Aritmética - San Marcos.pdf

BANCO DE EJERCICIOS
DE LA COLECCIÓN COMPENDIOS
ARITMÉTICA

Editorial
Librería: Av. Garcilaso de la Vega 978, Lima Telf.: 424-6563
www.editorialsanmarcos.com
ÍNDICE
Razones - Proporciones - Promedios .............................................................................................. 4
Magnitudes proporcionales............................................................................................................... 14
Reparto proporcional ........................................................................................................................ 18
Regla de tres..................................................................................................................................... 23
Porcentajes - Mezclas ...................................................................................................................... 27
Interés - Descuento........................................................................................................................... 36
Numeración - Conteo........................................................................................................................ 45
Cuatro operaciones........................................................................................................................... 55
Divisibilidad....................................................................................................................................... 66
Números primos................................................................................................................................ 77
Máximo común divisor - Mínimo común múltiplo.............................................................................. 85
Potenciación y radicación ................................................................................................................. 92
Teoría de conjuntos .......................................................................................................................... 101
Números racionales ......................................................................................................................... 114

Editorial
RAZÓN
Es la comparación que se establece entre dos can-
tidades de una magnitud mediante las operaciones
de sustracción o división, lo cual nos induce a se-
ñalar que se tiene dos clases de razón.
Razón aritmética. Es la que se obtiene mediante
la sustracción y consiste en determinar en cuánto
excede una de las cantidades a la otra: a – b = r
Ejemplo:
Los automóviles A y B se desplazan con velocida-
des de 28 m/s y 23 m/s respectivamente, compare-
mos sus velocidades:
razón aritmética
valor de la
razón
28 m/s - 23 m/s = 5 m/s
1 2 3
4444
4 4444
4
6 7 8
4
4 4
4
S S
antecedente consecuente
Interpretación: la velocidad del automóvil A excede
en 5 m/s a la velocidad del automóvil B.
Razón geométrica. Es la que se obtiene mediante
la división y consiste en determinar cuántas veces
cada una de las cantidades contiene la unidad de
referencia:
b
a
= k
Ejemplo:
Los edificios A y B tienen una altura de 60 m y 36 m,
respectivamente, comparemos sus alturas (en ese
orden):
antecedente
consecuente m
m
36
60
3
5
=
razón geométrica
valor de la razón
Interpretación:
• Las alturas de los edificios A y B son entre sí
como 5 es a 3 porque:
Altura de A: 5(12 m)
Donde: 12 m es la unidad de referencia.
Altura de B: 3(12 m)
• Por cada 5 unidades de 60 m hay 3 unidades
de 36 m.
• Las alturas de los edificios A y B están en la
relación de 5 a 3.
Recuerde:
RAZÓN
Aritmética Geométrica
a - b = r
b
a
= k
Términos:
a: antecedente
b: consecuente
r y k: valores de las razones
Cuando en el texto se mencione solamente razón o
relación se debe entender que se hace referencia a
la razón geométrica.
proporción
Es la igualdad en valor numérico de dos razones
de la misma clase.
Proporción aritmética. Es aquella que se forma
al igualar los valores numéricos de dos razones
aritméticas.
Ejemplo:
Forme una proporción aritmética con las edades
de 4 alumnos y que son: 15 años, 17 años, 18 años
y 14 años.
Extremos
I. 18 años - 15 años = 17 años - 14 años
Medios
Extremos
II. 18 años - 17 años = 15 años - 14 años
Medios
Llevando los extremos y medios a un solo miembro
de la igualdad se obtiene lo siguiente:
Extremos Medios
• 18 años + 14 años = 17 años + 15 años
32 años = 32 años
razones - proporciones - promedios

Editorial
5 Banco de ejercicios
Extremos Medios
• 18 años + 14 años = 15 años + 17 años
32 años = 32 años
De donde podemos concluir que en toda propor-
ción aritmética:
[suma de extremos] = [suma de medios]
Dependiendo del valor que asumen los términos
medios las proporciones aritméticas presentan dos
tipos.
A. Discreta. Cuando los valores de los términos
medios son diferentes.
Ejemplo:
Forme una proporción aritmética con las altu-
ras de 4 árboles y que son: 25 m; 18 m; 42 m y
35 m.
Resolución:
Debemos comparar las alturas de dichos ár-
boles mediante una resta.
25 m - 18 m = 7 m a la vez 42 m - 35 m = 7 m
Como el valor de cada razón es el mismo pode-
mos establecer: 25 m - 18 m = 42 m - 35 m
que es una proporción aritmética discreta.
Convencionalmente se asumen los términos
de la proporción aritmética en el orden como
se presentan en el problema:
1.er
término
c m -
2.o
término
c m =
3.er
término
c m -
4.o
término
c m
Ejemplo:
Halle la cuarta diferencial de los precios de
tres artículos que son: S/.50, S/.34 y S/.29.
Resolución:
La cuarta diferencial es el cuarto término en la
proporción: 50 - 34 = 29 - c; c = 13, enton-
ces 13 es la cuarta diferencial de 50; 34 y 29.
B. Continua. Cuando los valores de los términos
medios son iguales.
Ejemplo:
Forme una proporción aritmética continua con los
volúmenes de 4 recipientes y que son 19 cm3
,
15 cm3
y 11 cm3
.
Resolución:
Podría ser:
19 cm3
- 15 cm3
= 15 cm3
- 11 cm3
ya que generalmente se asume el orden en
que se dan los términos.
Recuerde:
Proporción aritmética
Discreta
“a excede a b como c excede a d”
Extremos
a - b = c - d
Medios
d: cuarta diferencial de a, b y c
Continua
Extremos
a - b = b - c
Medios
b: media diferencial de a y c
c: tercera diferencial de a y b
Proporción geométrica. Es aquella que se forma
al igualar los valores numéricos de dos razones
geométricas.
b
a
d
c
k
= =
Ejemplo:
Se tiene cuatro recipientes cuyas capacidades son
24 L, 6 L, 16 L y 4 L las cuales se comparan me-
diante la división del siguiente modo:
L
L
L
L L
L
L
L
6
24 4
4
16
4
6
24
4
16
=
=
=
_
`
a
b
b
b
b
• 24 L y 4 L: términos extremos
• 6 L y 16 L: términos medios
Interpretación: la capacidad de 24 L es a la capaci-
dad de 6 L como la de 16 L es a la de 4 L.
Ejemplo:
Forme una proporción geométrica con las veloci-
dades de 4 automóviles y que son: 15 m/s; 20 m/s;
9 m/s y 12 m/s.

Editorial
aritmétiCa 6
Resolución:
I.
/
/
/
/
m s
m s
m s
m s
20
15
12
9
4
3
= =
Extremos: 15 m/s y 12 m/s
Medios: 20 m/s y 9 m/s
Valor de cada razón geométrica:
4
3
II.
/
/
/
/
m s
m s
m s
m s
15
20
9
12
3
4
= =
Extremos: 20 m/s y 9 m/s
Medios: 15 m/s y 12 m/s
Valor de cada razón geométrica:
3
4
Llevando los términos medios y extremos a
un solo miembro de la igualdad se obtiene lo
siguiente:
Extremos Medios
(15 m/s)(12 m/s) = (9 m/s)(20 m/s)
180 = 180
Extremos Medios
(20 m/s)(9 m/s) = (12 m/s)(15 m/s)
180 = 180
De donde podemos concluir que en toda pro-
porción geométrica:
[Producto de extremos] = [Producto de medios]
Dependiendo del valor que asumen los tér-
minos medios, las proporciones geométricas
presentan dos tipos:
A. Discreta. Cuando los valores de los términos
medios son diferentes:
b
a
d
c
=
Convencionalmente se asumen los términos
de la proporción en el orden como se presen-
tan en el problema:
.
.
.
.
2
1
4
3
término
término
término
término
o
er
o
er
=
^
^
^
^
h
h
h
h
Ejemplo:
Calcula la cuarta proporcional de las estaturas
de 3 estudiantes que son: 1,6 m; 1,2 m y 1,4 m
Resolución:
La cuarta proporcional es el cuarto término de
la proporción
,
, ,
x
1 2
1 6 1 4
= & x = 1,05 es la cuar-
ta proporcional.
B. Continua. Cuando los valores de los términos
medios son iguales.
b
a
c
b
=
Recuerde:
Proporción geométrica
Discreta Continua
b
a
d
c
=
d: cuarta proporcional
de a, b y c
b
a
c
b
=
b: media proporcional
de a y c.
c: tercera proporcional
de a y b.
Propiedad de la proporción geométrica. Al efec-
tuar las operaciones de adición y/o sustracción con
los términos de una razón en la proporción, estas
mismas operaciones se verifican con los términos
de la otra razón.
Si:
b
a
d
c
b
a b
d
c d
o
a
a b
c
c d
o
b
b a
d
d c
o
a b
a b
c d
c d
&
=
+
=
+ +
=
+
-
=
-
-
+
=
-
+
Serie de razones geométricas equivalentes
En algunas oportunidades nos encontraremos con
razones geométricas que tienen el mismo valor nu-
mérico, como:
; ; ;
5
10
2
7
14 2
3
6
2
6
12 2
= = = =
Las cuales pueden igualarse del siguiente modo:
5
10
7
14
3
6
6
12 2
= = = = , la cual es llamada serie de
razones geométricas equivalentes.
Donde:
10; 14; 6 y 12 son los antecedentes.
5; 7; 3 y 6 son los consecuentes.
2 es la constante de proporcionalidad.
Realicemos algunas operaciones con los términos:
•
5 7 3
10 14 6
15
30
2
+ +
+ +
= = •
5 6 3
10 12 6
8
16
2
+ -
+ -
= =
En ambos casos se observa que la constante de
proporcionalidad no ha variado lo cual nos induce a:
5
10
7
14
3
6
6
12
5 7
10 14
5 3
10 6
= = = =
+
+
=
-
-
=

Editorial
5 3 6
10 6 12
5 7 3 6
10 14 6 12
2
=
+ -
+ -
=
+ - -
+ - -
=
•
5 7 3
10 14 6
2 2 2 2
3
# #
# #
# #
= =
•
5 7 3 6
10 14 6 12
2 2 2 2 2
4
# # #
# # #
# # #
= =
Se puede observar que al multiplicar los antece-
dentes y consecuentes la constante de propor-
cionalidad se ve afectada de un exponente que
numéricamente es igual a la cantidad de razones
consideradas para la multiplicación.
Nota:
En general para n razones de igual valor nu-
mérico:
...
c
a
c
a
c
a
c
a
k
n
n
1
1
2
2
3
3
= = = =
Donde:
ai: antecedente; ci: consecuente
k: constante de proporcionalidad
Además:
a1 = c1 k
a2 = c2 k
a3 = c3 k
h
an = cn k
En el cual se cumplen las siguientes propiedades:
• ...
c
a
c
a
c
a
c
a
k
n
n
1
1
2
2
3
3
= = = =
...
...
c c c c
a a a a
k
n
n
1 2 3
1 2 3
+ + + +
+ + + +
=
Se cumple:
k
suma de consecuentes
suma de antecedentes
=
•
. . ...
. . ...
...
c c c c
a a a a
k
c
a
c
a
c
a
c
a
k
n
n n
n n n
n
n
n
n
1 2 3
1 2 3
1
1
2
2
3
3
=
= = = = =
c c c c
m m m m
Se cumple:
k
producto de consecuentes
producto de antecedentes n
=
Donde n es el número de razones que se
multiplican.
Propiedad:
En las siguientes series de razones geométricas:
•
12
8
18
12
27
18
= = •
54
81
36
54
24
36
16
24
= = =
se observa que el primer consecuente es igual al
segundo antecedente, el segundo consecuente
igual al tercer antecedente y así sucesivamente. A
este tipo de serie se le denomina: serie de razones
geométricas continuas equivalentes.
En general:
b
a
c
b
d
c
e
d
k
= = = =
a ek
b ek
c ek
d ek
4
3
2
=
=
=
=
Z
[

]
]
]
]
]
Promedio
Dado un conjunto de datos es frecuente calcular un
valor referencial (que represente a dichos datos)
cuyo valor se encuentra comprendido entre los va-
lores extremos (mínimo y máximo dato) o es igual
a uno de los extremos y se le denomina promedio.
En general: para n datos a1 # a2 # ... # an
se tiene que:
a1 # promedio # an
• Promedio aritmético o media aritmética (MA)
Ejemplo:
Calcular el promedio aritmético de las tempe-
raturas de 5 ciudades y que son: 14°; 13°; 11°;
12°; 15°.
Resolución:
° ° ° ° ° °
13°
MA
5
14 13 12 11 15
5
65
=
+ + + +
= =
Es el más sencillo y ya lo habíamos trabajado
en el ejemplo anterior:
MA
cantidad de datos
suma de datos
=
...
MA
n
a a a an
1 2 3
=
+ + + +
Para determinar la variación que experimenta
el promedio aritmético de un conjunto de da-
tos solo es necesario considerar el incremen-
to o disminución en la suma de los datos.

Editorial
aritmétiCa 8
del
cantidad de datos
variación
promedio
incremento o disminución
en la suma de los datos
=
c m
Cuando de un conjunto de datos se conoce su
promedio implícitamente ya se tiene la suma
de los datos.
MA (n datos) = k & suma (n datos) = n(k)
• Promedio ponderado
Datos: a1 a2 a3 ... ak
Pesos: P1 P2 P3 ... Pk
promedio
ponderado
=
...
...
P P P P
a P a P a P a P
k
k k
1 2 3
1 1 2 2 3 3
+ + + +
+ + + +
• Promedio geométrico o media geométrica
(MG). Es un promedio que permite promediar
índices y tasas de crecimiento y el procedi-
miento para calcularlo es:
MG =
cantidad
de datos
producto de los datos
...
MG a a a an
n
1 2 3
# # # #
=
• Promedio armónico o media armónica (MH).
Es la inversa del promedio aritmético de los
recíprocos de los datos:
MH
suma de las inversas de los datos
cantidad de datos
=
...
MH
a a a a
n
1 1 1 1
n
1 2 3
=
+ + + +
• Mediana (Me). Es un promedio que represen-
ta el punto medio de los datos para determi-
narlo el procedimiento es el siguiente:
Se ordenan los datos en forma creciente o de-
creciente.
– Si el número de datos es impar, la media-
na es el dato central.
– Si el número de datos es par, la media-
na es el promedio aritmético de los datos
centrales.
• Moda (Mo). Es el valor más frecuente o el que
más se repite en un conjunto de datos.
Propiedades (MA, MG y MH)
1. Para un conjunto de datos no iguales se tiene
que:
MH 1 MG 1 MA
Cuando los datos son iguales se cumple que:
MH = MG = MA
2. Siempre para dos datos a y b se cumple que:
(MA)(MH) = (MG)2
Para dos números:
MA(a; b) =
a b
2
+
MG(a; b) = ab
MH(a; b) =
a b
a b
ab
1 1
2 2
+
=
+
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Dos números son proporcionales a 2 y 5. Si se
aumenta 175 a uno de ellos y 115 al otro se ob-
tienen cantidades iguales. ¿Cuál es el menor?
Resolución:
Por dato:
( )
( )
b
a a k menor
b k mayor
5
2 2
5
&
=
=
=
Además: 2k + 175 = 5k + 115
60 = 3k & k = 20
Luego: menor = 2k = 40
2. El producto de los cuatro términos de una
proporción geométrica es 50 625. Sabiendo
que los medios son iguales y que uno de los
extremos es 75, indicar la suma de los cuatro
términos de la proporción.
Resolución:
Sea la proporción:
b d
b
k
75
= =
Por dato: (75)(d)(b)(b) = 50 625
S
b2
Entonces: b4
= 154
& b = 15
Además por propiedad:
(75)(d) = (15)(15) & d = 3
Luego: 75 + 2b + d = 108

Editorial
•
F
V
600
600
7
8
-
-
=
Por propiedad de proporciones:
F
F V
F
F F
600 7
1
600
2 300
7
1
&
-
-
=
-
- -
=
^ h
-7F + 2100 = 600 - F
1500 = 6F & F = 250; V = 200
Cambian de opinión: 150
6. ¿Cuál es la diferencia entre los extremos de
una proporción continua si la suma de sus cua-
tro términos es 36 y la razón entre la suma y
diferencia de los dos primeros términos es 3?
Resolución:
Sea la proporción:
b
a
d
b
k
= =
a + 2b + d = 36 ...(1)
a b
a b
-
+ = 3, de aquí por propiedad de propor-
ciones: 2
b
a
&
= a = 2b
Reemplazando en la proporción:
2
b
b
k k
2
&
= =
Luego en (1):
2b + 2b +
b
2
= 36 b
2
9
36
& =
b = 8; a = 16 y d = 4
` a - d = 12
7. El promedio de 50 números es 38; siendo 45 y
55 dos de los números. Eliminando estos dos
números, hallar el promedio de los restantes.
Resolución:
Vamos a convenir que: MAn =
n
Sn
Entonces en el problema:
S
S
50
38 1900
50
50
&
= =
Como dos de los números son 45 y 55; quedan:
S48 = 1900 - (45 + 55) & S48 = 1800
Luego: MA48 = 37,5
8. Se tienen 4 números enteros y positivos, se
seleccionan 3 cualesquiera de ellos y se cal-
cula su media aritmética, a la cual se agrega
el entero restante, esto da 29, repitiendo el
3. El jardinero A planta rosas más rápidamente
que el jardinero B en la proporción de 4 a 3.
Cuando B planta x rosas en 1 hora. A planta
x + 2 rosas. ¿Cuántas rosas planta B en 4
horas?
Resolución:
Por dato:
B
A A t
B t
3
4 4
3
&
=
=
=
Además en 1 hora
2 + x = 4t
4 & x = 6

x = 3t
Luego, B en 4 horas planta:
6(4) = 24 rosas.
4. La razón de 2 números es 3/4 y los 2/3 de su
producto es 1152. Encontrar el mayor de los
dos números.
Resolución:
Sean a y b los números:
b
a
a b
4
3
4
3
&
= =
1152
ab
3
2
= & 1152
b b
3
2
4
3
=
c m
b
2
1152
2
= & b2
= 2304 = 482
& b = 48 (mayor) / a = 36 (menor)
` b = 48
5. Un asunto fue sometido a votación de 600
personas y se perdió; habiendo votado de
nuevo las mismas personas sobre el mismo
asunto, fue ganado el caso por el doble de
votos por el que se había perdido la primera
vez, y la nueva mayoría fue con respecto a la
anterior como 8 es a 7. ¿Cuántas personas
cambiaron de opinión?
Resolución:
A favor En contra
Diferencia
de votos
1.a
vot. F 600 - F 600 - 2F
2.a
vot 600 - V V 600 - 2V
Por dato:
• 600 - 2V = 2(600 - 2F)
600 - 2V = 1200 - 4F
4F - 2V = 600
2F - V = 300 & V = 2F - 300

Editorial
aritmétiCa 10
proceso 3 veces más se obtienen como resul-
tados 23, 21 y 17. Hallar uno de los enteros
originales.
Resolución:
Sean a, b, c y d los números:
a b c
3
+ + + d = 29 ...(1)
b c d
3
+ + + a = 23 ...(2)
a b d
3
+ + +c = 21 ...(3)
a c d
3
+ + +b = 17 ...(4)
Sumando miembro a miembro:
a b c d
3
3 + + +
^ h
+ (a + b + c + d) = 90
a + b + c + d = 45
En (1):
a b c
3
+ + = 29 - d
45 - d = 87 - 3d & d = 21
En (2): a = 12; en (3): c = 9; en (4): b = 13
9. Hallar dos números tales que su media arit-
mética sea 18,5 y su media geométrica 17,5.
Resolución:
Sean a y b los números.
MA(a; b)
a b
2
=
+ = 18,5 & a + b = 37
MG(a; b) = ab = 17,5 & a # b = 306,25
Debemos buscar dos números que multiplica-
dos den 306,25 y sumados 37.
Así, de: a # b = 306,25
a # b = 24,5 # 12,5
Los números son: 24,5 y 12,5
10. Tres números enteros a, b y c, tienen una
media aritmética de 5 y una media geométri-
ca de 120
3 . Además, se sabe que el produc-
to bc = 30. Hallar la media armónica de estos
números.
Resolución:
Por dato:
MA =
a b c
a b c
3
5 15
&
+ +
= + + =
120
MG abc abc
120
3 3
&
= = =
De donde: a(30) = 120; (bc = 30)
& a = 4
Luego:
b + c = 11
bc = 30
b = 5; c = 6
0
b = 6; c = 5
&
MH(a; b; c) =
. . .
20 24 30
3 4 5 6
37
180
74
360
+ +
= =
11. El peso promedio de todos los estudiantes de
una clase A es 68,4 y de todos los estudiantes
de la clase B es 71,2. Si el peso promedio de
ambas clases combinadas es 70 y el número
de estudiantes en la clase B excede a la de A
en 16. ¿Cuántos estudiantes tiene la clase B?
Resolución:
Sea n el número de estudiantes en B y n - 16
el número de estudiantes en A:
.
, ,
70
n
n n
2 16
71 2 68 4 16
Prom
& =
-
+ -
=
^ h
139,6n - 1094,4 = 140n - 1120 & n = 64
EJERCICIOS PROPUESTOS 1
1. Dada la siguiente serie de razones geométri-
cas equivalentes:
a
b
c
d
27
70
15
14
= = =
además: b - d = 24. Hallar: a + b + c + d
a) 126 b) 134 c) 143
d) 162 e) 146
2. Si:
b
a
c
b
d
c
= = y además:
(a2
+ b2
+ c2
)(b2
+ c2
+ d2
) = 4900
Hallar: 3(ab + bc + cd)
a) 70 b) 280 c) 35
d) 120 e) 210
3. Dado la siguiente serie: ;
b
a
d
c
e
d
k
= = = k ! Z+
Además: c +e = 15; b +d = 14
Calcular: (a + b + c)

Editorial
a) 25 b) 30 c) 36
d) 42 e) 28
4. En una proporción geométrica continua se
sabe que la diferencia de los extremos es 40
y la suma de sus términos es 100. Calcular la
media aritmética de los extremos e indicar la
suma de sus cifras.
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 8
5. En una proporción geométrica continua la
suma de los extremos es 75 y la diferencia de
los mismos es 21. Calcular la media propor-
cional.
a) 18 b) 30 c) 24 d) 36 e) 32
6. En una proporción continua, la suma de los
extremos es 73 y la suma de los cuadrados
de los extremos es 4177. Determine la media
proporcional.
a) 18 b) 22 c) 24 d) 28 e) 32
7. Hallar el valor de b si: a b c
5 7 8
= = y
a + 2b + 3c = 430
a) 90 b) 30 c) 105
d) 35 e) 70
8. La razón de 2 números es 3/4 y los 2/3 de su
producto es 1152. Encontrar el mayor de los 2
números.
a) 36 b) 48 c) 50
d) 60 e) 72
9. Si:
C P V
5 12 13
= = y C P 78
2 2
+ =
hallar: C + P + V
a) 180 b) 240 c) 270
d) 300 e) 210
10. Sabiendo que:
a b c d
12 27 48 75
2 2 2 2
= = =
donde (d + b) - (c + a) = 143
Hallar: a + b + c + d
a) 101 b) 10 010 c) 1001
d) 111 e) 1010
11. La suma de tres números es 650. Esta suma
es a la diferencia del primero con el último
como 50 es a 9 y esta misma suma es a la di-
ferencia de los últimos como 25 es a 1. Hallar
el mayor de los números.
a) 295 b) 169 c) 195
d) 286 e) 210
12. La anchura de una alfombra rectangular es a
su largo como 2 es a 3. Si se le corta por los
4 costados una tira de 10 cm de ancho, la su-
perficie disminuye en 56 dm2
. Diga cuál es el
largo de la alfombra.
a) 21 dm b) 12 dm c) 15 dm
d) 18 dm e) 28 dm
13. Para envasar 15 000 litros de aceite se dispo-
ne de botellas de 1/2 litro, 1 litro, 5 litros. Por
cada botella de 5 litros hay 10 de un litro y 20
de medio litro. Al terminar de envasar el acei-
te, no sobra ninguna botella vacía. ¿Cuántas
botellas había en total?
a) 18 000 b) 30 000 c) 18 600
d) 27 000 e) 240
14. Se tiene una serie de razones geométricas
continuas equivalentes, donde cada conse-
cuente es el triple de su antecedente; además
la suma de sus extremos es 488. Dar como
respuesta el mayor término.
a) 486 b) 242 c) 345
d) 620 e) 70
15. El número de niños y niñas en una fiesta in-
fantil está en la relación de 2 a 5. Si al cabo de
2 horas llegan 10 parejas y 6 niños, la nueva
relación sería de 4 a 7. Hallar el número de
asistentes.
a) 96 b) 121 c) 84
d) 91 e) 110
16. Hace 8 años la razón de las edades de dos
hermanos era 2/5 y dentro de 12 años la razón
sería 4/5. Hallar la edad del menor de los her-
manos.
a) 16 b) 18 c) 15 d) 9 e) 12

Editorial
aritmétiCa 12
17. La razón de x a y es 343 veces la razón de y2
a x2
; hallar la razón de x a y.
a) 5/1 b) 5/2 c) 6/1
d) 7/2 e) 7/1
18. En una urna se tienen 400 bolas, de las cua-
les 160 son blancas y las restantes, negras.
¿Cuántas blancas se deben añadir para que
por cada 2 negras haya 3 bolas blancas?
a) 200 b) 240 c) 100
d) 120 e) 0
19. ¿Cuál es la diferencia entre los extremos de
una proporción geométrica continua, si la
suma de sus cuatro términos es 32 y la razón
entre la suma y diferencia de los dos primeros
términos es 2?
a) 9 b) 14 c) 10 d) 16 e) 12
20. En una proporción geométrica continua, el pri-
mer término es 1/9 del cuarto término. Si la
suma de los medios es 72, hallar la diferencia
de los extremos.
a) 60 b) 90 c) 72 d) 96 e) 84
1. b 5. d 9. a 13. b 17. e
2. e 6. c 10. c 14. a 18. a
3. c 7. e 11. d 15. e 19. d
4. c 8. b 12. d 16. e 20. d
Claves
1. El promedio de 5 números es 85. Se conside-
ra un sexto número y el promedio aumenta en
15. Hallar el sexto número.
a) 155 b) 165 c) 175
d) 170 e) 185
2. En un salón de clase, a alumnos tienen 14
años, b alumnos tienen 11 años y c alumnos
tienen 13 años. Si el promedio de todos es 12
años, hallar a.
a) 2b - a b) b - 2a c) 2b
d) a - b e) a + b
3. El promedio aritmético de los cuadrados de 2
números consecutivos es 380,5. Hallar el me-
nor de ellos.
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
4. Un estudiante de una academia ha obtenido
13; 14; 16; 12 y a en sus 5 exámenes, además
el último tiene doble peso que los otros. Deter-
mina el valor de a si el promedio ponderado
es 13,5.
a) 12 b) 12,5 c) 13
d) 13,5 e) 14
5. El promedio de 50 números es 30. Si se re-
tiran 5 números cuyo promedio es 48. ¿En
cuánto disminuye el promedio?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
6. El promedio de las edades de 5 hombres es
28 años, además ninguno de ellos es menor
de 25 años. ¿Cuál es la máxima edad que po-
dría tener uno de ellos?
a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44
7. La suma de 2 números es 18 y sus promedios
aritmético y armónico son consecutivos. Halla
la diferencia de dichos números.
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15
8. El doble del promedio aritmético de 2 nú-
meros es igual al cuadrado de su promedio
geométrico más 1. Si uno de los números es
120. ¿Cuál es el otro?
a) 120 b) 60 c) 30 d) 4 e) 1
9. El promedio armónico de 40 números es 16 y
el de otros 30 números es 12. Halle el prome-
dio armónico de los 70 números.
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
10. El mayor promedio de 2 números es 100,
mientras que su menor promedio es 36. Hallar
la diferencia de dichos números.
a) 180 b) 160 c) 140
d) 120 e) 182

Editorial
11. El promedio armónico de 3 números es
180/37, uno de los números es 5 y el prome-
dio geométrico de los otros 2 números es 6.
Dar como respuesta el menor de estos 3 nú-
meros.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 12
12. El promedio geométrico de 2 números es 12 y
la suma de sus promedios, aritmético y armóni-
co es 26. ¿Cuál es la suma de dichos números?
a) 40 b) 18 c) 32
d) 36 e) 20
13. La media aritmética de 5 números es 120. Si
le agregamos 5 nuevos números la MA queda
aumentada en 80. ¿Cuál es la MA de los 5
números?
a) 200 b) 240 c) 280
d) 320 e) 360
14. La media aritmética de 2 números es 20,5 y la
media geométrica es 20. Hallar el menor nú-
mero.
a) 20,5 b) 11,5 c) 16
d) 11 e) 18
15. La media aritmética de 3 números es 13/3, la
media geométrica de los mismos es igual a
uno de ellos y su media armónica es igual a
27/13. ¿Cuál es uno de los números?
a) 9 b) 8 c) 72
d) 6 e) 10
16. Un ciclista viaja de A hacia B a 60 km/h, y re-
gresa por el mismo camino a 30 km/h. Hallar
la velocidad media de su recorrido total.
a) 50 km/h b) 4 km/h c) 40 km/h
d) 35 km/h e) 30 km/h
17. ¿Cuántas horas emplea un móvil para reco-
rrer 480 km. Viajando a una velocidad media
de 60 km/h, si hace 3 paradas de 15 minutos.
a) 8,15 h b) 8,45 h c) 8,50 h
d) 8,75 h e) 8,90 h
18. Hallar la suma de dos números que se dife-
rencian en 24, y además la diferencia que
existe entre su MG y MA es 6.
a) 24 b) 26 c) 28
d) 30 e) 32
1. c 5. c 9. c 13. c 17. d
2. b 6. a 10. b 14. c 18. d
3. d 7. a 11. c 15. a
4. d 8. e 12. d 16. c
Claves

Editorial
MAGNITUD
Se entiende como magnitud, para nuestro estu-
dio, a todo aquello que experimenta cambios o
variación, el cual puede ser medido o cuantificado
(magnitud matemática).
Cantidad
Es un estado particular de la magnitud en un deter-
minado momento de análisis, el cual resulta de me-
dir (cuantificar) la variación, expresado en ciertas
unidades de medida. Si tiene unidades se dice que
es concreta, si carece de unidades es abstracta.
RELACIÓN ENTRE DOS MAGNITUDES
Dos magnitudes son proporcionales cuando al va-
riar uno de ellos entonces la otra también varía en
la misma proporción.
MAGNITUDESDIRECTAMENTEPROPORCIONALES(DP)
Ejemplo:
En un determinado momento Lolo coloca 5 estacas
de diferentes alturas y luego procede a medir la
sombra que proyecta cada una de ellas, todo ello
lo anota en la siguiente tabla.
Sombra proyectada (cm) 4 6 12 36 48
Altura de cada estaca (cm) 2 3 6 18 24
Resolución:
Intuitivamente se puede afirmar que a mayor altura
de la estaca, mayor sombra proyectada. Esta afir-
mación, matemáticamente se puede expresar así:

DOWXUD FP
VRPEUD
FP
Valor de la altura
Valor de la sombra
2
4
3
6
6
12
= = =
18
36
24
48
2
= = = (constante)
Donde los puntos corresponden a una recta que
pasa por el origen de coordenadas, la cual presen-
ta una inclinación respecto al eje horizontal (lla-
mada pendiente) que numéricamente es igual a la
razón geométrica de los valores correspondientes
a las magnitudes.
Podemos observar que las magnitudes sombra
proyectada y altura de las estacas cumplen que el
cociente de sus valores correspondientes es cons-
tante y que su gráfica es una recta.
Cuando 2 magnitudes cumplen estas 2 condicio-
nes les llamaremos magnitudes directamente pro-
porcionales. De aquí podemos mencionar que si
los valores de las magnitudes aumentan (o dismi-
nuyen) en la misma proporción son directamente
proporcionales.
En general para dos magnitudes A y B estas se
relacionan en forma directamente proporcional si
el cociente de sus valores correspondientes es una
constante.
Notación: valor de (A)
A DP B
Valor de B
Valor de A
constante
=
^
^
h
h
A a B
B
A = k
• La gráfica de dos magnitudes DP, son puntos
que pertenecen a una recta que pasa por el
origen de coordenadas.
• En cualquier punto de la gráfica (excepto el
origen de coordenadas) el cociente de cada
par de valores resulta una constante.
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
(IP)
Ejemplo:
Una empresa constructora estudia, el tiempo que
emplea un grupo de obreros para realizar una obra
(todos los obreros rinden igual) y estos son los da-
tos obtenidos:
n.° de obreros 10 20 24 30 40 50
Tiempo (días) 60 30 25 20 15 12
Se observa cuando hay más obreros menos tiem-
po se emplea. El comportamiento de los valores
es inverso, esto lleva a señalar que la magnitud
obreros y tiempo son inversamente proporciona-
les. Además de ello se tiene que:
10(60) = 20(30) = 24(25) = 30(20) = 40(15)
= 50(12) = 600
magnitudes proporcionales

Editorial
De donde:
Valor de
obreros
Valor del
tiempo
c f
m p = constante (obra a realizar)
Gráficamente:
tiempo (días)

1ƒGHREUHURV
Cada sector rectangular que se genera con un
punto de la gráfica y los ejes tienen la misma su-
perficie y que físicamente corresponde a la obra
realizada.
En general, dos magnitudes A y B son inversamen-
te proporcionales si el producto de sus valores co-
rrespondientes es constante.
Notación:
A(IP)B (valor de A)(valor de B) = constante
.
A B A B k
1
a
=
c m
• La gráfica de dos magnitudes IP, son puntos
que pertenecen a una rama de una hipérbola
equilátera.
• En cualquier punto de la gráfica el producto de
cada par de valores correspondientes resulta
una constante.
Propiedades
Cuando se tienen más de 2 magnitudes como A,
B, C y D se analizan dos a dos, tomando a una de
ellas como referencia para el análisis y mantenien-
do a las otras en su valor constante.
• A DP B (C y D constantes)
• A IP C (B y D constantes)
• A DP D (B y C constantes)
BD
AC
constante
=
• A DP B = B DP A
• A IP B = B IP A
• A IP B A DP
B
1
• A DP B An
DP Bn
• A IP B An
IP Bn
1. Una rueda A de 80 dientes engrana con otra
rueda B de 50 dientes. Fijo al eje de B hay otra
rueda C de 15 dientes que engrana con una
rueda D de 40 dientes. Si A da 120 vueltas por
minuto, ¿cuántas vueltas dará la rueda D?
Resolución:
Graficamente, las ruedas están dispuestas
como sigue:
$
%

'

Nota:
Si la rueda tiene menos dientes, da más
vueltas; lo que indica que:
(N.° de dientes)(N.° de vueltas) = k (IP)
Así, en un minuto:
1.° 80(120) = 50(N.° VB) N.° VB = 192
2.° Pero N.° VB = N.° VC = 192 (tiene el mismo
eje)
3.° 15(192) = 40(N.° VD) N.° VD = 72
2. Según la ley de Boyle, la presión es inversa-
mente proporcional al volumen que contiene
determinada cantidad de gas. ¿A qué presión
está sometido un gas si al aumentar esta pre-
sión en 2 atmósferas, el volumen varía en un
40%?
Resolución:
P: presión; V: volumen
Observación:
Si la presión aumenta; entonces el volumen
disminuye, pues son IP.

Editorial
aritmétiCa 16
Así: P # V = k (constante)
P # V = (P + 2)
100
60
# V
10P = 6P + 12
4P = 12 P = 3 atmósferas
3. Dos cantidades son inversamente proporcio-
nales a una tercera. ¿Cómo son entre sí estas
cantidades?
Resolución:
Sean A y B las magnitudes y C una tercera
magnitud.
Por dato: C IP B y C IP A
Por propiedad: C IP (A # B)
Por lo tanto:
C # A # B = k (constante)
` Son inversamente proporcionales.
4. Un tendero hurta en el peso empleando una
balanza de brazos desiguales que miden
22 cm y 20 cm. Una mujer compra 4,4 kg de
azúcar y el tendero pone las pesas sobre el
platillo correspondiente al brazo menor de la
balanza. La mujer compra otros 4,4 kg del
mismo artículo y obliga al comerciante a po-
ner las pesas en el otro platillo. En los 8,8 kg
¿cuánto dio de más o menos el tendero?
Resolución:

3

P(20) = 4,4(22) P = 4,84 kg
Al colocar las pesas en el brazo menor nece-
sita más azúcar para equilibrar.
Entrega de más: 0,44 kg

3

4,4(20) = 22 # P P = 4 kg
Entrega 0,4 kg menos; luego en los 8,8 kg en-
trega:
0,44 - 0,40 = 0,04 kg = 40 g más
5. Una persona dispone de un capital de 584 250
soles que lo ha dividido en tres partes para im-
ponerlas al 2%, al 4% y al 5% respectivamente.
Sabiendo que todas las partes le producen igual
interés. ¿Cuál es la parte impuesta al 4%?
Resolución:
Si los intereses son iguales; entonces los ca-
pitales son IP a las tasas
C1 # 2 = C2 # 4 = C3 # 5
Multiplicando por
20
1 tenemos:
C C C
2
20
1 4
20
1 5
20
1
1 2 3
# # # # # #
= =
C C C
k k
C C C
10 5 4 10 5 4
1 2 3 1 2 3

= = = =
+ +
+ +
k =
19
584 250
= 30 750
Luego, la parte impuesta al 4% es:
C2 = 5 # 30 750 = 153 750 soles
1. A es directamente proporcional a la raíz cua-
drada de B e inversamente proporcional al
cuadrado de C. Cuando A es 8, B es 16 y C es
6. Calcular el valor de B cuando A sea 9 y C
sea 4.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
2. Se tienen las magnitudes A; B; C y D tales que
A es DP a B; A es IP a C; A es IP a D. Cuando
A = 5; B = 2C y D = 2, hallar el valor de A
cuando B = 48; C = 2 y D = 3.
a) 36 b) 35 c) 40 d) 45 e) 32
3. Se sabe que una magnitud A es inversamente
proporcional a B. Hallar el valor de A sabiendo
que si disminuye en 36 unidades el valor de B
varía en un cuarto.
a) 24 b) 36 c) 180 d) 60 e) 48
4. X varía en razón directa a Y e inversa al cua-
drado de Z. Cuando X es 10, Y es 4 y Z es 14.
Hallar el valor de X cuando Y sea 16 y Z sea 7.
a) 180 b) 160 c) 154 d) 140 e) 120

Editorial
5. A es directamente proporcional al cuadrado de B
e inversamente proporcional a la raíz cúbica de
C. Si el valor de B se duplica y el de C disminuye
en sus 26/27, ¿qué sucede con el valor de A?
a) Se multiplica por 12
b) Disminuye en 1/11 de su valor
c) Aumenta en 1/11 de su valor
d) Se triplica
e) Se cuadruplica
6. A y B son directamente proporcionales. Cuan-
do el valor inicial de B se triplica, el valor de
A aumenta en 10 unidades. Cuando el nuevo
valor de B se divide entre 5, ¿cómo varía el
valor de A respecto al inicial?
a) Aumenta en 15 b) Disminuye en 10
c) Disminuye en 12 d) Disminuye en 2
e) No se altera
7. A y B son inversamente proporcionales con
constante de proporcionalidad igual a k. ¿Cuál
es este valor si la constante de proporcionali-
dad entre la suma y diferencia de A y 1/B es 6?
a) 6/5 b) 7/5 c) 2 d) 7 e) 6/7
8. Sea F una función de proporcionalidad, tal
que: F(4) + F(6) = 20
Hallar el valor del producto:
F
7
31
^ h
F(7) F(3)
a) 372 b) 744 c) 558
d) 704 e) 1488
9. El consumo es directamente proporcional a su
sueldo. El resto lo ahorra, un señor cuyo suel-
do es $560 ahorra $70. Si recibe un aumento,
consume $910. ¿De cuánto es el aumento?
a) $450 b) $480 c) $490
d) $560 e) $500
10. La figura muestra los engranajes W, I, L e Y
con 8; 12; 16 y 6 dientes cada uno respectiva-
mente. Si W da 18 vueltas por minuto, ¿cuán-
tas vueltas dará Y en 3 minutos?
:
,
/

a) 24 b) 48 c) 72
d) 96 e) 100
11. Una rueda A de 20 dientes engranada con otra
rueda B de 75 dientes. Fija al eje B, hay otra
rueda C de 35 dientes que engrana con otra
rueda D de 20 dientes. Si A da 60 vueltas por
minuto. ¿Cuántas vueltas dará la rueda D?
a) 24 b) 28 c) 36 d) 60 e) 21
12. Se tienen 2 magnitudes A y B; tales que A es
inversamente proporcional con B2
; si cuando
B aumenta en 25% el valor de A varía en 144
unidades. ¿En cuánto aumenta o disminuye
cuando B disminuye en 20%?
a) Aumenta (22%) b) Disminuye (22%)
c) Disminuye (10%) d) Aumenta (10%)
e) Aumenta (50%)
13. Si: A es DP a B2
(C = constante); C es DP a
A (B = constante). Sea la tabla:a
A 4 x
B 2 1/2
C 1 1/2
hallar x.
a) 1/4 b) 1/8 c) 1/16
d) 1 e) 1/64
14. Si A es IP a B2
; A es DP a D y D es IP a C ,
hallar x de la siguiente tabla.
A 2 4
B 2 x
C 9 4
D 4 3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 12
1. d 5. a 9. b 13. c
2. c 6. d 10. d 14. b
3. c 7. b 11. b
4. b 8. b 12. a
Claves

Editorial
Como aplicación de la proporcionalidad consiste
en repartir una cantidad en partes directa o inver-
samente proporcionales a ciertas cantidades que
llamaremos indicadores.
Problema general
Repartir S en partes P1; P2; ...; Pn que sean DP a
b1; b2; ...; bn. Determinar cada una de las partes.
Resolución:
Partes: P1; P2; ...; Pn S = P1 + P2 + ... + Pn
Indicadores: b1; b2; ...; bn
Por dato: P1; P2; ...; Pn DP b1; b2; ...; bn
...
b
P
b
P
b
P
n
n
1
1
2
2
= = = = k (constante de proporcionalidad)
Por propiedad: k =
...
...
b b b
P P P
n
n
1 2
1 2
+ + +
+ + +
k =
S
S
i
Si: suma de indicadores
Luego: P1 = b1k; P2 = b2k; Pn = bnk
Ejemplos:
1. Repartir 25 200 en partes DP a 5; 7 y 9. Deter-
minar cada una de las partes.
Resolución:
Sean las partes:
A; B y C S = A + B + C = 25 200
Del dato: A; B; C DP 5; 7; 9
Si = 5 + 7 + 9 = 21
k =
21
25 200
k = 1200
Luego: A = 5.(1200) = 6000
B = 7.(1200) = 8400
C = 9.(1200) = 10 800
2. Repartir 12 600 en partes IP a 1/4; 1/7 y 1/10.
Dar como respuesta la menor de las partes.
Resolución:
Partes: A; B y C S = A + B + C = 12 600
Usando propiedad:
A IP A DP
4
1 4

B IP B DP
7
1 7

C IP C DP
10
1 10

Luego: Si = 4 + 7 + 10 = 21
600
k k
21
12 600

= =
Por tanto, la menor de las partes es:
A = 4(600) = 2400
3. Repartir 252 800 en partes DP a 3; 4 y 6 e IP
a 5; 5 y 7. Determinar la diferencia entre la
mayor y menor de las partes.
Resolución:
Partes: A; B y C S = A + B + C = 252 800
Como: A; B; C IP 5; 5; 7
A; B; C DP ; ;
5
1
5
1
7
1
MCM (5; 7) = 35; luego:
A DP 3 / A DP A DP
5
1
5
3
.35 = 21
B DP 4 / B DP B DP
5
1
5
4
.35 = 28
C DP 6 / C DP C DP
7
1
7
6
.35 = 30
Si=21+28+30=79 k
79
252 800
3200
= =
Por lo tanto, la diferencia entre la mayor y me-
nor parte es:
C - A = 30k - 21k = 9(3200) = 28 800
REGLA DE COMPAÑÍA
En este caso se reparten las ganancias (G) o pér-
didas directamente proporcionales a los capitales
(C) aportados y los tiempos (T) de imposición de
cada uno de los socios, respectivamente.
Es decir:
G DP C (T constante) y G DP T (C constante)
G DP C.T
CT
G
= k (constante)
En general: ...
C T
G
C T
G
C T
G
k
n n
n
1 1
1
2 2
2
= = = =
En particular, si:
1. ...
C C Cn
1 2
= = = , entonces:
...
T
G
T
G
T
G
n
n
1
1
2
2
= = = = k1
REPARTO PROPORCIONAL

Editorial
2. T1 = T2 = ... = Tn, entonces:
...
C
G
C
G
C
G
k
n
n
1
1
2
2
2
= = = =
1. Dos pastores que llevan 5 y 3 panes respecti-
vamente, se encuentran con un cazador ham-
briento y comparten con este los 8 panes en
partes iguales. Si el cazador pagó S/.8,00 por
su parte. ¿Cómo deben repartirse los pasto-
res el dinero entre si?
Resolución:
Total de panes = 8
1.er
pastor tiene: 5
2.o
pastor tiene: 3
Como c/u de los 3 come 8/3
El 1.er
pastor ayuda con: 5
3
8
3
7
- =
El 2.º pastor ayuda con: 3
3
8
3
1
- =
Entonces el reparto se hace en forma DP a lo
que cada uno ayuda.
O sea: 1.° DP 7
2.° DP
1
S
k
8
1
8
8
i

=
= =
El primero recibe: 7 soles
y el segundo recibe: 1 sol
2. Repartir 154 en partes directamente propor-
cionales a 2/3; 1/4; 1/5; 1/6.
Resolución:
S = 154
Partes:
1.a
60 40
DP
3
2
# =
2.a
60 15
DP
4
1
# =
2
k
77
154
= =
3.a
60 12
DP
5
1
# =
4.a
60
DP
6
1
# =
S 77
10
i =
Observación: 60 = MCM (3; 4; 5 y 6)
Luego:
1.a
→ 80; 2.a
→ 30; 3.a
→ 24; 4.a
→ 20
3. Una persona dispuso en su testamento que
se entrega a 3 sobrinos suyos la cantidad
de S/.19 695 para que se repartan propor-
cionalmente a las edades que cada uno de
ellos tenga el día que falleciera. Uno de ellos
tenía 36 años el día que su tío falleció y le
correspondió S/.7020 pero renunció a ellos y
el reparto se hizo entre los otros 2, también
proporcionales a sus edades, por lo que a uno
de ellos le correspondió S/.2700 adicionales.
Calcular las edades.
Resolución:
Primer reparto (19 695)
DP
36 → 36 7020
a b
36
19 695
#
+ +
=
^ h
entonces: a + b = 65
Segundo reparto (7020)
DP
a → a #
65
7020
= 2700 a = 25
b = 40
` Las edades son: 36; 25 y 40
4. Un hombre decide repartir una herencia en
forma proporcional al orden en que nacieron
sus hijos. La herencia total es S/.480 000; adi-
cionalmente deja S/.160 000 para el mayor,
de tal modo que el primero y último hijo reci-
ban igual herencia. ¿Cuál es el mayor número
de hijos que tiene este personaje?
Resolución:
S = 480 000
Orden:
1.° 2.° 3.° ... n.°
mayor menor
Les toca: k; 2k; 3k; …; nk
De donde:
k + 2k + 3k + ...+ nk = 480 000
k #
n n
2
1
+
^ h
= 480 000 ...(1)

Editorial
aritmétiCa 20
Además, por dato:
k + 160 000 = nk (n - 1)k = 160 000 ...(2)
Dividiendo (1) ' (2):
n
n n
2 1
1
-
+
^
^
h
h
= 3 n2
+ n = 6n - 6
n2
- 5n + 6 = 0
(n - 3)(n-2) = 0 n1 = 3; n2 = 2
Mayor número de hijos = 3
5. Se reparte 738 en forma directamente pro-
porcional a dos cantidades de modo que ellas
están en la relación de 32 a 9. Hallar la suma
de las cifras de la cantidad menor.
Resolución:
Por condición del problema:
A = 32K
B
A
9
32

=
B = 9K
Entonces: A + B = 41K = 738
K = 18
Luego: A = 32(18) = 576
B = 9(18) = 162
Suma de cifras de menor cantidad:
1 + 6 + 2 = 9
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Efectuar el reparto de 7227 en forma inversa-
mente proporcional a 4; 8 y 12. Dar la diferen-
cia entre la mayor y menor de las partes que
se obtiene.
a) 2828 b) 2728 C) 2628
d) 2840 e) 2943
2. Se reparte una cantidad N en forma DP a los
números 2; 3; 5 y 7. La tercera cantidad repar-
tida (en orden ascendente) resultó 600. Hallar
la suma de las cifras de la cantidad total.
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
3. Se desea repartir $7200 en partes DP a las
raíces cuadradas de los números 200; 392
y 288. Dar como respuesta la menor de las
partes.
a) $2000 b) $2800 c) $1200
d) $2400 e) $3200
4. Repartir 1240 DP a 2400
; 2401
; 2402
; 2403
y 2404
.
Hallar la suma de cifras de la mayor parte.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 15
5. Repartir 648 en forma DP a 4 y 6 y a la vez en
forma IP a 3 y 9. Dar la diferencia de las partes
obtenidas.
a) 214 b) 215 c) 216
d) 217 e) 218
6. El profesor de aritmética decidió premiar a
sus mejores alumnos regalándoles $9200 en
forma directamente proporcional al número de
problemas que resuelven de la guía. El prime-
ro resolvió 17 problemas, el segundo 15 y el
tercero 14. Indica cuánto le tocó al segundo.
a) 3000 b) 3400 c) 2800
d) 3500 e) 4000
7. Repartir 28 380 en partes IP a los números
2/7; 4/5; 6/7 y 12/15. Dar como respuesta la
menor de las partes.
a) 3000 b) 3400 c) 2800
d) 4620 e) 4000
8. Repartir 580 en partes DP a los números 6; 8
y 9 e IP a los números 5; 4 y 12, además DP
a los números 10; 7 y 4 indicar la diferencia
entre el mayor y la menor de las partes.
a) 180 b) 160 c) 200
d) 250 e) 220
9. Se reparten 1000 en tres partes inversamen-
te proporcionales a 183
; 64
y 242
. Dar como
respuesta una de las partes.
a) 144 b) 288 c) 576
d) 324 e) 162
10. Descomponer 304 000 en tres partes de ma-
nera que los 2/3 de la primera sea igual a los
5/6 de la segunda y los 4/9 de la segunda
igual a los 8/7 de la tercera. Dar como res-
puesta la menor parte.
a) 44 200 b) 44 400 c) 44 600
d) 44 800 e) 45 000

Editorial
11. Al repartir N en tres partes A, B y C de manera
que A es a B como 3 es a 4 y B es a C como
7 es a 3, se obtuvo como parte mayor 1400.
Calcular el valor de N.
a) 2000 b) 6400 c) 3050
d) 2300 e) 3250
12. Se reparte una herencia en forma proporcio-
nal a las edades de 3 personas y recibieron 6;
12 y 24 millones, respectivamente. ¿Cuánto le
habría tocado al segundo, si el reparto hubie-
ra sido inverso a sus edades?
a) 6 millones b) 12 millones
c) 24 millones d) 9 millones
e) 18 millones
13. Hallar tres números que sumen 472 y que sus
cuadrados sean proporcionales a 1/8; 1/50 y
1/98. Dar el mayor.
a) 180 b) 430 c) 120
d) 280 e) 320
14. Tres automovilistas deciden repartirse $3100
en forma proporcional a las velocidades de
sus vehículos. Si luego de una competencia
se observó que el primero de demoró 2 h,
el segundo 3 h y el tercero 5 h en llegar a la
meta. Hallar cuánto le tocó al primero.
a) 1500 b) 1200 c) 1300
d) 600 e) 900
15. Al repartir $76 700 en 3 partes DP a 3; 5 y
6 y DP a ; ,
y
72 128 200 respectivamen-
te. ¿Cuál es la diferencia entre las 2 mayores
partes?
a) 10 000 b) 11 000 c) 12 000
d) 13 000 e) 14 000
16. Una cantidad es repartida en forma proporcio-
nal a tres números y son 96; 32 y 24. ¿Cuál
habría sido la mayor de las partes; si el repar-
to se hubiera hecho en forma inversamente
proporcional a los mismos números?
a) 76 b) 42 c) 48 d) 72 e) 60
17. Las edades de siete hermanos son números
consecutivos. Si se reparte una cantidad de so-
les proporcionalmente a sus edades, el menor
recibe la mitad del mayor y el tercero 80 000
soles, ¿cuántos soles recibe el quinto?
a) 64 000 b) 72 000 c) 80 000
d) 100 000 e) 96 000
18. Dos agricultores tienen 4 y 3 hectáreas de
terreno que trabajarán en conjunto. Para con-
cluir más rápido contratan a un obrero que
cobra 70 soles. Se desea saber lo que cada
uno debe pagar al obrero, si al final los tres
trabajan igual.
a) 50 soles y 20 soles
b) 40 soles y 30 soles
c) 60 soles y 10 soles
d) 45 soles y 25 soles
e) 60 soles y 10 soles
1. c 5. c 9. b 13. d 17. d
2. c 6. a 10. d 14. a 18. a
3. a 7. d 11. c 15. d
4. a 8. e 12. b 16. a
Claves

Editorial
Es una aplicación de la proporcionalidad donde
al comparar dos o más magnitudes se determina
un valor desconocido. Se considera como magni-
tud dependiente a la magnitud que contiene a la
incógnita.
REGLA DE TRES SIMPLE (R3S)
Resulta de compararse dos magnitudes directa-
mente proporcionales o dos magnitudes inversa-
mente proporcionales.
R3SD. Sean A y B dos magnitudes DP.
Entonces
B
A = k, luego:
b
a
b
x
1
1
2
= (x, es incógnita) x
b
b
a
1
2
1
=
Disposición práctica:
Magnitudes:
Valores correspondientes
a b
x b
1 1
2
A B
x a
b
b
1
1
2
=
*
R3SI. Sean A y B dos magnitudes IP, entonces:
A # B = k, luego:
a1b1 = xb2 x = a1
b
b
2
1
Magnitudes:
a b
x b
1 1
2
A B
x a
b
b
1
2
1
=
*
Regla de tres compuesta (R3C)
Resulta de compararse más de dos magnitudes.
Se compara siempre la magnitud dependiente con
otra, independiente de las demás.
Sean A, B y C tres magnitudes, donde B es la mag-
nitud dependiente (contiene a la incógnita).
Consideremos A y B dos magnitudes DP
b
a
x
a
b
x
a
a
1
1 2
1 1
2

= = ...(1)
B y C dos magnitudes IP
b c xc
b
x
c
c
1 1 2
1 2
1

= = ...(2)
De (1) y (2):
b
x
a
a
c
c
x b
a
a
c
c
1 1
2
2
1
1
1
2
2
1

= =
c c c c
m m m m
Magnitudes:
DP
A B C
IP
a1
a2
b1
x
c1
c2
*
x b
a
a
c
c
1
1
2
2
1
= c c
m m
Nota:
Al compararse una magnitud que hace obra
(hombres, operarios, obreros, máquinas,
etc.) con la magnitud tiempo (días, horas,
h/d, minutos, etc.) siempre serán inversa-
mente proporcionales.
1. Una guarnición de 400 soldados situados en
un fuerte, tienen víveres para 180 días si con-
sume 900 gramos por hombre y por día. Si
recibe un refuerzo de 100 soldados pero no
recibirá víveres antes de 240 días, ¿cuál de-
berá ser la ración de un hombre por día para
que los víveres puedan alcanzarles?
Resolución:
Por regla de tres compuesta:
Soldados días Ración / día H
400 180 900
500 240 x
Luego: x = 900 #
500
400
240
180
#
x = 540 gramos
2. Se emplearon m obreros para ejecutar una
obra y al cabo de a días hicieron 1/n de aque-
lla. ¿Cuántos obreros hubo que aumentar
para terminar la obra en b días más?
Resolución:
obreros días obra
m a
n
1
m + x b
n
1 1
-
c m
REGLA DE TRES

Editorial
m + x = m #
b
a
n
n n
1
1
# #
-
^ h
x = m # ( 1)
b
a
n
b
m b
#
- -
x =
b
m (an - a - b)
3. Un contratista dice que puede terminar un tra-
mo de autopista en 3 días si le proporcionan
cierto tipo de máquinas; pero que con 3 má-
quinas adicionales de dicho tipo puede hacer
el trabajo en 2 días. Si el rendimiento de las
máquinas es el mismo. ¿Cuántos días em-
pleará una máquina para hacer el trabajo?
Resolución
Suponemos que inicialmente hay N máquinas
de dicho tipo; entonces:
máquinas días
N 3 N + 3 = N
2
3
#
N + 3 2
2N + 6 = 3N N = 6
Luego: máquinas días
6 3
1 x
x = 3
1
6
# x = 18
4. Quince obreros han hecho la mitad de un tra-
bajo en veinte días. En ese momento abando-
nan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tar-
darán en terminar el trabajo los obreros que
quedan?
Resolución:
Obreros días
15 20
10 x
x = 20 #
10
15
x = 30
5. Un reloj se adelanta minuto y medio cada 24
horas. Después de 46 días 21 horas 20 minu-
tos. ¿Cuánto se adelantó el reloj?
Resolución:
Expresando todo en horas, tenemos:
46 días 21 h 20 min /
3
3376
horas
Luego: tiempo (horas) adelanto mínimo
24
2
3
3
3376
x
x = min
3
211 / 1 h 10 min 20 s
6. Una obra debía terminarse en 30 días em-
pleando 20 obreros, trabajando 8 horas dia-
rias. Después de 12 días de trabajo, se pidió
que la obra quedase terminada 6 días antes
de aquel plazo y así se hizo. ¿Cuántos obreros
se aumentaron teniendo presente que se au-
mentó también en dos horas el trabajo diario?
Resolución:
Inicialmente debían hacer la obra en 30 días;
lo que indica que en un día hacen
30
1 ; entonces en 12 días hacen:
30
12
5
2
/
Faltando así: 1
5
2
5
3
- = , luego:
Obreros días h/d obra
20 30 8 1
20 + x 12 10 3/5
20 + x = 20
12
30
10
8
5
3
# #
#
20 + x = 24 x = 4
7. Un reloj marca la hora a las 0 horas de un cier-
to día; si se sabe que se adelanta 4 minutos
cada 12 horas. ¿Cuánto tiempo transcurrirá
para que nuevamente marque la hora exacta?
Resolución:
Si durante 12 horas adelanta 4 minutos, en-
tonces en un día adelanta 8 minutos.
Así: adelanto n.° días
8 1
720 x
x = 1 #
8
720
= 90 días
1. Si 64 obreros pueden construir una carretera
en 24 días, ¿cuántos obreros podrán hacer la
misma carretera en 48 días?

Editorial
aritmétiCa 25
a) 16 b) 24 c) 32
d) 36 e) 30
2. Carlos puede hacer un trabajo en 18 horas.
¿En qué tiempo podrá hacer un trabajo 1,4
veces más díficil?
a) 36,2 horas b) 43,2 horas
c) 25,2 horas d) 40,2 horas
e) 28,2 horas
3. 24 taladros en 8 horas pueden hacer 7680
agujeros. ¿Cuántos taladros en 9 horas de
trabajo podrán hacer 7200 agujeros?
a) 20 b) 18 c) 16 d) 24 e) 25
4. Por pintar una pared de 4,5 m por 3,6 m me
cobran $36. ¿Cuánto me cobrarán por pintar
tres paredes de 2,4 m por 7,5 m?
a) $90 b) $105 c) $108
d) $111 e) $120
5. Para su comercialización, la harina de trigo
se distribuye en cajas cúbicas de diferentes
dimensiones. Si una caja de 6 dm de arista,
conteniendo harina de trigo, cuesta 216 soles,
¿cuánto costará una caja de 8 dm de arista?
a) 288 soles b) 360 soles c) 464 soles
d) 512 soles e) 560 soles
6. Si a obreros pueden hacer una obra en b días
¿en cuántos días pueden hacer una obra de
triple dificultad, el doble de obreros, cada uno
de ellos de doble habilidad que los anteriores?
a) b
2
b) b
4
3
c) b
d) 2b e) 3b
7. A y B pueden hacer una obra en tres días. Si
A trabaja solo, se demora siete días. El primer
día solo trabajó B, y a partir del segundo día
los dos trabajaron juntos. La cantidad de días
que demoraron en hacer la obra es:
a) 2
7
5
b) 2
7
3
c) 4
3
1
d) 3
7
3
e) 3
7
5
8. Un grupo de 12 alumnos resuelve 120
problemas de Física en dos horas. ¿Cuántos
problemas resolverá otro grupo de ocho
alumnos, el doble de eficientes que los
anteriores, en cinco horas?
a) 136 b) 100 c) 480
d) 400 e) 800
9. Si ocho bolitas de 0,4 mm de radio pesan 256
gramos, con siete bolitas del mismo material
que los anteriores, pero con radio 0,6 mm,
¿qué peso tendrán?
a) 960 g b) 1000 g c) 1020 g
d) 1140 g e) 1180 g
10. Treinta obreros pueden hacer una obra en 48
días. Si 18 de ellos disminuyen su rendimiento
en su tercera parte, ¿en qué tiempo harían la
misma obra todo el grupo?
a) 60 b) 24 c) 36
d) 54 e) 72
11. Juan compra 15 kg de arroz para 18 días para
su familia que está compuesta de 5 personas
en total. Sin embargo, pasados 6 días llegan
3 familiares más. ¿Cuánto durará el arroz en
total?
a) 12 días b) 15 días c) 13,5 días
d) 10 días e) 12,5 días
12. Si Manuel puede hacer 24 problemas en tres
horas, ¿cuántos problemas cuya dificultad es
a la de los anteriores como 6 es a 5, podrá
hacer Manuel en el mismo tiempo?
a) 28 b) 29 c) 24 d) 18 e) 20
13. Sesenta obreros hacen los 3/8 de una obra
en 27 días. Si se retiran 24 obreros y los res-
tantes concluyen la obra, ¿qué tiempo en total
duró la obra?
a) 75 días b) 72 días c) 45 días
d) 102 días e) 62,5 días
14. Veinticuatro obreros pueden hacer una obra
en 60 días, si trabajan 9 horas diarias. 20 días
luego de iniciado el trabajo se enferman 6
obreros y los restantes trabajan 10 horas dia-
rias hasta terminar la obra. ¿Cuánto duró la
obra en total?

Editorial
d) 68 días e) 64 días
15. Una secretaria escribe 48 palabras por minu-
to. ¿Cuántas palabras escribirá en 6 minutos,
si disminuye su velocidad en su cuarta parte?
a) 108 B) 162 C) 180
d) 200 E) 216
16. Tres campesinos pueden cosechar un terreno
de 80 m2
de área. ¿Cuántos campesinos se-
rán necesarios para cosechar un terreno de
1,2 hectáreas?
a) 300 b) 540 c) 320
d) 400 e) 450
17. Cuarenta y cinco obreros pueden construir
600 m de un muro de 1,5 m de alto. ¿Cuántos
obreros construirán 1150 m de un muro de 1,6 m
de alto?
a) 84 b) 88 c) 92
d) 96 e) 98
18. Ocho obreros cavan una zanja de 1,6 m de
diámetro y 12 m de profundidad. ¿Cuántos
obreros podrán cavar una zanja de 2 m de
diámetro y 24 m de profundidad?
a) 24 b) 25 c) 28 d) 15 e) 18
19. 27 obreros pueden hacer una obra en 42 días,
si trabajan 8 horas diarias. ¿Cuánto tardarián
16 obreros, trabajando 7 horas diarias, para
hacer una obra cuya dificultad es a la anterior
como 4 es a 3?
20. Dieciocho obreros pueden hacer una obra en
15 días. Si luego de haber trabajado 5 días se
retiran 3 obreros, ¿cuál será el tiempo total de
duración de la obra?
1. c 5. d 9. d 13. d 17. c
2. c 6. b 10. a 14. d 18. b
3. a 7. d 11. c 15. e 19. e
4. e 8. d 12. e 16. e 20. c
Claves

Editorial
100 partes iguales
6 7 8
4444444444444
4 4444444444444
4
100
1
100
1
100
1
100
1
... 100
1
100
1
S
Uno por ciento
Entonces:
A por ciento 12 A% 12 A
100
60 partes 12 60
100
1
c m12 60% 12
5
3
10 partes 12 10
100
1
c m12 10% 12
10
1
40 partes 12 40
100
1
c m12 40% 12
5
2
25 partes 12 25
100
1
c m12 25% 12
4
1
100 partes 12 100
100
1
c m12 100% 12 1
Además:
40% de 400 =
5
2 (400) = 160
75% de 560 =
4
3
(560) = 420
25% de 900 =
4
1 (900) = 225
15% de 600 =
20
3
(600) = 90
65% de 400 =
20
13
(400) = 260
Porcentaje. Es el resultado de aplicar el tanto por
ciento a una cantidad.
Ejemplo:
Halle el 20% de 400
20%(400) = 80
S S
tanto porcentaje
por ciento
Operaciones con porcentajes
1. a%N + b%N = (a + b)%N
Ejemplos:
• 12%N + 34%N = 46%N
• 118%N + 60%N = 178%N
• 30%N + 11,5%N = 41,5%N
• N + 13%N = 113%N
Porcentajes
Regla del tanto por cuanto. En algunas oportu-
nidades es necesario dividir lo que tenemos en
partes iguales para hacer una distribución de estas
partes.
Ejemplo:
Se tiene una bolsa con 40 manzanas el cual se
desea dividir en 8 partes iguales y se han de tomar
6 de ellas.
Resolución:
El procedimiento a seguir es:
Dividiendo 40 en 8 partes iguales.
8
40
5
=
Tomamos 6 de estas partes:
6(5) = 30
Interpretación:
El 6 por 8 de las 40 manzanas es 30 manzanas.
Matemáticamente:
6
8
40
30
=
c m
En general si tenemos N objetos. ¿Cuál será el a
por b de N?
6 7 8
4444444444444
4 4444444444444
4
1 2 3
4444444
4 4444444
4
Se toman a partes
Matemáticamente: a
b
N
c m
De aquí podemos señalar que el tanto por cuanto
viene a ser un procedimiento aritmético que con-
siste en dividir un todo en partes iguales y tomar
tantos de ellos como se indique.
En la vida diaria el tanto por cuanto más utilizado
es aquel que divide al todo en 100 partes iguales y
al que se le denomina: tanto por ciento.
Ejemplo:
Calcule el 15 por ciento de 400.
15
100
400
60
=
c m
En general si una cantidad se divide en 100 partes,
cada parte representa (1/100) del total a la cual
llamaremos el 1 por ciento y lo denotaremos: 1%
PORCENTAJES - MEZCLAS

Editorial
2. x%N - y%N = (x - y)%N
Ejemplos:
• 74%N - 24%N = 50%N
• 169%N - 29%N = 140%N
• 112%N - 64%N = 48%N
• N - 14%N = 86%N
3. a # (b%N) = (a # b)%N
Ejemplos:
• 3(50%N) = 150%N
• 4(75 %N) = 300%N = 3N
• 5,5(2%N) = 11%N
4. El a% del b% del c% de N es: a%b%c%N
Aplicación comercial
Un comerciante compró un pantalón en S/.50 (Pc)
y fija para su venta un precio de S/.80 (PF). Sin
embargo lo vende en S/.70 (Pv) debido a que hizo
una rebaja de S/.10 (R).
Aparentemente está ganando S/.20 (GB), pero esta
operación le generó gastos por un valor de S/.5, (gas-
tos) por lo cual realmente esta ganando S/.15 (Gn).
GB = S/.20
6 7 8
4 4 4 4
4 4 4 4 4
4
Gn = S/.15 gastos = S/.5 R = S/.10
6 7 8
444 444 6 7 8
444 444 6 7 8
444 444
Pc Pv PF
S/.50 S/.70 S/.80
Nota:
Las ganancias (o pérdidas) se representan
como un tanto por ciento del precio de costo.
Las rebajas se representan como un tanto
por ciento del precio fijado.
Pv = Pc + ganancia
Mezcla
Es la reunión de dos o más sustancias (ingredien-
tes) en cantidades arbitrarias conservando cada
una de ellas su propia naturaleza.
Regla de mezcla. La regla de mezcla se origina
por el deseo de los comerciantes en determinar
el precio de venta de una unidad de medida de la
mezcla. Para ello se vale de algunos procedimien-
tos aritméticos, lo cual en su conjunto constituye la
regla de mezcla.
Ejemplo:
Un comerciante hace el siguiente pedido a un dis-
tribuidor mayorista de café:
Café Cantidad en kg Precio unitario
Extra (E)
Superior (S)
Corriente (C)
50
20
15
S/.7
S/.5
S/.4
Para venderlo a sus clientes el comerciante mezcla
los tres tipos de café.
¿A cómo debe vender el kg de la mezcla para ga-
nar el 20%?
Resolución:
Para determinar dicho precio de venta el comer-
ciante procede del siguiente modo:
1.° Determina el costo de su inversión
Café E S C
Cantidad (kg): 50 20 15
Precios unitarios: S/.7 S/.5 S/.4
Costos parciales: S/.350 S/.100 S/.60
Costos totales: S/.510
Peso total = 50 + 20 + 15 = 85 kg
2.° Calcula el costo por unidad de medida (kg) de
la mezcla. A este costo por kg se le denomina
precio medio (Pm) ya que es un precio que no
genera ni ocasiona pérdida.
/.
/.6
Costo por
kg de mezcla
P
S
S
1
85
510
m
= = =
H
Se observa también que:
S/.4 1 S/.6 1 S/.7
1 2 3
4
4 4
4 1 2 3
4
4 4
4 1 2 3
4
4 4
4
Precio menor Precio medio Precio mayor
Si comparamos los precios unitarios con el
precio medio se tiene:
Cantidades
E
50 kg 20 kg 15 kg
S C
Precios unitarios S/.7 S/.5 S/.4
Precio medio: S/.6 S/.6 S/.6
Pierde Gana Gana
Por 1 kg: S/.1 S/.1 S/.2

Editorial
aritmétiCa 29
Pero la pérdida y ganancia es aparente ya
que al final estas se compensan.
Pérdida = Ganancia
50(1) = 20(1) + 15(2)
S/.50 = S/.50
3.° Sobre el precio medio el comerciante determi-
na el precio de venta considerando su ganan-
cia respectiva.
Precio de venta = S/.6 + 20%(S/.6) = S/.7,20
Luego:
El comerciante debe vender el kilogramo de la
mezcla en S/.7,20 para ganar el 20%.
En general para k sustancias:
1 2 3 k
...
Cantidades: C1 C2 C3 ... Ck
Precios unitarios: P1 P2 P3 ... Pk
Se cumple lo siguiente:
I.
...
...
C C C C
C P C P C P C P
k
k k
1 2 3
1 1 2 2 3 3
+ + + +
+ + + +
Precio
medio =
Mejor aún:
Peso total
Costo total
=
Precio
medio
Promedio
ponderado de
precios
II. Precio menor 1 precio medio 1 Precio mayor
III. Ganancia aparente = Pérdida aparente
IV. Precio venta = precio medio + ganancia
Comercialmente la pureza alcohólica se ex-
presa en grados y para ello convencionalmen-
te se tiene que: (%) 12 (°)

volumen de
Grado de mezcla =
alcohol puro
# (100°)
volumen total
Ejemplo:
Se mezclan 80 L de alcohol de 25° con 120 L
de 40°. Calcula el grado de la mezcla.
Resolución:
Se procede de manera análoga que para el
cálculo del precio medio.
Tipo de alcohol:
I I I
Volumen: 80 L 120 L
Grado: 25° 40°
Grado medio =
80 120
80 25 120 40
+
+
^ ^
h h
= 34°
En general para k tipos de alcohol:
Tipo: 1 2 3 k
...
Volumen: V1 V2 V3 ... Vk
Grado: G1 G2 G3 ... Gk
Grado
medio =
...
...
V V V V
V G V G V G V G
k
k k
1 2 3
1 1 2 2 3 3
+ + + +
+ + + +
Aleación. Es la mezcla de dos o más metales me-
diante el proceso de fundición. En las aleaciones
por convencionalismo los metales se clasifican en:
a. Finos. Oro, plata, platino.
b. Ordinarios. Cobre, hierro, zinc.
La pureza de una aleación se determina mediante
la relación entre el peso del metal fino empleado y
el peso total de la aleación, a dicha relación se le
conoce como la ley de la aleación.
Ejemplo inductivo:
Se tiene una aleación de 36 g de plata pura con
12 g de zinc, ¿cuál es la ley de la aleación?
Resolución:
Plata Zinc Total
Peso: 36 g 12 g 48 g
Ley =
Peso total
Peso plata
48
36
= = 0,750
La aleación del peso del metal ordinario con el
peso total se le conoce como la liga de la aleación:
Liga
Peso total
Peso zinc
48
12
= = = 0,250
Se deduce que:
Ley + Liga = 0,750 + 0,250 = 1
En general
Para una aleación:
Peso metal
fino
Peso metal
ordinario

Editorial
I. Ley =
Peso total
Peso metal fino
II. Liga
Peso total
Peso metal ordinario
=
III. 0 # ley de la aleación # 1
Comercialmente la ley del oro se expresa en qui-
lates y para ello convencionalmente se establece
que si la aleación contiene solo oro puro es de 24
quilates.
• Una sortija de 14 quilates significa que el peso
total se divide en 24 partes iguales y 14 de
ellos son de oro puro.
• En el ejemplo anterior vamos a determinar su
ley en quilates.
Oro Cobre Total
9 g
18
# 2 # 2
# 2
3 g
6
12 g
24 partes
Ley = 18 quilates
Ley =
12
9
24
18
= ; de donde se obtiene:
Ley=
.°
Peso total
Peso metal fino n de quilates
24
=
^
^
h
h
1. Un fabricante reduce 4% el precio de los artí-
culos que fabrica. Para que aumente en 8% la
cifra total de sus ingresos, sus ventas tendrán
que aumentar en:
Resolución:
Sean P el precio y N el número de artículos;
entonces:
Ingresos = P # N
Después:
P disminuye en 4%; ahora tiene: 96%P y N
aumenta en x%; ahora es:
(100 + x)%N
Para que los ingresos aumenten en 8%
Así: PN P
x
N
100
108
100
96
100
100
#
# =
+
^ h
10 800 = 9600 + 96x
1200 = 96x
x = 12,5%
2. Se estima que una mezcladora de concreto
sufre una depreciación de 10% por cada año
de uso, respecto al precio que tuvo al comen-
zar cada año. Si al cabo de 4 años su precio
es de S/.131 220; hallar el costo original de la
mezcladora.
Resolución:
La depreciación no es sino la pérdida del valor
del bien. Así, si el costo inicial es de N soles.
Depreciación Queda
1.er
año 10% N 90% N = P
2.° año 10% P 90% P = R
3.er
año 10% R 90% R = S
4.° año 10% S 90% S
Por dato:
100
90
# S = 131 220
131220
N
100
90
100
90
100
90
100
90
# # #
# =
N = S/.200 000
3. El ingreso promedio del sector obrero en una
empresa es de 300 000 mensuales. En el mes
en curso hay un incremento de haberes del
10% del haber anterior más bonificación gene-
ral de 60 000 soles, pero se decreta un des-
cuento del 5% del haber actualizado, profondos
de reconstrucción. Hallar el promedio actual.
Resolución:
Ingreso actual: 300 000
Se incrementa en:
100
10
# 300 000 = 30 000
Por concepto de bonificaciones 60 000, en-
tonces, su haber actualizado es 390 000.
Pero se descuenta:
100
5
# 390 000 = 19 500
Entonces recibe:
390 000 - 19 500 = 370 500 soles

Editorial
aritmétiCa 31
4. Un mayorista vende un producto ganando
el 20% del precio de fábrica. Un distribuidor
reparte estos productos a las tiendas de co-
mercio ganando una comisión del 15% del
precio por mayor. La tienda remata el artículo
haciendo un descuento del 10% del precio de
compra (del distribuidor). ¿En qué porcentaje
se eleva el precio de fábrica del producto?
Resolución:
Sea PF el precio de fábrica
El mayorista vende en 120% PF al distribuir.
El distribuidor vende en 115% (120%PF) a la
tienda.
El tendero lo remata en (pierde 10%)
90%[115%(120%PF)]
Es decir; se vende en:
PF
100
90
100
115
100
120
# # # = 124,2%PF
entonces, el PF se ha incrementado en 24,2%.
5. El presidente de un club de basketball obser-
va que por partido, en promedio, un tercio de
las entradas se quedan sin vender, pero afir-
ma que todas las entradas se venderían si se
rebajase en un 30% el precio de la entrada.
Suponiendo correctas las hipótesis del presi-
dente del club. ¿Qué sucederá?
Resolución:
Sea 3N el total de entradas y P el precio de la
entrada.
1.° vende: 2N; queda: N
venta total: 2NP
2.° el nuevo precio es 70% P, entonces:
venta total = (70%P)(3N) = 2,1 # NP
` La recaudación aumenta.
6. Pedro tiene una casa que vale 100 000 soles
y se la vende a Juan con una ganancia del
10%. Juan revende la casa a Pedro con una
pérdida del 10%, siendo así:
Resolución:
Costo de la casa: 100 000 soles
Pedro vende ganando (10%) o sea en 110 000
Gana 10 000
Juan lo vende a Pedro, perdiendo 10% de su
costo que es 110 000.
Luego lo vende en:
100
90
# 110 000 = 99 000
Pedro gana 1000 soles más
Ganancia total: S/.11 000
7. Un arquitecto ha previsto un recubrimiento de
locetas circulares para una cierta pared. Si to-
das las locetas son iguales, ¿cuál es el máxi-
mo porcentaje de área de la pared que puede
ser cubierto con dichas locetas?
Resolución:
Gráficamente:
a locetas
b locetas
Z
[

]
]
]
]
]
]
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
R
R
R R R
Largo: L = (2R)b; ancho: A = (2R)a
Área de la pared: L # A = 4R2
ab
Área de cada loceta: pR2
Total de locetas: a # b
Área cubierta por locetas: abpR2
Nos piden: 4
x R ab
100
2
= abpR2
x = 78,5%
8. Hallar la cantidad de onzas de agua que se
necesita para rebajar al 30% el contenido de
alcohol de un frasco de loción de afeitar de 9
onzas, que contiene 50% de alcohol.
Resolución:
Si hay 9 onzas de 50% de alcohol, entonces
tiene:
alcohol = 4,5; agua = 4,5
Si aumentamos x onzas de agua, entonces,
por dato:
100
30
(9 + x) = 4,5
27 + 3x = 45 x = 6
9. Una persona pregunta en una tienda qué des-
cuento le pueden hacer sobre el precio de un
repuesto, le responde que el 20%; va a otra

Editorial
tienda y compra el mismo repuesto con un
descuento del 25%; ahorrándose así S/.35.
¿Cuánto costaba el repuesto?
Resolución:
Sea P el costo del repuesto
En la 1.a
tienda desct.: 20%
En la 2.a
tienda desct.: 25%
Ahorro: 5%
Al comprar en la segunda tienda ahorra:
100
5
# P = 35 ` P = S/.700
10. Para la construcción de un edificio se compra-
ron ladrillos a S/.1200 el millar. Se inutilizan
por diversas causas 3600 ladrillos equivalen-
tes al 0,1% del total comprado. ¿Cuánto se
invirtió en la compra?
Resolución:
Por dato del problema:
0,1%T = 3600
T: total de ladrillos
Entonces:
,
3600 3600
T T
100
0 1
1000

= =
T = 3 600 000; que es equivalente a 3600 mi-
llares.
Como costo/millar ladrillo = 1200
Costo total = 3600 # 1200 = S/.4 320 000
11. ¿Cuál deberá ser la pureza de alcohol que de-
berá añadirse a 80 litros de alcohol de 96% de
pureza, para obtener un hectolitro de alcohol
de 90% de pureza?
Resolución:
Recuérdese un hectolitro tiene 100 litros, en-
tonces para completar faltan solo 20 litros.
Así:
grado
medio
=
% %
90%
x
100
80 96 20
# +
=
7680 + 20x = 9000
20x = 1320 x = 66%
12. ¿Qué cantidad de cobre debe añadirse a una
barra de plata que pesa 635 g y tiene 0,920 de
ley, para que resulte una aleación de 0,835 de
ley?
Resolución:
Cantidad Ley
635 0,920 0,835
Lm = 0,835

x 0 0,085
x
x
635
85
835
835
635 85

#
= =
x = 64,64 kg
13. Se hace una mezcla de vinos de S/.70 el litro y
S/.60 el litro, con agua; la mezcla tiene un pre-
cio de S/.50. Se sabe que la cantidad de agua
es los 2/5 de la cantidad de vino de S/.60. ¿En
qué relación está la cantidad de vino de S/.70
a la cantidad de vino de S/.60?
Resolución:
Consideremos:
Vino (1): x L; de S/.70 y
Vino (2): 5V L de S/.60
Agua:
5
2 (5V) = 2V de 0 soles
Luego:
Pm =
x V
x V V
7
70 60 5 0 2
+
+ +
^ ^
h h
= 50
70x + 300V = 50x + 350V
20x = 50V
` ,
V
x
5 20
10
2
1 0 50
= = =
14. A 215 litros de un vino que importa a S/.0,40
c/u, se añaden 5 litros de alcohol de a S/.2,50
el litro. En cuánto debe venderse el litro de la
mezcla para ganar el 20% sobre el precio de
compra.
Resolución:
Tenemos:
C1 = 215 L P1 = 0,40
C2 = 5 L P2 = 2,50
215 0,40 5 2,50
P
220
m
# #
=
+
,
P
220
98 50
440
197
m /
=

Editorial
aritmétiCa 33
Como gana el 20% sobre el Pm (que es lo mis-
mo que Pc)
Entonces: /.0,537
P S
100
120
440
197
venta #
= =
15. Si 30 litros de una solución contienen 12 litros
de alcohol, ¿cuántos litros de agua debemos
agregar para obtener una solución al 25%?
Resolución:
Si agregamos N de agua se obtiene:
25%
g
N
30
12
m =
+
=
N
30
12
4
1
+
=
48 = 30 + N N = 18 L
16. Un lingote contiene 5 kg de plata pura y 3 kg
de cobre. ¿Qué cantidad de plata pura es pre-
ciso agregar a este lingote para fabricar mo-
nedas de plata de S/.5; cuya ley es 0,900?
Resolución:
Tenemos:
Ag = 5 kg ,
Ley
8
5
0 625
= =
4
Cu = 3 kg
Luego:
Cantidad (kg) Leyes
P 1 0,275
Lm = 0,900
8 0,625 0,100
,
, 275 8
P P
8 0 100
0 275
100
#
= =
P = 22 kg
1. Vendí un artículo ganando el 24% del costo.
¿Cuál es el costo, si lo vendí a $217?
a) $165 b) $172 c) $170
d) $175 e) $164
2. ¿Qué número aumentado en 14% da como
resultado 45,6?
a) 42 b) 40 c) 36 d) 41 e) 38
3. ¿Qué porcentaje debo disminuir a 450 para
obtener el 10% menos de 400?
a) 20% b) 16% c) 18% d) 25% e) 15%
4. En una sesión de maestros se vio que el 65%
trabaja en colegios nacionales, 220 en cole-
gios particulares y 20% en colegios particula-
res y nacionales. ¿Cuantos eran en total?
a) 400 b) 500 c) 600
d) 700 e) 800
5. Al comprar un artículo me hacen dos des-
cuentos sucesivos de 12% y 20%, de manera
que ahorro $74. ¿Cuál era el precio original
del artículo?
a) $200 b) $240 c) $320
d) $280 e) $250
6. Un futbolista ha hecho 30 goles en 75 par-
tidos. ¿Cuántos goles debe hacer en los 25
partidos siguientes para que su porcentaje de
goles por partido aumente en 5%?
a) 12 b) 15 c) 10 d) 16 e) 20
7. Indica si las siguientes afirmaciones son ver-
daderas (V) o falsas (F), respectivamente:
I. a%(N) + b%(N) = (a + b)%(N)
II. m%(N) – n%(N) = (m-n)%(N)
III. a(b%(N) ) = (ab)%(N)
IV. a%(M) b%(N) = abMN
10 000
a) VVVF b) VVVV c) VFVF
d) VFFF e) VVFV
8. Un terreno tiene 500 m2
de área. Vendo el
20% de dicho terreno y luego el 38% del res-
to. ¿Cuánto usaré para sembrar arroz, si para
este fin utilizaré la mitad de lo que me queda?
a) 248 m2
b) 124 m2
c) 62 m2
d) 112 m2
e) 180 m2
9. El precio de lista de un artículo es $600. Al
comprarlo me descuentan el 18% y para ven-
derlo gano el 18%. ¿A cuánto lo vendí?
a) $590,25 b) $600,00 c) $580,56
d) $585,0 e) $575,6

Editorial
a) 11/10 b) 1/11 c) 11/21
d) 1/10 E) 7/11
18. Si el largo de un terreno se acorta en 40%,
y el ancho se incrementa en 40%, ¿en qué
porcentaje varía su área?
a) Aumenta en 12%
b) Disminuye en 12%
c) Aumenta en 16%
d) Disminuye en 16%
e) No varía
19. En un país la producción aumenta el 10%
anual. Si en el año 1998 la producción era de
18 000 unidades, ¿cuál será le producción en
el año 2001?
a) 20 362 u b) 18 268 u c) 24 398 u
d) 23 958 u e) 26 718 u
20. La dirección ha comprado dos tipos de tizas
en iguales cantidades. Los profesores usan
en clases 80% de un tipo y 75% del otro tipo.
¿Qué porcentaje de la cantidad total se quedó
sin usar?
a) 45% b) 22,5% c) 15%
d) 30% e) 67,5%
21. Se compran dos latas iguales de leche para
el desayuno. Si de la primera se consume el
25% y de la segunda se consume el 50%,
¿Qué porcentaje del total de la leche compra-
da queda sin consumir?
a) 75% b) 25% c) 62,5%
d) 37,5% e) 32,5%
22. En un aula el 63% del total de alumnos es de
letras, el 2% es de arquitectura y el resto es
de ciencias. Si de los alumnos de ciencias, el
80% son varones, ¿qué porcentaje del total
son mujeres que estudian ciencias?
a) 7 b) 14 c) 21
d) 28 e) 35
23. De una cierta cantidad de dinero que tenía,
me robaron el 12%. Si de lo que me quedaba
presté el 25%, ¿Qué porcentaje del total de
dinero que tenía antes del robo me quedará?
10. En un vaso preparo ron con gaseosa y limón,
El 25% de la mezcla es ron y el 80% del vaso
contiene líquido. ¿Qué porcentaje del vaso es
limón, si este representa el 10% del ron?
a) 2% b) 1% c) 0,5%
d) 1,5% e) 2,5%
11. ¿En cuánto excede el a% de b/3 al b% de a/4,
si ab = 36 000?
a) 30 b) 300 c) 900
d) 1000 e) 3000
12. Un comerciante decide vender un artículo, ga-
nando el 10%. Un cliente acude a comprar y
solicita un rebaja de 10%. Si el comerciante
le hace la rebaja solicitada, con lo cual pierde
S/.200. ¿A cuánto se vendió el artículo?
a) S/.20 000 b) S/.19 800 c) S/.19 000
d) S/.19 700 e) S/.18 900
13. Al dictar mi clase de matemáticas, en la piza-
rra dejo libre a cada extremo el 5% del largo
y el 4% del ancho. ¿Qué área efectiva de la
pizarra uso?
a) 78,6% b) 80,4% c) 81,2%
d) 82,8% e) 84%
14. Un depósito está lleno totalmente. Si se ex-
traen 256 litros, su volumen disminuye en
80%. ¿Cuál es el volumen total?
a) 480 L b) 250 L c) 300 L
d) 350 L e) 320 L
15. La edad de Miguel aumentada en su 75% es
igual a 63 años. ¿Cuál era su edad hace 7
años?
a) 36 años b) 31 años c) 29 años
d) 30 años e) 28 años
16. En una granja de aves, el 40% es de gallinas.
Si se ha vendido el 20% de gallinas, ¿en qué
porcentaje ha disminuido el número de aves?
a) 10% b) 6% c) 8% d) 12% e) 7%
17. Un número aumenta sucesivamente en 20%,
25% y 40%. ¿En qué fracción debe disminuir
para regresar a su valor original?

Editorial
aritmétiCa 35
a) 55% b) 66% c) 88%
d) 62% e) 75%
24. Se sabe que al extraer 40 litros de un depósito
que estaba lleno hasta el 60%, queda reduci-
do al 50% de su capacidad. ¿Cuál es la capa-
cidad del depósito?
a) 260 L b) 400 L c) 160 L
d) 100 L e) 200 L
25. Si se calcula el 75% de la suma de 1/4 de 256
con el 60% de los 2/3 de 400, resulta:
a) 172 b) 168 c) 206
d) 186 e) 602
26. Si al vender un artículo se gana el 50% del
costo, ¿qué porcentaje del precio de venta se
debe rebajar para ganar 25% del costo?
a) 25% b) 20% c) 30%
d) %
3
25
e) %
3
50
27. El costo de vida de un país sube cada mes
en un 20%. Si en enero gastaba una cantidad
a para vivir, ¿cuánto gastaré en agosto para
vivir de la misma forma?
a) (0,2a)7
b) (1,2)7
a c) (1,2)6
a
d) a + (0,2)7
e) (0,2)7
a
28. En un país el 35% de la población se encuen-
tra en la capital. En la capital el 6% de las per-
sonas son analfabetos y en el interior el 24%
de la población son analfabetos. Hallar qué
porcentaje son los analfabetos con respecto
al total.
a) 16% b) 17,7% c) 15,6%
d) 19,2% e) 15,8%
29. Compro un artículo en 240 soles y lo vendo a
312 soles. ¿ qué porcentaje del costo gané?
a) 20% b) 24% c) 30%
d) 33% e) 33,3%
30. Un vendedor logra colocar los 3/4 de su
mercadería en clientes fijos y un 1/8 en
clientes eventuales. ¿Qué porcentaje de su
mercadería aún no ha colocado?
a) 8% b) 10% c) 12,5%
d) 15% e) 16%
1. d 7. b 13. d 19. d 25. b
2. b 8. b 14. e 20. b 26. e
3. a 9. c 15. c 21. c 27. b
4. a 10. a 16. c 22. a 28. b
5. e 11. a 17. c 23. b 29. c
6. b 12. b 18. d 24. b 30. c
Claves

Editorial
Regla de interés
Identificación de los elementos
• Capital de préstamo (C). Llamado común-
mente capital, es la cantidad de dinero que su
poseedor va a acceder en forma de préstamo
para obtener ganancias.
• Tiempo (t). Es el periodo durante el cual va
a ceder o imponer un capital. Para calcular el
interés se considera generalmente:
1 mes comercial tiene 30 días
1 año comercial tiene 360 días
1 año común tiene 365 días
1 año bisiesto tiene 366 días
• Interés (I). Es la ganancia o beneficio que
produce el capital de préstamo, durante cierto
tiempo.
• Tasa de interés (r%) o rédito. Es la ganancia
que se obtiene por cada 100 unidades mone-
tarias en una unidad de tiempo. Por ello se ex-
presa generalmente como un tanto por ciento.
Ejemplo:
• 5% mensual, significa que por cada mes
se gana el 5% del capital prestado.
• 21% trimestral, significa que por cada tres
meses se gana el 21% del capital.
• Cuando no se indique la unidad de tiem-
po referida a la tasa, se asumirá una tasa
anual.
Tasas equivalentes
r% = 2% mensual 12
4% bimestral
6% trimestral
8% cuatrimestral
12% semestral
24% anual
30
2 % diario
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
• Monto (M). Es la suma recibida al final del pe-
ríodo y es igual al capital más el interés que
genera el mismo.
M = C + I
Clases de interés
• Interés simple. Es cuando el interés o ganan-
cia que genera el capital de préstamo no se
acumula al capital. Con otro ejemplo práctico
podemos observar un caso de interés simple
y al mismo tiempo deducir una relación entre
los elementos que intervienen.
Ejemplo:
Se depositó en un banco S/.4000 durante 3
años siendo la tasa anual de 10%. ¿Cuánto
será el interés ganado y el monto obtenido?
Resolución:
C = S/.4000
t = 3 años
r% = 10% anual
Cada año se gana: 10%(4000) = S/.400
Esquema
S/.4000
Interés: S/.400 S/.400 S/.400
1 año 1 año 1 año
Luego al final de los 3 años se tiene:
Interés = 400 + 400 + 400
Interés = 3[10%(4000)] = S/.1200
En general:
Interés = Tiempo # Tasa # Capital
No debemos olvidar que el análisis se hizo
año por año, porque el interés se prestó con
una tasa anual, lo cual nos da una idea que si
las condiciones de tasa en que se prestó fue-
ran mensuales, el análisis se debería realizar
en tiempos mensuales.
Las fórmulas para calcular el interés simple
son:
. .
I
C r t
100
= , t en años . .
I
C r t
1200
= , t en meses
. .
I
C r t
36 000
= , t en días
• Interés compuesto. Es cuando el interés que
genera el capital prestado, se acumula al capi-
tal en intervalos de tiempo especificados. Ob-
servamos el ejemplo pero en condiciones de
un préstamo a interés compuesto o conocido
también como un proceso de capitalización.
INTERÉS - DESCUENTO

Editorial
aritmétiCa 37
Ejemplo:
Se presta un capital de S/.1000 durante 3
años a una tasa anual de 10% y capitalizable
anualmente. Calcula el monto obtenido.
Resolución:
Observación: capitalizable anualmente signifi-
ca que después de cada año el interés produ-
cido se acumula al capital, siendo el monto ob-
tenido el nuevo capital para el siguiente año.
Capital
S/.1000
I1 = 10% (1000)
I1 = S/.100
I2 = 10% (1100)
I2 = S/.110
I3 = 10% (1210)
I3 = S/.121
1 año
S/.1100 S/.1210 S/.1331
1 año 1 año
El interés en los 3 años es:
Interés
compuesto
= S/.100 + S/.110 + S/.121 = S/.331
Luego:
Monto en general = 1000 + 331 = S/.1331
En general:
M = (1 + r%)n
. C
Donde:
n nos indica el número de períodos de capitali-
zación contenidos en el tiempo de imposición.
El período de capitalización determina las uni-
dades de la tasa y tiempo que se debe utilizar
necesariamente.
Regla de descuento
Identificación de los elementos
• Letra de cambio. Es un documento de crédi-
to que se utiliza para resolver transacciones
comerciales a plazo, en el cual una persona
denominada deudor se compromete (median-
te su firma y datos) a pagar el importe a otra
persona denominada acreedor al cabo de
cierto tiempo.
• Valor nominal (Vn). Es el valor que asume un
documento comercial para ser cancelado en
una fecha determinada, por tanto, va impreso
o escrito con claridad en una zona destacada
del mismo documento.
• Fecha de vencimiento. Fecha límite que in-
dica el final del plazo para hacer efectivo el
valor nominal de un documento comercial.
• Valor actual (Va). Es el valor que pagamos
por un documento comercial por hacerlo efec-
tivo antes de su fecha de vencimiento.
• Descuento (D). Es un beneficio para el deu-
dor por cancelar un documento comercial an-
tes de la fecha de vencimiento; está represen-
tado por la diferencia entre el valor nominal y
el valor actual del documento.
D = Vn - Va
• Tiempo de descuento (t). Es el comprendido
entre la fecha de negociación y la fecha de
vencimiento.
Clases de descuento
En la presente teoría consideramos dos clases de
descuento según el capital que se asume como re-
ferencia, si éste es el valor nominal se denominará
descuento comercial, si la referencia es el valor ac-
tual se denominará descuento racional.
• Descuento comercial (Dc). Es el interés que
generaría el valor nominal bajo una cierta tasa
durante el tiempo de descuento.
También se le denomina descuento externo
o descuento abusivo, ya que la deducción de
interés es sobre un valor futuro.
. .
;
D
V r t
100
c
n
= t en años
. .
D
V r t
1200
c
n
= ; t en meses
. .
;
D
V r t
36 000
c
n
= t en días
Ejemplo:
Tenemos una letra de cambio de S/.540 que
vence en 4 meses. Si hoy negociamos la letra
a una tasa de descuento del 24%. ¿Cuánto es
el valor del descuento comercial?
¿Cuánto nos pagarán por dicha letra?
Resolución:
Para hallar el valor que nos pagarán por la
letra, es necesario, restar los intereses que
corresponden a los 4 meses siguientes, es-
tos intereses se han calculado a partir de un
capital inicial, pero, en el descuento comercial
se calculan del capital final que viene a ser el
valor nominal.

Editorial
S/.540
4 meses
Por tanto, el cálculo de interés será:
%
12
24 # # =
540 4
tasa de
descuento
valor
nominal
tiempo descuento
(interés calculado
del Vn)
S/.43,2
S S S S
Finalmente, el valor efectivo del documento es:
- =
S/.540 S/.43,2
valor
nominal
descuento valor actual
S/.496,8
S S 1 2 3
4
4 4
4
Resumiendo: Vac = S/.496,8
Dc = S/.43,2
Podemos concluir que:
Dc = r% Vnt = Vn - Vac
Vac: valor actual comercial
El descuento comercial es proporcional al
tiempo de descuento.
• Descuento racional (Dr). Es el interés que
generaría el valor actual de un documento co-
mercial a una tasa de descuento y durante el
tiempo de vencimiento.
También se le denomina descuento interno o
descuento matemático.
;
D
V rt
100
r
a
= t en años
;
D
V rt
1200
r
a
= t en meses
(Descuento interno o matemático)
;
D
V rt
36 000
r
a
= t en días
Ejemplo:
Tenemos una letra de cambio de S/.540 que
vence en 4 meses. Si hoy negociamos la letra
racionalmente a una tasa del 24%. ¿Cuál será
su valor actual? ¿Cuánto vale el descuento
racional?
Resolución:
En este caso también restaremos del valor
nominal los intereses pero, ahora el interés se
calcula a partir del valor actual (cuyo valor no
es dato del ejemplo), entonces:
%
12
24 # # =
VaR 4
tasa de
descuento
mensual
valor
actual
racional
tiempo valor
nominal
valor
actual
racional
S/.540 - VaR
S S S S S
Luego: VaR = 500
Finalmente el descuento racional es:
DR = 540 - 500 = 40
Resumiendo:
VaR = S/.500
DR = S/.40
Podemos concluir que:
Dr = r% Vart = Vn - Var
Var: valor actual racional
Comparando los resultados de los dos ejem-
plos se tiene que:
Comercial Racional
Descuento: S/.43,2 2 S/.40
Valor actual: S/.496,8 1 S/.500
Observación:
Los descuentos han sido aplicados a la mis-
ma letra y a tasas iguales para un mismo tiem-
po de descuento.
Propiedades de la regla de descuento
En este segmento del capítulo planteamos algunas
propiedades que surgen a partir de la comparación
de los resultados obtenidos en los cálculos relati-
vos al descuento comercial y al descuento racional
de una misma letra a tasas y tiempos iguales.
• Dado que Vn 2 Va, entonces: Dc 2 Dr
además Vac 1 Var
• La diferencia de valores actuales (comercial y
racional) es igual a la diferencia de sus des-
cuentos.
Var - Vac = Dc - Dr
• Es posible calcular el descuento racional
a partir del valor nominal de un descuento
(como veremos). Sabemos que:
Dc = r% Vn t ...(a)
Dr = r% Var t ... (b)
Restando (b) de (a):

Editorial
aritmétiCa 39
Dc - Dr = (Vn - Var) r% t
1 2 3
4
4 4
4
Dr
Obtenemos:
Dc - Dr = Drr% t
Luego, reemplazando el Dc por su equivalente
en la expresión anterior.
r%Vnt - Dr = Drr% t
r%Vnt = Dr (1 + r% t)
y obtenemos:
Dr =
%
%
r t
V r t
1
n
+
Luego, la expresión obtenida en (3) la multipli-
camos por el Vn.
Vn (Dc - Dr) = Dr r%tVn
Dc
y obtenemos:
V
D D
D D
n
c r
c r
=
-
Cambio de letras. Es usual que un deudor no
pueda cumplir con sus obligaciones (por diversos
motivos), es por esto que tratará de replantear
sus pagos modificando los montos y los plazos en
acuerdo con el acreedor. También se presenta la
figura en la cual el acreedor (tenedor de la letra)
canjea ésta por otra u otras con distintas caracte-
rísticas.
Para ello es necesario que a la fecha del canje
los valores de los documentos (valores actuales)
reemplazados y reemplazantes sean equivalentes.
Ejemplo:
Lolo tiene una letra de S/.200 que vence dentro de
60 días y Tito tiene otra letra de S/.225 que vence
dentro de 120 días. Si ambos intercambian sus le-
tras, ¿quién de ellos se perjudica? Considere que
se aplica en ambos casos una tasa de descuento
del 5% mensual.
Resolución:
Recordemos que el valor nominal de un documen-
to es el valor que se pagará en la fecha de venci-
miento, pero hoy el valor de cada letra es menor,
calculemos los valores actuales:
Como la tasa es mensual podemos considerar el
tiempo en número de meses.
Dc1
= 200 # 5% # 2 Dc1 = 20
Dc2
= 225 # 5% # 4 Dc2 = 45
Vn D Va
Letra de Lolo 200 20 180
Letra de Tito 225 45 180
Comparamos resultados y notamos que hoy el va-
lor de cada letra es S/.180 por lo cual se pueden
intercambiar sin beneficio ni perjuicio de Lolo o de
Tito.
Vencimiento común. Es un caso particular que se
presenta en un cambio de letras con las siguientes
condiciones:
1. Se reemplazará un conjunto de letras de cam-
bio por una sola.
2. El valor nominal de la letra reemplazante es
igual a la suma de los valores nominales de
las letras reemplazadas.
3. Todas las letras son descontadas comercial-
mente y a una misma tasa.
Nota:
1. Dc 2 Dr pues: Vn 2 Va
De donde: Vac 2 Vn - Dc; Var 2 Vn - Dr
y de aquí: Var 2 Vac
2. Tanto la tasa como el tiempo, deben ser
cantidades que no hagan al descuen-
to una situación absurda. Por ejemplo
el tiempo no puede ser 200 años, 500
años, etc.
1. ¿Cuál es la suma que al 5% de interés simple
anual se convierte en 3 años en 3174 soles?
Resolución:
Datos: r = 5%; t = 3 años
M = 3174
C + I = 3174
C +
5 3
C
100
# #
= 3174
20
23
C = 3174 C = 2760

Editorial
2. Carlos impone los 4/7 de su capital al 4% y
el resto al 5% y resulta un interés anual de
S/.3100. Diga cuál es la suma impuesta al 4%.
Resolución:
Sea C el capital
• Coloca
7
4 C al 4%
7 100
4 4 1
I
C
C
700
16
1
#
# # #
= =
• Coloca C
7
3
al 5%
7 100
3 5 1
I
C
C
700
15
2
#
# #
= =
Por dato:
I1 + I2 = 3100
C C
700
16
700
15
3100
+ =
700
31
C = 3100 C = 70 000
Al 4% se colocó:
7
4 # 70 000 = 40 000
3. El valor nonimal de una letra es los 4/5 del va-
lor de la otra. Se han descontado comercial-
mente al 4% la primera por un mes y 16 días y
la segunda por 3 meses. El descuento de esta
fue de S/.20,50. ¿Cuál fue el descuento de la
otra?
Resolución:
Consideremos Vn2
= 5Vn, entonces
Vn1
= 4Vn
Por condición: 20,50
D
V r t
1200
c
n
2
2
# #
= =
5 4 3
20,50 410
V
V
1200
n
n

# #
= =
De aquí deducimos: Vn1
= 1640
Luego: D
V r t
36 000
c
n1
# #
=
1
Dc1
1640 4 46
36 000
# #
=
Dc1
= 8,38 soles
4. Un capital de S/.40 000 estuvo impuesto du-
rante un cierto número de años, meses y días.
Por los años se cobró el 5% anual, por los me-
ses el 4% y por los días el 3%. Calcular la utili-
dad producida por dicho capital sabiendo que
si se hubiera tenido impuesto durante todo el
tiempo al 5%, habría producido S/.3840 más
que si hubiera colocado todo el tiempo al 3%.
Resolución:
Consideremos un total de t días.
Por dato del problema:
I I 3840
% %
5 3
- =
40 000 5 40 000 3
3840
t t
36 000
# # # #
-
=
40 000 2
3840 1728
t
t
36 000

# #
= = días
es decir: t = 4 años, 9 meses y 18 días
Luego, nos piden: Iaños + Imeses + Idías
40 000 5 4 40 000 4 9 40 000 3 18
100 1200 36 000
# # # # # #
+ +
= 8000 + 1200 + 60 = 9260 soles
5. El monto de un capital impuesto durante
8 años es S/.12 400. Si el mismo capital se
hubiera impuesto al mismo rédito durante
9 años, 6 meses, el monto sería S/.12 772.
¿Cuál es el capital?
Resolución:
Para el primer monto: 12 400 soles
M1 = C +
8
C r
100
# #
= 12 400 soles ...(1)
Para el segundo monto: 12 772 soles
9,5
M C
C r
100
2
# #
= + = 12 772 ...(2)
Restando (2) - (1), se obtiene:
,
12 772 12 400
C r
100
9 5 8
# -
= -
^ h
,
372 24 800
C r C r
100
1 5

# #
= =
^ h
Reemplazando en (1):
C +
24 800 8
100
#
= 12 400
C + 1984 = 12 400 C = 10 416 soles
jhsf

Editorial
aritmétiCa 41
6. Calcular el valor nominal de una letra, sabien-
do que su descuento comercial es 388,25 so-
les y su descuento interno 385 soles.
Resolución:
Por dato se sabe que:
Dc = 388,25 y Dr = 385
Además por propiedad:
V
D D
D D
n
c r
c r
#
=
-

,
388,25 385
V
3 25
n
#
=
Vn = 45 992,69 soles
1. Calcular el interés que producirá S/.1600 de-
positado durante 2 años al 25% trimestral ca-
pitalizable semestralmente.
a) 5100 b) 5200 c) 5400
d) 6500 e) 6800
2. Un capital produce un cierto interés al cabo
de un tiempo en el cual se observa que la di-
ferencia entre el capital y el interés equivale al
42% de dicho capital. ¿Qué interés produce
un capital de S/.30 000 en la tercera parte del
tiempo anterior y con una tasa 50% menor?
a) 2900 b) 3000 c) 3100
d) 3200 e) 3300
3. Un capital se tiene impuesto al 4% anual de
interés simple. Al final del primer año se re-
tiran los intereses y además otro tanto como
los intereses, al final del segundo año se repi-
te la misma operación y se observa que el ca-
pital ha disminuido en S/.6272. Hallar el valor
del capital original (en soles).
a) 71 000 b) 82 000 c) 80 000
d) 89 000 e) 9000
4. Una persona posee S/.45 000, una parte la
coloca al 36% anual y el resto al 35%. Si las
tasas a las que están impuestas se permuta-
ran, al término de un año se produciría S/.50
más de interés. Hallar la diferencia entre los
intereses anuales.
a) S/.1000 b) S/.1550 c) S/.3000
d) S/.5000 e) S/.6000
5. Carmelo tiene una peluquería hipotecada y
anualmente tiene que pagar el 6% de su va-
lor. Dicho pago lo hace con los intereses que
le produce un bono de $75 000 al 4%, donde
estos intereses están sujetos a un descuento
del 20%. Determinar el valor de la hipoteca.
a) $35 000 b) $40 000 c) $45 000
d) $50 000 e) $55 000
6. Un capital aumenta la mitad de su valor al cabo
de cierto tiempo. ¿Cuál es este, sabiendo que
expresado en años es igual a la mitad del tanto
por ciento al cual se impuso el capital?
7. Determinar a qué tasa mensual debo imponer
mi dinero, sabiendo que tengo S/.1200 y den-
tro de 8 meses debo comprar un artefacto que
actualmente cuesta S/.1400 y que al cabo de
dicho tiempo su precio aumentará en un 20%.
a) 5% b) 10% c) 12%
d) 15% e) 17,5%
8. Un capital impuesto a una tasa mensual du-
rante cierto tiempo produce S/.1800 más que
si se hubiera impuesto a una tasa semestral
numéricamente igual a la anterior. ¿Qué in-
terés se hubiera producido si la tasa fuera
anual?
a) S/.160 b) S/.175 c) S/.180
d) S/.195 e) S/.200
9. El gráfico corresponde al monto (M) obtenido
en función del tiempo (t) a partir de un cierto
capital impuesto a interés simple con una tasa
de r% anual. Calcular: a + b + c + r
M
(S/.)
8bc
a84
a00
t (años)
a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28

Editorial
10. El monto obtenido al imponer un capital duran-
te 8 meses es S/.24 800. Si el mismo capital
se hubiera impuesto a la misma tasa durante
9 meses y 15 días el monto sería S/.25 544.
Hallar el capital (en soles).
a) 18 350 b) 19 900 c) 20 832
d) 21 540 e) 22 345
11. Determinar el tiempo al que fue impuesto un
capital a una tasa de 60%, sabiendo que el
capital, interés y monto más capital forman
una proporción geométrica continua, donde la
media proporcional es el interés.
a) 35 meses b) 37 meses
c) 38 meses d) 39 meses
e) 40 meses
12. Dionisio se presta $42 000 al 10% de interés
mensual sobre el saldo deudor de cada mes.
El primer y segundo mes no se amortiza nada,
pero el tercer y cuarto mes se paga una mis-
ma cantidad igual a N dólares. Hallar N para
que la deuda quede cancelada al cuarto mes;
dar la suma de sus cifras.
a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24
13. Se tiene S/.306 000 divididos en 3 partes pro-
porcionales a los numeros a; b y c; las cuales al
ser colocadas a la tasas de (a + 1)%; (b + 2)%
y (c + 3)%, en ese orden, al cabo de un año
generan montos proporcionales a a2
, b2
y c2
respectivamente. Hallar la mayor de las partes
en que fue dividida la cantidad inicial.
a) S/.100 500 b) S/.102 000
c) S/.103 000 d) S/.106 000
e) S/.110 000
14. Ulises quiere comprar una guitarra, pero le
falta tanto como lo que tiene, así que decide
comprarla dentro de 10 meses, por lo que
deposita lo que tiene en un banco al 15% se-
mestral y después de 4 meses deposita S/.115
más. Si cuando retira todo su dinero, el precio
se había incrementado en 20% de su valor,
pero a pesar de ello logra comprarla sin tener
excedente. Hallar el precio final de la guitarra.
a) 276 d) 300 c) 360
d) 380 e) 408
15. Un capital de abc00 dólares es colocado du-
rante 10 meses a una tasa de 9,6%, siendo el
monto, interés y capital proporcionales a 27, b
y c2
. Hallar a + b + c, si se sabe además que
el monto fue a(b + c)c00 dólares.
a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17
16. Un capital se impone al 40% anual durante 3
años, de manera que cada año se reciben las
ganancias y la mitad de ellas se suman al capi-
tal. Si al final del tercer año se recibe S/.100 800,
¿cuál fue el capital depositado?
a) 40 000 b) 42 000 c) 45 000
d) 48 000 e) 50 000
17. Cada año se deposita S/.160 000 en una cuenta
bancaria que produce 5% de interés semestral
y con el mismo periodo de capitalización, ¿qué
capital se tendrá inmediatamente después de
haberse efectuado el tercer depósito?
a) 502 120 b) 517 464 c) 525 734
d) 528 460 e) 530 881
18. Edy va al banco y pide un préstamo por una
cierta cantidad al 8% anual y 4 meses más
tarde pide otro préstamo por otra cantidad
pero al 5% anual. Cinco meses después lo
que entrega al banco por capitales e intereses
producidos por cada préstamo son iguales,
determinar el valor del primer préstamo.
a) 450 b) 480 c) 520 d) 640 e) 720
19. Un capital de S/.175 200 fue impuesto al 30%
anual de interés simple durante 7 meses se-
guidos. Determinar cuál fue el primer mes de
imposición si se sabe que con el año común
habría un beneficio extra de S/.300 con res-
pecto al interés que se obtendría consideran-
do el año comercial.
a) Mayo b) Junio c) Julio
d) Agosto e) Septiembre
20. Se deposita S/.3125 en un banco a una tasa
de 20%, capitalizable anualmente. Si el inte-
rés total generado fue S/.3355, determinar el
tiempo que estuvo depositado dicho capital.

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