Anexo 1. clases

VARIACIONES PROPORCIONALES
RAZONES
PROPORCIONES
PORCENTAJES
RAMV. 1

RAZONES
• Una razón es una comparación que se establece mediante
Cuociente o División
• Una razón la podemos escribir de dos formas:
• o también
• En ambos casos se lee “a” es a “b”
RAMV. 2
b
a
ba:

Términos de una razón
• Los términos de una razón se denominan:
• Antecedente
• Consecuente
RAMV. 3
b
a
Nota: Es importante el orden de
nombramiento en una razón.

Significado
• Decir que en un curso los hombres y las
mujeres están en la razón “DOS ES A TRES”
(2:3) respectivamente, significa que:
Por cada dos Hombres hay tres
mujeres en el curso.
RAMV. 4

Como resolver un problema relativo a
razones
Problema:
• Don Luis tiene tres nietos: Ángel, Juan y Mario,
cuyas edades son 12, 8 y 6 años respectivamente.
• Además posee una bolsa con 130 dulces, los
cuales va a repartir entre sus nietos.
• La repartición no la hará en partes iguales, sino
en la misma razón que están las edades de sus
nietos.
• Al repartirlos de esta manera. ¿Cuántos dulces
recibe cada uno?.
RAMV. 5

SOLUCIÓN
• Como los dulces serán repartidos en la razón
12:8:6 (razón entre las edades de cada nieto),
debemos formar 26 grupos o “montoncitos” de
dulces
(12+8+6=26)
• Ahora veremos cuántos dulces debe tener cada
“montoncito” , para ello dividimos el total de
dulces por la cantidad de grupos que formamos
• 130:26=5
• Esto quiere decir que cada grupo tendrá 5 dulces
RAMV. 6

AHORA BIÉN
• Ángel tiene 12 años, por lo tanto recibirá:
• 12*5=60 dulces
• Juan tiene 8 años, por lo tanto recibirá:
• 8*5=40 dulces
• Mario tiene 6 años, por lo tanto recibirá
• 6*5=30 dulces
• Si compruebas 60+40+30=130 dulces que tenía la
bolsa
RAMV. 7

Razones Equivalentes
• Dos razones son equivalentes, cuando
expresan la misma comparación
• Así por ejemplo, las razones
• son equivalentes
• Ambas expresan la misma comparación
• Cada 3 Azules Cada 6 Azules
• Hay 4 rojos Hay 8 Rojos
RAMV. 8
y..........
4
3
8
6

Como encontrar razones equivalentes
• Para encontrar razones equivalentes a una
razón dada, podemos hacerlo por:
• A) Amplificación
• B) Simplificación
RAMV. 9

A) POR AMPLIFICACIÓN
Amplificando por 2
Amplificando por 3
Amplificando por 4
RAMV. 10
5
2
10
4
15
6
20
8
5
2

B) Por Simplificación
Simplificando por 2
• Simplificando por 3
Simplificando por 4
RAMV. 11
24
12
12
6
8
4
6
3

PROPORCIONES
• Una proporción es una igualdad de dos razones
equivalentes
• Una proporción la podemos anotar de dos maneras:
• o también:
En ambos casos de lee “a” es a “b” como “c” es a “d”
RAMV. 12
d
c
b
a

dcba :: 

TÉRMINOS DE UNA PROPORCIÓN
• Los términos de una proporción se denominan
de la siguiente manera:
Extremos
Medios
RAMV. 13
dcba :: 

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS
PROPORCIONES
• En toda proporción se cumple que, el producto
de los extremos es igual al producto de los
medios.
Por ejemplo, en la proporción:
Se cumple:
RAMV. 14
d
c
b
a
  cbda ** 
6
10
3
5

10*36*5 
3030 

Aplicando la propiedad
fundamental, se puede encontrar
el término desconocido de una
proporción
8,4
8
3

x
RAMV. 15
x
3
8
8,4

*______

24
______
8,4
x

5

Algunas propiedades de las
proporciones
• Para una proporción se cumplen las siguientes
propiedades, entre otras:
• 1) Intercambiar los extremos
RAMV. 16
d
c
b
a
 
a
b
c
d
_____ = ______

proporciones
• 2) Intercambiar los medios
RAMV. 17
d
c
b
a
 
a
b
c
d
_____ = ______

proporciones
• 3a) Componer
RAMV. 18
d
c
b
a
 
a
b
c
d
________ = _________

b
a
c


proporciones
• 3b) Componer
RAMV. 19
d
c
b
a
 
a
b
c
d
________ = _________

b
a
c

d

proporciones
• 4a) Descomponer
RAMV. 20
d
c
b
a
 
a
b
c
d
________ = _________

b
a
c


proporciones
• 4b) Descomponer
RAMV. 21
d
c
b
a
 
a
b
c
d
________ = _________

b
a
c

d

proporciones
• 5) Componer y Descomponer a la vez
RAMV. 22
d
c
b
a
 
a
b
c
d
________ = _________

b
a
c

d
 

Aplicaremos todas las propiedades
vistas, para la siguiente proporción
RAMV. 23
12
20
3
5


1) Intercambiar los extremos
• 1) Intercambiar los extremos
RAMV. 24
12
20
3
5
 
5
3
20
12
_____ = ______
3*2012*5 
6060 

Intercalar los medios
• 2) Intercambiar los medios
RAMV. 25
12
20
3
5
 
5
3
20
12
_____ = ______
3*2012*5 
6060 

proporciones
• 3a) Componer
RAMV. 26
12
20
3
5
 
5
3
20
12
________ = _________

3
5
20

20
32
5
8

32*520*8 
160160

proporciones
• 3b) Componer
RAMV. 27
12
20
3
5
 
5
3
20
12
________ = _________

3
5
20
12
12
32
3
8

32*312*8 
9696 

proporciones
• 4a) Descomponer
RAMV. 28
12
20
3
5
 
5
3
20
12
________ = _________

3
5
20

20
8
5
2

8*520*2 
4040

proporciones
• 4b) Descomponer
RAMV. 29
12
20
3
5
 
5
3
20
12
________ = _________

3
5
20

12
12
8
3
2

8*312*2 
2424

proporciones
• 5) Componer y Descomponer a la vez
RAMV. 30
12
20
3
5
 
5
3
20
12
________ = _________

3
5
20

12
 
8
32
2
8

32*28*8 
6464 

RAMV. 31
CLASES: 26 JULIO 2016

Contenidos
1.Razones y Proporciones
1.1 Definiciones: razón y proporción
1.2 Teorema fundamental de la proporciones
1.3 Serie de Razones
1.4 Proporcionalidad directa
1.5 Proporcionalidad inversa
1.6 Proporcionalidad compuesta.
1.7 Proporción directa y función lineal
1.8 Función lineal y afín

1. Razones y proporciones
• Razón: Es la comparación entre dos cantidades
cualesquiera.
Su notación es: a
b
ó
a : b
y se lee: “a es a b”
1.1 Definiciones
a : antecedente, b : consecuente
Nota: Es importante el orden de nombramiento
en una razón.

Por lo tanto:
= 9,94…
179.450
18.051
Densidad Poblacional =
Km2 viven aproximadamente
10 personas.
Ejemplo:
La razón entre “población” y “superficie”, se conoce como
Densidad Poblacional.
Por ejemplo, la población de la ciudad de Concepción es de
179.450 habitantes, distribuidos en una superficie de 18.051
km2.
(Según los datos entregados por el Instituto Nacional de Estadística).
En
cada

• Proporción: Es la igualdad de dos razones:
b
a
d
=
c ó
a : b = c : d
y se lee: “ a es a b como c es a d ”
Además, a y d : extremos
c y b : medios
Ejemplo:
4
3
20
=
15

1.2 Teorema fundamental de las proporciones
El producto de los medios es igual al producto de los extremos.
b
a
d
=
c
 ad = bc
ad = bca : b = c : d
Ejemplo 1:
4
5
20
=
25
Es una proporción ya que 5∙20 = 4∙25 = 100

Ejemplo 2:
La razón entre el número de dulces que tiene Agustín y el número de dulces que
tiene su hermano es 2 : 3.
Si Agustín tiene 12 dulces, ¿cuántos dulces tiene su hermano?
Solución:
Si x es el número de dulces del hermano, entonces:
Dulces de Agustín
x 3
=
2
x
12
3
=
2
2x=36
x=18
Por lo tanto, su hermano tiene 18 dulces.

1.3 Serie de razones
Es la igualdad de 2 o más razones.
b
a
=
d
c
=
f
e
= ……… = k
2
1
=
4
2
=
6
3
= ……… = 0,5=
8
4
=
10
5
ó
a : c: e: … = b : d: f : …
Ejemplo 1:
k: valor de la razón o
constante de
proporcionalidad
k  IR
(Valor de la razón)

Ejemplo 2:
a : b : c = 3 : 5 : 6
a + b + c = 42
Si , determinar a, b y c.
Solución: a : b : c = 3 : 5 : 6, entonces:Si
=
5
b
=
6
c
= k
3
a
Luego: a = 3k, b = 5k y c = 6k
Como a + b + c = 42, entonces: 3k + 5k + 6k = 42
14k = 42
k = 42
14
k = 3
Por lo tanto: a = 9, b = 15 y c = 18
(Constante de
proporcionalidad)

40
EJERCICIOS DE APLICACIÓN:
RESOLVER EN PIZARA.
TRABAJO EN CLASE.

PROPORCIÓN DIRECTA
• Observemos la siguiente tabla de valores
• En primer lugar, cuando la variable X aumenta, la
variable Y también aumenta.
• Segundo, si efectuamos los cuocientes entre los valores
de Y con los respectivos valores de X, obtenemos:
• Siempre se obtiene un mismo valor (CONSTANTE)
41
X 2 3 5 6 7 8
Y 3 4,5 7,5 9 10,5 12
5,1
2
3
 5,1
3
5,4
 5,1
5
5,7
 5,1
6
9
 5,1
7
5,10
 5,1
8
12


Cuando esto ocurre, es decir:
• 1) Si al aumentar la variable X, la variable Y,
también aumenta.
• 2) Los cuocientes entre los respectivos valores
de las variables es siempre el mismo.
• Diremos que las variables son:
DIRECTAMENTE PROPORCIONALES.
Al valor de los cuocientes, se le llama
CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD
RAMV. 42

Gráfica de una proporción directa
• Si efectuamos la gráfica de los valores de la tabla, tenemos:
43






X 2 3 5 6 7 8
Y 3 4,5 7,5 9 10,5 12

Podemos concluir que:
• La gráfica de una Proporción directa, es una
Línea recta que pasa por el origen.
RAMV. 44

PROPORCIÓN INVERSA
• Observemos la siguiente tabla de valores
• En primer lugar, cuando la variable X aumenta, la
variable Y disminuye.
• Segundo, si efectuamos los productos entre los valores
de Y con los respectivos valores de X, obtenemos:
• Siempre se obtiene un mismo valor (CONSTANTE)
RAMV. 45
X 2 4 5 8 10 16
Y 4 2 1,6 1 0,8 0,5
82*4  84*2  85*6,1  88*1  810*8,0  816*5,0 

Cuando esto ocurre, es decir:
• 1) Si al aumentar la variable X, la variable Y,
disminuye.
• 2) Los productos entre los respectivos valores
de las variables es siempre el mismo.
• Diremos que las variables son:
INVERSAMENTE PROPORCIONALES.
Al valor de los PRODUCTOS, se le llama
CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD
RAMV. 46

Gráfica de una proporción inversa
• Si efectuamos la gráfica de los valores de la
tabla, tenemos:
RAMV. 47
X 2 4 5 8 10 16
Y 4 2 1,6 1 0,8 0,5







Podemos concluir que:
• La gráfica de una Proporción inversa, es una
Curva llamada Hipérbola, con los ejes como
Asíntotas.
RAMV. 48

Como Resolver un problema relativo a
Proporciones
• Para resolver un problema relativo a
proporciones siga los siguientes pasos:
• 1) Lea comprensivamente el problema e
identifique los datos relevantes.
• 2) Anote los datos en columnas, de modo que
cada columna posea sólo datos del mismo tipo.
• 3) Represente con una x, el dato desconocido.
• 4) Determine si las variables están relacionadas
mediante proporción directa, o inversa.
RAMV. 49

Como Resolver un problema relativo a
Proporciones
• 5a) Si los datos están relacionados directamente,
plantee una proporción con ellos tal como se
encuentran en las columnas.
• 5b) Si los datos están relacionados inversamente,
primero invierta una de las columnas y luego
plantee la proporción .
• 6) Encuentre el término desconocido de la
proporción.
• 7) Dé la respuesta en forma escrita
RAMV. 50

Ejemplo 1. Proporción directa
• Doña Juanita, el Sábado se levantó temprano
y a las 9 de la mañana estaba camino a la feria
con su amiga Marta, doña Juanita, entre otras
cosas compró tres kilos y medio de limones y
gastó en esta compra $980. ¿Cuánto pagó la
señora Marta si compró tres kilos de los
mismos limones?.
RAMV. 51

RAMV. 52
En 50 litros de agua de mar hay 1.300
gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de
mar contendrán 5.200 gramos de sal?
Un automóvil gasta 5 litros de gasolina cada
100 km. Si quedan en el depósito 6 litros,
¿cuántos kilómetros podrá recorrer el
automóvil?

Ejemplo 2. Proporción inversa
Carlos y Daniel están pintando un dormitorio,
cuando terminan se dan cuenta que
demoraron 6 horas exactas en realizar el
trabajo, Carlos pregunta a Daniel; ¿Cuánto
habríamos demorado si nos hubiera ayudado
nuestro amigo Esteban?. Para responder a
esta pregunta procedemos de la siguiente
manera:
RAMV. 53

Carlos y Daniel están pintando un dormitorio, cuando terminan se dan cuenta que demoraron 6 horas exactas
en realizar el trabajo, Carlos pregunta a Daniel; ¿Cuánto habríamos demorado si nos hubiera ayudado nuestro
amigo Esteban?. Para responder a esta pregunta procedemos de la siguiente manera:
• Las variables involucradas en el problema son número de
personas que pintan el dormitorio y tiempo que demoran
en pintarlo.
• Con lo anterior tenemos que completar nuestra tabla de
valores.
• Podemos deducir que si hay más personas ayudando a
realizar el trabajo.
• Demoramos menos tiempo en realizarlo.
• Por lo tanto es una proporción Inversa.
RAMV. 54
N°
Personas
Tiempo
2 6
3 x

Carlos y Daniel están pintando un dormitorio, cuando terminan se dan cuenta que demoraron 6 horas exactas
en realizar el trabajo, Carlos pregunta a Daniel; ¿Cuánto habríamos demorado si nos hubiera ayudado nuestro
amigo Esteban?. Para responder a esta pregunta procedemos de la siguiente manera:
• Por lo tanto, invertimos una de las columnas de la
tabla, y formamos la proporción.
• El valor de x, se obtiene al resolver:
• Es decir, el valor de x es:
• Si les hubiera ayudado su amigo Esteban habrían
demorado 4 horas en pintar el dormitorio.
RAMV. 55
N°
Personas
Tiempo
(hrs.)
2 6
3 x
63
2 x

3
2*6
x
3
12

4x

RAMV. 56
Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo,
¿cuántos días emplearán 18
hombres para realizar el mismo trabajo?
Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220
vacas durante 45 días.
¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de
forraje a 450 vacas?
Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8
toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos
envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles.
¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles?

1.6 Proporcionalidad compuesta
Es aquella en que intervienen más de dos variables inversamente
proporcionales y/o directamente proporcionales.Ejemplo:
Se necesitan 20 obreros para pavimentar 2 km de camino en 5 días.
¿Cuántos obreros se necesitan para pavimentar 5 km en 10 días?
N° de obreros Kilómetros de camino N° de días
20 2 5
x 5 10
En primer lugar, determinaremos qué tipo de proporcionalidad existe entre las
variables (la incógnita y las otras variables):
•Obreros (O) – longitud del camino (L): están en proporcionalidad
directa (entre más obreros, más km de camino se pavimentarán), por lo
tanto:
5
220

x
Obreros (O) – tiempo (T) están en proporcionalidad inversa (entre más
obreros, menos tiempo se demorarán en pavimentar el camino), por lo tanto:
5
1020

x

xx*x*
x*
*
x
 25
20
500
202520
25
2020
55
10220
Respuesta: Se necesitan 25 obreros para
pavimentar 5 km en 10 días.

En un juzgado trabajan 4 estudiantes de Derecho con
una carga de 6 horas diarias durante 5 días, han leído
240 casos. ¿Cuántos días necesitarán trabajar 3
estudiantes si trabajan 8 horas diarias para leer 300
casos?
EJEMPLO 3. Tres motores iguales funcionando 6 horas
necesitan 9000 litros de agua para refrigerarse.
¿Cuántos litros de agua necesitarán 5 motores
funcionando 8 horas?
EJEMPLO 4: Tres obreros trabajando 8 horas diarias
realizan un trabajo en 15 días. ¿Cuántos días tardarán
en hacer el trabajo 5 obreros trabajando 9 horas?

RAMV. 60
Tres grifos llenan un depósito de 10 m3 en 5 horas. ¿Cuánto tardarán en
llenar un depósito de 8 m3 dos grifos iguales a los anteriores? RESP. 6
HORAS
Con 12 kilos de pienso 9 conejos comen durante 6 días. ¿Cuántos días
tardarán 4 conejos en comerse 8 kilos de pienso? RESP. 9 DIAS.
Dos amigas juntan 1,20 y 1,80 dolares que tenían para comprar
un paquete de pergaminas de una serie de dibujos animados. El
paquete contiene 120 pergaminas. ¿Cómo deben repartírselas de forma
justa?

RAMV. 61
EJERCICIOS TRABAJO EN CLASES: CALCULO DEL
TÉRMINO DESCONOCIDO DE UNA PROPORCION.
Conociendo tres términos cualesquiera de una proporción, es
siempre posible calcular el cuarto término, basándonos en las
propiedades ya explicadas.
a) 12 : 15 = 26 : x
b) b) 3,6 : x = 54 : 17
c) 16 ; 21 = 20 : x
d) x : 9,4 = 0 : 23
e) 2½ : x = 1¼ : 4 ¾
f) ( 3 – x ) : 8 = ( 5 – x ) : 6
g) ( x + 8 ) : 4 = ( x + 3 ) : 9

RAMV. 62
PROBLEMAS SOBRE PROPORCIONES DIRECTAS.-
deber proyecto de aula
1. ¿Cuánto valen 850 ladrillos a $ 19.000 el mil?
2. Una gruesa de lápices ( 144 unidades ) cuesta $
6.800 ¿Cuánto cuestan 450 lápices?
3. ¿Cuánto cuestan 4 camisetas a $ 16.000 la
docena?
4. ¿Cuánto valen 75 sobres a $ 2.800 el ciento?
5. ¿Cuánto cuestan 27 duraznos a $ 480 la
docena?

RAMV. 63
PROBLEMAS SOBRE PROPORCIONES INVERSAS.-
deber proyecto de aula
1. 7 obreros hacen un trabajo en 15 días. ¿En qué tiempo
lo harían 21 obreros en igualdad de condiciones?
2. 3 llaves llenan un estanque en 7 horas. ¿En qué tiempo
lo llenarían 5 llaves iguales?
3. 20 hombres concluyen una obra en 6 días. ¿En que
tiempo lo terminarían 5 hombres?
4. 6 jóvenes tardan 8 días en hacer un trabajo. ¿Cuánto
tardaría un joven?
5. Un estanque se llena en 16 horas con un caudal de 15
litros por segundo. ¿Cuántos l/seg habría que echarle
para que se llenara en 12 horas?

64
PROBLEMAS SOBRE PROPORCIONES DIRECTAS E INVERSAS.- deber
proyecto de aula
1. 5 m de elástico valen $ 800. ¿Cuánto valen 8 m del mismo elástico?
2. 3 litros de aceite valen 3.120. ¿Cuánto valen 4 litros?
3. Para hacer un trabajo en 4 días se ocupan 9 hombres. ¿Cuántos
hombres lo harían en un día?
4. 12 m de género valen $ 18.000.¿Cuántos m podré comprar con $
45.000?
5. Los lados de un rectángulo están en la razón 1 : 2. Si el lado menor
mide 2,3 cm. Calcula la longitud del otro lado y el perímetro.
6. Con 18 kg de cemento se pueden preparar 100 kg de concreto.
¿Cuántas toneladas podemos preparar con una tonelada de cemento?
7. Un terreno de 250 m2 vale 3.750.000. ¿Cuánto costará otro terreno
similar que mide 28 m de fondo por 10 m de ancho?
8. Una casa de 9,5 m de alto, proyecta una sombra de 12,4 m. ¿Qué altura
tiene otra casa que a la misma hora proyecta una sombra de 39,75m?

65
PROPORCIONALIDAD COMPUESTA. Deber proyecto de aula
1. Alimentar a 12 animales durante 8 días cuesta $ 8.000.
¿Cuánto costará alimentar a 15 animales durante 5 días?
2. Se tienen 2 máquinas iguales para revelar fotos .
Funcionando durante 5 horas revelan 1.200 fotos al día.
¿Cuántas fotos podrán revelar 6 máquinas iguales a la
anterior, pero funcionando 7 horas?
3. 6 cajas de tarros de conservas de 8 tarros c/u valen $
2.000 ¿Cuánto valen 10 cajas de12 tarros c/u?
4. 12 operarias confeccionan 192 abrigos en 20 días de 8
horas de trabajo. ¿Cuántas horas deben trabajar
diariamente 18 mujeres para confeccionar 270 abrigos en
25 días?

PORCENTAJES
• Un porcentaje es una razón de consecuente
1oo.
• Esto quiere decir que un porcentaje es una
comparación que se establece en relación a
cada 100 unidades.
• El símbolo utilizado para porcentaje es %.
66

PORCENTAJES
• Según lo anterior podemos afirmar que:
• 5 % =
• Significa 5 de cada 100
• 12 % =
• Significa 12 de cada 100
67
100
5
100
12

Porcentajes
• Un porcentaje lo podemos expresar de distintas
formas:
• Como una razón
• Como una fracción
• irreductible
• Como un decimal
RAMV. 68
%12
100
12
100
12 4:
4: 25
3

100:12
100
12 12,0

Porcentajes
• Existen algunos porcentajes que se pueden
calcular rápidamente, en forma mental
• El 50%
• Para calcular el 50% de un número basta con
calcular la mitad del número
• El 50% de 34 es
• El 50% de 18 es
• El 50% de 72 es
• El 50% de 5 es
69
17
9
36
5,2

Porcentajes
• El 25%
• Para calcular el 25% de un número debemos
calcular la mitad, de la mitad del número
• El 25% de 60 es
• El 25% de 18 es
• El 25% de 2 es
• El 25% de 84 es
70
15
5,4
5,0
21

Porcentajes
• El 75%
• Para calcular el 75% de un número debemos
calcular primero el 25% y luego el resultado
multiplicarlo por 3
• El 75% de 40 es
• El 75% de 8 es
• El 75% de 120 es
• El 75% de 6 es
71
30
6
90
5,4

EN General
• Si quiero calcular el t% de n, procedo:
72
n
t
*
100 100
* nt


Como resolver un problema que
involucre porcentajes
• Todo problema relativo a porcentajes, se le
debe dar un tratamiento de proporcionalidad
directa, por lo tanto se debe proceder como
explicamos anteriormente, pero además
debemos tener presente la siguiente
consideración:
• Al anotar los datos en columnas, al total de los
casos, debemos hacerle coincidir el 100%
73

Ejemplo 1
• En un colegio el 5% de los alumnos tiene beca.
Si los alumnos becados son 43.
• ¿Cuántos alumnos tiene el colegio?
74

En un colegio el 5% de los alumnos tiene beca. Si los alumnos becados son 43.
¿Cuántos alumnos tiene el colegio?
• Anotamos los datos en columnas, de modo de asignar
al total, el 100%
• En este caso, no conocemos el total de alumnos, (x),
por lo cual a la x, le asignamos el 100%
• Al plantear la proporción y resolverla tenemos:
• Por lo tanto el colegio tiene 860 alumnos
75
Alumnos %
43 5
x 100
100
543

x 5
100*43
x
5
4300
x 860x

Ejemplo 2
• En una fábrica en la que trabajan 120
operarios, 18 de ellos presentaron licencias
médicas en el primer semestre. ¿Qué
porcentaje de los operarios presentó licencia
médica?
RAMV. 76

En una fábrica en la que trabajan 120 operarios, 18 de ellos presentaron licencias médicas en el
primer semestre. ¿Qué porcentaje de los operarios presentó licencia médica?
• Como se observa al leer comprensivamente el
problema, el total de los casos corresponden a los 120
operarios, por lo cual a dicha cantidad, debemos
asociarle el 100%. De esta manera, tenemos la
siguiente tabla.
• Con dichos datos planteamos y resolvemos la
proporción:
RAMV. 77
Operarios %
120 100
18 x

En una fábrica en la que trabajan 120 operarios, 18 de ellos presentaron licencias médicas en el
primer semestre. ¿Qué porcentaje de los operarios presentó licencia médica?
• Por lo tanto, los 18 operarios, representan el
15% de los 120 trabajadores.
78
Operarios %
120 100
18 x
x
100
18
120

120
100*18
x
120
1800
x
12
180
x 15x

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