Este documento presenta el sílabo de la asignatura de Matemática IV de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de Cajamarca. La asignatura cubre temas sobre ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. El curso dura 17 semanas y se divide en 7 unidades que cubren conceptos básicos de ecuaciones diferenciales, solución de ecuaciones de primer orden, ecuaciones de orden superior, transformada de Laplace, series de potencias, ecuaciones en derivadas parciales y sistemas de ecuaciones diferencial

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE MINAS
SÍLABO DE LA ASIGNATURA DE MATEMÁTICA IV
1. DATOS INFORMATIVOS.
1.1.
1.2.
1.3.
Curso
Código
Área Curricular
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
Línea Curricular
Pre – Requisitos
Duración
Ubicación
Condición
Horas semanales
Valor académico
Recurso Docente
Inicio de Actividad
: Matemáticas IV
: MA402
: Análisis Matemático, Geometría y
Métodos Numéricos.
: Análisis Matemático.
: Matemáticas III
: 17 Semanas
: Segundo año/ cuarto semestre
: Obligatorio
: 03 teoría / 03 de práctica
: 04 créditos
: Lic. Carlos Enrique Moreno Huamán
: 19 de Agosto del 2013.
2. DESCRIPCIÓN DE LA ASIGNATURA.
La asignatura Matemática IV se ofrece al estudiante de la Facultad de Ingeniería,
Escuela Académico Profesional de Ingeniería de Minas, en el segundo año, cuarto
semestre. Los contenidos de esta asignatura se han formulado en base a que los
problemas físicos, químicos, mecánicos, cambio de temperatura, etc., están
íntimamente ligados con modelos matemáticos y éstos a su vez en su mayoría a
problemas de ecuaciones diferenciales, los que requieren solución. Así pues, en la
asignatura desarrollan los siguientes contenidos: Ecuación Diferencial, definición,
solución. Teorema de existencia y unicidad. Ecuaciones diferenciales ordinarias de
primer orden. Aplicaciones y soluciones numéricas. Ecuaciones diferenciales de
orden superior. Transformadas de Laplace soluciones de ecuaciones diferenciales
ordinarias mediante series de potencias. Puntos ordinarios y puntos singulares
regulares. Series de Fourier y ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
Sistemas de ecuaciones diferenciales.
3. OBJETIVOS DE LA SIGNATURA
OBJETIVO GENERAL:
En el presente curso el estudiante debe poseer conocimientos de las Ecuaciones
Diferenciales ordinarias y parciales y sus aplicaciones en la industria minera, y
materias afines, resultando de esta manera un curso fundamental y básico para los
demás cursos de especialidad.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Al concluir el estudio de la asignatura el estudiante, promovido, estará en
condiciones de:
3.1. Resolver correctamente ecuaciones diferenciales ordinarias y a la vez saber
interpretar sus soluciones.

2. 3.2. Expresar los problemas físicos, químicos, mecánicos, etc. como un modelo
matemático.
3.3. Desarrolla habilidad y destreza operativa en la solución de Ecuaciones
diferenciales por medio de la Transformada de la Place.
3.4. Resolver correctamente ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
3.5. Manifestar habilidad y destreza en la resolución de ecuaciones diferenciales
ordinarias por serie de potencias.
3.6. Manifestar habilidad y destreza en la resolución de Problemas de condición de
frontera.
4. PROGRAMA INSTRUCCIONAL.
4.1. PROGRAMACIÓN SINTÉTICO DE CONTENIDOS.
UNIDAD
% DE
CONTENIDO
TIEMPO PROBABLE
PARA SU ESTUDIO
(SEMANAS)
Nº DE
HORAS
1
6
1
6
2
11,7
2
12
3
23,5
4
18
4
11,7
2
12
5
17,6
3
18
6
23,5
4
24
7
6
1
6
4.2.
CONTENIDO
Ecuaciones
diferenciales.
Conceptos Básicos.
Solución
de
Ecuaciones
diferenciales de primer orden,
modelados.
Ecuaciones de segundo orden y
orden superior- modelados.
Transformada de Laplace
Resolución
de
ecuaciones
diferenciales ordinarias por
serie de potencias.
Ecuaciones diferenciales en
derivadas parciales y series de
Fourier.
Sistemas
de
ecuaciones
diferenciales lineales.
PROGRAMA ANALÍTICO DE CONTENIDOS.
UNIDAD I: ECUACIONES DIFERENCIALES. CONCEPTOS BÁSICOS.
- Ecuaciones diferenciales, definición, orden y grado. Clasificación de las
ecuaciones diferenciales.
- Solución de una ecuación diferencial. Tipos de solución de una ecuación
diferencial. Solución general, solución particular y solución singular.
- Problemas de valor inicial y de valor de frontera. Teorema de existencia y
unicidad de la solución de una ecuación diferencial.
- Obtención de la Ecuaciones diferenciales Ordinarias a partir de su solución
general.
UNIDAD II: SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN.
- Solución de Ecuaciones Diferenciales ordinarias de primer orden y primer
grado. Variables separables, ecuaciones homogéneas, ecuaciones de la forma
(ax+by+c)dx+(ex+fy+g)dy=0. Ecuaciones diferenciales exactas.
- Factores de integración. Ecuaciones diferenciales lineales de Primer Orden.
Ecuaciones de Bernoulli y de Riccatti.

3. - Ecuaciones de primer orden y de grado superior. Ecuación de Clairut.
Envolventes, Ecuación de Lagrange.
- Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de primer orden. Problemas
geométricos diversos. Ecuación diferencial de una familia de curvas.
Trayectorias Ortogonales. Aplicaciones químicas. Casos especiales de Minería. - Problemas sobre crecimiento poblacional, desintegración radioactividad, etc.
- Interpretación geométrica de la solución de las ecuaciones diferenciales
ordinarias, isolinas. Campo direccional, curva integral, solución gráfica.
- Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias. Método de Euler,
Euler mejorado y Runge Kutta.
UNIDAD III: ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
Y DE ORDEN SUPERIOR.
- Ecuación diferencial lineal. El operador diferencial lineal. Teoría de las
soluciones: dependencia lineal, soluciones linealmente independientes, el
Wronskiano.
- Ecuación diferencial lineal Homogénea con coeficientes constantes. Polinomio
característico. Solución en términos de las raíces características.
- Ecuaciones diferenciales no homogéneas, reducción de orden. Ecuaciones
lineales con coeficientes constantes. El método de los coeficientes
indeterminados. Métodos abreviados usando operadores. Ecuaciones
diferenciales con coeficientes variables. El método de variación de parámetros.
Ecuación lineal de Euler-Cauchy. Reducción a la forma canónica.
- Aplicaciones vibraciones mecánicas, circuitos eléctricos, sistemas de
ecuaciones diferenciales.
UNIDAD IV: TRANSFORMADA DE LAPLACE.
- Funciones seccionalmente continuas y de orden exponencial. Transformadas de
Laplace.
- Transformada de Laplace de algunas funciones elementales.
- Transformada inversa de Laplace.
- Transformada de Laplace de las derivadas, función escalón unitario. Teoremas
especiales sobre transformada de Laplace. Teorema de Traslación, funciones
periódicas. Fracciones parciales. Convolución.
- Solución de ecuaciones diferenciales por medio de la Transformada de
Laplace. Aplicaciones a problemas físicos, evaluación de integrales. Sistemas de
ecuaciones diferenciales.
UNIDAD V: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS POR SERIE DE POTENCIAS.
- Base teórica de la serie de potencias. Funciones analíticas. Puntos ordinarios y
puntos singulares.
- Solución de ecuaciones diferenciales, alrededor de puntos ordinarios.
- Soluciones de ecuaciones diferenciales, alrededor de puntos singulares
regulares.
- El método de Frobenius. Ecuación indicial.
- CASO I. Las raíces indiciales son reales y diferentes.
- CASO II. Las raíces indiciales son iguales.
- CASO III. Las raíces indiciales son enteros.

4. - Funciones especiales. Polinomio de Legendre, función de Laguerre, Función
de Hermite, función Hipergeométrica, Ecuación diferencial de Bessel de primera
especie y orden n, función de Bessel de segunda especie y orden n. Ecuaciones
reducibles a Bessel.
UNIDAD VI: ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS
PARCIALES Y SERIES DE FOURIER.
- Funciones ortogonales.
- Series de Fourier.
- Series coseno y seno.
- Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
- Problemas de condición de frontera: Ecuación de calor, ecuación de onda,
ecuación de Laplace.
UNIDAD VII: SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
LINEALES.
- Matrices y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
- Sistema lineal homogéneo. Valores característicos reales y diferentes,
complejos, repetidos.
- Coeficientes indeterminados.
- Variación de parámetros.
- Matriz Exponencial.
- Soluciones numéricas de sistemas de ecuaciones diferenciales.
4.3. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS.
En el desarrollo de la asignatura se aplicarán los siguientes criterios
metodológicos:
4.3.1. Utilización del método Inductivo-Deductivo para impartir los
conocimientos en el proceso de enseñanza-aprendizaje, propiciando la
participación de los estudiantes.
4.3.2. Aplicación de un proceso lógico-axiomático, en la explicación y
demostración de leyes y propiedades, reforzando el proceso de
enseñanza-aprendizaje mediante la ejemplificación.
4.3.3. Proporcionar al estudiante ejercicios y problemas domiciliarios,
con el objeto de introducirlos al trabajo grupal.
4.4. EVALUACIÓN Y REQUISITOS DE APROBACIÓN.
1. Sistemas de Evaluación: La evaluación del aprendizaje del estudiante es
de carácter permanente y continuo. Son rubros de evaluación son los
siguientes:
- Práctica calificada (PC)
- Trabajos domiciliarios (TD)
- Trabajos grupales (TG)
- Exposiciones (E)
- Examen Parcial (EP)
- Examen Final (EF)
- Proyecto de investigación (PI)
- Actitud Ante el área (AA)
- El promedio final (PF) se obtiene considerando:

5. TEORÍA (60 %)
Evaluación parcial (30%)
Evaluación final (30%)
PRÁCTICA (30)%
Prácticas calificadas.
Informes de trabajos de
aplicación.
Informes de trabajos
prácticos grupales de aula.
Proyectos de investigación
ACTITUD (10%)
Asistencia.
Participación en
clase.
Responsabilidad.
PF = 3( PP ) + 3( EP ) + 3( EF ) +
0,
0,
0,
0,1( A. A)
PF: Promedio final
PP: Promedio de práctica
EP: Examen Parcial
EF: Examen final
AA: Actitud ante el área
2. Requisitos de aprobación:
Se considera al estudiante promovido en la asignatura si:
2.1. Su asistencia al total de sesiones de teoría es superior al 70%
2.2. Alcanza un mínimo de 11 en el promedio promocional, en la
obtención de este promedio la fracción a 0,5 se considera a favor del
alumno. La escala de calificación es vigesimal (0-20)
2.3. Los estudiantes que no se presenten a cualquier evaluación sin
ninguna justificación obtendrán NP (No se Presentó) que es equivalente
a la nota cero (00).
3. Actividades Remediables. Se tomará un Examen de Recuperación (ER)
que consistirá en una evaluación escrita de conocimientos teórico
práctico de todo el curso. La nota obtenida en este examen, podrá
reemplazar la nota más baja que el alumno haya obtenido en uno de los
Exámenes Parciales y de proceder el reemplazo, se recalculará el nuevo
promedio final.
En caso que la nota del Examen de Recuperación sea inferior a uno de
los Exámenes Parciales, no se reemplazará ninguna de ellas, quedando el
alumno con la nota obtenida antes del examen de recuperación.
En caso que el alumno tenga un promedio final desaprobatorio, tendrá
derecho a un Examen Aplazado, el cual no es obligatorio y tiene como
calificativo máximo de once (11), que consistirá en una evaluación
escrita de conocimientos teórico práctico de todo el curso.
5. BIBLIOGRAFÍA.
5.1. Problemas de Ecuaciones diferenciales Ordinarias. Kiseliov-KrasnovMakarenko. Edit. Latinoamericana. Moscú. 1987.
5.2. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. G. Zill. Edit.
Internacional Thomson Editores. México. 1997.
5.3. Ecuaciones diferenciales Ordinarias. Otto Plaat. Edit. Reverte. España. 1974.
5.4. Ecuaciones diferenciales ordinarias y sus Aplicaciones. M. Braun. Edit.
Iberoamericana. México. 1990.

6. 5.5. Análisis Matemático 2. Hasser- La Salle- Sullivan. Edit. Trillas. México. 1995.
5.6. Ecuaciones Diferenciales. Frank –Ayres, Jr. Edit. Mc. Graw-Hill. Mexico.
1969.
5.7.
Avanzadas para Ingeniería / Kreyszig / Editorial Limusa
Wiley/ Mexico 2000.
Matemáticas
Cajamarca, Agosto del 2013.
_______________________________________
Lic. CARLOS ENRIQUE MORENO HUAMÁN

7. 5.5. Análisis Matemático 2. Hasser- La Salle- Sullivan. Edit. Trillas. México. 1995.
5.6. Ecuaciones Diferenciales. Frank –Ayres, Jr. Edit. Mc. Graw-Hill. Mexico.
1969.
5.7.
Avanzadas para Ingeniería / Kreyszig / Editorial Limusa
Wiley/ Mexico 2000.
Matemáticas
Cajamarca, Agosto del 2013.
_______________________________________
Lic. CARLOS ENRIQUE MORENO HUAMÁN