro decisor con objeto de
obtener un compromiso entre las soluciones factibles y eficientes.
1.5. La normalización de los criterios
Aunque no siempre es necesario en muchos métodos
multicriterio, resulta esencial proceder a la normalización de los
diferentes criterios en consideración. La normalización es necesaria,
al menos por los tres tipos de razones que exponemos seguidamente.
En primer lugar debe de tenerse en cuenta que en la mayor
parte de los contextos decisionales las unidades en que están medidos
los diferentes criterios suelen ser muy diferentes. Así, en el ejemplo
del apartado anterior los criterios están medidos en kilómetros/hora,
toneladas, pesetas, etc. En este tipo de situación, una comparación
o agregación de los diferentes criterios carece de significado.
En segundo lugar debe asimismo tenerse en cuenta que en
muchos problemas multicriterio, los valores alcanzables por los
diferentes criterios pueden ser muy diferentes. En tales casos, sin una
normalización previa de los criterios los métodos multicriterio pueden
conducirnos a soluciones sesgadas hacia los criterios con valores

26
alcanzables mayores (p.ej. la velocidad con respecto a la maniobrabilidad
en nuestro ejemplo del caza-bombardero).
Finalmente, cuando en la Sección siguiente analicemos
diferentes procedimientos para interaccionar con el centro decisor con
el propósito de obtener indicadores de sus preferencias, la
normalización previa de los criterios facilita este tipo de tarea. En efecto,
en bastantes casos los centros decisores realizan con más facilidad
las tareas comparativas entre criterios cuando trabajan con valores
normalizados de los mismos en vez de con sus correspondientes
valores originales.
Seguidamente pasamos a exponer brevemente los
procedimientos de normalización de criterios más utilizados en la
práctica. Uno de los métodos más simples consiste en dividir los valores
que alcanza el criterio por su valor «mejor». El valor mejor es el máximo
cuando el criterio consiste en un atributo del tipo «más mejor» o el
mínimo cuando se trata de un atributo del tipo «menos mejor». Así,
según se desprende de los datos de la Tabla 2 los valores normalizados
para los criterios, por ejemplo, velocidad y coste (columnas 1 y 3 de la
Tabla 1) son:
Velocidad
Coste
= = = =
æ
è
ç
ö
ø
÷
= = = =
æ
è
ç
ö
ø
÷
1400
1800
0 77
1700
1800
0 94
1800
1800
1
500
500
1
600
500
120
700
500
14
, ; , ;
; , ; ,
LL
LL
(1.4)
También pueden normalizarse los criterios, dividiendo los valores
que alcanza el criterio por su recorrido. Se entiende por recorrido la
diferencia entre el valor «mejor» y el valor «peor» alcanzado por cada
criterio. Con este procedimiento los valores normalizados de los criterios
velocidad y coste pasan a ser:
Velocidad
Coste
=
-
=
-
=
-
=
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
-
=
-
=
-
=
æ
è
ç
ö
ø
÷
1400
1800 1400
3 5
1700
1800 1400
4 25
1800
1800 1400
4 5
500
700 500
2 5
600
700 500
3
700
700 500
3 5
, ; , ; ,
, ; ; ,
LL
LL
(1.5)

27
Introducción
En algunos métodos multicriterio (véase la programación
compromiso en el Capítulo siguiente) resulta conveniente que los
valores normalizados de los criterios queden acotados en el intervalo
[0,1]. Este tipo de normalización puede conseguirse con facilidad
restando al «mejor» valor el que realmente alcanza el criterio, dividiendo
seguidamente dicha diferencia por el correspondiente rango. Operando
de esta forma los valores normalizados de los criterios velocidad y
coste son:
Velocidad
Coste
=
-
-
=
-
-
=
-
-
=
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
-
-
=
-
-
=
-
-
=
æ
è
ç
ö
ø
÷
1800 1400
1800 1400
1
1800 1700
1800 1400
0 25
1800 1800
1800 1400
0
500 500
700 500
0
600 500
700 500
0 50
700 500
700 500
1
; , ;
; , ;
LL
LL
(1.6)
Conviene indicar que con este sistema de normalización el valor
normalizado del criterio es 0 cuando el criterio alcanza su «mejor»
valor y por el contrario es 1 cuando el criterio alcanza su «peor» valor.
Finalmente, conviene indicar que en un contexto de programación por
metas (Capítulo 3) la manera más eficaz de normalizar los criterios
veremos que consiste en dividir las variables de desviación por los
correspondientes niveles de aspiración. De esta forma pasamos de
trabajar con desviaciones absolutas que están medidas en las unidades
que caracterizan a la correspondiente meta a operar con desviaciones
porcentuales que carecen de dimensión.
1.6. La ponderación preferencial de los criterios
Los criterios relevantes en un problema decisional pueden tener
diferente importancia para el centro decisor. Así, la velocidad del caza-
bombardero puede tratarse de un criterio que el centro decisor
considere más importante que la carga máxima del mismo o viceversa.
Este hecho hace que en muchos problemas decisionales resulte
necesario obtener unos pesos o indicadores de las preferencias
relativas del centro decisor por unos criterios con respecto a otros.
Conviene indicar que así como la tarea de normalizar criterios requiere

28
exclusivamente una información de tipo técnico, la estimación de las
preferencias relativas conlleva una fuerte carga subjetiva lo que hace
necesario que para estimar dichos pesos preferenciales tengamos
que interaccionar de una manera u otra con el centro decisor.
Seguidamente pasamos a exponer alguno de los
procedimientos utilizados para poder estimar pesos preferenciales.
La forma más sencilla de abordar esta tarea consiste en pedir al
centro decisor que clasifique los criterios por orden de importancia.
Es decir, si tenemos n criterios se solicita al centro decisor que
asigne el número 1 al criterio que considere más importante, el
número 2 al criterio siguiente en importancia hasta asignar el número
n al criterio que considera menos importante. Los pesos compatibles
con dicha información pueden obtenerse a partir de alguna de estas
dos expresiones [1]:
W
r
r
j
j
i
i
n
=
=
å
1
1
1
(1.7)
( )
( )
W
n r
n r
j
j
i
i
n
=
- +
- +
=
å
1
1
1
(1.8)
donde rj
es el lugar o posición que ocupa el criterio j- ésimo en la
clasificación establecida por el centro decisor. Supongamos que el
responsable de la selección de un caza-bombardero ordena la
importancia de los criterios de la siguiente manera:
La aplicación de la fórmula (1.7) conduce a los siguientes
pasos o indicadores cardinales de preferencias para los cuatro

29
Introducción
criterios considerados:
( ) ( )
( ) ( )
W velocidad W c a
W te W maniobrabilidad
1 2
3 4
1
2
1
1
1
2
1
3
1
4
0 24
1
4
1
1
1
2
1
3
1
4
012
1
3
1
1
1
2
1
3
1
4
016
1
1
1
1
1
2
1
3
1
4
0 48
=
+ + +
= =
+ + +
=
=
+ + +
= =
+ + +
=
, ; arg ,
cos , ; ,
(1.9)
La aplicación de la fórmula (1.8) conduce a los siguientes
nuevos pesos o indicadores cardinales de preferencias para los
cuatro criterios considerados:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
W velocidad W c a
W te W maniobrabilidad
1 2
3 4
4 2 1
4 3 2 1
0 30
4 4 1
4 3 2 1
010
4 3 1
4 3 2 1
0 20
4 1 1
4 3 2 1
0 40
=
- +
+ + +
= =
- +
+ + +
=
=
- +
+ + +
= =
- +
+ + +
=
, ; arg ,
cos , ; ,
(1.10)
Es interesante observar que con el procedimiento expuesto
la suma de los pesos preferenciales obtenidos es igual a uno. Esta
propiedad es bastante útil tanto para interpretar el significado de
los pesos como para facilitar su uso por parte del centro decisor.
El procedimiento de estimar pesos preferenciales que
acabamos de expresar, aunque tiene un claro interés práctico no
está exento de dificultades. Así, con este enfoque tenemos en cuenta
que el criterio i-ésimo es preferido al criterio j-ésimo, pero no tenemos
en absoluto en cuenta la intensidad con la que el criterio i-ésimo es
preferido al j-ésimo. Por otra parte, ordenar simultáneamente los n
criterios es una tarea complicada para cualquier centro decisor, muy
especialmente cuando el número n de criterios es elevado.
Este tipo de dificultades pueden superarse recurriendo a un
procedimiento sugerido por Saaty [2] que constituye la base de la
metodología multicriterio conocida por procesos analíticos jerarquizados
(véase Capítulo 4). Este procedimiento requiere del centro decisor la

30
comparación simultánea de sólo dos objetivos. Es decir, el centro decisor
ha de realizar una comparación de valores subjetivos por «parejas».
Los valores numéricos que propone aplicar Saaty son los
siguientes: (1) cuando los criterios son de la misma importancia; (3)
moderada importancia de un criterio con respecto a otro; (5) fuerte
importancia; (7) demostrada importancia; y (9) extrema importancia.
Asimismo, Saaty sugiere valores intermedios para juicios de valor
contiguos. Supongamos que con la aplicación de esta escala el centro
decisor nos proporciona los valores subjetivos que figuran recogidos
en la matriz de la Tabla 3.
La interpretación de los elementos de dicha matriz es inmediata.
Así, tenemos que el centro decisor considera que la velocidad es
demostradamente mas importante que la carga, que la velocidad se
puede considerar que tiene la misma o una moderada mayor
importancia que el coste, etc. Es interesante observar que, por su propia
construcción, este tipo de matrices a lo «Saaty» poseen propiedades
recíprocas (esto es, aij
= 1/aji
). A partir de la matriz anterior se pretende
encontrar un vector de pesos (W1
, W2
, W3
, W4
) que resulte consistente
con las preferencias subjetivas mostradas por el centro decisor y
reflejadas en la comentada matriz. Es decir, tenemos que encontrar
una solución al siguiente sistema de ecuaciones:
(1.11)
Dadas las normales inconsistencias en los juicios de valor emitidos
por el centro decisor el sistema de ecuaciones homogéneas dado por
(1.11) tiene como única solución la trivial (i.e. W1
= ... = W4
= 0). Ante tal
situación el paso lógico consiste en encontrar el vector de pesos W
que más se aproxime a los pesos verdaderos. Esta tarea puede
abordarse recurriendo a diferentes procedimientos matemáticos. Uno
de los más sencillos consiste en calcular la media geométrica de los
elementos de cada fila de la matriz de comparación por «parejas».
Operando de esta manera obtenemos:

32
( )
W
W
W
W
1
1
4
2
1
4
3
1
4
4
1
4
1 7 2
1
2
1627
1
7
1
1
5
1
9
0 237
1
2
5 1 1 1257
2 9 1 1 2 060
= ´ ´ ´
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
= ´ ´ ´
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
= ´ ´ ´
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
= ´ ´ ´ =
,
,
,
,
(1.12)
Tal como hemos indicado anteriormente, es conveniente trabajar
con pesos que sumen la unidad. Para ello, nos basta con dividir cada
uno de los pesos anteriormente hallados por la suma de todos ellos.
Operando, de tal manera obtenemos los siguientes pesos:
W W W W1 2 3 40 314 0 046 0 243 0 398= = = =, , , , (1.13)
Es interesante observar que el procedimiento de la media
geométrica hace mínima la suma de los cuadrados de las desviaciones
entre Wi
/Wj
y aij
, midiendo dichas desviaciones en sus logaritmos
neperianos. Es decir el resultado obtenido hace mínima la siguiente
expresión [3]:
( )[ ]l W l W l an i n j n ij
ji
n
- -
>=
åå
2
11
(1.14)
Aunque no puede hablarse del mejor método para estimar pesos
preferenciales, sin embargo, siempre que las características del centro
decisor permitan efectuar una interacción estructurada los métodos
tipo Saaty basados en comparaciones por «parejas» parecen ofrecer
una mayor solidez con respecto a otros métodos alternativos.

34

35
2Métodos
de optimización
multiobjetivo

36
2.1. Aspectos básicos
La programación multiobjetivo -también llamada optimización
vectorial- constituye un enfoque multicriterio de gran potencialidad
cuando el contexto decisional está definido por una serie de objetivos
a optimizar que deben de satisfacer un determinado conjunto de
restricciones. Como la optimización simultánea de todos los objetivos
es usualmente imposible -pues en la vida real entre los objetivos que
pretende optimizar un centro decisor suele existir un cierto grado de
conflicto- el enfoque multiobjetivo en vez de intentar determinar un no
existente óptimo pretende establecer el conjunto de soluciones
eficientes o Pareto óptimas, según el sentido que se dio a este concepto
en la Sección 1.4.
Planteado el problema en estos términos, la estructura general
de un programa multiobjetivo puede representarse esquemáticamente
de la siguiente manera:
Eƒƒ f(x) = [f1
(x), ... fi
(x), ... fn
(x)] (2.1)
sujeto a:
x FÎ (2.2)
donde:
Eƒƒ significa la búsqueda de soluciones eficientes o Pareto
óptimas.

37
Métodos de optimización multiobjetivo
fi
(x) = Expresión matemática del atributo i-ésimo.
x = Vector de variables de decisión.
F = Conjunto de restricciones -usualmente lineales- que
definen el conjunto de soluciones posibles.
Debe de indicarse que la búsqueda de soluciones eficientes
puede establecerse en un sentido maximizador cuando «más del
atributo mejor» o en su sentido minimizador cuando «menos del atributo
mejor».
El propósito del enfoque multiobjetivo consiste en segregar del
conjunto de soluciones posibles un subconjunto propio del mismo cuyos
elementos gocen de la condición de optimalidad paretiana en el sentido
que se dio a este concepto en el capítulo anterior. Debe de indicarse
que la programación multiobjetivo aborda tal tarea utilizando una
información estrictamente técnica (restricciones, expresiones
matemáticas de los atributos, etc) sin incorporar al análisis ninguna
información sobre las preferencias del centro decisor. Planteado el
problema en estos términos, la operatividad de la programación
multiobjetivo consistirá en desarrollar una serie de técnicas que
permitan a partir de la estructura (2.1)-(2.2) generar el conjunto de
soluciones eficientes o Pareto óptimas. En el apartado siguiente se
realiza una exposición introductoria de dichas técnicas.
2.2. Técnicas generadoras del conjunto eficiente
Los métodos más utilizados para generar, o al menos aproximar,
el conjunto eficiente son: el método de las ponderaciones, el método
de las restricciones y el simplex multicriterio. Seguidamente pasamos
a exponer los rasgos básicos de cada uno de estos métodos.
En el método de las ponderaciones se multiplica cada objetivo
por un peso o factor no negativo, procediéndose seguidamente a
agregar todos los objetivos ponderados en una única función objetivo.

38
La optimización de dicha función ponderada y agregada genera un
elemento del conjunto eficiente. Por medio de la parametrización de
los pesos asociados a los objetivos se va aproximando el conjunto
eficiente o conjunto de soluciones Pareto óptimas. Así, en un problema
multiobjetivo con n objetivos a maximizar la aplicación del método de
las ponderaciones conduce al siguiente programa lineal paramétrico:
( )Max fi i
i
n
l x
=
å
1
(2.3)
sujeto a: x F
0
Î
³l
(2.4)
Para cada vector de pesos l se obtiene un elemento del conjunto
eficiente. Debe de apuntarse que el método de las ponderaciones
garantiza soluciones eficientes sólo cuando los pesos son estrictamente
positivos (p.ej. l > 0). Pasamos seguidamente a exponer los rasgos
básicos del llamado método de las restricciones. Con este método se
optimiza uno de los n objetivos esto es, se trata como función objetivo
propiamente dicha mientras que los demás objetivos se incorporan al
conjunto de restricciones como restricciones paramétricas. Para cada
conjunto de valores que se de al vector de términos independientes, o
término de la derecha, se genera un elemento del conjunto eficiente.
Así, en un problema multiobjetivo con n objetivos a maximizar, la
aplicación del método de las restricciones conduce al siguiente nuevo
programa lineal paramétrico:
( )Max fj x (2.5)
sujeto a:
( )f H i j j nj ix
x F
³ = - +
Î
1 2 1 1, , , ,L L (2.6)
Variando paramétricamente los términos de la derecha Hi
iremos
generando los elementos del conjunto eficiente. Debe de apuntarse
que el método de las restricciones garantiza soluciones eficientes sólo
cuando las restricciones paramétricas de (2.6) son activas en el óptimo.

39
El Simplex muticriterio genera todos los puntos de esquina
(corner points) eficientes de un problema multiobjetivo desplazándose
para ello de un punto esquina al punto esquina contiguo. El algoritmo
del Simplex tradicional constituye el mecanismo adecuado para
efectuar este tipo de desplazamiento de un punto de esquina a un
punto adyacente, por medio de una operación de pivotado. En
combinación con esta operación de salto de un punto de esquina a
otro, el Simplex multicriterio recurre a una subrutina que permite
comprobar la eficiencia o no de cada punto obtenido. El Simplex
multicriterio trabaja eficientemente sólo con problemas de un tamaño
reducido. Entendiendo por tamaño reducido, problemas con un número
de objetivos inferior a cinco, así como un número de variables y
restricciones no superior a cien [4].
La programación multiobjetivo, tal como la hemos presentado
en los apartados anteriores, puede considerarse como la primera etapa
de un proceso decisional. En efecto, con la aplicación de este enfoque
conseguimos particionar el conjunto factible en dos subconjuntos: el
subconjunto de soluciones paretianamente eficientes y el subconjunto
de soluciones dominadas, o inferiores. La partición del conjunto factible
se ha realizado de una manera mecánica, sin tener en cuenta las
preferencias del centro decisor. En todo caso, una vez que las soluciones
inferiores han sido eliminadas, puede decirse que comienza el proceso
decisional propiamente dicho. Para abordar tal tipo de tarea, tendremos
que introducir de una manera u otra las preferencias del centro decisor.
Una de las formas más fructíferas de abordar esta tarea es por medio
de la programación compromiso cuyos rasgos básicos se exponen en
la siguiente Sección.
2.3. Programación compromiso
El primer paso dentro del enfoque compromiso consiste en
establecer lo que Zeleny llama el punto o la alternativa ideal [5]. Las
coordenadas de la alternativa ideal vienen dadas por los valores óptimos

40
de los correspondientes objetivos, forzando el proceso de optimización
al cumplimiento de las restricciones del problema. El punto o alternativa
ideal se puede representar por medio del siguiente vector:
( )f* * * *
= f f fi n1 , ,L L (2.7)
siendo:
( )f Max fi i
*
= x (2.8)
sujeto a :
x FÎ (2.9)
cuando se pretende maximizar los n objetivos. Cada elemento del vector
f*
se denomina «punto ancla». La alternativa ideal es usualmente inal-
canzable. Obviamente, si dicha alternativa fuera alcanzable, ello
implicaría que no existe conflicto alguno entre los n objetivos, por lo
que de hecho no existiría ningún problema de elección multicriterio,
pues la alternativa ideal f*
sería la elección óptima.
Cuando el punto o alternativa ideal es inalcanzable, la elección
óptima o mejor solución compromiso viene dada por la solución eficiente
más próxima al punto ideal. Esta regla de comportamiento suele
denominarse axioma de Zeleny, pues fue este investigador quien lo
propuso en 1973. De acuerdo con este postulado, dadas las soluciones
f1
y f2
, la solución preferida será aquella que se encuentre más próxima
al punto ideal. Dependiendo de la métrica que se elija tendremos
diferentes funciones de distancia, lo que nos permitirá establecer
diferentes conjuntos compromiso. Para abordar tal tarea,
comenzaremos por definir el grado de proximidad existente entre el
objetivo i-ésimo y su ideal o valor ancla:
( )[ ]d f fj j j= -*
x (2.10)
Una vez definido el grado de proximidad dj
el paso siguiente
consistirá en agregar los grados de proximidad para todos los objetivos
de nuestro problema. Ahora bien, hay que tener en cuenta que

41
usualmente los objetivos están medidos en unidades distintas, por lo
que la suma de los grados de proximidad no tiene sentido o significado,
al carecer de homogeneidad dimensional. Por tanto, habrá que proceder
a la normalización de los objetivos. Por otra parte, los valores absolutos
de los niveles de logro de los diferentes objetivos pueden ser muy
diferentes, lo que refuerza la necesidad de una normalización, si
queremos evitar soluciones sesgadas hacia los objetivos que pueden
alcanzar valores mayores. Una posible forma de normalizar los objetivos
(véase Sección 1.5), es la siguiente:
( )[ ]
[ ]
d
f f
f f
j
j j
j j
=
-
-
*
*
*
x
(2.11)
donde dj
representa el grado de proximidad del objetivo j-ésimo
normalizado y f*j
es el anti-ideal de dicho objetivo, i.e. el peor valor posible
para el objetivo j-ésimo sobre el conjunto eficiente. El grado de proximidad
normalizado está acotado entre 0 y 1. Así, cuando un objetivo alcanza
su valor ideal, su grado de proximidad es cero; por el contrario, dicho
grado se hace igual a uno cuando el objetivo en cuestión alcanza un
valor igual al anti-ideal. Si representamos ahora por Wj
las preferencias
que el centro decisor asocia a la discrepancia existente entre la realización
del objetivo j-ésimo y su ideal, la programación compromiso -consistente
en la búsqueda de las soluciones eficientes más próximas el ideal- se
convierte en el siguiente problema de optimización:
( )
MinL W
f f
f f
j
j j
j jj
n
p
p
p p
=
-
-
é
ë
ê
ù
û
ú
ú
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
*
*
*=
å
x
1
1
(2.12)
sujeto a: x FÎ
El parámetro p representa la métrica que define la familia de
funciones de distancia. Es decir, para cada valor del parámetro p
tendremos una distancia en concreto. Así, la distancia tradicional o
euclidiana es un caso particular de la expresión (2.12); esto es, el que
corresponde a p = 2. Para p = 1, la mejor solución compromiso, o
punto más próximo al ideal se puede obtener resolviendo el siguiente
problema de optimización:

42
( )
MinL W
f f
f f
j
j j
j jj
n
1
1
=
-
-
*
*
*=
å
x
(2.13)
sujeto a: x FÎ
Es fácil comprobar que la maximización de la función objetivo
(2.13) es equivalente a la siguiente maximización:
( )
( )Max W
f
f f
Max fj
j
j jj
n
j j
j
nx
x*
*= =-
=å å
1 1
a (2.14)
donde: ( )aj j j jW f f= -*
* (2.15)
Para la métrica p = ¥, se minimiza la máxima desviación de
entre todas las desviaciones individuales; esto es, para p = ¥ sólo la
desviación mayor influye en el proceso de minimización. Para esta
métrica, la mejor solución compromiso o punto más próximo al ideal
se puede obtener resolviendo el siguiente problema de optimización:
MinL D¥ = (2.16)
sujeto a:
( )[ ]
( )[ ]
a
a
1 1 1f f D
f f Dn n n
*
*
- £
- £
x
x
M
(2.17)
donde las a fueron definidas anteriormente.
Para obtener la mejor solución compromiso para métricas
distintas de p = 1 y p = ¥, se hace necesario recurrir a algoritmos de
programación matemática no lineal, lo que constituye indudablemente
una dificultad operativa. No obstante, esta dificultad queda conside-
rablemente reducida si tenemos en cuenta un importante resultado
introducido en la literatura por Yu [5]. Así, este autor demostró que,
para problemas con dos objetivos, los puntos L1
y L¥
definen un

43
subconjunto de la frontera eficiente denominado por Zeleny [6] conjunto
compromiso. Las otras mejores soluciones compromiso pertenecen al
conjunto acotado por dichos puntos L1
y L¥
. Posteriormente, Freimer &
Yu [7] demostraron que, para problemas con más de dos objetivos, los
puntos L1
y L¥
no tienen que definir necesariamente un conjunto
compromiso. Dicho con otras palabras, en contextos de más de dos
objetivos, para métricas distintas de p = 1 y p =¥, pueden existir
soluciones compromiso que no pertenezcan al intervalo cerrado [L1
, L¥
].
Aunque la posibilidad apuntada por Freimer & Yu es cierta, sin embargo
es poco probable que se presente en la práctica, por lo que la
potencialidad de la programación compromiso se mantiene al no ser
necesario usualmente computar complicados modelos de programación
matemática no lineal.
Es asimismo interesante comentar que en el punto L¥
se
satisfacen las siguientes relaciones entre objetivos [8]:
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]a a a1 1 1f f f f f fi i i n n n
* * *
- = - = -x x xL L (2.18)
es decir, la solución asociada al punto L¥
es una solución bien
equilibrada, pues las discrepancias ponderadas y normalizadas entre el
valor alcanzado por cada objetivo y sus respectivos ideales son iguales.
El carácter equilibrado de la solución -- dota a este punto de un especial
atractivo desde un punto de vista de elección. En efecto, muchos centros
decisores pueden centrar su atención en la elección de soluciones
equilibradas en el siguiente sentido; no a unos excesivos gastos en
alimentación en detrimento de los gastos en vestidos, demasiados gastos
para vacaciones en detrimento de los gastos en educación, etcétera.
Puede decirse que la solución L1
corresponde a una situación en
la que se maximiza la suma ponderada de los logros de cada objetivo,
traduciéndose en algo así como en un punto de máxima eficiencia, pero
que puede estar fuertemente desequilibrado. Por el contrario, en la
solución L¥
subyace una lógica de equilibrio en vez de una lógica de
eficiencia.

44
2.4. Diseño óptimo de un contenedor
El problema consiste en fabricar contenedores de base cuadrada,
abiertos por la parte de arriba con una capacidad o volumen de 10 m3
.
El fabricante desea minimizar el coste de los contenedores, así como
minimizar su peso. Ahora bien, como los materiales más ligeros son
los más caros nos encontramos ante un claro conflicto entre objetivos.
En concreto el material con el que se va a construir el fondo del
contenedor cuesta 1000 ptas/m2
y pesa 4 Kg/m2
, mientras que el
material con el que se van a construir las caras del contenedor cuestan
500 ptas/m2
y pesa 8 Kg/m2
. Si representamos por x1
la dimensión de
los lados de la base del contenedor y por x2
la dimensión de su altura,
tenemos la estructura del siguiente problema multiobjetivo, bi-objetivo,
para ser más preciso:
Eƒƒ f(x) = [f1
(x), f2
(x)] (2.19)
donde: ( )
( )
f x x x x
f x x x x
1 1
2
1 2
2 1
2
1 2
1000 2000
4 32
= +
= +
(2.20)
sujeto a: x x1
2
2 10= (2.21)
donde f1
(x) y f2
(x) representan las expresiones matemáticas de los
atributos coste y peso del contenedor. En este ejemplo, la eficiencia de
los dos objetivos queda establecida en un sentido minimizador (i.e.
menos del atributo mejor). El siguiente problema de optimización nos
permite obtener el ideal o ancla del objetivo coste, así como el anti-
ideal del objetivo peso del contenedor
Min f x x x1 1
2
1 21000 2000= + (2.22)
sujeto a: x x1
2
2 10=
f x x x2 1
2
1 24 32= + (2.23)
Recurriendo a un optimizador no lineal como el GINO [9]
obtenemos la siguiente solución tanto en el espacio de las variables
de decisión como en el espacio de los objetivos:

45
x x
f ptas f Kg
1 2
1 2
215 215
13 925 167
= =
= =*
*
, ,
.
(2.24)
El siguiente problema de optimización nos permite obtener el
ideal o ancla del peso del contenedor, así como el anti-ideal del
coste:
Min f x x x2 1
2
1 24 32= + (2.25)
sujeto a: x x1
2
2 10=
f x x x1 1
2
1 21000 2000= + (2.26)
Recurriendo nuevamente al GINO obtenemos la siguiente
solución:
x x
f ptas f Kg
1 2
1 2
3 42 0 85
17752 140
= =
= =*
*
, ,
(2.27)
Para generar el conjunto de diseños eficientes operativizamos
el método de las restricciones por medio del siguiente programa no
lineal paramétrico.
Min x x x4 321
2
1 2+ (2.28)
sujeto a: x x1
2
2 10=
1000 20001
2
1 2 1x x x H+ £ (2.29)
Los valores ideales f1
*
y anti-ideales f1*
del coste del contenedor
que habíamos acabado de obtener nos determinan el límite inferior y
superior respectivamente del intervalo dentro del cual el parámetro H1
puede variar; esto es, el parámetro H1
puede variar entre las 17752 y
las 13925 pesetas. Fijando un incremento de variación de, por ejemplo,
500 pesetas deberemos de realizar siete «pasadas» de ordenador o
computaciones del programa no lineal paramétrico dado por (2.29). La
Tabla 4 muestra los puntos (diseños) eficientes obtenidos por la
aplicación de este procedimiento.

46
Seguidamente vamos a investigar el mejor diseño compromiso. Pa-
ra ello, a título de ejemplo, suponemos que el centro decisor da la misma
importancia a los dos criterios considerados (esto es, W1
= W2
= 1). En tal
caso el punto L1
del conjunto compromiso lo obtendremos por medio
del siguiente problema de optimización (véase (2.13) o (2.14)).
Min
f f1 213295
3827
140
27
-
+
-
(2.30)
sujeto a: x x1
2
2 10=
f x x x
f x x x
1 1
2
1 2
2 1
2
1 2
1000 2000
4 32
= +
= +
(2.31)
Resolviendo (2.30)-(2.31) obtenemos la siguiente solución o
mejor diseño compromiso para la métrica 1:
x x
f ptas f Kg
1 2
1 2
2 75 132
14843 147
= =
= =
, ,
(2.32)
El punto L¥
del conjunto compromiso lo obtendremos por medio
del siguiente problema de optimización (véase (2.16)-(2.17)):
MinL D¥ =
sujeto a: x x1
2
2 10=
f D
f D
f x x x
f x x x
1
2
1 1
2
1 2
2 1
2
1 2
3827 13925
27 140
1000 2000
4 32
- £
- £
= +
= +
(2.33)
Resolviendo (2.33) obtenemos el mejor diseño-compromiso
correspondiente a la métrica ¥. En este ejemplo concreto se obtiene el
mismo límite que había generado la métrica 1. Es decir, para nuestro
ejemplo el conjunto compromiso [L1
, L¥
] queda reducido a un sólo
punto. Dicho con otras palabras, en este caso el diseño eficiente más
próximo al diseño ideal es el mismo para las distancias definidas por
las métricas p= 1 y p= ¥.

47

48
2.5. Una aplicación a la selección de inversiones desde una óptica
económica y ambiental
Tanto la lógica como la mecánica operativa de la programación
compromiso son perfectamente aplicables a problemas multicriterio
de tipo discreto. Vamos a ilustrar esta cuestión en este apartado por
medio de un ejemplo ilustrativo. Así, supongamos el caso de un centro
decisor que tiene que ordenar preferencialmente cinco inversiones que
denominamos A, B, C, D y E, que se evalúan en base a cinco criterios:
valor actual neto (VAN), tasa interna de rendimiento (TIR), nivel de
empleo, volumen de ventas e impacto ambiental. Todos los criterios
son del tipo «más del atributo mejor», excepto para el criterio impacto
ambiental, en el que un valor más bajo del índice toneladas de SO2
emitidas indica, obviamente, una situación ambientalmente mejor. Los
datos de partida, esto es, la matriz decisional figura recogida en la
Tabla 5.
De la Tabla 5 se deducen inmediatamente los siguientes vectores
ideal y anti-ideal.
Ideal = [250, 30, 20, 100, 25]
Anti-ideal = [100, 15, 4, 25, 500]
Supongamos que el centro decisor proporciona el siguiente
vector de pesos preferenciales:
[ ]W W W W W W= = = = = =1 2 3 4 50 25 0 25 0 20 010 0 20, , , , , , , , , (2.34)
es decir, el VAN y el TIR de la inversión son 2,5 veces más importantes
que las ventas, este atributo es a la vez, la mitad de importante que los
atributos impacto ambiental y nivel de empleo, etc.
El primer paso para aplicar la programación compromiso a
nuestro problema de selección de inversiones consistirá en calcular la

49

50
matriz de grados de proximidad normalizados. Los elementos de dicha
matriz se obtienen por aplicación inmediata de la expresión (2.11) a la
matriz decisional inicial recogida en la Tabla 5. Así, por ejemplo, el
grado de proximidad al ideal de la alternativa A para el atributo 4
(volumen de ventas) vendrá dado por:
d A, ,4
100 40
100 25
0 80=
-
-
= (2.35)
Los 25 grados de proximidad para los datos de nuestro ejemplo
quedan representados en la matriz de la Tabla 6. A partir de los datos
de la Tabla 6 procedemos a calcular las distancias entre cada punto
extremo eficiente o alternativa y el punto ideal. Dichos cálculos se han
efectuado para las métricas p = 1, p = 2 y p = ¥. A título ilustrativo
reproducimos los cálculos para el caso de la alternativa o elección A:
( )
( )
( ) [ ]
L A
L A
L A Max
1
2
2 2 2 2 2 2 2 2
0 25 1 0 25 1 0 20 0 8125 010 0 80 0 20 0 053 0 753
0 25 1 0 25 1 0 20 0 8125 010 0 80 0 20 0 053 0 397
0 25 1 0 25 1 0 20 0 8125 010 0 80 0 20 0 053 0 25
= ´ + ´ + ´ + ´ + ´ =
= ´ + ´ + ´ + ´ + ´ =
= ´ ´ ´ ´ ´ =¥
, , , , , , , , ,
, , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , , , ,
(2.36)
En la Tabla 7 figuran recogidas las distancias obtenidas entre
las cinco alternativas -para las tres métricas elegidas- y el punto ideal.
Dichos resultados implican la ordenación de alternativas de la Figura
1. Puede resultar interesante observar que para las métricas p = 1 y
p = 2 la ordenación de alternativas obtenida es la misma. Sin embargo,
para la métrica p = ¥ se producen algunos cambios. Así, se
intercambia el orden de las alternativas B y E; formando las
alternativas A y C un conjunto de indiferencia en la parte inferior de
la escala de ordenación.

51

52

53

54

55
3Métodos
satisfacientes
(programación
por metas)

56
3.1. Aspectos básicos
La utilidad de los métodos expuestos en el Capítulo anterior se
reduce considerablemente en problemas decisionales de un tamaño
elevado. Así, un problema con seis atributos, varios cientos de variables
de decisión y de restricciones, no es computacionalmente abordable a
través de métodos de optimización multiobjetivo. Para enfrentarse a
este tipo de problemas de gran dimensión hace falta recurrir a
procedimientos más flexibles. Dentro de esta línea pragmática puede
encuadrarse la programación por metas (goal programming) a cuya
exposición vamos a dedicar este Capítulo.
La programación por metas se apoya en una lógica no
optimizante sino en lo que Simon [10] ha acuñado como lógica
satisfaciente. El premio Nobel Simon conjetura que en las complejas
organizaciones actuales, el contexto decisional está definido por
información incompleta, recursos limitados, multiplicidad de objetivos,
conflictos de intereses, etc. Simon conjetura que en este tipo de
contexto el centro decisor más que optimizar una o varias funciones
objetivo intenta que una serie de metas relevantes se aproximen lo
más posible a unos niveles de aspiración fijados de antemano. Este
tipo de complejidad se encuentra presente en muchos problemas
relacionados con la planificación, diseño o explotación de sistemas.
Por tanto, parece adecuado que en el contexto de esta monografía
se de una visión, aunque sea introductoria, de la programación por
metas.

57
Métodos de satisfacientes (programación por metas)
El embrión de la programación por metas surge en 1955 en un
articulo de Charnes, Cooper y Ferguson [11], publicado en Management
Science, en el que se aplica el concepto a un problema de regresión
condicionada para analizar un problema de fijación de salarios para
ejecutivos. No obstante, pese a la potencialidad del enfoque, hasta
mediados de los años setenta las aplicaciones de la programación por
metas son bastante escasas. Sin embargo, a partir de esa fecha y
debido principalmente a los trabajos seminales de Lee [12] e Ignizio
[13] se produce una enorme eclosión de trabajos en los que se
desarrollan tanto aspectos teóricos de la programación por metas como
aplicaciones de este enfoque a áreas muy diversas. Puede decirse
que la programación por metas ha sido y todavía es el enfoque
multicriterio más utilizado en la práctica [14].
3.2. Niveles de aspiración y variables de desviación
Para formular un modelo de programación por metas, igual que
sucede con los demás enfoques multicriterio, comenzamos por fijar
los atributos que consideremos relevantes para el problema que
estemos analizando. Una vez establecidos los atributos, asignamos a
cada uno de ellos un nivel de aspiración. Entendemos por nivel de
aspiración ti
el nivel de logro que el centro decisor desea alcanzar para
el atributo i-ésimo. A continuación, tal como se expuso en la Sección 1.3
conectamos el atributo con el nivel de aspiración por medio de las
variables de desviación negativa y positiva, respectivamente. De esta
forma completamos la estructura de la meta i-ésima cuya expresión
algebraica es:
( )f n p ti i i ix + - = (3.1)
donde, tal como se expuso en la Sección 1.3 fi
(x) representa la
expresión matemática del atributo i-ésimo, ti
, el nivel de aspiración
asociado a dicho atributo, ni
y pi
las variables de desviación negativa y
positiva respectivamente. La variable de desviación negativa cuantifica
la falta de logro de una meta con respecto a su nivel de aspiración,

58
mientras que la variable de desviación positiva juega el papel opuesto;
es decir, la cuantificación del exceso de logro de una meta con respecto
a su nivel de aspiración. Así, en el ejemplo del diseño de un contenedor,
desarrollado en el capítulo anterior, podemos expresar el volumen del
mismo por medio de la siguiente meta:
x x n p1
2
2 1 1 10+ - = (3.2)
Por ejemplo, si el diseño elegido fuera: x1
= 2; x2
= 2,25, ello
implicaría:
9 10 1 01 1 1 1+ - = ® = =n p n p; (3.3)
es decir, el volumen del contenedor ha quedado un metro cúbico por
debajo del nivel de aspiración. Supongamos ahora el diseño elegido
fuera: x1
= 2, x2
= 3, ello implicaría:
12 10 0 21 1 1 1+ - = ® = =n p n p; (3.4)
es decir el volumen del contenedor ha quedado dos metros cúbicos
por encima del nivel de aspiración. Supongamos finalmente que el
diseño elegido fuera: x1
= 2, x2
= 2.50, ello implicaría:
10 10 01 1 1 1+ - = ® = =n P n p (3.5)
es decir, el volumen del contenedor coincide exactamente con los diez
metros cúbicos en que se había fijado el nivel de aspiración.
Una vez definidas las metas y aclarado el significado de las
variables de desviación pasamos a introducir un concepto esencial en
programación por metas: variables de desviación no deseadas. Una
variable de desviación se dice que es no deseada cuando al centro
decisor le conviene que la variable en cuestión alcance su valor más
pequeño (esto es, cero). A un nivel expositivo elemental podemos
considerar los siguientes tres casos:

59
a) La meta deriva de un atributo del tipo más del atributo mejor
(equivalente a un objetivo a maximizar). Ejemplos de este tipo de metas
pueden ser: el beneficio de un plan de producción, la fiabilidad de un
sistema, etc. En estos casos la variable no deseada (a minimizar), será
la variable de desviación negativa (cuantificación de la falta de logro).
b) La meta deriva de un atributo del tipo menos del atributo
mejor (equivalente a un objetivo a minimizar). Ejemplos de este tipo de
metas pueden ser: el coste de un proceso de producción, el consumo
de un motor, etc. En estos casos la variable no deseada (a minimizar),
será la variable de desviación positiva (cuantificación del exceso de
logro).
c) La meta deriva de un atributo del que se quiere alcanzar
exactamente su nivel de aspiración. Ejemplos de este tipo pueden ser:
volumen de un contenedor, nivel de capturas en un problema de gestión
pesquera, etc. En estos casos tanto la variable de desviación negativa
como la positiva son variables no deseadas y por tanto variables a
minimizar.
3.3. Variantes de la programación por metas
El propósito general de la programación por metas consiste en
minimizar las variables de desviación no deseadas. El proceso de
minimización puede acometerse de diferentes maneras. Cada método
o manera conduce a una variante diferente de la programación por
metas. Seguidamente pasamos a exponer los rasgos fundamentales
de las variantes más utilizadas.
Comenzaremos con la variante denominada programación por
metas ponderadas. Con este enfoque se engloba en una función
objetivo agregada todas las variables de desviación no deseadas
convenientemente ponderadas. La estructura algebraica de un modelo
de programación por metas ponderadas es la siguiente:

60
( )Min n pi i i i
i
m
a b+
=
å
1
(3.6)
sujeto a:
( )f n p t i mi i i ix
x F
x 0 n 0 P 0
+ - = =
Î
³ ³ ³
1, ,L
(3.7)
donde ai
y bi
representan los pesos o factores de ponderación asociados
a las variables de desviación negativa y positiva para la meta i-ésima y
F el conjunto alcanzable o conjunto de restricciones. Obviamente, los
pesos b tomarán el valor cero cuando se desea que el logro de la meta
sea mayor que el nivel de aspiración establecido. De igual manera, los
pesos a tomarán el valor cero cuando se desea que el logro de la meta
sea menor que el nivel de aspiración establecido. Los pesos a y/o b
distintos de cero, jugarán el papel normalizador y preferencial que se
analizó en las Secciones 1.5 y 1.6.
La segunda variante corresponde a la programación por metas
lexicográficas. Este enfoque utiliza el concepto de prioridad o peso
excluyente (pre-emptive priorities). Este tipo de peso excluyente
implica que el logro de las metas situadas en una cierta prioridad es
inconmesurablemente preferido al logro de cualquier otro conjunto
de metas situadas en una prioridad mas baja. En la programación
por metas lexicográficas, las metas situadas en prioridad más alta se
satisfacen en la medida de lo posible, sólo entonces se considera la
posible satisfacción de metas situadas en prioridades más bajas. Es
decir, las preferencias se ordenan igual que las palabras en un léxico
o diccionario, de ahí la denominación de programación por metas
lexicográficas.
Para completar la conceptualización de los modelos basados
en metas lexicográficas debemos de introducir el concepto de función
de logro (achievement function). La función de logro está formada por
un vector ordenado cuya dimensión coincide con el numero de niveles

61
de prioridad que se hallan establecido. Cada componente de este vector
representa las variables de desviación que hay que minimizar, con
objeto de conseguir la máxima realización posible de las metas situadas
en la correspondiente prioridad. La estructura general de la función de
logro es la siguiente:
( ) ( ) ( )[ ]Lex min h h hqa n, p n, p n, p= 1 2, , L (3.8)
o de una manera mas simple:
[ ]Lex min qa a a a= 1 2, , L (3.9)
La minimización lexicográfica de los vectores (3.8) o (3.9)
implica la minimización ordenada de sus componentes; esto es, se
minimiza la primera componente a1
de la función de logro,
seguidamente se minimiza la segunda componente a2
respetando
el valor de a1
previamente obtenido, y así sucesivamente. La
estructura algebraica de un modelo de programación por metas
lexicográficas es la siguiente:
[ ]Lex min qa a a a= 1 2, , L
sujeto a:
( )
i m
f n p ti i i i
=
+ - =
Î
³ ³ ³
1,...,
x
x F
x 0 n 0 P 0
(3.10)
Los modelos basados en metas lexicográficas no pueden
resolverse por una aplicación directa del Simplex. En efecto, en un
contexto lexicográfico lo que se busca es el mínimo valor de un vector
ordenado y no el valor mínimo del producto escalar de dos vectores.
Para abordar un proceso de minimización lexicográfica existen
diferentes enfoques algorítmicos, de ellos tal vez el más intuitivo y

62
operativo sea el método secuencial. Este método consiste en resolver
una secuencia de programas lineales. El primer programa de la
secuencia minimiza la primera componente del vector de logro, sujeta
esta minimización a las restricciones (igualdades) correspondientes a
la primera prioridad. El segundo programa lineal minimiza la segunda
componente de la función de logro sujeta esta nueva minimización a
las restricciones (igualdades) correspondientes a las dos primeras
prioridades, así como a no degradar los valores de las variables de
desviación de la prioridad primera que se obtuvieron en la solución
precedente. El procedimiento secuencial continua hasta resolver el
último programa lineal. Una excelente exposición tanto de la
fundamentación teórica como de la mecánica operativa de este método
secuencial puede verse en un articulo de Ignizio & Perlis [15].
La tercera variante corresponde a la programación por metas
MINIMAX denominada también programación por metas Chebysev.
Esta variante busca la minimización de la máxima desviación de entre
todas las posibles desviaciones. La estructura algebraica de un modelo
de programación por metas MINIMAX es la siguiente:
Min D
sujeto a:
( )
ai i i i
i i i i
n p D
f n p t
+ £
+ - =
Î
³ ³ ³
b
x
x F
x 0 n 0 P 0
(3.11)
donde D representa la máxima desviación. Desde un punto de vista
computacional, un modelo de metas MINIMAX es un programa lineal
que puede resolverse por aplicación directa del Simplex. Resulta obvio
intuir la existencia de una cierta relación entre el enfoque metas MINIMAX
que acabamos de exponer y la programación compromiso para la
métrica p = ¥ que expusimos en el capitulo anterior. El análisis de este
tipo de relaciones excede el propósito introductorio de esta monografía

63
[16]. En todo caso tal como se apunta en la Sección 2.3 al subyacer la
métrica p = ¥ en este tipo de variante las soluciones obtenidas presentan
un mayor equilibrio o balanceo que las soluciones generadas a partir
de cualquier otra variante de la programación por metas. Este punto se
ilustrara en la siguiente Sección con la ayuda de una aplicación numérica.
3.4. Una aplicación a un problema de ingeniería de diseño
Vamos a aplicar la programación por metas a un problema de
elección de alternativas de diseño. Para ello, vamos a adaptar a
nuestro contexto un problema formulado por Singh y Agrawal [17]
que consiste en encontrar el diseño óptimo de un anillo octagonal
alargado; pieza que se utiliza en la fabricación de dinamómetros. Las
variables de decisión o diseño son el grueso t, el radio r y el ancho b
del anillo. Los atributos a considerar son la sensibilidad S medida en
unidades de esfuerzo por kilogramo y la rigidez R medida en
kilogramos por centímetro. La expresión matemática de dichos
atributos es la siguiente:
S
r
Ebt
=
0 7
2
,
(3.12)
R
Ebt
r
=
3
3 (3.13)
donde E es la constante de Young (2,1 x 106
Kg/cm2
) viniendo medidas
las variables de diseño t, r y b en centímetros. Ambos atributos son
del tipo «más mejor», es decir, cuanto más alta sea la sensibilidad y
la rigidez mejor es el anillo desde un punto de vista mecánico. De la
observación de las expresiones (3.12) y (3.13) se deduce
inmediatamente el conflicto que existe entre ambos criterios de diseño.
Así, a mayor radio r mayor sensibilidad pero a la vez menor rigidez.
De igual manera valores altos del grueso t y del ancho b del anillo
generan valores altos para la rigidez pero valores bajos para la
sensibilidad. Supongamos que se establecen las siguientes
restricciones de diseño:

64
S
r
bt
R
bt
r
r
b
=
´
³
=
´
³
³
³
-0 7
21 10
10
21 10
10
125
5
6 2
6
6 3
3
6
,
,
,
,
(3.14)
Es fácil comprobar que no existe ningún diseño (p.ej. conjunto
de valores t, r y b) factible. Dicho con otras palabras, el sistema de
inecuaciones dado por (3.14) carece de solución. Vamos a tratar de
encontrar un diseño satisfaciente, reformulando el sistema (3.14) como
un modelo de programación por metas. Para ello, tras simples
manipulaciones algebraicas en (3.14) formulamos el siguiente modelo
basado en metas ponderadas (véase expresión (3.7)).
Min
n n n n1 2 3 4
3 0 476 125 5
+ + +
, ,
(3.15)
sujeto a: r
b t
n p
b t
r
n p
r n p
b n p
2 1 1
3
2 2 2
3 3
4 4
3
0 476
125
5
+ - =
+ - =
+ - =
+ - =
,
,
(3.16)
Es interesante observar que la normalización del modelo (3.16)
se ha efectuado dividiendo las variables de desviación no deseadas
(en nuestro caso las negativas, por tratarse de un caso más mejor) por
los correspondientes niveles de aspiración. De esta forma, tal como
habíamos indicado al final de la Sección 1.5, trabajamos con
desviaciones porcentuales con lo que evitamos cualquier posible
problema de homogeneidad dimensional. Los pesos W1
, ..., W4
reflejan
la importancia que el centro decisor asigna a unos criterios de diseño
con respecto a otros. Así, si hacemos W1
, ..., W4
= 1, esto es, si el
centro decisor asigna la misma importancia al logro de las diferentes
metas, la aplicación de un optimizador no lineal como el GINO a (3.16)
conduce a la siguiente solución:

65
S R
t r b
n p n p n p n p
= =
= = =
= = = = = = = =
-
10 10
0146 0 319 5
0 0 931 0
6 6
1 1 2 2 3 3 4 4
, ,
; , ;
(3.17)
La solución obtenida permite la completa realización de las metas
sensibilidad, rigidez y ancho del anillo. Por el contrario, el radio del anillo
queda 0.93 cm por debajo de la cifra deseada. Es decir, como suele ser
habitual en los modelos basados en metas ponderadas el resultado
obtenido es muy satisfactorio desde un punto de vista global o agregado,
pero generando desviaciones importantes en alguna de las metas (radio
del anillo en nuestro caso). Si el centro decisor desea un resultado
globalmente inferior, pero más equilibrado podemos recurrir a la siguiente
formulación basada en metas MINIMAX (véase expresión (3.11):
MIN D
sujeto a:
n
D
n
D
n
D
n
D
1
2
3
4
3
0 476
125
5
£
£
£
£
,
,
(3.18)
[conjunto de metas del modelo (3.15)-(3.16)].
Recurriendo nuevamente al optimizador no lineal GINO se
obtiene la siguiente solución:
S R
t r b
p p p p n n n n
= ´ = ´
= = =
= = = = = = = =
-
0 63 10 0 63 10
0 362 0 793 3174
0 11 0174 0 457 1826
6 6
1 2 3 4 1 2 3 4
, ,
, , ,
; , ; , ; , ; ,
(3.19)
Esta solución es globalmente peor que la que habíamos obtenido
con el modelo basado en metas ponderadas, pero sin embargo, presenta

66
un mayor equilibrio entre los diferentes criterios de diseño. En efecto, en
la solución MINIMAX todos los criterios de diseño están al 65% de los
niveles de aspiración establecidos, mientras que en la solución anterior
los criterios de sensibilidad, rigidez y anchura se satisfacen el ciento por
ciento, pero el radio del anillo queda tan sólo al 25% del nivel de
aspiración establecido.
3.5. Algunos comentarios finales
La programación por metas al combinar la lógica tradicional de
la optimización con el deseo de los centros decisores de satisfacer
diferentes metas se convierte en un instrumento analítico de gran
potencialidad en el campo del análisis decisional. Pese a su fertilidad,
flexibilidad e indudable éxito operativo el enfoque no está exento de
dificultades. Así, en los últimos años, diferentes autores han apuntado
posibles debilidades en los modelos de programación por metas.
Sin embargo, puede apuntarse que los problemas asociados a
la programación por metas no son inherentes a la lógica que subyace
a este enfoque, sino que se deben a un uso no satisfactorio del mismo.
Es decir, muchos de los inconvenientes apuntados en la literatura sobre
la programación por metas se deben a un uso mecanicista del enfoque,
que no tiene en cuenta un conocimiento preciso de los supuestos
subyacentes.
Estas consideraciones conducen a la idea de temas críticos en
programación por metas, entendiendo como tal anomalías
aparentemente causadas por debilidades lógicas de la programación
por metas, pero que en realidad se deben a un uso insatisfactorio del
enfoque. Un posible listado de este tipo de anomalías o temas críticos
en programación por metas es el siguiente:
a)La solución generada por un modelo basado en metas puede
ser ineficiente desde un punto de vista Paretiano. Esto obliga a

67
comprobar la eficiencia de la solución y a utilizar algún
procedimiento para restaurarla en caso de ineficiencia [18].
b)La posible equivalencia de soluciones entre los modelos de
programación por metas y los modelos tradicionales basados
en la optimización de un sólo criterio.
c)La falta de significado y las conclusiones equivocadas a las
que se puede llegar cuando la función de logro de un modelo
basado en metas lexicográficas se formula erróneamente
como un escalar en vez de como un vector.
d)Los problemas que pueden surgir cuando se omite una variable
de desviación en la formulación de una meta.
e)Los problemas que pueden surgir cuando innecesariamente
se formulan metas con dos lados (esto es, se consideran
automáticamente como variables de desviación no deseadas
tanto la desviación positiva como la negativa).
f) Una excesiva priorización de las metas en un modelo
lexicográfico puede generar metas redundantes; esto es,
metas que no jueguen ningún papel en el correspondiente
proceso de optimización lexicográfico.
El análisis detallado de los anteriores temas críticos, así como de
las técnicas diseñadas para su eliminación exceden del propósito clara-
mente introductorio con el que se ha redactado esta monografía [19].

68

69
4Métodos
multicriterio
discretos

70
4.1. Fundamento de los métodos de sobreclasificación
Entre los métodos multicriterio concebidos específicamente para
analizar problemas decisionales discretos, el ELECTRE (elimination
and (et) choice translating algorithm) es, quizás, el método más
conocido y a la vez más aplicado en la práctica, por lo que le
dedicaremos una atención especial. El ELECTRE fue inicialmente
sugerido por Benayoun, Roy y Sussman [20] y posteriormente mejorado
por Roy [21]. Desde entonces, tanto las aplicaciones como los
desarrollos teóricos de este método han sido muy intensos.
El método ELECTRE, básicamente, consiste en un
procedimiento para reducir el tamaño del conjunto de soluciones
eficientes. Tal reducción se realiza por medio de una partición del
conjunto eficiente en un subconjunto de alternativas más favorables
para el centro decisor (el núcleo) y en otro subconjunto de alternativas
menos favorables. Para abordar tal tarea, se introduce el concepto de
«relación de sobreclasificación» (outranking relationship) que es
consustancial al ELECTRE en todas sus variantes.
Una elección o alternativa Ei
sobreclasifica (outranks) a otra
alternativa Ek
cuando para los atributos considerados, el enunciado
«la alternativa Ei
es al menos tan buena como la alternativa Ek
» es
válido. La sobreclasificación se establece en base a dos conceptos:
concordancia y discordancia. La concordancia cuantifica hasta qué
punto para un elevado número de atributos Ei
es preferida a Ek
. Por

71
Métodos multicriterio discretos
otra parte, la discordancia cuantifica hasta qué punto no existe ningún
atributo para el que Ek
es mucho mejor que Ei
.
Para que la alternativa Ei
sobreclasifique a la alternativa Ek
, y
por tanto forme parte del núcleo o subconjunto de alternativas más
favorables, es necesario que la concordancia entre Ei
y Ek
supere un
umbral mínimo establecido y que asimismo, la discordancia entre Ei
y
Ek
no supere otro umbral también establecido de antemano. Cuando
esto sucede, puede decirse que la alternativa Ei
es preferida a la
alternativa Ek
desde casi cualquier punto de vista, aunque ello no
implique que Ei
domine, desde un punto de vista paretiano, a Ek
.
La principal ventaja de la relación de sobreclasificación es que
en ella no subyace necesariamente el supuesto de transitividad de
preferencias o de comparabilidad, que sí subyace a cualquier enfoque
basado en funciones de utilidad. Así, si E1
S E2
y E2
S E3
(donde S
representa la relación de sobreclasificación) esto no implica
necesariamente que E1
S E3
. Así el ELECTRE reconoce con acierto
que las razones que llevan al centro decisor a preferir E1
a E2
y aquellas
que le llevan a preferir E2
a E3
pueden ser muy diferentes y no conducir,
por tanto, a que E1
sea preferida a E3
. En cuanto a la comparabilidad
en muchos contextos decisionales, frecuentemente como sucede en
la ingeniería de sistemas, el centro decisor no puede o no desea
comparar alternativas debido, entre otras posibles razones, a falta de
información, insuficiente precisión en las mediciones, inconmen-
surabilidad de los criterios, etc.
La relación de sobreclasificación se utiliza para formar un grafo
en el que cada vértice del mismo representa una de las alternativas o
elecciones no dominadas. A partir de este grafo, se establece un subgrafo,
que constituye el núcleo (kernel) del conjunto de alternativas favorables.
Los vértices del núcleo representan las alternativas o elecciones que
son preferidas según la relación de sobreclasificación establecida en
base a los índices de concordancia y discordancia. Los vértices
(alternativas) que no forman parte del núcleo se eliminan del análisis.

72
4.2. Estructura algorítmica del método ELECTRE
La mecánica operativa del ELECTRE no es complicada, pero si
algo prolija. Consecuentemente, no se expondrá dicha mecánica de una
manera general, sino que en este apartado nos limitaremos a exponer
brevemente los diferentes pasos a seguir cuando se aplica el algoritmo
ELECTRE. En el apartado siguiente recurriremos a un ejemplo tanto
para aplicar como para exponer con más detalle la estructura algorítmica
del ELECTRE. Dicha estructura puede resumirse en los pasos:
Paso 1. Se parte de una matriz decisional (Ei
, Aj
) tal como se
definió en la Sección 1.4, así como de un vector de pesos W obtenido
por la aplicación de alguno de los procedimientos descritos en la
Sección 1.6.
Paso 2. A partir de la matriz decisional (Ei
, Aj
) y del vector de
pesos W se calcula la matriz de índices de concordancia de la siguiente
manera. El índice de concordancia c(i,k) entre las alternativas Ei
y Ek
se obtiene sumando los pesos asociados a los criterios en los que la
alternativa i es mejor que la alternativa k; en caso de empate se asigna
la mitad del peso a cada una de las alternativas.
Paso 3. Recurriendo a alguno de los procedimientos expuestos
en la Sección 1.5, se procede a normalizar los elementos de la matriz
decisional inicial.
Paso 4. A partir de la matriz decisional normalizada,
multiplicando cada columna de la misma por el peso preferencial
correspondiente se obtiene la matriz decisional normalizada y
ponderada.
Paso 5. De la matriz decisional normalizada y ponderada se
deducen los índices de discordancia de la siguiente manera. El índice
de discordancia d(i,k) entre las alternativas Ei
y Ek
se calcula como la
diferencia mayor entre los criterios para los que la alternativa i está

73
dominada por la k, dividiendo seguidamente dicha cantidad por la mayor
diferencia en valor absoluto entre los resultados alcanzados por la
alternativa i y la k. A partir de los índices de discordancia se construye
la matriz de índices de discordancia.
Paso 6. Se fija un umbral mínimo c– para el índice de
concordancia, así como un umbral máximo d
–
para el índice de
discordancia.
Paso 7. Se calcula la matriz de dominancia discordante de la
siguiente manera. Cuando un elemento de la matriz de índices de
concordancia (paso 2) es mayor que el valor umbral c– (paso 6) en la
matriz de dominancia concordante se escribe un uno, en caso contrario,
se escribe un cero.
Paso 8. Se calcula la matriz de dominancia discordante de la
siguiente manera. Cuando un elemento de la matriz de índices de
discordancia (paso 5) es menos que el valor umbral d
–
(paso 6) en la
matriz de dominancia discordante se escribe un uno, en caso contrario,
se escribe un cero.
Paso 9. Se calcula la matriz de dominancia agregada
(concordante-discordante) multiplicando los términos homólogos de
las matrices de dominancia concordante y de dominancia discordante
calculados en los pasos 7 y 8 del algoritmo.
La interpretación analítica de los elementos de esta matriz es muy
intuitiva. Así, si el elemento ik toma el valor uno, esto significa que la
alternativa i-ésima es mejor que la k-ésima para un número importante
de criterios (concordancia) y no es claramente peor para ningún criterio
(discordancia). Consecuentemente la alternativa i-ésima sobreclasifica
a la k-ésima. Por el contrario, si el elemento ik toma el valor cero, esto
significa que la alternativa i-ésima no es mejor que la k-ésima para un
número importante de criterio y/o es claramente peor para algún criterio.
Consecuentemente la alternativa i-ésima no sobreclasifica a la k-ésima.

74
Paso 10. Se determina el grafo ELECTRE. Para ello operamos
de la siguiente manera. Cada alternativa representa un vértice del
grafo. Del vértice i al vértice k se traza un arco, si y sólo si el
correspondiente elemento de la matriz de dominancia agregada es
uno. Operando de tal forma obtenemos el grafo ELECTRE. Dicho
grafo constituye una representación gráfica de la ordenación parcial
de preferencias de las alternativas consideradas. El núcleo del grafo
ELECTRE está formado por aquellas alternativas que no se
dominan (sobreclasifican) entre sí (esto es, no existen arcos de
llegada en los correspondientes vértices), quedando además las
restantes alternativas dominadas (sobreclasificadas) por alguna
alternativa del núcleo (esto es, existe al menos algún vértice del
núcleo del que sale un arco a los vértices que no forman parte del
núcleo). Consecuentemente con el análisis efectuado, las
alternativas que no forman parte del núcleo se eliminan del proceso
de elección.
4.3. Una aplicación del ELECTRE a la selección de un
caza-bombardero
Vamos a aplicar el método ELECTRE al ejemplo de selección
de un caza-bombardero que introdujimos en la Sección 1.4, eliminando
la alternativa F por estar dominada por la alternativa E. Los pesos con
los que vamos a trabajar son los que se obtuvieron del ejercicio de
comparación «por parejas» que hicimos en la Sección 1.6 y cuyos
valores redondeados son los siguientes:
[ ]W W W W W= = = = =1 2 3 40 30 0 05 0 25 0 40, ; , ; , ; , (4.1)
A partir de la matriz decisional (véase Tabla 2) y del vector de
pesos W se calcula la matriz de índices de concordancia tal como se
expuso en el paso 2 del algoritmo. A título de ejemplo, presentamos
los cálculos correspondientes a los índices de concordancia C(A,B)
y C(B,E).

75
( )
( )
C A B
C B E
, , , , ,
, , , ,
= + + + =
= + + × + =
0 0 05 0 25 0 40 0 70
0 30 0 1 2 0 25 0 0 425 (4.2)
Los 5 x 5 índices de concordancia constituyen la matriz de índices
de concordancia representada en la Tabla 8. Es interesante observar
que por la propia definición de índices de concordancia, la suma de
los elementos de la matriz simétricas con respecto a la diagonal principal
ha de ser igual a la unidad.
El paso siguiente consiste en la normalización de los elementos
de la matriz decisional. De los diferentes procedimiento de
normalización expuestos en la Sección 1.5, hemos elegido el sistema
[0,1]. A título de ejemplo reproducimos los cálculos de los valores
normalizados R(B,1) y R(C,4).
( ) ( )R B R C, , , ,1
1800 1700
1800 1400
0 25 4
9 8
9 7
0 50=
-
-
= =
-
-
= (4.3)

76
Es interesante observar que el sistema de normalización elegido
no es consustancial a la lógica que subyace al ELECTRE. Recurriendo
a otros procedimientos de normalización se llegan a soluciones finales
similares. A continuación, se multiplica cada columna de la matriz
decisional normalizada por el peso preferencial correspondiente
obteniéndose de esta manera la matriz decisional normalizada y
ponderada. Ambas matrices, para los datos de nuestro ejemplo, están
recogidas en las Tablas 9 y 10.
A partir de la matriz decisional normalizada y ponderada, por
aplicación inmediata de la mecánica operativa expuesta en el paso 5
del algoritmo se obtiene la matriz de índices de discordancia que viene
representada en la Tabla 11.
Seguidamente entramos en el paso 6 del algoritmo en el que se
fijan los umbrales de concordancia y de discordancia. Esta tarea
representa una de las debilidades más importantes de los métodos de
sobreclasificación por su fuerte carga subjetiva, así como por la
repercusión que dichos valores umbrales tienen en la solución final. Por
esta razón –como veremos más adelante– conviene someter dichos
umbrales a un análisis de sensibilidad. Unos valores inicialmente
aconsejables para dichos umbrales pueden venir dados por los valores
medios de los elementos de las matrices de índices de concordancia y
discordancia. Dichos valores, para los datos de nuestro ejemplo, son:
c
d
=
=
0 51
0 79
,
,
(4.4)
A partir de los anteriores umbrales de concordancia y
discordancia, aplicamos la mecánica operativa expuesta en los pasos
7 y 8 del algoritmo, obteniendo las matrices de dominancia concordante
y discordante respectivamente. Dichas matrices están representadas
en las Tablas 12 y 13.
Según se expuso en el paso 9 del algoritmo por medio de una
multiplicación término a término de las dos matrices anteriores se

77

78

79

80
obtiene la matriz final de dominancia agregada (concordante-
discordante) que queda recogida en la Tabla 14.
De la matriz de dominancia agregada por aplicación inmediata
de la mecánica operativa expuesta en el paso 10 del algoritmo se
obtiene el grafo ELECTRE o grafo de sobreclasificaciones representado
en la Figura 2. De dicho grafo se deduce inmediatamente que para los
valores umbrales elegidos ( c– = 0,51; d
–
= 0,79) el núcleo está formado
por los caza-bombarderos designados por las letras A y E. El método
ELECTRE ha segregado del conjunto inicial de soluciones factibles y
eficientes un subconjunto de soluciones más favorables (núcleo) sobre
las que el centro decisión debería de concentrar su esfuerzo elector.
Tal como habíamos indicado anteriormente, una de las debilidades
del ELECTRE reside en la enorme carga subjetiva que conlleva la elección
delosumbralesdeconcordanciaydiscordancia.Parapaliaresteproblema,
es recomendable someter dichos umbrales a un análisis de sensibilidad

81

82
con objeto de estudiar la influencia que tienen variaciones en los valores de
dichos umbrales en la estructura del núcleo. Así, si en nuestro ejemplo
bajamos el umbral de concordancia a 0,40, el grafo ELECTRE se modifica
tal como queda representado en la Figura 2, pasando a estar formado el
núcleo exclusivamente por el caza-bombardero designado por la letra A.
Para acabar la presentación del ELECTRE conviene remarcar que
el método que hemos expuesto corresponde a lo que se denomina
ELECTRE I y que constituye el primer método de sobreclasificación
publicado. Aunque este método ha sido extensamente utilizado en la
práctica con aparentes buenos resultados, existen desarrollos y
extensiones de otros métodos de sobreclasificación más elaborados
teóricamente. Entre ellos, cuando menos, hay que citar al ELECTRE II,
que permite obtener una ordenación completa de las alternativas no domi-
nadas, el ELECTRE III en el que la relación de sobreclasificación se basa
en conjuntos borrosos y el ELECTRE IV, apropiado para casos en los que
el centro decisor no desea especificar los pesos preferenciales [22]. Dentro
de la familia de métodos multicriterio de sobreclasificación debe citarse el
método PROMETHEE (Preference Ranking Organization Method for
Enrichment Evaluations) propuesto por Brans et al, que permite obtener
una ordenación total o parcial de las alternativas no dominadas [23].
4.4. Procesos analíticos jerarquizados (método AHP)
A finales de la década de los 70, Thomas L. Saaty [2] introdujo
un método multicriterio discreto conocido por AHP (analytic hierarchy
process) que ha tenido un gran impacto tanto a nivel teórico como
aplicado. En este apartado expondremos, tanto los rasgos
fundamentales, como la mecánica operativa del AHP o de los procesos
analíticos jerarquizados apoyándonos para ello en un sencillo ejemplo
ilustrativo.
Supongamos que el problema decisional consiste en elegir el
trazado de un tramo de autopista. Existen tres trazados posibles (las

83
elecciones o alternativas, que denominaremos A, B y C), que se evalúan
en base a tres criterios relevantes: coste de ejecución, impacto
ambiental y tiempo de ejecución. Es decir, nos enfrentamos a un método
multicriterio discreto 3 X 3 (p.ej. 3 alternativas y 3 criterios). La estructura
jerárquica del problema dentro del enfoque de Saaty queda
representada en la Figura 3. El primer nivel o jerarquía de la estructura
corresponde al propósito del problema, el segundo a los criterios y el
tercero a las alternativas o elecciones posibles
Una vez conceptualizada la estructura jerárquica del problema,
se establece una fuerte interacción con el centro decisor para que emita
sus juicios de valor o preferencias en cada uno de los niveles jerárquicos
establecidos. Esta tarea, tal como se expone en la Sección 1.5,
consiste en una comparación de valores subjetivos «por parejas»;
es decir, el centro decisor tiene que emitir n(n-1)/2 juicios de valor
(3(3-1)/2 =3 en nuestro caso) sobre la importancia relativa de
criterios y alternativas. Para el nivel jerárquico segundo, los valores

84
subjetivos que suponemos ha emitido el centro decisor para los datos
de nuestro ejemplo quedan reflejados en la matriz de la Tabla 15.
Es interesante observar que para aplicar el método AHP no
hace falta información cuantitativa acerca del resultado que alcanza
cada alternativa en cada uno de los criterios considerados, sino tan
solo los juicios de valor del centro decisor. El paso siguiente es la
aplicación del método AHP consiste en obtener un sistema de pesos
que resulte consistente con las preferencias subjetivas mostradas
por el centro decisor y recogidas en la matriz de comparación «por
parejas» de la Tabla 15. Para ello (véase Sección 1.6), tendríamos
que encontrar un conjunto de valores W no negativos que satisfaciera
las siguientes tres ecuaciones que derivan de nuestra matriz:
W W
W W
W W
1 2
1 3
2 3
2 0
5 0
3 0
- =
- =
- =
(4.5)

85
Las lógicas y comprensibles inconsistencias en los juicios de valor
del centro decisor hacen, como es habitual, que la única solución que
admite el anterior sistema de ecuaciones sea la trivial W1
=W2
=W3
= 0.
Por tanto, debemos de encontrar el conjunto de pesos W que más se
aproxime a los verdaderos. Para abordar esta tarea podemos recurrir a
diferentes procedimientos matemáticos como el cálculo de medias geomé-
tricas que se utilizó en la Sección 1.6, el método del autovalor máximo
sugerido por Saaty, o recurrir a la formulación de un modelo de programa-
ciónpormetasponderadas(véaseapartado3.3.)conlasiguienteestructura:
Min n p n p n p
W W n p
W W n p
W W n p
W W W
1 1 2 2 3 3
1 2 1 1
1 3 2 2
2 3 3 3
1 2 3
2 0
5 0
3 0
1
+ + + + +
- + - =
- + - =
- + - =
+ + =
(4.6)
La última identidad de (4.6) -que no es esencial para al problema
de estimar los pesos- garantiza simplemente la obtención de pesos
normalizados que sumen la unidad. Obviamente, si existiera un conjunto
de pesos W no negativos que satisfaciera perfectamente el sistema de
ecuaciones (4.5), el valor en el óptimo de todas las variables de
desviación sería cero. Normalmente -como sucede en nuestro ejemplo-
no puede alcanzarse un resultado exacto. Resolviendo el programa
lineal que subyace a (4.6) se obtiene la siguiente solución:
W W W
n p p n p
1 2 3
1 1 2 3 3
0 588 0 294 0118
0 0 06 0
= = =
= = = = =
, , ,
,
(4.7)
El vector [W1
= 0,588 W2
= 0,294 W3
= 0,118] representa la
estimación de pesos obtenida y el valor en el óptimo de la función objetivo
(i.e. 0,06) el ratio de consistencia mostrado por el centro decisor al
manifestar sus preferencias.
Una vez determinados los pesos para el nivel jerárquico 2, el
paso siguiente en la aplicación del método AHP consiste en
interaccionar nuevamente con el centro decisor, pero ahora en el nivel

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