El análisis matemático es una rama de la matemática que estudia los conjuntos numéricos tanto del punto de vista algebraico como topológico, así como las funciones entre esos conjuntos y construcciones derivadas.
Desarrollar métodos computacionales y resolver problemas basados en las observaciones realizadas. Realizar cálculos y aplicar métodos de análisis numéricos. Identificar las tendencias y relaciones entre variables. Determinar los métodos apropiados para el análisis de la información
Análisis Matemático II - Eduardo Espinoza Ramos - 3edGLIMEL YANAPA
Este documento presenta un libro sobre cálculo matemático para estudiantes de ciencia e ingeniería. El libro cubre temas como integral indefinida, integral definida, integración numérica, funciones especiales, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares, así como sus aplicaciones. El autor ha actualizado la tercera edición del libro basándose en comentarios y sugerencias de colegas universitarios, con el objetivo de presentar los temas de manera teórica y práctica.
Este documento describe los detalles de un proyecto de construcción de una carretera. Explica que la carretera tendrá 6 carriles y medirá 50 kilómetros de largo. También incluirá 3 intercambiadores y se espera que cueste $200 millones de dólares. El proyecto creará miles de puestos de trabajo y debería completarse en 3 años.
El documento define la circunferencia y sus elementos principales como el centro, radio, diámetro, arco y cuerda. Explica que un círculo es la porción de plano limitada por una circunferencia e incluye propiedades fundamentales de la circunferencia como que a cuerdas congruentes les corresponden arcos congruentes. También presenta teoremas geométricos relacionados con triángulos rectángulos inscritos en una circunferencia.
Este documento describe las funciones exponenciales, incluyendo sus leyes, dominio y rango, y cómo se pueden modificar sus gráficas al cambiar los parámetros de la función. También presenta ejemplos de funciones exponenciales y su uso para modelar la desintegración radiactiva, resolviendo un problema de cálculo sobre la cantidad de estronzio-90 que quedaría en un momento dado.
Este documento presenta un análisis del libro "Análisis Matemático 1" de R. Figueroa C. El libro cubre temas fundamentales del cálculo diferencial de una variable como funciones, límites, continuidad y derivada. Incluye definiciones de diferentes tipos de funciones especiales y sus gráficas, así como aplicaciones de los conceptos de límite, continuidad y derivada. El prólogo describe los objetivos y contenidos del libro dirigido a estudiantes de ingeniería, ciencias y economía.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de derivadas, incluyendo derivadas de funciones constantes, potencias, suma, producto y cociente, así como derivadas de funciones trigonométricas. También cubre temas como la regla de la cadena y aplicaciones a problemas de máximos y mínimos. Finalmente, proporciona los contactos del autor para cualquier consulta.
1) El documento presenta información sobre ecuaciones cuadráticas, incluyendo definiciones, métodos de resolución, propiedades de las raíces y ejemplos.
2) Se explican los métodos de resolución por factorización y fórmula cuadrática, así como propiedades como la suma, producto y diferencia de raíces.
3) También se detallan conceptos como la naturaleza de las raíces dependiendo del discriminante, y la formación de ecuaciones cuadráticas a partir de las raíces.
Análisis Matemático II - Eduardo Espinoza Ramos - 3edGLIMEL YANAPA
Este documento presenta un libro sobre cálculo matemático para estudiantes de ciencia e ingeniería. El libro cubre temas como integral indefinida, integral definida, integración numérica, funciones especiales, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares, así como sus aplicaciones. El autor ha actualizado la tercera edición del libro basándose en comentarios y sugerencias de colegas universitarios, con el objetivo de presentar los temas de manera teórica y práctica.
Este documento describe los detalles de un proyecto de construcción de una carretera. Explica que la carretera tendrá 6 carriles y medirá 50 kilómetros de largo. También incluirá 3 intercambiadores y se espera que cueste $200 millones de dólares. El proyecto creará miles de puestos de trabajo y debería completarse en 3 años.
El documento define la circunferencia y sus elementos principales como el centro, radio, diámetro, arco y cuerda. Explica que un círculo es la porción de plano limitada por una circunferencia e incluye propiedades fundamentales de la circunferencia como que a cuerdas congruentes les corresponden arcos congruentes. También presenta teoremas geométricos relacionados con triángulos rectángulos inscritos en una circunferencia.
Este documento describe las funciones exponenciales, incluyendo sus leyes, dominio y rango, y cómo se pueden modificar sus gráficas al cambiar los parámetros de la función. También presenta ejemplos de funciones exponenciales y su uso para modelar la desintegración radiactiva, resolviendo un problema de cálculo sobre la cantidad de estronzio-90 que quedaría en un momento dado.
Este documento presenta un análisis del libro "Análisis Matemático 1" de R. Figueroa C. El libro cubre temas fundamentales del cálculo diferencial de una variable como funciones, límites, continuidad y derivada. Incluye definiciones de diferentes tipos de funciones especiales y sus gráficas, así como aplicaciones de los conceptos de límite, continuidad y derivada. El prólogo describe los objetivos y contenidos del libro dirigido a estudiantes de ingeniería, ciencias y economía.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de derivadas, incluyendo derivadas de funciones constantes, potencias, suma, producto y cociente, así como derivadas de funciones trigonométricas. También cubre temas como la regla de la cadena y aplicaciones a problemas de máximos y mínimos. Finalmente, proporciona los contactos del autor para cualquier consulta.
1) El documento presenta información sobre ecuaciones cuadráticas, incluyendo definiciones, métodos de resolución, propiedades de las raíces y ejemplos.
2) Se explican los métodos de resolución por factorización y fórmula cuadrática, así como propiedades como la suma, producto y diferencia de raíces.
3) También se detallan conceptos como la naturaleza de las raíces dependiendo del discriminante, y la formación de ecuaciones cuadráticas a partir de las raíces.
Este documento presenta un solucionario de problemas de análisis matemático para estudiantes de ciencia e ingeniería. Contiene la solución detallada de numerosos ejercicios correspondientes a temas como sistemas de números reales, ecuaciones, funciones, límites y derivadas. El autor, Eduardo Espinoza Ramos, busca que este volumen sirva de complemento práctico al texto teórico de análisis matemático para apoyar el aprendizaje de los estudiantes universitarios.
Este documento presenta diferentes métodos para sumar fuerzas concurrentes, incluyendo métodos gráficos como el paralelogramo, triángulo y polígono, y métodos analíticos como el trigonométrico y de componentes. Explica conceptos clave como sistema de fuerzas concurrentes, suma y resta de vectores, y equilibrio de partículas. Además, describe la metodología para aplicar cada método gráfico.
El documento autoriza la aplicación y difusión de un manual de matemática básica para estudios generales a nivel profesional técnico. El manual contiene 19 unidades sobre temas matemáticos como magnitudes proporcionales, regla de tres, porcentaje, ángulos, paralelas, circunferencia, polígonos, perímetro, superficie y volumen. Los directores zonales y jefes de centros de formación profesional son responsables de difundir y aplicar oportunamente el contenido del manual.
1. media aritmetica para datos agrupados en intervalosClaudia150499
El documento explica cómo calcular la media aritmética de datos agrupados. Presenta la fórmula, simbología y un ejemplo de cómo calcular la media de edad de estudiantes agrupados en rangos de edad. Luego, proporciona dos ejercicios para que el lector calcule la media de puntuaciones en un examen y la media de edad de clientes en un restaurante.
Este documento presenta varios problemas matemáticos relacionados con funciones, derivadas parciales y curvas de nivel. En la primera sección, se analiza cómo varía la cantidad de minutos de llamadas de un consumidor en función de los costes laborales y la tasa de interés. En la segunda sección, se estudia una función f(x,y) y se calculan su dominio, gradiente y plano tangente en un punto. Finalmente, se analiza si se puede aplicar el teorema de la función implícita a una curva de nivel de f.
Este documento describe conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales de orden superior. Explica que una ecuación diferencial de orden n consiste en una función y(x) y sus derivadas hasta el orden n. También cubre temas como la existencia y unicidad de soluciones, el principio de superposición, y métodos para encontrar la solución general como la reducción de orden.
"pauta de correción test productos notables"hugooxx
Este documento presenta un examen de matemáticas sobre productos notables. El examen contiene 6 problemas que involucran la aplicación de diferentes productos notables como binomios con término común, suma por su diferencia, cuadrado de binomio y cubo de binomio. También presenta 2 problemas adicionales que piden reducir términos semejantes después de aplicar los productos notables.
El documento describe diferentes operaciones matemáticas y sus símbolos. Define operadores como símbolos que representan operaciones matemáticas como suma, resta, multiplicación y división. Presenta ejemplos de operaciones no estándar definidas por reglas o leyes particulares y resuelve ejercicios aplicando dichas definiciones y reglas.
1. El documento presenta 47 problemas matemáticos relacionados con polinomios. Los problemas abarcan temas como calcular el grado de polinomios, determinar si polinomios son homogéneos o completos, hallar valores de variables en polinomios, y realizar operaciones con polinomios como sumas y sustituciones.
2. Los problemas van desde determinar el grado de un polinomio dado hasta operaciones más complejas como hallar el valor de expresiones algebraicas dadas ciertas condiciones sobre polinomios.
3. El
Cálculo diferencial e integral Vol. 1 y 2 9na Edición Ron Larson y Bruce H. E...SANTIAGO PABLO ALBERTO
Este documento presenta la novena edición del libro de texto Cálculo 1 de una variable de Ron Larson y Bruce H. Edwards. El libro cubre los fundamentos del cálculo de una variable, incluyendo límites, derivadas, integración y aplicaciones. Consta de 15 capítulos y dos apéndices que contienen demostraciones de teoremas y tablas de integración.
Este documento contiene 10 secciones sobre problemas resueltos de estática. Cada sección cubre un tema como fuerzas y momentos, equilibrio de puntos y sólidos, sistemas de fuerzas, cables y vigas. Incluye ejemplos numéricos resueltos de determinar fuerzas desconocidas, tensiones en cables y equilibrio de sistemas.
El documento presenta los fundamentos de los números reales como un cuerpo ordenado. Introduce el conjunto de los números reales R y define las operaciones de suma y multiplicación. Establece propiedades como la conmutatividad, asociatividad, existencia de elementos neutros e inversos. Luego demuestra una serie de teoremas relacionados con las operaciones y la relación de igualdad en R. Finalmente, define subconjuntos como los números positivos R+ y negativos R- y establece propiedades de la relación de orden "<" en R.
La tabla de integrales proporciona fórmulas para calcular las integrales de funciones comunes. Algunas de estas funciones son polinomios, funciones exponenciales, funciones trigonométricas y funciones logarítmicas. La tabla incluye las integrales de estas funciones, así como los límites de integración y cualquier constante adicional requerida para calcular el valor numérico de cada integral.
Sea X un solo valor que se muestrea de una población normal con media m. Si se conoce la desviación estándar s, entonces un intervalo de confianza de nivel 100(1-α)% para m es X ± zα/2s.
Este documento presenta una guía de prácticas de álgebra que incluye ejercicios sobre productos notables como el binomio al cuadrado, la diferencia de cuadrados, el trinomio al cuadrado, el binomio al cubo y el trinomio al cubo. Contiene más de 100 ejercicios para resolver que involucran expresiones algebraicas con variables como x, y, a, b y c entre otras. El objetivo es practicar diferentes tipos de productos notables que son fundamentales en álgebra.
1) Las leyes de exponentes estudian las operaciones de potenciación y radicación con exponentes. 2) La potenciación consiste en elevar una base a un exponente. 3) Se definen exponentes naturales, cero y negativos, y se establecen teoremas sobre las operaciones con bases y exponentes iguales o diferentes.
El documento presenta una introducción a los operadores matemáticos, definiendo conceptos como suma, resta, multiplicación, división, entre otros. Incluye ejemplos y problemas resueltos sobre diferentes operadores como ▲, ♦, ↑, ↓, *, entre otros. El documento contiene 12 problemas con sus respectivas respuestas sobre el uso y aplicación de distintos operadores matemáticos.
Este documento presenta un libro sobre cálculo matemático para estudiantes de ciencia e ingeniería. El libro cubre temas como integral indefinida, integral definida, integración numérica, funciones especiales, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares, así como sus aplicaciones. El autor explica los conceptos de manera teórica y práctica con ejemplos y ejercicios resueltos. El libro es recomendado para estudiantes de matemáticas, física, ingeniería y economía.
Este documento presenta un libro sobre cálculo matemático para estudiantes de ciencia e ingeniería. El libro cubre temas como integral indefinida, integral definida, integración numérica, funciones especiales, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares, así como sus aplicaciones. El autor explica los conceptos de manera teórica y práctica a través de ejemplos y ejercicios resueltos. El objetivo es fundamentar sólidamente los conocimientos de cálculo de los estudiantes.
Este documento presenta un solucionario de problemas de análisis matemático para estudiantes de ciencia e ingeniería. Contiene la solución detallada de numerosos ejercicios correspondientes a temas como sistemas de números reales, ecuaciones, funciones, límites y derivadas. El autor, Eduardo Espinoza Ramos, busca que este volumen sirva de complemento práctico al texto teórico de análisis matemático para apoyar el aprendizaje de los estudiantes universitarios.
Este documento presenta diferentes métodos para sumar fuerzas concurrentes, incluyendo métodos gráficos como el paralelogramo, triángulo y polígono, y métodos analíticos como el trigonométrico y de componentes. Explica conceptos clave como sistema de fuerzas concurrentes, suma y resta de vectores, y equilibrio de partículas. Además, describe la metodología para aplicar cada método gráfico.
El documento autoriza la aplicación y difusión de un manual de matemática básica para estudios generales a nivel profesional técnico. El manual contiene 19 unidades sobre temas matemáticos como magnitudes proporcionales, regla de tres, porcentaje, ángulos, paralelas, circunferencia, polígonos, perímetro, superficie y volumen. Los directores zonales y jefes de centros de formación profesional son responsables de difundir y aplicar oportunamente el contenido del manual.
1. media aritmetica para datos agrupados en intervalosClaudia150499
El documento explica cómo calcular la media aritmética de datos agrupados. Presenta la fórmula, simbología y un ejemplo de cómo calcular la media de edad de estudiantes agrupados en rangos de edad. Luego, proporciona dos ejercicios para que el lector calcule la media de puntuaciones en un examen y la media de edad de clientes en un restaurante.
Este documento presenta varios problemas matemáticos relacionados con funciones, derivadas parciales y curvas de nivel. En la primera sección, se analiza cómo varía la cantidad de minutos de llamadas de un consumidor en función de los costes laborales y la tasa de interés. En la segunda sección, se estudia una función f(x,y) y se calculan su dominio, gradiente y plano tangente en un punto. Finalmente, se analiza si se puede aplicar el teorema de la función implícita a una curva de nivel de f.
Este documento describe conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales de orden superior. Explica que una ecuación diferencial de orden n consiste en una función y(x) y sus derivadas hasta el orden n. También cubre temas como la existencia y unicidad de soluciones, el principio de superposición, y métodos para encontrar la solución general como la reducción de orden.
"pauta de correción test productos notables"hugooxx
Este documento presenta un examen de matemáticas sobre productos notables. El examen contiene 6 problemas que involucran la aplicación de diferentes productos notables como binomios con término común, suma por su diferencia, cuadrado de binomio y cubo de binomio. También presenta 2 problemas adicionales que piden reducir términos semejantes después de aplicar los productos notables.
El documento describe diferentes operaciones matemáticas y sus símbolos. Define operadores como símbolos que representan operaciones matemáticas como suma, resta, multiplicación y división. Presenta ejemplos de operaciones no estándar definidas por reglas o leyes particulares y resuelve ejercicios aplicando dichas definiciones y reglas.
1. El documento presenta 47 problemas matemáticos relacionados con polinomios. Los problemas abarcan temas como calcular el grado de polinomios, determinar si polinomios son homogéneos o completos, hallar valores de variables en polinomios, y realizar operaciones con polinomios como sumas y sustituciones.
2. Los problemas van desde determinar el grado de un polinomio dado hasta operaciones más complejas como hallar el valor de expresiones algebraicas dadas ciertas condiciones sobre polinomios.
3. El
Cálculo diferencial e integral Vol. 1 y 2 9na Edición Ron Larson y Bruce H. E...SANTIAGO PABLO ALBERTO
Este documento presenta la novena edición del libro de texto Cálculo 1 de una variable de Ron Larson y Bruce H. Edwards. El libro cubre los fundamentos del cálculo de una variable, incluyendo límites, derivadas, integración y aplicaciones. Consta de 15 capítulos y dos apéndices que contienen demostraciones de teoremas y tablas de integración.
Este documento contiene 10 secciones sobre problemas resueltos de estática. Cada sección cubre un tema como fuerzas y momentos, equilibrio de puntos y sólidos, sistemas de fuerzas, cables y vigas. Incluye ejemplos numéricos resueltos de determinar fuerzas desconocidas, tensiones en cables y equilibrio de sistemas.
El documento presenta los fundamentos de los números reales como un cuerpo ordenado. Introduce el conjunto de los números reales R y define las operaciones de suma y multiplicación. Establece propiedades como la conmutatividad, asociatividad, existencia de elementos neutros e inversos. Luego demuestra una serie de teoremas relacionados con las operaciones y la relación de igualdad en R. Finalmente, define subconjuntos como los números positivos R+ y negativos R- y establece propiedades de la relación de orden "<" en R.
La tabla de integrales proporciona fórmulas para calcular las integrales de funciones comunes. Algunas de estas funciones son polinomios, funciones exponenciales, funciones trigonométricas y funciones logarítmicas. La tabla incluye las integrales de estas funciones, así como los límites de integración y cualquier constante adicional requerida para calcular el valor numérico de cada integral.
Sea X un solo valor que se muestrea de una población normal con media m. Si se conoce la desviación estándar s, entonces un intervalo de confianza de nivel 100(1-α)% para m es X ± zα/2s.
Este documento presenta una guía de prácticas de álgebra que incluye ejercicios sobre productos notables como el binomio al cuadrado, la diferencia de cuadrados, el trinomio al cuadrado, el binomio al cubo y el trinomio al cubo. Contiene más de 100 ejercicios para resolver que involucran expresiones algebraicas con variables como x, y, a, b y c entre otras. El objetivo es practicar diferentes tipos de productos notables que son fundamentales en álgebra.
1) Las leyes de exponentes estudian las operaciones de potenciación y radicación con exponentes. 2) La potenciación consiste en elevar una base a un exponente. 3) Se definen exponentes naturales, cero y negativos, y se establecen teoremas sobre las operaciones con bases y exponentes iguales o diferentes.
El documento presenta una introducción a los operadores matemáticos, definiendo conceptos como suma, resta, multiplicación, división, entre otros. Incluye ejemplos y problemas resueltos sobre diferentes operadores como ▲, ♦, ↑, ↓, *, entre otros. El documento contiene 12 problemas con sus respectivas respuestas sobre el uso y aplicación de distintos operadores matemáticos.
Este documento presenta un libro sobre cálculo matemático para estudiantes de ciencia e ingeniería. El libro cubre temas como integral indefinida, integral definida, integración numérica, funciones especiales, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares, así como sus aplicaciones. El autor explica los conceptos de manera teórica y práctica con ejemplos y ejercicios resueltos. El libro es recomendado para estudiantes de matemáticas, física, ingeniería y economía.
Este documento presenta un libro sobre cálculo matemático para estudiantes de ciencia e ingeniería. El libro cubre temas como integral indefinida, integral definida, integración numérica, funciones especiales, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares, así como sus aplicaciones. El autor explica los conceptos de manera teórica y práctica a través de ejemplos y ejercicios resueltos. El objetivo es fundamentar sólidamente los conocimientos de cálculo de los estudiantes.
El documento presenta un libro de análisis matemático para estudiantes de ciencia e ingeniería. Explica conceptos como la integral indefinida, integral definida, integración numérica, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares, así como sus aplicaciones. Incluye fórmulas básicas de integración, métodos de integración y funciones especiales como gamma y beta. Contiene también ejercicios resueltos y propuestos para la práctica de los temas.
este libro es muy bueno para universitarios calculo II para que te encamines en la ingenieria , te servira mucho tiene ejercicios practicos ¿Cómo se define el cálculo?
Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos. No obstante, el uso más común del término «cálculo» es el lógico-matemático. Las dos acepciones del cálculo (la general y la restringida) arriba definidas están íntimamente ligadas. El cálculo es una actividad natural y primordial en el hombre, que comienza en el mismo momento en que empieza a relacionar unas cosas con otras en un pensamiento o discurso. El cálculo lógico natural como razonamiento es el primer cálculo elemental del ser humano. El cálculo en sentido lógico-matemático aparece cuando se toma conciencia de esta capacidad de razonar y trata de formalizarse.
Por lo tanto, podemos distinguir dos tipos de operaciones:
Operaciones orientadas hacia la consecución de un fin, como prever, programar, conjeturar, estimar, precaver, prevenir, proyectar, configurar, etc. que incluyen en cada caso una serie de complejas actividades y habilidades tanto de pensamiento como de conducta. En su conjunto dichas actividades adquieren la forma de argumento o razones que justifican una finalidad práctica o cognoscitiva.
Operaciones formales como algoritmo que se aplica bien directamente a los datos conocidos o a los esquemas simbólicos de la interpretación lógico-matemática de dichos datos; las posibles conclusiones, inferencias o deducciones de dicho algoritmo son el resultado de la aplicación de reglas estrictamente establecidas de antemano.
Resultado que es:
Conclusión de un proceso de razonamiento.
Resultado aplicable directamente a los datos iniciales (resolución de problemas).
Modelo de relaciones previamente establecido como teoría científica y significativo respecto a determinadas realidades (Creación de modelos científicos).
Mero juego formal simbólico de fundamentación, creación y aplicación de las reglas que constituyen el sistema formal del algoritmo (Cálculo lógico-matemático, propiamente dicho).
Dada la importancia que históricamente ha adquirido la actividad lógico-matemática en la cultura humana el presente artículo se refiere a este último sentido. De hecho la palabra, en su uso habitual, casi queda restringida a este ámbito de aplicación; para algunos, incluso, queda reducida a un solo tipo de cálculo matemático, pues en algunas universidades se llamaba «Cálculo» a una asignatura específica de cálculo matemático (como puede ser el cálculo infinitesimal, análisis matemático, cálculo diferencial e integral, etc.).
En un artículo general sobre el tema no puede desarrollarse el contenido de lo que supone el cálculo lógico-matemático en la actualidad. Aquí se expone solamente el fundamento de sus elementos más simples, teniendo en cuenta que sobre esta
Este documento presenta un libro sobre ecuaciones diferenciales ordinarias y sus aplicaciones para estudiantes de ciencias e ingeniería. El libro contiene 10 capítulos que cubren conceptos básicos, métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden y aplicaciones en diferentes campos como geometría, física y economía. El prólogo destaca la importancia del tema y describe el contenido y objetivo del libro para estudiantes de ciencias, ingeniería y afines.
Este documento presenta un libro sobre ecuaciones diferenciales ordinarias y sus aplicaciones para estudiantes de ciencias e ingeniería. En el prólogo, el autor explica que el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias es importante en la formación de estudiantes de ciencias e ingeniería debido a que aparecen frecuentemente en el estudio de fenómenos naturales. El libro contiene capítulos sobre conceptos básicos, ecuaciones diferenciales de primer orden, aplicaciones, ecuaciones de orden superior, sistemas de ecuaciones difer
Este documento presenta el desarrollo de un datamart de información académica de estudiantes de la Escuela de Ciencias y Sistemas de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de San Carlos de Guatemala. Describe el modelo de datos lógico y físico del datamart, así como el proceso de extracción, transformación y carga de datos desde los sistemas transaccionales de la universidad. Finalmente, presenta diferentes reportes que pueden generarse a partir de la información contenida en el datamart.
Este documento presenta el sílabo de la asignatura de Matemática IV de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de Cajamarca. La asignatura cubre temas sobre ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. El curso dura 17 semanas y se divide en 7 unidades que cubren conceptos básicos de ecuaciones diferenciales, solución de ecuaciones de primer orden, ecuaciones de orden superior, transformada de Laplace, series de potencias, ecuaciones en derivadas parciales y sistemas de ecuaciones diferencial
Este documento describe un curso de matemáticas básicas 1 en la Universidad de San Carlos de Guatemala. El curso cubre temas como geometría, funciones, álgebra, trigonometría y geometría analítica, con el objetivo de que los estudiantes comprendan los conceptos y procedimientos básicos previos a los cursos de cálculo y apliquen estos conceptos para resolver problemas elementales de ingeniería. El curso se evalúa a través de exámenes parciales, proyectos, laboratorios y un examen
Este documento presenta la descripción del curso de Matemática Aplicada 3 ofrecido por la Universidad de San Carlos de Guatemala. El curso cubre temas como la solución numérica de ecuaciones, interpolación, sistemas lineales y no lineales. Se evaluará a los estudiantes a través de exámenes parciales, tareas y un examen final.
Introduccion a las_matematicas_superioresJose Calderón
Este documento presenta el sílabo de la asignatura Introducción a las Matemáticas Superiores. La asignatura se compone de cinco unidades que cubren números reales, números complejos, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y series. El curso busca desarrollar habilidades matemáticas básicas y su aplicación en ingeniería a través de métodos teóricos y prácticos.
Este documento presenta el sílabo de la asignatura Introducción a las Matemáticas Superiores. La asignatura se divide en cinco unidades que cubren números reales, números complejos, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y series. El curso busca desarrollar habilidades matemáticas básicas y su aplicación en ingeniería a través de métodos teóricos y prácticos.
Este manual contiene más de 2,400 fórmulas y 60 tablas matemáticas de gran utilidad para estudiantes e investigadores de materias como matemáticas, física e ingeniería. Incluye fórmulas de álgebra, geometría, trigonometría, cálculo y otras áreas avanzadas, así como definiciones y diagramas que ayudan a comprender y aplicar correctamente las fórmulas.
Este manual contiene más de 2,400 fórmulas y 60 tablas matemáticas de gran utilidad para estudiantes e investigadores. Incluye definiciones, teoremas, gráficas y diagramas para la comprensión y aplicación de las fórmulas en temas como álgebra, geometría, trigonometría, cálculo y análisis avanzado. El manual proporciona fórmulas y tablas numéricas de funciones elementales y especiales en dos partes principales.
Este documento proporciona información sobre el libro de texto "Cálculo. Varias variables. Undécima edición" de George B. Thomas Jr. Incluye detalles sobre los recursos en línea disponibles para estudiantes y profesores, así como cambios realizados en la undécima edición con respecto a capítulos y apéndices. También presenta los nombres de los autores que revisaron el texto y tradujeron el documento al español.
El documento presenta el portafolio de la asignatura Cálculo Diferencial de la Carrera de Ingeniería en Sistemas Informáticos de la Universidad Técnica de Manabí. Incluye la tabla de contenidos con 11 fases, el prontuario con la información general del curso, las políticas del curso, y el syllabus con la descripción, prerequisitos, bibliografía recomendada y objetivos del curso.
Portafolio logica y algoritmo gregorio_20-02-20GregorioDe
Este documento presenta el portafolio virtual de Lógica y Algoritmos de un estudiante. Incluye la descripción del curso, sus objetivos, contenidos, metodología, evaluación y bibliografía. Los contenidos cubren lógica proposicional, de predicados, conjuntos, relaciones, funciones e introducción a algoritmos y pseudocódigo. La evaluación consta de exámenes parciales y finales, trabajos y participación.
Introduccion a las_matematicas_superiores (3)Diego Liu Ramos
Este documento presenta el silabo de la asignatura Introducción a las Matemáticas Superiores de la Facultad de Ingeniería Electrónica e Informática de la Universidad Nacional Federico Villarreal. La asignatura cubre temas como números reales, números complejos, matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y series en 5 unidades a lo largo de 68 horas. El curso busca desarrollar competencias para aplicar conceptos matemáticos básicos en la carrera profesional a través de métodos expositivos, prácticas
El documento presenta la tabla de contenidos de un portafolio de la asignatura Cálculo Diferencial de la Universidad Técnica de Manabí. Incluye 11 fases que abarcan información del curso, actividades como cartas de presentación y autoevaluaciones, así como trabajos y materiales relacionados a la clase.
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Ofrecemos herramientas y metodologías para que las personas con ideas de negocio desarrollen un prototipo que pueda ser probado en un entorno real.
Cada miembro puede crear su perfil de acuerdo a sus intereses, habilidades y así montar sus proyectos de ideas de negocio, para recibir mentorías .
El curso de Texto Integrado de 8vo grado es un programa académico interdisciplinario que combina los contenidos y habilidades de varias asignaturas clave. A través de este enfoque integrado, los estudiantes tendrán la oportunidad de desarrollar una comprensión más holística y conexa de los temas abordados.
En el área de Estudios Sociales, los estudiantes profundizarán en el estudio de la historia, geografía, organización política y social, y economía de América Latina. Analizarán los procesos de descubrimiento, colonización e independencia, las características regionales, los sistemas de gobierno, los movimientos sociales y los modelos de desarrollo económico.
En Lengua y Literatura, se enfatizará el desarrollo de habilidades comunicativas, tanto en la expresión oral como escrita. Los estudiantes trabajarán en la comprensión y producción de diversos tipos de textos, incluyendo narrativos, expositivos y argumentativos. Además, se estudiarán obras literarias representativas de la región latinoamericana.
El componente de Ciencias Naturales abordará temas relacionados con la biología, la física y la química, con un enfoque en la comprensión de los fenómenos naturales y los desafíos ambientales de América Latina. Se explorarán conceptos como la biodiversidad, los recursos naturales, la contaminación y el desarrollo sostenible.
En el área de Matemática, los estudiantes desarrollarán habilidades en áreas como la aritmética, el álgebra, la geometría y la estadística. Estos conocimientos matemáticos se aplicarán a la resolución de problemas y al análisis de datos, en el contexto de las temáticas abordadas en las otras asignaturas.
A lo largo del curso, se fomentará la integración de los contenidos, de manera que los estudiantes puedan establecer conexiones significativas entre los diferentes campos del conocimiento. Además, se promoverá el desarrollo de habilidades transversales, como el pensamiento crítico, la resolución de problemas, la investigación y la colaboración.
Mediante este enfoque de Texto Integrado, los estudiantes de 8vo grado tendrán una experiencia de aprendizaje enriquecedora y relevante, que les permitirá adquirir una visión más amplia y comprensiva de los temas estudiados.
2. ANALISIS
MATEMÁTICO I
PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERIA
(TERCERA EDICION)
♦ SISTEMA DE NUMEROS REALES
♦ RELACIONES Y FUNCIONES
♦ LIMITES Y CONTINUIDAD
♦ DERIVADAS
♦ APLICACIONES DE LA DERIVADA
♦ DIFERENCIALES
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
3. IMPRESO EN EL PERÚ
20 - 03 - 2002
39EDICIÓN
DERECHOS RESERVADOS
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Ley de Derechos del Autor N9 13714
Registro com ercial Ne 10716
Escritura Publica N24484
4. PRESENTACION
Eduardo Espinoza Ramos, catedrático en la especialidad de matemática pura, me
hace el honor de pedirme la presentación de su obra Análisis Matemático I para Estudiantes de
Ciencia e Ingeniería.
El objeto principal de la presente obra Análisis Matemático I, es precisamente
llenar el vacío que existe para su fácil y mejor aprendizaje, desarrollando y analizando los
conceptos básicos necesarios y su aplicación hacia las especialidades de Ingeniería, de tal manera
que permita a los estudiantes disponer de una herramienta de trabajo práctico y comprensible.
El método didáctico empleado en todo el libro consta de cinco capítulos: Sistema
de Números Reales; Relaciones y Funciones; Límites y Continuidad; Derivadas y sus
Aplicaciones y Diferenciales.
Para orientación del estudiante, el trabajo llevado a cabo por el autor, en esta
obra, es digno de elogio. Su lenguaje sencillo y desarrollo al alcance del estudiante, producto de
sus años de experiencia como docente Universitario le permiten tratar rigurosamente estos, desde
el punto de vista científico en forma didáctica y amena.
Los ejercicios y/o problemas cuidadosamente seleccionados complementan los
propósitos y métodos empleados en la teoría.
Finalmente, expreso mi felicitación al autor de la obra EDUARDO ESPINOZA
RAMOS, quien ya se suma a la legión de autores nacionales que tienen más conocimiento de
nuestra realidad Universitaria.
ING. EDUARDO BULNES SAMAME
JEFE DE DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA UNIVERSIDAD RICARDO PALMA,
iA-SECRETARIO ACADEMICO DE LA FACULTAD DE INGENIERIA
5. PROLOGO
En la presente obra Intitulada “Análisis Matemático I para Estudiantes de
Ciencia e Ingeniería” en su 3ra. Edición, hemos aprovechado de los numerosos y valiosos
comentarios y sugerencias de mis colegas que elaboran en las diversas universidades de la capital,
motivo por el cual se ha ampliado la demostración de propiedades así como los conceptos básicos
teóricos e incluyendo propiedades y teorema de acuerdo a las exigencias de la nueva curricula. Al
igual que su 2da edición se expone en forma teórica y práctica, los conceptos de sistemas de
números reales, relaciones y funciones, límites y continuidad, derivadas y sus aplicaciones, así
como la regla de L’Hospital, las funciones hiperbólicas y la diferencial con sus aplicaciones, así
mismo se ha incluido algunos teorema en cuanto corresponde a las aplicaciones de las derivadas
antes de los Teoremas de Rolle y del Valor Medio, también se han incluido mas ejercicios
desarrollados y propuestos en las practicas y exámenes de las diversas universidades de la capital
proporcionados por mis colegas y en especiales de los coordinadores de área académica.
La parte teórica se desarrolla de manera metódica y con especial cuidado,
tratando de noperder el rigor matemático pero tratando de no caer en el excesivo formulismo que
confunde al lector.
La lectura provechosa del presente trabajo requiere del conocimiento previo del
álgebra elemental, geometría plana y trigonometría.
La presente obra es recomendable para estudiante de ciencias matemáticas,
física, ingeniería, economía y para toda persona interesada en fundamentar sólidamente sus
conocimientos matemáticos del análisis real.
Por ultimo deseo agradecer y expresar mi aprecio a las siguientes personas por
sus valiosos comentarios y sugerencias.
6. DOCTOR PEDRO CONTRERAS CHAMORRO
Ex-Director de la Escuela Profesional de Matemática Pura de la Universidad Nacional
Mayor de San Marcos.
Catedrático Principal en Pos-Grado de la Facultad de Matemática Pura de la UNMSM
Miembro Fundador de la Academia Nacional de Ciencia y tecnología del Perú.
Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.
DOCTOR EUGENIO CABANILLAS LAPA
Doctor en matemática Pura, Universidad Federal de Río de Janeiro —Brasil.
Director de Pos-Grado en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Catedrático de la Universidad Nacional del Callao.
LIC. ANTONIO CALDERON LEANDRO
Ex-Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ing. Pesquera y Alimentos de la
Universidad Nacional del Callao.
Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la
Universidad Nacional del Callao.
Coordinador del Area de Matemática en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Ricardo
Palma.
LIC. SERGIO LEYVA HARO
Ex Jefe del Centro de Computo de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad
Nacional del Callao.
Catedrático en la Facultad de Ingeniería Ambiental y de Recursos Naturales de la
Universidad Nacional del Callao.
LIC. JUAN BERNUI BARROS
Director del Instituto de Investigación de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de
la Universidad Nacional del Callao.
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
LIC. PALERMO SOTO SOTO
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.
Mg. JOSE QUIKE BRONCANO
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Coordinador del área de matemática en la Facultad de Ciencias Matemáticas Puras.
Lic. GUILLERMO MAS AZAHUANCHE
Catedrático de la Universidad Nacional del Callao
Catedrático de la Universidad Nacional de Ingeniería.
Catedrático de la Universidad Ricardo Palma.
E D U A R D O E S P I N O Z A R A M O S
7. DEDICATORIA
Este libro lo dedico a mis hijos R O N A L D ,
JO R G E y D IA N A , que Dios ilumine sus
caminos para que
8. INDICE
CAPITULO I
[* ■ S í.-»T E M A S D E N U M E R O S R E A L E S
1.1 Introducción 1
1.2 Definición 2
1.3 Axiomas de Sustitución 4
1.4 Axiomas Distributivas 4
1.5 Teorema de Igualdad para la Adición 4
1.6 Teorema de Igualdad para la Multiplicación 4
1.7 Teorema de Cancelación para la Adición 4
1.8 Teorema de Cancelación para la Multiplicación 5
1.9 Sustracción de Números Reales 5
1.10 División de Números Reales 5
1.11 Ejercicios Desarrollados- 6
1.12 Representación de los Números Reales 10
1.13 Desigualdades 11
1.14 Axioma de la Relación de orden 12
1.15 Definición 12
1.16 Teorema 12
1.17 Teorema 13
1.18 Teorema 13
1.19 Teorema 14
1.20 Teorema 14
9. 1.21 Teorema 15
1.22 Ejercicios Desarrollados 15
1.23 Ejercicios Propuestos 23
1.24 Inecuaciones 29
1.25 Conjuntos solución de una Inecuación 31
1.26 Resolución de una Inecuación 31
1.27 Inecuación de Primer Grado en una Incógnita 31
1.28 Inecuación de Segundo Grado en unaIncógnita 33
1.29 Inecuaciones Polinómicas 38
1.30 Inecuaciones Fraccionarias 42
1.31 Inecuaciones Exponenciales 45
1.32 Inecuaciones Irracionales 47
1.33 Ejercicios Desarrollados 58
1.34 Ejercicios Propuestos 84
1.35 Valor Absoluto 101
1.36 Propiedades Básicas para resolverEcuaciones e Inecuaciones donde
interviene Valor Absoluto 102
1.37 Máximo Entero 104
1.38 Propiedades del Máximo Entero 106
1.39 Inecuaciones Logarítmicas 111
1.40 Ejercicios Desarrollados 116
1.41 Ejercicios Propuestos 155
1.42 Conjuntos Acotados 176
1.43 Axiomas del Supremo o Axiomasde la mínima cota superior 177
1.44 Principio Arquimediano 178
1.45 Ejercicios Propuestos 180
10. CAPITULO II
2.1 Introducción 182
2.2 Relaciones Binarias 191
2.3 Gráfica de una Relación de R en R 198
2.4 Ejercicios Desarrollados 202
2.5 Ejercicios Propuestos 212
2.6 Funciones 215
2.7 Dominio y Rango de una Función 216
2.8 Criterio para el Calculo del Dominio yRango de una Función 217
2.9 Aplicaciones de A en B 218
2.10 Funciones Especiales 219
2.11 Evaluación de una Función 224
2.12 Función definida con Varias Reglas deCorrespondencia 224
2.13 Trazado de Gráficas Especiales 225
2.14 Ejercicios Desarrollados 229
2.15 Ejercicios Propuestos 247
2.16 Operaciones con Funciones 258
2.17 Composición de Funciones 264
2.18 Propiedades de la Comprensión de Funciones 270
2.19 Ejercicios Desarrollados 270
2.20 Ejercicios Propuestos 282
2.21 Funciones: Inyectivas, Suryectivas y Biyectivas 293
2.22 Funciones Crecientes, Decrecientes y Monotomas 295
2.23 Calculo de Rango de Funciones Inyectivas Monotomas 297
2.24 Función Inversa 298
2.25 Función Inversa de una Composición 300
2.26 Ejercicios Desarrollados 300
2.26 Ejercicios Propuestos 313
11. CAPITULO III
3. LIMITES Y CONTINUIDAD
3.1 Introducción 325
3.2 Definición 326
3.3 Ejercicios Propuestos 334
3.4 Proposición 337
3.5 Proposición 337
3.6 Teorema (Unicidad de Limite) 338
3.7 Teorema 339
3.8 Teorema 339
3.9 Propiedades sobre Limite de Funciones 340
3.10 Ejercicios Desarrollados 343
3.11 Ejercicios Propuestos 354
3.12 Limites Laterales 365
3.13 Ejercicios Propuestos 370
3.14 Limites al Infinito 375
3.15 Ejercicios Propuestos 381
3.16 Limites Infinitos 386
3.17 Ejercicios Propuestos 389
3.18 Teorema de Sándwich 390
3.19 Limites Trigonométricos 391
3.20 Ejercicios Propuestos 399
3.21 Función Exponencial y Logarítmica 404
3.22 El Numero e 408
3.23 Calculo de Limites de la forma Uní (/(.v))?í' '
X->
a '
409
3.24 Ejercicios Desarrollados 410
3.25 Ejercicios Propuestos 413
12. 418
424
426
427
433
440
446
499
451
453
453
454
455
457
462
464
468
471
474
477
482
484
486
487
Asíntota de una Curva
Ejercicios Propuestos
Continuidad de una Función
Tipos de Continuidad
Ejercicios Propuestos
Problemas Sobre Limite
Problemas Propuestos
CAPITULO IV
L A D E R I V A D A
Definición
Inierpretación Geométrica de la Derivada
Definición
Definición
Derivadas Laterales
Derivabilidad y Continuidad
Algunas Reglas de Derivación
Derivadas de una Función Compuesto (Regla de la Cadena)
Derivación de la Función Exponencial y Logarítmica
Teorema
Derivación de las Funciones Trigonométricas
Teorema (Derivadas de las Funciones Trigonométricas)
Derivación de las Funciones Trigonométricas
Regla de Derivación para las Funciones Trigonométricas Inversas
Derivación Implícita
Derivada de la Función de la Forma y = (f ( x ) ) s(r)
Ejercicios Desarrollados
13. 4.18 Ejercicios Propuestos 511
4.19 Ecuaciones de la Tangente y Normal a una Curva 526
4.20 Ecuaciones Paramétricas 529
4.21 Derivadas de Orden Superior 533
4.22 Ejercicios Desarrollados 538
4.23 Ejercicios Propuestos 555
CAPITULO V
5 . A P L I C A C I O N E S D E L A D E R I V A D A
5.1 Valores Máximos y Mínimos de una Función 565
5.2 Teorema 566
5.3 Extremos de una Función 566
5.4 Teorema (de los valores intermedios) 569
5.5 Teorema de Rolle 570
5.6 Teorema del Valor Medio 573
5.7 Teorema (de la función constante) 574
5.8 Teorema (de la diferencia constante) 575
5.9 Función Creciente y Decreciente 574
5.10 Teorema 580
5.11 Criterio de la Primera Derivada para Extremos Relativos 581
5.12 Criterio de la Segunda Derivada para Extremos Relativos 582
5.13 Concavidad y Punto de Inflexión 583
5.14 Ejercicios Desarrollados 587
5.15 Ejercicios Propuestos 626
5.16 Razón de Cambio Promedio y Razón de Cambio Constante 639
5.17 Formula que Relaciona dos Variables cuya Razón de Cambio es Constante 640
5.18 Razón de Cambio Promedio 641
14. 5.19 Razones Instantáneas 641
5.20 Velocidad y Aceleración Rectilínea 642
5.21 Razones de Cambio Relacionadas 642
5.22 Procedimiento Aconsejado para Resolver Problemas de Variables
Relacionadas 642
5.23 Problemas Desarrollados 643
5.24 Problemas Propuestos 651
5.25 Aplicación a la Económica 658
5.26 Ejercicios Desarrollados 661
5.27 Problemas Propuestos 673
5.28 La Regla de L’Hospital 678
5.29 Ejercicios Desarrollados 680
5.30 Ejercicios Propuestos 684
5.31 Funciones Hiperbólicas 687
5.32 Ejercicios Propuestos 693
5.33 Derivadas de las Funciones Hiperbólicas 694
5.34 Ejercicios Propuestos 698
5.35 Funciones Hiperbólicas Inversas 701
5.36 Derivación de las Funciones Hiperbólicas Inversas 704
5.37 Ejercicios Propuestos 706
5.38 Diferenciales 708
5.39 Diferenciales como una Aproximación 710
5.40 Diferenciales de Orden Superior 711
5.41 Ejercicios Propuestos 717
BIBLIOGRAFIA 722
15. Sistema de Números Reales 1
CAPITULO I
1. SISTEMA DE NÚMEROS REALES.-
1.1 flSTROPUCClON.-
E1 sistema de los números reales de los cuales ahora disponemos, es el resultado de
una enorme cantidad de reílexión por parte del hombre.
Los enteros positivos, es decir: 1,2,3,..., pueden encontrarse desde el comienzo de nuestra
civilización. Los enteros tan grandes como 100,000 se usaban en Egipto en fechas tan
tempranas como es 300 A.C.
Los antiguos Egipcios y Babilonios desarrollaron una aritmética con los enteros positivos
con los cuales podían efectuarse las operaciones de adición y multiplicación, aunque la
división no se desarrolló por completo.
Estos antiguos pueblos usaron ciertas fracciones, tenemos pues, que los números
racionales aparecieron también en una temprana etapa de nuestra civilización (un número
racional es cociente de dos enteros).
Los Babilonios fueron los que más éxito tuvieron en el desarrollo del aritmética y el
álgebra por que tenían una notación para los números muy superior a la de los Egipcios.
Esta notación en principio, análoga a nuestro sistema decimal, excepto por el hecho de
que su base es 60 en lugar de 10. Una buena notación es el pre-requisito para el desarrollo
de los matemáticos.
Nuestro sistema decimal con los números llamados arábigos fue inventado por los
Hindúes e introducido en Europa occidental en el siglo XII a través de las traducciones de
textos Arabes. Sin embargo, la aceptación generalizada de esta notación demoró mucho
en llegar.
16. Eduardo Espinoza Ramos
La espera fue aun mayor para la aceptación de los números negativos, incluso hasta
finales del siglo XVI se descartaban las raíces negativas de las ecuaciones.
La aritmética y el álgebra se desarrollaron bajo él estimulo de problemas prácticos en
contradicción de la'geometría que desarrollaron los griegos solamente para su satisfacción
intelectual y en un modelo del sistema lógico.
Sin embargo, con el desarrollo del cálculo, los números reales especialmente los números
irracionales tales como ~Jl, n, V 5. tuvieron que sustentarse sobre una firme
fundamentación lógica, esto se logro en la ultima parte del siglo XIX.
Disponemos ahora de un sistema de axiomas que describen completamente los números
reales partiendo de estos axiomas podemos derivar todas las propiedades de los números
reales.
Esto es el método usado en la geometría Euclidiana, se acepta un cierto número de
proposiciones, a las que se llama axiomas o postulados o hipótesis y basándose en esas
axiomas se prueban todos los teoremas de la geometría.
1.2 DEFlNÍClQNv-
Llamaremos sistema de los números reales a un conjunto R, provisto de dos operaciones
adición (+) y multiplicación (.) (leyes de composición interna) y una relación de orden
denotado por “<”, es decir:
Io LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA:
+: R x R ----->R
(a,b) -—-> +(a,b) = a + b
Además debe cumplirse los axiomas siguientes:
Af, Cerradura: Va, b e R => a + b e R
Ax Conmutatividad: a + b = b + a , V a . b e R
A-, Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), V a,b,c e R
17. Sistema de Números Reales
»
3
Aj Identidad aditiva: V a e R , 3 0 e R / a + 0 = 0 + a = a
A4 Opuesto Aditivo: V a e R , 3 - a e R, y es único, tal que: a + (-a) = (-a) + a = 0
2o LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA: •: R x R - ^ R
Además debe cumplirse los axiomas siguientes:
A/„ Cerradura: V a, b e R => a.b e R
M l Conmutativa: a.b = b.a,V a,b e R
M 2 Asociativa: (a.b).c = a.(b.c), V a,b,c e R
M 3 Identidad Multiplicativa: V a e R, 3 1* 0, 1e R, tal que: 1.a = a
M4 Inverso Multiplicativo: V a * 0, 3 a~1 e R, tal que: a.a ~l - a 1.a = 1
3o RELACIÓN DE ORDEN:
Ox V a.b e R una y solamente una de las relaciones se cumple a<b, a = b, b < a (ley de
tricotomía).
O2 Si a < b y b < c entonces a < c (transitiva).
Oy S i a < b = > a + c < b+ c, V a,b,c e R.
0 4 Sí a < b, c > 0 entonces a.c < b.c
OBSERVACIÓN:
i) A los números a_ y b los llamaremos sumando, y al número a + b suma de a y b.
i¡) En a.b; a los números a y b los llamaremos factores y al número a.b producto de a y
b.
iü) El opuesto es único, así mismo cuando existe el inverso es único.
18. 4 Eduardo Espinoza Ramos
1,3 AXIOMA DE SI STITÜCION.-
Si a y b pertenecen a un conjunto B y si a = b, entonces en toda relación se puede
sustituir al elemento a por el elemento b sin que altere el significado de la relación.
a) a.(b + c) = a.b + a.c, V a, b, c e R distributiva a izquierda
b) (a + b).c = a.c + b.c. V a, b, c e R distributiva a derecha
1.5 TEOREMA PE IGUALDAD PARA LA APICION~
Si a = b entonces a + c = b + c, para todo a, b, e e R
Demostración
Ioa = b. por hipótesis.
2o a + c = a + c, propiedad reflexiva.
3o a + c = b+c , Io. 2° y axioma 1.3
Sí a = b entonces a.c = b.c, para todo a, b, c e R
Demostración
Io a = b por hipótesis.
2° a.c = a.c. propiedad reflexiva.
3° a.c = b.c, Io, 2° y axioma 1.3
j ,7 TEOREMA DE CANCELACION PARA LA APICFON.-
Sean a,b,c e R ; Sía + c = b + c entonces a = b
Demostración
Io a + c = b + c . por hipótesis.
2o a + c + (-c) = b + c + (-c), Io y teorema 1.4?
19. Sistema de Números Reales 5
3o a + (c + (-c)) = b + (c + (-c)), 2° y A2
4° a + O= b + U
, 3° axioma A4
5° a = b. 4o, axioma A¿
J.8 TEOREMA DE CANCELACION PARA LA MULTIPLICACION.-
Sean a,b,c e R; Si a.c = b.e y e * 0, entonces a = b
Demostración
Io a.c = b.c, ... por hipótesis.
2 o c * 0, ... por hipótesis
3o 3 — e R / (a.c).— = (b.c). —, ...2 o, Io y axioma M A
c c c
4o a.(c.—) =b.(c.—
), ...3 o y axioma M-,
c c
5o a .l= b .l, ...4 o y axioma M 4
6° a = b, ... 5o y axioma M 3
1.9
DEFINICION.- Para cualquier números reales a,b e R, definiremos a la sustracción
de números reales por:
a - b = a + (-b)
1.10 DIVISION DE NÚMEROS REALES.-
DEFINICION.- Para cualquier números reales a,b e R, donde b * 0, definiremos al
cociente de números reales por:
21. Sistema de Números Reales 7
Luego a + (-1 )a = 1.a + (-l)a, ... por axioma 1.3
a + (-l)a = (1 + (-1))a, ... por axioma vfy.b.
a + (-l)a = 0.a, ... por A4
a + (-l)a = 0, ... por ejercicio 2.
.-. -a = (-l)a
( 4) Para cada número real a e R, demostrar que -(-a) = a
Demostración
Io a + (-a) = 0 ... por A4
2 ° (-a) + (-(-a)) = 0 ... por A4
3 0 (-a) + (-(-a)) = a + (-a) ... Io , 2o
4o -(-a) = a ... 3o y por teorema 1.6
( 5) Para cada número real a,b e R, demostrar que (-a).(-b) = a.b
Demostración
1° (-a).(-b) = [(-1 )a][(-l )b] ... por el ejercicio 3
2o (-a).(-b) = (-1 )[a((-1)b)] ... 1° y M 2
3o (-a).(-b) = (-1)[(-1>a].b ... 2o y M x, M 2
40 (-a).(-b) = (-1)[(-a)].b ... 3o y ejercicio3
5o (-a).(-b) = [(-1 )(-a)].b ... 4o y M 2
6o (-a).(-b)=a.b ... 5o y ejercicio4
(ó ) V a.b e R, demostrar que a.(-b) = -(a.b)
Demostración
Io a.(-b) = a.((-l).b) ... por ejercicio 3
23. Sistema de Números Reales 9
( 9) V a,b e R, a.b* O, demostrar que (a.b) 1 =a 1.b
Demostración
Io (a.b).— = 1
{ab)
2° (ab).{aJb)~l =1
por A/4
y definición de división
3° (a.b).(a 1b 1) = (a).(a)1.(b).(b 1) por M 2
■u 1, * 1 . - 1.
4°(a.b).(a .h ' ) = (a.-).(b.-)
a b
3°, M 2 y definición de división.
5° (a.b).(a [.b ‘) = (1)(!) = !
6° (a.b).(a l.b l ) = 1
4° y M4
de 5°
7° (a.b).(a.b) 1= (a./>)(a 1i> 1)
8° (ai?) 1 1
... de 2° y 6°
... 7° y teorema 1.7
10J V a,b,c,d e R, b * 0, d * 0. demostrar que: —+ — = +
- ^'c
^ b d b.d
Demostración
Io - +- = a.b 1+ c . d x
b d
por definición de división
2° T + Ì7 = (a .b ì).{d.-) +{c.d-x).(b.-)
b d d b
Io y por M a
3° —+— = (a .b l ).(d.d x) +(c.d 1).(b.b ') ... 2o y definición por división.
b d
24. 10 Eduardo Espinoza Ramos
4o - +- = (a.d).(b]. d l )+(b.c).(b1. d l ) ... 3o, A/,
b d '
50 —+— = (a.d).(b.d) 1+(b.c).(b.d)~x ... 4° y ejercicio9
h d ’
6" —+ —-(aM + bx;).(bd) 1 ... de 5° y axioma 1.3.b.
b d
1° —+ — = + — ... 6o y definición de división
h d hd
U 2 REPRESENTACION PE LOS NÚMEROS R EALEsT
Entre los números reales y los puntos de una recta existe una correspondencia, es decir:
51 sobre una recta se fija su origen “O”, una unidad, y un sentido positivo, entonces, a
cada punto de una recta le corresponde un número real y reciprocamente, a cada número
real le corresponde un único punto de la recta, al número real correspondiente a un punto
de la recta se le llama abscisa del punto.
------ 1
-------- 1
--------1
------- 1
------- 1
------- 1
--------1
--------1
---------1
— ►
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
NOTACION PARA LOS CONJUNTOS DE NÜMEROS.-
N: Conjunto de los: números naturales.
Z: Conjunto do los números enteros.
Q: Conjunto de ios números racionales,
í: Conjunto de los números irracionales.
R: Conjun ¡o de los números reales.
C: Conjunto de los números complejos.;
25. Sistema de Números Reales 11
CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES
R
0
racionales
entero positivo
N0 = {0,1,2,...,«,...}
Z enteros negativos
Decimales periódicos = 0.abe =
999
Decimales periódico mixto = 0.abede -
abede - ab
99900
Decimales exactos = 0.abe =
abe
1000
Q = { - l a . b e Z , b * 0}
b
I f propios: a/2 , -73 ,...
V Irracionales! trascendentes = {e, 7
t,...}
1.13 DESIGUALDADES.,
La correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta pueden usarse para
dar una interpretación geométrica de la relación de orden entre los números reales.
La relación a < b significa que sobre una recta numérica el punto A corresponde al
número “a”, que se encuentra a la izquierda del punto B correspondiente al número “b”.
A B
------------ 1
----------------------1
-----------►
a b
El símbolo < se lee "Es menor que”. También usaremos los símbolos siguientes:
26. 12 Eduardo Espinoza Ramos
1.13.a DEFINICIÓN.-
i) Un número real “a” es positivo sí, a > 0.
¡i) Un número real “a” es negativo sí, a < 0.
1.13.b DEFINICIÓN.-
Llamaremos desigualdad a una expresión que indica que un número es mayor ó menor
que otro. Por ejemplo: 5 < 9.
V a,b,c e R., se tiene:
Ox Orden de tricotomía: una y sólo una de las siguientes posibilidades se cumple:
a = b v a < b v a > b
O, Orden transitivo: s í a < b a b < c => a < c
0 3 Orden de adición: s í a < b => a + c < b + c
0 4 Orden Multiplicativo: sí a < b y c > 0 => a.c < b.c
En base a estos axiomas daremos las siguientes definiciones:
U 4 AXIOMA DE LA RELACION DE ORDEN.-
L15 DEF1N1CJON.-
i) a < b < = > b - a e s positivo. ii) a > b <
=
> a —b es positivo.
iii) a < b <
=
> a = b v a < b iv) a > b <
=
> a > b v a = b
1.16 TEOREMA.-
V a,b,c,d eR ; Sí a < c A b < d a + b < c + d
Demostración
O a < c por hipótesis
2° a + b < b + c i° y o3.
27. Sistema de Números Reales 13
3o b < d por hipótesis
4° b + c < c + d 3°y 0 3
5o a + b < c + d 2o, 4o y O,
L17 TEOREMA.»
Para a.b € R, si a < b => -a > -b
Demostración
1° a < b por hipótesis
2o b - a > 0 1° y definición 1.1$ i.
3o (b -a ) + (-b) > 0 + (-b) 2oy 0,
4° -a + (b + (-b))>-b 3o, a2 y A
5o -a + 0 > -b 4o y A4
6o -a > -b 5° y a3
1.18 TEQREMA.-
Sí a, b, c e R, donde a < b a c < 0 => a.c > b.c
Demostración
1° a < b por hipótesis
2 o c < 0 por hipótesis
3o 0 *c>() 2o y definición 1.14.i)
4o - a.c < -b.c Io, 3o y 0 4 y ejercicio 6
5o a.c > b.c 4o y teorema 1.bfa
28. 14 Eduardo Espinoza Ramos
1.19 11LUKIUMA.-
Para a e R, a * 0 => a 2 > 0
Demostración
1° a * 0 por hipótesis
2o a> 0 v a< 0 l° y 0 ,
3o sí a > 0 => a.a > 0.a 2° y 0 4
4o
O
A
N
3o y ejercicio 2
5o sí a < 0 => -a > 0 2o y definición 1.15i
6o (-a)(-a) > 0. (-a) 5o y o 4
T a 2 > 0 6o, ejercicio 2 y 5
M TEOREMA.-
Para a e R. a * O entonces a 1 tiene el mismo signo que “a” es decir:
i) Sí a > 0 => a~x >0 ¡i) Sí a < 0 => a~l < 0
Demostración
i) Io a > 0 por hipótesis
2o é
T ' c O hipótesis auxiliar
3o ¿7.a’1 < 0 Io, 2o y teorema 1.18
4o 1 < 0 3o y M 4 es absurdo
5o íT ' > 0, por 2oy 4o
6o Sí a > 0 => a~x >0 Io y 5o
ü) Su demostración es en forma similar.
30. 16 Eduardo Espinoza Ramos
de (a) y (f¡) se tiene: (a + b)(a —b) > 0.(a —b)
de donde a 1 - b 1 > 0 => a 2 > b 2 Sí a > b > 0 =s> a 2 > b 2
Sía, b>0 y a 2 > b 2 = > a > b
Demostración
Por hipótesis se tiene a 2 > b 2 => a 2 - b 2 > 0 de donde (a + b )(a-b ) > 0 ... (a)
como a > 0 a b > 0 => a + b > 0, de donde —— > o ...<p>
a+b
de (a) y (P) se tiene ^ + —— > 0 , de donde a - b > 0 entonces a>b.
a +b
® S i b > a > 0 y c > 0. Demostrar: > —
3 h-Lr- h
b+c b
Demostración
Como b > a > 0 => a. b>0 ...(1 )
b > a y c >0 => b.c>a.c ...( 2)
en (2) sumando a.b > 0 en ambos lados. a.b + b.c > a.b + a.c
, . v .. . i t 1 d + C C
l
b.(a + c) > a.(b + c) , de donde: ------ > —
b+c b
a c „ a+c c
> —
® Si a,b,c,d > 0 y —> — Demostrar
r» /i
b d b+d d
Demostración
a c
Como —> — , donde b,d> 0 => a.d >b.c ... (1)
b d
Además c > 0, d > 0 entonces c.d > 0
Sumando c.d > 0, a ambos miembros en (1): a.d + c.d > b.c + c.d
31. Sistema de Números Reales 17
d.(a + c) > c.(b + d), de donde: a +° >—
b +d d
(^ ) Para a,b,c números reales. Demostrar que a 2 +b1 +c2 >a.b +a£ +b.c
Demostración
V a.b e R, ( a - b ) 2 > 0
V a.c e R, (a - c )2 > 0
V b,c e R, (b - c ) 2 >0
a 2 +b2 - 2a.b > 0
a 2 +c2 - 2 a r >0
b2 +c2 - 2b.c > 0
2(a2 +b2 +c 2)-2(a.b +a.c +b.c) > 0
de donde a 2 +b2 +c2 >a.b +a.c +b.c
(7 ) V a,b e R ' , demostrar que ü +^ > -Jali
Solución
Como a,b e R + => -Ja - 4 b e R
Sí 4a —4b e R => (4a ~ 4 b ) 2 > 0, de donde a + b - 2 4 a 4 b > 0 => a +b>24ab
a +b
-> 4 a h
( l ) Demostrar que sí a < b, Entonces a < ■< b
Demostración
Como a < b => a + a < a + b => 2 a < a + b ...(1 )
a < b = > a + b < b + b = ^ a + b < 2b ..-(2)
de ( 1) y (2) por transitividad se tiene: 2a < a + b < 2b a < < b
^ 8) Demostrar que si, a 2 +b2 = 1, c 2 + d 2 =1, entonces: 1 > a.c + b.d, para a,b,c,d e R
32. 18 Eduardo Espinoza Ramos
Demostración
V a,c e R, (cr-c’)2 >0 => a 2 +c2 >2a¿ ...(1)
V b,d e R, ( b - d ) 2 > 0 => b2 + d 2 >lb.d ...(2 )
sumando (1) y (2) se tiene: a 2 +b2 +c2 + d 2 >2(a£ +b.d)
2 > 2(a.c +b.d) 1> a.c + b.d
V a,b,c,d e R + yn e Z + , demostrar que: a 2" +b2n +c2n + d 2" > 4 (abcd)"12
Demostración
a,b e R + => a ",bn e /?+,pero a” - b n e R, entonces:
(an - b n)2 > 0 => a 2n +b2n >2anb ” . . . ( 1)
c,d e R^ => c " , d n e R +, pero c " - d " e R, entonces:
(c" - d " ) 2 > 0 => c 2" + ¿ 2n >2cnd" ...(2 )
Sumando (1) y (2) se tiene: a 2" + ¿>
2n + c2" + d 2n>2(anb" +c"d") ...(3 )
(Ja"bn - a /c V "”)2 > 0 => a nb" +cnd n>2^¡anb nc nd n ...(4 )
a 2" + />2” + c 2" + ¿ 2n >4-Janbnc nd n
... a 2" + 62” + c 2" + í/2n ¿4(a¿>c</)”/2
(lo) Si a + b + c = l , donde a,b,c > 0, Demostrar que (1 —a)(l -b )(l - c ) > 8abc
Demostración
Como a,b,c>0 => -J~a,-Jb,-Jc > 0 entonces:
34. 20 Eduardo Espinoza Ramos
Factorizando d(a + c) < c(b + d), de donde: Ü í £ < £
b+d d
...( 2)
^ . a a+c a +c c
De (1) y (2) se tiene: —< ---------- a ----------< —
b b+d b+d d
_ , , . a a +c c
De donde por transitividad se tiene: —
< ------- < —
b b +d d
Si a,b,c y d, son números reales cualesquiera. Demostrar que: a 4 +b4 + c 4 +d 4 >Aabcd
Demostración
Como a,b,c,d e R => a 2,b 2,c 2, d 2 e R, además:
a 2 - b 2 e R
c~ —d~ e R
(a2 - b 2)2 > 0
(c2 - d 2) 2 > 0
de donde al efectuar se tiene: a 4 +b4 > l a 2b2
cA+ d A> l c 2d 2 ... (2)
Sumando (1) y (2) miembro a miembro se tiene:
a 4 +b4 + c 4 + d A> l( a 2b2 + c2d 2) ...(3 )
Como ab. cd e R => ab - cd s R, entonces:
a~b2 +c2d 2 >2abcd => 2(a2b2 +c2d 2)> 4abcd
( a b - c d ) ' > 0 de donde
...(4 )
de (3) y (4) por transitividad se tiene: a 4 +bA+c4 + d 4 > 4abcd
Si a > 0, a e R, demostrar que: a +—> 2
a
Demostración
Como a > 0 => -Ja > 0 , de donde 4 a — e R por lo tanto
35. Sistema de Números Reales 21
(Va — 7=)2 ^ 0 , desarrollando se tiene: a - 2 + —> 0 de donde a + —> 2
Va a a
, „+ , bc ac ab ,
Si a,b,c, e , demostrar que: — + ------1
-— >a +b +c
a b c
Demostración
Por hipótesis se tiene que a,b,c > 0, entonces
— > 0 , —> 0 , —>0 entonces aplicando el ejercicio 14).
b c c
Ahora a (1) multiplicamos por c,a,b respectivamente.
ac bc ^ _
— + — >2c
b a
ab a c . - - a c „bc -a b
— + — >2 a => 2 — + 2 — + 2 — >2c +2a +2b
c b b a c
ab
— + — > 2 b
c a
. h e ac ab s -, , ,
2(-----h— + — ) > 2(a +b +c)
a b c
bc ac ab ,
— + — + — >a +b +c
a b c
r.- ^ i ^ rv j a +b _ a b
Si a > 0, b > 0, demostrar que: -----:— - < -— - + -
a + b + 1 6+1 a + l
Demostración
Como a > 0, b > 0, entonces a + 1 > 1, b + 1 > 1 luego se tiene:
a + l > 1
Z>+ 1 > 1
a + è + 1> è + 1
a +b +> a +l
ahora inviniendo cada una de las desigualdades: ----- ---- < —— y ----- ----- < — —
a+b + 1 ¿
>+ 1 a +b + 1 a +l
36. 22 Eduardo Espinoza Ramos
multiplicando a las desigualdades por a y b respectivamente.
a a b _ b
---------- < ------ y ---------- < -------
o + b +1 b +1 ¿
7+ ¿
>+ l +1
• a +b ^ a b
Sumado estas dos desigualdades se tie n e :---------- < ------ +
a + b +1 b +1 a +1
1 4
17) Si a,b e R, b * 0, demostrar que: —
a 2 +ab +b2 3b2
Demostración
Completando cuadrado en a +ab +b se tiene: cr+ab +b = (a + — (1)
Como a.b e R => a +— e R, de donde (a + —)2 > 0
2 2
o J 3t>2 ■ , b ■
, 3b2 3b2
Sumando ------ se tiene: (a + —) ' + -------> ------ ...(2 )
4 2 4 4
Ahora de (1) y (2) se tiene.
2 . , t 3b2 , . . 1 4
a ' +ab +b~ como b * 0 invertimos — ------—
a 2 +ab +b2 3b2
18) Si a > 0 y b < 0, Demostrar que: < —
' a a
Demostración
Como a > 0, b < 0 => ab < 0, sumando “a” a ambos miembros se tiene:
a + b.a < a, de donde a(b + 1) < a ... (1)
Como a > 0 => -X- > 0, ahora multiplicamos a (1) por - -
a~ a~
. . . a(b + l) a . , ¿ + 1 1
Obteníendose ----- < —r- simplificando .'. ----- < —
a a a a
40. 26 Eduardo Espinoza Ramos
2)Si a.b e R, demostrar que: a 4 +b4 >—(a +b)4
8
33)Si a > 0 y b>0, demostrar que: (g+ —)2 +(b +—)2 ++
¿*)2
“
■ a h 2 a + b
1 1 25
^ Si a>0, b > 0 tal que a + b = l , demostrar que: (a +—)2 +(b +—)2 >-^-
(35) Si a,b.td e R,demostrar que: ac+bd < ^ ( a 2 +b 2)(c2 + d 2)
(3ó) Si a,b e R tal que a + b = 1, demostrar que: a 4 +bA > ^
® 8j
Si a,b e R tal que a + b = 3, demostrar que: a 4 +b 4 > —
38) Si a,b.c,d e R +, demostrar que: ~ (a +b +c +d)>^Jabed
9) Si a:,a2,...,a„. bx,b2,...,b„ eR tal que: a 2 +a2 +...+a2 = , b 2 +b2 +...+b2 =1
demostrar que: axbx +a2b2 +...+a„b„ <1
40) Demostrar que si -1 < a < 0 entonces a 3 > a
Si - a > 0 y ( a - b ) 2 > {a +b)2, entonces b >0
(42) Si a, b e R, tal que 2a +4b = 1, Demostrar que: a2 + b2 >
.43) Si a > 0. b > 0 =? a 3 +bl > a 2b +ab2
X1+x2 +X1 +—+xn
44) Si jc,,x,,...,jcn e R y si p =^Jxxj c
2..jc„ y a = —-2-----— —
— demostrar
^ - V n
que: p < a.
Í Í) Si a,b,c,m,n,p e R / m > 0 , n >0 , p>0: — < —< — entonces: — < ^+a +c <
^ m n p m m + n + p p
41. Sistema de Números Reales 27
® _ , . Qi + di +...+ a„
Probar que si al <a2 <—<a„ entonces ax < —-----P-----------<a„
a 3 - b l
47) Demostrar que si 0 < a < b < c entonces: — --------<a +b+c
s*-' 3c(b-a)
(4?) Probar que: a 4 +bA+ c 4 +d 4 > Aabcd para a,b,c,d e R
(49) Si a,b,c > 0, demostrar que: 2(a3 +lr + c:3) > bc(b +c) +ac(c +a) +ab(a +b)
(501 Demostrar que: <
j2b 2 +b2c 2 +a2c 2 > abc(a +b +c) V a,b,c e R
x" 1
51) V x e R y n par, demostrar que: —
-------< —
“ 7 x 2n+l 2
52) Demostrar que si r > 0 y a < b entonces a a <---- -- <b
' 1 + r
531 Si a y b son números positivos y distintos, demostrar que: ~ + ~ > —+ —
b2 a 2 a b
54) Consideremos x, y, z, w números reales, demostrar que:
■ > 2 2 ' > ^ 2
x + y + z + w > —(xy + xz + xw + yz + yw + zw)
a2 b2
55) Si a y b son números desiguales positivos demostrar que: a +b< — + — •
b a
56) Si a,b y c son números positivos distintos. Demostrar que: (a +b +c) 2 <3(a1 +b2 +c2)
51) Si a y b son números positivos distintos, demostrar que: (a3 +b3)(a +b)> (a2 +b2)2
,58)Si x,y son números distintos, demostrar que: (x4 +y 4)(x2 +>’2) > (x 3 +>'3)2
59) Si x,y,z son números positivos distintos, demostrar que:
xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) > 6xyz
42. 28 Eduardo Espinoza Ramos
a - 2 b - 2
(£0) Demostrar que: a < b < 1 => —
---- <
a - 1 b - 1
61J Sean a,b,c,x,y,z números positivos distintos, demostrar que:
(a2 +b2 +c2)(x2 +y 2 +z 2) > (ax +by +cz)2
(62) Demostrar que: 0 < d < c => ^ — ^ - > d 2(c - d )
_ 4 .3
@ Si 0< d< c => d 3( c - d ) < — - — < c2( c - d )
(64) Si x > 0 , y > 0, z > 0, demostrar que:
a) xyz = 1 => x + y + z > 3
b) xyz =1 a x + y + z = 3 o x = y = z = 1
® x y z x y z
Demostrar que: x>0, y > 0 , z > 0 = > —+ —+ —>3 (su g :----- —= 1 y ejercicio 64)
y z x y z x
(óó) Demostrar para todo a y b real [ab <-~=¡a2 +b2
(ó?) Si x e y e R, demuestre que: |x| + |y| > |x + y|
(68) Si x 1, x 2,...,x„ e R~ tal que x¡ = 1. Entonces x x+ x2>1
(69^ Si a,b e R, demostrar que: (a +b)4 <8(a4 +b 4)
2 i
(70) Si a > 0, probar que: X . + +a > a + 1
x +a
J i) Si a,b,c ei?* ,y si a 2 +b2 +c2 =8 . demostrar que: a 3 +b3 + c 3 > 1 6 ^
72) Si a >0, b > 0, demostrar que: (-^- + -^-)(a2 +Z>2) > 4
43. Sistema de Números Reates 29
73) Demostrar que sí a,b,c nos números reales positivos entonces a+ +C > Ifabc
^ 4) Sí V a,be R talque a > 0 A b > 0 y a < x 2 <b => - J a < x < 4 b v --Jb < x < —Ja
^ 5) Si JC], x 2, —, x„ e R, talque x¡ jc2...jc„ =1. Demostrar que xx + x2 +...+x„ > n
Si a,h e. R ' , Demostrar que (a2 +b2)(a +b)2 >&a2b 2
77) Si a + b + c = 0, Demostrar que: (—+ —+—)2 = ——+ -Î- + —
^ a b c a - b2 c2
1 1
78)Si a,b g R , Demostrar que —
—+ —
—>
a 2 b2 (a +b)2
1.24 JNECUACÏONES.-
1.24.1 DEFINICION.- Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más
cantidades desconocidas (incógnita) y que sólo se verifica para
determinados valores de la incógnita o incógnitas.
Ejemplo.- La desigualdad: 2x + 1 > x + 5, es una inecuación por que tiene una
incógnita “x” que se verifica para valores mayores que 4.
1.24.2 INTERVALOS.- Los intervalos son sub-conjuntos de los números reales que sirven
para expresar la solución de las inecuaciones, estos intervalos sé
representan gráficamente en la recta numérica real.
Consideremos los siguientes tipos de intervalos:
a) Intervalo cerrado.- a < b
[a,b] = {x e R / a < x < b } a b
b) Intervalo abierto.- a < b
— otymtMtmtyé)
<a,b> = {x e R / a < x < b} a b
44. 30 Eduardo Espinoza Ramos
c) Intervalo cerrado en a y abierto en b.-
[a,b>= {x e R / a < x < b [ „
d) Intervalo abierto en a y cerrado en b.-
<a,b] = {x e R / a < x < b}
e) Intervalo infínitos.-
[a,+oo>= {x e R / x > a } a
<a,+*> = {x e R / x > a} < OHHmHHiHHMtHtttttt *
•
a
<-oo,b] = { x e R / x < b ¡
b
<-oo,b> = {x e R / x < b} * m m m m m t m m Q ------1
b
<-oo,+oo> = {x/x g R}
<-», a> u <a,+oo> = {x e R / x * a} mmHtHHHmHMMtto mmmtHHmwmmm
a
Nota.- ( l ) Six e [a,b] <3 > a s x ¿ b
Ejemplo.- Demostrar que: síx e[2,4] entonces 2x + 3 € [7,11]
Solución
x e [2,4] => 2 < x < 4, multiplicando por 2
4 < 2x < 8, sumando 3
7 < 2x + 3 < 11
Sí 7<2x + 3 < l l => 2x + 3 e [7,11]
Por lo tanto, sí x e [2,4] => 2x + 3 g [7,11]
46. 32 Eduardo Espinoza Ramos
Luego la solución es dado en la forma: x e < — ,+oo> ó x e < -oo,— >
a a
Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones.
0 3x —4 < x + 6
Solución
Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, se resuelve, expresando la inecuación
en la forma:
En un sólo miembro se pone la incógnita, en el otro miembro los números, es decir:
3x - x < 6 + 4, simplificando se tiene: x < 5, es decir: x e <-oo,5>
m m H H M H tM m m tO ------► La solución es: x e <-oo,5>
5
0 3(x —4) + 4x < 7x + 2
Solución
Poniendo en un sólo miembrola incógnita y en el otro miembrolos números:
3x - 12 + 4x < 7x + 2 => 3x + 4x - 7x < 2 + 12simplificando 0 < 14
esta desigualdad obtenida es cierta, entonces la solución de la inecuación dada , es el
conjunto de todos los números reales (x e R).
0 5x —4(x + 5) < x —24
Solución
En forma análoga a los ejemplos anteriores en un sólo miembro ponemos las incógnitas y
en el otro miembro los números: 5x —4x —x < -24 + 20 simplificando 0 < - 4
Como la desigualdad obtenida no es correcta, entonces no hay ningún valor de x, que
verifique que la inecuación dada. Por lo tanto la solución es el vacío (<
¡>
).
0 2 < 5 —
3x < 11
Solución
Aplicando la propiedad de transitividad: a < b < c o a < b A b < c
47. Sistema de Números Reales 33
2 < 5 - 3 x < 11 <
=
> 2 < 5 - 3 x a 5 - 3 x < 11
» 3 x < 5 —2 a5 —l l < 3 x
o x < 1 a -2 < x -- O/////////////////////////////!
-2 1
La solución es: x e<- 2, l ] -----------------------
1.28 ÍINECUACION DE SEGÜNOD GRADO E3 UNA INCOGNITA,,
Las inecuaciones de segundo grado en una incógnita son de la forma:
ax2 +bx +c>0 ó aje2 +e <Q, a * O
í
donde a,b,c e R, siendo a * 0, la solución de estas inecuaciones, se obtiene mediante las
propiedades de los números reales ó también por medio de la naturaleza de las raíces del
trinomio ax2 + b x + c - 0.
a) CARÁCTER DE LAS RAICES DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO.
Consideremos el trinomio de segundo grado
al analizar el valor numérico de la ecuación (1) dando valores reales a x se presentan
tres casos:
Io Caso.- Si A = b 2 - 4 ac > 0, entonces hay dos valores diferentes rx < r2 que
anulan el trinomio ax1 +bx +c = 0 .
Es decir: a(x - rx)(x - r2) = 0 , si se hace variar x a lo largo de la recta real resulta:
i) Cuando x toma valores menores que r ,, los factores (x-r¡) y ( x - r 2) son
negativos,luego el trinomio ax2 +bx +c , tiene el mismo signo del coeficiente
de “a”.
¡i) Cuando x toma valores intermedio entre i y r2; entonces el factor (x ) es
positivo yel factor ( x - r 2) es negativo, luego el trinomio ax2 +bx+c , tiene
signo opuesto del coeficiente de “a”.
49. Sistema de Números Reales 35
2° Caso.- Si la ecuación ax2 +bx+c = 0 , tiene una raíz real única rx =r2 = r .
+— 1 6 ' >
r
i) Si la inecuación es de la forma: ax2 +bx +c> 0 , con a > 0.
La solución es todos los valores de x * r, es decir: x e <-oo,r> U <r,+oo>
ii) Si la inecuación es de la forma: ax2 +bx + c < 0 , con a > 0.
No se verifica para ningún valor real de x.
3o Caso.- Si la ecuación ax2 +bx+c = 0 , tiene dos raíces no reales.
i) Si la inecuación es de la forma: ax2 +bx +c >0, con a > 0.
La solución es todos los valores reales de x.
ii) Si la inecuación es de la forma: ax2 +bx+c < 0 , con a> 0.
No se verifica para ningún valor real de x.
RESUMIENDO EN EL SIGUIENTE CUADRO.
Forma de la Inecuación
Raíces de la Ecuación
ax2 +bx +c = 0
Conjunto Solución
ax2 +bx +c> 0 , a > 0
Raíces diferentes
r <r2
< —
oo,r, > U <r-, ,+oo >
Raíz Real Unica r R —{r}
Raíces no reales R
ax2 +bx +c < 0 , a > 0
Raíces diferentes
r <r2
<rx,r2 >
Raíz Real Unica <
t
>
Raíces no reales <
l>
51. Sistema de Números Reales 37
x 2 + 8x + 16 < 65 + 16 => (x + 4)2 <81, aplicando la propiedad
(x + 4)2 <81 o -^|8Í <x +4<4%Í
<
=
> - 9 < x + 4 < 9 o - 1 3 < x < 5
La solución es x e <-13,5>
Ahora resolveremos la inecuación por medio de la naturaleza de las raíces de
x 2 + 8 x -6 5 = 0 , es decir: (x + 13)(x —5) = 0 de donde rj = —
13, r-, =5
de acuerdo al cuadro es: x e <-13,5> "* O ///////////////O *"
-lo o
0 x 2 + 20x + 100>0
Solución
Mediante propiedad de los números reales se tiene:
x 2 + 2 0 jc + 1 0 0 > 0 => (x + 1 0 ) 2 > 0 entonces:
V x e R; x *-10, (x + 10)2 > 0 , por lo tanto la solución es; x s R -{-1 0 ¡
Ahora veremos de acuerdo a la naturaleza de las raíces: x 2 + 20x +100 = 0 => r = -10,
multiplicidad 2, y como x 2 + 20x +100 > 0 , de acuerdo al cuadro de solución es:
x g R —{-10}
® , 3 9
x ~+ —jc+ — < 0
inn
Solución
Aplicando la propiedad de los números reales: V x e R , x 2 > 0
3 9 3 'i 3
luego x 2 + —x + -----<0 => (x + — )2 <0 pero (xh-------)2 > 0 , entonces no existe
5 100 10 F 10
ningún valor real para x que verifique a la inecuación, es decir: <
j>
.
52. 3 9
Ahora resolvemos mediante la naturaleza de las raíces de la ecuación x~ +—x +-—- = 0 ,
5 100
3 9 3 9
de donde r = ----- de multiplicidad dos, pero se tiene que x~ +—x +-------- <0 y de
10 5 100
acuerdo al cuadro la solución es: (|).
38 Eduardo Espinoza Ramos
I M INECUACIONES POLINOMÍCAS.-
Una inecuación polinómica en una incógnita, es de la forma siguiente:
P { x } - a nx n +,..+atx+a$ > 0 ó '. P{x) ~ a„xn + < 0
donde o0, s o n constantes y a„ * 0, n e Z 4 .
a) RESOLUCION DE UNA INECUACION POLINOMICAS.-
Una inecuación polinómicas de la forma P(x) > 0 ó P(x) < 0, se resuelve de acuerdo
a la naturaleza de sus raíces de la ecuación polinómica P(x) = 0, en una forma
sencilla y rápida, considerando a„> 0 .
Para esto hallaremos primero las raíces del polinomio
P(x) = a„xn +...+£7lx + a 0 = 0, y como éste polinomio es de grado n entonces tiene
n raíces, lo cual pueden ser reales diferentes, reales de multiplicidad y no reales.
I o Caso.- Cuando las raíces de la ecuación polinómica p(x) = 0, son reales
diferentes. Es decir: rx < r, < ...< rn_x < rn
a) En los intervalos consecutivos determinados por las raíces del polinomio
P(x) = 0, se alternan los signos “+” y reemplazando por asignar el signo
(+) al intervalo < rn,<
x>> .
^ A A ^ A ^ T A A ^ A A ^ r
■■■■■ rn-3 rn-2 rn-l rn
58. 44 Eduardo Espinoza Ramos
Solución
La inecuación dada se expresa en la forma, mayor que cero o menor que cero, es decir:
x - 2 .r + 1 x ( x - 2 ) - ( x +l)(x+3)
--------------- <0 => —------- — --------------- < 0 , de donde:
x + 3 x x(x + 3)
6x—
3 2x +1 .
<0 => ---------- > 0 , que es equivalente a:
x(x + 3) a
'(x + 3)
x(2x + 1)(x + 3)x > 0, para x * -3,0 ahora encontramos las raíces de la ecuación.
(2x + l)(x + 3)x = 0, de donde r, = -3 , r2 = — , r3 =0
-3 -1/2 0
Como la inecuación es de la forma: (2x + l)(x + 3)x > 0,
la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+). es decir:
x e < —
3,—>U < 0.+ »>
2
x x - 2x
-+ -----<-
x -1 X X + 1
Solución
x x —
1 2.x
La inecuación dada expresaremos en la f o r m a :------- h:--------- -— < 0
jc-1 .v x +1
x'(.v + l) + (.í-lK .r-l)(x + l)-2 x ‘ fx -l) .
----------------------------------------------------- < 0 , simplificando
(x-D xU +l)
2x2 - x +l
< 0 , que es equivalente a la inecuación.
(a- - 1 ) .v(a- + 1)
(2x2 - x +l)(x-l).v(.v +1) < 0, para x * -1,0,1
59. Sistema de Números Reales 45
ahora encontramos las raíces de (2x2 - x +l)(x- )x(x + 1) = 0 , de donde sus raíces son:
. - V + / ~ V + “ „
-1 0 1
P(x)
Como la inecuación es de la forma ------ < 0, la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparecen el signo (-), es decir: x e <-*>,-1> U <0. 1>
1,31 INECUACIONES E X P ( Í Ü Í I Ü M C
Las inecuaciones exponenciales en una incógnita son de la forma:
donde f(x) y g(x) son expresiones en x, a e R +, a 1.
Para resolver estas inecuaciones, se consideran dos casos:
1 ° Caso.- Si a > 1, entonces los exponentes de la inecuación dada son desiguales en el
mismo sentido prefijado, es decir:
Si > a ^ y. <=> f[x)>g&}
Sí a ri' ^ < a sM o f|x)<g(&)
2o Caso.- Si 0 < a < 1, entonces los exponentes de la inecuación dada son desiguales en
sentido contrario al prefijado, es decir:
Sí a fíx)> a ^ o f(x)<g(x>
Si a f i A < a ^ <
=
> fíx) > gíx)
Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones:
60. 46 Eduardo Espinoza Ramos
0 3/3(S,-l>/3
Solución
5jr-t-l 3(x +l) 5x+l 6x+6
La inecuación dada es equivalente a: 3 9 < 9 10 => 3 9 < 3 10
, ^ , 5jr+ l 6.v+ 6
como a = 3 > 1 entonces ------- < ---------
9 10
50.y+ 1 0 < 54.r + 54 =
?> —
44<4.v => x > - l l => xe<- l l , +oo>
La solución es: x e <-11 ,+»>
0 [(0
,2
>
tv
^
1
K
' 2
)]A3>(0
,°1
2
^ 3jr-l
Solución
La inecuación dada se puede escribir en la forma:
(jr-j-'Xjr -2) . (x+l)(.r-2)
(0 ,2 ) * - 3 > ( u - ^ z o )3x-i d e d o n d e : (0<2) v-3 > ( 0 , 2 ) 12a- 4 ,
8
, . (x + )(x-2) (jc + 1)(jc—2)
como a = 0.2 < 1, se tiene:--------------- < 1 2 - 4 => ------- --------1 2 * + 4 <0
x - 3 jc—
3
1 lx 2 -39x + 14
efectuando operaciones y simplificando tenemos: --------------------> 0, esta inecuación es
x -3
equivalente a: (1 be2 -39x + 14)(jc - 3) > 0 parax*3.
Ahora hallando las raíces de : (1lx2 -39x + 14)0c-3) = 0 , de donde:
39-^905 , 39+^905
r, = ------------- , r7 = 3 , =-------------
1 22 2 3 22
39-V905 3 39+^905
22 22
65. Sistema de Números Reales 51
Solución
Como t/x 2 - 4 tiene el mismo signo que x 2 - 4 y (x + 4)3 tiene el mismo signo
que x + 4 entonces la inecuación dada es equivalente.
¡x2 - 4 ( x - 2 ) 2(x3 -13x + 12) (x2 -4 )(x -2 )2(x3 -13x + 12) _
---------¿ U <
=
> ---------------:------------------------ > U
(x + 4)3(x3 + 8x 2 + 4x -4 8 ) (x + 4)(xi + 8.x2 + 4 x - 48)
Como V x e R, ( x - 2 ) 2 > 0 entonces
(x2 —
4)(.v —
2)2(r 1 -13,v + 12) (x2 -4 )(x 3 -13x + 12)
■ U O ----------- ;-------;--------------¿ U
(x + 4)(x3 + 8x2 + 4x-48) (x + 4)(x3 + 8x2 + 4x-48)
(x + 2)(x -2 )(x - l)(x2 + x-12)
(x + 4)(x-2)(x + 6)(x + 4)
> 0, para x * 2, - 4
(x + 2)(x-l)(x + 4)(x-3)
(x + 6)
> 0, para x * 2, - 4
-6 -4 -2
Luego el conjunto solución es: x e <-6,-4] U [-2,1] U [3,+oo>
Vx + 7(x + 2)4(.v+ 3);
líx2
^ 7x + 12 Vh T I
fyx + 9 (x - 8 ) 3(x 3 -2 7 )(x 2 -1 4 x + 48)
<0
Solución
Los radicales pares nos da el universo U. 1 0 -x > 0 A x + 9 > 0 => x < 1 0 A x > -9
x e <-9.10] => U = <-9,10]
(no se incluye el -9 por que anula al denominador)
como los radicales pares son positivos la inecuación es equivalente a:
66. 52 Eduardo Espinoza Ramos
Vx + 7(x + 2)4(x + 3)^Jx2 - 7 x + 2 $ ] 0 - x < ^ ^ $ J x + 7 (x + 2 )4
Jtf+3)^jx2 —7jc+12 ^ ^
^ + 9 ( j c - 8 ) 3(x3 -2 7 )(x 2 -1 4 x + 48) ~ (jc-8>3(jc3 -27 )(x2 -14x+48) ~
como los radicales impares tienen el mismo signo que las cantidades subradicales
entonces:
(x + 7)(x + 2)4(x + 3)(x2 -7 x + 12) „ , _ . 4 „
-< 0 , como para todo x e R (x +2) > 0
(or—8)3( x —3)(x') + 3 x + 9 )(x -6 )(x -8 )
(x + 7)(x + 3)(x-3)(x-4) .
-— , -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
--
-
-
-
-—
-< 0, para x * 3
, 8 simplificando tenemos
(x —
8) (x—
3)(x-6)(x-8)
(x + 7)(x + 3)(x-4) ^ A + A ~ ^ ~ ~ V + _»
--------- — ---------< 0 , x * 3,8 - 7 - 3 4 6
x e [-7,-3] U [4,6> luego el conjunto solución es: x e U n ([-7,-3] U [4,6>)
/. x e [-7,-3] U [4,6>
ahora veremos como resolver diversas formas de la inecuación con radicales aplicando
criterios de acuerdo a cada tipo de inecuación irracional.
1° Para las inecuaciones irracionales de las formas:
a) J P M > Q(x). La solución se obtiene así:
J P Ü j >Q(x) o (P(x) > 0 A [Q(x) < 0 V (P(x) > 0 A P(x) > Q 2(x))])
b) sJP(x) >O(x) ; la solución se obtiene así:
J P M >Q(x) o [P(x) > 0 A (Q(x) < 0 V [P(x) > 0 A P(x) >Q2(x)])]
2o Para las inecuaciones irracionales de las formas:
a) -JP(x) < Q(x); la solución se obtiene así:
J püc) < Q(x) «• [(P(x) > 0 A (Q(x) > 0 A P(x) < Q 2(x ))]
67. Sistema de Números Reales 53
b) -JP(x) < Q(x) ; la solución se obtiene así: /
JP(x) < Q(x) <
=
> P(x) > 0 A [Q(.x) > 0 A P(x) < Q 2(x)]
3o Para las inecuacionesirracionales de la forma:
a) -JP(x) +^¡Q(x) > 0; La solución se obtiene así:
4P(x)+4Q(x) >0 => P(x) > 0 A Q(x) > 0
b) ,JP(x) + ~JQ(x) > 0 ; La solución se obtiene así:
^P (x )+ ^Q (x)> 0 => P(x) > 0 A Q(x) > 0
4o Para la inecuación irracional de la forma:
s¡P(x) +s[Q(x) > K , K > 0; La solución se obtiene así:
-¡FV¡)+4Q(x )> K ^ [(PU )> 0 A Q(x)> 0) A P(x) > ( k ~ 4 0 M ) 2]
5o Para las inecuaciones irracionales de la forma:
-JP(x) +^¡Q(x) < 0; La solución se obtiene así:
^ P ( X ) + ^ Q ^ j < 0 => P(x) = 0 A Q(x) = 0
OBSERVACION.-
C
’onsíderemos otros casos más generales.
Io Caso.- Si n es impar positivo mayor que uno.
P í » ) # w >0 o f w . e w >0
R(x) R(x)
b) _ < 0 « — <o
R(x)'i¡Q(x) R(x)Q(x)
68. 54 Eduardo Espinoza Ramos
c) ’
-ljP(x) <H¡Q(x) o P(x) < Q(x)
2o Caso.- Si n es par positivo
, P(x)
C)
d)
’
<¡QWR(x)
P(x)
A
O
2
IV
o
A
o
VI
Ó
A P U )>o
R(x)
A P W <0
R(x)
'4q (x )R(x) ~
e) nJP(x) > Q (x )o(P (x) > 0 A [Q(x) <0 V (P(x) > 0 A Q(x) > 0 A P(x) > Q" (*))]
f) !{fPÜ) < Q(x) o P(x) > 0 A [Q(x) > 0) A P(x) < Qn(jc)]
Ejemplo.- Resolver las siguientes inecuaciones
(7) -n
/.v
2—14jc-i-13 > x - 3
Solución
V-v2 -14.V + 13 > .v -3 <=
> x~ -14.v+ 13> 0 A [jt —
3 < 0 V
(a-2 -14.V + 13 > 0 A .v2 -14.V + 13 > (jc- 3 ) 2)]
o jc2 - 1 4 .V + 13 > 0 A [x<3 V (jc2 - 14jc+ 1 3 > 0 A x< ~)]
o jc2 - 1 4 a + 1 3 > 0 A [ j[ : < 3 v x g < —
* ,1 ] U [1 3 ,oo> A x <—
]
o x 2 -14x + 13> 0 A [jc <3 V x < —1
2
o A 2 -1 4 .r + 1 3 > 0 A x<3
69. Sistema de Números Reales 55
o (x—13)(x —1) > 0 A x < 3 x
» x e <-oo,l]U[13,+oo> A x < 3 x e <-*,l]
-Jx2 -14* + 13 < x +l
Solución
Aplicando la parte b) del Io caso:
■¡x2 -1 4 X + 13 < x + l <=>(.v2 -14.V + 13 > 0 A [jc +1 > 0) A (x2 - 1 4 * +13 < (x + l )2])
<=> ((jc —13)(jc —1>> 0 A [ . v > -1 ) A ((jc -1 3 )(.v -1 )< (.y + 1)2 ])
<
=
> ((jc-13)(x-1) > 0 A [x > —
l) A jc> —
]
4
<
=
> x e <-1,1] U [13,+*» A x > - ]
4
o x e < —.1] U[13.+oo>
4
2x - 8 5-.v
¿ il
Solución
Aplicando la parte b), del 3o caso: -JP(x) +s]Q(x) > 0 P(x)>0 A Q (x )> 0
Í 5 ^ > 0 0 A — 2 0
i x - i ]¡x + 3 -v-1x+3
o ( x - 4 ) ( x - 1) > 0, x * 1 A (5-x)(x + 3) > 0, x * 3
» (x —4)(x—1) > 0, x * 1 A (x —5)(x + 3) < 0, x * -3
~ + / - V + „ yV ____~
IA / - ,
1 4 -3 5
73. Sistema de Números Reales 59
Solución
Aplicaremos el criterio de las raíces de la ecuación: .r + 8x4 +12*3 - x 2 -8 .Í-1 2 = 0
La ecuación que queda es: x 2 + x +1 = 0 , cuyas raíces son:
/• = —* ■ Luego las raíces reales son: /•, = -6 , r2 = -2 , r-, = 1
-6 -2 1
Como la inecuación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos
donde aparece el signo (+). es decir: x e íi <L+<o>
( ? ) 12 x 4 - 56x3 + 89x 2 - 56x +12 < 0
Solución
Encontrando las raíces de la ecuación
12x4 -5 6 x 3 +89x2 -56x + 12 = 0 dividiendo entrex2
74. 60 Eduardo Espinoza Ramos
Reemplazando en la ecuación (1) se tiene:
y
12(r2 - 2 ) -5 6 - + 89 = 0. entonces: 12r2 -5 6 r +65 = 0 => (6 r-1 3 )(2 r-5 ) = 0
de donde r = — . r = —
6 2
13 1 1 3 3 2
para : = — => ,v+ —= —• => 6x -13x + 6 = 0, de donde r->= —
6 x 6 2 "3
para r = — => x + —= — => 2x2 - 5 x +2 = 0, de donde r3 = —, r4 = 2
2 A
' 2 '2
ordenando las raíces en la recta numérica
+
1/2 2/3 3/2 2
Como la inecuación es de la forma P(x) < 0. la solución es la unión de los intervalos
donde aparece el signo (-), es decir:
x(2x + 1)(x —2)(2x —3) > 63
Solución
Hallaremos las raíces de la ecuación:
x(2x + 1)(x —2)(2x —3) —63 = 0, entonces x(2x-3)(2x + 1)(x —2) —63 = 0
(2 x 2 - 3x)(2x2 - 3.v- 2) - 63 = 0
Sea r = 2.'2 -3 x z ( z - 2)-63 = 0
r 2 - 2 r -6 3 = 0 => (;-9 ) (r + 7) = 0, dedonde z = 9, z = -7, entonces:
Para z = 9 => 9 = 2.y2 -3.y => 2.t2 —
3jc—
9 = 0 , dedonde: r, = — . r-, =3
i 2 .
78. 64 Eduardo Espinoza Ramos
i ( t —
3)“
pero (x -3 )2 > 0 , x * 3 , entonces: — —— — —> 0 <
=
>
1
(x-5Kor+3) U-5KX+3)
> 0 para 3
1
(.r-5)(.t + 3)
> 0 . x * -3,5 •» (x —5)(x + 3) > 0. para x * -3, 5,
ahora encontraremos las raíces de (x —5)(x + 3) = 0, de donde jj = - 3 , r2 = 5 .
A A ~ ^ A A
-3
PiJr)
Como la inecuación es de la forma —— > 0, la solución es la unión de los intervalos
donde aparecen el signo (+). es decir: | x 6 <-se,t3> U <5v*>>- f$f
3.V+ 5
<3
2x + l
Solución
A la inecuación dada escribiremos en la forma:
---------- 3 < 0 o ---------- < 0 C
3> --------->0
Z t + 1 2x +1 2x+l
— ——> 0 o (3x —2)(2x + 1) = > 0 , para x * ——
2 x + 1 2
I 2
ahora encontramos las raíces de: (;3x—2> (2x + I) = 0, donde ri =—*r2 = y
-1/2 2/3
P{x}
Como la inecuación es de la forras —— > 0 , la solución es la unión de los intervalos
Qix)
donde aparecen el signo (+>, es decir
80. 66 Eduardo Espinoza Ramos
Como la inecuación es de la forma
P(x)
Q(x)
> 0, la solución es la unión de los intervalos
donde aparecen el signo (+), es decir:
2 l
i
l
i
5 i 5 -
>
x -1 x - 2
x 4 + l x +2
Solución
V x e R, x 4 + l > 0 , x 4 + 2 > 0 , entonces la inecuación dada se puede escribir en la
forma: (x5 -l)(x 4 + 2 )< (x 5 -2 )(x 4 +1), efectuando operaciones y simplificando se
tiene: x 4(x + l ) < 0 , luego encontrando las raíces de
x 4(x + l)= 0 se tiene /¡ = -1 , r2 = 0 , multiplicidad 4.
-i
punto critico de
multiplicidad par.
Como la inecuación es de la forma p(x) < 0, la solución es:
(x¿ - 2x + 4)(x-1)
(2x + l)(x + 4)
<0
Solución
(x2 - 2 r + 4)(x-l)
La inecuación ---------:-------------- < 0, es equivalente a:
(2x + l)(x + 4) M
(x2 -2 x + 4)(x-l)(2x + l)(x + 4) <0 , para x * - 4 , --
ahora encontramos las raíces de la ecuación.
(x2 - 2x + 4)(x - l)(2x + l)(x + 4) = 0 , de donde.
81. Sistema de Números Reales 67
Á------------------
= - 4 , r2 = — , r3 = 1, r4 = l+^¡3i, r5 = 1-^ 3 /
- 1/2
P(X )
Como la inecuación es de la forma — — < 0, la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparece el signo (-), es decir: ,t € < -» ,-4 > U < i >
x +5 x -1
x —6 x - 3
Solución
x + 5 x —
1 x + 5 x —
1
------ < ------- c? ----- -------- - < 0 , efectuando operaciones se tiene:
x - 6 x -3
3x - 7
x - 6 x -3
<0 <
=
> (3x —7)(x —6)(x-3) < 0, x * 3,6
(x -6 )(x -3 )
ahora encontramos las raíces de la ecuación
(3x - 7)(x - 6)(x -3 )= 0, de donde r, =— , /•, = 3, r-, = 6
3
+
7/3
P(x)
Como la inecuación es de la forma — — < 0 , la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparece el signo (-), es decir: x €< -*>,-] V <3,6 >
3
82. 68 Eduardo Espinoza Ramos
------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ^ -----------------
Solución
(x + 2)2 > 0 , para x * -2, la inecuación dada es equivalente.
(x-3)(x + l)(x + 4) ,
---------------------- —=—----p - > 0 , la cual es equivalente a:
(jc+ 2)x(x + 3)(x + V 3)(x-V 3)
(x-3)(x + l)(x-4)x(x + 3)(x + -j3)(x--j3)(x +2) > 0 , x ^ O ,-3,-2, -^3 , —73
ahora encontramos las raíces de la ecuación,
(x + 2)(x - 3)(x +1)(x - 4)x(x + 3)(x + V3)(x - V3) = 0 , de donde
/•, = -3 , r2 = - 2 , /-3 = —s/3 , r4 = -1 , r5 = 0 , r6 = -y/3 , r7 = 3, r8 = 4
-3 -2 -V3 -1 0 -73 3 4
P(x)
Como la inecuación es de la forma -— - > 0, la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparecen el signo (+), es decir:
x e < > U < -2,-73 > l/< - ! ,ü > t/ < a/3,3> £/ < 4,+^o>
17) *
x + 2 x" + 2
Solución
^ 2 2
X- 2 X x - 2 X n j j
------ < —
------- <=>--------------------------------------- --< 0 , de donde
x+ 2 x + 2 x+2 x '+ 2
- 4 x 2 + 2 x -4 2x2 - x + 2 a
----------- ------<0 ------------ ------->0
(x + 2)(x +2) (x + 2)(x +2)
V xeR, 2x2 -x-t 2 > 0 y x 2 + 2 > 0 , entonces se simplifica la inecuación------ > 0
x + 2
83. Sistema de Números Reales 69
Luego------ >0 o x + 2 > 0, para x * -2. La solución es:
x+ 2
x + 4 x
■>-
x - 7 x+l
Solución
x+ 4 xx+ 4 x . , , ,
•> -----
-
—
---r > 0, de donde
x - 7 x + l
12x + 4
x - 7 x + l
>0 o (3x + l)(x-7)(x + 1) > 0, para x *-1,7
(x-7)(x + l)
ahora encontramos las raíces de la ecuación (3x + l)(x —7)(x + 1) = 0, de donde
r2 — ■
r . r3 - 7
-3 -1/3
P(x)
Como la solución es de la forma ------ > 0, la solución es la unión de los intervalos
Q(X)
donde aparecen los intervalos donde aparece el signo (+), es decir:
x £< < 7,+üG >
2 x ' -6 x + 3
x 2 -5 x + 4
2x2 -6 x + 3
x 2 -5 x + 4
x 2 —
x —
1
Solución
> 1 <
=
>
2x - 6x + 3
x 2 -5 x + 4
-1 > 0 , de donde
>0 <
=
> (x 2 —
x —
1)(x2 —
5x + 4) > 0 p a r a x * l,4 ;
x 2 - 5x + 4
ahora hallaremos las raíces de la ecuación.
(x2 - x - l) ( x 2 -5 x + 4) = 0, dedonde r2 =1, r3 = ~ , r4 = 4
84. 70 Eduardo Espinoza Ramos
i + S
I- V5
P(x)
Como la inecuación es de la forma ------ > 0, la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparecen el signo (+), es decir:
2jc-1 x x +
< ------ <
I - -s/5 „ l+ $ 5 r , „
x e < - ís ,-------- >U <1.--------- >U <4,+30>
a : 2 2
x +4x +4 x +4
Solución
2 x -l x x + 1 2 x - l x
< - — - < <
=
>
x +4 x +4 x +4 x +4 x +4 x +4 x +4
- — — <0 A — ---- - ^ - < 0 , de donde !-<0 A
x +4 x+4 x +4 x +4 x - 4 x +4
> 0 , estas
ecuaciones son equivalentes a:
(x — 1)(x + 4) < 0 A x + 4 > 0, para x * -4 ahora encontraron las raices de las
ecuaciones, (x —2)(x + 4) = 0 A x + 4 = 0 , de donde t = - 4, r2 = 1 A r3 = —
4
A
+
-4
de acuerdo a la forma de la inecuación la solución es: x e <-4,l> A x e [-4,+to
>
4 x 2 - x - 2 < 5 - x
Solución
Aplicando la propiedad: ^jP(x) < Q(x) <
=
> (P(x) > 0 A [Q(x) > 0) A (P(x) < Q 2(x)])
4 x 2 - x - 2 < 5 - x <
=
> (x2 - x - 2 > 0 A [5 -x > 0 A x 2 - x - 2 < (5 -x )2])
85. Sistema de Números Reales 71
<
=
>(x2 - x - 2 ) >0 A [5 -x > 0 A j:2 —jc—
2 < 2 5 —
1Ojc-hjc2])
<
=
> (jc- 2)(x +1) > 0 A (x<5 A x<3)
-1
x e <-oo,-l ] U [2,5] A x e <-*>,3>
5
-o
/W/iW
W
iW
O--------- Q
W
////////////zO
-1 2 3
----------------o
La solución es: x 6 <-'/„,-! j U [2,3>
3.V-4
22J y(0.8) 4 > v(0.64) 5
2 .V -2
Solución
3j -4 4x-4
La inecuación dada es equivalente a: (0.8) 16 >(0.8) 40
como a = 0.8 < 1, entonces los exponentes son desiguales en sentido contrario, es decir:
3.V-4 4.t - 4
16 40
3 * -4 x-1
■, efectuando y simplificando.
8
< -
12
=> x< — , la solución es:
5 7
12
X <£< >
-
¡ 2 4 - 2 x - x 2 <x
Solución
Aplicando la propiedad siguiente:
-JP(x) < Q(x) <
=
> (P(x) > 0 A [Q(x) > 0 A P(x) < Q 2(*)])
86. 72 Eduardo Espinoza Ramos
V24 —
2x —
jc2 <x <
=
> ( 2 4 - 2 x -x 2 > 0 A [x > 0 A 2 4 - 2 x - x 2 < x 2])
<
=
> (x + 2x < 24 A [x > 0 A 2x + 2x > 24])
<
=
> ((x + 1)2 <25 A [x> 0 A(x + y ) 2 > —
~)
« (-6 < x < 4 A [x > 0 A (x > 3 V x < -4)])
<=
> x e [0,4] A x e <
-o
o
, -4> U <3,+*>
x r <3,4
6.V-4 2*-33.V-44.V-2
( 0 .2 5 ) ~ .( 0 .5 ) ~ < (0.0625) ^ .(0.125) ^
Solución
12*-» 2*-3 6x-8 4x-2
La inecuación dada es equivalente a: (0.5) 3 .(0.5) 4 <(0.5) 3 .(0.5) 3
12*-» 2.V-3
Operando tenemos: (0.5)
6.t-8 4.V-2
4 <(0.5) 3 ' 3
Como a = 0.5 < 1, entonces los exponentes son desiguales en sentido contrario a la
. ., , . 12x-8 2 x -3 6 x -8 4 x -2
inecuación, es decir: ---------+ -------- > ----------b--------
12x-8 2 x -3 10x-10 . 2x + 2 2 x -3 8x + 8+ 6 x -9
---------+ —— - > -------------------------------------------------------------------- , simplificando:-----------+
3 4 3 3 4 12
1 4 x - l> 0 => x > — ; la solución es:
14
32-^2**^ > (42A
.8Jr~3)2/5
Solución
jr+l
La inecuación dada es equivalente a: 25.2 2 > (24a.23a~9)2' 5, de donde
87. Sistema de Números Reales 73
A-+U 14.V-18
2 2 > 2 5 , como a = 2 > 0, entonces:
x + 11 14jc—
18
------- > ----------- 5 x + 5 5 > 2 8 x -3 6 => x<
91_
23
La solución
o- 1 i * 3 x + 2 ^
Si —< x < 1, Demostrar que: —< ------ < —
2 8 jc+ 3 7
x +2
x +3
= 1—
x + 3
Solución
(se obtiene dividiendo)
, 1 1 A1 1
-< jc< 1 => —< x + 3 < 4 => —<
4 x + 3 < 7
_ 2
7 x + 3
1 1
— < —
4
1- - < 1-
7
-----------------<1 —
x + 3 4
5 x+ 2 3
— < ---- < —
7 x + 3 4
3 x + 2 6
8 x + 3 7
27) - J l^ x < ^ 5 +x
Solución
91 •
X € < ~tXJ ~~~ >
23
V T A á V s + I <
=
> ( l- x > 0 A x + 5> 0) A (V T A )2 <(V* + 5)2
<
=
> (x < l A x > -5 ) A ( l- x < ~Jx + 5)
-Jx +5 > 1 -x o [x + 5 > 0 A (1- x < 0 v (x + 5 > OAx+ 5 > (1—
x 2))]
[x > -5 A(x > 1v (x > -5Ax + 5 > 1- 2x + x 2))]
o [x > -5A(x > 1v (x > -5Ax2 -3 x -4 < 0 ))]
...(1 )
88. 74 Eduardo Espinoza Ramos
•(2)
o [jc > - 5 A (je > 1 v (jc > - 5 A jc e[-1 ,4 ]))]
<
=
> [jc > -5 A (x >1 v x e [-1,4])]
<=
> [x > -5 A x > -1 ] => x > - l => x e[-l,o o >
ahora (2) en (1) se tiene: (x < 1 A x > -5) Ax e [-l,+oo>
x e [-5, 1] A x e [-l,+oo>
V3jc + 7 -V * r 2 >9
Solución
7
C alculando el campo de existencia 3.r + 7 > 0 a .v - 2 > 0 o x > A x > 2
por lo tanto x e [2,+oo> es el cam po de existencia
~j3x +l > 9 + V * -2 <
=
> jce[2,+oo> A [3jc+ 7 <81 + 18V*-2 + x - 2 ]
<
=
> Jce[2,+oo> A (jc-3 6 < 9 V * -2 )
<
=
> jte[2,+oo> A x 2 -153jc + 1458<0
r~ A. 153 2 17577
<
=
> x € [2 ,+ oo > A (jc -------) ' < ------—
2 4
„ 153-^17577 153 + Vi 7577
jc e [2 ,+oo > a --------------------------< jc < ------------------------
2 2
1S3-V17577 153+VÍ7577
m
-Jx +1+V*-2
V9-JC2 -Vjc
>0
Solución
Calculando el campo de existencia
89. Sistema de Números Reales 75
(x —1 > 0 A x - 2 > 0) A ( 9 - x > 0 A x > 0)
(x > 1 a x > 2 ) a ( x 2 <9 a x > 0)
(x > 1 a x > 2) a (-3 < x < 3 a x > 0)
x > 2 a 0 < x < 3 , de donde x e [2,3] es el campo de existencia.
Como -J x-l + V x -2 > 0 , V x e [2,3]
a/x - 1 + ylx-2
■J9-X2 - 4 x
: 0
-s/x-l +ylx~ 2 l
-J9 - X 2 —s[x V x-1 + V x -2 V x-1 + V x -2
>0.-
simplificando , .-------> 0 <
=
> - j 9 - x 2 ~ 4 x > 0
-J9 - X 2 —sjx
de donde Vx < ^¡9-x2 => x < 9 —
x 2
x + x - 9 <0
1 2 37
(x + —
) < — (completando cuadrados)
. 1 , 37
(* + —) ' < —
2 4
Luego la solución es:
^37 1 ^37
---------< X H
-----< ---------
2 2 2
V37+1 «
y
/3 7 - l
-------- —< x < ----------
Solución
■y]2-^[T+x <-j4 +x » ( 2 - ^ 3 + x >0 A 4 + x > 0 ) A (2 -^ 3 + x <4 + x)
<
=
> (a/3 + x <2 A x > -4 ) A (a/3 + x > - x - 2 ) ... (1)
90. 76 Eduardo Espinoza Ramos
-s
/3 + jc <2 <
=
> (3-t-jc> O A 3 + x < 4 )
o ( x > - 3 A x < l) => x e[-3,l]
a/3 + jc > —
x —2 <
=
> x + 3 > 0 A —
x —2 < 0 V (x + 3 > 0 A x + 3 > (x + 2 )2 )]
<=> x> -3 A [x > - 2 V (jc > -3 A .x2 + 3.r + l < 0)]
(2)
”
5 C
<=> i > - 3 A [ i > - 2 v ( i > 3 A ( j t + - ) 2 < - ) ]
o i > - 3 a [ i> - 2 v (x> 3 a
2 2
^ , r i/^ +3 ^ “3 i
o i > - 3 a i > - 2 V x e < -----------,--------->1
2 2
-v/5+3
o x > 3 a x e < -----------,+oo>
2
^5 + 3
x e < ---------- ,+00 >
2
... (3)
Luego de (2), (3) en (1) se tiene:
■^2—[¡^+3 <-^A +x <
=
> (x e [-3,1] a x > —
4) a x e< - ^ ’+0° >
r 1 n ^ 5 + 3
<
=
> x e [-3,1] a x e< ----- -—- ,+00 >
<
=
>
■J$+3 „
jr €< - --- - - J]
3 13 1
x 4(x - 1) 4jc + 12
Solución
91. Sistema de Números Reales 77
A la inecuación dada expresaremos así:
3
13 1
> 0, efectuando operaciones
13(x+3)+x(x-l)-12(x-l)(x+3)
4(jc—
1) 4(jc+ 3) x
I3x2 + 39x + x 2 ~ x - 2 ( x 2 + 2x-3)
4(x -1)(jc+ 3)x
>0
4x(x-l)(x+3)
> 0 , simplificando
2x2 +14JC+ 36
4jc(jc-1)(jc+ 3)
>0
x + 7x + 18
x(jc-l)(jt+3)
>0
V
J n 1 -i i o n » X~+7X+18
V x e R, j r + 7x + 18 > 0 entonces: ----------------- «
1
1
jc(j c —
1)(x 3) x(x - 1)(jc + 3)
>0 o jc(jc—
1)(j c 3)> 0 , para x * 1,-3, 0
>0
x(x-l)(x + 3)
resolviendo la ecuación x(x —l)(x + 3) = 0, de donde, i = -3 , r2 - 0 , r3 -1
-3
como la ecuación es de la forma
0 1
P(x)
Q(x)
> 0 la solución es la unión de los intervalos donde
aparecen los signos (+), es decir:
3 1 3
-+ ------>-
j t- l x +l x
Solución
La inecuación dada escribiremos en la forma:
3 1 3 3x2 +3x +x 2 —
x ~ 3 x 2 +3 ^ n
-+ ----------->0 o ----------------------------------- >0
x —1 X+ l X x(x —
l)(x + 1)
x +2x +3 ^ „
<
=
> ----------------- > 0
x(x-l)(x + l)
92. 78 Eduardo Espinoza Ramos
como V x e R, x 2 +2x +3 > 0 , entonces
x 2 + 2x+3 . 1 .
>0 <
=
> ----------------- >0
x(jc-1)(x + 1) x(x-l)(jt + l)
-------- —------>0 <
=
> x(x —l)(x + 1) > 0, para x * -1,0,1
x(x-)(x +l)
Ahora resolviendo x(x —1)(x + 1) = 0, de donde t = -1 , r2 = 0 , r3 = l
-1 0 1
P(x)
Como la inecuación es de la forma —
---- > 0 la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparecen el signo (+), es decir: * « lí
2 x-25 2x + ll 1
33) ------------------+ ----- ------ >
2(x2 +2x-3) 2(x2 -1) * + 3
Solución
La inecuación dada escribiremos en la forma:
2 x-2 5 2x + l 1 1 A .. ,..
-+ ----- -------- —— > 0 , factorizando en el denominador
2(x2 +2x-3) 2(x -1) * + 3
2 x-2 5 2x +U 1 A , J .
+ ---------------------------> 0 , efectuando operaciones
2(jc+ 3)(x-1) 2(x-1)(jc + 1) x+3
(2x - 25)(x +) +(2x +l 1)(-t+ 3) - 2(x - l)(x +1)
2(.r-l)(x + l)(x+3)
,v” -3 x + 5
> 0, simplificando se tiene:
(.y-1)(jc+ 1)(jc+3)
> 0 , como V x e R, x -3 x + 5 > 0, entonces:
x ¿ -3 x + 5 n 1 „
■
>0 o ------------------------ >0
(x - 1)(x + 1)(jc+ 3) (x - l)(x + l)(x + 3)
93. Sistema de Números Reales 79
1
(jc-1)(x + 1)(jc+ 3)
>0 «> (x -l)(x + l)(x + 3)> 0, x * -3, -1,1
encontrando las raíces de (x - l)(x + l)(x + 3) = 0, donde rx = -3 , r2 = - 1 , r3 = 1
-3
P(x)
Como la inecuación es de la forma - — - >0 la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparece el signo (+), es decir: x e < -3 ,-^ U O ,+x»
( x - ) - - ( x +2)¿
( x - 2 ) 2 - ( x +l)2
> 0
Solución
Por medio de la diferencia de cuadrados se tiene:
[( x - l) - ( x + 2)][(r-l) + (x + 2 )] ^ 0 | simpliricand0.
[(.v- 2) - (x + l)][(x - 2) + (x +1)]
- >0 <
=
> (2x + 1)(2x - 1) > 0 para x * —
-3(2jc-1) 2
encontrando las raíces de (2x + l)(2x - 1) = 0, de donde, /¡ = , 72 = y
- 1/2 1/2
P(x)
Como la inecuación es de la forma ------ > 0 la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparecen el signo (+), es decir:
94. 80 Eduardo Espinoza Ramos
35) * 4 + 5* ’ -20* —1K< 0
x + 2.x -13jc+ 10
Solución
Factorizando tanto en el numerador y denominador.
(x -2)(x +2)(x 4 1)(x + 4)
---------------------------------< 0 , para x * -5,1,2
(jc+5)(x—
2)(x—)
la inecuación dada es equivalente a:
(x —2)(x + 2)(x + l)(x + 4)(x + 5)(x-2)(x - 1) < 0 para x*-5,l,2
( x - 2 ) 2(x +2)(x + 1)(x + 4)(jt + 5)(.v + 1) < 0 para x * -5,1,2
como V x e R, x * 2, ( x - 2 ) 2 > 0 entonces
(x + 2)(x + l)(x + 4)(x + 5 ) ( x - 1) < 0 , para x * -5,1,2
encontrando las raíces de (x + 2)(x + l)(x + 4)(x + 5)(x - 1) = 0 , de donde:
rx = -5 , r2 = - 4 , r, = -2 , r4 = -1 , r5 = 1
-5 -4 -2 -1 1
P(x)
Como la inecuación es de la forma ------ < 0 la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparecen el signo (-), es decir: x € < -$> O < -4, -2> U < -I, 1>
2-v—
1 -j4-.v
Solución
La inecuación dada expresaremos en la forma
3 2 ,- 1+4-.r—
6*+l > 3 (2^1 K --2 ) ) d e d o n d e ; y S x + 4 > 3 2x>-3x-2
95. Sistema de Números Reales 81
como a = 3 > 0 => - 5 jc+ 4> 2jc‘ - 3 x - 2 , de donde
2x2 -2 jc -6 < 0 <
=
> x 2 + x -3 < 0 , completando cuadrados x 2 +x + -^-<3 + ^-
, 1 , 13 -JÍ3 l o/¡3
(* + — ) " < ---- v = > ----------------< X + — < ---------
2 4 2 2 2
V
Í3+1 V Í3-1 , , ,
-----------< x < ---------- , de donde
2 • 2
1
+ --- >
2x
x 2 - 5 x +6 2x 3 - 4 x +x 2
Solución
A la inecuación dada expresaremos en la forma
2x
,v2 -5 .y+ 6 2.y 3 - 4 x + x 2
2x2( x - ) +( x - 2)(x - 3)(x -1 ) - 4x2(x - 2)
2x(x -3)(x - 2){x - )
> 0 , efectuando las operaciones:
> 0, desarrollando:
2x' - 2 x ¿ + x' - 6x2 + l l x - 6 - 4 x 3 +%x
2 x ( x -3 )(x -2 )(x -)
x~ -1Ly + 6
■
> 0 , simplificando
, ,4
, , 3-o/Í7w , 3+VÍ7
(x - 3)(x + ---- -----)(x + ---------- )
.y(.v-3 )(x -2 )(a--1)
<0 <
=
>
x ( x - 3 ) ( x - 2 ) ( x - l )
<0
para x * 3 se tiene
, , 3 - V n ^ . 3 + -Jn
(x +— - — )(x + ---- ----)
x(x - 2)(x - 1)
<0
- 3- 0/7 - 3+0/7 o