Este documento describe conceptos fundamentales de la cinemática de cuerpos rígidos, incluyendo movimiento angular, movimiento circular, movimiento plano de cuerpos rígidos (traslación, rotación alrededor de un eje fijo, movimiento plano general), y aplica estos conceptos a ejemplos numéricos.

1. 29
DINAMICA
UNIDAD 3
CINEMATICA DEL CUERPO RIGIDO

2. 30
En esta unidad analizaremos la cinemática de cuerpos, es decir, la
descripción y el análisis del movimiento de los cuerpos sin considerar las
fuerzas y pares que lo generan
En lo particular, veremos la manera de como los movimientos de puntos
individuales de un cuerpo se relaciona con su movimiento angular.
Un cuerpo rígido es un modelo idealizado de un cuerpo que no se deforma.
Se podría definir de esta manera: un cuerpo rígido es aquel en el cual la
distancia entre un par de puntos de dicho cuerpo, permanece constante.
Sin embargo antes de entrar al análisis de la cinemática de los cuerpos
rígidos necesitamos estudiar o recordar, en su caso, algunos
conceptosMOVIMIENTO ANGULAR DE UNA LÍNEA:
L’
θ
L
La velocidad angular de L’ con respecto a L, está definida por:
rad/s
Y la aceleración angular de L’ con respecto a L:
rad/s2
MOVIMIENTO CIRCULAR:
Si un punto P se mueve con una trayectoria circular de radio R. La distancia
S (arco de circunferencia) está relacionada con el ángulo θ por:
S = Rθ (por geometría)
s R θ

3. 31
Derivando s con respecto a t:
Derivando de nuevo:
Y también
ESTO SOLO ES APLICABLE A UNA TRAYECTORIA CIRCULAR.
Con estas relaciones podemos analizar problemas de cuerpos que giran
alrededor de ejes fijos.
Por ejemplo:Supongamos que conocemos la velocidad angular y la aceleración
angular del engrane izquierdo de la figura y queremos determinar la
velocidad y aceleración angular del engrane de la derecha.
Las velocidades de los puntos de los engranes en donde hacen contacto, son
iguales.
A B Para el engrane A:
Para el engrane B:
Como

4. 32
También las aceleraciones tangenciales son iguales en el punto de contacto,
entonces:
Entonces:
MOVIMIENTO PLANO DE UN CUERPO RIGIDO
Cuando cada una de las partículas de un cuerpo rígido se mueve a lo largo de
una trayectoria que es equidistante de un plano fijo, se dice que el cuerpo
experimenta un movimiento plano. Existen tres tipos de movimiento plano,
mencionándolos por orden de complejidad creciente son:
1.- TRASLACION: Este tipo de movimiento ocurre si cualquier segmento de
recta sobre el cuerpo se conserva paralelamente a su dirección original
durante el movimiento. Cuando la trayectoria del movimiento de todas las
partículas de un cuerpo son rectas paralelas, el movimiento se llama
traslación rectilínea. Sin embargo si las trayectoria quedan a lo largo de
líneas curvas que son entre si todas paralelas al movimiento se le llama
traslación curvilínea.
TRASLACION RECTILINEA

5. 33
Trayectoria de traslación curvilínea
2.- ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO: Cuando un cuerpo rígido
gira alrededor de un eje fijo, todas sus partículas, excepto las que quedan
sobre el eje de rotación, se mueven a lo largo de trayectorias circulares
3.- MOVIMIENTO PLANO GENERAL: Cuando un cuerpo se sujeta a un
movimiento plano general, experimenta una combinación de una traslación y
una rotación. La traslación ocurre dentro de un plano de referencia, y la
rotación ocurre alrededor de un eje perpendicular al plano de referencia.

6. 34
En la figura la manivela AB gira alrededor de un eje fijo que pasa por A la,
corredera C experimenta un movimiento de traslación rectilínea, pero la
biela BC tiene un movimiento plano general (se traslada y gira)
TRASLACION DE UN CUERPO RIGIDO.
Si analizamos con mucho cuidado la traslación de un cuerpo rígido,
observaremos que todas las partículas del cuerpo tienen la misma velocidad
y la misma aceleración. Como resultado de esto, la cinemática del
movimiento de una partícula que estudiamos en la primera unidad puede
aplicarse para especificar la cinemática de un cuerpo rígido en traslación,
por consiguiente no repetiremos dicho estudio.
ROTACION DE UN CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO.
En la figura se puede observar que la partícula P (es una partícula del
cuerpo en rotación) gira alrededor del eje Z y aquí consideramos el
movimiento en un plano perpendicular al eje Z, en el cual la velocidad lineal
de P sería v = ώr donde r es el radio del círculo descrito por P,
perpendicular al eje Z y la velocidad angular ώ es un vector perpendicular al
plano de giro, de dirección igual a la del eje Z y su sentido se determina por
la regla de la mano derecha
Z
ώ
r r
Rr v = ώr
P

7. 35
EJEMPLO:
El engrane A del malacate hace girar a B que eleva el bloque H.
Si A parte del reposo en t = 0 y su aceleración angular αA = 0.2 rad/s2 en
sentido horario. Calcular la distancia vertical que se eleva H y su velocidad
en t = 10s.
50mm 200mm
100mm
A En el punto de contacto de A y B la velocidad es
vla misma para ambos engranes, por lo tanto su
aceleración tangencial también es igual.
H Entonces tenemos:
Como
rad/s
como integrando de nuevo
dt
rad.
Para 10 segundos

8. 36
La longitud del cable que se ha arrollado es S = rθ luego
Lo que se eleva H = (8.33 rad)(0.1m) = 8.33 m.
Para t = 10s
y como = rώ = 0.1(2.5) = 0.25 m/s.
EJEMPLO:
Una cuerda se enrolla alrededor de una rueda que está inicialmente en
reposo. Si se aplica una fuerza F a la cuerda y le da una aceleración de a =
4t m/s2, determinar:
a) La velocidad angular de la rueda en t = 1 s.
b) Las magnitudes de la velocidad y la aceleración del punto en t = 1 s.
c) El número de revoluciones que gira la rueda durante el primer
segundo de su movimiento.
A 0.2 m
0.1 m
P
a
F
a) El punto p de la rueda coincide con un punto de la cuerda.
Entonces
(aP)t = αr
4t = α (0.2)
α = 20t rad/s
entonces

9. 37
Si t = 1 s ώ = 10 rad/s
b) vA es tangente a la trayectoria del punto A
Si cuando t = 1 s ώ = 10(o.1)
Entonces vA = 10(0.1)
La aceleración de A tiene componente tangencial y normal, así:
(aA)t = αr = 20t(r) = 20(1)(0.1) = 2 m/s2
(aA)n = ώ2r = (10)2(0.1) = 10 m/s2
= 10.2 m/s2
c) La velocidad angular omega se relaciona con el tiempo de acuerdo a :
Luego:
rad
rad
En una revolución, ( una vuelta ) hay 2л radianes
Entonces

10. 38
EJEMPLO:
Una rueda con un radio de 2 ft gira alrededor de un eje fijo. Su velocidad
angular aumenta uniformemente de 10 rad/s cuando t = 0 hasta 25 rad/s
cuando t = 10s.
Determinar:
La magnitud de las componentes an y at del punto P situado a una distancia
radial de 1 ft del eje de la rueda, cuando t = 5s.
a) La distancia total que recorre el punto durante los primeros 10s.
ώ
P
1ft
2Oft
Como la velocidad angular aumenta
uniformemente, entonces la aceleración
angular es constante.
Entonces se pueden aplicar las fórmulas
del movimiento cuando la aceleración es
constante:
Aplicando la primera ecuación:
Cuando t = 5s

11. 39
Entonces:
b) Determinando el desplazamiento angular durante los primeros 10 seg.
Ya sabemos que por geometría
S = 175 ft.
PROBLEMAS:

12. 40
1.- Una polea y dos cargas están unidas por cuerdas inextensibles como se
indica en la figura. La carga A tiene una aceleración constante de 10 ft/s2 y
una velocidad inicial vo = 15 ft/s ambas dirigidas hacia arriba. Determinar:
a) El número de revoluciones ejecutadas por la polea en 3 segundos.
b) La velocidad y la posición de la carga B después de tres segundos.
c) La aceleración del punto C sobre el aro de la polea en t = 0
5 ft
3 ft O
C
Respuestas: a) 2.68
revoluciones
b) vB = 27 ft/s
SB =54 ft
2
c) aC= 46.1 ft/s
A
B
12.5º
2.- El disco A parte del reposo y gira con aceleración angular constante
de α = 2 rad/s2
¿Cuánto tiempo se necesita para que gire 10 revoluciones?
Si el disco A está en contacto con el disco B y no hay deslizamiento relativo
entre ellos, determinar la velocidad angular del disco B y su aceleración
angular justamente después de que el disco A gira 10 revoluciones.
Resp. t = 7.95 seg.
200mm
150
ώB = 21 rad/s
A mm
B
α = 2.6 rad/s
3.- Una pequeña rueda de afilar está unida al eje de un motor eléctrico
cuya velocidad nominal es de 3600 rpm.

13. 41
Cuando se enciende alcanza su velocidad nominal en 5 segundos y al
cortarse la energía llega al reposo en 70 segundos. Suponiendo que la
aceleración angular es constante, determinar el número de revoluciones que
da el motor:
a) Para alcanzar su velocidad nominal.
b) Para detenerse.
Respuestas: a) θ = 150 revoluciones. b) θ = 2100 revoluciones.
4.- Un volante parte del reposo y está sujeto a una aceleración angular
constante de 0.5 rad/s2. Calcular su velocidad angular y el número de
revoluciones que realiza en 90 s.
Resp.: ώ = 4.5 rad/s
θ = 322.3 rev.
5.- Un gancho parte del reposo con aceleración de 20 ft/s2. Está fijo a una
cuerda enrollada en un tambor.
Calcular la aceleración angular del tambor y su velocidad angular al
completar 10 revoluciones.
¿Cuántas revoluciones mas girará el tambor después de haber
completado las 10 revoluciones y que el gancho continúe moviéndose durante
4 s?
2 ft
a = 20 ft/s2
Resp.α = 10 rad/s2
ώ = 35.4 rad/s
θ = 35.24 rev.
6.- La figura muestra el tren de engranaje de una barrena de perforación
de pozos. Con aceleración angular constante, el motor M hace girar el eje S
para alcanzar 100 rpm en t = 2s, partiendo del reposo. Calcular la

14. 42
aceleración angular del tubo de la barrena D y el número de revoluciones que
efectúa en 2s de arranque.
D
60 mm 150 mm
S
Resp.: α = 2.09 rad/sθ = 0.6653 rev.
MOVIMIENTO GENERAL EN UN PLANO
Se dice que un cuerpo rígido experimenta un movimiento general en un plano
cuando además de una traslación, gira alrededor de un punto fijo del cuerpo.

15. 43
Se considera que este movimiento es equivalente a la traslación de un punto
del cuerpo más una rotación alrededor de un eje que pasa por ese
punto.Observemos la siguiente figura:
En esta figura se ilustra un cuerpo rígido que experimenta un
movimiento general en un plano. Si A y B son puntos del cuerpo, entonces la
velocidad de B respecto a A es:
despejando vB
la cual podemos escribir como
Aquí hay que hacer notar que:
1.- En la traslación de un cuerpo rígido, la velocidad de cada punto del
cuerpo es igual a la velocidad del punto de referencia A ( vB = vA).
2.- La velocidad relativa del punto B del cuerpo rígido alrededor del punto A
es vB/A.
Entonces tenemos que: Esta ecuación puede usarse para
determinar la velocidad de cualquier punto arbitrario B del cuerpo, dada la
velocidad de un punto A y la velocidad angular del cuerpo.
Si el número de incógnitas es mayor de dos, todavía puede resolverse el
problema si se consideran otros puntos cinemáticamente importantes.
Otro ejemplo de movimiento plano general sería:

16. 44
RODADURA SIN PATINAR
En la figura aparece un disco circular de radio r que rueda sobre una
superficie horizontal con una velocidad angular ώ y una aceleración angular
α, el giro es a favor del sentido horario (negativo)
Trayectoria de O
C
Observe que la trayectoria del centro O es una recta paralela a la
superficie. La rodadura sin patinar ocurre si el punto C de contacto sobre el
disco no tiene velocidad, es decir si el disco no se desliza sobre la
superficie. Este caso merece mucha atención porque ocurre en muchas
aplicaciones de la ingeniería.
Al relacionar las velocidades de los puntos O y C, tenemos:
Al sustituir vC = 0, ώ = -ώk y rO/C = Rj obtenemos:

17. 45
Como se esperaba, este resultado muestra que la velocidad del centro O
es paralela a la superficie en que rueda el disco, siendo su magnitud
como se muestra en la siguiente figura:
vO=Rώ
C vC = 0
EJEMPLO:Un automóvil viaja hacia la derecha con una velocidad
constante de 90 km/h.Si el diámetro de una rueda es de 550 mm,
determinar: Las velocidades de los puntos B, C, D y E del borde de la rueda.
D B
30º 90º
A vA E 550 mm
C
SOLUCION:

18. 46
30º
vD vD/A
vA 30º
RESPUESTA: 15º
vA
vEvE/A
= 35.4 45º

19. 47
EJEMPLO:
Un eslabón CD está guiado por dos bloques AyB que se mueven
en ranuras como se muestra en la figura.
El bloque A se mueve a la derecha a 5 m/s. Determinar la
velocidad de la punta c del eslabón en el instante en que θ = 35º
C
B
2m
A
A vA
D
8m
1m
La velocidad de C la podemos expresar:
Donde
La velocidad angular del eslabón A tendrá que determinarse
utilizando la información del movimiento de B.
VECTORIALMENTE:

20. 48
La velocidad de B, no tiene componente X, entonces:
Para la barra DC tenemos:
vB
ώC
B
rC/A
A vA = 5i m/s
Sustituyendo el valor de ώ = 1.09k en la primera ecuación:
La dirección de vC se obtiene calculando el ángulo que forman los
componentes i y j:

21. 49
8.93j
1.25i C
PROBLEMA.
El collarín B se mueve hacia arriba con una velocidad constante
de 5 ft/s. En el instante en que θ = 50º, determinar: a) la
velocidad angular de la barra AB y b) la velocidad del extremo A
de la barra.
B
4 ft
θ
A
Respuestas: ώAB = 1.173 rad/s
vA = 3.33 ft/s 25º